高中数学人教A版必修2课件：311 倾斜角与斜率资料
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高一数学人教A版必修2课件：3.1.1 倾斜角与斜率 教学课件
已知坐标平面内三点 A(－1,1)、B(1,1)、C(2， 3＋1). 导学号 09024637 (1)求直线 AB、BC、AC 的斜率和倾斜角； (2)若 D 为△ABC 的边 AB 上一动点，求直线 CD 斜率 k 的变化范围．
[ 思路分析]
y2－y1 (1)利用 k＝ 及 k＝tanα 求解； x2－x1
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第三章 直线与方程
〔跟踪练习 2〕求经过下列两点直线的斜率，并根据斜率指出其倾斜角． 导学号 09024638 (1)(－3,0)、(－2， 3)； (2)(1，－2)、(5，－2)； (3)(3,4)、(－2,9)； (4)(3,0)、(3， 3)．
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第三章 直线与方程
[ 解析]
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第三章 直线与方程
已知直线 l 过点 P(－1,2)，且与以 A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线 段相交，求直线 l 的斜率的取值范围. 导学号 09024641
[ 解析]
如图所示，直线 l 绕着 P 点，从 PA 旋转到 PB
2－－3 时，与线段 AB 相交，又因为 PA 的斜率 kPA＝ ＝5， －1＋2 2－0 1 PB 的斜率 kPB＝ ＝－2，所以直线 l 的斜率的取值范围 －1－3 1 是(－∞，－2]∪[5，＋∞)．
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第三章 直线与方程
[ 解析]
(1)∵α＝45° ，∴直线 l 的斜率 k＝tan45° ＝1，
又 P1，P2，P3 都在此直线上， 1－y1 1－5 故 kP1P2＝kP2P3＝k，即 ＝ ＝1，解得 3－2 3－x2 x2＝7，y1＝0. ∴x2＋y1＝7. y (2)x表示直线 OP 的斜率，当点 P 与点 A 重合
3－0 (1)直线的斜率 k＝ ＝ 3＝tan60° ， －2＋3
[ 思路分析]
y2－y1 (1)利用 k＝ 及 k＝tanα 求解； x2－x1
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第三章 直线与方程
〔跟踪练习 2〕求经过下列两点直线的斜率，并根据斜率指出其倾斜角． 导学号 09024638 (1)(－3,0)、(－2， 3)； (2)(1，－2)、(5，－2)； (3)(3,4)、(－2,9)； (4)(3,0)、(3， 3)．
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第三章 直线与方程
[ 解析]
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第三章 直线与方程
已知直线 l 过点 P(－1,2)，且与以 A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线 段相交，求直线 l 的斜率的取值范围. 导学号 09024641
[ 解析]
如图所示，直线 l 绕着 P 点，从 PA 旋转到 PB
2－－3 时，与线段 AB 相交，又因为 PA 的斜率 kPA＝ ＝5， －1＋2 2－0 1 PB 的斜率 kPB＝ ＝－2，所以直线 l 的斜率的取值范围 －1－3 1 是(－∞，－2]∪[5，＋∞)．
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第三章 直线与方程
[ 解析]
(1)∵α＝45° ，∴直线 l 的斜率 k＝tan45° ＝1，
又 P1，P2，P3 都在此直线上， 1－y1 1－5 故 kP1P2＝kP2P3＝k，即 ＝ ＝1，解得 3－2 3－x2 x2＝7，y1＝0. ∴x2＋y1＝7. y (2)x表示直线 OP 的斜率，当点 P 与点 A 重合
3－0 (1)直线的斜率 k＝ ＝ 3＝tan60° ， －2＋3
人教A版高中数学必修二3.1.1直线的倾斜角与斜率 课件
动脑筋
设任意两直线 l1,l2的斜率分别为 k1, k2
l1 l2
？
k1 k2 1
课堂小结
１．直线倾斜角的定义：
X轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
２．直线倾斜角的取值范围：
３．直线斜率的定义：
0 0 90 90 90 180
k 0 k 0 没有斜率 k 0
3.1.1 直线的倾斜角与斜率
1
用什么量来刻画直线 的倾斜程度？
y l3 l2
2
3
Q
l1
1
O
P
x
直线的倾斜角
定义：当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为 基准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角．
y
规定 当直线l与x轴平行或重合时，
a
它的倾斜角为 0.
