平面向量题型全归纳,平面向量知识点和题型总结

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平面向量题型归类及解题方法

平面向量题型归类及解题方法1. 平面向量的定义和性质平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头来表示。

平面向量通常用一个字母加上一个箭头（如a→）来表示。

平面向量有以下性质： - 零向量的方向是任意的，大小为0。

- 向量的大小等于其模长，记作∥a∥。

- 向量可以相等，相等的向量有相同的大小和方向。

- 向量可以相反，相反的向量大小相等，方向相反。

- 向量可以相加，向量相加满足三角形法则。

- 向量可以缩放，即乘以一个标量。

- 向量可以平移，即使原点发生变化。

2. 平面向量的基本运算2.1 向量的加法向量a和b的和记作a + b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的终点。

2.2 向量的减法向量a和b的差记作a - b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的起点。

2.3 向量的数乘向量a与一个实数k的积记作k a，其几何意义是将向量a的长度缩放为原来的k 倍，方向不变（当k>0时）或反向（当k<0时）。

2.4 平行向量和共线向量如果两个向量的方向相同（可能大小不同），那么它们是平行向量。

如果两个向量共线，即一个向量是另一个向量的倍数，那么它们是共线向量。

2.5 两个向量的数量积（点积）设a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则向量a和b的数量积（点积）定义为：a·b= x1x2 + y1y2。

2.6 向量的模长和方向角设向量a = (x, y)，则向量a的模长定义为∥a∥= √(x^2 + y^2)。

向量a的方向角定义为与x轴的正方向之间的夹角θ，其中tanθ = y / x。

3. 平面向量的题型归类及解题方法平面向量的题型主要包括平面向量的加减法、数量积、平行向量和共线向量、模长和方向角等。

3.1 平面向量的加减法题型•已知两个向量，求其和或差向量。

•已知一个向量和其和或差向量，求另一个向量。

平面向量知识归纳和题型总结#精选.

平面向量章节分析:向量是近代数学中重要和基本的概念之一,具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形于一体, 是沟通代数与几何的天然桥梁，能与中学数学内容的许多主干知识相结合,形成知识交汇点.向量是沟通代数、几何和三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理学科中有重要应用.向量有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具,向量概念引入后,许多图形的基本性质都可以转化为向量的运算体系,例如平行、垂直、夹角、距离等.对本章的学习要立足基础,强化运算,重视运用,能根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算,并能运用向量知识解决平面几何中的一些证明和计算问题.平面向量的概念、几何运算和基本定理1.向量的相关概念2.向量的线性运算3.向量的共线定理非零向量a 与向量b 共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使b a =λ。

延伸结论:,,A B C 三点共线//AB AC ⇔⇔当且仅当有唯一R λ∈,使AB AC =λ 4.平面向量的基本定理如果12,e e 是一个平面内两个不共线向量,那么对这平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2使:1122a e e =λ+λ,其中不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 练习:（1）已知12,e e 是平面向量的一组基底,11122122,a x e y e b x e y e =+=+, ①若a b =当且仅当12x x =且12y y =.②若0,a =则120x x ==.（2）如图,OA OB 为单位向量，||23OC =，其中,OA OB 的夹角为120，,OA OC 的夹角为30。

若OC OB OA =λ+μ，求,λμ的值。

5.一个常用结论:ABC △中, M 为边BC 的中点, 则有:2AM AB AC =+. 练习:设ABC ∆的重心为点G ,设,.AB a AC b ==试用,a b 表示AG . 典型例题分析:知识点一:基本概念例1.1.如果12,e e 是平面α内两个不共线向量,那么下列各说法错误的有( )①12+e e λμ(,λμ∈R )可以表示平面α内的所有向量;平面α内的所有向量都可以表示成12+e e λμ(,λμ∈R )。

平面向量复习基本知识点及经典结论总结

平面向量复习基本知识点及经典结论总结平面向量是数学中常见的概念，它是一种具有大小和方向的量。

本文将对平面向量的基本知识点及经典结论进行总结，以帮助读者复习和理解。

一、基本知识点1.定义：平面向量是具有大小和方向的量，可用有向线段来表示。

通常用字母a、b、c等表示向量，用小写字母表示有向线段的长度，用大写字母表示向量的大小。

2.向量的表示方法：在平面直角坐标系中，可以用坐标表示一个向量。

设平面向量a的起点为原点O(0,0)，终点为点A(x,y)，则向量a的表示为a=(x,y)。

3.向量的加法：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a+b可以表示为(a,b)=(x1+x2,y1+y2)。

4.向量的数量积：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a和b的数量积为a·b=x1×x2+y1×y25.向量的模长：向量a的模长表示为，a，可通过勾股定理求得，即，a，=√(x^2+y^2)。

二、经典结论1.平面向量共线：如果有两个向量a和b，且b与a同方向或反方向，那么向量a和b共线；如果b与a不同方向，那么向量a和b不共线。

2. 平面向量定比分点：如果有两个向量a = (x1,y1)和b = (x2,y2)，且存在一个实数k，使得x2 = kx1，y2 = ky1，则向量a和b的终点共线，并且b在a的延长线上（如k>1）或b在a的连线上（如0<k<1）。

3.向量共线定理：如果有三个向量a，b，c，且c=λa+μb，则向量c与向量a和b共线。

4.平面向量的线性运算：设有三个向量a，b，c，和两个实数λ、μ，那么有以下性质成立：(1)a+b=b+a（交换律）(2)(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）(3)λ(μa)=(λμ)a=μ(λa)=λ(μa)（乘法结合律）(4)λ(a+b)=λa+λb（分配律）(5)(λ+μ)a=λa+μa（分配律）5.向量共线的判定方法：(1)数量积：如果两个向量a和b的数量积a·b=0，则向量a和b垂直；如果a·b>0，则向量a和b夹角小于90°；如果a·b<0，则向量a和b夹角大于90°。

平面向量知识点和重点题型总结

平面向量的概念及线性运算【2013年高考会这样考】1．考查平面向量的线性运算．2．考查平面向量的几何意义及其共线条件．【复习指导】本讲的复习，一是要重视基础知识，对平面向量的基本概念，加减运算等要熟练掌握，二是要掌握好向量的线性运算，搞清这些运算法则和实数的运算法则的区别．基础梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)3.(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.4．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.一条规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．两个防范(1)向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )． A ．－BC →＋12BA → B ．－BC →－12BA → C.BC →－12BA →D.BC →＋12BA →2．判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b|. 正确的个数是( )．A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )． A.EF →＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE → D.EF →＝－OF →－OE →4．(2011·四川)如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )．A ．0 B.BE → C.AD →D.CF →5．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝________.考向一平面向量的概念【例1】►下列命题中正确的是( )． A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行【训练1】给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；④若a 与b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等．其中正确命题的序号是________．考向二平面向量的线性运算【例2】►如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )．A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0【训练2】在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝( )． A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c考向三共线向量定理及其应用【例3】►设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．【训练3】 (2011·兰州模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件是( )．A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1【示例1】► (2012·泰安十校联考)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np ，下面说法错误的是( )． A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0 B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2【示例2】► (2011·山东)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下列说法正确的是( )．A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上 D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上。

最全归纳平面向量中的范围与最值问题 (十大题型)(学生版)

