2025年广东省初中学业水平考试数学试卷试题(含答案详解)

2025年广东省初中学业水平考试
数学
本试卷共6页；24小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．下列整式与2ab为同类项的是（）
A．2a b B．2
2ab
C．ab D．2ab c
2．面积为9的正方形，其边可以表示为（）
A B．9的平方根
C．9的算术平方根D．9的立方根
，的长度都为2m（连接处的长度忽略不计），则B，C两点3．如图，人字梯的支架AB AC
之间的距离可能是（）
A．3m B．4.2m C．5m D．6m
4．如图，这是一副“骰子”的展开图，下列选项中的点数在骰子上相对应的是（）
A ．1和5
B ．2和4
C ．1和6
D ．3和1
5．小明拿一个等边三角形木框在太阳下玩耍，发现等边三角形木框在地面上的投影不可能是（）
A ．
B ．●
C ．
D ．
6．
某同学在学习整式的概念后，用下列几幅图来表示各部分之间的关系，与其符合的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．在平面直角坐标系中，将点()a b ，先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，最后所得点的坐标是（）
A ．()
12a b --，B ．()
12a b -+，C ．()
12a b +-，D ．()
12a b ++，8．已知方程组2122x y x y +=⎧⎨+=⎩
，则x y +=（）
A ．1
-B ．0
C ．1
D ．2
9．小华在商场购物，获得两张奖券，已知两张奖券中奖的概率分别为1
2，15
，则小华恰中1
张奖券的概率为（）A ．
35
B ．
710
C ．1
2
D ．
110
10．甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作
总量为1，工作进度如右表：则完成这项工作共需（
）
天数第3天
第5天
工作进度14
12
A ．9天
B ．10天
C ．11天
D ．12天
二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．
11．计算：sin 45cos 60cos 45︒︒-︒=
．
12．水由氢原子和氧原子组成，其中氢原子的直径约为0.0000000001m ，这个数据用科学记数法表示为
．
13．鱼缸里饲养A B 、两种鱼，A 种鱼的生长温度x C ︒的范围是2028x ≤≤，B 种鱼的生长温度
x C ︒的范围是1925x ≤≤，那么鱼缸里的温度x C ︒应该控制在
范围内
14．古希腊一位庄园主把一边长为a 米（4a >）的正方形土地租给老农，第二年他对老农说：“我把这块地的一边增加4米，相邻的一边减少4米，变成长方形土地继续租给你，租金不变”后来老农发现收益减少，感觉吃亏了．聪明的你帮老农算出土地面积其实减少了平方米．
15．如图，在ABC V 中，4AB =，D 为AB 上的一点，DE BC ∥，且交AC 于点E ．连接CD ，设ABC V 的面积为S ，DEC 的面积为S '，当AD m =时，S S
'
的值为．（用代数式表
示）
三、解答题（一）：本大题共3小题；每小题6分，共18分．
16．已知函数13y x =+，22y x =-+．求满足条件的x 的取值范围：1224y y -≤．17．如图，边长为a ，b 的两个正方形并排放在一起，当16a b +=，60ab =时，用因式分解的知识求出阴影部分的面积．
18．已知杜鹃花宜居在17~20℃℃的环境中，某山区要种植杜鹃花．已知平均气温为20℃，且海拔每上升100米，气温就下降0.6℃．山脚的海拔的取值范围是多少？
四、解答题（二）：本大题共4小题；每小题8分，共36分．
19．某区为调查学生安全知识水平，对某一所学校选取了20人进行了测试．成绩分别为图表所示．成绩/分888990919596979899学生人数
2
1
a
3
2
1
3
2
1
(1)已知统计图属于______图，易于显示______的差别．
(2)表格中a 的值为______，若设测评成绩及其中位数为x ，k ．若8090x ≤<为成绩合格，
9097x ≤<为成绩良好，97100x ≤<为成绩优秀．请求出图中m ，n 以及k 的值．
20．数学与现实生活密切相关，著名数学家指出：“问题是数学的心脏”，我们要学会运用数学知识解决实际问题．【问题一】
已知y 轴上的一点A 到点()1,5B ，()3,4C 的距离相等．写出点A 的坐标______．设立点A 坐标列的方程属于______方程．【问题二】探究多边形的性质
