人教版数学高一必修二第一章探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课课件_0
球体的体积公式
思考1：如何得到球的体积公式？ (先求半球的体积公式)
思考2：利用祖暅原理求解半球体积的思路是什么呢？
利用祖暅定理求解半球的体积，就先要找出满足 这样条件的一个简单几何体：把该几何体与半球夹在 两个平行平面之间，用平行于这两个平面的任意平面 去截该几何体和半球，使得截得的两个截面的面积总 相等，那么半球的体积就可以转化为该简单几何体的 体积，从而也可以求出球的体积。
夹在两个平行平面之间的两个几何体，现在用平 行于这两个平面的任意平面去截这两个几何体，如果 截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的 体积相等。
思考：将一叠作业本放在桌面上组成一个几何体，将它改变一 下形状，几何体的形状发生了改变，几何体的高发生改变了吗？ 几何体的体积发生改变了吗？说明理由！
3
V球
4 R3
3
课堂小结
知识：祖暅原理，柱体、球体体积公式推导 思想方法：转化与化归
祖暅原理，在西方直到17世纪，才由意大利数 学家卡瓦列里发现提出，比祖暅足足晚了一千多年!
课后练习
类比柱体、球体的体积公式推导，试试推导锥体的 体积公式。
小结：我们可以发现，祖暅原理含有三个条件， ①两个几何体夹在两个平行平面之间， ②用平行于两个平行平面的任何一平面可截得两个 平面， ③两个截面的面积总相等 这三个条件缺一不可，否则结论不成立。
柱体的体积公式
如图，下面是底面积都等于S，高都等于h的任意棱柱， 圆柱和长方体，你能用祖暅原理推导柱体的体积公式 吗？
用平行于半球底面的平面去截半球所得的截面面积， 都会和一个环形的面积相等。
而这些环形堆叠起来所形成的几何体，恰好就是一个 圆柱体挖掉一个底面相同且等高的圆锥体之后所得的简 单几何体。
探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积
探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积祖暅原理是一种用来计算一些碰撞问题的方法。
它是由荷兰物理学家爱文·伽兹（Awe M. C. J. Gase）在1971年首次提出的。
祖暅原理可以应用于各种情况，包括碰撞、反弹、散射等。
这个原理的基本思想是，根据碰撞前后的动量守恒和能量守恒原理，可以推导出碰撞物体的质量、速度等参数。
柱体、锥体和球体是几何学中常见的三维几何体，它们的体积可以通过数学公式推导得到。
首先来讨论柱体。
柱体是一个具有平行的底面和均匀直径的圆柱形物体。
它的体积可以通过计算底面的面积乘以高度来获得。
具体地说，柱体的体积公式为：V=πr²h，其中r为底面半径，h为柱体的高度。
而锥体是一个具有底面是圆的三角锥形物体。
计算锥体的体积需要先求出底面的面积，再乘以高度的三分之一、锥体的体积公式为：
V=(1/3)πr²h，其中r为底面半径，h为锥体的高度。
最后，球体是一个具有球形的物体。
计算球体的体积需要先求出球的半径，再将半径的三次方乘以π的四分之三、具体地说，球体的体积公式为：V=(4/3)πr³，其中r为球的半径。
以上是关于柱体、锥体和球体的体积计算公式的一些基本介绍。
要具体计算一些物体的体积，需要提供它的底面半径、高度或半径等参数。
同时要注意单位的一致性，确保结果的准确性。
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课教案_0
探究祖暅原理为使学生受到优秀数学传统文化的熏陶首先介绍了一下提出祖暅原理的历史人物；接下来对祖暅原理做了细致的分析，让学生理解其具体含义并注意应用时需要注意的方面；最后利用祖暅原理结合三维动画层层引导、分析、推导出柱体、锥体、球体的体积公式。
教学目标1. 理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的过程；2. 在推导柱体、锥体体积公式的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法；掌握柱体、锥体、球体的体积公式；3. 通过介绍我国古代数学家和西方数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣.重点：理解祖暅原理和柱体、椎体、球体体积公式的推导过程。
难点：球体的体积公式推导及准确把握相关几何体体积之间的关系。
教学过程1. 介绍提出祖暅原理的历史人物祖冲之父子。
2. 细致分析祖暅原理，并强调应用时的细节。
