数学分析之函数极限
函数极限的性质和收敛准则
函数极限的性质和收敛准则函数极限是在数学分析中一个重要的概念，它包含了许多重要的性质和收敛准则。
在本文中，我们将讨论函数极限的性质和收敛准则，并详细介绍每个性质和准则的定义和证明。
一、函数极限的性质1. 唯一性性质：如果一个函数存在极限，那么它的极限是唯一的。
也就是说，如果f(x)存在极限L，则该极限是唯一的。
这个性质可以通过反证法来证明。
假设存在两个不同的数L1和L2都是f(x)的极限，即limx→a f(x) = L1和limx→a f(x) = L2、由于L1≠L2，根据极限的定义可以找到一个ε>0，使得对于任意的δ>0，当0<，x-a，<δ时，必有，f(x)-L1，<ε和，f(x)-L2，<ε，这导致矛盾。
2. 有界性质：如果一个函数存在极限，那么它在极限点的一些邻域内是有界的。
也就是说，如果limx→a f(x)存在，则存在一个正数M，使得在a的一些邻域内，有，f(x)，≤M。
这个性质可以通过极限的定义和邻域的定义来证明。
3.保号性质：如果一个函数存在极限，并且极限为L，则存在ε>0，使得当0<，x-a，<δ时，有f(x)>0或f(x)<0。
也就是说，在足够接近极限点时，函数的取值保持正号或负号。
这个性质可以通过极限的定义和邻域的定义来证明。
4. 夹逼性质：如果函数f(x)满足对于任意的x∈(a-d,a+d)，有g(x)≤f(x)≤h(x)，且limx→a g(x) = limx→a h(x) = L，那么limx→a f(x)也存在，且limx→a f(x) = L。
二、函数极限的收敛准则1. Cauchy收敛准则：如果一个函数f(x)满足对于任意的ε>0，存在一个正数δ>0，使得当0<，x-a，<δ，以及0<，y-a，<δ时，有，f(x)-f(y)，<ε。
那么函数f(x)在x→a时收敛。
函数的极限(数学分析)
第二讲 函数极限一、定义：1、00lim ()0,0:(,)|()|x x f x A x U x f x A εδδε→=⇔∀>∃>∈⇒-<；2、00lim ()0,0:0|()|x x f x A x x f x A εδδε→+=⇔∀>∃><-<⇒-<；3、00lim ()0,0:0|()|x x f x A x x f x A εδδε→-=⇔∀>∃><-<⇒-<；4、lim ()0,0:|()|x f x A M x M f x A εε→+∞=⇔∀>∃>>⇒-<；5、lim ()0,0:|()|x f x A M x M f x A εε→-∞=⇔∀>∃><-⇒-<；6、lim ()0,0:|||()|x f x A M x M f x A εε→∞=⇔∀>∃>>⇒-<；7、000lim ()(,)0,0:(,)()((),|()|)x x f x M x U x f x M f x M f x M δδ→=+∞-∞∞⇔∀>∃>∈⇒><->；8、00lim ()(,)0,0:0()((),|()|)x x f x M x x f x M f x M f x M δδ→+=+∞-∞∞⇔∀>∃><-<⇒><->；9、00lim ()(,)0,0:0()((),|()|)x x f x M x x f x M f x M f x M δδ→-=+∞-∞∞⇔∀>∃><-<⇒><->；10、lim ()(,)0,0:()((),|()|)x f x N M x Mf x N f x N f x N →+∞=+∞-∞∞⇔∀>∃>>⇒><->；11、lim ()(,)0,0:()((),|()|)x f x N M x Mf x N f x N f x N →-∞=+∞-∞∞⇔∀>∃><-⇒><->；12、lim ()(,)0,0:||()((),|()|)x f x N M x Mf x N f x N f x N →∞=+∞-∞∞⇔∀>∃>>⇒><->。
数学分析第三章函数极限
第三章 函数极限教学目的：1.使学生牢固地成立起函数极限的一样概念，把握函数极限的大体性质；2.明白得并运用海涅定理与柯西准那么判定某些函数极限的存在性；和，并能熟练运用；4.明白得无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。
教学重（难）点：本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准那么的应用。
教学时数：14学时§ 1 函数极限概念 （2学时）教学目的：使学生成立起函数极限的准确概念；会用函数极限的概念证明函数极限等有关命题。
教学要求：使学生慢慢成立起函数极限的δε-概念的清楚概念。
会应用函数极限的δε-概念证明函数的有关命题，并能运用δε-语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。
教学重点：函数极限的概念。
教学难点：函数极限的δε-概念及其应用。
一、 温习：数列极限的概念、性质等 二、 教学新课： （一）时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号: 的意义,的直观意义.概念 ( 和 . )几何意义介绍邻域其中为充分大的正数．然后用这些邻域语言介绍几何意义．例1 验证例2 验证例3 验证证……（二）时函数的极限：由考虑时的极限引入.概念函数极限的“”概念.几何意义.用概念验证函数极限的大体思路.例4 验证例5验证例6 验证证由=为使需有为使需有于是, 倘限制 , 就有例7 验证例8 验证 ( 类似有（三）单侧极限:1．概念：单侧极限的概念及记法.几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9 验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:Th类似有:例10 证明: 极限不存在.例11 设函数在点的某邻域内单调. 假设存在, 那么有=§2 函数极限的性质（2学时）教学目的：使学生把握函数极限的大体性质。
