微积分2期末复习提纲答案

2015年6月微积分2期末复习提纲

1、 本学期期末考试考察的知识点如下:

第六章隐函数的偏导数求解P194例9-10，条件极值应用题（例10）求解，约占12% 第七章二重积分（二重积分的概念，比较大小P209课后习题，直角坐标系下的交换积分次序P212例题3&P213习题1（7），直角坐标与极坐标系下的二重积分计算）约占26%; 第八章无穷级数（无穷级数的概念,几何级数，P-级数，正项级数的比较判别法和比值判别法，任意项级数的敛散性，幂级数的收敛半径及收敛域，求幂级数的和函数，间接

展开以

1

,,ln(1)1x e x x

+-为主）约占35%; 第九章微分方程（微分方程及其解的概念，一阶分离变量,齐次和一阶线性微分方程求解(通解和特解），二阶常系数齐次，非齐次微分方程的通解(三角型的不要求）。约占27%. 2、样题供参考（难度、题型） 一、填空题：（14小题） 1、若D ：2

2

4x y y +≤，则

D

d σ=⎰⎰4π。(表示求解积分区域D 的面积——圆)

● 或D ：912

2

≤+≤y x ，则

⎰⎰=D

dxdy 8π。(表示求解积分区域D 的面积——圆环)

● 或2

2

:4D x y y +≤，将

dxdy y D

⎰⎰化为极坐标系下的累次积分4sin 20

sin d r dr π

θ

θθ⎰

⎰

．

(判断θ的范围作为上下限，判断r 的范围作为上下限，y 用rsin θ代入)

7.3极坐标系下二重积分的计算

2、交换积分次序

1

1

(,)y

dy f x y dx =

⎰

⎰1

(,)x

dx f x y dy ⎰

⎰。

（依题得：010<<⎧⎨

<<⎩x y x 推出01<<

1

<<⎧⎨<<⎩y y x ，最后得：100

(,)x dx f x y dy ⎰⎰）

● 或

1

10

(,)x

dx f x y dy -=

⎰

⎰

1

1

1(,)-⎰

⎰

y

dy f x y dx 。

（依题得：0101<<⎧⎨<<-⎩x y x 推出01

01<<⎧⎨<<-⎩

y x y ，得：1101(,)-⎰⎰y dy f x y dx ）

● 或

6

6

cos y

x dy dx x ππ

=⎰

⎰1

2

。 （依题得：06

6ππ⎧

<<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩

y y x 推出06π<<

最后得：6

cos π⎰⎰

x

x

dx dy x

） 666600

000cos cos 1cos sin 2

π

πππ

====⎰

⎰

⎰⎰x

x

x x dx dy dx xdx x x x

● 比较二重积分大小：()2

σ+⎰⎰D

x y d 与()3

σ+⎰⎰D

x y d ，其中D 是由直线

x=0,y=0,x+y=1所围成的区域。

（由直线x=0,y=0,x+y=1所围成的区域满足1+

∴+≤x y ()3

+x y ）

()2

σ∴+≤

⎰⎰D

x y d ()3

σ+⎰⎰D

x y d P209课后两题 7.1交换积分次序&二重积分比较大小

3、若级数1

n n u ∞

=∑的前n 项和1n n

s n =+，则n u =1(n 1)n +，1n n u ∞=∑=111-+n 。

解：2211(1)1

1(n 1)(n 1)

----=-=-==+++n n n n n n n u s s n n n n 11111

111(n 1)11∞

∞

∞===⎛⎫==-=-

⎪+++⎝⎭∑∑∑n n n n u n n n n 4、级数112

n

n

n x n ∞

=⋅∑的收敛域为[)2,2-。 解：()()11

1

1122lim lim lim 21212+→∞→∞→∞+++⋅⋅====⋅+⋅n n n n n n n n n n a n R a n n 当x=-2时，()()111

1112122∞

∞∞

====-=-⋅⋅∑∑∑n n n n n

n n n x n n n 是交错级数，条件收敛 当x=2时，111

111

222∞

∞∞=====⋅⋅∑∑∑n n n n

n n n x n n n 是调和级数，发散，得收敛域为[)2,2- ●

或级数

∑∞

=⋅12

21

n n n x n

的收敛域为[]2,2-。 解：()

()2

1

221

2

1

1122lim lim

lim

21

2

12+→∞→∞

→∞

+++⋅⋅====⋅+⋅n n

n n

n n n n n n a

n R a n n 当x=-2时，()()222111

1112122∞

∞∞

====-=-⋅⋅∑∑∑n n n

n n

n n n x n n n 是交错级数，绝对收敛