电动力学2-3 拉普拉斯方程
电动力学第二章
R r
y
r R l 2 Rl cos
2 2 2
2l
x -Q
求近似值：
r R 1 2l cos / R 1 2l cos R (1 ) R l cos 2 R
(l R)
同理
r R l cos
1 1 r r 2l cos 2l cos 2 2 2 2 r r r r R l cos R
1 R 2 / M 2 1 1 R 2 / M 2 1 0 P P0 lim ln 1 R 2 / M 2 1 1 R 2 / M 2 1 M 4 0 0
R2 1 R2 1 2 1 2 M 2M R02 R P P0 ln 2 ln 4 0 R 2 0 R0
2Ql cos 2QlR cos PR ( P) 2 3 3 4 0 R 4 0 R 4 0 R
x- y
平面为等势面（Z = 0的平面）。
若电偶极子放在均匀介质 中（无限大介质）：
均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自由点电 荷附近，介质中电偶极子产生的势为自由偶极子与 束缚偶极子产生的势的迭加，设 Q p 为束缚电荷， 0 0 0 Q p (1 )Q Pp 2QP l ez 2Ql ez ( 1) ( 1) P
（4） W
1 dV中的 是由电荷分布 激发的电势； 2
（5）在静电场中，电场决定于电荷分布。在场内没有
独立的运动。因而场的能量就由电荷分布所决定。 （6）若全空间充满了介电常数为ε的介质，可得到电荷 分布ρ所激发的电场总能量
1 ( x) 1 ( x ) ( x) W ( x )dV dV dV r dV 2 4 r 8 与 点的距离。 式中r为 x x
拉普拉斯(Laplace)方程
+
∂2u ∂y2
=
−
F
(x, T
y)
.
(1.15)
(1.15)式就是二维的Poisson方程。 类似地，从第四章的讨论中，我们也可以看到当研究稳定状态的热传导问题时，也
会导致Poisson方程。特别地，在没有热源的情：复变函数论中的解析函数 由复变函数理论知，一个解析函数的实部和虚部分别满足二维的Laplace方程。
数 ，f (x1, · · · , xn)是 一 给 定 的 已 知 函 数 。 它 们 具 有 广 泛 的 应 用 背 景 。 下 面 我 们
以n = 2, 3为例，讨论方程的导出以及定解条件的提法。
1.1 方程的导出
本小节我们讨论Laplace方程和Poisson方程的应用背景及方程的导出。
实例一：静电场的电势
(1.13)
实例三：膜平衡方程 在第三章中我们研究了膜的振动方程
ρ
∂2u ∂t2
=
T
∂2u ∂x2
+
∂2u ∂y2
+ F (t, x, y).
(1.14)
特别地，当研究在不随时间而变换的外力F (x, y)作用下的膜的平衡问题时，膜的位移 函数u和时间t无关，此时方程(1.14) 可化为膜平衡方程
∂2u ∂x2
u|∂Ω = g.
(1.16)
边界条件(1.16)称为:第::一:::类:::边::界:::条:::件::，也称为:D::ir:i:c:h::le:t:边:::界:::条::件:: 。 第二边值问题(也称为Neumann问题) 设有一光滑的闭曲面Γ并在其上给一连续函
数g，求解这样的一个函数u = u(x1, · · · , xn)使得它在Γ 所围成的区域Ω的内部满足方
电动力学课件.