最全归纳平面向量中的范围与最值问题目录题型一：三角不等式题型二：定义法题型三：基底法题型四：几何意义法题型五：坐标法题型六：极化恒等式题型七：矩形大法题型八：等和线题型九：平行四边形大法题型十：向量对角线定理方法技巧总结技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：(1)定义法第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步：得出结论(2)坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果技巧二．极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2②①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2=2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2----极化恒等式①平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．②三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)技巧三．矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：OA 2+OC 2=OB 2+OD 2．【证明】(坐标法)设AB =a ,AD =b ，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ，则B (a ,0),D (0,b ),C (a ,b )，设O (x ,y )，则OA 2+OC 2=(x 2+y 2)+[(x -a )2+(y -b )2]OB 2+OD 2=[(x -a )2+y 2]+[x 2+(y -b )2]∴OA 2+OC 2=OB 2+OD 2技巧四．等和线(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然．(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB(λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；技巧五．平行四边形大法1.中线长定理2AO 2=AB 2+AD 2-12DB 22.P 为空间中任意一点，由中线长定理得：2PO 2=PA 2+PC 2-12AC 22PO 2=PD 2+PB 2-12DB 2两式相减：PA 2+PC 2-PD 2+PB 2=AC2-BD 22=2AB ⋅AD技巧六．向量对角线定理AC ⋅BD =(AD 2+BC 2)-(AB 2+CD2)2必考题型归纳题型一:三角不等式1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ,b ,c 满足|a |=2,|b |=1,|c -a -b |=1，若对任意c ，(c -a )2+(c-b )2≤11恒成立，则a ⋅b 的取值范围是.2(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：|a|=1,b ⋅a =-1，若对满足条件的任意向量b ，|c -b |≥|c -a |恒成立，则cos c +a ,a 的最小值是．3已知向量a ,b ,c 满足a =b =c =2，a ⋅b =0，若关于t 的方程ta +b2-c=12有解，记向量a ,c 的夹角为θ，则sin θ的取值范围是.1.已知e 1 ,e 2 ,e 3 是平面向量，且e 1 ,e 2 是互相垂直的单位向量，若对任意λ∈R 均有e 3 +λe 1的最小值为e 3 -e 2 ，则e 1 +3e 2 -e 3 +e 3-e 2 的最小值为．2.已知平面向量e 1 ,e 2 满足2e 2 -e 1 =2，设a =e 1 +4e 2 ,b =e 1 +e 2 ，若1≤a ⋅b ≤2，则|a|的取值范围为．3.(2023·浙江金华·统考一模)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =74，|a -b|=3，(a -c )(b -c )=-2，则c的取值范围是．1已知向量a ，b 的夹角为π3，且a ⋅b =3，向量c 满足c =λa +1-λ b 0<λ<1 ，且a ⋅c =b ⋅c ，记x =c ⋅aa ，y =c ⋅b b，则x 2+y 2-xy 的最大值为.2(2023·四川成都·高二校联考期中)已知向量a ，b ，c 满足a =1，b=2，a ⋅b=-1，向量c -a 与向量c -b 的夹角为π4，则c 的最大值为．3(2023·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知向量a ，b 满足a =1，b=3，且a ⊥b ，若向量c 满足c -a -b =2a -b ，则c的最大值是．1.已知向量a ，b 满足a =1，b =3，且a ⋅b =-32，若向量a -c 与b -c 的夹角为30°，则|c |的最大值是. 2.已知向量a ，b ，满足a =2b =3c =6，若以向量a ，b 为基底，将向量c 表示成c =λa+μb (λ，μ为实数)，都有λ+μ ≤1，则a ⋅b的最小值为 3.已知向量a 、b 满足：a -b=4，a =2b .设a -b 与a +b 的夹角为θ，则sin θ的最大值为.1.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF=μDC ．若λ+μ=23，则AE ⋅AF 的最小值为．2.(2023·天津·高三校联考阶段练习)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E 、F 分别在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF =μDC ，若2λ+μ=52，则AE ⋅AF 的最小值．3.如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为．4.菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AB ⋅AN的最大值为．5.如图，菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =60°,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为.6.平面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠A =120°，点N 是DC 边上的点，且DN =3NC，点M 是四边形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM ⋅AN的最大值为.7.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足a +b =3，a ⋅b =0．若c =λa+1-λ b ，且c ⋅a =c ⋅b，则c 的最大值为．8.已知平面向量a ，b ，c 满足a =2，b =1，a ⋅b =-1，且a -c 与b -c 的夹角为π4，则c 的最大值为．9.已知平面向量a 、b 、c 满足a=4，b =3，c =2，b ⋅c =3，则a -b 2a -c 2-a -b⋅a -c 2最大值为.10.在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且满足AN =λAB +μAC，则λ2+μ2的最小值为.题型四:几何意义法1(2023·全国·模拟预测)已知a ，b ，c 是平面向量，满足a -b =a +b ，a =2b =2，c +a -b=5，则向量c 在向量a上的投影的数量的最小值是.2(2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π4，c -a与c -b 的夹角为3π4，a -b=2，c -b =1，则b ⋅c 的取值范围是.3(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b 夹角为π3，且平面向量c 满足c -a =c -b =1,c -a ⋅c -b =-12,记m 为f t =ta +1-t b (t ∈R )的最小值，则m 的最大值是． 1.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =-3，a -b=4，c -a 与c -b 的夹角为π3，则c -a -b 的最大值为． 2.(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π3，c -a 与c -b的夹角为2π3，a -b =23，c -b =2，则b ⋅c 的取值范围是．3.已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =2，且(c -a )⋅(c -b )=0，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π6,π3，则|c |的最大值是.4.(2023·全国·高三专题练习)平面向量a ,b ,c 满足：a ,b 的夹角为π3，|a -b|=|b -c |=|a -c |=23，则b ⋅c的最大值为. 5.(2023·广东阳江·高二统考期中)已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =4，且a -c⋅b -c =-1，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π3,π2，则c 的模取值范围是. 6.(2023·浙江·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c ，若a =b =a -b =1，且2a -c+2b +c =23，则a -c的取值范围是.7.(2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末)已知向量a ，b 满足a =b =1，且a ⋅b=0，若向量c 满足c +a +b=1，则c 的最大值为.8.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b ，c 满足a -b +c=2b =2，b -a 与a 的夹角为3π4，则c 的最大值为．9.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：a -b =5，向量a与向量b 的夹角为π3，a -c=23，向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3，则a 2+c 2的最大值为.题型五:坐标法1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足2a +b=3，b =1，则a +2a +b 的最大值为.2(2023·江苏常州·高三统考期中)已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=2，|b |=4，a ，b 的夹角为π3，且(a -c )⋅(b -c )=2，则|c |的最大值是.3设平面向量a ，b ，c 满足a =b =2，a 与b 的夹角为2π3，a -c ⋅b -c =0则c 的最大值为．1.(2023·安徽滁州·校考三模)已知平面向量a ，b ，c 满足|a|=1，|b |=3，a ⋅b =0，c -a 与c -b 的夹角是π6，则c ⋅b -a 的最大值为.2.(2023·河北·统考模拟预测)如图，在边长为2的正方形ABCD 中．以C 为圆心，1为半径的圆分别交CD ，BC 于点E ，F ．当点P 在劣弧EF 上运动时，BP ⋅DP的最小值为．3.(2023·山东·山东省实验中学校考一模)若平面向量a ，b ，c 满足a =1，b ⋅c =0，a ⋅b =1，a⋅c=-1，则b +c 的最小值为．4.(2023·四川眉山·仁寿一中校考一模)如图，在平面四边形ABCD 中，∠CDA =∠CBA =90°，∠BAD =120°，AB =AD =1，若点E 为CD 边上的动点，则AE ⋅BE的最小值为．5.(2023·安徽滁州·校考模拟预测)已知a=1，b +a +b -a =4，则b -14a 的最小值是.6.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b 满足a=3，且b -λa 的最小值为1(λ为实数)，记a,b =α，a ,a -b=β，则b ⋅b -a cos α+β最大值为.7.在矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，M ，N 分别是AB ，AD 上的动点，且满足2AM +AN =1，设AC =xAM +yAN ，则2x +3y 的最小值为()A.48B.49C.50D.51题型六:极化恒等式1(2023·山东师范大学附中模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是．2(2023·湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的取值范围为． 3(2023·陕西榆林·三模)四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，AB =6，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA ⋅PC的最小值为． 1.(2023·福建莆田·模拟预测)已知P 是边长为4的正三角形ABC 所在平面内一点，且AP=λAB +(2-2λ)AC (λ∈R )，则PA ⋅PC 的最小值为()A.16B.12C.5D.42.(2023·重庆八中模拟预测)△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5，PQ 为△ABC 内切圆的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为()A.0,4B.1,4C.0,9D.1,9题型七:矩形大法1已知圆C 1:x 2+y 2=9与C 2:x 2+y 2=36，定点P (2,0)，A 、B 分别在圆C 1和圆C 2上，满足PA ⊥PB ，则线段AB 的取值范围是．2在平面内，已知AB 1 ⊥AB 2 ，OB 1 =OB 2 =1，AP =AB 1 +AB 2 ，若|OP |<12，则|OA |的取值范围是()A.0,52B.52,72C.52,2D.72,23(2023·全国·高三专题练习)已知圆Q :x 2+y 2=16，点P 1,2 ，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且PM⋅PN =0若PQ =PM +PN ，则PQ的最小值为．1.设向量a ，b ，c满足|a |=|b |=1，a ⋅b =12，(a -c )⋅(b -c )=0，则|c |的最小值是()A.3+12B.3-12C.3D.1题型八:等和线1如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB +yAC，则2x +2y 的最大值为()A.83B.2C.43D.12在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN =λAB +μAC(λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是()A.0,13B.13,12C.[0,1]D.[1,2]3(2023·全国·高三专题练习)如图,OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP =xOA +yOB .当x =-12时，y 的取值范围是()A.0，+∞ B.12，32C.12，+∞ D.-12，321.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC=xOA +yOB，则3x +y 的取值范围是．2.(2023·江西上饶·统考三模)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一个动点.若OC=xOA +yOB ，则2x +y 的取值范围是.3.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，OA =1，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB ，则x +3y 的取值范围是.4.(2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB，则x +4y 的取值范围是.5.(2023·全国·高三专题练习)如图，OM ⎳AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且OP =xOA +yOB，则实数对x ,y 可以是()A.-14,34B.-15,75C.14,-12D.-23,236.如图，B 是AC 的中点，BE =2OB ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP=xOA +yOBx ,y ∈R ，则下列结论正确的个数为()①当x =0时，y ∈2,3②当P 是线段CE 的中点时，x =-12，y =52③若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段④x -y 的最大值为-1A.1B.2C.3D.47.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =AC=AB ⋅AC=2，点Q 在线段BC (含端点)上运动，点P 是以Q 为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若AP =λAB +μAC，则λ+μ的最大值为()A.1B.33C.3+33D.328.在△ABC 中，AD 为BC 上的中线，G 为AD 的中点，M ，N 分别为线段AB ，AC 上的动点(不包括端点A ，B ，C )，且M ，N ，G 三点共线，若AM =λAB ，AN =μAC，则λ+4μ的最小值为()A.32 B.52C.2D.949.(2023·全国·高三专题练习)在ΔABC 中，AC =2,AB =2,∠BAC =120°,AE =λAB ,AF=μAC ，M 为线段EF 的中点，若AM=1，则λ+μ的最大值为()A.73B.273C.2D.21310.在扇形OAB 中，∠AOB =60o ，OA =1，C 为弧AB 上的一个动点，且OC =xOA +yOB．则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]11.(2023·全国·高三专题练习)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =600，C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点，且OC =xOA +yOB，若u =x +λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为()A.(1,3)B.13,3C.12,1D.12,2题型九:平行四边形大法1如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC ⋅BC 的取值范围是.2如图，C ，D 在半径为1的⊙O 上，线段AB 是⊙O 的直径，则AC ⋅BD的取值范围是.3(2023·浙江·模拟预测)已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足|a +e |=|b -e |=1，a ⋅b的取值范围是.1.(2023·江西宜春·校联考模拟预测)半径为1的两圆M 和圆O 外切于点P ，点C 是圆M 上一点，点B 是圆O 上一点，则PC ⋅PB的取值范围为.2.(2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习)设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA ⋅PB的取值范围是()A.-8,12B.-16,34C.-8,1D.-16,1题型十:向量对角线定理1已知平行四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，若记a =OA⋅OB ，b =OB ⋅OC ，c =OC ⋅OD ，则()A.a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <a <c2如图，在圆O 中，若弦AB =3，弦AC =5，则AO ⋅BC的值是()A.-8B ．-1C ．1D ．83如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BC 若，AB =a ，AD =b ，则AC ⋅BD 等于()A.b 2-a 2B.a 2-b 2C.a 2+b 2D.a 2⋅b 2。

高考平面向量题型归纳总结

高考平面向量题型归纳总结在高考数学考试中，平面向量是一个常见的考点，也是学生普遍认为较为困难的部分之一。

平面向量题型包括向量的加减、数量积、向量方向等。

本文将对高考平面向量题型进行归纳总结，帮助学生更好地掌握此类题型。

一、向量的加减1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。

在解题过程中，可以利用向量的平移性质，将向量平移至同一起点，再连接终点得到新的向量。

2. 向量的减法向量的减法可以转化为加法进行处理，即a - b = a + (-b)。

其中，-b表示b的反向量，即方向相反的向量，模长相等。

二、数量积数量积又称为内积或点积，记作a·b。

1. 定义对于两个向量a(x₁, y₁)和b(x₂, y₂)，它们的数量积a·b = x₁x₂ +y₁y₂。

另外，数量积还可以表示为向量模长和夹角的乘积，即a·b =|a| · |b| · cosθ，其中θ为a与b的夹角。

2. 性质(1) 交换律：a·b = b·a(2) 分配律：a·(b + c) = a·b + a·c(3) 结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中k为实数(4) 若a·b = 0，则a与b垂直或其中一个为零向量(5) 若a·b > 0，则夹角θ为锐角；若a·b < 0，则夹角θ为钝角。

三、向量方向向量的方向可以用两种方式来表示：1. 向量的方向角：向量a(x, y)的方向角为与x轴正方向之间的夹角α，其中-π < α ≤ π。

2. 方向余弦：向量a(x, y)的方向余弦为与x轴的夹角的余弦值cosα，与y轴的夹角的余弦值cosβ。

在解决平面向量题型时，可以利用这两种方式来确定向量的方向。

平面向量知识点归纳及常考题型分析

平面向量知识点归纳及常考题型分析【知识点回顾】1、实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a ;(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ;(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b = b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b =a ·（λb ）;(3)（a +b ）·c = a ·c +b ·c3、平面向量基本定理如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e ．不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、向量共线（平行）的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a //b (b ≠0)1221x y x y ⇔-=5、a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ6、a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7、平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b =1212(,)x x y y ++(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b =1212(,)x x y y --(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,AB OB OA x x y y =-=--(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,x y λλ (5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b =1212(x x y y +8、两向量的夹角公式 121cos ||||x a b a b x θ⋅==⋅+a =11(,)x y ,b =22(,)x y )9、平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ) 10、向量的平行与垂直：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 a ||b ⇔b =λa 1221x y x y ⇔-=a ⊥b (a ≠0)⇔ a ·b =01212x x y y ⇔+=11、线段的定比分公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+） 12、三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,33x x x y y y G ++++ 13、点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,h k 14、“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,P x h y k ++ (2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+ (3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)f x h y k --= (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,x y15、三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔== （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+【题型归纳】一、向量的概念和基本运算例1、（1）判断下列命题是否正确：①若a b =，则a b =；②两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；③若AB DC =，则ABCD 是平行四边形；④若ABCD 是平行四边形，则AB DC =；⑤若,a b b c ==，则a c =；⑥若//,//a b b c ，则//a c 。

(完整版)平面向量题型归纳总结

平面向量题型归纳一．向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】1．向量的概念：既有大小又有方向的量，记作：AB 或a 。