（1）以线段7a =，8b =，9c =，10d =为边作多边形，可以做______个．
（2）已知一直角边和斜边，用尺规作直角三角形，已知线段a ，c ．求作ABC V ，使90C ∠=︒，
BC a =，AB c =．这个所求作的直角三角形就是唯一的三角形．
（3）下列讨论正确的是______（多选）
a ．平面内，经过平行四边形对角线的交点的直线，不一定能平分它的面积
b ．已知a ∠的度数为6032'︒，则a ∠的余角的度数为2958'︒
c ．圆锥的三视图中没有矩形
d ．某工厂为挑出多边形图形瓷砖，用排除法选出不符合要求的正多边形内角和度数，不符合的内角和度数为1200︒21．综合与实践
【主题】多边形的稳定性【素材】
平行四边形连杆式是常见的机械部件，当连杆移动时，两对边始终保持平行，能方便地进行往返运动，这一设计源于平行四边形证明的性质．【实践探索】
()1如图1，这是某同学推荐的一幅实例设计图，你认为合理吗？请说明你的理由．
()2如图2，一个正方形教具，使其发生形变（如图），若正方形教具边长为10cm ，
30D '∠=︒．问：四边形的面积减少了多少？
【拓展应用】
()3如图3，一张多档位可调节靠椅，其档位调节示意图如图4所示，已知两支脚
0.7==AB AC 米，0.84=BC 米，O 为AC 上固定连接点，靠背0.7OD =米，档位为Ⅰ档时，
OD AB ，档位为Ⅱ档时，OD AC '⊥，靠背顶端D 向后靠的水平距离（即EF ）为______．
22．
我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上的点的对应关系．用直线上的点位置刻画圆上点为位置．如图，AB 是O 的直径，直线l 是O 的切线，B 为切点，P ，Q 是圆上两点（不与点A 重合，且在直径AB 的同侧），分别作射线AP ，AQ 交直线l 于点C 、D ．
(1)如图1，当6AB =，弧BP 长为π时，求BC 的长．
(2)如图2，当
34AQ AB =， BP PQ =时，求BC
CD
的值．五、解答题（三）：本大题共2小题；第23小题12分，第24小题13分，共25分．
23．学习小组探究一元二次方程的新解法．
（1）运用函数与方程的思想，通过观察反比例函数3
y x
=与一次函数3y x =-的图象，可判断方程2230x x --=的根的情况．【解答过程】∵①；
∴方程两边同时除以x ，得3
30x x
--=．移项，得33x x
-=，∴3
y x
=，②；
观察函数图象，若③，则方程有两个不相等的实数根．
（2）运用转化思想，将方程20ax bx c ++=变形为()()0mx n px q ++=后可得0mx n +=或0px q +=，从而解得原方程的根为1n
x m
=
，2x q p =-，当1a =时，方程的两根1x ，2x 可使
20ax bx c ++=变形为①．
【实际应用】
运用从上方法可解方程2262x x -=，直接写出因式分解的结果②．
（3）运用数形结合的思想，从赵爽的《勾股图方注》解答，解22350x x +-=为例，将其变形为()235x x +=，画出四个长为2x +，宽为x 的图形．以图1的方式拼成一个“空心大正方形”，由图中大正方形的面积为()2
2x x ++，还可以表示四个矩形与一个边长为2的小正
方形面积之和，即()2
4224354x x ++=⨯+，可得方程2212x +=，5x =，不过这种做法只
能得到方程的一个正根．
对于形如2x ax b +=的一元二次方程可用于构造图2来解，已知图2是一个由四个面积为3的全等的矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么该方程的系数a ，b 分别为多少？并求得方程的一个正根，写出完整的解答过程．
24．
【概念认知】：城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy ，对两点A(1x ，1y )和B(2x ，2y )，用以下方式定义两点间距离：d(A ，B)＝12x x -＋12y y -．
【数学理解】：
（1）①已知点A(﹣2，1)，则d(O ，A)＝；②函数24y x =-+(0≤x≤2)的图像如图①所示，B 是图像上一点，d(O ，B)＝3，则点B 的坐标是．
（2）函数4
y x
=(x ＞0)的图像如图②所示，求证：该函数的图像上不存在点C ，使d(O ，C)＝3．
（3）函数257y x x =-+(x≥0)的图像如图③所示，D 是图像上一点，求d(O ，D)的最小值及对应的点D 的坐标．
