抽样计算
初中数学中的概率与统计样本容量和抽样误差的计算
减少抽样误差的策略
增加样本容量：增 加样本数量可以减 少抽样误差
优化抽样方法：选择合 适的抽样方法，如分层 抽样、整群抽样等，可 以提高样本的代表性， 从而减少抽样误差
控制抽样环境：确 保抽样过程中的环 境因素一致，可以 减少抽样误差
学习概率与统计可以帮助学生更好地理解和解决实际问题，提高他们的数学素养和综合 素质
概率与统计的基本概念
概率：事件发 生的可能性大 小，用数字表
示
统计：收集、 整理、分析数
据的方法
样本容量：从 总体中抽取的
样本数量
抽样误差：样 本统计量与总 体参数之间的
差异
样本容量：在统计实验中，从总体 中抽取的样本数量
总体分布的影响
总体分布的性质：正态分布、偏态分布等 总体分布的均值和方差：影响抽样误差的大小 总体分布的样本容量：影响抽样误差的可靠性 总体分布的抽样方法：影响抽样误差的准确性
样本容量的影响
样本容量越大，抽样误差越小 样本容量越小，抽样误差越大 样本容量与总体方差有关，总体方差越大，需要的样本容量越大 样本容量与研究目的有关，研究目的越明确，需要的样本容量越小
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汇报人：
目录
概率与统计在初中数学中的地位
概率与统计是初中数学的重要组成部分，是学习其他数学知识的基础
概率与统计可以帮助学生理解数据的随机性和不确定性，培养他们的逻辑思维能力和推 理能力
概率与统计在现实生活中有着广泛的应用，如天气预报、市场调查、医学研究等
统计在数据分析中的应用实例
描述性统计分析：通过平均数、中位数、 众数等指标描述数据的分布情况
抽样技术及样本计算方法
随机抽样—分层随机抽样
分层抽样的特点是先将总体按照某种特征 或指标分成几个排斥的又是穷尽的子总体， 或层，然后在每个层内按照随机的方法抽 取元素。其原则是子总体内元素间差异可 能小，而不同子总体间差异大。
例：你调查了100个人，询问他们是否应该早办奥运会，其中 66%的人说“是”。如果你的调查精确度为3%，这也就 是说，如果你对不同的样本展开同样的调查，最后结果 中选“是”的比例会在63%-69%之间。
抽
样
误
抽样误差与样本量关系曲线
差
样本量
抽样误差随着样本量的增加而减少，但当样本 量增加到一定程度之后，样本量的增加对抽样 误差几乎没有影响了。
ห้องสมุดไป่ตู้点：
完成一项普查需要的时间长，可能影响最终得到数据的可 比性；
可能导致高的非抽样误差；
什么是误差
在CSI中，由于各方面因素的作用，调查 结果总会存在误差。通常，调查误差分为 两种主要类型：
抽样误差 非抽样误差
误差=抽样误差+非抽样误差
总的来说，普查不存在抽样误差，但可能 存在较大的非抽样误差；而抽样调查会产 生抽样误差和非抽样误差。
① 由调研人员引起的 ② 由访问员引起的 ③ 由被访者引起的
非抽样误差与样本量的关系
非 抽 样 误 差
样本量
误 差
样本量
抽样方法
随机抽样
1. 简单随机抽样 2. 等距抽样（系统抽样） 3. 分层随机抽样 4. 整群抽样 5. 多级抽样
非随机抽样
1、方便取样；2、判断取样；3、配额取样
误 差
流行病学中的抽样方法与样本大小计算
流行病学中的抽样方法与样本大小计算流行病学研究中的抽样方法和样本大小计算是确保研究结果具有代表性和统计效力的重要步骤。
下面将详细介绍抽样方法和样本大小计算在流行病学研究中的应用。
抽样方法：1.简单随机抽样：从总体中按照相同的概率随机选取样本。
