第2节换元积分法
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n
(3)
f (xn) 1dx 1 xn
f(xn)x1ndxn
万 能 凑 幂 法
(4)f(sinx)cosxdxf(sinx)dsinx
(5)f(cosx)sinxdxf(cosx)dcosx
6/2/2020 8:43 AM
第5章 不定积分
(6 )f(ta nx)sec2x dxf(tanx)dtanx
(7) f(ex)exdx f(ex)dex
(8)
f(lnx)1dx x
f(lnx)dlnx
6/2/2020 8:43 AM
第5章 不定积分
第一类换元积分常用简化技巧
(1) 分项积分：利用积化和差；分式分项；
(a0)
解
dx
a2 x2
21a(a 1xa 1x)dx
2 1 a(a 1xdxa 1xdx)
1(lnaxlnax)C 2a
1 ln a x C 2a ax
6/2/2020 8:43 AM
第5章 不定积分
例6 求不定积分 csc xdx
解
csc xdx
1 sin
x
dx
sin x sin2 x
第5章 不定积分
例9
求不定积分
dx 1 ex
解 令 t 1ex , 则 xln(t21),dxt22t dt1
dx 1 ex
wk.baidu.com
t
2
2
1
dt
t11dtt11dt
ln t 1 C ln
1ex 1 C
t 1
1ex 1
2ln (1ex1)xC
6/2/2020 8:43 AM
第5章 不定积分
例10 求不定积分 a2x2dx (a0)
第5章 不定积分
例8
求不定积分
dx x 3 x2
解 令 t 6 x , 则 xt6,dx6t5dt
dx
6 t 5dt
t2
x 3 x2
t3 t4
6
dt 1 t
t2 11
6 1t dt
6(t1)dt61 1tdt
3 t2 6 t6 lnt 1 C
33x66x6 ln6x 1C
6/2/2020 8:43 AM
2
2
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第5章 不定积分
例2 求不定积分 x x2 3dx
解 令 u x2 3, 则 xdx 1 du
2
x x2 3dx 1
1
u 2du
2
1
3
u2
C
1(x2
3
3)2
C
3
3
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第5章 不定积分
当运算熟练时，可以不必将 u 写出来。
例3 求不定积分 xe x2dx
第5章 不定积分
a2 x2
t
a
例11
求不定积分
dx a2 x2
(a0)
解 令 xatant(t(,)),则dxasec2tdt
22
dx
sectdt
a2 x2
x lnsecttantC 1
CC1lna
ln x a
a2 x2 a
C1 lnx
a2x2 C
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第5章 不定积分
例12
求不定积分
dx x2 a2
(a0)
解 令 xasect(t (0 ,)U (,)),
则 d x a s e c tt a n t d t
22 x
x2 a2
t
dx
x2 a2
sectdt lnsecttantC 1 a
CC1lna
ln x a
x2 a2 a
C1 lnx
x2a2 C
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§5.2 换元积分法
1. 第一类换元法（凑微分、配元法） 2. 第二类换元法（置换法）
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第5章 不定积分
1. 第一类换元法 若所求积分具有以下特征
f[(x)](x)dx 或 f[(x)]d(x) 此时设 u(x) ，上式变为 f (u)du
若 f(u),(x)及 ( x )均为连续函数，且
dx
dcos x
1cos2 x
1ln1cosx C 2 1cosx
ln 1cosx C lncscxcotxC sinx
同理 s e c x d x ln s e c x ta n x C
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第5章 不定积分
另一种解题技巧
解 sec xdx secsxe(cse xc xt an tax nx)dx
解 xe x2 dx 1 ex2dx2 1 e x2 C
2
2
例4 求不定积分 tan xdx
解
tan xdx
sin x cos x
dx
d cos x cos x
lncosxC
同理 co tx d xlnsinxC
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第5章 不定积分
例5
求不定积分
dx
a2 x2
则 f(u )d u F [ 1 (u )] C
(x)的
反函数
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第5章 不定积分
例7
求不定积分
xdx x3
解 令 t x3 , 则 xt23,dx2tdt
xdx x3
2
(t2
t
3)t
dt
2(t23)dt
2(1t3 3t)C 3
2(x3) x36x3C 3
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f(u)duF (u)C
因为 {F[(x)]}
则 f[(x ) ](x ) d x F [(x ) ] Cf[(x)](x)
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第5章 不定积分
例1
求不定积分
2
dx x
1
解 令 u2x1, 则 d x 1 d u
2
2
d x
x
1
1 2
du u
1 ln u C 1ln2x1C
解 令 xasint(t[,]),则 d x a c o std t
22
a2 x2dx a2 cost•costdt
a
x
t
a2 x2
a2 cos2tdt a2 1cos2tdt 2 a2 1 (t sin2t)C
22
a2arcsinxxa2x2C 2 a2
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sec2xsecx•tanx
secxtanx dx d(sseeccxxttaannxx)
lnsecxtanxC
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第5章 不定积分
2. 第二类换元法
若所求积分 f (u)du , 此时设 u(x) ， 上式变为 f[(x)](x)dx
如果 f[(x )](x )d x F (x ) C
内容小结
第5章 不定积分
两类积分之间的关系
第一类换元积分
u(x)