【问题解决】：
（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）
1．B
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，结合选项求解．
【详解】解：由同类项的定义可知，a 的指数是1，b 的指数是2．A 、a 的指数是2，b 的指数是1，与2ab 不是同类项,故选项不符合题意；B 、a 的指数是1，b 的指数是2，与2ab 是同类项,故选项符合题意；C 、a 的指数是1，b 的指数是1，与2ab 不是同类项,故选项不符合题意；
D 、a 的指数是1，b 的指数是2，c 的指数是1，与2ab 不是同类项,故选项不符合题意．故选：B ．
【点睛】此题考查了同类项，判断同类项只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．2．C
【分析】本题考查了算术平方根、平方根以及立方根的求解，熟记相关结论即可．
【详解】解：∵面积为99的算术平方根，故选：C 3．A
【分析】根据三角形任意一边小于其它两边两边之和求出BC 的取值范围，判断各选项即可得的答案．本题主要考查了三角形的三边关系，掌握据三角形任意一边小于其它两边两边之和是解决问题的关键．【详解】解：2m AC AB == ，
2222BC ∴-<<+，
即04BC <<．
只有A 选项数值满足上述的范围，故选：A ．4．C
【分析】本题考查了正方体相对两面上的字，选择任意一个面作为正方体的底面，将展开图折叠即可求解．
【详解】解：若以“6”为正方体的下底面，则“1”为上底面；“2”、“5”分别为正方体的左右侧面；
“4”、“3”分别为正方体的前后面；故选：C ．5．B
【详解】竖直向下看可得到线段，沿与平面平行的方向看可得到C ，沿与平面不平行的方向看可得到D ，不论如何看都得不到一点．故选B ．6．D
【分析】本题考查了代数式、整式、多项式和单项式的相关概念，代数式包含整式，整式是包含单项式和多项式的集合，而单项式和多项式是独立的子类，不互相包含．据此即可求解.【详解】解：∵代数式包含整式，整式是包含单项式和多项式的集合，而单项式和多项式是独立的子类，不互相包含．故选：D ．7．A
【分析】本题考查坐标与图形变化．根据点的坐标平移规则“左减右加，上加下减”求解即可．【详解】解：将点()a b ，向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的点的坐标是()12a b --，，故选：A ．8．C
【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据方程组中两个未知数的系数和相等，把两个方程相加可得333x y +=，再把等式两边同时除以3即可求出结果．
【详解】解：2122x y x y +=⎧⎨
+=⎩①②
+①②得：333x y +=，
等式两边同时除以3可得：1x y +=．故选：C ．9．C
【分析】本题考查了概率的计算，根据两张奖券中奖的概率分别为1
2，15
，进行求解即可，
掌握概率的计算是解题的关键．
【详解】解：∵两张奖券中奖的概率分别为1
2
，
1
5，
∴小华恰中1张奖券的概率为11111
11
25252⎛⎫⎛⎫
⨯-+-⨯=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，
故选：C．
10．A
【详解】设乙自己做需x天，甲自己做需3÷=12天，
根据题意得，2（+）=﹣
解得x=24
则还需÷（+）=4天
所以完成这项工作共需4+5=9天
故选A．
11．
4
-
【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．将特殊角的三角函数值代入求解即可．
【详解】解：sin45cos60cos45
︒︒-︒
1
222
=-
42
=-
4
=-，
故答案为：
4
-．
12．1×10-10
【分析】根据科学记数法的定义进行求解即可．
【详解】根据题意得：0.0000000001m=1×10-10（m）．
故答案为1×10-10．
【点睛】本题考查科学记数法，其形式为：a×10n（1≤a＜10，n为整数）．
13．2025
x≤≤
【分析】根据题意列出不等式组，求不等式组解集的公共部分即可．
【详解】解：由题意20281925