注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？〔向量可以平移〕。

例：A 〔1,2〕，B 〔4,2〕，那么把向量AB 按向量a ＝〔－1,3〕平移后得到的向量是：向量的大小〔或长度〕，记作：||AB 或||a 。

3．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 4．单位向量：单位向量：长度为1的向量。

假设e 是单位向量，那么||1e =。

(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；5．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；6．平行向量〔也叫共线向量〕：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！〔因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；如图，在平行四边形ABCD 中，以下结论中正确的选项是〔〕A.AB CD =B.AB AD BD -=C.AD AB AC +=D.AD BC +=07．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是－a 、AB BA =-。

例：以下命题：〔1〕假设a b =，那么a b =。

〔2〕假设,a b b c ==，那么a c =。

〔6〕假设//,//a b b c ，那么//a c 。

〔3〕假设AB DC =，那么ABCD 是平行四边形。

〔4〕假设ABCD 是平行四边形，那么AB DC =。

其中正确的选项是_______ 题型1、根本概念 1：给出以下命题：①假设|a |＝|b |，那么a =b ；②向量可以比拟大小；③方向不相同的两个向量一定不平行；④假设a =b ，b =c ，那么a =c ；⑤假设a //b ，b //c ，那么a //c ；⑥00a ⋅=；⑦00a ⋅=；其中正确的序号是。

平面向量常见题型与解题方法归纳学生版

平面向量常见题型与解题方法归纳1常见题型分类题型一：向量的有关概念与运算例1：已知a 是以点A 3;－1为起点;且与向量b = －3;4平行的单位向量;则向量a 的终点坐标是 .例2：已知| a |=1;| b |=1;a 与b 的夹角为60°; x =2a －b ;y =3b －a ;则x 与y 的夹角的余弦是多少题型二：向量共线与垂直条件的考查例11,a b 为非零向量..“a b ⊥”是“函数()()()f x xa b xb a =+⋅-为一次函数”的A 充分而不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件2已知O;N;P 在ABC ∆所在平面内;且,0OA OB OC NA NB NC ==++=;且PA PB PB PC PC PA •=•=•;则点O;N;P 依次是ABC ∆的A.重心外心垂心B.重心外心内心C.外心重心垂心D.外心重心内心例2．已知平面向量a ＝3;－1;b ＝21; 23.1 若存在实数k 和t ;便得x ＝a ＋t 2－3b ; y ＝－k a ＋t b ;且x ⊥y ;试求函数的关系式k ＝ft ；2 根据1的结论;确定k ＝ft 的单调区间.例3：已知平面向量a ＝3;－1;b ＝21;23;若存在不为零的实数k 和角α;使向量c ＝a ＋sin α－3b ; d ＝－k a ＋sin αb ;且c ⊥d ;试求实数k 的取值范围.例4：已知向量)1,2(),2,1(-==b a ;若正数k 和t 使得向量 b t a k y b t a x 1)1(2+-=++=与垂直;求k 的最小值.题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查向量与三角函数结合;题目新颖而又精巧;既符合在知识的“交汇处”构题;又加强了对双基的考查.例7．设函数f x ＝a · b ;其中向量a ＝2cos x ; 1; b ＝cos x ;3sin2x ; x ∈R.1若f x ＝1－3且x ∈－3π;3π;求x ；2若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝m ; n m ﹤2π平移后得到函数y ＝f x 的图象;求实数m 、n 的值.例8：已知a =cosα;sin α;b =cosβ;sinβ0<α<β<π;1求证： a +b 与a -b 互相垂直； 2若k a +b 与a -k b 的模大小相等k ∈R 且k ≠0;求β－α巩固练习1.函数cos(2)26y x π=+-的图象F 按向量a 平移到'F ;'F 的函数解析式为(),y f x =当()y f x =为奇函数时;向量a 可以等于.(,2)6A π-- .(,2)6B π- .(,2)6C π- .(,2)6D π 1. 2.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ;它们的夹角为120o .如图所示;点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈;则x y +的最大值是________.3给出下列命题① 非零向量a 、b 满足|a |=|b |=|a -b |;则a 与a +b 的夹角为30°；② a ·b ＞0是a 、b 的夹角为锐角的充要条件；③ 将函数y =|x -1|的图象按向量a =-1;0平移;得到的图像对应的函数为y =|x |；④若AC AB +·AC AB -=0;则△ABC 为等腰三角形以上命题正确的是 ..注：把你认为正确的命题的序号都填上。