0
o
α2 x
(x1 x2 )
P(x1, y1)
y2 y1
x2 x1
横坐标增量
o
x
形
数
如果 x1=x2，则直线PQ的斜率不存在
两点的斜率公式
经过两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 )的直线的斜率公式
k y2 y1 x2 x1
(x1 x2 )
公式的特点:
k y2 y1 (或k y1 y2 )
yl
x O
ly
x
O
yl
x O
0
y
l
x O
思考
直线倾斜角的范围？
0 ,180
思考讨论
1 2 3
y l3 l2 l1
α3
α2
α1
O
x
人教A版高中数学必修2PPT课件：3.倾斜角与斜率
x2
能力提升
从 M 2,2 射出一条光线,经过x 轴反射
后过点N( 8,3),求反射点P 的坐标
解 ： 设P(x,0)
N(-8,3)
因为入射角等于反射角
M(2,2)
K MP K 点 P(2,0)
8
C
8
13
5 D 13
5
5
8 8
5
13
8
B5 8
5
8
A8
y
l
p
ox
y
ly
p
o x
o p x
y
p
l
o
x
l
0°＜ ＜ 90° = 90° 90°＜ ＜180° = 0°
k >0
k不存在
k<0
k=0
人教A版高中数学必修2PPT课件：3.倾 斜角与 斜率
人教A版高中数学必修2PPT课件：3.倾 斜角与 斜率
锐角
y
如图，当α为锐角时，
y2
y1
P2 (x2, y2 )
人教A版高中数学必修2PPT课件：3.倾 斜角与 斜率
人教A版高中数学必修2PPT课件：3.倾 斜角与 斜率
思考？
3 、已知直线上两点 A(a1, a2 ) 、B(b1,b2 ) ，运
用上述公式计算直线AB的斜率时，与A、B的 顺序有关吗？
kAB
b2 b1
a2 a1
kBA
a2 a1
b2 b1
180 ,
y
且x1 x2, y1 y2
tan tan(180 )
y2
P2 (x2, y2 )
tan
y1
P1(x1, y1)
Q(x2, y1)
能力提升
从 M 2,2 射出一条光线,经过x 轴反射
后过点N( 8,3),求反射点P 的坐标
解 ： 设P(x,0)
N(-8,3)
因为入射角等于反射角
M(2,2)
K MP K 点 P(2,0)
8
C
8
13
5 D 13
5
5
8 8
5
13
8
B5 8
5
8
A8
y
l
p
ox
y
ly
p
o x
o p x
y
p
l
o
x
l
0°＜ ＜ 90° = 90° 90°＜ ＜180° = 0°
k >0
k不存在
k<0
k=0
人教A版高中数学必修2PPT课件：3.倾 斜角与 斜率
人教A版高中数学必修2PPT课件：3.倾 斜角与 斜率
锐角
y
如图，当α为锐角时，
y2
y1
P2 (x2, y2 )
人教A版高中数学必修2PPT课件：3.倾 斜角与 斜率
人教A版高中数学必修2PPT课件：3.倾 斜角与 斜率
思考？
3 、已知直线上两点 A(a1, a2 ) 、B(b1,b2 ) ，运
用上述公式计算直线AB的斜率时，与A、B的 顺序有关吗？
kAB
b2 b1
a2 a1
kBA
a2 a1
b2 b1
180 ,
y
且x1 x2, y1 y2
tan tan(180 )
y2
P2 (x2, y2 )
tan
y1
P1(x1, y1)
Q(x2, y1)
人教A版高中数学必修二3.1.1《直线的倾斜角与斜率》课件 (共30张PPT)
如图，当α为钝角是， 180 , 且x1 x2 , y1 y2 tan tan( 180 )
Q( x2 , y1 )
P 1 ( x1 , y1 )
o
x2
x1
x
y2 y1 y2 y1 k tan x1 x2 x2 x1
零度角
2、直线倾斜角的范围：
思考？ 直线的倾斜角范围是多少？
0o
答：直线的倾斜角的取值范围为： 0 a 180
规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它 o 0 的倾斜角为 .