x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解得：20≤x≤25，故答案为：20≤x≤25．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出不等式组．关键是掌握解集的规律：“同大取大，同小取小，大小小大取中间”进行分析求解．
14．16
【分析】本题主要平方差公式与几何图形的知识，正确理解题意列出代数式并计算是解题的关键．
分别求出变化前后2次的面积，作差即可．
【详解】原来的土地面积为2a 平方米，第二年的面积为()()24416a a a +-=-，
∵()
221616a a =--，∴减少了16平方米，
故答案为：16．
15．2416
m m -+【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，先根据平行线得出ADE ABC △△∽，由AD m =，4AB =，得到4BC DE m =
，设ABC V 的高为h ，进而得到DEC 的高为444
m m h h h --=，进而即可求解．【详解】解： DE BC ∥，
∴ADE ABC △△∽，
AD DE AB BC
∴=， AD m =，4AB =，∴4BC DE m
=，设ABC V 的高为h ，同理得：DEC 的高为444m m h h h --
=，∴2144241162
m h DE S m m S h BC -⎛⎫⨯⋅ ⎪-+'⎝⎭==⋅，
故答案为：2416
m m -+．16．0
x ≤【分析】本题考查了求自变量的取值范围，涉及了一元一次不等式的求解，由题意得()()12432322y y x x x --==+-++，即可求解；
【详解】解：∵13y x =+，22y x =-+．
∴()()124323
22y y x x x --==+-++，由344x +≤解得：0x ≤，
17．38
【分析】本题考查了因式分解的应用；阴影部分面积等于两个正方形面积减去两个直角三角形面积，整理后将a b +与ab 的值代入计算即可求出值．【详解】解：根据题意得：()2221122
S a b b a a b =+--+阴影部分2222
111222
a b b ab a =+---()
2212a b ab =+-()2132a b ab ⎡⎤=+-⎣
⎦把1660a b ab +==，代入得：38S =阴影部分．
故图中阴影部分的面积为38．
18．0~500米
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高x 米的山坡上，根据题意列出不等式即可求解，根据题意列出不等式是解题的关键．
【详解】解：设这种杜鹃花应种在比山脚的海拔高x 米的山坡上，由题意得，200.617100
x -
⨯≥，解得500x ≤，
答：山脚的海拔的取值范围是0~500米．
19．(1)扇形统计，各部分占总体的百分比的大小
(2)5，15m =，30n =，91
k =【分析】本题考查统计表和扇形统计图、中位数，理解扇形统计图的特点是解答的关键．
（1）根据扇形统计图的特点解答即可；
（2）由抽样调查人数减去其它已知人数可求得a 值；再根据对应人数除以抽样调查总人数可求解m 、n 值，然后利用中位数的定义求解k 值即可．
【详解】（1）解：由题意，已知统计图属于扇形统计图，易于显示各部分占总体的百分比的大小，
故答案为：扇形统计，各部分占总体的百分比的大小；
（2）解：由题意，()20213213215a =-+++++++=，
成绩合格人数为213+=（人），则3%100%15%20m =
⨯=，成绩优秀人数为3216++=（人），6%100%30%20
n =
⨯=，∴15m =，30n =，
∵20个数据从小到大排列，处于第10个和第11个数据都是91，∴中位数9191912k +==．故答案为：5a =．
20．问题一：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，一元一次；问题二：（1）无数；（2）见解析；（3）c 、d 【分析】问题一：设()0,A y ，根据题意列出方程，解方程即可得解；
问题二：（1）根据四边形的性质即可得解；
（2）根据尺规作图—基本作图的方法，结合题意作图即可；
（3）根据平行四边形的性质、余角、圆锥、多边形的内角和公式逐项分析即可得解．
【详解】解：问题一：设()0,A y ，
∵y 轴上的一点A 到点()1,5B ，()3,4C 的距离相等，
∴22AB AC =，
∴()()22
221534y y +-=+-，
整理得：21y =，∴12y =，∴10,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
