高中数学任意角的三角函数的定义
高中数学任意角的三角函数及基本公式
高中数学任意角的三角函数及基本公式高中数学中，我们学习了任意角的三角函数及其基本公式。
在本文中，我将详细介绍任意角的概念以及正弦、余弦、正切等三角函数的定义和性质，同时也会重点介绍相关的基本公式。
首先，任意角是指一个角，并不限于特定的范围。
它可以是锐角、直角、钝角，也可以是超过360度的角。
为了方便起见，我们通常使用角的标准位置来描述任意角。
标准位置是指一个角的顶点位于坐标原点O，其中 initial side 落在 x 轴上方，terminal side 以逆时针方向转过的角。
在坐标平面中，我们用角的顶点和 terminal side 与 x 轴的夹角来表示这个角的大小。
这个夹角称为角的终边与 x 轴正半轴的夹角。
在任意角的基础上，我们引入了三角函数的概念。
在一个一元直角三角形中，我们可以定义正弦、余弦和正切这三个基本的三角函数。
设角A的终边与单位圆相交于点P(x, y)，其中点P到圆心的距离为r=1、则正弦函数 sin(A) 定义为点P的y坐标，即 sin(A) = y；余弦函数 cos(A) 定义为点P的x坐标，即 cos(A) = x；正切函数 tan(A) 定义为 sin(A) 除以 cos(A)，即 tan(A) = y/x。
在讨论三角函数的性质之前，我们先来了解一下单位圆。
单位圆是指半径为1的圆，圆心坐标为原点O(0,0)。
在单位圆上，以原点O为起点，以终边为终点的角A对应于圆弧∠POB。
角的度数等于角所对应的圆弧的长度，换句话说，角的度数等于弧度制下的角度。
因此，1弧度等于单位圆的半径。
接下来，我们来讨论一下正弦、余弦和正切函数的基本公式。
1.正弦函数的基本公式根据三角函数定义，我们可以得到 sin(A) = y，通过单位圆和直角三角形的关系，我们可以得到 sin(A) = \(\frac{y}{r}\) =\(\frac{y}{1}\) = y。
2.余弦函数的基本公式根据三角函数定义，我们可以得到 cos(A) = x，通过单位圆和直角三角形的关系，我们可以得到 cos(A) = \(\frac{x}{r}\) =\(\frac{x}{1}\) = x。
高中数学-三角函数知识点总结
三角函数知识点一、三角函数知识点 1.角的定义：（1）00~0360角的定义：从一点O 出发的两条射线OB OA ,所形成的图形叫做角，这点O 叫做角的顶点，射线OB OA ,叫做角的两边（2）任意角的定义：角可以看成是平面内一条射线绕着它的端点从一个位置OA 旋转到另一个位置OB 所形成的图形，端点O 叫做角的顶点，射线OA 叫做角的始边，射线OB 叫做角的终边2.规定：（1）正角：按逆时针方向旋转形成的角叫正角 （2）负角：按顺时针方向旋转形成的角叫负角 （3）零角：一条射线不作任何旋转形成的角叫零角这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角，负角，零角 注：角的度量需注意：既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量3.终边相同的角：所有与α终边相同的角连同α在内组成的集合{}Z k k S ∈⋅+==,3600αββ 4.象限角和轴线角：将角放在直角坐标系中，让角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合，则（1）象限角：角的终边落在第几象限，则称该角为第几象限角 （2）轴线角：角的终边落在坐标轴上，则称该角为轴线角 5.1º的角的定义：规定周角的3601为1度的角，记作：01，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制6.1弧度角的定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad ，读作：1弧度，这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制7.弧度数（1）我们规定，正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零 （2）半径为R 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，则角α的弧度数为Rl=α，角α的正负由α终边的旋转方向决定注：弧度制与角度制区别：（1）弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制，1弧度≠1度（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是周角的3601所对的圆心角的大小（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制； （4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值 8.弧度制与角度制的换算（1）弧度制与角度制下的一些特殊角①角度制下零度的角：00，弧度制下零度的角：0rad ， 区别数值相同，单位不同 ②角度制下平角：0180，弧度制下平角：πrad ③角度制下周角：0360，弧度制下平角：2πrad （2）弧度制与角度制的换算①角度化成弧度：=0360 π2 ，0180 π2 ，01 01745.0 ②弧度化成角度：π2 0360 ，π 0180 ，rad 1 '01857 注：角度和弧度互化9.扇形的弧长公式和面积公式（1）角度制下扇形的弧长公式：180Rn l π=；扇形的面积公式：3602R n S π=（2）弧度制下扇形的弧长公式：R l α=；扇形的面积公式：Rl R S 21212==α10.角度制下和弧度制下轴线角和象限角的集合 （1）轴线角的集合①终边在x 轴的非负半轴上{}Z k k x x ∈⋅=,3600={}Z k k x x ∈=,2π②终边在x 轴的非正半轴上{}Z k k x x ∈+⋅=,18036000={}Z k k x x ∈+=,2ππ ③终边在x 轴上{}Z k k x x ∈⋅=,1800={}Z k k x x ∈=,π④终边在y 轴的非负半轴上{}Z k k x x ∈+⋅=,9036000={}Z k k x x ∈=,2π ⑤终边在y 轴的非正半轴上{}Z k k x x ∈-⋅=,9036000={}Z k k x x ∈+=,2ππ⑥终边在y 轴上{}Z k k x x ∈+⋅=,9018000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,2ππ⑦终边在坐标轴上{}Z k k x x ∈⋅=,900=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z k k x x ,2π （2）象限角的集合①第一象限角的集合{}Z k k x k x ∈+⋅<<⋅,90360360000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<Z k k x k x ,222πππ②第二象限角的集合{}Z k k x k x ∈+⋅<<+⋅,180360903600000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,222ππππ③第三象限角的集合{}Z k k x k x ∈+⋅<<+⋅,2703601803600000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,2322ππππ④第四象限角的集合{}Z k k x k x ∈+⋅<<+⋅,3603602703600000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,22232ππππ ={}Z k k x k x ∈⋅<<-⋅,36090360000=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<-Z k k x k x ,222πππ11.两角的终边对称结论（1）α与β的终边关于x 轴对称Z k k ∈=+,2πβα （2）α与β的终边关于y 轴对称Z k k ∈+=+,2ππβα （3）α与β的终边关于原点轴对称Z k k ∈++=,2ππβα （4）α与β的终边共线Z k k ∈+=,πβα（5）α与β的终边关于直线x y =对称Z k k ∈+=+,22ππβα（6）α与β的终边关于直线x y -=对称Z k k ∈+=+,232ππβα （7）α与β的终边互相垂直Z k k ∈++=,2ππβα12．三角函数定义：（1）任意角的三角函数定义1：设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角α的终边上任意一点P 的坐标为),(y x ，它到原点的距离022>+=y x r ，则 ①比值r y 叫做角α的正弦，记作αsin ，即=αsin r y ②比值r x 叫做角α的余弦，记作αcos ，即=αcos r x ③比值x y 叫做角α的正切，记作αtan ，即=αtan x y ④比值y x 叫做角α的余切，记作αcot ，即=αcot yx （2）任意角的三角函数定义2：设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，角α的终边与单位圆的交点为P ),(y x ，则 ①=αsin y ②αcos x ③=αtan xy④=αcot y x三角函数都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，又由于角与实数是一一对应的，所以三角函数也可以看作是以实数为自变量的函数13.三角函数的定义域和值域三角函数定义域值域αsin =yR ]1,1[- αcos =y R]1,1[-αtan =y⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππR αcot =y{}Z k k x x ∈≠,πR14.三角函数值在各象限的符号αsin αcos αtan记法1：正弦上正，余弦右正，正切一三正 记法2：一全正，二正弦，三正切，四余弦 15.诱导公式：公式一：终边相同的角的同一三角函数值相等角度制下 弧度制下=+⋅)360sin(0αk αsin =+)2sin(απk αsin =+⋅)360cos(0αk αcos =+)2cos(απk αcos =+⋅)360tan(0αk αtan =+)2tan(απk αtan =+⋅)360cot(0αk αcot =+)2cot(απk αcot公式二：角度制下 弧度制下=+)180sin(0ααsin - =+)sin(απαsin - =+)180cos(0ααcos - =+)cos(απαcos - =+)180tan(0ααtan =+)tan(απαtan =+)180cot(0ααcot =+)cot(απαcot公式三：角度制下 弧度制下=-)180sin(0ααsin =-)sin(απαsin =-)180cos(0ααcos - =-)cos(απαcos - =-)180tan(0ααtan - =-)tan(απαtan - =-)180cot(0ααcot - =-)cot(απαcot -公式四：角度制下 弧度制下=-)sin(ααsin - =-)sin(ααsin - =-)cos(ααcos =-)cos(ααcos =-)tan(ααtan - =-)tan(ααtan - =-)cot(ααcot - =-)cot(ααcot -公式五：角度制下 弧度制下=-)90sin(0ααcos =-)2sin(απαcos=-)90cos(0ααsin =-)2cos(απαsin-)90tan(0ααcot =-)2tan(απαcot=-)90cot(0ααtan =-)2cot(απαtan公式六：角度制下 弧度制下=+)90sin(0ααcos =+)2sin(απαcos=+)90cos(0ααsin - =+)2cos(απαsin -=+)90tan(0ααtan - =+)2tan(απαtan -=+)90cot(0ααcot - =+)2cot(απαcot -公式七：角度制下 弧度制下=+)270sin(0ααcos - =+)23sin(απαcos -=+)270cos(0ααsin =+)23cos(απαsin=+)270tan(0ααcot - =+)23tan(απαcot -=+)270cot(0ααtan - =+)23cot(απαtan -公式八：角度制下 弧度制下=-)270sin(0ααcos - =-)23sin(απαcos -=-)270cos(0ααsin - =-)23cos(απαsin -=-)270tan(0ααcot =-)23tan(απαcot=-)270cot(0ααtan - =-)23cot(απαtan -记忆口诀：奇变偶不变符号看象限 16.部分特殊角的三角函数：αcos21 22 23 1αtan/3-1-33- 017.三角函数线：（1）有向线段：当角α的终边不在坐标轴上时，我们把MP 、OM 、AT 都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段规定：与坐标轴相同的方向为正方向（2）这几条与单位圆有关的有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线注：（1）正弦线、余弦线、正切线分别解释了正弦函数x y sin =，余弦函数x y cos =、正切函数x y tan =的几何意义（2）正弦线、余弦线、正切线的方向与坐标轴正方向相同时，对应的三角函数值为正，与坐标轴正方向相反时，对应的三角函数值为负 18.