f[(x)](x)dx
f (u)du
第二类换元积分
6/2/2020 8:43 AM
第5章 不定积分
第一类换元积分常用的几种配元形式
(1) f(axb)dxa 1f(axb)d(axb)
(2) f(xn)xn1dx 1 f(xn)dxn
(3)
f (xn) 1dx 1 xn
f(xn)x1ndxn
万 能 凑 幂 法
(4)f(sinx)cosxdxf(sinx)dsinx
(5)f(cosx)sinxdxf(cosx)dcosx
6/2/2020 8:43 AM
第5章 不定积分
(6 )f(ta nx)sec2x dxf(tanx)dtanx
(7) f(ex)exdx f(ex)dex
(8)
f(lnx)1dx x
f(lnx)dlnx
6/2/2020 8:43 AM
第5章 不定积分
第一类换元积分常用简化技巧
(1) 分项积分：利用积化和差；分式分项；
(a0)
解
dx
a2 x2
21a(a 1xa 1x)dx
2 1 a(a 1xdxa 1xdx)
1(lnaxlnax)C 2a
1 ln a x C 2a ax
6/2/2020 8:43 AM
第5章 不定积分
例6 求不定积分 csc xdx
解
csc xdx
1 sin
x
dx
sin x sin2 x
第5章 不定积分
例9
求不定积分
dx 1 ex
解 令 t 1ex , 则 xln(t21),dxt22t dt1
dx 1 ex
wk.baidu.com
t
2
2
1
dt
t11dtt11dt
ln t 1 C ln
1ex 1 C
t 1
1ex 1
2ln (1ex1)xC
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第5章 不定积分
例10 求不定积分 a2x2dx (a0)
第5章 不定积分
例8
求不定积分
dx x 3 x2
解 令 t 6 x , 则 xt6,dx6t5dt
dx
6 t 5dt
t2
x 3 x2
t3 t4
6
dt 1 t
t2 11
6 1t dt
6(t1)dt61 1tdt
3 t2 6 t6 lnt 1 C
33x66x6 ln6x 1C
6/2/2020 8:43 AM
2
2
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第5章 不定积分
例2 求不定积分 x x2 3dx
解 令 u x2 3, 则 xdx 1 du
2
x x2 3dx 1
1
u 2du
2
1
3
u2
C
1(x2
3
3)2
C
3
3
6/2/2020 8:43 AM
第5章 不定积分
当运算熟练时，可以不必将 u 写出来。
例3 求不定积分 xe x2dx
第5章 不定积分
a2 x2
t
a
例11
求不定积分
dx a2 x2
(a0)
解 令 xatant(t(,)),则dxasec2tdt
22
dx
sectdt
a2 x2
x lnsecttantC 1
CC1lna
ln x a
a2 x2 a
C1 lnx
a2x2 C
6/2/2020 8:43 AM
第5章 不定积分
例12
求不定积分
dx x2 a2
(a0)
解 令 xasect(t (0 ,)U (,)),
则 d x a s e c tt a n t d t
22 x
x2 a2
t
dx
x2 a2
sectdt lnsecttantC 1 a
CC1lna
ln x a
x2 a2 a
C1 lnx
x2a2 C
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§5.2 换元积分法
1. 第一类换元法（凑微分、配元法） 2. 第二类换元法（置换法）
6/2/2020 8:43 AM
第5章 不定积分
1. 第一类换元法 若所求积分具有以下特征
f[(x)](x)dx 或 f[(x)]d(x) 此时设 u(x) ，上式变为 f (u)du
若 f(u),(x)及 ( x )均为连续函数，且
dx
dcos x
1cos2 x
1ln1cosx C 2 1cosx
ln 1cosx C lncscxcotxC sinx
同理 s e c x d x ln s e c x ta n x C
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第5章 不定积分
另一种解题技巧
解 sec xdx secsxe(cse xc xt an tax nx)dx
解 xe x2 dx 1 ex2dx2 1 e x2 C
2
2
例4 求不定积分 tan xdx
解
tan xdx
sin x cos x
dx
d cos x cos x
lncosxC
同理 co tx d xlnsinxC
6/2/2020 8:43 AM
第5章 不定积分
例5
求不定积分
dx
a2 x2
则 f(u )d u F [ 1 (u )] C
(x)的
反函数
6/2/2020 8:43 AM
第5章 不定积分
例7
求不定积分
xdx x3
解 令 t x3 , 则 xt23,dx2tdt
xdx x3
2
(t2
t
3)t
dt
2(t23)dt
2(1t3 3t)C 3
2(x3) x36x3C 3
6/2/2020 8:43 AM
f(u)duF (u)C
因为 {F[(x)]}
则 f[(x ) ](x ) d x F [(x ) ] Cf[(x)](x)
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第5章 不定积分
例1
求不定积分
2
dx x
1
解 令 u2x1, 则 d x 1 d u
2
2
d x
x
1
1 2
du u
1 ln u C 1ln2x1C
解 令 xasint(t[,]),则 d x a c o std t
22
a2 x2dx a2 cost•costdt
a
x
t
a2 x2
a2 cos2tdt a2 1cos2tdt 2 a2 1 (t sin2t)C
22
a2arcsinxxa2x2C 2 a2
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sec2xsecx•tanx
secxtanx dx d(sseeccxxttaannxx)
lnsecxtanxC
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第5章 不定积分
2. 第二类换元法
若所求积分 f (u)du , 此时设 u(x) ， 上式变为 f[(x)](x)dx
如果 f[(x )](x )d x F (x ) C
内容小结
第5章 不定积分
两类积分之间的关系
第一类换元积分
u(x)
f[(x)](x)dx
f (u)du
第二类换元积分
6/2/2020 8:43 AM
第5章 不定积分
第一类换元积分常用的几种配元形式
(1) f(axb)dxa 1f(axb)d(axb)
(2) f(xn)xn1dx 1 f(xn)dxn