0
电荷分布无限，电势参考点一般选在有限区。如 均匀场中，E E0ez , E0 R cos
导体的边界面上
|s 常数
n s Q dS
S
n
（2）边值关系：介质分界面上
1 S 2
S
1 2 1 2 n S n
bd Q 4 0
（ 4）
联立（2）、（3）和（4）得
Q Q1 Q1 Q1 b , c , d 4 0 4 0 R1 4 0
1 QR3 其中 Q1 1 1 R2 R11 R3
（ 5）
所以
Q Q1 Q1 1 1 1 , 2 4 0 R 4 0 R R1
R 0, 2 有限，可以得到
a1 E0 , an 0 n 1 , dn 0
由边值关系： 1 R R 2 R R 0 0 介质球面上
1 2 0 R R R0 R
R R0
可以解出： b 0 E R 3 , b 0 n 1 1 0 0 n 2 0
导体球上的感应电荷为
2 0 dS Q1 R R1 R
例2. 电容率为的介质球置于均匀外电场E0中，求电 势. E0 解：讨论区域：球外 （I）和球内（II）. R0 选择球坐标系，原点 在球心，z轴沿E0方向。 考虑电荷分布在无限 区域，选择坐标原点 为电势零点。
II I
但注意，边值关系还要用 S 而不能用 S
二、拉普拉斯方程在球坐标系中解的形式
1. 一般情况
bnm ( R, , ) (anm R n 1 ) Pnm (cos ) cos m R nm d nm n (cnm R n 1 ) Pnm (cos ) sin m R nm
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程拉普拉斯方程(Laplace equation)拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。
一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。
通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用 R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。
若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差?P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为:在数理方程中，拉普拉斯方程为:?u=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中?为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。
三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量 x 、 y 、 z 二阶可微的实函数φ :上面的方程常常简写作:或其中div表示矢量场的散度(结果是一个标量场)，grad表示标量场的梯度(结果是一个矢量场)，或者简写作:其中Δ称为拉普拉斯算子 .拉普拉斯方程的解称为调和函数。
如果等号右边是一个给定的函数 f ( x , y , z )，即:则该方程称为泊松方程。
拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。
偏微分算子或Δ(可以在任意维空间中定义这样的算子)称为拉普拉斯算子，英文是 Laplace operator 或简称作 Laplacian 。
拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域 D 内定义的函数φ，使得在 D 的边界上等于某给定的函数。
为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍:固定区域边界上的温度(是边界上各点位置坐标的函数)，直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。
拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域 D 边界处的温度函数φ本身，而是φ沿 D 的边界法向的导数。
拉普拉斯方程的解——分离变量法
电动力学
第二章
静电场
§2.3 拉普拉斯方程的解—— 拉普拉斯方程的解——分离变量法 ——分离变量法
一． 拉普拉斯方程的适用条件