同角三角函数的关系：（1）平方关系：1cos sin 22=+αα （2）商数关系：=αtan ααcos sin 、=αcot ααsin cos （3）倒数关系：1cot tan =αα 注意公式的变形：（1）1cos sin 22=+x x ⇒x x 22cos 1sin -=、x x 22sin 1cos -= （2）⇒=αααcos sin tan =αsin ααcos tan 、⇒=αααsin cos cot =αcos ααsin cot （3）ααααααcos sin ,cos sin ,cos sin -+的关系：①=+2)cos (sin ααααcos sin 21+ ②=-2)cos (sin ααααcos sin 21- ③=-++22)cos (sin )cos (sin αααα219.正弦函数x y sin =、余弦函数x y cos =、正切函数x y tan =的图像和性质 函数x y sin = x y cos = x y tan =图形定义域 RR⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ值域]1,1[-]1,1[-R最值当Z k k x ∈+=,22ππ时，有最大值当Z k k x ∈-=,22ππ时，有最大值当Z k k x ∈=,2π时，有最大值当Z k k x ∈+=,22ππ时，有最大值无最大值无最小值单调性在Zk k k ∈+-],22,22[ππππ上递增在Zk k k ∈++],232,22[ππππ上递减在Z k k k ∈-],2,2[πππ上递增在Z k k k ∈+],2,2[πππ上递减在Zk k k ∈+-),2,2(ππππ上递增奇偶性 奇函数偶函数奇函数周期性π2=Tπ2=Tπ=T 对称性关于Z k k x ∈+=,2ππ对称关于点Z k k ∈),0,(π中心对称关于Z k k x ∈=,π对称 关于点Zk k ∈+),0,2(ππ中心对称关于点Z k k ∈),0,2(π中心对称20.三角函数周期结论（1）函数B x A y ++=)sin(ϕω(其中0,≠ωA )的周期=T ωπ2函数B x A y ++=)cos(ϕω(其中0,≠ωA )的周期=T ωπ2函数)tan(ϕω+=x A y (其中0,≠ωA )的周期=T ωπ （2）函数)sin(ϕω+=x A y (其中0,≠ωA )的周期=T ωπ 函数)cos(ϕω+=x A y (其中0,≠ωA )的周期=T ωπ 函数)tan(ϕω+=x A y (其中0,≠ωA )的周期=T ωπ （3）函数B x A y ++=)sin(ϕω（其中0,,≠B A ω）的周期=T ωπ2函数B x A y ++=)cos(ϕω（其中0,,≠B A ω）的周期=T ωπ221.函数B x A y ++=)sin(ϕω)0,0(>>ωA 的图像的作法（1）图像变换法：函数B x A y ++=)sin(ϕω的图像可由正弦函数x y sin =经过一系列的变换得到：①先平移变换，再周期变换：x y sin =———————————→)sin(ϕ+=x y —————————→)sin(ϕω+=x y——————————→)sin(ϕω+=x A y ——————————→B x A y ++=)sin(ϕω ②先周期变换，再平移变换：x y sin =———————————→)sin(x y ω=——————————→)sin(ϕω+=x y——————————→)sin(ϕω+=x A y ——————————→B x A y ++=)sin(ϕω （2）五点作图法：函数B x A y ++=)sin(ϕω的图像画法：一个周期内起关键作用的五个点的横坐标可由=+ϕωx ππππ2,23,,2,0得到 22.函数变换结论： （1）平移变换01左右平移：①将函数)(x f y =的图象向左移a 个单位得函数)(a x f y +=的图象 ②将函数)(x f y ω=的图象向左移a 个单位得函数))((a x f y +=ω的图象02上下平移：将函数)(x f y =的图象向上移b 个单位得函数b x f y +=)(的图象（2）伸缩变换①函数)(x f y ω=的图象可由函数)(x f y =的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的ω1倍得到 ②函数)(x Af y =的图象可由函数)(x f y =的图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍得到 （3）翻折变换①函数)(x f y =的图象可将函数)(x f y =的图像y 轴右侧的图像保留，y 轴左侧的图像由y 轴右侧的图像沿y 轴翻折得到②函数)(x f y =的图象可将函数)(x f y =的图像在x 轴上方的图像保留，x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方得到 23.两个函数的对称性结论（1）函数)(x f y -=与)(x f y =的图象关于x 轴对称 （2）函数)(x f y -=与)(x f y =的图象关于y 轴对称 （3）函数)(x f y --=与)(x f y =的图象关于原点对称 （4）函数)(1x fy -=与)(x f y =的图象关于x y =对称（5）函数)2(x a f y -=与)(x f y =的图象关于a x =对称（6）函数)2(x a f y --=与)(x f y =的图象关于点)0,(a 对称24.函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y )0,0(>>ωA 的奇偶性结论 （1）函数)sin(ϕω+=x A y 为奇函数⇔Z k k ∈=,πϕ（2）函数)sin(ϕω+=x A y 为偶函数⇔Z k k ∈+=,2ππϕ（3）函数)cos(ϕω+=x A y 为奇函数⇔Z k k ∈+=,2ππϕ（4）函数)cos(ϕω+=x A y 为偶函数⇔Z k k ∈=,πϕ 二、三角变换25.两角和与差的正弦余弦正切公式：（1）=+)sin(βαβαβαsin cos cos sin +，记作)(βα+ S （2）=-)sin(βαβαβαsin cos cos sin -，记作)(βα- S （3）=+)cos(βαβαβαsin sin cos cos -，记作)(βα+C （4）=-)cos(βαβαβαsin sin cos cos +，记作)(βα-C （5）=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan tan -+，记作)(βα+T（6）=-)tan(βαβαβαtan tan 1tan tan +-，记作)(βα-T26.二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）=α2sin ααcos sin 2（2）=α2cos αα22sin cos -=1cos 22-α=α2sin 21-（3）=α2tan αα2tan 1tan 2- 注：二倍角公式的变形：（1）=+2)cos (sin ααααcos sin 21+；=-2)cos (sin ααααcos sin 21-（2）升幂缩角公式：=+αcos 12cos 22α；=-αcos 12sin 22α（3）降幂扩角公式：=α2sin 22cos 1α-；=α2cos 22cos 1α+ =α2sin 2α2cos 1-；=α2cos 2α2cos 1+27.半角公式：（1） =2sinα22cos 1α-±=2cosα22cos 1α+±=2tanααα2cos 12cos 1+-±（2）=2tanαααsin cos 1-=ααcos 1sin +28.辅助角公式： （1）=+θθcos sin b a )sin(22ϕ++x b a ，其中=ϕsin 22b a b +，=ϕcos 22b a a +（2）=+θθcos sin b a )cos(22ϕ-+x b a ，其中=ϕsin 22ba a +，=ϕcos 22ba b +29.万能公式=α2sin αα2tan 1tan 2+ =α2cos αα22tan 1tan 1+- =α2tan αα2tan 1tan 2- 30.积化和差公式=βαcos sin )]sin()[sin(21βαβα-++=βαsin cos )]sin()[sin(21βαβα--+ =βαcos cos )]cos()[cos(21βαβα-++ =βαsin sin )]cos()[cos(21βαβα--+-31.和差化积公式=+βαsin sin 2cos2sin2βαβα-+=-βαsin sin 2sin2cos2βαβα-+=+βαcos cos 2cos2cos2βαβα-+=-βαcos cos 2sin2sin2βαβα-+-。
高中数学 三角函数
高中数学：三角函数一、概述三角函数是高中数学的一个重要组成部分，是解决许多数学问题的关键工具。
它涉及的角度、边长、面积等，都是几何和代数的核心元素。
通过学习三角函数，我们可以更好地理解图形的关系，掌握数学的基本概念。
二、三角函数的定义三角函数是以角度为自变量，角度对应的边长为因变量的函数。
常用的三角函数包括正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）和正切函数（tangent）。
这些函数的定义如下：1、正弦函数：sine（θ） = y边长 / r （其中，θ是角度，r是从原点到点的距离）2、余弦函数：cosine（θ） = x边长 / r3、正切函数：tangent（θ） = y边长 / x边长三、三角函数的基本性质1、周期性：正弦函数和余弦函数都具有周期性，周期为 2π。
正切函数的周期性稍有不同，为π。
2、振幅：三角函数的振幅随着角度的变化而变化。
例如，当角度增加时，正弦函数的值也会增加。
3、相位：不同的三角函数具有不同的相位。
例如，正弦函数的相位落后余弦函数相位π/2。
4、奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
5、导数：三角函数的导数与其自身函数有关。
例如，正弦函数的导数是余弦函数，余弦函数的导数是负的正弦函数。
四、三角函数的实际应用三角函数在现实生活中有着广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1、物理：在物理学中，三角函数被广泛应用于描述波动、振动、电磁场等物理现象。
例如，简谐振动可以用正弦或余弦函数来描述。
2、工程：在土木工程和机械工程中，三角函数被用于计算角度、长度等物理量。
例如，在桥梁设计、建筑设计等过程中，需要使用三角函数来计算最佳的角度和长度。
3、计算机科学：在计算机图形学中，三角函数被用于生成二维和三维图形。
例如，使用正弦和余弦函数可以生成平滑的渐变效果。
4、金融：在金融学中，三角函数被用于衍生品定价和风险管理。
例如，Black-Scholes定价模型就使用了正态分布（一种特殊的三角函数）。
高中数学必修四 角度制 三角函数关系及诱导公式讲解
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A7、正切、余切的增减性：一、任意角的三角函数的定义： 设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec rxα=()0x ≠，()csc 0ry yα=≠。
三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。
设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cos_α，sin_α)，即P (cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM ，sin α＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝AT .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点(1,0)A 处(起点是A )”.有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线比较)2,0(∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系：三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。
四、一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP |＝r 一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是： (1)用边界值定出角的终边位置； (2)根据不等式(组)定出角的范围； (3)求交集，找单位圆中公共的部分； (4)写出角的表达式．(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．（3）α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四确定”.若α是第一象限，则2α是第一、三象限角；若α是第二象限，则2α是第一、三象限角；若α是第三象限角，则2α是第二、四象限；若α是第四象限角，则2α是第二、四象限。
高中数学《任意角三角函数的定义》课件
二 用有向线段表示三角函数
例3求出的各三角函数在各象限内的符号可用图5.2-6来直观表示：
(1)
(2)
图5.2-6
(3)
请用三角函数的定 义说明正弦、余弦、正 切在各个象限内的符号.