教学要求：把握函数极限的大体性质：唯一性、局部保号性、不等式性质和有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
求函数极限的方法与技巧
求函数极限的方法与技巧求函数极限是高等数学中的重要部分，也是数学分析的基础。
函数极限的求解需要运用一些方法和技巧，通过适当的方案来解除一些复杂问题。
本文将详细介绍一些常用的方法与技巧，以帮助读者更好地理解和掌握函数极限的求解。
一、函数极限的概念及性质1.1 函数极限的定义函数极限的定义是指在自变量趋于某个值的时候，因变量的取值也趋于某个值。
具体来说，对于函数f(x)，当x趋于a时，如果存在一个数L，对于任意给定的正数ε，都存在另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立，就称函数f(x)当x趋于a时的极限为L，记作lim(x→a) f(x) = L。
函数极限具有一些重要的性质，包括：唯一性、有界性、保号性和四则运算法则等。
具体来说，函数在某点处的极限是唯一的，即函数在一点的极限只有一个值；如果函数在某点处的极限存在，则函数在这一点是有界的；如果函数在某点处的极限为正值（或负值），那么函数在该点的邻域内是恒大于零（或恒小于零）的；以及函数的极限具有四则运算法则，即两个函数的和、差、积、商的极限分别等于这两个函数极限的和、差、积、商的极限。
二、求函数极限的方法2.1 代数法代数法是求函数极限的一种基本方法，通常用于求解简单的极限问题。
代数法的核心思想是利用基本代数运算性质来对原函数进行适当的变形，从而得到函数极限的解。
对于极限lim(x→a) (f(x) + g(x))，可以利用极限的唯一性和四则运算法则，将其分解为lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)的形式，然后再分别求出f(x)和g(x)在x趋于a时的极限值，最终求得原函数的极限。
2.2 几何法几何法是一种直观的方法，通常用于求解具有几何意义的极限问题。
几何法的核心思想是通过几何图形的分析和推理，来推导出函数极限的解。
对于极限lim(x→a) f(x)，可以将函数f(x)的图像画出来，然后通过图像的趋近性来判断极限的存在性和极限值。
数学分析之函数极限
2. 是不惟一的, 一旦求出了, 那么比它更小的正
数都可以充当这个角色.
3. 正数 是任意的,一旦给出,它就是确定的常数.
4. 函数极限的几何意义如图, 任给 0,对于坐标
平面上以 y =A为中心线, 宽为2 的窄带,可以找到
0, 使得曲线段
y
yf(x )x , U (x 0 , )
可以先限制 xx0 1, 因为此时有
x x 0 x x 0 2 x 0 x x 0 2 x 0
12 x0 ,
所以 x 2 x 0 2 (1 2 x 0)x x 0,故只要
xx0
12 x0
.
证 0,取min1,12x0,当 0xx0
时, 有 x2x02 .
这就证明了
limx2
limf(x)A 或者 f(x ) A (x ) .
x
lim f(x ) A 的 几 何 意 义
x
y
A
A
A
①任意给定
0
Oa
M
②存在 Ma
④ 有 A f(x ) A
x
x
③ 使 当 xM时
注 1.xl im f(x)A与 n l i m xna定 义 比 较
函数 定义域 自变量变化趋势 函数值变化趋势 定义
一、x 趋于时的函数极限 二、x 趋于x0时的函数极限
三、单侧极限
观察函 sin x数 当x时的变.化趋 x
一、x趋于时的函数极限
设函数 f (x)定义在 a, y
上,当 x 沿着 x 轴的正向 A 无限远离原点时,函数f (x)
也无限地接近A,我们就称
f (x)当 x 趋于 时以A为
O
极限.
f (x)
数学分析函数的极限与连续性
数学分析函数的极限与连续性数学分析：函数的极限与连续性在高等数学中，函数的极限与连续性是非常基本且重要的概念。
本文将从函数极限和函数连续性两个方面，简要介绍相关定义和判定方法。
一、函数的极限1. 定义设 $f(x)$ 是定义在某一区间内的函数，$x_0$ 为该区间的某一点，如果对于任何给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $\delta$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$ 时，就有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ 成立，那么就称$f(x)$ 当 $x$ 趋近于 $x_0$ 时的极限为 $A$，记为$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$。
这个定义可以简单理解为：在 $f(x)$ 函数中，当 $x$ 趋近于$x_0$ 时，$f(x)$ 的取值越来越接近于 $A$。
2. 极限的性质(1) 极限唯一性：如果 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ 存在，则极限唯一。
(2) 有界性：如果 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=A$ 存在，则$f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有界。