3.确定直线的要素
如图，直线 l 与直线 l 有什么共同点？ 这两条直线是一样的吗？也就是说一点 不能确定一条直线
3
3
1
点拨：已知直线过一点及斜率，可 用斜率公式得出过该直线任一点横 坐标与纵坐标的关系，找出满足条 件的任意一点，画出直线。
A1
A2
x
l2
l4 A4
四、小结：
1、这节课你收获了什么内容？
2.你学到了什么数学思想？
巩固与测试
1.下列叙述中不正确的是（ ） A.若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 B.每一条直线都唯一对应一个倾斜角 C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0度或90度 D.若直线的倾斜角为 ， 则直线的斜率为tan 2.经过A(2，0),B(5，3)两点的直线的倾斜角是（ ） o A.45o B. 135 C. 90o D. 60o 3.过点P(-2，m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的 值为（ ） A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 4.直线经过二、三、四象限，l 的倾斜角为 ，斜率为k,则 为 k的取值范围是_______ 角，
高一数学人教A版必修二第三章3.1.1 倾斜角与斜率课件(共18张PPT)
你知道有哪些量可以用来表示某一斜坡的倾 斜程度吗？
坡度（比）
升高量 前进量
升 （即为坡角的正切值）
高
量
前进量
类比坡度，引进一个刻画直线倾斜程度的 量——直线的斜率（直线倾斜角的正切值） 2、直线的斜率：
我们把一条直线的倾斜角 a的正切值叫做这
条直线的斜率。
k tan a 用小写字母 k 表示，即：
2、直线的斜率定义： k tan a (a 90 )
3、斜率k与倾斜角 之间的关系：
a 0 k tan 0 0
0 a 90 k tan a 0
a
90
tan
a(不存在)
k不存在
90 a 180 k tan a 0
4、斜率公式： k y2 y1 (或k y1 y2 )
飞逝的流星沿不 同的方向运动
在空中形成美丽的直线
2
问题1: 经过一点可以作出多少条直线?
y.
ox
确定直线位置的要素 除了点之外,还有直线的 方向,也就是直线的倾斜 程度.
1、直线的倾斜角：
当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直 线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
y
pl
o
o
135o k tan135o 1
90o 斜率不存在
l
x
3、直线的斜率公式
k tan
给定两点P1 （ x1 ，y1）， P2 （ x2 ，y2）， 并且x1
≠x2，如何计算直线P1 P2的斜率k？
当 ɑ为锐角时
l
y
P2（x2，y2）
y2 x2
y1 x1
P1（x1，y1）
O
Q （x2，y1）
序有关吗？
坡度（比）
升高量 前进量
升 （即为坡角的正切值）
高
量
前进量
类比坡度，引进一个刻画直线倾斜程度的 量——直线的斜率（直线倾斜角的正切值） 2、直线的斜率：
我们把一条直线的倾斜角 a的正切值叫做这
条直线的斜率。
k tan a 用小写字母 k 表示，即：
2、直线的斜率定义： k tan a (a 90 )
3、斜率k与倾斜角 之间的关系：
a 0 k tan 0 0
0 a 90 k tan a 0
a
90
tan
a(不存在)
k不存在
90 a 180 k tan a 0
4、斜率公式： k y2 y1 (或k y1 y2 )
飞逝的流星沿不 同的方向运动
在空中形成美丽的直线
2
问题1: 经过一点可以作出多少条直线?
y.
ox
确定直线位置的要素 除了点之外,还有直线的 方向,也就是直线的倾斜 程度.
1、直线的倾斜角：
当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直 线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
y
pl
o
o
135o k tan135o 1
90o 斜率不存在
l
x
3、直线的斜率公式
k tan
给定两点P1 （ x1 ，y1）， P2 （ x2 ，y2）， 并且x1
≠x2，如何计算直线P1 P2的斜率k？
当 ɑ为锐角时
l
y
P2（x2，y2）
y2 x2
y1 x1
P1（x1，y1）
O
Q （x2，y1）
序有关吗？
高中数学人教A版必修2课件：3.1.1 倾斜角与斜率
-11-
3.1.1 倾斜角与斜率
1 2 3
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知识梳理
重难聚焦
典例透析
2.斜率公式 剖析:(1)直线的斜率公式表明直线相对于x轴正方向的倾斜程度, 可以通过直线上任意两点的坐标表示,这比使用几何的方法先求倾 斜角,再求斜率的方法简便. (2)直线的斜率与直线上两点的顺序无关,即两点的纵坐标和横坐 标在公式中的次序可以同时调换,这就是说,如果分子是y2-y1,分母 必须是x2-x1;反过来,如果分子是y1-y2,分母必须是x1-x2,即斜率
-8-
3.1.1 倾斜角与斜率
1 2
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知识梳理
重难聚焦
典例透析
【做一做 2-1】 已知直线 l 的倾斜角 α=30°,则其斜率 k 的值 为( ) B. 3 C. 1D. 3 3 解析:k=tan α=tan 30°= 3 . A.0 答案:B
3
-9-
3.1.1 倾斜角与斜率
1 2
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5������ -������ 4
= ������.
因为 A,B,C 三点共线,所以 kAB=kAC, = ������ , 解得a=1. 答案:1
-19-
3.1.1 倾斜角与斜率
题型一 题型二 题型三 题型四
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知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型三
已知一个点和斜率画直线
【例3】 在平面直角坐标系中,画出经过点P(2,1)且斜率分别为0,1 的直线l1,l2.