二 用有向线段表示三角函数
例 4 设sin θ <0且tan θ >0，确定θ是第几象限的角. 解 因为sin θ<0，
过点P作x轴的垂线，垂足为D，则在
Rt△OPD中，三边OP，OD，DP之长分别
为r，x，y.
由锐角三角函数的定义有：
sin y ，cos x ，tan y .
r
r
x
图5.2-1
一
用比值定义三角函数
若在角α的终边OM上另取一点P′(x′，y′)，按照同样的方法构造直角三角形， 由相似三角形的知识可以知道：对于确定的角α，上述三个比值不会随点P在α的 终边上的位置的变化而变化.因此，把锐角放在直角坐标系中，锐角的三角函数 （正弦、余弦、正切）可以用终边上不同于原点的任意一点的坐标来表示.
将DP看作有方向的线段，D为起点，P为终点：当它指向y轴的正方向时，取
正实数值y；当它指向y轴的负方向时，取负实数值y；当它的长度为0时，取零
值．在所有的情况下都有
DP＝y＝sin α.
由于直角坐标系内点的 坐标与坐标轴的方向有关， 以坐标轴的方向来规定有向 线段的方向，使得它们的取 值与点P的坐标一致.
解 x＝4，y＝－3，则r＝ 42 32 ＝5，
所以 sin y 3 3 ，
r5 5
cos x 4 ，
r5
tan y 3 3 .
x4 4
图5.2-3
一
用比值定义三角函数
高中数学必修一课件：三角函数的概念
【分析】 先确定所给角的象限，再确定有关的三角函数值的符号．
【解析】 (1)∵105°，－230°均为第二象限角， ∴sin 105°>0，cos(－230°)<0.于是sin 105°cos(－230°)<0. (2)∵π2 <78π<π，∴78π是第二象限角， 则sin 78π>0，tan 78π<0.∴sin 78πtan 78π<0.
1
2
4．sin 390°＝____2____；cos(－315°)＝____2____；tan
8π 3 ＝__－___3___．
5．判断sin 3cos 4tan－234π的符号． 解析 ∵π2 <3<π，π<4<3π 2 ，∴sin 3>0，cos 4<0.
∵－234π＝－6π＋π4 ，∴tan－234π>0.
1．对三角函数概念的理解应注意什么？ 答：①三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终 边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值大小只与角有关．
②符号sin α，cos α，tan α各自是一个整体，离开“α”，“sin” “cos”“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘
课时学案
题型一 利用定义求值
例1 (1)求4π 3 的正弦值、余弦值和正切值．
【解析】
①sin
4π 3 ＝sinπ＋π3 ＝－sin
π 3 ＝－
23，
②cos 4π 3 ＝cosπ＋π3 ＝－cos π3 ＝－12，
③tan
4π 3 ＝tanπ＋π3 ＝tan
第5章-5.2.1-任意角三角函数的定义高中数学必修第一册湘教版
+ 2
2
3
cos sin = ± ．
4
1
− ，
2
=−
= 1，解得 = ±
3
，即cos
2
3
，即sin
2
=
=±
1
1
− .因为点 ,
2
2
3
，所以
2
在单
题型2 三角函数值的符号的判断
例7 判断下列各式的符号：
（1）tan 120∘ sin 269∘ ;
【解析】∵ 120∘ 是第二象限角,∴ tan 120∘ < 0.
方法帮丨关键能力构建
题型1 利用定义求三角函数值
例4 已知角 的终边经过点 2, −3 ，则sin
−
____．
−
=_______，cos
=_____，tan
=
【解析】因为 = 2， = −3，所以点到原点的距离 =
sin =
=
−3
13
=
3 13
（2）tan >
3
.
3
【解析】如图5.2.1-8，过单位圆与轴正半轴的交点作轴的
3
，过点和作一条直线，
3
3
此时终边落在直线上的角的正切值为 .在[0,2π)内，
3
π
7π
3
tan = tan = ，
6
6
3
垂线，在垂线上取一点，使得 =
由图可知，满足条件的角的终边在图中阴影部分（不包括边
π
由题意，知−
2
D.sin 2 < 0
任意角的三角函数的定义-高中数学知识点讲解
任意角的三角函数的定义1．任意角的三角函数的定义
【知识点的认识】
任意角的三角函数
1 定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么 sin α＝y，cos α＝x，tan α=푦푥．
2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．
【命题方向】
已知角α的终边经过点（﹣4，3），则 cosα＝（）
43
A．5C．―5B．3
5D．―
4
5
【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得 cosα的值．
解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r =푥2+푦2= 5．
∴cosα=푥
푟=
―4
5=―
4
5
，
故选：D．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．
【解题方法点拨】
利用三角函数的定义求三角函数值的方法
利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：
（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．
1/ 1。
1.2 任意角的三角函数
b
a
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创新方案系列丛书
1 2．已知角 α 的终边与单位圆交于 P(x， )，则 cos α ＝ 2 ________． 1 3 3 2 解析：由 x ＋4＝1，得 x＝± 2 ，故 cos α＝x＝± 2 . 3 答案：± 2
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创新方案系列丛书 考点3 三角函数值的符号问题
角函数值．
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1．求下列三角函数值． 17π 47π 17π (1)sin－ ； (2)cos ； (3)tan－ . 6 3 4
47π π π 1 解：(1)sin－ 6 ＝sin－8π＋6＝sin ＝ ； 6 2 π 17π π 2 (2)cos ＝cos4π＋4＝cos ＝ ； 4 4 2 17π π (3)tan－ 3 ＝tan－6π＋3 ＝tan
1 解析：由三角函数定义知，sin α＝－2. 1 答案：－2
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5．cos 6²tan 6的符号为________(填“正”、“负”或“不确
定”)．
3π 解析：∵ <6<2π，∴6 是第四象限角． 2 ∴cos 6>0，tan 6<0，则 cos 6· tan 6<0. 答案：负
解析：②③④均错，①正确．
答案：A
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2．已知tan x>0，且sin x＋cos x>0，那么角x是( A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 )
D．第四象限角
解析：由tan x>0，得α为第一、三象限角．而α为第三象限角时，
高一数学 任意角的三角函数(定义)教案
芯衣州星海市涌泉学校师范大学附属中学高一数学教案：任意角的三角函数〔定义〕 教材：任意角的三角函数〔定义〕 目的：要求学生掌握任意角的三角函数的定义，继而理解角与=2k +(kZ)的同名三角函数值相等的道理。
过程：一、提出课题：讲解定义：1． 设是一个任意角，在的终边上任取〔异于原点的〕一点P 〔x,y 〕那么P 与原点的间隔02222>+=+=y x y x r〔图示见P13略〕 2．比值r y 叫做的正弦记作：ry =αsin 比值rx 叫做的余弦记作：r x =αcos 比值x y 叫做的正切记作：x y =αtan 比值y x叫做的余切记作：yx =αcot 比值x r 叫做的正割记作：xr =αsec 比值y r 叫做的余割记作：yr =αcsc 注意突出几个问题：①角是“任意角〞，当=2k +(k Z)时，与的同名三角函数值应该是相等的，即但凡终边一样的角的三角函数值相等。
②实际上，假设终边在坐标轴上，上述定义同样适用。
〔下面有例子说明〕③三角函数是以“比值〞为函数值的函数④0>r ，而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定〔今后将专题研究〕 ⑤定义域：二、例一的终边经过点P(2,3)，求的六个三角函数值解：13)3(2,3,222=-+=-==r y x∴sin =13133cos =13132 tan =23cot =32 sec =213csc =313 例二求以下各角的六个三角函数值⑴0⑵⑶23π⑷2π 解：⑴⑵⑶的解答见P16-17⑷当=2π时r y x ==,0 ∴sin 2π=1cos 2π=0tan 2π不存在cot 2π=0 sec 2π不存在csc 2π=1 例三教学与测试P103例一求函数x xx xy tan tan cos cos +=的值域解：定义域：cosx 0∴x 的终边不在x 轴上又∵tanx0∴x 的终边不在y 轴上 ∴当x 是第Ⅰ象限角时，0,0>>y xcosx=|cosx|tanx=|tanx|∴y=2 …………Ⅱ…………,0,0><y x |cosx|=cosx|tanx|=tanx∴y=2 …………ⅢⅣ………,0,00,0<><<y x y x |cosx|=cosx|tanx|=tanx∴y=0 例四教学与测试P103例二⑴角的终边经过P(4,3),求2sin +cos 的值⑵角的终边经过P(4a,3a),(a 0)求2sin +cos的值 xo y P(2,-3)解：⑴由定义：5=r sin =53cos =54∴2sin +cos =52 ⑵假设0>aa r 5=那么sin =53cos =54∴2sin +cos =52 假设0<a a r 5-=那么sin =53cos =54∴2sin +cos =52 三、小结：定义及有关注意内容四、作业：课本P19练习1P20习题3教学与测试P1044、5、6、7。
高中数学角的三角函数5-2-1任意角三角函数的定义第1课时用比值定义三角函数学生用书湘教版必修第一册