2.系统抽样：以固定的间隔从总体中抽取样本。
3.分层抽样：将总体划分为若干层次，然后从每个层次中进行独立的随机抽样。
4.整群抽样：将总体划分为若干个群体，然后随机抽取若干个群体，再对每个群体中进行全员抽样。
样本大小计算：样本大小计算是确定需要研究的样本数量，以确保研究能够检测到所关注的效应或因素与研究结果之间的关联。
常见的样本大小计算方法包括：1.基于统计功效：根据研究所设定的显著性水平、效应大小和统计功效，通过统计学公式计算所需样本大小。
2.基于置信区间宽度：根据研究目标的置信区间宽度和预期的方差，计算所需样本大小。
3.基于调查问卷设计：根据问卷设计的复杂性和所期望的反应率，计算所需的样本大小。
4.基于生物统计学模型：对于动态流行病学研究，可以使用传染病动力学模型来估计所需的样本大小。
样本大小计算需要考虑以下因素：1.显著性水平：研究所设定的显著性水平（通常为0.05），决定研究结果被认为是有统计学意义的概率。
2.效应大小：研究目标所关注的效应大小，即预计的变量之间的差异。
3.统计功效：研究能够检测到所关注效应的能力，通常设置为0.8或0.94.误差率：样本中的误差量，决定了研究结果的可靠性和精确性。
5.总体大小：计算样本需要考虑研究总体的大小。
总之，抽样方法和样本大小计算在流行病学研究中起着至关重要的作用，可以确保研究结果的代表性和统计学有效性。
研究者需要综合考虑研究所关注的变量、研究目标和设计的复杂性等因素来选择合适的抽样方法和计算所需的样本大小。
GB2828-2003抽样数量计算器
— —使用箭头下面的第一个抽样 Ac— — 接收数 Re— —拒收数
— —使用箭头上面的第一个抽样
抽样信息
1
样本量 字码
A B C D E F G H J K L M N P Q R
样本量
2 3 5 8 13 20 32 50 80 125 200 315 500 800 1250 2000
— —使用箭头下面的第一个抽样 Ac— — 接收数 Re— —拒收数
Re:0 抽样数:5 Re:0 抽样数:5 Re:2 抽样数:5 Re:2 抽样数:8 Re:3 抽样数:13 Re:4 抽样数:20 Re:6 抽样数:32 Re:8 抽样数:50 Re:11 抽样数:80 Re:15 抽样数:125 Re:22 抽样数:125 Re:22 抽样数:125 Re:22 抽样数:125 Re:22 抽样数:125 Re:22 抽样数:125 Re:22 抽样数:125
查询型号 来料数量K 检验水平 AQL值 抽样信息 样本量字码 抽样数:200
8
0.125
一般检验Ⅱ级水平 0.065 Ac:0 H Re:1
录入数量、检验
批量
2 9 8 15 25 50 90 150 280 0.5 1.2 3.2 10 35 150 500
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 4 6 8 11 15
1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 4 6 8 11 15 22
— —使用箭头下面的第一个抽样方案。如果样本量等于或超过批量，则执行100%检验。
— —使用箭头上面的第一个抽样方案。
— — 接收数
— —拒收数
-抽样调查中样本容量的计算