=
, 再根据k 的值确定倾斜角 α 的大小.
-15-
3.1.1 倾斜角与斜率
题型一 题型二 题型三 题型四
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知识梳理
重难聚焦
人教A版高中数学必修二课件3-1-1倾斜角与斜率(共36张PPT)
[点评] 直线l越靠近y轴，其斜率的绝对值越大．
直线l1与l2的斜率分别为k1、k2如图，则k1与k2的大小关 系为________．
[答案] k1>k2
[例5] 如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1与l2 垂直，求l1、l2的斜率．
[解析]
直线l1的斜率k1＝tanα1＝tan30°＝
()
2．下列各组中的三点共线的是
A．(1,4)，(－1,2)，(3,5) B．(－2，－5)，(7,6)，(－5,3) C．(1,0)，(0，－)，(7,2) D．(0,0)，(2,4)，(－1,3) [答案] C [解析] 利用斜率相等判断可知C正确．
()
二、填空题 3．斜率的绝对值为的直线的倾斜角为________． [答案] 30°或150°
3 3.
∵直线l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，
∴直线l2的斜率
k2＝tan120°＝tan(180°－60°)＝－tan60°＝－ 3.
总结评述：充分挖掘题目中条件的相互联系，是正确 解题的前提条件．
(1)直线l1的倾斜角α1＝30°，若直线l2的倾斜角与直线l1 的倾斜角相等，则直线l2的斜率为________．
已知直线l经过点A(－1,2)和B(x,3)，其斜率为－2，则x ＝________.
[例2] 求倾斜角为下列数值的直线的斜率． (1)α＝30°；(2)α＝45°；(3)α＝135°；(4)α＝0°. [解析] (1)k＝tan30°＝ (2)k＝tan45°＝1； (3)k＝tan135°＝tan(180°－45°)＝－tan45°＝－1； (4)k＝tan0°＝0. [点评] 要熟悉0°，30°，45°，60°等特殊角的正切值.
直线l1与l2的斜率分别为k1、k2如图，则k1与k2的大小关 系为________．
[答案] k1>k2
[例5] 如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1与l2 垂直，求l1、l2的斜率．
[解析]
直线l1的斜率k1＝tanα1＝tan30°＝
()
2．下列各组中的三点共线的是
A．(1,4)，(－1,2)，(3,5) B．(－2，－5)，(7,6)，(－5,3) C．(1,0)，(0，－)，(7,2) D．(0,0)，(2,4)，(－1,3) [答案] C [解析] 利用斜率相等判断可知C正确．
()
二、填空题 3．斜率的绝对值为的直线的倾斜角为________． [答案] 30°或150°
3 3.
∵直线l2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，
∴直线l2的斜率
k2＝tan120°＝tan(180°－60°)＝－tan60°＝－ 3.
总结评述：充分挖掘题目中条件的相互联系，是正确 解题的前提条件．
(1)直线l1的倾斜角α1＝30°，若直线l2的倾斜角与直线l1 的倾斜角相等，则直线l2的斜率为________．
已知直线l经过点A(－1,2)和B(x,3)，其斜率为－2，则x ＝________.
[例2] 求倾斜角为下列数值的直线的斜率． (1)α＝30°；(2)α＝45°；(3)α＝135°；(4)α＝0°. [解析] (1)k＝tan30°＝ (2)k＝tan45°＝1； (3)k＝tan135°＝tan(180°－45°)＝－tan45°＝－1； (4)k＝tan0°＝0. [点评] 要熟悉0°，30°，45°，60°等特殊角的正切值.
高一数学人教版A版必修二课件：3.1.1 倾斜角与斜率
答案
1.倾斜角的定义 (1)当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴 正向与直线l向上方向之间所 成的角α叫做直线l的倾斜角. (2)当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°. 2.倾斜角的范围 直线的倾斜角α的取值范围为 0°≤α<180° . 3. 确 定 平 面 直 角 坐 标 系 中 一 条 直 线 位 置 的 几 何 要 素 是 ： 直 线 上 的 一 个 定点 以及它的 倾斜角.
解析答案
类型二 直线的斜率 例2 直线l1,l2,l3都经过点P(3,2),又l1,l2,l3分别经过点Q1(－2,－1),Q2(4,－ 2),Q3(－3,2),计算直线l1,l2,l3的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝 角.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 (1)若经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°,则m ＝___. 2
解析答案
(2)经过A(m,3),B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是____0_°__<_α_≤(其90° 中m≥1).