5．2 任意角的三角函数5.2.1任意角三角函数的定义第1课时用比值定义三角函数教材要点要点一任意角的三角函数的定义如图，设α是一个任意角，在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P，利用点P的坐标(x，y)的定义：sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________，其中r＝√x2+y2.以上三个比值分别称为角α的正弦、余弦、正切，y＝sinα，y＝cosα，y＝tanα分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数，以上三种函数都称为三角函数．状元随笔角α的三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关．要点二三角函数的定义域正弦函数y＝sinα，定义域为________；余弦函数y ＝cos α，定义域为________； 正切函数y ＝tan α，定义域为________．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)sin α表示sin 与α的乘积．( )(2)角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化．( )(3)设角α终边上的点P (x ，y )，r ＝|OP |≠0，则sin α＝yr ，且y 越大，sin α的值越大．( )(4)终边落在y 轴上的角的正切函数值为0.( ) 2．已知角α的终边与单位圆交于点(−√32，−12)，则sin α的值为( )A ．－√32B ．－12C ．√32D ．12 3．若角θ的终边经过点P (−√22，√22)，则tan θ＝( )A ．√22B ．－√22C ．－1D ．－√324．如果角α的终边经过点P (－1，√3)，则cos α＝________．题型1 单位圆法求三角函数值例1 (1)角α终边与单位圆相交于点M (√32，12)，则cos α＋sin α的值为________． (2)利用定义求5π6的正弦、余弦和正切值．方法归纳1．若已知角α的大小，只需确定出角α的终边与以坐标原点为圆心的单位圆的交点坐标，即可求出角α的各三角函数值．2．若已知角α终边上一点P (x ，y )(x ≠0)是以坐标原点为圆心的单位圆上的点，则sinα＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx .跟踪训练1 (1)在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点(1213，513)和(−35，45)，那么sin αcos β＝( )A ．－3665B ．－313C ．413D ．4865(2)在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为35，求tan α.题型2 坐标法求三角函数值例2 已知角α的终边过点P (－3a ，4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．方法归纳(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法，cosα在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r＞0)，则sinα＝yr .当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．＝xr(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．，则m＝( ) 跟踪训练2 已知角α的终边上一点P(1，m)，且sinα＝√63A．±√2B．√2C．－√2D．√62题型3 三角函数概念的综合应用的值．例3 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋3cosα方法归纳在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况进行处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sinα＝√a 2+b 2，cos α＝√a 2+b 2，tan α＝ba .跟踪训练3 已知角α的终边在直线y ＝√3x 上，求sin α，cos α，tan α的值．易错辨析 忽略题目中的隐含条件致误例4 已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．12B ．－12C ．－√32D ．±12解析：∵点P 到原点的距离r ＝√64m 2+9， ∴cos α＝√64m 2+9＝－45，即4m 264m 2+9＝125，且m ＞0，解得m ＝12. 故选A. 答案：A 易错警示课堂十分钟1．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(−35，45)，则tanα的值为( )A ．－43B ．－34 C ．－45D ．－352．在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，角θ的始边与x 轴非负半轴重合，角θ的终边经过点P (－3，4)，则cos θ＝( )A ．－35B ．45C ．－325D ．4253．若角α的终边过点(2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值等于( ) A ．12B ．－12C ．－√32D ．－√334．已知角α的终边在射线y ＝－x (x ≤0)上，则cos α＝________． 5．已知角θ的终边上一点P (－√3，m )，且sin θ＝√24m .求cos θ与tan θ.5．2 任意角的三角函数 5．2.1 任意角三角函数的定义第1课时 用比值定义三角函数新知初探·课前预习要点一y rx ryx要点二R R {α|α≠π2+kπ，k ∈Z}[基础自测]1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．解析：根据任意角的正弦定义，可得sin α＝y ＝－12. 故选B. 答案：B3．解析：角θ的终边经过点P (－√22，√22)，则tan θ＝√22－√22＝－1，故选C. 答案：C4．解析：∵角α的终边经过点P (－1，√3)，∴|OP |＝√（−1）2+（√3）2＝2，∴cos α＝－12.答案：－12题型探究·课堂解透例1 解析：(1)由三角函数的定义得sin α＝12，cos α＝32，所以cos α＋sin α＝32＋12＝3＋12.(2)如图所示，5π6的终边与单位圆的交点为P ，过P 作PB ⊥x 轴于点B ，在△OPB 中，|OP |＝1，∠POB ＝π6，则|PB |＝12，|OB |＝32，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 所以sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32tan 5π6＝－33.答案：(1)3＋12(2)见解析 跟踪训练1 解析：(1)由三角函数的定义sin α＝513，cos β＝－35，所以sin αcos β＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－313.故选B.(2)由题意，设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，35，所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝1，解得x ＝45或－45. 当x ＝45时，tan α＝3545＝34；当x ＝－45时，tan α＝35－45＝－34.答案：(1)B (2)见解析例2 解析：r ＝（－3a ）2＋（4a ）2＝5|a |， ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限．sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35.所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.综上所述：当a >0时，2sin α＋cos α＝1；当a <0时，2sin α＋cos α＝－1. 跟踪训练2 解析：角α的终边上一点P (1，m )， 所以r ＝|OP |＝1＋m 2， 所以sin α＝m1＋m2＝63>0， 解得m ＝ 2. 故选B. 答案：B例3 解析：由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任意一点为P (k ，－3k )(k ≠0)， 则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋（－3k ）2＝10|k |. (1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角， sin α＝y r＝－3k10k＝－31010，1cos α＝r x ＝10kk＝10， 所以10sin α＋3cos α＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＋310＝－310＋310＝0.(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角，sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010，1cos α＝r x ＝－10kk＝－10， 所以10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10)＝310－310＝0.综上所述，10sin α＋3cos α＝0.跟踪训练3 解析：因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点，则r ＝a 2＋（3a ）2＝2|a |(a ≠0).若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝3a 2a ＝32，cos α＝a 2a ＝12， tan α＝3aa＝ 3.若a <0时，则α为第三象限角，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－32，cos α＝a －2a ＝－12，tan α＝3aa＝ 3.[课堂十分钟]1．解析：由正切函数的定义可得，tan α＝45−35＝－43.故选A. 答案：A2．解析：∵角θ的顶点与原点重合，角θ的始边与x 轴非负半轴重合， 角θ的终边经过点P (－3，4)，则cos θ＝√9+16＝－35， 故选A. 答案：A3．解析：∵x ＝2sin 30°＝1，y ＝－2cos 30°＝－√3，∴r ＝√12+(−√3)2＝2，∴sin α＝y r＝－√32.故选C. 答案：C4．解析：在角α的终边y ＝－x (x ≤0)上任取一点(－1，1)， 则cos α＝√1+1＝－√22.答案：－225．解析：由题意得sin θ＝mm2＋3＝24m，若m＝0，则cosθ＝－1，tan θ＝0. 若m≠0，则m＝± 5.当m＝5时，cosθ＝－64，tan θ＝－153；当m＝－5时，cosθ＝－64，tan θ＝153.11。
高中常考的数学知识点三角函数的定义
高中常考的数学知识点三角函数的定义一、三角函数三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实际上就是解最简单的'三角不等式，通常可用三角函数的图像或三角函数线来求解，注意数形结合思想的应用,如何运用三角函数的图像解决问题能够帮助对数形结合思想的掌握。
二、三角函数诱导公式1.公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等运用同角三角函数的基本关系式求值2.公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=—sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinα三、锐角三角函数在△ABC中，∠C为直角，∠A和∠B是锐角三角函数专题题型全归纳第一节：三角函数概念及同角三角函数关系题型一：概念辨析题型二：象限角及终边相同的角题型三：扇形的弧长及面积公式题型四：三角函数的定义及应用题型五：同角三角函数直接应用题型六：同角三角函数之弦的齐次式第二节：诱导公式及恒等变换题型一：诱导公式的运用题型二：恒等变换题型三：角的拼凑第三节：三角函数的图像及性质题型一：三角函数的周期题型二：三角函数的定义域题型三：三角函数的单调性题型四：三角函数的对称性题型五：三角函数的奇偶性题型六：三角函数的值域第四节：三角函数的图像变换及综合题型一：图像变换题型二：已知图像求解解析式题型三：三角函数性质综合（多选题专练）题型四：三角函数解答题题型五：三角函数实际应用第五节：解三角形题型一：正余弦定理选择题型二：边角互换题型三：与三角形面积有关题型四：三角形形状判断题型五：三角形的个数判断题型六：最值与取值范围题型七：解三角形在平面图形中的运用题型八：解三角形的实际应用题型九：解三角形解答题专练。
高中数学必修四 第一章三角函数 1.2.1.1 三角函数的定义
解析:角
α
的终边在
y
轴的非负半轴上,则
α=2kπ+
π 2
(������∈Z),所以
tan α 无意义.