(3) 夹逼定理：设 $f(x),g(x),h(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义，并且当 $x$ 趋近于 $x_0$ 时，有 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ 成立，则当 $x$ 趋近于 $x_0$ 时，这三个函数的极限都存在，且有$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)\leq \lim\limits_{x\rightarrowx_0}f(x)\leq \lim\limits_{x\rightarrow x_0}h(x)$。
二、函数的连续性1. 定义设 $f(x)$ 是定义在某一区间内的函数，$x_0$ 为该区间的某一点，如果 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$ 存在且等于 $f(x_0)$，那么就称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。
数学分析3.4两个重要的极限
第三章函数极限4 两个重要的极限一、证明：limx→0sin xx=1.证：∵sinx<x<tanx(0<x<π2)，∴1<xsin x<1cos x(0<x<π2)，∴cosx<sin xx<1(0<x<π2)，又cos-x=cosx，sin−x−x =sin xx，∴对0<|x|<π2，有cosx<sin xx<1.由limx→0cosx=1，根据极限的迫敛性，limx→0sin xx=1.例1：求limx→πsin x π−x.解：令t=π-x，则sinx=sin(π-t)=sint，且当x→π时，t→0，∴limx→πsin xπ−x=limt→0sin tt=1.例2：求limx→01−cos xx2.解：limx→01−cos xx2=limx2→012sin x2x22=12，二、证明limx→∞1+1xx=e.证：设f(x)=1+1n+1n, g(x)=1+1nn+1, n≤x<n+1, n=1,2,…,则f(x)递增且有上界，g(x)递减且有下界，∴limx→+∞f x与limx→+∞g x都存在，取{x n}={n}，由归结原则得lim x→+∞f x=limn→+∞1+1n+1n=e，limx→+∞g x=limn→+∞1+1nn+1=e，又1+1n+1<1+1x≤1+1n，则1+1n+1n<1+1xx<1+1nn+1，根据迫敛性定理得limx→+∞1+1xx= e.设x=-y，则1+1x x=1−1y−y=1+1y−1y，且当x→-∞，y→+∞，从而有lim x→−∞1+1xx=limy→+∞1+1y−1y−1·1+1y−1=e.∴limx→∞1+1xx=e.注：e的另一种形式：lima→01+a1a=e.证：令a=1x ，则当a→0时，1x→∞，∴lima→01+a1a=lim1x→∞1+1xx=e.例3：求limx→01+2x1x.解：limx→01+2x1x=lim12x→∞1+2x12x2=e2.例4：求limx→01−x1x.解：limx→01−x1x=lim−1x→∞1[1+(−x)]−1x=1e.例5：求limn→∞1+1n−1n2n.解：1+1n −1n2n<1+1nn→e(n→∞)，又当n>1时有1+1n −1n2n=1+n−1n2n2n−1−nn−1≥1+n−1n2n2n−1−2→e(n→∞，即n−1n2→0).由迫敛性定理得：limn→∞1+1n−1n2n=e.习题1、求下列极限： (1)lim x →0sin 2x x；(2)limx →0sin x 3 (sin x)2；(3)lim x →π2cos xx −π2；(4)limx →0tan x x；(5)limx →0tan x −sin xx 3；(6)limx →0arctan xx；(7)lim x →+∞x sin 1x；(8)limx →asin 2 x −sin 2 ax −a；(9)limx → x +1−1(10)limx →0 1−cos x 21−cos x.解：(1)limx →0sin 2x x=lim2x →02sin 2x 2x=2；(2)lim x →0sin x 3(sin x)2=limx →0 x 3sin x 3x 3(sin x )2=limx 3→0sin x 3x3·lim x 2→0xsin x 2·lim x →0x =0； (3)lim x →π2cos x x −π2=lim x −π2→0−sin x −π2x −π2= -1；(4)limx →0tan x x=limx →0sin x x·limx →01cos x=1；(5)lim x →0tan x −sin xx 3=limx →0sinx 1cos x −1x 3=limx →0sin x·1−cos xcos x x 3=limx →02sinx 2cos x 2·2 sin x 2 2cos xx3=limx →04 sinx 2 3·cos x2cos x x3=limx →0sin x 2 3·cos x2cos x 2 x 23=lim x2→0sinx 2x 23·lim x 2→0cosx 22lim x →0cos x =12；(6)令arctan x=y ，则x=tany ，且x →0时，y →0， ∴limx →0arctan xx=limy →0ytan y =limy →0cos ysin y y=1；(7)lim x →+∞x sin 1x =lim 1x→0sin1x1x =1；(8)lim x →asin 2 x −sin 2 ax −a =limx →a sin x −sin a (sin x+sin a)x −a=limx →a2cosx +a 2 sin x −a2x −a·2sin a=limx −a2→0sinx −a2x −a 2·cos a ·2sin a= sin2a ；(9)limx →x +1−1lim x →0( x+1+1)sin 4xx=8lim4x →0sin 4x 4x=8；(10)lim x →0 1−cos x 21−cos x=limx →0 2sin x 222 sin x 22= 