(word完整版)高中数学平面向量知识点总结及常见题型,推荐文档

平面向量一. 向量的根本看法与根本运算1向量的看法：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用 a, b ,c 来表示，或用有向线段的起点与终uuur uuuryj ( x, y) 向点的大写字母表示，如： AB几何表示法AB ，a；坐标表示法 a xiuuur即向量的大小，记作｜ a ｜量的大小即向量的模〔长度〕，记作 | AB |向量不能够比较大小，但向量的模能够比较大小．②零向量：长度为0 的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量 a ＝0r r｜ a ｜＝0由于 0的方向是任意的，且规定0 平行于任何向量，故在有关向量平行〔共线〕的问题中务必看清楚可否有“非零向量〞这个条件．〔注意与 0 的差异〕③单位向量：模为 1 个单位长度的向量向量a0为单位向量｜a0｜＝ 1④平行向量〔共线向量〕：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都能够移到同素来线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作 a ∥ b 由于向量能够进行任意的平移( 即自由向量 ) ，平行向量总能够平移到同素来线上，故平行向量也称为共线向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总能够重合，记为a b 大小相等，方向相同 (x1 , y1 ) (x2 , y2 )x1x2 y1y22向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法uuur r uuur r r uuur uuur uuur设 AB a, BC b ，那么a+b=AB BC=AC〔1〕0 a a 0 a ；〔2〕向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法那么〞与“平行四边形法那么〞：（1〕用平行四边形法那么时，两个向量是要共始点的，和向量是始点与向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2〕三角形法那么的特点是“首尾相接〞，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法那么；当两向量是首尾连接时，用三角形法那么．向量加法的三角形法那么可实行至多个向量相加：1uuur uuur uuurL uuur uuur uuurAB BC CD PQ QR AR ，但这时必定“首尾相连〞．3 向量的减法①相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量记作 a ,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有：〔 i 〕( a) = a； (ii) a +( a )=( a )+ a = 0 ；(iii) 假设a、b是互为相反向量，那么a = b , b = a , a + b = 0②向量减法：向量 a 加上b的相反向量叫做 a 与b的差，记作： a b a ( b) 求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法： a b 能够表示为从 b 的终点指向a的终点的向量〔 a 、b有共同起点〕4实数与向量的积：①实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作λ a ，它的长度与方向规定以下：〔Ⅰ〕a a ；〔Ⅱ〕当0 时，λa的方向与a的方向相同；当0 时，λa的方向与a的方向相反；当0 时， a 0，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量 b 与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b= a6平面向量的根本定理：若是 e1 , e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任向来量 a ，有且只有一对实数1 , 2 使：a1e1 2 e2，其中不共线的向量e1 , e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7特别注意 :（1〕向量的加法与减法是互逆运算（2〕相等向量与平行向量有差异，向量平行是向量相等的必要条件（3〕向量平行与直线平行有差异，直线平行不包括共线〔即重合〕，而向量平行那么包括共线〔重合〕的情况（4〕向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的详尽地址没关，只与其相对地址有关2二. 平面向量的坐标表示1 平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与r rx 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 作为基底由平面向量的根本定理知，该平面内的任向来量r r r rr 是一一 a 可表示成 a xi yj ，由于 a 与数对 (x,y) r r r对应的，因此把 (x,y) 叫做向量 a 的坐标，记作 a =(x,y) ，其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标， y叫做在 y 轴上的坐标(1) 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2) 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的详尽地址没关，只与其相对位置有关2 平面向量的坐标运算：(1) r x 1, y 1 rx 2 , y 2 r rx 1 x 2 , y 1 y 2 假设 a,b ，那么a b 假设 A x 1 ,y 1, B x 2 , y 2 uuur (2) ，那么 AB x 2 x 1, y 2 y 1 (3) r =(x,y) ，那么 r x, y)假设aa =((4) rx 1, y 1 rx 2 , y 2 r rx 1 y 2 x 2 y 1 0假设 a,b，那么 a // b(5) rx 1, y 1 r x 2 , y 2 r rx 1 x 2y 1 y 2假设 a,b ，那么 a brry 1 y 2 0假设a b ，那么 x 1 x 23 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量〔内积〕及其各运算的坐标表示和性质运算几何方法坐标方法运算性质种类向 1 平行四边形法那么 r ra b b a量2 三角形法那么a b (x 1 x 2, y 1 y 2)的 (a b) c a (b c)加法uuur uuur uuurAB BC AC向三角形法那么rra b a ( b )量a b (x 1 x 2,y 1 y 2)的 uuur uuur 减AB BA法uuur uuur uuurOB OA AB 3向a 是一个向量 ,a( x, y)( a)()a 量满足 :的>0 时 ,a 与 a 同()aaa 乘向 ;法<0 时 ,a 与 a 异( ab )ab向 ;=0 时,a = 0a ∥b a b向 a ?b 是一个数rrx 1x 2 y 1 y 2 a ? bb ? a量 a?b的a0 或 b 0时 ,???数( a) b a ( b)(a b)量 a?b =0 (ab) ?c a?cb ?c积a0 且 b 0 时 ,a 2 | a |2 , | a | x 2 y 2a?b | || |cos ,| a ? b | | a || b |a b a b三．平面向量的数量积1 两个向量的数量积：两个非零向量 rrr rr rrra 与b ，它们的夹角为，那么 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱cos叫做 a 与 b 的数量积〔或内积〕r r规定 0 arr rr r2=a b向量的投影：︱ b ︱ cosr∈ R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影投影的绝对值称| a |为射影3r r r r r数量积的几何意义： a · b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积4 向量的模与平方的关系：r r r 2 r 2a a a | a |5 乘法公式成立：r r r r r 2 r 2r 2 r 2a b a b a b ab ；r r 2 r 2 r r r 2 r 2r r r 2ab a2a b ba 2a bb6 平面向量数量积的运算律：4①交换律成立： r rr r a bb a②对实数的结合律成立：r r r r r r Ra ba b a b③分配律成立：r r r r r r r rr r a b ca cb c ca b特别注意：〔 1〕结合律不成立：r r r r r r；a b ca b cr r r rr r〔2〕消去律不成立 a b a c 不能够获取b cr rr r r r 〔3〕 a b =0 不能够获取 a =0 或 b=07 两个向量的数量积的坐标运算：rrr ry 1 y 2两个向量 a( x 1 , y 1 ), b( x 2 , y 2 ) ，那么 a · b =x 1 x 28 向量的夹角：r r uuur r uuur r已知两个非零向量 a 与 b ，作 OA = a , OB = b , 那么 ∠AOB=〔 0 01800〕叫做向量 r ra 与b 的夹角r rr r x 1x 2 y 1 y 2cos = cosa ?ba,b r r = 22x 2 22a ? bx 1 y 1 y 2当且仅当两个非零向量rr 0 r r 0ra 与b 同方向时， θ=0 ，当且仅当 a 与 b 反方向时θ =180 ，同时 0与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题rrr r r r9 垂直：若是 a 与 b 的夹角为 90 那么称 a 与b 垂直，记作 a ⊥ b10 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥ba·b＝ Ox 1x 2y 1 y 2 0 平面向量数量积的性质题型 1. 根本看法判断正误：（ 1〕共线向量就是在同一条直线上的向量.（ 2〕假设两个向量不相等，那么它们的终点不能能是同一点.（ 3〕与向量共线的单位向量是唯一的.〔4〕四边形 ABCD 是平行四边形的条件是uuur uuurAB CD .uuur uuur〔5〕假设 AB CD ，那么 A 、 B 、 C 、 D 四点构成平行四边形 .〔6 〕由于向量就是有向线段，因此数轴是向量.〔7 r rr r r r〕假设 a 与 b 共b 与 c 共线，那么 a 与 c 共线 .线，〔8r r r r〕假设 mamb ，那么a b .5rr n .〔9〕假设mana ，那么mr rr r〔10〕假设 a 与 b 不共线，那么a 与b 都不是零向量 . r r r r r r〔11〕假设 a b | a | | b | ，那么 a / /b .r r r r r r〔12〕假设 |a b | | a b | ，那么 a b .题型 2. 向量的加减运算1. rrr r.设 a 表示“向东走 8km 〞 ,b 表示“向北走 6km 〞 , 那么 |ab |2.uuur uuur uuur uuur uuuur. 化简 (AB MB ) (BO BC ) OMuuur uuur3 uuur3. |OA|5, |OB|, 那么 | AB |的最大值和最小值分别为、 .4.uuur uuur uuuruuur r uuurr uuuruuurAC 为 AB 与 AD 的和向量，且 AC a, BDb ，那么 AB， AD5.uuur3 uuur uuuruuuruuuruuur点 C 在线段 AB 上，且 ACAB ,那么ACBC ， ABBC .5题型 3. 向量的数乘运算1.r r r rr r rrr 计算：〔 1〕 3(a b) 2( a b)〔 2〕 2(2 a 5b 3c)3( 2a3b2.rr3,8) ，那么 r1r.a (1, 4),b (3ab题型 4.2作图法球向量的和r rr 1 rr3r向量 a,b ，如以以下图，请做出向量3a2 b 和2ab .r2arb题型 5. 依照图形由向量求未知向量1. 在 ABC 中， D 是 BC 的中点，请用向量uuur uuur uuurAB ，AC 表示 AD . 2.uuur r uuurr uuur uuur 在平行四边形 ABCD 中， ACa, BD b ，求 AB 和 AD ..r2c )题型 6. 向量的坐标运算uuur (4,5) A(2,3) ，那么点 B 的坐标是1. AB， .uuur( 3, 5) ， P(3,7) ，那么点 Q 的坐标是2. PQ.r r r4) , 那么合力的坐标为.3. 假设物体受三个力 F 1 (1,2) , F 2 ( 2,3),F 3 ( 1,6rr(5, 2) r r r r r r4. a( 3,4) ， b，求 a b ， a b ， 3a 2b .ruuur5. A(1,2), B(3,2) , 向量2, x 3y 2) 与 AB 相等，求 x, y 的值 .a (x6. uuur uuur uuur (uuur . AB (2,3) ， BC (m, n) ， CD 1,4) ，那么DA7. O 是坐标原点， A(2,1),B( 4,8)uuur uuur r uuur，且 AB 3BC 0 ，求 OC 的坐标 .题型 7. 判断两个向量可否作为一组基底ur uur1. e 1 ,e 2 是平面内的一组基底，判断以下每组向量可否能构成一组基底：ur uur ur uur uruuruurururuuruururuur uur urA.e 1 e 2和e 1e 2B.3e 1 2e 2 和4e 2 6e 1 C.e 1 3e 2和e 23e 1 D.e 2和e 2e 12.r(3,4) ，能与 r〕aa 构成基底的是〔A. (3,4)B.(4,3) C.(3,4)D. (1,4)5 55 5553题型 8. 结合三角函数求向量坐标uuur1. O 是坐标原点，点uuur2 ， xOAA 在第二象限， | OA | 150o ，求 OA 的坐标 . 2.uuur 4 3 xOA uuurO 是原点，点 A 在第一象限， | OA | ， 60o ，求 OA 的坐标 .题型 9. 求数量积rr 4 r r 的夹角为 60 or rr r r 1. | a | 3,| b | ，且 a 与 b ，求〔 1〕 a b ，〔 2〕 a ( a b) ，r 1 r r r r r r〔3〕 ( a 2 b) b ，〔 4〕 (2 a b ) (a 3b ) .r(2, r ( 8,10) r r r rrr r2. a 6), b ，求〔 1〕 | a |,| b | ，〔2〕 a b ，〔 3〕 a (2 a b ) ，r r r r〔4〕 (2 a b ) (a 3b ) .题型 10. 求向量的夹角71. rrr r12 r r | a |8,| b | 3 ， a b ，求 a 与 b 的夹角 .2. rr( 2 3, 2) r r a( 3,1), b ，求 a 与 b 的夹角 .3. A(1,0) ， B(0,1) ， C (2,5)，求 cos BAC .题型 11. 求向量的模rrr r or r r r 1. | a |3,| b | 4 ，且 a 与 b 的夹角为 60 ，求〔 1〕 | a b | ，〔 2〕 | 2a 3b |.rr( 8,10) r r r r r 1 r2. a(2, 6), b，求〔 1〕 | a |,| b | ，〔5〕 | a b | ，〔 6〕 | a 2 b |.r r2 r r3 rr3. | a | 1，|b | ， | 3a 2b |，求 | 3a b | .r r r 题型 12. 求单位向量a【与 a 平行的单位向量： e r】| a |1. r(12,5) 平行的单位向量是.与 a2. r1) 平行的单位向量是.与 m( 1,2题型 13. 向量的平行与垂直rr1. rrr r a(6,2) ， b (3,m) ，当 m 为何值时，〔 1〕 a / /b ？〔 2〕 a b ？rrr r r r垂直？2. a (1,2) ， b( 3,2) ，〔 1〕 k 为何值时，向量 ka b 与 a 3b 〔2〕 k 为何值时，向量 r r r rka b 与 a 3b 平行？rr r r r rr r rr3. a 是非零向量，a b a c ，且 bc ，求证： a (b c) .题型 14. 三点共线问题 1. A(0,2) ， B(2, 2) ， C (3, 4) ，求证： A, B,C 三点共线 .8uuur2r r uuur r r uuur r r2.设AB2(a5b), BC2a8b,CD3(a b) ，求证：A、B、D三点共线.3.uuur r r uuur r r uuur r r. AB a2b, BC5a6b, CD7a2b ，那么必然共线的三点是4. A(1,3)， B(8,1) ，假设点 C (2a1,a2) 在直线 AB 上，求 a 的值.5.已知四个点的坐标 O(0,0) ， A(3, 4) ， B( 1,2) ， C (1,1) ，是否存在常数 t ，使uuur uuur uuurOA tOB OC 成立？题型 15. 判断多边形的形状1.uuur r uuur r uuur uuur.假设AB3e， CD5e ，且| AD | | BC |,那么四边形的形状是2. A(1,0) ， B(4,3)， C(2,4) ， D (0, 2) ，证明四边形ABCD 是梯形.3. A( 2,1)，B(6,3) ， C (0,5) ，求证：ABC 是直角三角形.4.在平面直角坐标系内，三角形 . uuur uuur uuur(1,3) ,求证：ABC 是等腰直角OA( 1,8), OB( 4,1),OC题型 16. 平面向量的综合应用1.r r r r r ra(1,0) ， b(2,1) ，当k为何值时，向量ka b 与 a3b 平行？2.r( 3,r r r ra5) ，且a b ，| b | 2 ，求b的坐标.3.r r r r r ra与 b 同向， b(1,2) ，那么ab10，求 a 的坐标.3.r r(3,1)r(5,4)r r r a(1,2) ， b， c，那么 c a b .9rr(3,4) r(5,0) ，请将用向量 rrr4. a(5,10) ， b ， ca, b 表示向量 c .rrrrm 的范围；5. a(m,3) ， b(2, 1) ，〔 1〕假设 a 与 b 的夹角为钝角，求rr（ 2〕假设 a 与 b 的夹角为锐角，求 m 的范围 .rr( 3,m) r r r r6. a(6,2) ， b，当 m 为何值时，〔 1〕 a 与 b 的夹角为钝角？〔 2〕 a 与 b的夹角为锐角？7. 梯形ABCD 的极点坐标分别为 A( 1,2) ， B(3, 4) ， D (2,1) ，且 AB / / DC ，AB 2CD ，求点 C 的坐标 .8. 平行四边形ABCD 的三个极点的坐标分别为A(2,1) ， B( 1,3) ，C (3, 4) ，求第四个极点 D 的坐标.9. 一航船以 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实质航行方向与水流方向成 30o 角，求水流速度与船的实质速度 .10. ABC 三个极点的坐标分别为A(3, 4) ， B(0,0) ， C (c,0) ，uuur uuur〔1〕假设 AB AC 0 ，求 c 的值；〔 2〕假设 c5 ，求 sin A 的值 .【备用】1. rr r r r r r r | a |3,| b | 4,| a b | 5，求 | a b |和向量 a, b 的夹角 .2. rr r ur r r r rr r r urx a b ， y 2a b ，且 | a | | b | 1， ab ，求 x, y 的夹角的余弦 .1. rr2,r r r r.a(1,3),b (1) ，那么 (3a 2b) (2a 5b)rr (2, r r r r4. 两向量 a(3, 4), b 1) ，求当 a xb 与 a b 垂直时的 x 的值 . 5.rr (2, r r的范围 .两向量 a(1,3), b ) ， a 与b 的夹角为锐角，求10rr r r的取值范围 .变式：假设a( , 2), b ( 3,5) ， a 与 b 的夹角为钝角，求选择、填空题的特别方法：1. 代入考据法r r(1, r( 1, 2) r例：向量 a (1,1),b1),c ，那么c 〔〕A.1 r3 r1 r3 rC.3 r1rD.3 r1 rab B.a bab ab222222 222. 消除法uuur例： M 是 ABC 的重心，那么以下向量与AB 共线的是〔〕uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur A. AM MB BC B. 3AM AC C. AB BC AC D. AM BM CM11。

高三高考平面向量题型总结,经典

平面向量一、平面向量的基本概念：1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。

向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________.5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。

6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②,,c b b a == 则c a =；③,//,//c b b a c a //④若CD AB=，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点；⑤所有的单位向量都相等；二、向量的线性运算：（一）向量的加法：1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________.（1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量（1）PM QP MN NQ +++ （2）)()()(MB PM AB CQ BC BP +++++（2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则；b a + 是以a ，b为邻边的平行四边形的一条对角线，如图：例1.（09 山东）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+，则 A.0=+PB PA B.0=+PC PA C.0=+PB PC D.0=++PC PB PA例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AO AD AB λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则2.向量的加法运算律：交换律与结合律（二）向量的减法：减法是加法的逆运算，A.PB PA OB OA BA -=-= （终点向量减始点向量）在平行四边形中，已知以a 、b 为邻边的平行四边形中，b a b a -+, 分别为平行四边形的两条对角线，当ba b a -=+时，此时平行四边形是矩形。

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平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量：既有大小又有方向的量。

记作：uuur rAB 或 a 。

uuur r2.向量的模：向量的大小（或长度），记作： | AB |或 | a |。

r r3. 单位向量：长度为 1 的向量。

若e是单位向量，则| e| 1。

r r4.零向量：长度为 0 的向量。

记作：0。

【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

6.相等向量：长度和方向都相同的向量。

7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。

8.三角形法则：uuur uuur AB BA。

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB BC AC；AB BC CD DE AE； AB AC CB （指向被减数）9.平行四边形法则：r r r r r r以 a, b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b ， a b 。

r r r r r r r r10. 共线定理：a b a / /b 。

当0 时，a与b同向；当0 时，a与b反向。

11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。

12.r rx2y 2r 2r r r r r2向量的模：若 a(x, y) ，则| a |， a| a |2， | a b |( a b)r r r rr rcos ra br13.数量积与夹角公式： a b| a | | b | cos；| a || b |r r r r r r r r14.平行与垂直： a / / b a b x1 y2x2 y1； a b a b0x1 x2y1 y2 0题型 1. 基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。