1． 空间处处 ρ = 0 ，自由电荷只分布在某些介质（如导体）表面上，将这些表面视为区域边 界，可以用拉普拉斯方程。 2． 在所求区域介质中有自由电荷分布，若这个自由电荷分布在真空中，产生的势为已知。 ① 若所求区域为单一均匀介质，则介质中电势为真空中电势
X ( x) = Ae kx + Be − kx Y ( y ) = C sin ky + D cos ky
ϕ ( x, y ) = ( Ae kx + Be − kx )(C sin ky + D cos ky )
（3）确定常数 A，B，C，D，k ① y = 0, ϕ = 0 ⇒ D = 0 （A，B 不能全为零，否则 ϕ 与 x 无关） 。 ② y = b, ϕ = 0 ⇒ sin kb = 0
显然满足 ∇ 2ϕ = 0 和边界条件
E=
V = 常数，均匀场 l
x
2． 一对接地半无限大平板，相距为 b ，左端有一极板 电势为 V（常数） ，求两平行板之间的电势 解： （1）边界为平面，选直角坐标系 上、下两平板接地，为参考点 同样若 y ≠ 0 或 b, x → ∞ y
z
ϕ x →∞ = 0
若 ϕ 不依赖于 Φ ，即 ϕ 具有轴对称性
bn ) Pn (cosθ ) R n+1 n Pn (cosθ ) 为勒让德函数， P0 = 1 P1 (cosθ ) = cos θ 1 P2 (cosθ ) = (3 cos 2 θ − 1) … 2
通解 ϕ ( R,θ ) =
电动力学第23节
(Cnr n Dnr n )sin(n ) n1
这里A，B，C，D为待定系数。
3、在球坐标系中
2
1 r2
r
(r2
r
)
r2
1
sin
(sin
)
r2
1
sin2
2 2
0
设 (r, ,) R(r)Y ( ,)
其通解为
(r
,
,
)
(
n,m
Anm
r
n
Bnm r n1
)
Pnm
(cos
)cos(m
)
或者写成
( x, y, z) eikx xeiky yeikzz
(kz2
k
2 x
k
2 y
)
2、在柱坐标系中
2
1 r
r
(r
)
r
1 r2
2 2
2
z 2
0
设 (r,, z) R(r)()Z(z)
该方程的通解为
(r,, z) A1Jm (kr) A2Nm (kr) B1 cos(n ) B2 sin(n ) C1 cosh(kz) C2 sinh(kz)
电场是带电导体所决定的。自由电荷只能分布在导 体的表面上。因此，在没有电荷分布的区域里, Poisson's equation 就转化为 Laplace's equation，即
2 2 0
0
产生这个电场的电荷都是分布于区域V的边界上，它
们的作用通过边界条件反映出来：
① 给定 S
② 给定
故得到导体球壳内、外空间的电势：
1
A
B r
r R3
2
电动力学二三分离变量法-文档资料
2R 1R R R
2
3
Q 1 2 2 2 R d R d R R 0 R R R R 3 2
8
将通解代入边界条件
0 2R 1R R
1
a 0
d c 0 R1
2R 1R R R
比较P1的系数得
b 1 E R c 0 0 1R 0 2 R 0
2 b 1 E c 0 3 1 R 0 0
可解出
3 0 b E R , 1 00 2 0
3 0 c E 1 0 2 0
c 0 , 其他Pn项的系数可解出为 b n n
其中
1 R 3 Q Q 1 1 1 1 R R R 1 2 3
利用这些 值得电势 的解 导体球上 的感应电 荷为
QQ 1 , 1 4 0R 1 1 Q 1 2 . 4 0 R R 1
(R R 3) (R 2 R R 1)
球内区域的电势
n d n c R n P cos 2 n 1 n R n
12
边界条件：
（1）无穷远处，
因而
1 0 01
E R cos E R P co
a E , 1 0 a 0 ( n 1 ) n
（2）R＝0处，2为有限值，因此 dn 0 （3）在介质球面上，有 1 2
15
例3 半径为R0的导体球置于均 匀外电场E0中，求电势和导体上 的电荷面密度。
16
解
用导体表面边 界条件，照上 例方法可解出 导体球外电势 导体面上 电荷面密 度为
电动力学-第二章-2-3拉普拉斯方程
r→0, φ有限
B B0 0
θ=2π-α,φ=V,任何r成立 D0 0, sin 2 0
n
n
2
n 1,2,
V Anrn sin n n1
条件不全,无 法确定An
尖劈附近,r→0
V A1r1 sin1
Er
r
1A1r11 sin1
E
1 r
1A1r11 cos1
0En
0E 0 E
0
2
01 A1r11
α很小,ν1≈1/2,E和σ∝1/r1/2
n
n
2
n 1,2,
r 2
)
r
1
r 2 sin
(sin
)
1
r 2 sin 2
2 2
0