3. 应用祖暅原理推导柱体、椎体的体积公式4. 观看视频：应用祖暅原理推到球体的体积公式5. 祖暅原理未能得到西方认可的原因教学过程一、引入取一些书堆放在桌面上(如图所示) ，并改变它们的放置方法，观察改变前后的体积是否发生变化？这堆书的几何形状发生了改变，但两个几何体的高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而两个几何体的体积相等。
其实这里蕴含了一个很重要的数学原理—祖暅原理。
今天我们就来学习什么是祖暅原理以及它的应用。
首先我们要认识我国历史上两位很重要的数学家。
二、祖冲之父子介绍祖冲之（429-500），字文远。
出生于建康（今南京），祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县），中国南北朝时期杰出的数学家、天文学家。
祖冲之一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面。
他在刘徽开创的探索圆周率的精确方法的基础上，首次将“圆周率”精算到小数第七位，即在3.1415926和3.1415927之间，他提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献。
探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积
探究与发现祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积［教学内容、地位］在学生已经初步学习了柱体、锥体、球体的体积公式的基础之上对体积公式的由来的进一步探究，主要内容为用祖暅原理推导柱体、锥体、球体的体积公式；通过模型演示，利用祖暅原理，推广到柱、锥、球体的体积计算.通过学习，使学生感受几何体体积的求解过程，初步了解解决空间几何体问题的思想方法,逐步提高解决空间几何体问题的能力。
［教学编排依据］主要是从学生获取知识遵循“从特殊到一般，由浅入深，由易到难，循序渐进”的原则出发，符合学生的认知水平和接受能力.教学目标的确定（1）理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的方法；（2）在发现祖暅原理的过程中，体会从“平面”到“空间”的类比、猜想、论证的数学思想方法；体会祖暅原理中由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法的思想；（3）在推导棱柱体积公式的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法；掌握棱柱、棱锥、球体的体积公式；（4）通过介绍我国古代数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣.拓展爱国主义情感教育，3、教学的重点、难点（1）柱体、锥体、球体的体积公式的探究（2）学生探究能力的培养二、说教法和几何画板和PPT课件导入与学法，探索实际案例。
教法：1、为了培养学生自主学习的能力以及使得不同层次的学生都能获得相应的满足.因此本节课采用探究性教学.2、根据本节课的特点也为了给学生的数学探究与数学思维提供支持.学法：为了发挥学生的主观能动性，提高学生的综合能力，确定了探究性学习法：通过分析、探索得出柱体、锥体、球体的体积公式；四、教学过程1、教学思路由祖暅原理推导柱、锥以及球的体积．其结构图如下：2、案例设计Ⅰ导入课题回顾已经学习的柱体、锥体、球体的体积公式，并发问：这些公式怎么来的? （设计意图：让学生产生疑问，带着疑问主动的探究柱体、锥体、球体的体积公式的由来）Ⅱ探究新知1、祖暅原理的引入通过小实验引入祖暅原理，让学生直观感知祖暅原理的正确性，为接下来的应用祖暅原理推导公式提供理论基础课件名称：祖暅原理．课件运行环境：几何画板4.0以上版本．课件主要功能：配合教科书“探究与发现祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积”的教学，说明几何体等体积变换的依据．课件制作过程：（1）新建画板窗口．如图1，按住Shift键，用【画直线】画4条直线AB，CD，EF，GH （分别是直线j ，k ，l ，m ）．图 1（2）在直线j 上画两点I ，J ．（3）在直线上画一点K ，在直线l 上画两点L ，M ，在直线m 上画两点N ，O ．（4）画线段KL ，LN ，NO ，OM ，MK ．（5）在直线k ，l 之间画一条直线PQ （直线r ）．在直线l ，m 之间画直线RS （直线s ）．（6）作出线段KL 与直线r 的交点T ．同样作出线段KM 与直线r 的交点U ，线段LN 与直线s 的交点V ，线段OM 与直线s 的交点W ．（7）在直线k ，r ，l ，s ，m 上分别画一点X ，Y ，Z ，A 1，B 1．（8）标记向量TU ．依向量TU 平移点Y 得到Y '．