成人高考数学(理工类)数学简答题

2017年成人高考数学（理工类）

三.解答题(本大题共4小题,共49分.解答应写出推理、演算步骤)

22. (本小题满分12分)

设{a n}为等差数列,且a2+a4−2a1=8.

(1)求{a n}的公差d;

(2)若a1=2,求{a n}前8项的和S8.

解：因为{a n}为等差数列，所以

(1)a2+a4-2a1=a1+d+a1+3d-2a1

=4d=8,

d=2.

d

(2)s8=na1+n(n−1)

2

×2

=2×8+8×(8−1)

2

=72.

23.(本小题满分12分)

设直线y=x+1是曲线y=x3+3x2+4x+a的切线,求切点坐标和a的值。

解：因为直线y=x+1是曲线的切线，所以y'=3x2+6x+4=1.解得x=-1.

当x=-1时,y=0，

即切点坐标为(-1,0).

故0=(−1)3+3×(−1)2+4×(-1)+a=0

解得a=2.

24.(本小题满分12分)

如图,AB与半径为1的圆0相切于A点,AB=3,AB与圆0的弦AC的夹角为50°.求

(1)AC:

(2)△ABC的面积.(精确到0.01)

A B

解：(1)连结OA,作OD⊥AC于D.

因为AB与圆相切于A点，所以∠OAB=90°.

则∠0AC=90°=50°-40°.

AC=2AD

=2OA·cos∠OAC

=2cos40°≈1.54. A B

(2)S △ABC =12AB ·ACsin ∠BAC =12×3×2cos 40°×sin 50° =3os 240°

=l.78.

25. (本小题满分13分)

已知关于x,y 的方程x 2+y 24xsin θ-4ycos θ=0.

(1)证明：无论θ为何值,方程均表示半径为定长的圆;

(2)当θ=π4时，判断该圆与直线y=x 的位置关系.

解： (1)证明:

化简原方程得

X 2+4xsin θ+4sin 2θ+y 2-4y cos θ+4cos ⁡2θ-4sin 2θ-4cos ⁡2θ=0,

(36+2sin θ)2+(y-2cos θ)2=4,

所以，无论θ为何值，方程均表示半径为2的圆。

(2)当θ=π4时,该圆的圆心坐标为O(- 2, 2). 圆心O 到直线y=x 的距离 d= 2− 2

2

=2=r. 即当θ=π

4时，圆与直线y=x 相切.

1、知等差数列{a n }的首项与公差相等，{a n }的前n 项的和记作Sn ，且S 20=840.（I ）求数列{a n }的首项a 1及通项公式；（II ）数列{a n }的前多少项的和等于84？

解：（I ）已知等差数列{a n }的公差d=a 1

又S 20=20a 1+190a 1=840，

又d==a 1=4，所以a n =4+4（n-1）=4n 即数列的通项公式为 a n =4n

（II ）又数列{a n }的前n 项的和2n (44)22842

n n S n n +=

=+= 解得n=—7（舍去），或n=6.

所以数列{a n }的前6项的和等于84. 八、解三角形

（2012）已知ABC ∆中，C B A cos sin sin =。

（1）求B ；

（2）若8=AB ，4=BC ，M 为AB 边的中点，求ACM ∠cos 。

解：在),(180C B A ABC +-︒=∆中，)sin(sin C B A +=.sin cos cos sin C B C B +=由已知.0sin cos cos sin sin ==C B C B A 得又因为,0sin >C 故.0cos =B 可得 =B 90°由已知得ACM AC MC MA BM ∆====，在，又所以5424,4中， .10103542424)54()24(cos 222=⨯⨯-+=∠ACM

（2014）已知△ABC 中，A=110°，AB=5,AC=6，求BC.（精确到0.01）

解：根据余弦定理 A AC AB AC AB BC cos ∙∙-+=222 …………6分 …………12分 （2013） 已知ABC ∆中，︒=∠30A ，1=BC ，AC AB 3=

（I ）求AB ；

（II ）求ABC ∆的面积.

解：（I ）由余弦定理A AC AB AC AB BC cos 2222∙∙⨯-+= ……4分

又已知︒=∠30A ，1=BC ，AC AB 3=，得12=AC ，所以1=AC ，从而3=AB ……………8分 （II ）ABC ∆的面积4

3sin 31=∙∙=

A AC A

B S ……………12分 (2015) 已知△AB

C 中，A=300，AC=BC=1．求

(I)AB ；

(Ⅱ) △ABC 的面积．

解：（1）C=120°

3120cos 211cos 222=

︒-+=∙∙-+=C BC AC BC AC AB （2）设CD 为AB 边上的高，那么2130s =

︒∙=in AC CD ， △ABC 面积为

4

321=∙CD AB 10、已知椭圆1:22

22=+b

y a x C )0(>>b a 的的离心率为21，且2a ，32，2b 成等比数列. （I ）求C 的方程；

（II ）求C 上一点P 的横坐标为1，1F 、2F 为C 的左、右焦点，求21F PF ∆的面积

解：（I ）由⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=-=21122222a b a b a 得42=a ，32=b 0391106526522.cos ≈︒⨯⨯⨯-+=