其通解为 (r, ,) R(r)Y ( ,)
Bn(1)
a
n
cos n
E0a cos
Dn(2) a n
n1
cos n
n1 nBn(1) a n1 cos n
0 E0 cos
0
(n)Dn(2) a (n1)
n 1
cos n
两边 为任意值， cos 前系数应相等（ n 1,2, ）
n 1
BB1(11)(1a)
E0
a
D(2) 1
a
1
0 E0 0 D1(2)a2
k2Z
0
Rr An Jn kr An Nn kr k 0 Rr Anr n Anr n k 0 Rr Aln r A k n 0
Bn cos n Bn sin n n 0
B B n 0
电动力学常用数学公式
数学准备知识§1 矢量代数一．矢量定义垐,,AA AAA A A A===（单位矢量） 在坐标系中 31i ii A Ae ==∑ 直角系 z yz A A i Aj A k =++方向余弦：cos ,cos ,cos ,cos cos cos x y z Ax Ay Az Ae e e A A AAαβγαβγ====++31222221231()ii A A A A A A===++=∑二．矢量运算加法： A B B A +=+ 交换律 ()()A B C A B C ++=++ 结合律 31()iiii A B A B e =+=+∑ 满足平行四边形法则标量积：31cos i ii A B A BAB θ=⋅==∑A B B A ⋅=⋅ 交换律 ()A B C A B A C ⋅+=⋅+⋅ 分配律矢量积：123123123sin n e e e A B AB e A A A B B B θ⨯== ()A B C A B A C ⨯+=⨯+⨯ 分配律A B B A ⨯=-⨯ 不满足交换律 混合积： 123123123()()()A A A A B C B C A C A B B B B C C C ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯=双重矢积：()()()()()A B C B A C C A B A C B A B C ⨯⨯=⋅-⋅=⋅-⋅（点3乘2，点2乘3）()()A B C A B C ⨯⨯≠⨯⨯三．矢量微分ˆˆdA dA dAA A dt dt dt=+ ()d A B dB dAA B dt dt dt ⋅=⋅+⋅ ()d A B dB dAA B dt dt dt⨯=⨯+⨯ 四．并矢与张量并矢： AB (一般 AB BA ≠)，有九个分量。
若某个量有九个分量，它被称为张量33,1,i i ijij i ji j i jT AB A B e e T e e====∑∑ i j e e 为单位并矢，张量的九个基。
拉普拉斯方程在简单静电场问题中的应用 - 中山大学精品课程
拉普拉斯方程在简单静电场问题中的应用张斯特物理科学与工程技术学院光信息专业指导教师: 方奕忠摘要：《Laplace方程在简单静电场问题中的应用》一文主要阐述了Laplace方程这一经典方程在求解经电场问题中的使用方法。
首先简单介绍了Laplace使用方程的原理和适用的范畴，接下来给出较为常用的坐标系内Laplace方程的解的形式，最后介绍典型的应用举例，这也是本文较为重点的部分，分别从几个例子中由简单到复杂的介绍了Laplace方程在求解过程中的使用方法、边值关系的确定以及求得解所反映的部分物理意义。
关键词：Laplace方程球对称解轴对称解边值关系物理意义一、Laplace方程的使用原理和适用范围众所周知，电磁场的一般特性都是可以由maxwell方程反映出来，如下所示：而在本文所要讲述的静电场问题之中，我们紧紧需要方程组（1）之中的前两式即可。
对于静止的情况而言，电场和磁场无关，此时有所以上述用来描述电场特性的方程可以写成：其中，（2）式中的代表的含义是空间中自由电荷的分布，为了表示方便省去了下标。
而从式（3）看来，静电场是一个无旋场，所以其特性可以引入一个标势来表示，这类似于在保守力场中引入的势函数。
类似重力场中的势能函数一样，单独一点上的电势的绝对大小是没有意义的，只有两点之间的电势差才是有意义的。
在电场中电势差的定义方法是：把单位正电荷由一点移动到另一点电厂对其所做的功。
当电场做正功时电势下降（具体的定义方式可以参考《电动力学》第二章，高等教育出版社）。
进而可以得出电场和电势之间的关系：这样一来，只要知道了用来描述电场的势函数即可通过它求解出该电场的分布（不过反过来，当空间电场分布确定之后，与之对应的势函数却可能不只一个；这是由于电势铃点选取不同造成的，这一点不同只是反映在不同的电势和之间可能会相差一个常数，但是这并不影响它所描述的电场的性质）。