解析答案
类型三 斜率与倾斜角的综合应用 Nhomakorabeap1 p2
p2 p3
解析答案
(2)已知A(3,3),B(－4,2),C(0,－2).若点D在线段BC上(包括端点)移动,求直 线AD的斜率的变化范围. 解 如图所示： 当点D由B运动到C时, 直线AD的斜率由kAB增大到kAC, 所以直线AD的斜率的变化范围是 17，53 .
直线情况
平行于x轴
0 垂直于x轴
α的大小
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k的范围
0
k>0
高中数学人教A版必修2第三章3.1.1倾斜角与斜率课件
5 1
23
(4)倾斜角 900，斜率不存在.
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
题型二
斜率公式的应用
例2、经过两点A(m2+2，m2-3)，B(3-m-m2，2m)的直线l的
下列哪些说法是正确的（
）
A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 F
B、直线的倾斜角越大，斜率也越大
F
C 、平行于x轴的直线的倾斜角是 00或1800 F
D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等F
E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等 T
F 、直线斜率的范围是R
T
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
x2 )
公式的特点:
(1)与两点的顺序无关;
(2) 公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通 过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求 出直线的倾斜角; (3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴垂 直,α=900
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
练习： 高中数学人教A版必修2第三章3.1.1倾斜角与斜率课件
y
y
y
y
α
o
x o α x oα x o α x
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
不是
高 中 数 学 人 教A版必 修2第 三章3. 1.1倾斜 角与斜 率课件
下图中直线l1，l2，l3的倾斜角 大致是一个什么范围内的角？
y l3
l2 l1
高中数学人教A版必修二课件：3.1.1 倾斜角与斜率
图1
3．1.1 │ 新课导入
[答案] 直线与 x 轴的相对位置关系有三种：平行、垂 直、相交．
3．1.1 │ 新课感知 新课感知
珠穆朗玛峰是喜马拉雅山的主峰，是世界上最高的山 峰，海拔 8848.13 米，自 1953 年 5 月 29 日英国两名探险队 员首次从尼泊尔境内的南坡登顶成功后， 已经有数百人登上 了珠峰，而登山的路径主要有三条，它们的坡度不同，即倾 斜度不一样，如果让你选择登山路径，你选哪一条呢？
3．1.1 │ 自学探究
平行或重合 ，斜率 k＝ (3)当 y1＝y2 时，直线与 x 轴______________ 0 ________ ，直线的倾斜角 α＝____________ ； 0° (4)由于斜率 k 可以由直线上两点的坐标求得，因此求直 线的倾斜角也可以由直线上两点的坐标先求斜率， 再由斜率求 倾斜角． [思考] 当倾斜角 α 变化时，斜率 k 是如何变化的？
解：当0°≤α <90°时，随α 的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ大，斜率k在[0， ＋∞)范围内增大；当90°<α <180°时，随α 的增大，斜 率k在(－∞，0)范围内增大．
3．1.1 │ 典例类析 典例类析
► 题组一 求直线的斜率问题 【例题演练】
例1 (1)过 A(a，b)，B(ma，mb)(m≠1，a≠0)的直线 l 斜 率为________； (2)过 P(2，1)，Q(m，2)的直线 l 的斜率为________．
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第三章
直线与方程
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3．1 直线的倾斜角与斜率
追求卓越，崇尚一流。 主编：齐继鹏
3．1.1 倾斜角与斜率
3．1.1 │ 三维目标 三维目标
高一数学人教A版必修2课件：3.1.1 倾斜角与斜率
0,即m 1且m 1 时.有tan m
3
m2 )
m2 2m 3 2m2 m 1
1,
即3m2 m 4 0,解得,m 1或m 4 . 3
第十六页，编辑于星期日：二十二点 分。
由前面已知m≠-1,
∴m= 4 . 3
误区警示:在应用斜率公式时,要注意x1≠x2.因此,本题答案是
第三十七页，编辑于星期日：二十二点 分。
2 2 1, 1 1 1 .
ba
ab 2
第三十六页，编辑于星期日：二十二点 分。
12已知a>0,若平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则
a=________.
1 2
解析 :由题意可得 a2 a a3 a ,化简得a(a2 2a 1) 0, 21 31
a 0或a 1 2. a 0,a 1 2.
又0≤k<1 ∴0≤tanα<1 又0°≤α<180°,∴0°≤α<45°.
第二十一页，编辑于星期日：二十二点 分。
易错探究
例4:如图所示,已知点A(-2,3),B(3,2),P(0,-2),过点P的直线l与线段 AB有公共点,求直线l的斜率k的变化范围.