；设立点A 坐标列的方程属于一元一次方程；
问题二：（1）根据四边形具有不稳定性可得：以线段7a =，8b =，9c =，10d =为边作多边形，可以做无数个；
（2）如图：ABC V 即为所作，
；
（3）a ．平面内，经过平行四边形对角线的交点的直线，一定能平分它的面积，故原说法错误，不符合题意；
b ．已知a ∠的度数为6032'︒，则a ∠的余角的度数为9060322928''︒-︒=︒，故原说法错误，不符合题意；
c ．圆锥的三视图中没有矩形，原说法正确，符合题意；
d ．令()21801200n -⨯︒=︒，解得：8.7n ≈，不是整数，故某工厂为挑出多边形图形瓷砖，用排除法选出不符合要求的正多边形内角和度数，不符合的内角和度数为1200︒，原说法正确，符合题意；
故正确的有c 、d ．
【点睛】本题考查了两点间的距离、平行四边形的性质、作图—基本作图、多边形内角和公式、求余角等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
21．()1合理，理由见解析；
()2250cm ；
()30.14米．
【分析】()1根据平行四边形的性质可得，A B C D =''''，B C A D =''''，当连杆移动时，始终保持：A B C D =''''，B C A D =''''，所以四边形A B C D ''''是平行四边形，两组对边始终保持平行；
()2过点A '作A E BC '⊥，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可以求出5A E '=，根据菱形的面积公式求出50A BCD S ''=菱形，根据正方形的面积公式可以求出1010100ABCD S =⨯=正方形，从而可以求出它们的面积之差；
()3过点A 作AG BC ⊥，过点O 作OH BC ⊥，作OM D F ⊥'于点M ，交D 于点N ，可得四边形ONEH 和OMFH 是矩形，根据矩形的性质可得它们的对边相等，根据等腰三角形的性质和勾股定理可以求出0.56AG =，利用全等三角形的性质可得0.42BG ON HE ===米，0.56AG OM HF ===米，从而可以求出0.14EF HF HE =-=米．
【详解】()1解：合理．
理由：如下图所示，其中A B C D ''''是平行四边形，A B C D =''''，B C A D =''''，当连杆移动时，始终保持：A B C D =''''，B C A D =''''，
根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
可得：四边形A B C D ''''是平行四边形，
∴两组对边始终保持平行，
∴这个同学的设计合理；
()2解：如下图所示，过点A '作A E BC '⊥，
四边形ABCD 是正方形，
AD DC CB AB ∴===，
当四边形发生形变时，AD DC CB AB ===始终不变，
∴四边形ABCD 是菱形，
30D ∠︒'= ，
30A BC ∴='∠︒，
1110522
A E A
B ∴==⨯='，·10550A BCD S A E B
C ''∴==⨯'=菱形，
又1010100ABCD S =⨯=正方形，
∴四边形的面积减少了21005050cm -=；
()3解：如下图所示，过点A 作AG BC ⊥，过点O 作OH BC ⊥，作OM D F ⊥'于点M ，交D 于点N
，
则四边形ONEH 和OMFH 是矩形，
OM HE ∴=，ON HE =，
0.7AB AC == 米，0.84BC =米，
10.422
BG CG BC ∴===
米，0.56AG ∴===米，
AB OD ，BC OM ，
ABG DON ∴∠=∠，
在ABG 和DON 中90ABG DON AGB DNP AB DO ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
ABG DON ∴ ≌，
0.42BG ON HE ∴===米，
OD AC '⊥ ，
90D OM MOC ∴∠+∠='︒，
OM BC ，
MOC ACG ∴∠=∠，
90ACG CAG ∠+∠=︒ ，
CAG DOM ∴∠=∠，
在ACG 和OD M ' 中CAG D OM AGC OMD AC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠'='⎨'⎪⎩
，
ACG OD M ∴' ≌，
0.56AG OM HF ∴===米，
0.560.420.14EF HF HE ∴=-=-=米．