2limx →0sinx 22 x 22 sinx 2x 22= 2.2、求下列极限：(1)limx→∞1−2x−x；(2)limx→01+ax1x(a为给定实数)；(3)limx→01+tan x cot x；(4)limx→01+x1−x1x；(5)limx→+∞3x+23x−12x−1；(6)limx→+∞1+αxβx(α,β为给定实数)解：(1)limx→∞1−2x−x=lim−x2→∞1+1−x2−x22=e2；(2)limx→01+ax1x=lima x→01+ax1axa=e a；(3)limx→01+tan x cot x=limtan x→01+tan x1tan x=e；(4)limx→01+x1−x1x=limx→01+x1x1−x1x=limx→01+x1xlim−x→0[1+−x]1−x−1=e2；(5)limx→+∞3x+23x−12x−1=limx→+∞1+33x−16x−33=lim33x−1→0+1+33x−123x−1−13=lim33x−1→0+1+33x−123x−13lim33x−1→0+1+33x−113=e2；(6)limx→+∞1+αxβx=limx→+∞1+αxαβxα=limαx→0+1+αxxααβ=eαβ.3、证明：limx→0limn→∞cos xcos x2cos x22…cos x2n=1.证：∵cos xcos x2cos x22…cos x2n=2n+1cos xcos x2cos x22…cos x2nsin x2n2n+1sin x2n=sin 2x2n+1sin x2n=sin 2x2xsin x2nx2n=x2nsin x2n·sin 2x2x；∴当x≠0时，limn→∞ cos xcos x2cos x22…cos x2n=limx2n→0x2nsin x2n·sin 2x2x=sin 2x2x；lim x→0limn→∞cos xcos x2cos x22…cos x2n=lim2x→0sin 2x2x=1.当x=0时，cos xcos x2cos x22…cos x2n=1，∴limx→0limn→∞cos xcos x2cos x22…cos x2n=1.4、利用归结原则计算下列极限：(1)limn→∞n sinπn；(2)limn→∞1+1n+1n2n.解：(1)∵limx→∞x sinπx=limx→∞sinπxπx·x=limπx→0sinπxπx·limx→∞x=0根据归结原则，limn→∞n sinπn=0.(2)∵当x>0时，1+1x +1x2x>1+1xx→e(x→+∞)，又1+1x +1x2x=1+x+1x2x2x+1+xx+1<1+x+1x2x2x+1→e(x→+∞，即x+1x2→0)，∴limx→+∞1+1x+1x2x=e根据归结原则，limn→∞1+1n+1n2n=e.。
数学分析中求极限的方法总结
数学分析中求极限的方法总结一、数列极限：1.利用通项公式或递推公式求出数列的表达式，进而通过数学运算和性质进行极限求解；2.利用引理，例如夹逼定理、单调有界定理等，根据已知的性质以及所要求的极限关系，确定一个与之相关的已知极限，然后运用引理求解未知极限。
二、函数极限：1.利用函数的性质，例如连续性、导数性质等，结合极限的定义进行计算；2.利用夹逼定理、单调有界准则等物理建模方法，将复杂的函数极限问题转化为更简单的函数极限问题，然后求解；3.利用泰勒展开、极坐标变换、特殊函数性质等数学分析工具进行极限计算。
三、级数极限：1.根据级数极限的定义，利用极限计算原理进行求解；2.利用级数的收敛判别法，例如比较判别法、积分判别法、根值判别法等，确定级数的收敛性质，进而求解其极限。
在具体的求极限中，还可以运用以下方法和技巧：1. 运用数列极限的性质，例如子数列性质、Cauchy准则等，进行极限求解；2.将复杂的极限问题化为较为简单的形式，例如利用变量替换或函数分解等方法；3.利用数列和函数的收敛性质，例如极限的保序、保号、保比、保和等运算规则；4. 运用Stolz定理、L'Hopital法则等特殊的求极限方法；5.利用正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数等特殊函数的性质，进行计算。
最后，对于一些复杂的极限问题，如果经过常规方法无法求解，可以尝试使用数值逼近法，例如牛顿法、二分法等，来逼近极限值。
综上所述，数学分析中求极限的方法主要包括数列极限、函数极限和级数极限等多个方面。
除了利用极限的定义和性质进行计算外，还可以利用引理、准则、工具和技巧等进行解题。
在实际的极限求解中，还需要根据具体问题选择最合适的方法，灵活运用，提高解题效率。
数学分析 第二章22-1函数的极限定义、性质、
x x0
x x0
。
则 0,x U (x0, ),有f (x) g(x).
2021/3/22
13
证 lim f (x) A, lim g(x) B.
xx0
xx0
对 0, 1 0, 2 0, 当0 | x x0 | 1时,| f ( x) A | 当0 | x x0 | 2时,| g ( x) B |
只要
x x0 x0
,
即 x x0
x0 .
0, 可取 x0 ,
则当0 x x0 时,
总有 x x0 ,
lim x x0
x
x0 .
2021/3/22
9
例4
证明 lim x2 1 2 / 3. x1 2x2 x 1
证
由
f (x) A
x2 1 2x2 x
1
2 3
x1 3(2x 1)
1. 把| f(x)A|化简为| f(x)A| k |x x0| ;
2. 要| f(x)A|,只要 k |x x0| ; 3. 取 ＝1 ;
k 4. 验证.
2021/3/22
11
N定义 :
lim
x x0
f (x)
A 0
0, 对
0，
x1, 0 |
x1
x0
| , 有 |
f
(x1)
x0 处的极限.
记为 lim f ( x) A , 或者 x x0
f ( x) A( x x0 ) .