答案:A
【做一做 1-2】 若角 α 的终边与单位圆相交于点
2 2
,-
2 2
,
则 sin ������的值为( )
A.
2 2
B.
−
2 2
C.
1 2
D.
−1
解析:x=
2 2
,
������
=
−
2 2
,
则sin
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)∵-670°=-2×360°+50°,
∴-670°是第一象限角,
∴sin(-670°)>0.
又1 230°=3×360°+150°,
∴1 230°是第二象限角,
∴cos 1 230°<0,
∴sin(-670°)cos 1 230°<0.
(2)∵
5π 2
<
8
<
(2)∵
5π 4
是第三象限角,
4π 5
是第二象限角,
11π 6
是第四象限角,∴
sin
5π 4
<
0,
cos
4π 5
<
0,
tan
11π 6
<
0,
∴sin
54π·cos
45π·tan
11π 6
<
0,
式子符号为负.
(3)∵191°角为第三象限角,∴tan 191°>0,cos 191°<0,
任意角的三角函数
（4）负
tanx 例3.求函数y = + 的值域. cosx tanx
解析： 定义域：cosx ≠0 ∴x的终边不在x轴上 又∵tanx ≠0 ∴x的终边不在y轴上
cosx
∴当x是第一象限角时，x > 0,y > 0, cosx = cosx,tanx = tanx, ∴ y = 2; 当x是第二象限角时，x < 0,y > 0, cosx = -cosx,tanx = -tanx, ∴ y = -2; 当x是第三象限角时，x < 0,y < 0, cosx = -cosx,tanx = tanx, ∴ y = 0; 当x是第四象限角时，x > 0,y < 0, cosx = cosx,tanx = -tanx, ∴ y = 0; 所以，y的值域为 {2， - 2，0}
例2 已知角的终边经过点P（ 2， 3），求角的 正弦、余弦、正切值.
解：
因为
所以
x 2, y 3,
r 2 2 ( 3) 2 13 ,
所以
y 3 3 13 sin , r 13 13
x 2 2 13 cos , r 13 13
3 y . tan 2 x
几个特殊角的三角函数值
角α 0o 角α 的弧 0 度数 sinα 0 cosα 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o
6
1 2
4
2 2 2 2
3
3 2
1 2
2 1
0
1
0
不存在
3 2
2
1
0
tanα
3 2 3 3
0
1
高中数学 1.2.1任意角的三角函数的定义及应用练习(含解析)苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题
1．2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数的定义及应用在初中我们已经学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量、边的比值为函数值的三角函数．你能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？改变终边上的点的位置，这个比值会改变吗？把角扩充为任意角，结论成立吗？一、任意角的三角函数1．单位圆：在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为________．2．三角函数的定义：设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合．在平面直角坐标系中，角α终边与单位圆交于一点P (x ，y )，则r ＝|OP |＝1.那么：(1)y 叫做________，记作sin α，即y ＝sin α； (2)x 叫做________，记作cos α，即x ＝cos α； (3)y x 叫做________，记作tan α，即y x＝tan α(x ≠0)．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们把它们统称为________．答案：1.单位圆2．(1)α的正弦 (2)α的余弦 (3)α的正切 三角函数二、三角函数值在各个象限内的符号1．由三角函数的定义，以及各象限内的点的坐标的符号，可以确定三角函数在各象限的符号．sin α＝y r，其中r >0，于是sin α的符号与y 的符号相同，即：当α是第________象限角时，sin α>0；当α是第________象限角时，sin α<0.cos α＝x r，其中r >0，于是cos α的符号与x 的符号相同，即：当α是第__________象限角时，cos α>0；当α是第________象限角时，cos α<0.tan α＝y x，当x 与y 同号时，它们的比值为正，当x 与y 异号时，它们的比值为负，即：当α是第________象限角时，tan α>0；当α是第 ________象限角时，tan α<0.2．根据终边所在位置总结出形象的识记口诀1：“sin α＝yr ：上正下负横为0；cos α＝x r ：左负右正纵为0；tan α＝y x：交叉正负．” 形象的识记口诀2：“一全正、二正弦、三正切、四余弦．” 答案：1.一、二 三、四 一、四 二、三 一、三 二、四三、诱导公式一由定义可知，三角函数值是由角的终边的位置确定的，因此，终边相同的角的同一三角函数的值________，这样就有下面的一组公式(诱导公式一)：sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α，tan(2k π＋α)＝tan α，k ∈Z. 答案：相等四、三角函数线1．有向线段：有向线段是规定了方向(即起点、终点)的线段，它是________、 ________的．在平面直角坐标系中，和坐标轴同向的有向线段为正，反向的为负．2．正弦线、余弦线、正切线：三角函数线是用来形象地表示三角函数值的有向线段．有向线段的________表示三角函数值的________，有向线段的________表示三角函数值的绝对值的________．三角函数线的作法如下：设角α的终边与单位圆的交点为P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有向线段MP ，OM 就分别是角α的正弦线与余弦线，即MP ＝y ＝sin α，OM ＝x ＝cos α.过点A (1，0)作单位圆的切线，设这条切线与角α的终边(或终边的反向延长线)交于点T ，则有向线段AT 就是角α的正切线，即AT ＝tan α.3．填写下表中三角函数的定义域、值域：函数定义域值域 y ＝sin α y ＝cos α y ＝tan α答案：1.有长度 有正负 2.方向 正负 长度 大小 3.函 数定 义 域值 域 y ＝sin α R [－1，1] y ＝cos α R[－1，1]y ＝tan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α≠π2＋k π，k ∈ZR任意角的三角函数的定义1．正弦、余弦、正切可分别看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．2．三角函数值是比值，是一个实数．这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，而是由角α的终边位置所决定．对于确定的角α，其终边的位置也是唯一确定的．因此，三角函数是角的函数．(1)三角函数值只与角α的终边所在的位置有关，与点P 在终边上的位置无关． (2)三角函数值是一个比值，没有单位．三角函数值的符号三角函数值在各象限的符号取决于终边所在的位置，具体说取决于x，y的符号，记忆时结合三角函数定义式记，也可用口诀只记正的“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．三角函数线对于三角函数线，须明确以下几点：(1)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆．(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点．(5)三种有向线段的正负与坐标轴正负方向一致，三种有向线段的长度与三种三角函数值相同．三角函数的定义域1．由三角函数的定义式可以知道，无论角α终边落在哪里，sin α，cos α都有唯一的值与之对应，但对正切则要求α终边不能落在y轴上，否则正切将无意义．2．角和实数建立了一一对应关系，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数，所以就可以借助单位圆，利用终边相同的角的概念求出任意角的三角函数．基础巩固1．sin 810°＋tan 765°＋tan 1125°＋cos 360°＝________．答案：42．若α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为________．答案：－3 23．若角α的终边过点P (3cos θ，－4cos θ)(θ为第二象限角)，则sin α＝________．答案：454．cos θ·tan θ＜0，则角θ是________象限角． 答案：第三或第四5．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 答案：二6．角α的正弦线与余弦线长度相等，且符号相同，那么α(0＜α＜2π)的值为________．答案：π4或54π7．sin 1，sin 1.2，sin 1.5三者的大小关系是________． 答案：sin 1.5＞sin 1.2＞sin 1能力升级8．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，－cos x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤0，即角x 的终边落在第二象限内和两个半轴上．∴2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z)9．已知角α的终边在直线y ＝kx 上，若sin α＝－255，cos α<0，则k ＝________．解析：∵sin α＝－255，cos α<0，∴α的终边在第三象限．令角α的终边上一点的坐标为(a ，ka )，a <0，则r ＝－1＋k 2·a ，sin α＝－ka 1＋k 2a＝－255，∴k ＝2. 答案：210．在(0，2π)内，满足tan 2α＝－tan α的α的取值X 围是________． 解析：由tan 2α＝－tan α，知tan α≤0，在单位圆中作出角α的正切线，知π2＜α≤π或3π2＜α＜2π. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π11．解不等式2＋2cos x ≥0. 解析：2＋2cos x ≥0⇔cos x ≥－22，利用单位圆，借助三角函数线(如图)可得出解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－34π，2k π＋34π(k ∈Z)．12．若π4＜θ＜π2，则下列不等式中成立的是( )A ．sin θ＞cos θ＞tan θB ．cos θ＞tan θ＞sin θC ．sin θ＞tan θ＞cos θD ．tan θ＞sin θ＞cos θ解析：作出角θ的三角函数线(如图)，数形结合得AT ＞MP ＞OM ，即tan θ>sin θ>cosθ.答案：D13．函数y ＝sin x |sin x |＋cos x |cos x |＋tan x|tan x |的值域是( C )A ．{－1，0，1，3}B ．{－1，0，3}C ．{－1，3}D ．{－1，1}14．若0＜α＜π2，证明：(1)sin α＋cos α＞1； (2)sin α＜α＜tan α.证明：(1)在如图所示单位圆中， ∵0＜α＜π2，|OP |＝1，∴sin α＝MP ，cos α＝OM . 又在△OPM 中，有 |MP |＋|OM |＞|OP |＝1. ∴sin α＋cos α＞1.(2)如图所示，连接AP ，设△OAP 的面积为S △OAP ，扇形OAP 的面积为S 扇形OAP ，△OAT 的面积为S △OAT .∵S △OAP ＜S 扇形OAP ＜S △OAT ， ∴12OA ·MP ＜12AP ︵·OA ＜12OA ·AT .∴MP <AP ︵<AT ，即sin α＜α＜tan α.15．已知f (n )＝cosn π5(n ∈Z)，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)的值．解析：角n5π(n ＝1，2，…，10)表示10个不同终边的角，这10条终边分成五组，每组互为反向延长线．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (10)＝0，f (11)＋f (12)＋…＋f (20)＝0，…f (2 001)＋f (2 002)＋…＋f (2 010)＝0.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝0.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＝cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5.由定义知cos π5与cos 4π5，cos 2π5与cos 3π5互为相反数，故f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝0.。
北京四中高中数学 任意角的三角函数基础知识讲解 新人
任意角的三角函数【学习目标】1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号.2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.3．会应用三角函数的定义解决相关问题。
【要点梳理】要点一：三角函数定义设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=；(2)x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=； (3)y x 叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x x α=≠. 要点诠释：三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r =那么sin α=,cos α=,tan y xα=。