同样，标记向量LM ，依向量LM 平移点Z 得到Z '；标记向量VW ，依向量VW 平移点1A 得到1A '；标记向量NO ，依向量VW 平移点1B 得到1B '．（9）依次选择点K ，L ，N ，O ，M ，按Ctrl+P ，填充五边形KLNOM ，及时单击【Measure 】（度量）菜单中的【Area 】，度量出它的面积，如“面积21 3.93p cm =”．（10）类似于上一步，用【选择】工具顺次选择点X ，Y ，Z ，1A ，1B ，1B '，1A '，Z '，Y '，按Ctrl+L ，得到一个凹九边形．（11）用【选择】工具顺次选择点X ，Y ，Z ，1A ，1B ，1B '，1A '，Z '，Y '，并单击【Construct 】（作图）菜单中的【Polygon Interior 】（多边形内部）给这个凹九边形内部填充，及时单击【Measure 】菜单中的【Area 】，度量出凹九边形的面积，如“面积22 3.93p cm =”．（12）如图2，用【画点】工具在直线j 上画一点1C （位于点J 的左边）．过点1C 作出直线j 的垂线（直线a ）．用【选择】工具作出直线a 与直线k 的交点1D ．图2（13）双击点I ，把点I 标记为缩放中心．选中五边形KLNOM （边与顶点）及其内部，并单击【Transform 】（变换）菜单中的【Dilate 】（缩放），弹出对话框，把缩放改为1：3，单击【Dilate 】，得到一个小的五边形K L N O M '''''．选择它的内部，并单击【Measure 】菜单中的【Area 】，度量出它的面积， “面积210.44p cm '=”． （14）用【选择】工具双击点J ，把点J 标记为缩放中心．选中凹九边形（边与顶点）及其内部，并单击【Transform 】菜单中的【Dilate 】．同样，以1：3缩放得到一个小的凹九边形，度量出它的面积“面积220.44p cm '=”． （15）画直线K X ''，得到直线b ，作出直线b 与直线a 的交点1E ．（16）用【画线段】工具把点1E 和1D 用线段连结起来．（17）在线段1E 1D 上画点1F ，用【画线段】工具作出线段1F 1C （线段c ），1C 1E （线段d ）．（18）先后选择线段c ，d ，并单击【Transform 】菜单中的【Mark Segment Ratio 】（标记线段比）标记为c/d ．（19）用【选择】工具双击点I ，把点I 标记为缩放中心．选择五边形KLNOM （边与顶点）及其内部，并单击【Transform 】菜单中的【Dilate 】，弹出对话框，单击【Dilate 】，如图3，得到一个小的五边形K L N O M '''''．选择它的内部，并单击【Measure 】菜单中的【Area 】，度量出它的面积， “面积21 1.70p cm ''=”．图3（20）类似地，也把凹九边形及其内部按同样的缩放比关于中心点J 缩放，度量缩放后的对象的面积“面积22 1.70p cm ''=”．（21）画线段,,,,KK LL NN OO MM '''''，作出一个五棱台．（22）画线段,,...XX YY ''，作出右边的凹九棱台．2．探究柱体的体积公式III.拓展爱国主义情感教育祖暅，祖冲之之子，同其父祖冲之一起圆满解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式。
祖暅原理与柱体锥体球体的体积
探究与发现:祖眶原理与柱体、锥体、球体的体积一、教材分析本节是必修2第一章的“探究与发现”内容，是在学生已经初步学习了柱体、锥体、球体的体积公式的基础之上对体积公式的由来的进一步探究，主要内容是用祖唯原理推导柱体、锥体、球体的体积公式；通过模型演示，利用祖瞄原理，推广到柱、锥、球体的体积计算.通过学习，使学生感受几何体体积的求解过程，初步了解空间几何体问题的思想方法，逐步提高解决空间几何体问题的能力.在推理的过程中，感受我国文化的魅力，通过数形结合导出柱、锥、球体的体积公式.这些过程正是培养和发展学生逻辑推理、数学直观、数学抽象、和数学建模等数学学科核心素养的重要过程.二、学情分析学生己经掌握了第一章的基础之上，对空间几何体具有一定的直观感知、操作确认、度量计算等方法.他们的思维正从经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的实物来理解抽象的逻辑关系.同事思维的严密性需要进一步加强.三、设计思路1、由祖随原理推导柱、锥、球的体积.其知识设计结构图如下:2、结合唐特工作室的雾误悟教学思想：博学・审问•明辨•笃行的教学设计路线.在本节课的教学中我努力实践以下两点：(1)在课堂活动中通过师生合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式.(2)在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，充分利用错误资源，力争在培养学生数学知识的同时让学生感受数学文化.