第二十二页，编辑于星期日：二十二点 分。
错解 :由已知可得kPB
4 3
, kPA
5 知, 斜率k的取值范围是 2
(, 5] [43, ). 2
第二十三页，编辑于星期日：二十二点 分。
基础强化
1.直线l经过原点和点(-1,-1),则它的斜率是( )
A.1
B.-1
C.-1或1
D.以上都不对
答案:A
第二十四页，编辑于星期日：二十二点 分。
高中数学人教A版必修二课件：3.1.1倾斜角与斜率
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
2．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾 斜角是锐角还是钝角． (1)(1,1)，(2,4)； (2)(－3,5)，(0,2)； (3)(4,4)，(4,5)； (4)(10,2)，(－10,2)．
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
4－1 解析： (1)k＝ ＝3＞0， 则倾斜角是锐角； 2－1 2－5 (2)k＝ ＝－1＜0， 则倾斜角是钝角； 0－－3 (3)倾斜角是 90° (无斜率)； 2－2 (4)k＝ ＝0，则倾斜角为 0° . －10－10
栏 目 链 接
题型三
三点共线问题
例3 求证：A(1,1)，B(4,7)，C(－1，－3)三点共线．
栏 目 链 接
7－1 1＋3 证明：由斜率公式知 kAB＝ ＝2，kAC＝ ＝2. 4－1 1＋1 则 kAB＝kAC，且直线 AB 与 AC 均过点 A，即直线 AB 与 AC 重合，也即 A，B，C 三点共线．
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第三章
直线与方程
3.1 直线的倾斜角与斜率 3．1.1 倾斜角与斜率
基 础 梳 理
1．倾斜角与斜率． (1)倾斜角与斜率的概念. 倾斜角 前提条件 斜率
相交 直线 l 与 x 轴______ x轴 作为基准，x 轴 取______
90° 倾斜角不是____
定义
直线 l 倾斜角的 正向 向上方向 ______与直线 l________ 正切值 ________ 之间所成的角 α k＝tan α
1．如图所示，直线 l 与 y 轴垂直，则直线 l 的倾斜角为 ( A )
栏 目 链 接
A．0° C．180°
B．90° D．不存在
自 测 自 评
跟 踪 训 练
2．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾 斜角是锐角还是钝角． (1)(1,1)，(2,4)； (2)(－3,5)，(0,2)； (3)(4,4)，(4,5)； (4)(10,2)，(－10,2)．
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
4－1 解析： (1)k＝ ＝3＞0， 则倾斜角是锐角； 2－1 2－5 (2)k＝ ＝－1＜0， 则倾斜角是钝角； 0－－3 (3)倾斜角是 90° (无斜率)； 2－2 (4)k＝ ＝0，则倾斜角为 0° . －10－10
栏 目 链 接
题型三
三点共线问题
例3 求证：A(1,1)，B(4,7)，C(－1，－3)三点共线．
栏 目 链 接
7－1 1＋3 证明：由斜率公式知 kAB＝ ＝2，kAC＝ ＝2. 4－1 1＋1 则 kAB＝kAC，且直线 AB 与 AC 均过点 A，即直线 AB 与 AC 重合，也即 A，B，C 三点共线．
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第三章
直线与方程
3.1 直线的倾斜角与斜率 3．1.1 倾斜角与斜率
基 础 梳 理
1．倾斜角与斜率． (1)倾斜角与斜率的概念. 倾斜角 前提条件 斜率
相交 直线 l 与 x 轴______ x轴 作为基准，x 轴 取______
90° 倾斜角不是____
定义
直线 l 倾斜角的 正向 向上方向 ______与直线 l________ 正切值 ________ 之间所成的角 α k＝tan α
1．如图所示，直线 l 与 y 轴垂直，则直线 l 的倾斜角为 ( A )
栏 目 链 接
A．0° C．180°
B．90° D．不存在
自 测 自 评
人教A版高中数学必修二课件：3-1-1倾斜角与斜率(3)
答案：②
要点二直线的斜率 1.(1)倾斜角与斜率的关系
当 α≠90°时，斜率 k ＝ tanα ，当 α ＝ 90°时，斜率不存
在．
(2)变化情况 k＝tanα，(0°≤α<90°或90°<α<180°)
①当0°≤α<90°时，随α的增大，斜率 k 在 [0，＋∞ ) 范
围内增大； ②当 90°<α<180°时，随 α 的增大，斜率k 在 ( －∞ ， 0) 范围内增大．
例2
(1) 当且仅当 m 为何值时，经过两点 A( － m,6) 、
B(1,3m)的直线的斜率为12?
