最新-浙江省瑞安市十校2018届高三数学上学期期中联考

浙江省瑞安市十校2018届高三上学期期中联考试题（数学理）
一、选择题（本大题有10小题, 每小题5分, 共50分） 1．设集合2{|0},{|||2},M x x x N x x =-<=<则（ ） A ．M
N φ= B ．M
N M = C ． M
N M = D ．M N =R
2．设复数
z 满足2iz i =-(i 为虚数单位），则z = （ ）
A ． 12i --
B ．12i -
C ．12i +
D ．12i -+ 3．函数1cos 2y x =+的图象（ ）
A ．关于x 轴对称
B ．关于原点对称
C ．关于点(
,0)4
π
对称 D ．关于直线2
x π
=
对称
4. 设a 与b 是两个不共线向量，且向量a b λ+与()
2b a --共线，则实数λ的值等于（ ） A ． 2 B ．
1
2 C ． 2- D ．1
2
- 5. 如面是一个算法的程序框图，当输入的x 值为3时，输出y 的结果恰好是
3
1
，则空白框处的关系式可以是 （ ） A ．3x y = B ．x y -=3
C ．x
y 3= D ．3
1x y = 6、下列函数中，在(0,
)2
π
上有零点的函数是（ ）
A ()sin f x x x =-
B 2
()sin f x x x π
=-
C 2
()sin f x x x =- D 2
2
()sin f x x x π
=-
7、如果对于任意实数x ,x <>表示不小于x 的最小整数，例如 1.12, 1.11<>=<->=-，那么“||1x y -<”是“x y <>=<>”的 （ ）
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
8、设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线
右支于不同的两点M 、N ．若△1MNF 为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ）
A.
9、已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ⋅的最小值为 （ ）
A. 3-+3-4-+ D. 42-+
10、若设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有
x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数。

如果定义域为R 的函数
()f x 是奇函数，当0x ≥时，22()||f x x a a =--，且()f x 为R 上的4高调函数，那么
实数a 的取值范围是（ ）
A ．10<<a
B ． 22<<-a
C ．11≤≤-a
D ．22≤≤-a
二．填空题: 本大题有7小题, 每小题4分, 共28分． 把答案填在答题卷的相应位置． 11．在△ABC 中，若∠B ＝60°，sinA=
3
1
，BC ＝2，则 AC ＝ ▲ 12．若公比为q 等比数列{a n }的前n 项和S n 满足:1n a +＝a 1 S n ＋1(n ∈N *
), 则q = ______ ▲___ 13. 曲线x x y +=
331在点⎪⎭
⎫
⎝⎛34,1处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ▲ 14．定义在R 上的函数()x f 满足()()()()⎩⎨
⎧
>---≤-=0,210
,8lo g 2x x f x f x x x f ，则()3f 的值为__
▲ ．
15、若数列{}n a 的通项公式2
1
(1)n a n =
+，记122(1)(1)
(1)n n C a a a =---，试通过计算
1C ，2C ，3C 的值，推测出n C = ▲
16．非零向量,a b 满足2
2
2,||||2a b a b a b ⋅=⋅+=，则a 与b 的夹角的最小值是__ ▲ 17．在平面区域{}
(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为__▲ _
三、解答题：（共5大题72分）
18、（14分）已知函数4
3
)3
cos(sin 3)(+
+
=π
x x x f ． (Ⅰ) 求函数)(x f 的单调递增区间；
(Ⅱ) 已知ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若0)(=A f ，2,3==b a ，求
A B C ∆的面积S
19、（14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA ＝AB ＝2，M , N 分别为PA , BC 的中点． （Ⅰ）证明：MN ∥平面PCD ；
（Ⅱ）求MN 与平面PAC 所成角的正切值．
20、（本小题满分14分）
已知数列{}n a 的首项t a =10>，1321
n
n n a a a +=
+，1
2n =，， （1）若53
=t ，求证11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
是等比数列并求出{}n a 的通项公式；
（2）若n n a a >+1对一切*N n ∈都成立，求t 的取值范围。

21、(15分)如图，已知直线1:2(0)l y x m m =+<与抛物线21:(0)C y ax a =>和
圆
222:(1)5C x y ++=都相切，F 是1C 的焦点.
（1）求m 与a 的值；
（2）设A 是1C 上的一动点，以A 为切点作抛物线1C 的切线l ，直线l 交y 轴于点B ，以,FA FB 为邻边作平行四边形FAMB ，
证明：点
M 在一条定直线上；
（3）在（2）的条件下，记点M 所在的定直线为2l ，直线2l 与y 轴交点为N ，连接MF 交抛物线1C 于,P Q 两点，求NPQ ∆的面积S 的取值范围.
22、（本题满分15分）
已知函数2()ln(1)().f x x ax a x a =---∈R
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）试判断是否存在实数(1)a a ≥，使()y f x =的图像与直线1y =+无公共点（其中自然对数的底数为无理数且=2.71828…）.
数学（理科）参考答案
解（Ⅰ）4
3
)3sin sin 3cos
(cos sin 3)(+-=
ππ
x x x x f 43
sin 23cos sin 232+-=
x x x x x 2cos 432sin 43+= )3
2sin(23π
+=
x ……………………………………………… 4分 令Z k k x k ∈+
≤+
≤-
,2
23
22
2π
ππ
π
π，得Z k k x k ∈+≤≤-
,12
125π
πππ， 所以函数)(x f 的单调递增区间为Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+-
,12,125ππππ……7分 （Ⅱ） 0)(=A f ，0)3
2sin(23=+∴
π
A ，解得3π=A 或65π=A ，
又b a <，故3
π
=A …………………………………………9分
由
B
b
A a sin sin =，得1sin =
B ，则2π=B ,6π=
C ,………… 12分
所以2
3
sin 21==
C ab S ．……………………………………14分
19、如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA ＝AB ＝2，M , N 分别为PA , BC 的中点．
（Ⅰ）证明：MN ∥平面PCD ；
（Ⅱ）求MN 与平面PAC 所成角的正切值． 解：（Ⅰ）取PD 的中点E ，连接ME , CE ． ∵M , N 分别为PA , BC 的中点，
∴AD ME 21
//，AD NC 2
1//，∴NC ME //，
∴MNCE 是平行四边形，∴MN ∥CE ，……………4分
∵CE ⊆平面PCD ，MN ⊄平面PCD ，
∴MN ∥平面PCD ．…………………………………6分 （Ⅱ）作NF ⊥AC 于F ，连接MF ．
∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥NF ，又∵PA ∩AC ＝A ，
∴NF ⊥平面PAC ，∴∠FMN 是MN 与平面PAC 所成的角．………10分 在Rt △MFN 中，2222=
=
=NC FC NF ，2
2
3=-=FC AC AF ，121==PA MA ，∴2
22
22=
+=AF MA MF ， ∴1111
tan =
=∠MF NF FMN ．……………………………………………14分
20、（本小题满分14分）
已知数列{}n a 的首项t a =10>，1321
n
n n a a a +=
+，1
2n =，， （1）若53
=
t ，求证11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
是等比数列并求出{}n a 的通项公式； （2）若n n a a >+1对一切*N n ∈都成立，求t 的取值范围。