2021/3/22
4
几何意义
y
当x在x0的去心邻
域时,函数y f ( x) 图形完全落在以直
A
A
A
线y A为中心线,
函数的24种极限总结
函数的24种极限总结在数学中，函数的极限是一个非常重要的概念，它在微积分、数学分析等领域有着广泛的应用。
本文将总结函数的24种极限，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
1. 常数函数的极限。
当函数f(x) = c为常数时，其极限为lim(x→a) f(x) = c。
这是因为常数函数在任意点的取值都是常数c，因此其极限也等于c。
2. 幂函数的极限。
对于幂函数f(x) = x^n，当n为正整数时，其极限为lim(x→a) f(x) = a^n。
当n 为负整数时，其极限为lim(x→a) f(x) = 1/a^n。
当n为分数时，其极限需要根据具体情况进行计算。
3. 指数函数的极限。
指数函数f(x) = a^x的极限为lim(x→a) f(x) = a^a。
其中a为常数且大于0。
4. 对数函数的极限。
对数函数f(x) = log_a(x)的极限为lim(x→a) f(x) = log_a(a) = 1。
其中a为常数且大于0且不等于1。
5. 三角函数的极限。
三角函数sin(x)和cos(x)在其定义域内的极限都存在，分别为lim(x→0) sin(x) = 0和lim(x→0) cos(x) = 1。
6. 反三角函数的极限。
反三角函数arcsin(x)和arccos(x)在其定义域内的极限也都存在，分别为lim(x→0) arcsin(x) = 0和lim(x→0) arccos(x) = 1。
7. 双曲函数的极限。
双曲函数sinh(x)和cosh(x)在其定义域内的极限分别为lim(x→0) sinh(x) = 0和lim(x→0) cosh(x) = 1。
8. 反双曲函数的极限。
反双曲函数arcsinh(x)和arccosh(x)在其定义域内的极限也都存在，分别为lim(x →0) arcsinh(x) = 0和lim(x→0) arccosh(x) = 1。
9. 指数对数函数的极限。
指数对数函数f(x) = x^a和f(x) = log_a(x)在其定义域内的极限分别为lim(x→a) f(x) = a^a和lim(x→a) f(x) = log_a(a) = 1。
求函数极限的方法与技巧
求函数极限的方法与技巧
函数极限是数学分析中的一个重要概念，用于描述函数在某一点或无穷远处的趋势。
求函数极限的方法与技巧有很多，下面将介绍一些常用的方法：
1. 代入法：
这是最简单也是最直接的求函数极限的方法。
即将要求的极限值代入函数中计
算。
2. 等价无穷小替换法：
当函数极限形式为无穷小与无穷大相乘或相除时，可以将其替换为等价无穷小，
然后再求极限。
3. 夹逼准则：
当函数在某一区间内与两个已知函数夹在中间，且这两个已知函数极限值相等时，可以利用夹逼准则求得要求的极限。
4. 利用极限性质：
有些函数的极限可以利用基本极限性质求得，例如常见的指数函数、对数函数、
三角函数等。
5. L'Hospital法则：
当函数的分子和分母在某一点的极限都为0或者都为无穷大时，可以使用
L'Hospital法则求得函数极限。
6. 泰勒展开法：
有些函数无法直接求得极限，可以使用泰勒展开法将函数展开成一个求极限较容
易的形式，然后再求得极限。
7. 收敛性判断：
对于一些特殊的函数列，可以使用收敛性判断的方法判断函数极限是否存在。
除了以上提到的方法与技巧，还可以根据具体问题的特点，灵活应用其他的数学分析
技巧来求解函数极限。
需要注意的是，求函数极限的过程需要严格的逻辑推理、数学推导
和计算技巧，需要熟练掌握相关的数学理论和运算方法。
数学分析3.3函数极限存在的条件
x>x0
时，有
A-ε<f(x)≢f(x0)<A+ε，∴
lim f(x)=A.
x→+∞
其充分性得证。
3、(1)叙述极限 lim f(x)的柯西准则；
x→−∞
(2)根据柯西准则叙述 lim f(x)不存在的充要条件，并应用它证明 lim sinx不存在.
x→−∞
x→−∞
解：(1)设函数 f 在某 U(-∞)内有定义。 lim f(x)在的充要条件是：任给ε>0，存
1(≢δ
’)，
使当 0<|x-x0|<δ 1 时，|f(x)-A|<ε.
设{xn}⊂U⁰(x0;δ
’)且
lim
n →∞
xn
=x0，则对δ
1，有 N>0，使当 n>N
时，有 0<|xn-x0|<δ
1，
从而有|f(xn)-A|<ε.
∴ lim f
n →∞
xn
=A.
[充分性]若{xn}⊂U⁰(x0;δ ’)且 nli→m∞xn=x0，则对∀δ >0(≢δ ’)，有 N>0，
x →x 0
注：1、事实上，在证明充分性时，∵对任何 x’, x”∈U⁰(x0;δ )有|f(x’)- f(x”)|<ε；
∴所有的 xn∈U⁰(x0;δ )看作数列{xn}，则数列{f(xn)}的极限存在，记为：nli→m∞f xn =A.
则对{xn}中所有当
n→∞以
x0
为极限的子列{x’n}也有
lim f
从而有 A+ε>f(x)>f(x1)>A-ε，即|f(x)-A|<ε，∴f(x0-0)=A= sup f x ；
高等数学(数学分析)
第一章函数、极限、连续一、极限1.1数列极限的定义：∀ε>0，存在自然数N，使得当n＞N时，就有|x n−a|<ε，那么称数列{x n}收敛于a，记为limn→∞x n=a.称a为此数列的极限；极限不存在的数列称为发散数列.1.2函数极限的定义：设f(x)在a的某个去心领域有定义，A是一个实数。
如果对任一个ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x−a|<δ时，就有|f(x)−A|<ε，那么称f(x)在a处有极限A，记为limx→af(x)=A或f(x)→A(x→a).海涅定理：limx→af(x)=A的充分必要条件是，对任一满足x n→a(∀n,x n≠a)的数列，均有f(x n)→A.定理：limx→af(x)≠A成立的充分必要条件是，存在一个常数ε0>0，使得在a的任何去心邻域，都可以找到一点，满足|f(x)−A|≫ε0.1.3极限的性质及运算定理：如果f(x)在λ处极限存在，则f(x)比在λ的某去心邻域上有界。