(2) 当且仅当 m 为何值时，经过两点 A(m,2) 、 B( － m,2m
线没有斜率．
3．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的 斜率公式是k＝
y2－ y1 x2－ x1
.
(对应学生用书56页) 探究 1 ：填充下表，探究直线的倾斜角 α 与斜率 k 之间的 关系.
直线情况 α的大小 k的范围 k的增减性 平行于 x轴 由左向 右上升 垂直于 x轴 由右向 左上升
提示：
平行于 x轴 α＝0° 由左向 垂直于 x轴 α＝90° 由右向
直线情况
右上升
0°<α<90°
左上升
90°<α<180°α的大小来自k的范围k＝ 0
k>0
不存在
k<0
k的增减性
相等
递增
无
递增
探究2：直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大，这 句话对吗？
提示：这句话是不对的，当倾斜角 α ＝0°时，k ＝0；
【分析】 画出草图，标记出变化过程，即可直接求
要点二直线的斜率 1.(1)倾斜角与斜率的关系
当 α≠90°时，斜率 k ＝ tanα ，当 α ＝ 90°时，斜率不存
在．
(2)变化情况 k＝tanα，(0°≤α<90°或90°<α<180°)
①当0°≤α<90°时，随α的增大，斜率 k 在 [0，＋∞ ) 范
围内增大； ②当 90°<α<180°时，随 α 的增大，斜率k 在 ( －∞ ， 0) 范围内增大．
例2
(1) 当且仅当 m 为何值时，经过两点 A( － m,6) 、
B(1,3m)的直线的斜率为12?
(2) 当且仅当 m 为何值时，经过两点 A(m,2) 、 B( － m,2m
线没有斜率．
3．斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的 斜率公式是k＝
y2－ y1 x2－ x1
.
(对应学生用书56页) 探究 1 ：填充下表，探究直线的倾斜角 α 与斜率 k 之间的 关系.
直线情况 α的大小 k的范围 k的增减性 平行于 x轴 由左向 右上升 垂直于 x轴 由右向 左上升
提示：
平行于 x轴 α＝0° 由左向 垂直于 x轴 α＝90° 由右向
直线情况
右上升
0°<α<90°
左上升
90°<α<180°α的大小来自k的范围k＝ 0
k>0
不存在
k<0
k的增减性
相等
递增
无
递增
探究2：直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大，这 句话对吗？
提示：这句话是不对的，当倾斜角 α ＝0°时，k ＝0；
【分析】 画出草图，标记出变化过程，即可直接求
高中数学人教A版必修二课件：3.1.1 倾斜角与斜率
线l1、l2的斜率．
解：直线 l1 的斜率为 k1＝tan30° ＝ 3 ， 3
又∵直线 l2 的倾斜角为 α2＝90° ＋30° ＝120° ， ∴直线 l2 的斜率为 k2＝tan120° ＝－ 3.
探究点三
直线的斜率公式及其应用
1. 当已知两定点坐标求过这两点的直线斜率时可直接利 用斜率公式求解，应用斜率公式时应先判定两定点的
答案：②
探究点二
求直线的斜率
1. 倾斜角与斜率的关系
当α≠90°时，斜率k＝tanα，当α＝90°时，斜率不存在．
2．变化情况 k＝tanα，(0°≤α＜90°或90°＜α＜180°) (1)当0°≤α＜90°时，随α的增大，斜率k在[0，＋∞)范围 内增大；
(2)当90°＜α＜180°时，随α的增大，斜率k在(－∞，0)范
且随α的增大k也增大．
探究点一
倾斜角和斜率的理解
斜角的理解
(1)从运动变化的观点来看，当直线与x轴相交时，直 线的倾斜角是由x轴按逆时针方向转动到直线重合 时所成的角． (2)倾斜角直观地描述表示了直线对x轴正方向的倾斜 程度． (3)不同的直线可以有相同的倾斜角．
2．斜率的理解
直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜 率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，并不 是该直线不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴 或与y轴重合)．
围内增大．
已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)，
(1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC上(包括端点)移动时，求直线AD 的斜率的变化范围．
[提示]
[解]
解答本题第(1)问可用斜率公式直接求解，第(2)问
结合图形求解．
2－ 3 (1)由斜率公式可得直线 AB 的斜率 kAB＝ －4－3
解：直线 l1 的斜率为 k1＝tan30° ＝ 3 ， 3
又∵直线 l2 的倾斜角为 α2＝90° ＋30° ＝120° ， ∴直线 l2 的斜率为 k2＝tan120° ＝－ 3.
