平面向量题型全归纳,平面向量知识点和题型总结

第五章 平面向量

题型57 平面向量的概念及线性运算

❖ 知识点摘要：

1. 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，一般用c b a ,,来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如AB （其中A 为起点，B 为终点）。

2. 向量的大小：又叫向量的模，也就是向量的长度，记作||a 或||AB 。

3. 零向量：长度为0的向量，记作0，其方向是不确定的。我们规定零向量与任何向量a 共线（平行），即a ∥0。

4. 单位向量：模长为1个单位的向量叫做单位向量。当≠||a 0时，很明显|

|a a

±

是与向量a 共线（平行）的单位向量。

5. 相等向量：大小相等，方向相同的向量，记为b a =。

6. 相反向量：大小相等，方向相反的向量，向量a 的相反向量记为a -。

7. 共线向量（平行向量）：方向相同或方向相反的向量，叫做平行向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上。

一、向量的线性运算 1. 向量的加法：

1.1. 求两个向量和的运算叫做向量的加法。已知向量b a ,，在平面内任取一点A ，作b BC a AB ==,，则向量AC 叫做向量a 和b 的和（或和向量），即AC BC AB b a =+=+。

1.2. 向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则，如图：

1.3. 若向量b a ,不共线，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当向量b a ,共线时，只能用三角形法则。

1.4. 三角形法则可推广至若干个向量的和，如图：

2. 向量的减法：

2.1. 向量a 与b 的相反向量之和叫做向量a 与b 的差或差向量，即)(b a b a -+=-。 2.2. 向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则，同起点，指向被减数，如图：

3. 向量的数乘运算：

3.1. 实数λ与向量a 的积是一个向量，记为a λ，其长度与方向规定如下： ①||||||a a λλ=

②当0＞λ时，a λ与a 的方向相同；当0＜λ时，a λ与a 的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向不确定。 3.2. 向量数乘运算的运算律:设μλ，为实数，则 ①a a a μλμλ+=+)(； ②a a )()(λμμλ=； ③b a b a λλλ+=+)(。 二、重要定理和性质

1. 共线向量基本定理：如果)(R b a ∈=λλ，则b a ∥；反之，如果b a ∥且0≠b 时，一定存在唯一实数λ，使b a λ=。

2. 三点共线定理：平面内三点A,B,C 共线的充要条件是，存在实数μλ，，使OC OB OA μλ+=,其中

1=+μλ，O 为平面内任一点。即A,B,C 三点共线⇔OC OB OA μλ+=（1=+μλ）

❖ 典型例题精讲精练： 57.1平面向量相关概念

1. 给出下列命题：①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→

是四

边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；其中正确命题的序号是________．[答案] ①②

2. 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ，

μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( )D A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

3. 设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a

＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0，假命题的个数是( )D A ．0 B ．1

C ．2

D ．3

57.2.平面向量线性运算

4. (2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ―→＝( )A

A.34AB ―→－14AC ―→

B.14AB ―→－34

AC ―→

C.34AB ―→＋14

AC ―→

D.14AB ―→＋34

AC ―→

5. 如图，在直角梯形ABCD 中，DC ―→＝14

AB ―→，BE ―→＝2EC ―→， 且AE ―→＝r AB ―→＋s AD ―→

，则2r ＋3s ＝( )C

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

6. 设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝3CD ―→

，则( )A

A ．AD ―→＝－13A

B ―→＋43A

C ―→

B ．AD ―→＝13AB ―→－43A

C ―→

C ．A

D ―→＝43AB ―→＋13

AC ―→

D ．AD ―→＝43AB ―→－13AC ―→

7. (2019·太原模拟)在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC ―→＝λAM ―→＋μAN ―→

，则实数λ

＋μ＝________.答案：4

3

57.3.共线向量定理的应用

8. 设两个非零向量a 与b 不共线，

(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→

＝3a －3b ，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 同向．【答案】k ＝1.

9. 在四边形ABCD 中，AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )C

A ．矩形

B ．平行四边形

C ．梯形

D ．以上都不对

10. 已知向量e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，若向量a 与向量b 共线，则( )D

A ．λ＝0

B ．e 2＝0

C ．e 1∥e 2

D ．e 1∥e 2或

λ＝0

11. 已知O 为△ABC 内一点，且AO ―→＝12

(OB ―→＋OC ―→)，AD ―→＝t AC ―→

，若B ，O ，D 三点共线，则t ＝( )B

A.14

B.13

C.12

D.23