微积分2期末复习提纲答案

2015年6月微积分2期末复习提纲1、 本学期期末考试考察的知识点如下:第六章隐函数的偏导数求解P194例9-10，条件极值应用题（例10）求解，约占12% 第七章二重积分（二重积分的概念，比较大小P209课后习题，直角坐标系下的交换积分次序P212例题3&P213习题1（7），直角坐标与极坐标系下的二重积分计算）约占26%; 第八章无穷级数（无穷级数的概念,几何级数，P-级数，正项级数的比较判别法和比值判别法，任意项级数的敛散性，幂级数的收敛半径及收敛域，求幂级数的和函数，间接展开以1,,ln(1)1x e x x+-为主）约占35%; 第九章微分方程（微分方程及其解的概念，一阶分离变量,齐次和一阶线性微分方程求解(通解和特解），二阶常系数齐次，非齐次微分方程的通解(三角型的不要求）。

约占27%. 2、样题供参考（难度、题型） 一、填空题：（14小题） 1、若D ：224x y y +≤，则Dd σ=⎰⎰4π。

(表示求解积分区域D 的面积——圆)● 或D ：9122≤+≤y x ，则⎰⎰=Ddxdy 8π。

(表示求解积分区域D 的面积——圆环)● 或22:4D x y y +≤，将dxdy y D⎰⎰化为极坐标系下的累次积分4sin 20sin d r dr πθθθ⎰⎰．(判断θ的范围作为上下限，判断r 的范围作为上下限，y 用rsin θ代入)7.3极坐标系下二重积分的计算2、交换积分次序11(,)ydy f x y dx =⎰⎰1(,)xdx f x y dy ⎰⎰。

（依题得：010<<⎧⎨<<⎩x y x 推出01<<<y x ，再得011<<⎧⎨<<⎩y y x ，最后得：100(,)x dx f x y dy ⎰⎰）● 或110(,)xdx f x y dy -=⎰⎰111(,)-⎰⎰ydy f x y dx 。

（依题得：0101<<⎧⎨<<-⎩x y x 推出0101<<⎧⎨<<-⎩y x y ，得：1101(,)-⎰⎰y dy f x y dx ）● 或66cos yx dy dx x ππ=⎰⎰12。

（依题得：066ππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩y y x 推出06π<<<y x ，再得060π⎧<<⎪⎨⎪<<⎩x y x ，最后得：6cos π⎰⎰xxdx dy x） 666600000cos cos 1cos sin 2ππππ====⎰⎰⎰⎰xxx x dx dy dx xdx x x x● 比较二重积分大小：()2σ+⎰⎰Dx y d 与()3σ+⎰⎰Dx y d ，其中D 是由直线x=0,y=0,x+y=1所围成的区域。

（由直线x=0,y=0,x+y=1所围成的区域满足1+<x y ，()2∴+≤x y ()3+x y ）()2σ∴+≤⎰⎰Dx y d ()3σ+⎰⎰Dx y d P209课后两题 7.1交换积分次序&二重积分比较大小3、若级数1n n u ∞=∑的前n 项和1n ns n =+，则n u =1(n 1)n +，1n n u ∞=∑=111-+n 。

解：2211(1)11(n 1)(n 1)----=-=-==+++n n n n n n n u s s n n n n 11111111(n 1)11∞∞∞===⎛⎫==-=-⎪+++⎝⎭∑∑∑n n n n u n n n n 4、级数112nnn x n ∞=⋅∑的收敛域为[)2,2-。

解：()()1111122lim lim lim 21212+→∞→∞→∞+++⋅⋅====⋅+⋅n n n n n n n n n n a n R a n n 当x=-2时，()()1111112122∞∞∞====-=-⋅⋅∑∑∑n n n n nn n n x n n n 是交错级数，条件收敛 当x=2时，111111222∞∞∞=====⋅⋅∑∑∑n n n nn n n x n n n 是调和级数，发散，得收敛域为[)2,2- ●或级数∑∞=⋅1221n n n x n的收敛域为[]2,2-。

解：()()21221211122lim limlim21212+→∞→∞→∞+++⋅⋅====⋅+⋅n nn nn n n n n n an R a n n 当x=-2时，()()2221111112122∞∞∞====-=-⋅⋅∑∑∑n n nn nn n n x n n n 是交错级数，绝对收敛当x=2时，222111111222∞∞∞=====⋅⋅∑∑∑n nn n n n n x n n n是P>1的P 级数，收敛，得收敛域为[]2,2-8.4幂级数收敛半径&收敛域的计算5、级数1(1)n n u ∞=-∑收敛，则lim n n u →∞= 1 。