探究点三
直线的斜率公式及其应用
1. 当已知两定点坐标求过这两点的直线斜率时可直接利 用斜率公式求解，应用斜率公式时应先判定两定点的
答案：②
探究点二
求直线的斜率
1. 倾斜角与斜率的关系
当α≠90°时，斜率k＝tanα，当α＝90°时，斜率不存在．
2．变化情况 k＝tanα，(0°≤α＜90°或90°＜α＜180°) (1)当0°≤α＜90°时，随α的增大，斜率k在[0，＋∞)范围 内增大；
(2)当90°＜α＜180°时，随α的增大，斜率k在(－∞，0)范
且随α的增大k也增大．
探究点一
倾斜角和斜率的理解
斜角的理解
(1)从运动变化的观点来看，当直线与x轴相交时，直 线的倾斜角是由x轴按逆时针方向转动到直线重合 时所成的角． (2)倾斜角直观地描述表示了直线对x轴正方向的倾斜 程度． (3)不同的直线可以有相同的倾斜角．
2．斜率的理解
直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜 率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，并不 是该直线不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴 或与y轴重合)．
围内增大．
已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)，
(1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC上(包括端点)移动时，求直线AD 的斜率的变化范围．
[提示]
[解]
解答本题第(1)问可用斜率公式直接求解，第(2)问
结合图形求解．
2－ 3 (1)由斜率公式可得直线 AB 的斜率 kAB＝ －4－3
高一数学(人教A版)必修2课件： 倾斜角与斜率
数学人教A版 ·必修2
第三章
3．1.1 倾斜角与斜率
y 1．在直角三角形中，当内角α为锐角时，sinα＝ r ，cosα＝ x y r ，tanα＝ x ，其中x、y分别为角α的邻边、对边，r为斜边．
温故知新
2．日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表 示倾斜面的“坡度”(倾斜程度)，如图，即
[答案] A
) B．2 C．3 D．4
[解析] 序号 正误 ① ② ③ √ × × 理由 任何直线都有唯一的倾斜角，故①正确 倾斜角的范围是[0° ，180° )，故②错误 所有与x轴平行或重合的直线的倾斜角 都是0° ，故③错误 倾斜角相同的直线有无数条，不是一一 映射关系，故④错误
④
×
2.斜率(倾斜角为α) 定 义 α≠90° 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这 条直线的斜率
2．应用斜率公式时的注意事项： (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂 直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的； (2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公 式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．
特别提醒：在解决与斜率有关的问题时，要根据题目条 件对斜率是否存在做出判断，以免漏解．
[分析]
y2－y1 (1)利用k＝ 及k＝tanα求解； x2－x1
(2)先求出AC、BC斜率，进而求出k的范围．
[解析]
(1)由斜率公式得
1－1 3＋1－1 kAB＝ ＝0.kBC＝ ＝ 3. 1－－1 2－1 3＋1－1 3 kAC＝ ＝ . 3 2－－1 倾斜角的取值范围是0° ≤α<180° . 又∵tan0° ＝0， ∴直线AB的倾斜角为0° . tan60° ＝ 3，
[答案] D
第三章
3．1.1 倾斜角与斜率
y 1．在直角三角形中，当内角α为锐角时，sinα＝ r ，cosα＝ x y r ，tanα＝ x ，其中x、y分别为角α的邻边、对边，r为斜边．
温故知新
2．日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表 示倾斜面的“坡度”(倾斜程度)，如图，即
[答案] A
) B．2 C．3 D．4
[解析] 序号 正误 ① ② ③ √ × × 理由 任何直线都有唯一的倾斜角，故①正确 倾斜角的范围是[0° ，180° )，故②错误 所有与x轴平行或重合的直线的倾斜角 都是0° ，故③错误 倾斜角相同的直线有无数条，不是一一 映射关系，故④错误
④
×
2.斜率(倾斜角为α) 定 义 α≠90° 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这 条直线的斜率
2．应用斜率公式时的注意事项： (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂 直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的； (2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公 式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．
特别提醒：在解决与斜率有关的问题时，要根据题目条 件对斜率是否存在做出判断，以免漏解．
[分析]
y2－y1 (1)利用k＝ 及k＝tanα求解； x2－x1
(2)先求出AC、BC斜率，进而求出k的范围．
[解析]
(1)由斜率公式得
1－1 3＋1－1 kAB＝ ＝0.kBC＝ ＝ 3. 1－－1 2－1 3＋1－1 3 kAC＝ ＝ . 3 2－－1 倾斜角的取值范围是0° ≤α<180° . 又∵tan0° ＝0， ∴直线AB的倾斜角为0° . tan60° ＝ 3，
[答案] D