定理：函数的极限若存在，则必唯一。
定理：若limx→λf(x)=A，limx→λf(x)=B，且A>B，则存在λ的某个去心邻域N̂λ(δ)，使得在N̂λ(δ)上，f(x)>g(x)成立。
（反之，也成立。
）定理（夹逼准则）：若f(x)≪ℎ(x)≪g(x)在λ的某个去心邻域上成立，且limx→λf(x)=limx→λg(x)=A，则limx→λℎ(x)=A。
注:（1） limx→af(x)=∞(±∞),函数f(x)为无穷大量；limx→af(x)=0，函数f(x)为无穷小量.（2）若函数极限存在，则函数的极限运算符合四则运算法则。
（3）limx→a f(x)=∞(±∞)，则limx→a1f(x)=0；lim x→af (x )=0，limx→a 1f (x )=∞(±∞).（4）若f (x )在λ的某个去心邻域上有界，g (x )当x →λ时为无穷小量，则f(x)g (x )当x →λ时也为无穷小量。
数学分析报告求极限的方法
具体方法1.利用函数极限的四则运算法则来求极限定理1①：若极限lim f (x)和lim g(x )都存在，贝U 函数f (x ) g(x )， f (x )g (x )xxx x当X X o 时也存在且①lim f (x) g(x) lim f(x) lim g(x)X 0X X oX X.o利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所 给的变量都不满足这个条件，如 一、0等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌 握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。
例1 ：求limX 1 22. 用两个重要的极限来求函数的极限sin x① 利用lim 于1来求极限令g x 0，当x x o 或x 时，贝U 有求极限的万法,2f(x) g(x )lim f(x) X X olim g(x)x x oX g若又X在XXf gX 。
时也存在，且有X /V -T/Vgm解：原式=limX 1 21lim x 2 0sin x1的扩展形为:利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。
- 般常用的方法是换元法和配指数法。
3. 利用等价无穷小量代换来求极限所谓等价无穷小量即lim 丄凶 1•称f(x)与g(x)是xx o 时的等价无穷2 x 0g(x) 小量，记作 f (x) ~ g(x) . (xx o ).limx X 0sin g x g x '亠 sin g x1或 lim glimxsin x解：令 t= x 则 sinx=sin( t)=sint, 且当 x 时 tOsin xlimxsin t .Umu 1例3 : 求 2 ”* sin x 1 伽x 1解:原式=li x m x 1 sin x 21x 1 x 1Im xsin x 2 1 x 21②利用limx1(1 ) e 来求极限xlim (1的另一种lim (11)".事实上，令0.所以elim x(1E )X "m(11)「例 4：求 li m (1x 012x)x 的极限 解：原式=lim1(1 2x)2x (1 12x)2xe 2x定理2②：设函数f (x), g(x), h(x)在u (x 0)有定义, 且有 f (x) ~ g(x) . (x X 。
数学分析3.1函数极限概念
第三章 函数极限 1 函数极限概念一、x 趋于∞时的函数极限定义1：设f 为定义在[a,+∞)上的函数，A 为定数。
若对任给的ε>0，存在正数M(≥a)，使得当x>M 时，有|f(x)-A|<ε，则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限， 记作：lim x→+∞f (x )=A 或f(x)→A(x →+∞).定义1的几何意义如右上图：正数ε越小时，一般x=M 越大；f(x)的图象右边落在x=M 与y=A+ε和y=A-ε围成的带形区域里。
设f 为定义在U(-∞)或U(∞)上的函数，A 为定数。
若对任给的ε>0，存在正数M(≥a)，使得当x<-M 或|x|>M 时，有|f(x)-A|<ε，则称函数f 当x 趋于-∞或∞时以A 为极限，记作：lim x→−∞f (x )=A 或f(x)→A(x →-∞)；lim x→∞f (x )=A 或f(x)→A(x →∞).lim x→∞f (x )=A lim x→+∞f (x )=lim x→−∞f (x )=A.例1：证明limx→∞1x=0.证：任给ε>0，取M =1ε，则当|x|>M 时，有|1x −0|=1|x|<1M =ε，∴lim x→∞1x=0.例2：证明(1)lim x→−∞arctan x =−π2；(2)lim x→+∞arctan x =π2.证：(1)任给ε>0，要使|arctan x −(−π2)|<ε，即-ε−π2<arctan x<ε−π2， ∵arctan x ≥−π2>-ε−π2，∴只须使arctan x<ε−π2，即x<tan (ε−π2)= -tan (π2−ε)， ∴对任给正数ε<π2，只要取M= tan (π2−ε)，则当x<-M 时， 便有|arctan x −(−π2)|<ε，∴lim x→−∞arctan x =−π2.(2)任给ε>0，要使|arctan x −π2|<ε，即π2−ε<arctan x<ε+π2， ∵arctan x ≤π2<ε+π2，∴只须使arctan x>π2−ε，即x>tan (π2−ε)， ∴对任给正数ε<π2，只要取M= tan (π2−ε)，则当x>M 时， 便有|arctan x −π2|<ε，∴lim x→+∞arctan x =π2.注：∵lim x→−∞arctan x =−π2≠π2=lim x→+∞arctan x ，∴lim x→∞arctan x 不存在。
数学分析函数极限
极限的数学符号表示
表示方法
lim f(x) = A 当 x→x0
