49 第6单元 中考小专题 切线的判定【人教2023中考数学一轮复习】

例1题图
例2 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，D是圆外一 点，连接CD，OD，BD.若BD是⊙O的切线，切点为B，且OD∥AC. 求证：CD为⊙O的切线． 证明：如图，连接CO，
∵BD是⊙O的切线， ∴∠DBO＝90°， ∵OD∥AC， ∴∠CAO＝∠DOB，∠ACO＝∠COD，
第2题图
3. (2018咸宁21题9分)如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的
类型二 切点不确定，作垂直，证半径
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC
于点D，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D.求证：AB是⊙D的切线．
证明：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD＝∠EBD， ∵∠C＝∠DEB＝90°，BD＝BD，
例1 如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接AC，BC， OM⊥AB于点O，交AC于点D，MC＝MD.求证：MC为⊙O的切线．
例1题图
证明：如图，连接OC， ∵OM⊥AB， ∴∠AOD＝90°，∴∠A＋∠ADO＝90°. ∵MC＝MD，∴∠MDC＝∠MCD. ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO. ∵∠ADO＝∠MDC， ∴∠ACO＋∠MCD＝90°，即∠MCO＝90°， ∵OC为⊙O的半径，∴MC为⊙O的切线．
第1题图Βιβλιοθήκη (2)若BD平分∠ABE，求证：AD2 ＝ DF·DB.
(2)∵BD平分∠ABE，
∴∠EBD＝∠DBA，
又∵∠EBD＝∠EAD，
∴∠DBA＝∠EAD，
又∵∠FDA＝∠ADB， ∴△FDA∽△ADB，∴ AD FD ，
BD AD
∴AD2＝DF·DB.
第1题图
2. (2018孝感23题10分)如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交
第2题图
又∵OD为⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；
(2)已知BD＝2 5 ，CF＝2，求AE和BG的长． (2)解：如图，连接BE，由(1)知BD＝CD， ∵BD＝2 5，∴CD＝BD＝ 2 5 ， ∵CF＝2，∴DF＝ (2 5)2 22 ＝4， ∵∠BEA＝∠DFC＝90°， ∴DF∥BE， ∵CD＝BD， ∴DF是△CBE的中位线， ∴BE＝2DF＝8，
OB＝OB ∴△BOE≌△BOC(AAS)，∴EO＝CO. ∵OC是⊙O的半径，∴EO是⊙O的半径． ∵OE⊥AB，∴AB为⊙O的切线．
E
例4题图
满分技法 当直线与圆的公共点不确定时，常用的方法有： 1．当有角平分线时，可利用角平分线的性质，来证明所作垂线段等于 半径； 2．当存在线段相等、角相等等条件时，通过构造直角三角形，利用直 角三角形的性质，来证明所作垂线段等于半径．
例2题图
∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠ACO， ∴∠COD＝∠BOD， ∵OD＝OD，OC＝OB， ∴△COD≌△BOD(SAS)， ∴∠DCO＝∠DBO＝90°， ∵OC为⊙O的半径， ∴CD为⊙O的切线．
例2题图
满分技法 当切点确定时，常连接圆心与切点，证所连半径与直线垂直． 1.当图中有90°角时：①利用等角代换证得垂直；②利用平行线证得垂 直；③利用三角形全等证得垂直； 2.当图中没有90°角时，需要构造：①若图中有已知直径，则利用直径 所对的圆周角是90°，构造直角；②若图中有等腰三角形，则利用等腰 三角形“三线合一”的性质构造直角．
5年真题精选
命题点 与切线判定有关的证明与计算(黄冈2考；孝感2考；咸宁
3考)
1. (2020黄冈21题7分)已知：如图，AB是⊙O的直径，
点E为⊙O上一点，点D是 AE上一点，连接AE并延长
至点C，使∠CBE＝∠BDE，BD与AE交于点F.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
第1题图
证明：(1)∵AB是⊙O的直径， ∴∠BEA＝90°， 在Rt△BEA中，∠EBA＋∠BAE＝90°， 又∵∠BDE＝∠BAE，∠CBE＝∠BDE， ∴∠BAE＝∠CBE， ∴∠EBA＋∠CBE＝90°，即∠ABC＝90°， ∴BC⊥AB， 又∵AB为⊙O的直径， ∴BC是⊙O的切线；
∵AD⊥BD，∴∠D＝90°. ∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∠AOD＋∠OAD＝90°. ∵∠AOD＝∠BAD，∴∠ABD＝∠OAD. 又∵BC为⊙O的切线， ∴AC⊥BC. ∴∠BOC＋∠OBC＝90°.
E
例4题图
∵∠BOC＝∠AOD， ∴∠OBC＝∠OAD＝∠ABD.
∠OEB＝∠OCB 在△BOE和△BOC中， ∠EBO＝∠CBO ，
第2题图
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，∴cos C＝cos ∠ABC，
∴ CF BD ，∴ 2 2 5 ，
CD AB
2 5 AB
∴AB＝10，∴AE＝ 102 82 ＝6，
∵DF∥BE，
∴△AEB∽△AFG，∴
AB AG
AE AF
，
∵A解B题＝A关C键＝点10，AF＝AC－CF＝8， ∴连1接0 1B0BEG，易86得，D∴F为BG△＝BE130C.的中位线．
∟
E 例3题图
∴△CBD≌△EBD(AAS)，
∴CD＝DE， ∵CD是⊙D的半径， ∴DE是⊙D的半径， ∵DE⊥AB， ∴AB是⊙D的切线．
∟
E 例3题图
例4 如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC长为半径 作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO，交BO的延长线于点D，且 ∠AOD＝∠BAD.求证：AB为⊙O的切线． 证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E，
BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点F，交AB的延长线于点G.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(1)证明：如图，连接OD，AD，
∵AB＝AC，AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∴BD＝CD，
∵OA＝OB，∴OD为△BAC的中位线，∴OD∥AC， ∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，
人教版2023中考数学第一轮复习
第6单元 微专题
中考小专题 切线的判定 1 考点精讲 2 重难点分层练
3 5年真题精选
考点精讲
判定定理：过半径外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
判定方 法
1.直线与圆有公共点：连半径，证垂直； 2.直线与圆无公共点：作垂直，证半径
重难点分层练
类型一 切点确定，连半径，证垂直