对于均匀的各项同性介质，、之间有如下关系：现在只需要结合式（2）、（4）和式（5）就可以得出如下方程：式（6）是静电场电势满足的基本微分方程，成为Poisson方程。
电动力学第二章ppt课件
x2 y2 b2
注意到上式对任意x、y都成立，所以 b a， QQ
导体板上方的电势为：
4 Q 0 x2y2 1 (z a )2x2y2 1 (z a )2
例2 真空中有一半径为R0的接地导体球，距球心为a （a>R0）处有一点电荷Q，求空间各点的电势 （如图）。
的梯度、散度、旋度公式
§4 镜象法
一、研究的问题 在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷， 区域边界是导体或介质界面
二、镜象法的基本思想 在所求场空间中，使用场空间以外的区域某个 或某几个假想的电荷来代替导体的感应电荷或 介质的极化电荷
§4 镜象法
三、理论基础
镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在 所研究的场域外的适当地方，用实际上不存在 的“镜象电荷”来代替真实的导体感应电荷或 者介质的极化电荷对场点的作用。在代替的时 候必须保证原有的场方程，边界条件不变
小于外电场
4
§3拉普拉斯方程——分离变量法
例3：球半径为 接地金属 球置于匀强外场 中， 求电势和导体表面的电荷 面密度
解：设球半径为 ，球外为真空，该问题具有轴对称 性，对称轴为通过球心沿外场 方向的轴线。取此线 为轴线球心为原点建立球坐标系。 为球外势,金属球 为等势体，坐标原点电势为0
由于选择了轴对称，所以关于 对称，通解中没有 同时处理总边界条件
§1静电场的标势及微分方程 1。静电场的标势
静电场不随时间变化为无旋场
或 库仑场 无旋有势，定义:
积分
电势差
与路径无关
当电荷分布在有限区域的情况下，取无穷远点为 参考点，规定其上电势为0
静电场标势
已知电荷分布求电势 点电荷
叠加原理 连续分布
《电动力学第三版》chapter2_3分离变量法解拉普拉斯方程
(rR0) (rR0)
(3) 边界连接条件:
in o,ut0 r ou t r in (r R 0 )
a 0 E 0 R 0 P 1 (c) os b n R 0 (n 1 )P n (c)o s c n R 0 n P n (c)os
n 0
n 0
E 0 P 1 (c) o( n s 1 ) b n R 0 (n 2 )P n (c) osn n R 0 c n 1 P n (c)o
y=b
的所有其他几个面的势都等
y
x=a
于零. 需要求的是盒内各处
=0
的势. 由下述必要条件：当
x = 0, y = 0, z = 0时, = 0, x
容易看出, X, Y, Z必需具有 如下形式：
X sin x Y sin y
Z sinh(
2
2
z)
为使x = a与y = b时, = 0,必须有a = n, b = m
sid n sid g n (s2 i n m 2 )g 0 ( 5 ) d d z (1 d z 2)d d g zd 1 m z 22 g 0 zcos(6 )
——缔合勒让德(Legendre)方程
缔合勒让德方程，在 | z |1 内具有有限解的条件：
表面电荷密度：0rourtR0 30E0cos
p
1
4π0
pr r3
静电情况下，导体相当于介质 .
例4 导体尖劈带电势V,分析它的尖角附近的电场. 解：用柱坐标系. 取 z 轴沿尖边. 设尖劈以外的空间, 即电场存在的
空间为0 2- (为小角).因 不依赖于z,柱坐标下的拉氏方程
为
1rrrrr12
第二章 静电场
1.1 拉普拉斯方程与泊松方程
泊松方程和拉普拉斯方程Poisson's equation and Laplace's equation势函数的一种二阶偏微分方程。
广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。
简史1777年，J.L.拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量mk 除以它们到任意观察点P的距离rk，并且把这些商加在一起，其总和即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在P点的质点所受总引力的相应分力。
1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。
1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。