-----------------------------------Docin Choose -----------------------------------豆 丁 推 荐↓精 品 文 档The Best Literature----------------------------------The Best Literature2009年第9期科技经济市场一种合理、可行的抽样方案，不仅需要针对调查对象选择适宜的抽样方法，还应根据调查研究的精度及预算情况来决定样本容量。
我们知道，在系统误差确定的条件下，抽样的准确性取决于抽样误差，抽样误差又与样本容量有直接关系。
若样本容量过大，会使得实施难度增大，增加经费的开支；而若样本容量过小，可能会影响样本的代表性，使抽样误差增大，影响了调查研究推论的精确性。
因此在实际工作中，如何确定样本容量是很重要的。
下面就对两种抽样情况进行分析，讨论如何确定样本容量。
1简单随机抽样时样本容量的计算1.1重复抽样假设(x 1,x 2,…,x n )是来自于总体的一个简单随机抽样，而总体的期望为μ，方差为σ2。
根据中心极限定理，即从正态总体中，随机抽取样本容量为n 的样本，则样本均数x 服从正态分布。
若当n 足够大时，即使是从偏态总体中抽样，样本均数x 也近似服从期望为μ，方差为的正态分布，即，转化成标准正态分布，则有。
根据统计学中区间估计知识可知：。
（1-α为置信水平）（1）从另一个角度来看。
在一定的置信概率条件下，抽样允许的最大误差称为抽样极限误差，或称允许误差，一般用△表示，而平均数的抽样极限误差就可以用△x 来表示。
由于总量指标是一个确定的值，抽样指标是围绕总体指标波动的随机变量。
那么，抽样指标与总体指标离差的绝对值就是抽样误差的可能范围。
抽样均值的极限误差△x 可表示为△x =|x-μ|。
根据△x 的定义可知：（2）比较（1）式和（2）式，可以得到：，即：（3）1.2不重复抽样当采用不重复抽样时，x 的方差为，即。
简单随机抽样的抽样估计
间 及 优 质 产 品 的 数 量 ？
15
总体方差的区间估计
大样本情况下,样本标准差S的分布近似于正 态分布:
其均值为总体标准差，其标准差为 ，
2n
所以标准标准差置信度1的置信区间为:
（SZ2
S 2n，SZ2
S） 2n
18
抽样数目的确定 (大样本)
必要的抽样数目:指为了使抽样误差不超过 给定的允许范围至少应抽取的样本单位数 目。 一般根据抽样极限误差与抽样数目关系来 确定必要的抽样数目。
19
采用重复抽样,则抽样极限误差为
x Z 2x Z 2( n)
若规定在一定概率保证程度下允许误差为 ， x
则由 x
Z
2x
Z
651(件)
不重复抽样：
n
Z2 2 P(1 P)N
2 p
N
Z2
2 P (1
P)
32 0.93 0.07 5000 0.032 5000 32 0.93 0.07
576(件)
25
确定抽样单位数目应注意的问题
1. 以上四个计算公式只适用于简单随机抽样。 2. 在同样条件下，不重复抽样比重复抽样要求 的抽样单位数目少。 3. 同一总体往往同时需要计算抽样平均数和抽 样成数，由于它们的方差和允许误差要求不同， 因此，对于抽样单位数目多少的要求也不一样， 为了防止抽样单位数目的不足，而扩大抽样误 差，在实际工作中，往往根据抽样单位数目比 较大的一个数目进行抽样，以满足共同要求。
9
设待估计的总体参数为，L,U为样本 确定的两个统计量,对于给定的(0 1),
有：
P(L U ) 1 则称(L,U )为参数的置信度(1)的置信 区间.该区间的两个端点L,U分别称为置 信下限和置信上限,统称为置信限.为显 著性水平,(1)为置信度.