符号表示的意义
表示当x趋向于x0时，f(x)趋向于A。
03
函数极限的性质
极限的四则运算性质
极限的加法性质
若lim(x→x0) f(x) = A 和 lim(x→x0) g(x) = B，则 lim(x→x0) [f(x) + g(x)] = A + B。
数学分析函数极限
• 引言 • 函数极限的定义 • 函数极限的性质 • 函数极限存在的条件 • 无穷小量与无穷大量 • 函数极限的应用
01
引言
主题简介
01
函数极限是数学分析中的一个基 本概念，它描述了函数在某一点 附近的性质和行为。
02
极限的概念是微积分的基础，对 于理解连续函数、导数、积分等 概念至关重要。
极限的减法性质
若lim(x→x0) f(x) = A 和 lim(x→x0) g(x) = B，则 lim(x→x0) [f(x) - g(x)] = A - B。
极限的乘法性质
若lim(x→x0) f(x) = A 和 lim(x→x0) g(x) = B，则 lim(x→x0) [f(x) * g(x)] = A * B。
极限的除法性质
若lim(x→x0) f(x) = A 和 lim(x→x0) g(x) = B（B≠0），则 lim(x→x0) [f(x) / g(x)] = A
/ B。
极限的唯一性
极限的唯一性定理
若lim(x→∞) f(x)存在，则lim(x→∞) f(x)只有一个值。
唯一性定理的意义
确保函数在无穷大处的行为是确定的，没有歧义。
利用函数极限求函数的值
数学分析的极限理论
数学分析的极限理论数学分析是数学的一个重要分支，它研究的是数学中的极限概念和极限性质。
极限理论是数学分析的核心内容之一，对于理解和应用数学中的各种概念和定理具有重要的作用。
本文将从极限的定义、性质以及在数学分析中的应用等方面进行论述。
1. 极限的定义在数学中，极限可以被简单理解为某一变量逐渐趋近于一个确定的值。
更准确地说，设函数f(x)在某一点a的某个邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，都存在着正数δ，使得当x在(a-δ, a+δ)之间时，有|f(x)-L|<ε，那么我们说L是函数f(x)在x趋近于a时的极限，记作lim(x→a) f(x)=L。
其中，ε 和δ 是任意给定的正数。
2. 极限的性质极限具有一些重要的性质，这些性质对于我们在数学分析中的推导和计算非常有用。
以下是一些常见的极限性质：（1）唯一性性质：如果一个函数在某一点的极限存在，那么它的极限是唯一确定的。
（2）四则运算性质：设函数f(x)和g(x)在某一点a的某个邻域内都有定义，lim(x→a) f(x)=A，lim(x→a) g(x)=B，则有以下性质成立： - lim(x→a) [f(x)+g(x)] = A + B- lim(x→a) [f(x)-g(x)] = A - B- lim(x→a) [f(x)×g(x)] = A × B- lim(x→a) [f(x)/g(x)] = A / B (其中B≠0)（3）复合函数的极限性质：设函数f(x)在a点的某个邻域内有定义，g(x)在b点的某个邻域内有定义，且lim(x→a) f(x) = b，lim(t→b) g(t) = L，则有lim(x→a) g[f(x)] = L。
3. 极限的应用极限理论在数学分析中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：（1）导数和积分：在微积分中，导数和积分是两个基本概念。
极限理论为我们提供了求导和求积分的理论基础，使得我们能够更好地理解和运用这两个概念。
函数极限总结
函数极限总结函数极限是数学中重要的概念，它在微积分和数学分析等领域有着广泛的应用。
在这篇文章中，我将对函数极限进行总结，并介绍一些相关概念和性质。
1. 极限的定义函数极限描述了一个函数在某一点上的值趋近于某个特定值的情况。
正式来说，给定一个函数 f(x)，当自变量 x 的取值趋近于某个值 a 时，如果对于任意给定的正数ε，存在另一个正数δ，使得当x 距离 a 的距离小于δ 时，函数值 f(x) 和极限值 L 的差的绝对值小于ε，那么我们说函数 f(x) 在 x 趋近于 a 时的极限为 L。
记作：lim (x→a) f(x) = L2. 极限的性质函数极限具有一些重要的性质。
首先，极限是唯一的。
也就是说，如果一个函数在某一点存在极限，那么这个极限是唯一确定的。
其次，函数极限存在的条件是函数在该点的左右极限存在且相等。
换句话说，函数在某一点上存在极限的充分必要条件是函数在该点的左右极限存在且相等。
3. 常见类型的极限在实际问题中，我们经常遇到一些常见类型的函数极限。
这些极限的计算方法需要使用一些特定的技巧。
以下是几个常见类型的极限：a) 无穷大极限：当函数在自变量趋近于某个值 a 时，函数值趋近于无穷大，记作lim (x→a) f(x) = ∞。
b) 无穷小极限：当函数在自变量趋近于某个值 a 时，函数值趋近于零，记作lim (x→a) f(x) = 0。
c) 正无穷极限和负无穷极限：当函数在自变量趋近于某个值 a 时，函数值趋近于正无穷或负无穷。
正无穷记作lim (x→a) f(x) =+∞，负无穷记作lim (x→a) f(x) = -∞。
d) 数列极限：函数极限的概念可以推广到数列。
给定一个数列{an}，当 n 趋近于无穷大时，如果序列中的每一项都趋近于某个值 L，那么我们说该数列的极限为 L，记作lim (n→∞) an = L。
4. 极限定理函数极限有一些重要的定理，可以帮助我们计算复杂问题的极限。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
lim f(x ) A 的 几 何 意 义
x
y
A
A
A
①任意给定
0
Oa
M
②存在 Ma
④ 有 A f(x ) A
x
x
③ 使 当 xM时
注 1.xl im f(x)A与 n l i m xna定 义 比 较
函数 定义域 自变量变化趋势 函数值变化趋势 定义
nli mxn a
y xn
数都可以充当这个角色.
3. 正数 是任意的,一旦给出,它就是确定的常数.