故答案为：0.14米．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形．
22．
(1)(2)3
4
【分析】（1）根据扇形的弧长公式即可求出BOP ∠度数，利用切线的性质和解直角三角形即可求出BC 的长；
（2）根据等弧所对圆周角相等推出BAC DAC ∠=∠，再根据角平分线的性质定理推出CF CB =，利用直角三角形的性质即可求出FCD BAQ ∠=∠，通过等量转化和余弦值可求出答案．
【详解】（1）解：连接OP ，设BOP ∠的度数为n
，
6AB =， BP
长为π，∴π3π180
n ⋅⋅=，60n ∴=︒，即60BOP ∠=︒，1302BAP BOP ∴∠=
∠=︒， 直线l 是O 的切线，
90ABC ∴∠=︒，
tan tan30BC BAP AB
∴∠=︒=，
6
BC =，
解得BC =；
（2）如图2，连接BQ ，过点C 作CF AD ⊥于F ，
AB 为直径，
90BQA ∴∠=︒，
3cos 4
AQ BAQ AB ∴∠==， BP
PQ = ，BAC DAC ∴∠=∠，
,CF AD AB BC ⊥⊥ ，
CF BC ∴=，
90,90,
BAQ ADB FCD ADB ∠+∠=︒∠+∠=︒ FCD BAQ ∴∠=∠，
3cos cos 4
BC FC FCD BAQ CD CD ∴==∠=∠=．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形以及三角函数、切线的性质定理、扇形的弧长公式，角平分线性质定理等，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理和相关计算公式．
23．（1）0x ≠，3y x =-，两函数图象有两个交点；（2）()()120x x x x --=，
20x x ⎛= ⎝⎭⎝⎭
；（3）2a =±，3b =，方程的一个正根为1或3．【分析】（1）根据等式的性质和函数图象性质即可求解；
（2）按照仿例即可求解；
（3）按照仿例即可求解；
本题考查了函数图象与一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：①由2230x x --=得，
∵0x ≠；
∴方程两边同时除以x ，得330x x --
=．移项，得33x x -=
，设3y x
=，3y x =-，∴观察函数3y x =-与3y x =图象，
∴两函数图象有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，
故答案为：0x ≠，3y x =-，两函数图象有两个交点；（2）解：①∵当1a =时，方程的两根1x ，2x ，可使20ax bx c ++=，∴()()120x x x x --=，
故答案为：()()120x x x x --=；
②∵2262x x -=，
∴()2232x x -=，∴22233232122x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-+=⨯+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，
∴2
23222x ⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴20x x ⎛= ⎝⎭⎝⎭，
20x x ⎛= ⎝⎭⎝⎭，
故答案为：()()120x x x x --=，332022x x ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
；（3）解：∵2x ax b +=，
∴()x x a b +=，如图，
设四个全等小矩形的长为x a +，宽为x ，面积设为b ，大正方形的面积是()2
x x a ++，其中它又等于四个矩形的面积加中间小正方形的面积，即24b a ⨯+，
∵图2是一个由四个面积为3的全等的矩形构成，中间围成的正方形面积为4，
∴3b =，24a =，解得：2a =±，
当2a =时，()22434x x ++=⨯+，
∴24x x ++=，解得：1x =，
∴方程的一个正根为1；
当2a =-时，()22434x x +-=⨯+，
∴24x x +-=，解得：3x =，
∴方程的一个正根为3；
∴方程的一个正根为1或3．
24．（1）【数学理解】：①3，②(1，2)；（2）见解析；（3）()d O D ，有最小值3，此时点
D 的坐标是
（2，1）；【问题解决】：（4）先沿MN 方向修建到H 处，再沿HE 方向修建到E 处，见解析.