审计抽样-比率、差额、均值估计方法的计算
审计抽样-⽐率、差额、均值估计⽅法的计算
⽐率和差额。
这两种⽅法有共同点，从命名上也容易区分。
“⽐率”是指“样本审定⾦额”与“样本账⾯⾦额”的⽐率。
“差额”是指“样本审定⾦额”与“样本账⾯⾦额”的差额。
⽐率估计⽅法：样本审定⾦额÷样本账⾯⾦额=⽐率，⽐率×账⾯总⾦额=估计的总体实际⾦额，推断的总体错报=估计的总体实际⾦额－总体账⾯⾦额
差额估计⽅法：样本审定⾦额－样本账⾯⾦额=差额，差额÷样本规模=平均差额，推断的总体错报=平均差额×总体规模
最后说均值。
计算⽅法：样本审定⾦额÷样本规模=均值，均值×总体规模=估计的总体实际⾦额，推断的总体错报=估计的总体实际⾦额－账⾯总⾦额。
分层抽样的方差计算公式
分层抽样的方差计算公式
分层抽样是一种从总体中，按照一定的规则以及抽样的策略，选择部分样本以推断总体参数的一种统计分析方法。
其中，计算样本方差是一个很重要的工作，控制方差可以帮助估计总体参数，所以本文将介绍分层抽样的方差计算公式。
一、分层抽样的基本统计概念
1、总体参数：总体参数是指总体中某种特定特性的平均值。
例如，总体成人年龄的平均值为30岁，则30岁就是总体参数。
2、样本均值：样本均值是指从总体中抽取的一些样本的平均值，它可以用来推断总体的参数。
3、样本方差：样本方差表示样本数据中的变异程度，例如，样本数据的平均值与实际值的差异程度。
二、分层抽样的方差计算公式
分层抽样的方差计算公式为：
△=nj1 [(XjXj)2/nj] + (nnj) [(XX)2/n]
其中△为总体方差，Xj为每层j中单个样本的值，Xj为每层j 中样本值的平均值，nj为每层j中样本的实际数量，X为总体样本值的平均值，n为总体样本的实际数量。
三、计算样本方差的具体步骤
（1）确定抽样方案：确定抽样单位，抽样层级和抽样容量。
（2）计算每个层级的代表性：每个层级的样本容量应与总体的比例相同，即nj/n=j/N。
（3）计算分层抽样的样本方差：根据上述公式提供的参数，完成计算。
四、分层抽样的优缺点
（1）优点：分层抽样可以更好地反映总体的特点，有效控制抽样误差。
（2）缺点：分层抽样的执行比较复杂，对于总体的比例的把握也比较困难。
五、结论
以上就是关于分层抽样的方差计算公式的介绍。
分层抽样的方法有利于更好地推断总体参数，但也存在一定的缺点，需要在实际操作中注意。
统计学原理-计算公式
位值平均数计算公式1、众数：是一组数据中出现次数最多的变量值 组距式分组下限公式：002110m m d L M ⋅∆+∆∆+= 0m L ：代表众数组下限； 1100--=∆m m f f ：代表众数组频数—众数组前一组频数 0m d ：代表组距； 1200+-=∆m m f f ：代表众数组频数—众数组后一组频数2、中位数：是一组数据按顺序排序后，处于中间位置上的变量值。
中位数位置21+=n 分组向上累计公式：e e e e m m m m e d f S f L M ⋅-∑+=-12 e m L 代表中位数组下限； 1-e m S ：代表中位数所在组之前各组的累计频数；e mf 代表中位数组频数； em d 代表组距 3、四分位数：也称四分位点，它是通过三个点将全部数据等分为四部分，其中每部分包含25%，处在25%和75%分位点上的数值就是四分位数。
其公式为：411+=n Q 212+=n Q （中位数） 4)1(33+=n Q 实例数据总量: 7, 15, 36, 39, 40, 41一共6项Q1 的位置=（6+1）/4=1.75 Q2 的位置=（6+1）/2=3.5 Q3的位置=3（6+1）/4=5.25 Q1 = 7+（15-7）×（1.75-1）=13，Q2 = 36+（39-36）×（3.5-3）=37.5，Q3 = 40+（41-40）×（5.25-5）=40.25数值平均数计算公式1、简单算术平均数：是将总体单位的某一数量标志值之和除以总体单位。
其公式为：n x n x x x X n ∑=⋯⋯++=212、加权算术平均数：受各组组中值及各组变量值出现的频数（即权数f ）大小的影响，其公式为：fxf f f f f x f x f x X i i i ∑∑=⋯⋯++⋯⋯++=2122113、加权算术平均数的频率： 其公式为：f f X f f X f f X f f X X n ∑⋅∑=∑∑⋯⋯+∑+∑=22114、调和平均数：由于只掌握每组某个标志的数值总和（M ）而缺少总体单位数（f ）的资料，不能直接采用加权算术平均数法计算平均数，则应采用加权调和平均数。