（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。

（ 3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。

（ 4）四边形 ABCD是平行四边形的条件是uuur uuurAB CD 。

高中数学平面向量专题复习(知识要点+六大考试题型详解)

平面向量六大题型知识点：1．向量的有关概念（1）定义：即有大小，又有方向的量叫做向量．（2）表示：a AB(,)OA x y =2121(,)AB x x y y =--（3）向量的长度（模）：a 或AB 的模记作||a 或||AB ．（4）几种特殊向量：定义备注0，方向任意||aa 即为单位向量记为ab ∥，规定0与任意向量共线a b =，相等一定平行，平行不一定相等a b =-，AB BA =-2．向量的运算运算几何表示字母表示坐标表示加法a b AB BC AC +=+=三角形法则类比“位移之和”首尾相连，首位连11(,)a x y =，22(,)b x y = 1212(,)a b x x y y +=++a b AB AD AC +=+= 平行四边形法则类比“力的合成” 共起点，对角线减法a b AB AC CB -=-= 共起点，后指前11(,)a x y =，22(,)b x y = 1212(,)a b x x y y -=--数乘长度变为||λ倍0λ>，方向相同0λ<，方向相反 0λ=，0a λ=11(,)a x y =12(,)a x x λλλ=数量积||||cos a b a b θ⋅=11(,)a x y =，22(,)b x y =1212a b x x y y ⋅=+3．其他概念（1）平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使1122a e e λλ=+，我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（2）投影：||cos (||cos )a b θθ叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影．常用投影计算公式：||cos ||||||a b a a a b θ⋅==||a bb ⋅．（3）向量不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+（等号在向量a ，b 共线时取得）．4．重要结论ABC 中，的中点ABC 的重心(1)PC PA PB λλ=+-1()2AD AB AC =+GB GC ++5．常用性质设向量a 与b 夹角为θ，11(,)a x y =，22(,)b x y =．a b λ= ||||cos 0a b a b θ⋅==12a b x x ⋅=+2||a a = 21||a x y =+cos ||||a ba b θ⋅=122211cos x x x yθ+=+重要考试题型：题型一：向量概念1给出如下命题： ①若||||a b =，则a b =；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC =是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a b =，b c =，则a c =； ④a b =的充要条件是||||a b =且a b ∥； ⑤若a b ∥，b c ∥，则a c ∥．其中正确的命题的序号是______．解析：①两向量模相等，方向不一定相同，所以a b =不正确；②AB DC =说明AB 和DC 两条边即平行又相等，可以推出四边形为平行四边形，反之也成立，是充要条件，正确；③两个向量相等说明它们大小相等，方向相同，故满足此条件的都是相等向量，正确； ④两向量模相等，且平行，不能说明它们方向相同，故错误；⑤若0b =，根据0与任意向量平行的性质，则a b ∥且b c ∥，但a 与c 之间不一定平行，不排除0时，向量之间没有平行的传递性，故错误；主要考察向量定义，表示、以及特殊向量，属于基础题型，需要注意的是：（1）向量二要素（大小、方向）（2）加模后变为实数，去掉了方向的要素，可以比较大小（3）0与任意向量共线（没有平行传递性）（4）共线向量方向相同或相反（5）相反向量长度相等AD BC =；AB DC =且||||AB AD =．AD BC =说明AD 和BC 两条边相等且平行，所以为平行四边形；AB DC =说明AB 和DC 相等且平行，为平行四边形，|||AB AD =说明两临边相等，为菱形．答案：（1）平行四边形（2给出如下命题：①向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有公共起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；AB 与向量CD 是共线向量，则点其中正确的命题个数是（ B ．2 C ．3AB 和BA 长度相等，方向相反，正确；②当为零向量时，不满足条件，错误；③起点相同，长度和方向也相同，终点一定相同，正确；④终点相同，起点未必相同，不一定是共线向量，错误；⑤共线向量即平行向量，它们的起点和终点不一定在同一直线上，错误；答案：C题型二：向量四则运算1如图：正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=（） A ．0 B ．BE C ．AD D ．CF解析：由于BA DE =，故BA CD EF CD DE EF CF ++=++=．答案：D2根如图所示，已知正六边形ABCDEF ，O 是它的中心，若BA =a ，BC =b ，试用a ，b 将向量OE ，BF ，BD ，FD 表示出来.解析：OE BO a b ==+；2BF BA AF BA BO a b =+=+=+；2BD BC CD BC BO a b =+=+=+；FD AC BC BA b a ==-=-．答案： a b +，2a b +，2a b +，b a -3AB AC BC --=（）A ．2BCB ．0C ．2BC -D ．2AC主要考察向量的加法、减法、数乘、数量积四种运算法则，包含纯字母运算、纯坐标运算、字母结合图形运算、坐标结合图形运算等形式，属于基础题型，需要注意：（1）向量没有位置概念，相等向量的有向线段等价（2）熟练掌握加减法的口诀，可以直接计算的就不必画图（3）注意数形结合思想的运用，加减法的对角线性质（4）字母运算和坐标运算自成一体，也可相互转化AC AB BD CD --+=（ A ．0 B ．DA BC AB 0AC AB BD CD BC BD CD DC CD --+=-+=+=． A OA OC OB CO --+-=_____．解析：原式等于 ()()OB OA CO CO AB -+-=． AB如图，D ，E ，F 分别是ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（） A ．0AD BE CF ++= B ．0BD CF DF -+= C ．0AD CE CF +-= D ．0BD BE FC --=AD FE =，BE EC =，则0AD BE CF FE EC CF ++=++=，A 正确．A在ABCD 中，BC CD BA -+=（） A ．BC B ．AD C ．AB D ．AC在平行四边形中，BA 和CD 是相反向，则0CD BA -+=，故0BC BC +=．答案：A8若O 是ABC 所在平面内一点，且满足||2|OB OC OB OC OA -=+-，则的形状为_______．2()()OB OC OA OB OA OC OA AB AC +-=-+-=+，ABC为直角三角(2,4)a=，(1,1)b=-，则a b-=（）B．(5,9)．(3,7)D(4,8)(1,1)(5,7)a b-=--=．已知四边形ABCD2BC AD=，则顶点D的坐标为（(,AD x=2(24)(4,3)BC AD x y==-=，即72y=．(1,3)a=-，(2,4)b=-，若表示向量a，32b a-，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为（1)-．(1,1)-4,6)D．(4,6)-(,)c x y=，能构成三角432230a b a c a b c+-+=++=，即2,4)(,6)(6,12)(4,6)(0,0)x y x y-+-+--++=，即40x-+=，，解得4x=，(2,3)BA=(4,7)CA=BC=（2,4)-B．(3,4)C．(6,10)(4,7)AC=--，(2,3)(4,BC BA AC=+=+-ABC 中，|5BC =，|8CA =，BC CA ⋅．解析：设BC 和CA 的夹角为θ，则120θ=︒，因为||5BC =，|8CA =，则||||cos 58cos120BC CA BC CA θ⋅==⨯答案：20-14已知a ，b 为单位向量，其夹角为)a b b -⋅=（） A ．1- B D ．2 221)22||||cos60||2102a b b a b b a b b -⋅=⋅-=︒-=⨯-=．已知两个单位向量a ，b 夹角为60︒，(1)c ta t b =+-，若0b c ⋅=，则2(1)cos6010b c ta b t b t t ⋅=⋅+-=︒+-=，解得2t =． 2设(1,2)a =-，(3,4)b =-，(3,2)c =，则(2)a b c +⋅=（） A ．(15,12)- B ．0 C ． D ．11- 2(1,2)2(3,4)5,6)a b +=-+-=-，(2)(5,6)(3,2)a b c +⋅=-⋅C已知两个单位向量1e ，2e 的夹角为3π，若向量1122b e e =-，21234b e e =+，则12b b ⋅=______．2212121211221(2)(34)32832862b b e e e e e e e e ⋅=-⋅+=-⋅-=-⨯-=-． 6-题型三：平面向量基本定理1在ABCD 中，AB a =，AD b =，3AN NC =，M 为BC 的中点，则MN =_____．解析：33()44AN AC a b ==+，1122AM AB BM AB AD a b =+=+=+，所以1144MN AN AM a b =-=-+．答案：1144a b -+2如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM c =，AN d =，试用c ，d 表示AB ，AD ．解析：设AB a =，AD b =，则1212c AM AD DM b a d AN AB BN a b⎧==+=+⎪⎪⎨⎪==+=+⎪⎩，解得2(2)32(2)3a d c b c d ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以4233AB d c =-，4233AD c d =-．答案：4233AB d c =-，4233AD c d =-主要考察用两个不共线向量表示一个向量，即12a e e λμ=+，大部分是围绕求基底的系数出题，属简单题型，但考查方式较为灵活，需要注意：（1）有些目标向量用已知基底不太好构造，可以用相对熟悉的基底（例如平行四边形的临边）来表示已知基底，再用熟悉的基底来表示目标向量（2）有些题目会用到几何图形比例问题，注意观察图形中的三角形相似（3）在求一些长度问题时，可能会用到解三角形内容在梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AB CD =，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB AM AN λμ=+，则λμ+=______．2AB AN NB AN CN AN CA AN AN CM MA =+=+=++=++=14AN AB AM --，所以8455AB AN AM =-，即45λ=-，85μ=，故λ+答案：454在ABC 中，AB c =，AC b =，若点D 满足2BD DC =，则AD =（ A ．2133b c + B ．5233c b - C ．13b c - D ．1233b c + 22221()()()33333AD AB BD AB BC AB AC AB c b c b c =+=+=+-=+-=+．答案：A在平行四边形ABCD 中，AC 与DB 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 延长线与CD 交于F ，若AC a =，BD b =，则AF =（） A ．1142a b + B ．2133a b +C ．1124a b + D ．1233a b +AD AB aAD AB b+=-=，解得1()2AD a b =+，1()2AB a b =-，EDFEBA ，DE 13=，故11121()()23233AF AD DF a b a b a b =+=++⨯-=+．B如图，平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，OA 与OB 夹角为120︒，OA 与OC 夹角为30︒，且||||1OA OB ==，||23OC =，若OC OA OB λμ=+，则λμ+的值为_____．解析：作平行四边形ODCE ，则OC OD OE OA OB λμ=+=+，4cos30OCOD ==︒，2tan30OCOE ==︒，即4λ=，2μ=，6λμ+=．答案：6(1,1)a =，(1,1)b =-，(4,2)c =，则c =（）a b + B ．3a b - C ．3a b + D ．3a b +(,)(,)(,)(4,2)c a b λμλλμμλμλμ=+=+-=-+=，所以4λμ-=，λ+3，1μ=-，则3c a b =-．如图：向量a b -=（） A ．1224e e -- B ．1242e e -- C ．123e e - D ．123e e -+解析：由图可知12()3a b a b e e -=+-=-+．答案：D向量a b c ++可表示为（） A ．1232e e - B ．1233e e -- C ．1232e e + D ．1223e e +解析：a b c ++在图上画出来，可知1232a b c e e ++=+．答案：C10向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c a b λμ=+，则λμ=______．解析：如图所示建立平面直角坐标系，可得(1,1)a =--，(6,2)b =，(1,3)c =--，则(,)(6,2)c a b λμλλμμ=+=-+=(6,2)(1,3)μλλμ-+=--，解得2λ=-，12μ=-，则4λμ=．答案：4题型四：共线、中点、重心问题1设1e ，2e 是不共线向量，若向量1235a e e =+与向量123b me e =-共线，则m 的值等于（）A ．95-B ．53-C ．35-D ．59-解析，a 与b 共线，则满足b a λ=，即12123(35)me e e e λ-=+，则335m λλ=⎧⎨-=⎩，解得95m =-．答案：A主要考察一些常用结论，即本学案知识点第4点的内容，属中下难度题型，再强调一下：（1）(0)a b a b b λ⇔=≠∥，1221x y x y =（2）(1),,PC PA PB A B C λλ=+-⇔三点共线，P A 和PB 系数和为0（3）D 为BC 中点，1()2AD AB AC =+，即平行四边形对角线的一半（4）G 为ABC 重心，0GA GB GC ++=a b λ+与(2)b a --共线((2))a b b a λμ+=--，即2a b a b λμμ+=-，12μλμ=⎧⎨=-⎩，解得λ答案：D3已知(1,0)a =，(2,1)b =，ka b -与2a b +共线；（23AB a b =+，BC a mb =+，且A 三点共线，求m 的值．1）(,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=-=--2(1,0)(4,2)(5,2)a b +=+=，两者共线，2)(1)5=-⨯，解得12k =-．