要点二：三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号：正切、余切余弦、正割正弦、余割 在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。
要点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正。
要点三：诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等sin(2)sin k απα+⋅=，其中k Z ∈cos(2)cos k απα+⋅=，其中k Z ∈tan(2)tan k απα+⋅=，其中k Z ∈要点诠释：该组公式说明了终边相同的角的同一三角函数的值相等这个结论。
要注意在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多值对应关系，即给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(除不存在的情况)；反之，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应.要点四：单位圆中的三角函数线圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于P ，过P 作PM 垂直x 轴于M ，作PN 垂直y 轴于点N.以A 为原点建立y '轴与y 轴同向，与α的终边(或其反向延长线)相交于点T (或T ')，则有向线段0M 、0N 、AT(或AT ')分别叫作α的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段.要点诠释：三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦线在x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴的正方向的交点的切线上；三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外.【典型例题】类型一：三角函数的定义例1．已知角α的终边经过点P （－4a ，3a ）（a ≠0），求sin α，cos α，tan α的值。
专题46 高中数学三角函数的概念(解析版)
专题46 三角函数的概念1．单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．2．任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R 它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (2)结论①正弦：点P 的纵坐标y 叫做α的正弦，记作sin α，即y ＝sin α； ②余弦：点P 的横坐标x 叫做α的余弦，记作cos α，即x ＝cos α；③正切：把点P 的纵坐标与横坐标的比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx (x ≠0)(3)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为正弦函数y ＝sin x (x ∈R)；余弦函数y ＝cos x (x ∈R)；正切函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ≠π2＋k π，k ∈Z 3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数 定义域 sin α R cos α Rtan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z4.正弦、余弦、正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．5．诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式(公式一)： sin(α＋k ·2π)＝sin α，cos(α＋k ·2π)＝cos α，tan(α＋k ·2π)＝tan α，其中k ∈Z. 即终边相同的角的同一三角函数值相等．题型一 任意角的三角函数的定义及其应用1．若角α的终边经过点P (5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. [解析]∵x ＝5，y ＝－12，∴r ＝52＋(－12)2＝13，则sin α＝y r ＝－1213，cos α＝x r ＝513，tan α＝y x ＝－125.2．已知角α终边过点P (1，－1)，则tan α的值为 [解析]由三角函数定义知tan α＝－11＝－1.3．已知角α的终边经过点P (1，－1)，则sin α的值为 [解析] ∵α的终边经过点P (1，－1)，∴sin α＝－112＋(－1)2＝－22. 4．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝ [解析] ∵x ＝－4，y ＝3，∴r ＝(－4)2＋32＝5，∴cos α＝x r ＝－45＝－455．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点⎝⎛⎭⎫－35，45，则tan α的值为 [解析] 由正切函数的定义可得，tan α＝45－35＝－43. 6．角α终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎫32，12，则cos α＋sin α的值为________．[解析]cos α＝x ＝32，sin α＝y ＝12，故cos α＋sin α＝3＋12. 7．若角α的终边过点(2sin30°，－2cos30°)，则sin α的值等于 [解析] ∵x ＝2sin30°＝1，y ＝－2cos30°＝－3，∴r ＝12＋(－3)2＝2，∴sin α＝y r ＝－328．在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫513，1213和⎝⎛⎭⎫－35，45，那么sin α·tan β＝________. [解析]由任意角的正弦、正切函数的定义知sin α＝1213，tan β＝45－35＝－43，所以sin α·tan β＝1213×⎝⎛⎭⎫－43＝－1613. 9．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos α＝________. [解析]因为θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos θ＜0，r ＝(－3cos θ)2＋(4cos θ)2＝5|cos θ|＝－5cos θ， 所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.10．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若sin α＝15，则sin β＝________.[解析]设角α的终边与单位圆相交于点P (x ，y )，则角β的终边与单位圆相交于点Q (x ，－y )， 由题意知y ＝sin α＝15，所以sin β＝－y ＝－15.11．设a <0，角α的终边经过点P (－3a,4a )，则sin α＋2cos α的值等于________．[解析]∵a <0，角α的终边经过点P (－3a,4a )，∴点P 与原点的距离r ＝－5a ，sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋2cos α＝25.12．已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值． [解析]r ＝(－4a )2＋(3a )2＝5|a |，若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34；若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.13．已知角α的终边落在射线y ＝2x (x ≥0)上，求sin α，cos α的值． [解析]设射线y ＝2x (x ≥0)与单位圆的交点为P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x 2＋y 2＝1，x ≥0，解得⎩⎨⎧x ＝55，y ＝255，即P ⎝⎛⎭⎫55，255，所以sin α＝y ＝255，cos α＝x ＝55.14．若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于[解析]在α的终边上任取一点P (－1,2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝25＝255.或者取P ′(1，－2)，则r ＝1＋4＝5，所以sin α＝y r ＝－25＝－255.15．已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． [解析]直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r ＝(－1)2＋(3)2＝2， 所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3； 在第四象限取直线上的点(1，－3)，则r ＝12＋(－3)2＝2， 所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3. 16．已知角α的终边经过P (－b ，4)，且cos α＝－35，则b 的值为[解析]由x ＝－b ，y ＝4，得r ＝b 2＋16，所以cos α＝－bb 2＋16＝－35，解得b ＝3(b ＝－3舍去)．17．若角α的终边经过P (－3，b )，且cos α＝－35，则b ＝________，sin α＝________.[解析]∵cos α＝－39＋b 2，∴－39＋b2＝－35，∴b ＝4或b ＝－4.当b ＝4时，sin α＝b 9＋b2＝45，当b ＝－4时，sin α＝b 9＋b2＝－45.18．若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x ，2)，则P 点的横坐标x 是 [解析]r ＝x 2＋22，由题意得x x 2＋22＝－32，所以x ＝－2 3.19．已知角α的终边经过点P (x ，－6)且cos α＝－45，则x ＝________.[解析]因为|OP |＝x 2＋(－6)2＝x 2＋36，所以cos α＝x x 2＋36，又cos α＝－45，所以x x 2＋36＝－45，整理得x ＝－8.20．已知角α终边上的点P (4,3m )，且sin α＝22m ，求m 的值． [解析]∵P (4,3m )，∴r ＝16＋9m 2，∴sin α＝yr＝3m16＋9m 2＝22m ， 两边平方，得9m 216＋9m 2＝12m 2.∴m2(9m 2－2)＝0，∴m ＝0或m ＝±23. 21．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，则sin α＋cos α的值为________．[解析]根据三角函数的定义，tan α＝a 5＝－125，∴a ＝－12，∴P (5，－12)．这时r ＝13，∴sin α＝－1213，cos α＝513，从而sin α＋cos α＝－713.22．已知角α的终边与单位圆的交点为⎝⎛⎭⎫－12，y (y <0)，则sin αtan α＝________. [解析]∵α的终边与单位圆的交点为⎝⎛⎭⎫－12，y ，∴⎝⎛⎭⎫－122＋y 2＝1，即y 2＝34. 又∵y <0，∴y ＝－32.∴sin α＝－32，tan α＝3，sin αtan α＝－32×3＝－32. 23．已知角α的终边经过点P (3，－4t )，且sin(2k π＋α)＝－35，其中k ∈Z ，则t 的值为____________．[解析]因为sin(2k π＋α)＝－35(k ∈Z)，所以sin α＝－35.又角α的终边过点P (3，－4t )，故sin α＝－4t9＋16t 2＝－35，解得t ＝916⎝⎛⎭⎫t ＝－916舍去. 24．已知角θ的终边上有一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，则sin θ＋tan θ的值为________． [解析]因为r ＝x 2＋9，cos θ＝x r ，所以1010x ＝xx 2＋9.又x ≠0，所以x ＝±1，所以r ＝10.又y ＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角． 当θ为第一象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝3，则sin θ＋tan θ＝310＋3010.当θ为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3，则sin θ＋tan θ＝310－3010.25．已知角θ的终边上一点P (－3，m )，且sin θ＝24m .求cos θ与tan θ. [解析]由题意得sin θ＝mm 2＋3＝24m ，若m ＝0，则cos θ＝－1，tan θ＝0.若m ≠0，则m ＝±5. 当m ＝5时，cos θ＝－64，tan θ＝－153；当m ＝－5时，cos θ＝－64，tan θ＝153. 26．已知角α的终边上一点P (m ，3)，且cos α＝104，求sin α，tan α的值． [解析]由题意得x ＝m ，y ＝3，所以r ＝|OP |＝m 2＋3，所以cos α＝x r ＝m m 2＋3＝104，解得m ＝5(负值舍去)，则r ＝22，所以sin α＝y r ＝322＝64，tan α＝y x ＝35＝155.27．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为23，则tan α＝________．