【分析】（1）①根据定义可求出d （O ，A ）＝|0＋2|＋|0−1|＝2＋1＝3；②由两点间距离：d （A ，B ）＝|x 1−x 2|＋|y 1−y 2|及点B 是函数y ＝−2x ＋4的图象上的一点，可得出方程组，解方程组即可求出点B 的坐标；
（2）由条件知x ＞0，根据题意得4=3x x +，整理得x 2−3x ＋4＝0，由△＜0可证得该函数的图象上不存在点C ，使d （O ，C ）＝3．
（3）根据条件可得|x|＋|x 2−5x ＋7|，去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值；（4）以M 为原点，MN 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，将函数y ＝−x 的图象沿y 轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E ，过点E 作EH ⊥MN ，垂足为H ，修建方案是：先沿MN 方向修建到H 处，再沿HE 方向修建到E 处，可由d （O ，P ）≥d （O ，E ）证明结论即可．
【详解】解：（1）①由题意得：d （O ，A ）＝|0＋2|＋|0−1|＝2＋1＝3；
②设B （x ，y ），由定义两点间的距离可得：|0−x|＋|0−y|＝3，
∵0≤x≤2，
∴x ＋y ＝3，
∴324
x y y x ⎧⎨-⎩＋＝＝＋，解得：x ＝1，y ＝2，
∴B （1，2），
（2）假设函数()40y x x
=>的图像上存在点()C x y ，，使()3d O C =，.根据题意，得4003x x -+
-=.因为0x >，所以
4440,00x x x x x
>-+-=+.所以4=3x x +.方程两边乘x ，得243x x +=.
整理，得2340x x -+=.
因为()2
21344341470a b c b ac ==-=-=--⨯⨯=-<，，，，
所以方程2340x x -+=无实数根.所以函数()40y x x =>的图像上不存在点C ，使()3d O C =，.（3）设()D x y ，.
根据题意，得()22057057x x x x x d O D x -+-+-=+-=+，.因为2
25357024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，又0x ，所以()()2
22257574723d x x x x x x O x x D x +-+=+-+=-+=-=+，.
所以当2x =时，()d O D ，有最小值3，此时点D 的坐标是()21，
.（4）如图，以M 为原点，MN 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .将函数y x =-的图像沿y 轴正方向平移.直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止.设交点为E ，过点E 作EH MN ⊥，垂足为H .修建方案是：先沿MN 方向修建到H 处，再沿HE 方向修建到E 处.理由：设过点E 的直线1l 与x 轴相交于点F .在景观湖边界所在曲线上任取一点P ，过点P 作直线212l l l ∥，与x 轴相交于点G .因为45EFH ︒∠=，所以
()=EH HF d O E OH EH OF =+=，，.同理()d O P OG =，.因为OG OF ，所以
()()d O P d O E ，， .因此，上述方案修建的道路最短.
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及的知识点有新定义，解方程（组），二次函数的性质，一次函数与反比例函数等，涉及知识点较多，较为复杂，熟练掌握相关知识是解题关键．。