解: (1) 由题意知,0>n a ，
n
n n a a a 31211
+=
+， 32
311+=n n a a ，
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-+11
31111n n a a ， 11213a -= ……………………………… 4分 所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为23，公比为1
3的等比数列；……………5分
n n n a 3231135111
=⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-- ， 2
33+=n n
n a ……………………8分 （2）由（1）知
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+1131111n n a a ，1
311111-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-n n
t a ……………10分
由1130,21n n n a a a a +>=
+知0n a >，故1n n a a +>得
111
n n
a a +< ……………11分 M N A
B
C D
P ）
E F
即1
1111(1)()1(1)()
13
3
n
n t t --+<-+ 得1
10t
->，又0t >，则01t <<…………14分
21．(15分)如图，已知直线1:2(0)l y x m m =+<与抛物线21:(0)C y ax a =>和圆
222:(1)5C x y ++=都相切，F 是1C 的焦点.
（1）求m 与a 的值；
（2）设A 是1C 上的一动点，以A 为切点作抛物线1C 的切线l ，直线l 交y 轴于点B ，以,F A F B 为邻边作平行四边形FAMB ，证明：点M 在一条定直线上；
（3）在（2）的条件下，记点M 所在的定直线为2l ，直线2l 与y 轴交点为N ，连接MF 交抛物线1C 于,P Q 两点，求NPQ ∆的面积S 的取值范围.
21、解：（1
）d =
=，又0m < 6m ∴=-………………2分 226
y ax y x ⎧=⎨=-⎩消去y 得：2260ax x -+= 0∴∆=即16a =…………4分
(2)设200(,
)6x A x ，3
(0,)2F 切线AB 的方程为2000()63x x y x x -=-………………6分 令0x =，206x y =-即2
0(0,)6
x B -
………………7分 因此直线BM 的方程为22
000966
x x y x x -=-
………………8分 令0x x =则32y =-
∴点M 在直线3
2
y =-………………10分 （3）设直线MP 的方程为3(0)2y kx k =+≠代入26
x y =得：2
690x kx --=
126x x k ∴+=，129x x ∴⋅=- …………12分
又13
||(||||)||22
NPQ P Q P Q S PN x x x x ∆=
+=
-=(0)k ≠…………14分 (9,)S ∴∈+∞ …………14分
22、（本题满分15分） 已知函数2()ln(1)().f x x ax a x a =---∈R
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）试判断是否存在实数(1)a a ≥，使()y f x =
的图像与直线1y =+无公共点（其中自然对数的底数为无理数且=2.71828…）.
22．解：（1）函数2()ln(1)()f x x ax a x a =---∈R 的定义域是(1,).+∞……………1分 2
2()
2()21
1
a x x a
f x x a x x +-
'=--
=--，………………………………………………3分 ①若0a ≤，则
2
2()
2
21,()02
1
a x x a f x x +-
+'≤=>-在(1,)+∞上恒成立， 0a ∴≤时，()f x 的增区间为(1,)+∞………………………………………………5分
②若0a >，则
212a +>，故当2
(1,]2
a x +∈时，2
2()
2()01
a x x f x x +-
'=≤-； 当时2
[
,)2
a x +∈+∞时，2
2()
2()01
a x x f x x +-
'=≥-，…………………………………7分 0a ∴>时，()f x 的减区间为2(1,
],()2a f x +的增区间为2
[,).2
a ++∞………………8分 （2）1a ≥时，由（1）可知，
()f x 在(1,)+∞上的最小值为22()1ln .242a a a
f a +=-+-…………………10分
设22()()1ln ([1,)),242a a a
g a f a a +==-+-∈+∞
则113
()ln 1(1)ln 1ln 20,22222
a a g a g ''=---≤=---=-+<
2()1ln 42
a a
g a a ∴=-+-在[1,)+∞上单调递减，
max 3
()(1)ln 24g a g ∴==+，……………………………………………………13分
max 314
()1ln 21ln 0,44e
g a --=
+--> 存在实数(1)a a ≥使()f x
的最小值大于1+
故存在实数(1)a a ≥，使()y f x =
的图像与直线1y =+无公共点.…15分。