统计抽样计算题(有计算过程)
抽样计算题：1、某乡水稻总面积20000亩，以不重复抽样方法从中随机抽取400亩实割实测得样本平均亩产645公斤，标准差公斤。
要求极限误差不超过公斤。
试对该乡水稻的亩产量和总产量作出估计。
（1））亩产量的上、下限：（公斤）98.63702.7645=-=∆-x x（公斤）652.0202.7645=+=∆+x x总产量的上下限：（万公斤）96.12752000098.637=⨯（万公斤）1304.0420000652.02=⨯（2）计算该区间下的概率()t F ： 抽样平均误差 ()（公斤）3.592000040014006.72122=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=N n n x σμ 因为抽样极限误差x x z μ=∆ 96.159.302.7所以≈=∆=μz 可知概率保证程度()t F =95%2.某地有8家银行，从它们所有的全体职工中随机性抽取600人进行调查，得知其中的486人在银行里有个人储蓄存款，存款金额平均每人3400元，标准差500元，试以%的可靠性推断： （1）全体职工中有储蓄存款者所占比率的区间范围；（2）平均每人存款金额的区间范围。
（1）全体职工中有储蓄存款者所占比率的区间范围：%816004861===n n p ()()%23.39%811%811=-⨯=-=p p p σ 抽样平均误差%6.16003923.0===nP p σμ根据给定的概率保证程度()t F ,得到概率度z()%45.95=t F ⇒2=z则抽样极限误差%2.3%6.12=⨯==∆p p t μ 估计区间的上、下限%8.77%2.3%81=-=∆-p p%2.84%2.3%81=+=∆+p p（2）平均每人存款金额的区间范围：抽样平均误差()（元）41.0260050022===nx σμ概率度z=2则抽样极限误差 （元）82.4041.202=⨯==∆x x z μ平均每人存款额的上、下限：（元）18.335982.403400=-=∆-x x（元）82.440382.403400=+=∆+x x3..某企业生产某种产品的工人有1000人，采用不重复抽样从中随机抽取100人调查当日产量，得到他们的人均日产量为126件，标准差为件，要求在95﹪的概率保证程度下，估计该厂全部工人的日平均产量和日总产量。
多场所抽样公式
1个总部每次均审核到；
9个省级部门：抽取样本3个，其中一个为随机样本；
12个地区级部门：样本量4个，其中一个为随机样本；
25个县级部门：样本量5个，其中两个为随机样本；
6）如果考虑到有些要素与分场所无关，而只在总部进行审核时，可减少分场所的审核时间，但对总部的审核时间不能减少。
即总的审核时间为总部审核时间加上分场所的审核时间；审核的总时间不宜少于将同样规模和复杂程度的活动集中在单一场所计算出的审核时间，在多数情况下，它将是多得多。
关于分场所的最低人日数可按以下方法进行计算：。
重复抽样概率计算公式
重复抽样概率计算公式是：
P(A) = (n(A) / N) * [(n(A) - 1) / (N - 1)] * [(n(A) - 2) / (N - 2)] * ... * [(n(A) - k + 1) / (N - k + 1)]
其中：
P(A) 表示重复抽样后满足条件A 的概率
n(A) 表示样本中满足条件A 的数量
N 表示样本总数
k 表示重复抽样的次数
这个公式适用于有放回抽样，即每个样本有可能在后面的抽样中再次被抽中的情况。
如果是无放回抽样，需要使用另外一种公式计算概率.
在无放回抽样中，每个样本只会被抽中一次，那么重复抽样概率计算公式是：
P(A) = (n(A) / N) * [(n(A) - 1) / (N - 1)] * [(n(A) - 2) / (N - 2)] * ... * [(n(A) - k + 1) / (N - k + 1)] * (N -n(A)) / (N - k)
其中：
P(A) 表示重复抽样后满足条件A 的概率
n(A) 表示样本中满足条件A 的数量
N 表示样本总数
k 表示重复抽样的次数
这个公式适用于无放回抽样，即每个样本只会在第一次被抽中的情况。
如果是有放回抽样，需要使用另外一种公式计算概率.。
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