[解析]设点A 的横坐标为x ，则由x 2＋49＝1，解得x ＝±53，因为角α为第二象限角，所以x ＝－53，cos α＝－53，所以tan α＝23－53＝－255. 28．若角α终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )为角α终边上一点，且|OP |＝10， 则m －n 等于[解析]∵角α终边与y ＝3x 重合，且sin α<0，所以α为第三象限角，∴P (m ，n )中m <0且n <0，据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝3m ，m 2＋n 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.29．已知角α终边上异于原点的一点P 且|PO |＝r ，则点P 的坐标为( )A ．P (sin α，cos α)B ．P (cos α，sin α)C ．P (r sin α，r cos α)D ．P (r cos α，r sin α)[解析]设P (x ，y )，则sin α＝y r ，∴y ＝r sin α，又cos α＝xr ，∴x ＝r cos α，∴P (r cos α，r sin α)，故选D.30．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg cos α有意义．(1)试判断角α的终边所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值． [解析] (1)由1|sin α|＝－1sin α，可知sin α<0.由lg cos α有意义，可知cos α>0，∴角α的终边在第四象限．(2)∵|OM |＝1，∴⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.31．已知角α的终边上的点P 与点A (a ，b )关于x 轴对称(a ≠0，b ≠0)，角β的终边上的点Q 与点A 关于直线y ＝x 对称，求sin αcos β＋tan αtanβ＋1cos αsin β的值．[解析]由题意可知P (a ，－b )，则sin α＝－b a 2＋（－b ）2，cos α＝a a 2＋（－b ）2，tan α＝－ba ；由题意可知Q (b ，a )，则sin β＝a a 2＋b 2，cos β＝b a 2＋b 2，tan β＝ab ，所以sin αcos β＋tan αtan β＋1cos αsin β＝－1－b 2a 2＋a 2＋b 2a2＝0.题型二 三角函数值符号的运用1．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解析]由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角． 2．若sin α<0且tan α>0，则α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析]由于sin α<0，则α的终边在第三或第四象限或y 轴非正半轴上，又tan α>0，则α的终边在第一或第三象限，所以α的终边在第三象限．[答案] C3．点P (tan α，cos α)在第三象限，则α是第________象限角．[解析]因为点P (tan α，cos α)在第三象限，所以tan α<0，cos α<0，则角α的终边在第二象限. 4．若－π2<α<0，则点Q (cos α，sin α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析]因为－π2<α<0，所以cos α>0，且sin α<0，所以点Q (cos α，sin α)在第四象限，选D.5．已知sin θcos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角θ是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解析]由|cos θ|＝cos θ，可知cos θ≥0，结合sin θcos θ<0，得sin θ<0，cos θ>0，所以角θ是第四象限角. 6．若tan α<0，且sin α>cos α，则α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析]由tan α<0知，α是第二、四象限角，若α是第二象限角，则sin α>0，cos α<0，满足sin α>cos α； 若α是第四象限角，则sin α<0，cos α>0，不满足sin α>cos α，故选B. 7．已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析]因为点P 在第四象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧tan α>0，cos α<0，由此可判断角α终边在第三象限．8．若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二、三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，从而α为第三、四象限角． 综上可知，α为第三象限角．9．若cos α与tan α同号，那么α在( )A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第三、四象限D ．第二、四象限[解析]因为cos α与tan α同号，所以α在第一、二象限． 10．若sin θ<cos θ，且sin θ·cos θ<0，则角θ的终边位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析]由条件可知cos θ>0，sin θ<0，则θ为第四象限角，故选D. 11．已知tan x >0，且sin x ＋cos x >0，那么角x 是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解析]∵tan x >0，∴x 在第一或第三象限．若x 在第一象限，则sin x >0，cos x >0，∴sin x ＋cos x >0. 若x 在第三象限，则sin x <0，cos x <0，与sin x ＋cos x >0矛盾．故x 只能在第一象限． 12．若角α是第三象限角，则点P (2，sin α)所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析]由α是第三象限角知，sin α<0，因此P (2，sin α)在第四象限，故选D. 13．在△ABC 中，若sin A cos B tan C <0，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角或钝角三角形[解析]因为sin A >0，所以cos B ，tan C 中一定有一个小于0，即B ，C 中有一个钝角．答案C14．点P (tan 2 018°，cos 2 018°)位于第________象限．[解析]因为2 018°＝5×360°＋218°，所以2 018°与218°终边相同，是第三象限角， 所以tan 2 018°＞0，cos 2 018°＜0，所以点P 位于第四象限．15．给出下列函数值：①sin(－1000°)；②cos ⎝⎛⎭⎫－π4；③tan2，其中符号为负的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析]①sin(－1000°)＝sin(－1080°＋80°)＝sin80°>0；②cos ⎝⎛⎭⎫－π4>0 ③∵π2<2<π，∴tan2<0，只有③符合，∴选B.16．判断下列各式的符号：(1)tan 120°sin 269°；(2)cos 4tan ⎝⎛⎭⎫－23π4;(3) cos6·tan6;(4) tan (－3)cos 8·tan 5. [解析] (1)因为120°角是第二象限角，所以tan 120°<0.因为269°角是第三象限角，所以sin 269°<0.所以tan 120°sin 269°>0.(2)因为π<4<3π2，所以4弧度角是第三象限角，所以cos 4<0，因为－23π4＝－6π＋π4，所以－23π4是第一象限角，所以tan ⎝⎛⎭⎫－23π4>0，所以cos 4tan ⎝⎛⎭⎫－23π4<0. (3)∵3π2<6<2π，∴6是第四象限角．∴cos6>0，tan6<0.∴cos6·tan6<0. (4)∵弧度数为－3,5,8的角分别是第三、第四、第二象限角，∴tan(－3)＞0，tan 5＜0，cos 8＜0，∴tan (－3)cos 8·tan 5＞0.17．判断下列各式的符号：(1)sin105°·cos230°；(2)cos3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3；(3)sin145°cos(－210°)；(4)sin3·cos4·tan5；(5)sin2·cos3·tan5 [解析] (1)因为105°，230°分别为第二、三象限角，所以sin105°>0，cos230°<0.于是sin105°·cos230°<0. (2)因为π2<3<π，所以3是第二象限角，所以cos3<0，又因为－2π3是第三象限角，所以tan ⎝⎛⎭⎫－2π3>0， 所以cos3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3<0. (3)∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，∴cos(－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0.(4)∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.(5)∵2 rad 为第二象限角，∴sin2>0；3 rad 为第二象限角，∴cos3<0；5 rad 为第四象限角，∴tan5<0，∴sin2·cos3·tan5>018．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，则下列各组数中有意义且均为正值的是( )A ．tan A 与cosB B ．cos B 与sinC C ．sin C 与tan AD ．tan A2与sin C[解析]∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴tan A2＞0；又∵0＜C ＜π，∴sin C ＞0.19．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________.[解析] ∵角α的终边在直线x ＋y ＝0上∴角α的终边落在二、四象限角平分线上，且|sin α|＝|cos α|， 若α在第二象限，sin α>0，cos α<0，∴sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin α－cos α＋sin αcos α＝0若α在第四象限，sin α<0，cos α>0，∴sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α＋－sin αcos α＝0.20．函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＋tan x|tan x |的值域是( )A ．{－1，0，1，3}B ．{－1，0，3}C ．{－1，3}D ．{－1，1}[解析]当x 是第一象限角时，y ＝3；当x 是第二象限角时，y ＝－1；当x 是第三象限角时，y ＝－1；当x 是第四象限角时，y ＝－1. 故函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＋tan x|tan x |的值域是{－1，3}．21．有下列说法：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y 2， 其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [解析]①正确；②错误，如sin π6＝sin 5π6；③错误，如sin π2＝1＞0；④错误，cos α＝xx 2＋y 2.所以B 选项是正确的． 22．已知角α的终边过点(3a －9，a ＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________． [解析]因为cos α≤0，sin α＞0，所以角α的终边在第二象限或y 轴非负半轴上，因为α终边过(3a －9，a ＋2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，所以－2＜a ≤3. 23．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角． [解析]角α是第三象限角，则角α2是第二、四象限角，∵⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，∴角α2是第四象限角． 24．已知α是第三象限角，且cos α2>0，则α2的终边所在的象限是( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析.由α是第三象限角知：2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z)．所以k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z)． 因此，当k 是偶数时，α2是第二象限角；当k 是奇数时，α2是第四象限角． 又cos α2>0，因此α2是第四象限角，故选D. 25．已知sin α2＝35，cos α2＝－45，试确定α是第几象限角． [解析]因为sin α2＝35>0，cos α2＝－45<0，所以α2是第二象限角，所以2k π＋π2<α2<2k π＋π，k ∈Z . 由sin α2＝35<22知2k π＋3π4<α2<2k π＋π，k ∈Z ，所以4k π＋3π2<α<4k π＋2π，k ∈Z ， 故α是第四象限角．26．已知sin θ＜0，tan θ＞0.