文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。
==静电场的泊松方程和拉普拉斯方程==若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：，式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法／米。
在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。
在各分区的公共界面上，V满足边值关系，，式中i，j指分界面两边的不同分区，σ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。
有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。
边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。
电动力学-第2.3节
设
(r , , ) R(r )Y ( , )
其通解为
( r , , )
n,m
( Anm r
n,m
n
Bnm r
m ) P (cos ) cos(m ) n 1 n m ) Pn (cos ) sin(m ) n 1
(C nm r
n
Dnm r
2
[例2]介电常数为ε的均匀介质球，半径为R，被置于均匀 外场 E0 中，球外为真空。求电势分布。 [解]：外电场将使介质球极化，假定介质球的尺度远小于 产生原外场 E 0的电荷分布线度，则球内和球外空间的总 电场,均是原外场 E 0与介质球极化电荷产生的电场 E 叠 加的结果。简单媒质中的极化强度与外场方向相同。 第一步：根据题意，找出定解条件 E 0E P 由于这个问题具有轴对 称性，取极轴z沿外电场 E0 E0 R 方向，介质球的存在使空 z 间分为两个均匀区域—— 球内、球外，两区域内都 没有自由电荷。 因此电势 满足Laplace’s equation。以 代表球外 1 区域的电势， 代表球内区域的电势，故
B (r ) A r
A、B为待定系数。 1）在没有自由电荷分布的空间，电势满足拉普拉斯方 程； 2）其通解由（3.2）和（3.3）给出；
3）余下的问题就是，由边界条件来确定通解中的常数 了――得出满足边界条件的特解。
二、利用边界条件定解
说明两点： 第一，如果考虑问题中有i 个区域（均匀分布），必 须有i个相应的Laplace‘s equation 。 第二，在每个区域的交界面上，应该满足边值关系 i j (在Sij面上) j i i j n n 边界条件： S或
电磁场理论课件 2-3 拉普拉斯方程
（3）定解： 0
边界
ra
0
n
ra
① (r a) 0 clna D 0 cln r
a
②
0
d dn
ra
0C
a r
1 a
ra
C0 a
a C
0
(r) a ln r 0 a
(r ≥ a)
E
d dr
er
a 0
er r
(r ≥ a)
例4.一半径为 a，介电常数为 的无限
长电介质圆柱，柱轴沿 ez方 向e，x 方向
)Pnm
(cos
)
sin
m
1）若不依赖 ,轴对称
缔合勒让德函数
(R, )
n
(an Rn
bn Rn1
)Pn (cos )
P283
2）若不依赖 , 球对称。
2
1 r2
r
(r2
) r
0
r2
r
C
(R) a b
r
勒让德函数
三. 解题步骤
1. 选择坐标系和电势参考点
分界面
电荷有限-电势无穷远处为0
1 0
上有一外加均匀电场
，E0求空间电势
分布和柱面上的束缚电荷分布。
y
x z
1.选坐标系，参考点 2.分析对称性，分区，求通解 3.定解（边界条件）
解： （1）坐标系：柱坐标。
参考点：均匀场电势在无穷远处不为0，因此令 r0 0
(r,)
21 0 (0 r a)
22 0 (r a)
通解为：
2) 分析:
X
与z无关，可得 =(x, y)
2
2 x2
2 y 2
2-3 拉普拉斯方程
④ 根据定解条件，求出通解中的积分常数。 ⑤ 将求出的积分常数代入通解表达式，得到实际
问题的解。 关键步骤：① 充分利用对称性，写出简单的通解。
② 正确写出边界条件，不能有遗漏。
例1 一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带 电荷Q，同心地包围一个半径为R1的导体球（R1 <R2）。使这个导体球接地，求空间各点的电势 和这个导体球的感应电荷。
R 0 处，2 应为有限值，因此
dn 0
在介质球面上（R=R0），
1 2 ,
0
1
R