解：已知级数1(1)n n u ∞=-∑收敛，根据级数收敛的必要条件，可得：()lim 10→∞-=n n u ，得lim 1→∞=n n u 6、级数123nn ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 2 。

或11!n n ∞==∑ 。

或级数12(1)3n n nn ∞=+-=∑ 7/4 。

解：111122122(1)2(1)173332,2221344333111333∞∞∞∞====-+--⎛⎫====+=+=-= ⎪⎛⎫⎝⎭---- ⎪⎝⎭∑∑∑∑nn n n n n n n n n n n 8.1常数项级数7、方程4cot 2=-'y x y 满足条件2)0(=y 的特解是 。

8、方程x x y y sec tan =-'满足条件0)0(=y 的特解是 。

9.2一阶微分方程9、方程xxe y y y 396=+'-''的一个特解形式为=*y 。

10、若微分方程60y y ay '''-+=的通解为2412x xy C e C e =+，则a = 。

11、微分方程03512=+'-''y y y 的通解为 。

12、微分方程034=+'-''y y y 的通解为 。

13、方程xex y y y --=+'+'')1(2的一个特解形式为=*y 。

14、若通解为xe x C C 221)(+的微分方程为 。

9.3二阶常系数线性微分方程二、计算下列二重积分（5小题） 1、求22()DI x y dxdy =+⎰⎰，其中{}22(,)4D x y x y =+≤。

22300d r dr πθ=⎰⎰ 2、求⎰⎰--=Ddxdy y x I )4(，其中y y x D 2:22≤+。

()2sin 04cos sin d r r rdr πθθθθ=--⎰⎰7.3极坐标系下二重积分的计算3、求DI xydxdy =⎰⎰，其中D 由2,,2x y x y x ===所围。

220xxdx xydy =⎰⎰4、求⎰⎰=Ddxdy xy I 2，其中由212,2y x x ==所围。

21112222012y dx dy dy xy dx -==⎰⎰⎰5、求66cos ππ⎰⎰yx dy dx x 12= 7.2直角坐标系下二重积分的计算三、判断下列级数的敛散性(若收敛，指出是绝对收敛，还是条件收敛？)（9小题）1、113n n n ∞=+∑ 2、11(1)ln(1)nn n ∞=-+∑ 3、152∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑nn 。

4、21(!)(2)!n n n ∞=∑ 5、∞=n 6、11(1)ln(1)nn n ∞=-+∑7、25127∞=+∑n n n 8、11sin ∞=∑n n 9、11n ∞=⎛- ⎝∑ 8.2正项级数&8.3任意项级数四、解下列各方程（7小题） 1、求微分方程28dyy dx+=满足初始条件(0)5y =的特解。

2、设函数()f x 可导，且满足()()xx f x f t dt e =+⎰，求()f x 。

3、设某曲线过点(0,1)，且其上每一点的切线斜率都比该点的纵坐标大2,求该曲线方程。

4、求微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解。

9.2一阶微分方程5、二阶常系数微分方程230y y y '''+-=满足(0)1,(0)1y y '==的特解。

6、求微分方程242y y x '''+=-的通解。

7、求微分方程xey y y 2244=+'-''的通解。

9.3二阶常系数线性微分方程五、 （12分）（7小题）1、求级数01nn x n ∞=+∑的和函数()s x ，并求112(1)n n n ∞=+∑的和。

2、求级数2111(1)21n n n x n -∞-=--∑的和函数()s x ，并求111(1)21n n n ∞-=--∑的和。

3、求级数2111(1)3nn n n x ∞+=-∑的收敛域，和函数，并求111(1)3n n n ∞+=-∑的和。

8.4幂级数和函数的计算4、将函数2()ln(23)f x x x =-++展开为x 的幂级数。

5、将函数21()2f x x =+展开为x 的幂级数。

6、将函数xxx f -=2)(展开为x 的幂级数。

8.5函数的幂级数展开7、设lim n n a →∞=∞，证明：（1）11()n n n a a ∞+=-∑发散；（2）1111n nn a a ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛，且和为11a .六、证明题（6分） 设(1,2,3,)n n na cb n ≤≤=，且级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑都收证明：级数1nn c∞=∑也收敛。

第8章幂级数证明题。