4. 函数极限的几何意义如图, 任给 0,对于坐标
平面上以 y =A为中心线, 宽为2 的窄带,可以找到
0, 使得曲线段
y
yf(x )x , U (x 0 , )
yA
yA
yA
落在窄带内.
O
x0 x 0 x0 x
注：f (x)在 x 0 处有无定义皆可.
lx im 11x2 0.
例5 证明 limsinx0. x x
y sin x x
证 sinx0sinx
x
x
1 x
1 X
,
0,
取
X
1,
则当 xX时恒有
sinx0 , x
故limsinx0. x x
定:义 如l果 im f(x)c,则直 yc线 是函 yf数 (x) x
的图形的. 水平渐近线
Chapt 3 函数极限
观察函 sin x数 当x时的变.化趋 x
一、x趋于时的函数极限
设函数 f (x)定义在 a, y
上,当 x 沿着 x 轴的正向 A 无限远离原点时,函数f (x)
也无限地接近A,我们就称
f (x)当 x 趋于 时以A为
O
极限.
f (x)
x
例如 函数 yarctxa,当nx趋于时,
例6 证明 limx1 2 1. x 1 x1 22
分析 对于任意正数 ,要找到 0,当 0|x1|
时, 使 x 121 1 1 x 1 22 x 1222
x12
22( x12) 22(
x x 1 12)2.(
)
因
x1
x1,
2 2( x1 2)2
只要 x1 ,()式就能成立, 故取 即可.
为一个常数. 若对于任意 0, 存在 M0，当 x M时
f(x)A,
则f称 (x)当 x 时A 以 为极 记为限， limf(x)A或 f(x ) A (x ).
x
例4 求证 lx im 11x2 0.
证 对于任意正数 , 可取 M 1 , 当 xM 时 ,有
1 1x2
0
1 x2
,
所以
证 任给正数, 取 , 当 0xx0时 , x121 x1,
x1 22
这就证明了 limx1 2 1 . x 1 x1 22
例7
证明
limx2
xx0
x02.
分析 要使
x 2 x 0 2 x x 0 x x 0,
可以先限制 xx0 1, 因为此时有
x x 0 x x 0 2 x 0 x x 0 2 x 0
几何解释:
X
y sin x x
A
X
当 xX或 xX时 ,函y数 f(x)图形完全落 直y线 A为中,心 宽2 线 为 的带形. 区域内
从定义1、2 、3 不难得到:
定理 3.1 f (x)定义在的一个邻域内， 则
limf(x)A的充要条件是：
x
lim f(x )lim f(x ) A .
x
x
π
π
例如 lim a r c ta n x ,lim a r c ta n x ,
x
2x
2
则由定理 3.1，limarctaxn不存在. x
二、x趋于x0时的函数极限
定义4 设f(x) 在点x 0 的某空心邻域 U(x0,')
内有定义， A是一个常数. 如果对于任意正数 ,
存在正数 ', 当 x U (x0, ) U (x0, ')时
不是“最佳”的, 但这不影响我们解题的有效性.
例8 求证：(1)x li m x0sinxsinx0; (2)x li m x0cosxcosx0.
证 首先，在右图所示的单位圆内,
当0 x π时, 显然有
y
2
S O A S 扇 DO形 A S D O,AB
例2 证l明 im arcxta.n
x
2
证 任给 0( ),取Mtan().
2
2
因为 arctaxn严格增 当， xM时，
f(x)ππarctanx 22
π(π).
22
这就是说 limarctanxπ.
x
2
定义2 设 f(x ) 定 义 ,b 上 ,A在 是一个常数.
若对于任意 0, 存M 在 0,当 x M (b )时
12 x0 ,
所以 x 2 x 0 2 (1 2 x 0)x x 0,故只要
xx0
12 x0
.
证 0,取min1,12x0,当 0xx0
时, 有 x2x02 .
这就证明了
limx2
xx0
x02.
注 在例6、例7中, 我们将所考虑的式子适当放大,
其目的就是为了更简洁地求出 , 或许所求出的
(即 0|xx0|) f(x)A,
则称 f(x )当 x x 0时A 为 以.极 记为 限
limf(x)A
xx0
f(x ) A (x x 0 ) .
需要注意以下几点：
1. 对于, 我们强调其存在性. 换句话说, 对于固定
的 ,不同的方法会得出不同的 , 不存在哪一个更
好的问题.
2. 是不惟一的, 一旦求出了, 那么比它更小的正
arctxa以nπ 为极限. 2
y
π 2
1
0.5
O
10 20 30 40 x
定义1 设 f为定 a, 义 上 在 的一 . A 为个
定数,若对于任意正数 0，存在正数 M(a)，
使得 当xM时,
f(x)A,
则称函数 f(x)当 x趋于 时A 以 为极限. 记为
limf(x)A 或者 f(x ) A (x ) .
N
limf(x)A
x
(x)A
0, N，nN时， 0,X0，xX时，
有 xn a ,
有f(x)A
注 数列可视为定义在正整数集上的函数.
例1 证明 lim 1 0. x x
证 任给 0,取 M 1 ,当xM时 ,
10 1 ,
x
x
所以(由定义1),
lim 1 0. x x
f(x)A,
则称 f(x)当 x 时 A 以 为极限, 记为 limf(x)A或 f(x ) A (x ) .
x
例3 求证 lim ex 0. x
证 对于任意正数 (01),取 M ln ,
当xln时 ex0ex.
则 limex 0.
x
定义3 设 f(x)定义 的 在 某U 个 ( )内 邻 , A 域