2
R
比较Pn的系b数1 ，得:200 E0 R03，
c1
3 0 2 0
E0
bn cn 0， (n 1)
所有常数已经定出，因此本问题的解为
1
E0R cos
0 20
E0R03 cos
R2
2
3 0 20
E(a) 0 er
E0R cos
在球内总电场作用下，介质的极化强度为
P内
e 0 E
(
0)E
0 20
30 E0
介质球的总电偶极矩为
p
4
3
R03 P
0 20
4 0 R03 E0
球外区域电势 所产生的电势
1
的第二项就是这个电偶极矩
E0
1
4 0
pR R3
0 20
E0 R03 R2
cos
例3 半径为R0的接地导体球置于均匀外电场E0中， 求电势和导体上的电荷面密度。
因此v的可能值为
νn
n 2 α
,
n 1,2
电动力学 ch2-3分离变量法
n
由④式得： n 0 d
bn 1 E0 R cos n1 Pn cos , n R 2 cn R n Pn cos
均匀极化的总电矩为 4 3 0 3 P R P 4 0 R0 E0 总 3 2 0 此电矩在球外产生的电势为 3 P R 0 E0 R0 总 3 cos 2 4 0 R 2 0 R
正是1 中的第二项, 1 第一项为均匀电场的电势
3 0 讨论: (1)由2 E0 z得 : 2 0
3 0 3 0 2 E0 R cos E0 z R R0 2 0 2 0
0 3 1 E0 R cos E0 R0 cos R R0 2 0
bn n cn R0 n R0 1 n 1 bn n c Rn1 n 0 n 1 R0 0
cn bn 0(n 1)
3 0 2 E2 ez E0 E0 z 2 0 3 0 0 P 0 E2 E0 2 0
b1 E0 R0 2 c1 R0 R0 2b1 E0 3 c1 R0 0
0 3 b1 E0 R0 2 0 c 3 0 E 1 2 0 0
比较其他 P (n 1) 的系数得: n
1
例2.电容率为ε的介质球置于均匀外电场中,求电势及
电场分布
解 : 设球外电势为1,球内电势为2 , 则1,2满足
21 0, R R0
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2. 柱坐标一般用于二维问题：
二维问题的解：
( A0 B0 ln r )(C0 D0 )
n n n
( An r Bn r )(Cn cos n Dn sin n ) [r ( An sin n Bn cos n）
n n
或写成： A0 B0 ln r C0 D0 ln r
在球内总电场作用下，介质的极化强度为
0 P内 e 0 E ( 0 ) E 3 0 E0 2 0
介质球的总电偶极矩为
0 4 3 3 p R0 P 40 R0 E0 3 2 0
球外区域电势
所产生的电势
1 的第二项就是这个电偶极矩
1 2 ,
1 2 0 R R
比较Pn的系数，得:
0 3 b1 E0 R0， 2 0 3 0 c1 E0 2 0 bn cn 0， (n 1)
3 0
所有常数已经定出，因此本问题的解为
0 E0 R cos 1 E0 R cos 2 0 R2 3 0 2 E0 R cos 2 0
导体面上电荷面密度为
3 0
0 R
3 0 E0 cos
R R0
例4 导体尖劈电势V，分析它的尖角附近的电场。
解：用柱坐标系 1 2 0， (0 2 ) r 2 2 r r r r ϕ的通解形式为 A0 B0 ln r C0 D0 在尖劈θ=0面上，ϕ =V与r无关，由此
② 正确写出边界条件，不能有遗漏。
例1 一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带
电荷Q，同心地包围一个半径为R1的导体球（R1 <R2）。使这个导体球接地，求空间各点的电势 和这个导体球的感应电荷。 解：以球心为原点建立球坐标系，导体壳外和壳内 的电势均满足方程 2 0 ，问题具有球对称 性，电势 不依赖于角度θ和φ。设导体壳外 和壳内的电势分别为 b 1 a ， ( R R3 ) R d 2 c ， ( R2 R R1 ) R
例2：电容率为 的介质球置于均匀外电场E0中， 求电势。
解：以介质球的球心为坐标原点，以E0方向为极轴
建立球坐标系。 设球的半径为 R0 ，球外为真空。介质球的存在
使空间分为两均匀区域—球外区域和球内区域。 两区域内部都没有自由电荷，因此电势 均满 足拉普拉斯方程。
以 1 代表球外区域的电势， 2 代表球内的电势。 两区域的通解为： bn n 1 (an R n1 )Pn (cos )， ( R R0 ) R n
边界条件为： （1）内导体接地 2
