立体几何空间角

立体几何专题----空间角
知识点归纳 1、异面直线所成的角 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点 O 作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′ 与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).
b
b′
a′ O
a
注 1：异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ]
注 2：如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为 a ⊥ b
注 3：在求作异面直线所成的角时,O 点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等)
2 、直线与平面所成的角
平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角
（1）一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角
2、空间四边形 ABCD中， AD BC 2， E, F 分别是 AB,CD 的中点， EF 3 ，
求异面直线 AD, BC 所成的角。
A
E
B
D F
C
6、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，过顶点B、D、C1作截面，则二面角B-DC1-C的余弦值是多少?
8、如图，正四棱锥 P ABCD中，侧棱 PA与底面 ABCD所成角的正切值为 6 ． 2
P
（2）一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是 0 的角
（3）直线和平面所成角的范围是[0，90] 3、二面角:
O
A
a
如右图在二面角的棱 l 取一点 O，以点 O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB，则
叫做二面角的平面角.
注：①二面角的平面角的大小与 O 点位置_____ _。
（1）求侧面 PAD与底面 ABCD所成二面角的大小；
（2）若 E 是 PB 中点，求异面直线 PD 与 AE 所成角的正切值．
7、如图，∠BAD＝90°的等腰直角三角形ABD与正三角形CBD所在平面互相垂直，E是BC的中点，则AE与平面BCD所成 角的大小为.
9、设平面 α∥β，两条异面直线 AC 和 BD 分别在平面 α、β 内，线段 AB、CD 中点分别为 M、N，设 MN=a，线段 AC=BD=2a， 求异面直线 AC 和 BD 所成的角.
D1 A1
D
D
A
C1 B1
C
C
B
4、在单位正方体 ABCD A1B1C1D1 中，求直线 A1C1 与截面 ABC1D1 所成的角.
D1 A1
C1 B1
O D
A
C B
5、将一副三角板如图拼接,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,∠BDC=60°,且平面ABC⊥平面BCD, (1)求证:平面ABD⊥平面ACD;(2)求二面角A-BD-C的正切值;(3)求异面直线AD与BC所成角的余弦值.
C A α
M
N
B β
D
②二面角的平面角的范围是_______
。
③平面角为______的二面角叫做直二面角。
试题探究：
1、如图：表示正方体 ABCD A1B1C1D1 ，
D1 A1
C1 B1
求异面直线 BA1和CC1所成的角。
D
C
A
B
3、在单位正方体 ABCD A1B1C1D1 中，试求直线 BLeabharlann Baidu1 与平面 ABCD 所成的角.