（3）通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，培养学生主动学习、善于观察、灵活应用的能力.四、教学目标根据班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：（1）理解祖唯原理的含义，理解利用祖唯原理计算几何体体积的方法；（2）在用祖唾原理推导柱、锥、球体体积的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法；（3）通过介绍我国古代数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感,提高学习数学的兴趣.五、教学重难点教学重点：理解祖瞄原理的含义，以及柱体、锥体、球体的体积公式的探究;教学难点：运用祖瞄原理推导球的体积，学生探究能力的培养.六、教学方法雾误悟、探究式、启发式七、教学过程：（-）【博学情境】课题引入，提出问题数学在人类历史的发展中，有着重要的作用，扮演着重要的角色，可以毫不夸张地说：如果咱们的生活离开了数学，那么人类的历史将无法展开。
探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积
为什么能用祖暅原理
在西方，球体的体积计算方法虽然早已由希腊数学家 阿基米德发现，但“祖暅原理”是在独立研究的基础上得出 的，且比阿基米德的内容要丰富，涉及的问题要复杂。二 者有异曲同工之妙。这一原理主要应用于计算一些复杂几 何体的体积上面。
在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里 (Cavalieri.B,1589-1647)发现。于1635年出版的《连续不 可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为 "卡瓦列里原理"。其实，他的发现要比我国的祖暅晚 1100多年。
球是圆的旋转体，而椭圆、双曲线、 抛物线与圆同属于圆锥曲线，那么椭 圆、双曲线、抛物线绕其对称轴旋转 所得到的几何体，体积又如何求呢？
我们能不能将球的体积的推导方法 迁移到旋转椭球体，旋转双曲体和 旋转抛物体的求法中去？
祖暅原理运用
椭球的体积
将椭圆
x2 a2
y2 b2
1 绕y轴旋转一周所得到的几何体称之
双曲线有两条渐近线， 而椭圆与抛物线则没有。如 果我们从这一差异入手让两条渐近线也一同绕虚轴旋一周， 那么在α与β之间也就形成了一个圆锥体，这正是我们所 需的几何图模型。
祖暅原理运用
祖暅原理运用
评注：对于此问题的解决， 我们没有去构造两个几何体 使它们的体积相等，而是运 用了割补思想，创造性应用 了祖暅原理。在旋转单叶双 曲面问题中， 我们将基本经 验（圆柱体中挖出一个几何 体）进行了调整，将基本要 素：所求几何体、圆锥体、 圆柱体等进行了重组，扩展 了基本原理的适应范围，体 现了创造性思维。
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》教案_8
教学设计
观察并动手操作，发现规
律并总结。
重点要理解“任意平面所截,而且截面的面积都相等”这个关键条件。
小实验引入祖暅原理并介绍这位数学家和其他著名的数学家。
利用祖暅原理推导柱体的体积通过化归，自主探究，协助学生深入理解知识，提高认知水平。
利用祖暅原理推导锥体的体积。
关键要想到割补法（教师提示。
学生证明三个锥体体积相等）。
通过类比，自主探究，化归到柱体，从而推导出锥体的体积公式。
利用祖暅原理推导半球的
体积。
关键要想到挖去一个倒立的圆锥（教师提示）。
学生证明圆环的面积与半球的截面面积相等。
通过类比，自主探究，转化到圆柱和圆锥的组合体，从而推导出球体的体积公式。
1.介绍三个特殊的三棱锥
2.典型例子讲解独立思考完成简单的练习
但高考题可通过合作探究
解答，培养空间思维。
1掌握通过三棱锥体
积相等求点到平面的
距离是常用的方法。
2重视几何体外接球
是高考重要考点。
七、板书设计。
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课课件_6
思考 我们怎样求一个小球的体积？
排水 法
V V 球
排开水
H h
如何求地球的体积呢？
祖暅原理
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于 这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截 面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
幂势即同, 积不容异
思考:利用此原理如何得到球的体积公式?