1 R 0 （2）整个导体球壳为等势体 2 R R 1 R R
R R1
2
3
（3）球壳带总电荷Q，因而 1 2 2 2 Q R d R d R R 0 R R3 R R2 Q Q1 ， 由这些边界条件得 a 0，b 40 40 Q1 Q1 c ，d 40 R1 40
间中没有其他自由电荷分布。
如果我们选择这些导体的表面作为区域V的边界，则 V 内部自由电荷密度ρ＝0，电势所满足的泊松方程化 为比较简单的情形：
2 0
这就是拉普拉斯方程。
注意：求解区域内ρ＝0，产生电场的电荷全部分布 于V 的边界上，他们的作用通过边界条件反映出来。 所以，这类问题可归结为求拉普拉斯方程满足边界 条件的解。
n
r (Cn sin n Dn cos n） ]
若二维问题又具有轴对称性，则电势与θ 无关 A B ln r
3. 分离变量法的解题步骤：
① 根据界面的形状选择适当坐标系。 ② 建立坐标系，写出场量所满足的方程，写出通 解。 ③ 写出边界条件和衔接条件(即：不同区域分界面 上的边值关系)。 ④ 根据定解条件，求出通解中的积分常数。 ⑤ 将求出的积分常数代入通解表达式，得到实际 问题的解。 关键步骤：① 充分利用对称性，写出简单的通解。
n
anm, bnm, cnm, dnm为积分常数，在具体问题中由边 界条件确定。
若问题具有轴对称性，取此轴为极轴，通解为
bn (an R n 1 )Pn (cos ) R n
n
其中
P0 cos 1 ， P1 cos cos，
b a R
若问题具有球对称性
dn 2 (cn R n1 )Pn (cos )， ( R R0 ) R n
n
无穷远处，
1 E0 R cos E0 RP1 (cos ), 因而 a1 E0，an 0 (n 1)
R 0 处， 2 应为有限值，因此
dn 0
在介质球面上（R=R0），
3
p R 0 E0 R0 cos 3 2 40 R 2 0 R 1
例3 半径为R0的导体球置于均匀外电场E0中， 求电势和导体上的电荷面密度。
解：用导体表面边界条件，照上例方法可解出导体
球外电势
E0 R E0 R cos 2 cos R
二、分离变量法
分离变量法就是将场量的函数表达式中不同坐标相 互分离，即将场量分解为单一坐标函数的乘积的形 式，求出通解。然后再根据给定的边界条件求出实 际问题的的解。 不同坐标系中拉氏方程的通解不同。 1. 球坐标中的通解：
bnm ( R, , ) (anm R n 1 )Pnm (cos ) cos m R n,m d nm m n (cnm R n 1 )Pn (cos ) sin m R n,m
0 0 E 0 En 2 0 E 1 1 0 1 A1r
很小时,v1趋于1/2， 面电荷密度很大，趋于1/r1/2
其中
R3 1 Q1 1 Q 1 1 R1 R2 R3
利用这些值，得电势的解
Q Q1 1 ， ( R R3 ) 40 R Q1 1 1 ， ( R2 R R1 ) 2 40 R R1
导体球上的感应电荷为
2 2 0 R d Q1 R R R1
V An r sin n
n
n
在尖角附近r→ 0 ，上式求和式的主要贡献来自r的 最低次幂项，即n=1项
V A1r sin 1
1
电场为： Er 1 A1r 1 1sin 1 r 1 1 1 E 1 A1r cos 1 r 尖劈两面上的电荷面密度为：
A r B r C cos D sin
A0C0 V , B0 0, C 0
0.
因r→ 0时ϕ有限，得
B0 B 0.
在尖劈θ=2π-α 面上， ϕ=V与r无关，必须
D0 0， sin 2 0 n n 1,2 , 因此v的可能值为 νn α 2 π 考虑这些条件，ϕ可以重写为
§2.3 拉普拉斯方程 分离变量法
本章的基本问题：
电场由电势描述；
电势满足泊松方程+边界条件。
具体的工作： 解泊松方程 只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时， 这类问题的解才能以解析形式给出，而且视
具体情况不同而有不同解法。
本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法。
一、拉普拉斯方程
在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的． ① 例如： 电容器内部的电场是由作为电极的两个 导体板上所带电荷决定的。 ② 电子光学系统的静电透镜内部，电场是 由分布于电极上的自由电荷决定的。 这些问题的特点是： 自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空