，B ，C 三点共线，则AB BC λ=，即23()a b a mb λ+=+，则23=⎧⎨=⎩32m = (2,2)，(,0)B a ，(0,)C b (0)ab ≠共线，则1a b(AB a =-(2,AC =-AB AC ∥，2)(2)=-⨯，化简得2ab a -，得1112a b +=BC ，已知点(A -AB DC =，设D (8,8)AB =(8DC =-0=，2y =-，故．答案：(0,6已知向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（）363AD AB BC CD a b AB =++=+=，所以AD AB ∥，A ，AABC 中，12AM AC =，29AD mAB AC =+，则m =______．12(1)(1)29AD AB AM AB AC mAB AC λλλλ=+-=+-=+，则12，则59m λ==．59设D ，E ，F 分别为ABC 的三边BC ，CA ，AB ，的中点，则EB FC +=（）A ．ADB ．12ADC ．BC D ．12BC 11()()()22EB FC BE CF BA BC CA CB AB AC AD +=-+=-+++=+=.A已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（）AO OD = 2AO OD = 3AO OD = D ．2AO OD =是中点，则有2OB OC OD +=，原式变为220OA OD +=，即OA OD =-，故AO OD =．答案：A10设M 是ABC 所在平面上的一点，且33022MB MA MC ++=，D 是AC 中点，则||||MD BM 的值为（ A ．13 B ．12D ．23)232MA MC MD MD BM +=⋅==，即MD 与BM 共线，则||13||MD BM =．ABC 和点Ｍ满足0MA MB MC ++=，若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立，则m =_____．解析：由0MA MB MC ++=可知M 为ABC 的重心，则2211[()]()3323AM AD AB AC AB AC ==+=+，即3AB AC AM +=，则3m =．答案：312如图，在ABC 中，点O 是B C 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为______．1()222m n AO AB AC AM AN =+=+，因为，O ，N 三点共线，m n2n =． 2在ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，2AD DB =，13CD CA CB λ=+，则λ ）．23 3D ．23- 解析：因为A ，D ，13CD CA CB λ=+，则113λ+=，23λ=．三点在同一条直线l 上，O 为直线l 外一点，0pOA qOB rOC ++= ，0pOA qOB rOC ++=变形得q rOA OB OC p p=--，因，B ，C 三点共线，则有0=，化简得p q r ++=答案：015已知点G 是ABC 的重心，点P 是GBC 内一点，若AP AB AC λμ=+，则λμ+的取值范围是（）A ．1(,1)2 B ．2(,1)3 C ．3(1,)2D ．(1,2)解析：P 是GBC 内一点，则1λμ+<，当且仅当P 在线段BC 上时，λμ+最大等于1，当P 和G 重合时，λμ+最小，此时1()3AP AG AB AC ==+，即23λμ+=，故213λμ<+<．答案：B 16在ABC 中，2AB =，3AC =，D 是边B C 的中点，则AD BC ⋅=______．解析：1()2AD AB AC =+，BC AC AB =-，则221()2AD BC AC AB ⋅=-15(94)22=-=．答案：52题型五：面积比问题1在ABC 所在平面内有一点P ，如果2PA PC AB PB +=-，那么PBC 与ABC 的面积之比是（） A ．34 B ．12 C ．13D ．23 主要考察用向量性质来研究三角形的关系，掌握了原理后较为简单，大体有3种形式：（1）高相同，底不同，向量线性计算得出底的比例关系（2）高不同，底相同，高的比转换为相似三角形的比，再转化为向量基底的长度比（3）三角形店内一点与三个顶点的连线把三角形分成三个小三角，它们的面积比问题，把题目给出的向量前面的系数标到对应线段上，与每一个线段所对的三角形面积比就是它们的系数比解析：2PA PC AB PB +=-化简可得3PC AP =，即P 在AC 上，两个三角形高相等，则34S PBC PC S ABC AC ==．答案：A如图，设P ，Q 为ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+，2134AQ AB AC =+，则ABP 与ABQ 的面积之比为______．解析：如图作辅助线，EF ，GH 分别为两个三角形的高，15AE AC =，14AG AC =，则45S ABP EF AE S ABQ GH AG ===．答案：45已知O 是正三角形ABC 内部一点，230OA OB OC ++=，则OAC 与OAB 的面23 D ．13解析：画图，把向量前面的系数标到对应线段上，与每一个线段所对的三角形面积比就是它们的系数比，则OAC 与OAB 的面积比为2:3．答案：BABC 内一点且满足320PA PB PC ++=，则PBC ，PAC ，PAB 的面积比为（）4:3:2 2:3:4 C ．1:1:1 D ．3:4:6 解析：画图，把向量前面的系数标到对应线段上，与每一个线段所对的三角形面积比就是它们的系数比，则面积比为4:3:2．答案：A题型六：垂直、求模、求角、投影问题1已知向量(,3)a k =，(1,4)b =，(2,1)c =，且(23)a b c -⊥，则k =（） A ．92- B ．0 C ．3 D ．152解析：23(2,6)(3,12)(23,6)a b k k -=-=--，由题意知(23)0a b c -⋅=，则(23,6)(2,1)2(23)60k k --⋅=--=，解得3k =．答案：C2设向量a ，b 满足||10a b +=，||6a b -=，则a b ⋅=（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5解析：由||10a b +=两边平方得22210a b a b ++⋅=，由||6a b -=两边平方得2226a b a b +-⋅=，两式相减得1a b ⋅=．答案：A 3已知向量a ，b 满足(2)()6a b a b +⋅-=-，且||1a =，||2b =，则a 与b 的夹角为主要考察数量积的性质，即本学案知识点第5点的内容，利用数量积的字母公式或坐标公式进行带入计算，由于是本章最后一节，题目融合程度可以比较高，需要记住一些常见题型和结论，大量的练习，高考出题大部分是考察这里，题目难度较低，但也可以出一些中等难度题型，需要注意的是：（1）两个向量的夹角一定要看准，向量的夹角不是线段的夹角，是方向的夹角（2）0a b a b ⊥⇔⋅=，此乃五星级考点（3）求模公式2||a a =和2211||a x y =+一定要熟练运用，给你带模的条件很多时候都需要平方后再使用（4）求角公式就是数量积公式反过来用（5）投影有简化公式||a bb ⋅，考察方式比较多样，涉及数量积最值的投影问题，通常需要作图来看，数形结合22222)()21226a b a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-⨯+⋅=-，解1a b ⋅=，11cos 122||||a b a b ⋅==⨯，3πθ=．答案：3π4已知点1,1)-，(1,2)B AB 在CD 方向上的投影为(2,1)AB =(5,5)CD = ，||52CD =10510||||552AB CD AB CD ⋅+==⨯ ，投影为3103|cos 510AB θ⨯=322如图，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P ，且3AP =，则AP AC ⋅=_____．22||||cos AP AC AP AO AP AO ⋅=⋅=∠Rt APO 中，|cos ||AO PAC AP ∠=，所以22||218AP AC AP ⋅==⨯．答案：186在平行四边形ABCD 中，1AD =，60BAD ∠=为CD 的中点，1AC BE ⋅=，则AB 的长为_____．AB a =，AD b =，AC a b =+，12BE b a=-，222111111()()||||11222222AC BE a b b a a b a b a a ⋅=+⋅-=⋅-+=⨯-+=，解得||0()a =舍去或1||2=a ．答案：127已知1e ，2e 是夹角为2π的两个单位向量，122a e e =-，12b ke e =+，若a ⋅则实数k 的值为______a ，b 不共线，且|||a b =，则下列结论中正确的是（a b +与a b -垂直 B ．a b +与a b -共线 a b +与a 垂直 D ．a b +与a 共线|||a b =可得22||||a b =，即2222||||()()0a b a b a b a b -=-=+⋅-=，A 项很明显都不正确．答案：A 设向量a ，b 满足||||1a b ==，12a b ⋅=-，则|2|a b +=（） B ．3 C ．5 D ．72222|(2)441423a b a b a b a b +=+=++⋅=+-=．B若(1,3)OA =-，||||OA OB =，0OA OB ⋅=，则||AB =______解析：设||(,)OB x y =，由两个条件可知2221330x y x y ⎧+=+⎪⎨-=⎪⎩，解得(3,1)(3,OB =-或，则(2,4)2)AB OB OA =-=-或，22||=AB 答案：2511设向量a ，b 满足||10a b +=，||6a b -=，则a b ⋅=（）A ．B ．2C ．3D ．5解析：条件中两式分别平方得22210a a b b +⋅+=，2226a a b b -⋅+=，两式相减得4a b ⋅=，1a b ⋅=．答案：Aa b ∥ a b ⊥ |||a b = a b a b +=-解析：法一：根据向量加法和减法法则，||a b +和||a b -分别代表以a ，b 为临边的平行四边形的对角线长度，两对角线长度一样，说明四边形为矩形．故有a b ⊥；可得222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+，即40a b ⋅=，则a b ⊥．(2,4)a =，(1,2)b =-，若()c a a b b =-⋅，则||c =_____． ()(2,4)(28)(1,2)(8,8)c a a b b =-⋅=--+-=-，22||8(8)82c =+-=．82(,1)a x =，(1,)b y =，(2,4)c =-a c ⊥，b c ∥，则||a b +=（ A ．5 B ．10 ．25 D ．10a c ⊥，则240a c x ⋅=-=，得2x =，bc ∥，则42y -=，(2,1)(1,2)(3,1)a b +=+-=-，故|9110a b +=+=．答案：B15已知(1,1)m λ=+，(2,2)n λ=+，若()()m n m n +⊥-，则λA ．4- ．3- C ．2- D ．1-(2m n λ+=+(1,m n -=--()()(2m n m n λ+⋅-=-．B单位向量1e 与2e 的夹角为α，且13=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹，则cos β=_____1212(32)(3)8a b e e e e ⋅=-⋅-=，212|(32)3a e e =-=，212||(3)8b e e =-=，8||||38a b a b ⋅==2 已知向量a ，b 满足(2)()6a b a b +⋅-=-，|1a =，||2b =，则a 与b 的夹角为222)()2186a b a b a b a b a b +⋅-=-+⋅=-+⋅=-，所以1a b ⋅=，故11122||||a b a b ⋅==⨯，60θ=︒． 60︒若向量(1,2)a =，(1,1)b =-，则a b +与a b -的夹角等于（A ．4π- B ．6π 4π D ．34π (3,3)a b +=，(0,3)a b -=，)()9a b a b +⋅-=，|2|32a b +=，922||||323a b a b ⋅===⨯，夹角为4π．设向量a ，b 夹角为θ(3,3)a =，(1,1)b a -=-(,)b x y =，2(23,23)(1,1)b a x y -=---，得(1,2)b =，9a b ⋅=，||32a =，|5b =，9310cos 10||||325a b a b θ⋅===⨯．答案：31010已知i ，j 为互相垂直的单位向量，2a i j =+，i j +，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ5(,0)(0,)3-+∞ 3 C ．5[,0)(0,)3-+∞ D ．5(,0)3- 由题意知(1,2)a =，(1,1)b =，(1,2)a b λλλ+=++，夹角为锐角，即cos 0θ>|||||sin a b a b θ⨯=，a 与b 的夹角，若(3,a =--(1,3)b =|a b ⨯=（）A ．3B ．23C ．2D ．432||||a b a b ⋅-=⨯|||||sin a b a b θ⨯==已知点(1,1)A -(3,4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为（）D ．3152- (2,1)AB =(5,5)CD =15AB CD ⋅=，|5AB =，|52CD =151010||||552a b a b θ⋅===⨯，投影为2||cos AB θ=． A (,1)A a ，(2,B 为平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为（．543a b -= D ．5414a b +=OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则有OA OC OB OC ⋅=⋅，带入坐标，则有85b =+，即45a b -=．A向量a 的模为1，且a ，b 满足||4a b -=，||2a b +=，则b 在a 方向上的投影等|4a b -=两22216a b a b +-⋅=，|2a b +=两2224a b a b ++⋅=，两式相减得3a b ⋅=-，则投影为3||a b a ⋅=-．答案：3- 25 在矩形ABCD 中，2，1BC =，的中点，若界）任意一点，则AE AF ⋅的最大值为（2．4 C ．2解析：如图，建立坐标系，设AE 与AF 夹角为θ，则||||cos AE AF AE AF θ⋅==2212()||cos 2AF θ+，||cos AF θ为AF 在AE 方向上的投影，由投影定义可知，只有点F 取点C 时，投影有最大值，此时19(2,)(2,1)22AE AF ⋅=⋅=．答案：C如图，在等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，22BC =，G 是ABC 的重心，P 是ABC 内的任意一点（含边界），则BG BP ⋅的最大值为_____．解析：如图所示，2222225||413333BG BD AB AD ==+=+=， 25||||cos ||cos 3BG BP BG BP BP θθ⋅==，则BG BP ⋅的最大值即||cos BP θ最大，由投影定义可知，当P 与C 重合时，有最大值，由余弦定理得222581310cos 2102522BD BC CD BD BC θ+-+-===⋅⨯，则最大值25310||||cos 224310BG BP BG BC θ⋅==⨯⨯=．数学浪子整理制作，侵权必究。