(1)求角θ的集合；(2)求θ2的终边所在的象限； (3)试判断sin θ2cos θ2tan θ2的符号． [解析] (1)因为sin θ＜0，所以θ为第三、四象限角或在y 轴的负半轴上，因为tan θ＞0，所以θ为第一、三象限角，所以θ为第三象限角，θ角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪2k π＋π＜θ＜2k π＋3π2，k ∈Z . (2)由(1)可得，k π＋π2＜θ2＜k π＋3π4，k ∈Z. 当k 是偶数时，θ2终边在第二象限；当k 是奇数时，θ2终边在第四象限． (3)由(2)可得当k 是偶数时，sin θ2＞0，cos θ2＜0，tan θ2＜0，所以sin θ2cos θ2tan θ2＞0； 当k 是奇数时sin θ2＜0，cos θ2＞0，tan θ2＜0，所以sin θ2cos θ2tan θ2＞0.综上知，sin θ2cos θ2tan θ2＞0. 题型三 诱导公式一的应用1．sin 585°的值为[解析]sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin 225°.由于225°是第三象限角，且终边与单位圆的交点为⎝⎛⎭⎫－22，－22，所以sin 225°＝－22. 2．sin(－315°)的值是[解析]sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝22. 3．sin 253π＝________. [解析]sin 253π＝sin ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＝sin π3＝32. 4．sin(－1380°)的值为[解析]sin(－1 380°)＝sin(－4×360°＋60°)＝sin 60°＝32. 5．sin ⎝⎛⎭⎫－35π6的值等于 [解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫－35π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－6π＋π6＝sin π6＝126．cos 1 470°＝____________．[解析]cos 1 470°＝cos(4×360°＋30°)＝cos 30°＝32. 7．tan ⎝⎛⎭⎫－173π等于________． [解析]tan ⎝⎛⎭⎫－173π＝tan ⎝⎛⎭⎫－6π＋π3＝tan π3＝ 3. 8．求下列三角函数值：(1)sin 256π＋cos 193π；(2)sin 2 17π4＋tan 2⎝⎛⎭⎫－11π6tan 9π4； (3)sin 390°＋cos(－660°)＋3tan 405°－cos 540°；(4)sin ⎝⎛⎭⎫－7π2＋tan π－2cos 0＋tan 9π4－sin 7π3. [解析] (1)sin256π＋cos 193π＝sin ⎝⎛⎭⎫4π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫6π＋π3＝sin π6＋cos π3＝12＋12＝1. (2)原式＝sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋4π＋tan 2⎝⎛⎭⎫π6－2π·tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2π＝sin 2π4＋tan 2 π6·tan π4＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫332×1＝12＋13＝56. (3)原式＝sin(360°＋30°)＋cos(－2×360°＋60°)＋3tan(360°＋45°)－cos(360°＋180°)＝sin 30°＋cos 60°＋3tan 45°－cos 180°＝12＋12＋3×1－(－1)＝5.(4)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－4π＋π2＋tan π－2cos 0＋tan ⎝⎛⎭⎫2π＋π4－sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π3＝sin π2＋tan π－2cos 0＋tan π4－sin π3＝1＋0－2＋1－32＝－32. 9．求值：(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；(2)sin 7π3cos ⎝⎛⎭⎫－23π6＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4cos 13π3；(3) sin 13π6＋cos 13π3－tan ⎝⎛⎭⎫－23π4. [解析] (1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. (2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π3cos ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π3＝sin π3cos π6＋tan π4cos π3＝32×32＋1×12＝54； (3) sin 13π6＋cos 13π3－tan ⎝⎛⎭⎫－23π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π3－tan ⎝⎛⎭⎫－6π＋π4＝sin π6＋cos π3－tan π4＝12＋12－1＝0. 10．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°.(2)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4. (3)sin810°＋tan1125°＋cos420°； (4)sin1140°cos(－690°)＋tan1845°.[解析] (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0. (2)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. (3)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin90°＋tan45°＋cos60°＝1＋1＋12＝52. (4)原式＝sin(3×360°＋60°)cos(－2×360°＋30°)＋tan(5×360°＋45°)＝sin60°cos30°＋tan45° ＝32×32＋1＝74. 11．计算下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan4π； (3)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°).[解析] (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12. (3)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0°＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2.12．化简下列各式：(1)sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4；(2)a 2sin 810°－b 2cos 900°＋2ab tan 1125°. [解析] (1)原式＝sin 32π＋cos π2＋cos π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1. (2)原式＝a 2sin 90°－b 2cos 180°＋2ab tan 45°＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.13．已知角α的终边经过点P (3，4)．(1)求tan(－6π＋α)的值；(2)求sin （α－4π）cos （6π＋α）·sin(α－2π)·cos(2π＋α)的值． [解析]设x ＝3，y ＝4则r ＝32＋42＝5，所以sin α＝y r ＝45，cos α＝x r ＝35，tan α＝y x ＝43， (1)tan(－6π＋α)＝tan α＝43. (2)原式＝sin αcos α·sin α·cos α＝sin 2 α＝⎝⎛⎭⎫452＝1625. 14．若750°角的终边上有一点(4，a )，则a ＝________.[解析]tan750°＝tan(360°×2＋30°)＝tan30°＝33＝a 4，解得a ＝433. 15．若角420°的终边上有一点(4，－a )，则a 的值是________．[解析]由题意，得tan 420°＝－a 4，即tan 60°＝－a 4，解得a ＝－4 3. 16．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为 [解析]由任意角的三角函数的定义，得tan θ＝y x ＝cos 3π4sin 3π4＝－2222＝－1.∵sin 3π4>0，cos 3π4<0，∴ 点P 在第四象限，∴θ＝7π4. 17．点P 从(1,0)出发，沿单位圆按逆时针方向运动26π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，32 B.⎝⎛⎭⎫－32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，－32 D.⎝⎛⎭⎫－32，12 [解析]点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动26π3弧长到达Q 点，所以点Q 是角26π3与单位圆的交点，所以Q ⎝⎛⎭⎫cos 26π3，sin 26π3，又cos 26π3＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋2π3＝cos 2π3＝－12，sin 26π3＝sin ⎝⎛⎭⎫8π＋2π3＝sin 2π3＝32，所以Q ⎝⎛⎭⎫－12，32. 题型四 与三角函数有关的定义域问题 1．求下列函数的定义域：(1)y ＝sin x ＋cos x tan x；(2)y ＝－cos x ＋sin x . [解析](1)要使函数有意义，需tan x ≠0，∴x ≠k π＋π2，且x ≠k π，k ∈Z.∴x ≠k π2，k ∈Z. 于是函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x ≠k π2，k ∈Z . (2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ －cos x ≥0，sin x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k π＋π2≤x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，2k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，解得2k π＋π2≤x ≤2k π＋π(k ∈Z)， ∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z . 2．求下列函数的定义域：(1)y ＝sin x ＋tan x ；(2)y ＝sin x ＋tan x .[解析] (1)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ∈R ，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R ，x ≠k π＋π2，k ∈Z . (2)当sin x ≥0且tan x 有意义时，函数才有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤(2k ＋1)π，x ≠k π＋π2(k ∈Z)． ∴函数的定义域为{ x | 2k π≤x <2k π＋π2或2k π＋π2<x ≤2k π＋π，k ∈Z}. 3．已知f (x )是定义在(0,3)上的函数，f (x )的图象如图所示，求不等式f (x )·cos x <0的解集．[解析]f (x )·cos x <0⇒⎩⎨⎧ f (x )>0，cos x <0或⎩⎨⎧f (x )<0，cos x >0.则由图知⎩⎪⎨⎪⎧ 1<x <3，2k π＋π2<x <2k π＋3π2(k ∈Z )或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <1，2k π－π2<x <2k π＋π2(k ∈Z ). ∴π2<x <3或0<x <1.故不等式的解集为(0,1)∪⎝⎛⎭⎫π2，3. 4．若α，β是关于x 的一元二次方程x 2＋2(cos θ＋1)x ＋cos 2θ＝0的两实根，且|α－β|≤22，求θ的范围．[解析]∵方程有两实根，∴Δ＝4(cos θ＋1)2－4cos 2θ≥0，∴cos θ≥－12.① ∵|α－β|≤22，∴(α＋β)2－4αβ≤8.由根与系数的关系得α＋β＝－2(cos θ＋1)，α·β＝cos 2 θ，∴4(cos θ＋1)2－4cos 2θ≤8.即cos θ≤12.② 由①②得－12≤cos θ≤12，利用单位圆可知π3＋2k π≤θ≤2π3＋2k π，k ∈Z 或4π3＋2k π≤θ≤5π3＋2k π，k ∈Z . ∴π3＋k π≤θ≤2π3＋k π，k ∈Z . ∴θ的取值范围为⎝⎛⎭⎫π3＋k π，2π3＋k π，k ∈Z .。
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5.2.1 任意角三角函数的定义
【教学目标】
1. 理解并掌握任意角三角函数的定义；熟记其在各象限的符号；掌握三角函数线的定义及画法．
2．通过教学，使学生进一步体会数形结合的思想．
【教学重点】
任意角三角函数的定义．
【教学难点】
单位圆及三角函数线．
【教学方法】
本节课主要采用启发引导与讲练结合的教学方法．在复习锐角三角函数定义的基础上，定义了任意角的三角函数，讲练结合，使学生牢固掌握．然后引导学生根据三角函数定义和象限内的点坐标符号导出三角函数在各象限的符号，接着把正弦值、余弦值、正切值转化为单位圆中的有向线段表示，使数与形密切结合起来，以加强学生对三角函数定义的理解．
【教学过程】。