平面向量知识点总结、经典例题及解析、高考题50道及答案

平⾯向量知识点总结、经典例题及解析、⾼考题50道及答案第五章平⾯向量【考纲说明】1、理解平⾯向量的概念和⼏何表⽰，理解两个向量相等及共线的含义，掌握向量的加、减、数乘运算及其⼏何意义，会⽤坐标表⽰。

2、了解平⾯向量的基本定理，掌握平⾯向量的坐标运算。

3、掌握数量积的坐标表达式，会进⾏平⾯向量数量积的运算，会⽤向量⽅法解决简单的平⾯⼏何问题、⼒学问题与其他⼀些实际问题。

【知识梳理】⼀、向量的基本概念与线性运算 1 向量的概念：（1）向量：既有⼤⼩⼜有⽅向的量，记作AB u u u r ；向量的⼤⼩即向量的模（长度），记作|AB u u u r| 向量不能⽐较⼤⼩，但向量的模可以⽐较⼤⼩．（2）零向量：长度为0的向量，记为0 ，其⽅向是任意的，0与任意向量平⾏（3）单位向量：模为1个单位长度的向量常⽤e 表⽰．（4）平⾏向量（共线向量）：⽅向相同或相反的⾮零向量，记作a ∥b平⾏向量也称为共线向量（5）相等向量：长度相等且⽅向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a⼤⼩相等，⽅向相同),(),(2211y x y x 2121y y x x（6）相反向量：与a 长度相等、⽅向相反的向量，叫做a的相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量若a 、b是互为相反向量，则a =b ,b =a ,a +b =02 向量的线性运算：（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法向量加法满⾜交换律与结合律；向量加法有“三⾓形法则”与“平⾏四边形法则” ．（2）向量的减法：求向量a 加上b 的相反向量的运算叫做a 与b的差．向量的减法有三⾓形法则，b a 可以表⽰为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）（3）向量的数乘运算：求实数λ与向量a 的积的运算，记作λa．①a a；②当0 时，λa 的⽅向与a 的⽅向相同；当0 时，λa 的⽅向与a的⽅向相反；当0 时，0 a ，⽅向是任意的③数乘向量满⾜交换律、结合律与分配律3. 两个向量共线定理：向量b 与⾮零向量a共线有且只有⼀个实数，使得b =a向量b 与⾮零向量a共线有两个均不是零的实数、，使得0a b ．⼆、平⾯向量的基本定理与坐标表⽰ 1 平⾯向量的基本定理：如果21,e e 是⼀个平⾯内的两个不共线向量，那么对这⼀平⾯内的任⼀向量a，有且只有⼀对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e叫做表⽰这⼀平⾯内所有向量的⼀组基底2. 平⾯向量的坐标表⽰：（1）在直⾓坐标系中，分别取与x 轴、y 轴⽅向相同的两个单位向量,i j r r作为基底由平⾯向量的基本定理知，该平⾯内的任⼀向量a r 可表⽰成a xi yj r r r ，由于a r 与数对(x,y)是⼀⼀对应的，因此把(x,y)叫做向量a r的坐标，记作a r =(x,y)，其中x 叫作a r在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标显然0r =（0,0），(1,0)i r ，(0,1)j r ．（2）设OA xi y j u u u r r r.则向量OA u u u r 的坐标(x,y)就是终点A 的坐标，即若OA u u u r =(x,y)，则A 点的坐标为(x,y)，反之亦成⽴（O 是坐标原点）． 3 平⾯向量的坐标运算：（1）若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y rr ．（2）若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r，AB u u u r（3）若a r =(x,y)，则 a r=( x, y)．（4）若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr ．（5）若 1122,,,a x y b x y r r ，则1212a b x x y y rr ．三、平⾯向量的数量积 1 两个向量的数量积：已知两个⾮零向量a r 与b r ，它们的夹⾓为，a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r ⽅向上的投影的乘积叫做a r 与b r 的数量积（或内积），即a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos ，规定00a r r2 向量的投影：︱b r ︱cos =||a ba r r r ∈R ，称为向量b r 在a r ⽅向上的投影投影的绝对值称为射影3 向量的模与平⽅的关系：22||a a a a r rr r4 乘法公式成⽴：2222a b a b a b a b r r r r r r r r ；2222a b a a b br r r r r r 222a a b b r r r r ．5 平⾯向量数量积的运算律：①交换律成⽴：a b b a r r r r．②对实数的结合律成⽴：a b a b a b R r r r r r r．③分配律成⽴： a b c a c b c r r r r r r r c a b rr r ；特别注意：①结合律不成⽴： a b c a b c r r r r r r．②消去律不成⽴a b a cr r r r不能得到b c r r．③a b r r =0不能得到a r =0r 或b r =0r6 两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y r r ，则a r ·b r=1212x x y y 7 向量的夹⾓：已知两个⾮零向量a r 与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB= （0 01800 ）叫做向量a r 与b r 的夹⾓cos =cos ,a b a b a b r r r rr r当且仅当两个⾮零向量a r 与b r 同⽅向时，θ=00，当且仅当a r 与b r 反⽅向时θ=1800，同时0r 与其它任何⾮零向量之间不谈夹⾓这⼀问题8 垂直：如果a r 与b r 的夹⾓为900则称a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b ra ⊥b a ·b＝O 2121 y y x x【经典例题】【例1】（2010全国Ⅱ，8）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB a ，ECBA CA b ，1,2a b ，则CD = （）（A ）1233a b （B ）2133a b （C ）3455a b （D ）4355a b 【答案】B ．【解析】由⾓平分线的性质得2AD DB u u u u r u u u u r ,即有22()()33AD CB CA a b u u u r u u u r u u u r ．从⽽221()333CD CA AD b a b a b u u u r u u u r u u u r ．故选B ．【例2】（2009北京，2）已知向量a 、b 不共线，c k a b (k R ),d a b ,如果c //d ，那么（） A ．1k 且c 与d 同向 B ．1k 且c 与d 反向 C ．1k 且c 与d 同向 D ．1k 且c 与d 反向【答案】D ．【解析】取a 1,0 ，b 0,1 ，若1k ，则c a b 1,1 ，d a b 1,1 ，显然，a 与b 不平⾏，排除A 、B ．若1k ，则c a b 1,1 ，d a b 1,1 ，即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D ．【例3】（2009湖南卷⽂）如图，D ，E ，F 分别是 ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A ．0AD BE CF u u u r u u u r u u u r rB ．0BD CF DF u u u r u u u r u u u r r C ．0AD CE CF u u u r u u u r u u u r r D ．0BD BE FC u u u r u u u r u u u r r【答案】A ．【解析】,,AD DB AD BE DB BE DE FC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rQ 得0AD BE CF u u u r u u u r u u u r r ．或0AD BE CF AD DF CF AF CF u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r．【例4】（2009宁夏海南卷⽂）已知 3,2,1,0a b ，向量a b 与2a b 垂直，则实数的值为( )A.17B.17C.16D.16【答案】A ．【解析】向量a b ＝（－3 －1，2 ），2a b ＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3 －1，2 ）×（－1,2）＝0，即3 ＋1＋4 ＝0，解得：＝17，故选A ．【例5】（2009全国卷Ⅰ⽂）设⾮零向量a 、b 、c 满⾜c b a c b a |,|||||，则b a , （）A ．150° B.120° C.60° D.30° 【答案】B ．【解析】由向量加法的平⾏四边形法则，知a 、b 可构成菱形的两条相邻边，且a 、b 为起点处的对⾓线长等于菱形的边长，故选择B ．【例6】（2009安徽卷⽂）在平⾏四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或=+，其中，R ，则+= _________．【答案】43．【解析】设BC b u u u r r 、BA a u u u r r 则12AF b a u u u r r r ,12AE b a u u u r r r ,AC b a u u ur r r代⼊条件得2433u u ．【例7】（2009辽宁卷⽂）在平⾯直⾓坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B（6，8），C(8,6),则D 点的坐标为___________．【答案】(0,－2)．【解析】平⾏四边形ABCD 中,OB OD OA OC u u u r u u u r u u u r u u u r∴OD OA OC OB u u u r u u u r u u u r u u u r＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0,－2)即D 点坐标为(0,－2)．【例8】（2012江苏）如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ，，点E 为 BC 的中点，点F 在边CD 上,若2AB AF u u u r u u u r g ,则AE BF u u u r u u u rg 的值是___．【答案】2．【解析】由2AB AF u u u r u u u r g ,得cos 2AB AF FAB u u u r u u u r g g ,由矩形的性质,得cos =AF FAB DF u u u rg ．∵2AB ，∴22DF ，∴1DF ∴21CF ．记AE BF u u u r u u u r和之间的夹⾓为,AEB FBC ，，则．⼜∵2BC ，点E 为BC 的中点，∴1BE ．∴ =cos =cos =cos cos sin sin AE BF AE BF AE BF AE BF u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g g g g=cos cos sin sin =122212AE BF AE BF BE BC AB CF u u u r u u u r u u u r u u u rg g g g g .本题也可建⽴以, AB AD 为坐标轴的直⾓坐标系,求出各点坐标后求解．【例9】(2009湖南卷理)在ABC ，已知2233AB AC AB AC BC u u u r u u u r u u u r u u u r ，求⾓A ，B ，C 的⼤⼩．【答案】2,,663A B C．【解析】解：设,,BC a AC b AB c由23AB AC AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r 得2cos 3bc A bc ，所以3cos 2A⼜(0,),A 因此6A由233AB AC BC u u u r u u u r 得23bc a ，于是23sin sin 3sin 4C B A所以53sin sin()6C C ，133sin (cos sin )2C C C ，因此 22sin cos 23sin 3,sin 23cos 20C C C C C ，既sin(2)03 C由A=6 知506C ，所以3 ，4233C ，从⽽20,3C 或2,3C ，既,6C 或2,3C 故2,,,636A B C 或2,,663A B C．【课堂练习】⼀、选择题1.（2012辽宁理）已知两个⾮零向量a ,b 满⾜|a +b |=|a b |,则下⾯结论正确的是（）A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．{0,1,3}D ．a +b =a b2. (2009年⼴东卷⽂)已知平⾯向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量 a b ( )A. 平⾏于x 轴B. 平⾏于第⼀、三象限的⾓平分线C. 平⾏于y 轴D. 平⾏于第⼆、四象限的⾓平分线3.（2012天津⽂）在ABC 中,90A ,1AB ,AC=2,设点,P Q 满⾜,(1),AP AB AQ AC R u u u r u u u r u u u r u u u r .若2BQ CP u u u r u u u r,则 ( )（）A ．13B ．23 C ．43D ．2 4.（2009浙江卷理）设向量a ，b 满⾜：||3 a ，||4 b ，0 a b ．以a ，b ， a b 的模为边长构成三⾓形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( ) A ．3 B.4 C ．5D ．65.（2012重庆理）设,x y R,向量 4,2,,1,1,y x ,且//, ,则a b r r（）A B C ．D ．106. （2009浙江卷⽂）已知向量(1,2) a ，(2,3) b ．若向量c 满⾜()// c a b ，() c a b ，则c （）A ．77(,)93B ．77(,)39C ．77(,)39D ．77(,)937．（2012浙江理）设a ,b 是两个⾮零向量.（）A ．若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥bB ．若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C ．若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λbD ．若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b |8.（2009全国卷Ⅰ理）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则 a c b c ? 的最⼩值为( )A.2 2D.1 9.（2012天津理）已知△ABC 为等边三⾓形,=2AB ,设点P,Q 满⾜=AP AB u u u r u u u r ,=(1)AQ AC u u u r u u u r,R ,若3=2BQ CP u u u r u u u r ,则=（）A ．12B C D10.（2009全国卷Ⅱ理）已知向量 2,1,10,||a a b a b ||b ( )5 D. 2511.（2012⼤纲理）ABC 中,AB 边上的⾼为CD ,若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b u u u r r u u u r r r r r r ,则AD u u u r（）A ．1133a b r rB ．2233a b r rC ．3355a b r rD ．4455a b r r12.（2008湖南）设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD u u u r u u u r 2,CE EA u u u r u u u r 2,AF FB u u u r u u u r则AD BE CF u u u r u u u r u u u r 与BC uuu r( ) A. 反向平⾏ B. 同向平⾏C. 互相垂直D. 既不平⾏也不垂直13.（2008⼴东）在平⾏四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC u u u r a ，BD u u u r b ，则AF u u u r（）A ．42a bB ．2133 a b C ．1124 a bD ．1233a b 14.（2007湖北）设(43) ，a ，a 在b 上的投影为522，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（）A ．(214)，B ．227，C ．227，D ．(28)，15.（2012安徽理）在平⾯直⾓坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP uuu r 按逆时针旋转34后,得向量OQ uuu r 则点Q 的坐标是（） A ．(72,2) B ．(72,2) C ．(46,2)D ．(46,2)⼆、填空题16.（2012浙江⽂）在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB AC u u u r u u u r=________.17.（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平⾯向量OA u u u r 和OB uuu r ，它们的夹⾓为120o.如图所⽰，点C 在以O 为圆⼼的圆弧AB u u u v上变动. 若,OC xOA yOB u u u r u u u r u u u r其中,x y R ,则x y的最⼤值是________.18.（2012上海⽂）在知形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满⾜||||||||CD CN BC BM,则AN AM 的取值范围是_________ .19.（2012课标⽂）已知向量a ,b 夹⾓为045,且|a |=1,|2 a b |=10,则|b |=_______.20.（2012湖南⽂）如图4,在平⾏四边形ABCD 中 ,AP ⊥BD,垂⾜为P,3AP 且AP AC u u u v u u u vg = _____.A DBP21.（2012湖北⽂）已知向量(1,0),(1,1)a b r r,则(Ⅰ)与2a b r r同向的单位向量的坐标表⽰为____________; (Ⅱ)向量3b a r r 与向量a r夹⾓的余弦值为____________.22.（2012北京⽂）已知正⽅形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB u u u r u u u r的值为________.23.（2012安徽⽂）设向量(1,2),(1,1),(2,)a m b m c m r r r ,若()a c r r⊥b r ,则a r_____.24.（2012江苏）如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ，，点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若2AB AF u u u r u u u r g ,则AE BF u u u r u u u rg 的值是___.25.（2012安徽理）若平⾯向量,a b r r满⾜:23a b r r ;则a b r r g的最⼩值是_____ 三、解答题26. (2009年⼴东卷⽂)（已知向量)2,(sin a 与)cos ,1( b 互相垂直，其中)2,0(（1）求 sin 和 cos 的值（2）若 cos 53)cos(5 ，02,求 cos 的值 27.（2009上海卷⽂）已知ΔABC 的⾓A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b u r ， (sin ,sin )n B A r ，(2,2)p b a u r（1）若m u r //n r，求证：ΔABC 为等腰三⾓形；（2）若m u r ⊥p u r ，边长c = 2，⾓C = 3，求ΔABC 的⾯积 .28. 已知A 、B 、C 分别为ABC △的三边a 、b 、c 所对的⾓，向量)sin ,(sin B A m ，)cos ,(cos A B n ，且C n m 2sin .（Ⅰ）求⾓C 的⼤⼩；（Ⅱ）若A sin ，C sin ，B sin 成等差数列，且18)( AC AB CA ，求边c 的长.【课后作业】⼀、选择题1.（2009辽宁卷理）平⾯向量a 与b 的夹⾓为060，(2,0)a ，1b 则2a b ( )B. 2.（2009宁夏海南卷理）已知O ，N ，P 在ABC 所在平⾯内，且,0OA OB OC NA NB NC ，且PA PB PB PC PC PA ? ? ?，则点O ，N ，P 依次是ABC 的( )A. 重⼼外⼼垂⼼B. 重⼼外⼼内⼼C. 外⼼重⼼垂⼼D. 外⼼重⼼内⼼3.（2008安徽）在平⾏四边形ABCD 中，AC 为⼀条对⾓线，若(2,4)AB u u u r ，(1,3)AC u u u r ,则BD u u u r （）A ．（－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）4.（2008浙江）已知a ，b 是平⾯内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满⾜0)()( c b c a ,则c 的最⼤值是( )A. 1B. 2C. 2D.25.（2007海南、宁夏）已知平⾯向量(11)(11) ，，，a b ，则向量1322 a b（） A ．(21) ， B ．(21) ，C ．(10) ，D ．(12)，6.（2007湖南）设，a b 是⾮零向量，若函数()()()f x x x g a b a b 的图象是⼀条直线，则必有（）A ．⊥a bB ．∥a bC ．|||| a bD ．|||| a b7. （2007天津）设两个向量22(2cos ) ，a 和sin 2m m，b ，其中m，，为实数．若2 a b ，则m的取值范围是（） A ．[-6，1] B ．[48]，C ．（-6，1]D ．[-1，6]。

平面向量题型总结

平面向量题型总结一、定义和基本概念平面向量是有大小、有方向的量，常用于解决平面上的几何问题。

在平面向量中，我们通常用箭头来表示方向，并用有向线段来表示大小和方向。

1. 向量的表示方法在平面中，向量可以通过两点之间的有向线段来表示。

设有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则向量AB可以表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1)其中，向量AB的起点是A，终点是B，且向量AB的大小为线段AB的长度。

2. 向量的运算平面向量的运算包括加法、减法和数量乘法。

(1) 向量的加法设有向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，则它们的和为：A +B = (x1 + x2, y1 + y2)向量的加法满足交换律和结合律。

(2) 向量的减法设有向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，则它们的差为：A -B = (x1 - x2, y1 - y2)(3) 数量乘法设有向量A(x, y)和实数k，则它们的数量积为：kA = (kx, ky)3. 向量的性质平面向量具有以下基本性质：•零向量的大小为0，方向任意。

•两个向量相等，当且仅当它们的大小相等且方向相同。

•两个向量相反，当且仅当它们的大小相等且方向相反。

•向量与零的数量积为零向量。

二、平面向量的应用平面向量在几何中的应用广泛，特别是在解决平面上的向量运动、力学和几何问题中。

1. 向量运动在平面向量运动中，我们常常用向量来表示物体的位移、速度和加速度。

•位移向量：物体从A点到B点的位移可以表示为向量AB。

•速度向量：物体的速度可以表示为位移向量的导数，即速度向量为位移向量的变化率。

•加速度向量：物体的加速度可以表示为速度向量的导数，即加速度向量为速度向量的变化率。

2. 平面向量运算平面向量的加减法可以应用于解决向量的合力、分力等问题。

•合力向量：多个力的合力可以通过向量的合成进行计算。

•分力向量：已知合力和其中一个力的大小和方向，可以通过向量的分解计算另一个力的大小和方向。

平面向量知识归纳和题型总结

平面向量知识归纳和题型总结平面向量章节分析:向量是近代数学中重要和基本的概念之一,具有代数形式和几何形式的“双重身份”,能融数形于一体, 是沟通代数与几何的天然桥梁，能与中学数学内容的许多主干知识相结合,形成知识交汇点.向量是沟通代数、几何和三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理学科中有重要应用.向量有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具,向量概念引入后,许多图形的基本性质都可以转化为向量的运算体系,例如平行、垂直、夹角、距离等.对本章的学习要立足基础,强化运算,重视运用,能根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算,并能运用向量知识解决平面几何中的一些证明和计算问题.平面向量的概念、几何运算和基本定理1.向量的相关概念2.向量的线性运算3.向量的共线定理非零向量a 与向量b 共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使b a =λ。

延伸结论:,,A B C 三点共线//AB AC ? ?当且仅当有唯一R λ∈,使AB AC =λ4.平面向量的基本定理如果12,e e是一个平面内两个不共线向量,那么对这平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2使:1122a e e =λ+λ ,其中不共线的向量12,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.练习:（1）已知12,e e 是平面向量的一组基底,11122122,a x e y e b x e y e =+=+,①若a b = 当且仅当12x x =且12y y =.②若0,a =则120x x ==.（2）如图,OA OB 为单位向量，||23OC = ，其中,OA OB 的夹角为120，,OA OC 的夹角为30。

若OC OB OA =λ+μ ，求,λμ的值。

5.一个常用结论:ABC △中, M 为边BC 的中点, 则有:2AM AB AC =+.练习:设ABC ?的重心为点G ,设,.AB a AC b == 试用,a b表示AG .典型例题分析:知识点一:基本概念例1.1.如果12,e e是平面α内两个不共线向量,那么下列各说法错误的有( )①12+e e λμ(,λμ∈R )可以表示平面α内的所有向量;平面α内的所有向量都可以表示成12+e e λμ(,λμ∈R )。