高与底面半径均为R的旋转体体积对比
3
2
答：球O的体积为 3 a3.
2
D A
D1 A1
D A
D1 A1
C B
O C1
B1
C B O
C1
B1
深入探究
若正方体的棱长为a，则
a
3a
2a
D A
C
D
D
B
A
CA
B
D1 A1
C1 A1 B1
D1 B1
C1
D1
ห้องสมุดไป่ตู้
A1
C B
C1 B1
学以致用
已知地球的赤道长40075.24千米，能否求出 地球的体积？(假设地球是一个标准的球体）
3
球的体积计算公式：
V球
4
3
R3
实验
V半球 V圆柱 V圆锥
2 R3
3
结论
A
R
O
半径为R的球的体积是
V 4 R3
3
例题讲解
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的 直径，求球的体积与圆柱体积之比.
分析：球内切于圆柱
解：设球的半径为R
V球 V圆柱
4 R3
3
R2 2R
2 3
高中数学人教A版必修2第一章《探...
高中数学人教A版必修2第一章《探...
高中数学人教A版必修2第一章《探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课公开课教案教师资格证面
试试讲教案
1教学目标
(1)理解祖暅原理以及棱柱、棱锥、和棱台的体积公式的推导方法
(2)掌握棱柱、棱锥、棱台和球体的体积公式
(3)能够运用棱柱、棱锥、棱台和球体的体积公式解决相关问题
2学情分析
教学对象是高一基础较好的学生,学生运算能力强;具备一定的逻辑推理能力与类比、知识迁移的能力;具有一定的观察、分析、解决、归纳问题的能力;学生在初中已经学习了位似图形面积比与相似比的关系,学习了长方体、正方体的体积公式,在此基础上教师能够先采用实物演示的方式,引导学生发现归纳出祖暅原理,学生能够以祖暅原理与初中知识为工具进一步的推导出柱体、椎体、台体、球体的体积公式。
3重点难点
重点:祖暅原理以及棱柱、棱锥、棱台和球体的体积公式的推导方法
难点:对祖暅原理的理解及对棱柱、棱锥、棱台和球的体积公式的推导方法的理解
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】引入新课。
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课教案_2
《祖暅原理与球的体积》教学设计一、教材分析本节课的内容选自普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修2第一章第三节《球的体积和表面积》第一课时.球体作为一类特殊的旋转体，球的体积的推导过程充满了辩证法，处处体现立体图形与平面图形之间的对照、转换．本节课是学习球的体积的起始课，是在学习了柱体、锥体和台体的体积之后的又一重要内容，根据祖暅原理推出球的体积，也进一步巩固了等体积法在求空间几何体体积中的应用.从知识的应用价值来看，球的体积在生活和科学技术中有广泛的应用，体现了数学与生产和科学技术的紧密联系；在球的体积的推导中所蕴涵的数学思想方法如化曲为直、类比推理等在各种空间几何体的研究问题中都有着广泛的应用.从内容的人文价值来看，球的体积的推导需要学生分析、猜想、实验、计算，有助于培养学生的空间想象能力、逻辑思维和探究精神，是培养学生理性分析和数学能力的良好载体.二、学情分析高一学生在学习本节课内容之前，已经系统地学习了柱体和锥体的体积，并基本掌握祖暅原理在求几何体的体积上的应用，对等体积法有了初步的认识．通过空间几何体的结构特征的学习，学生已经对球体的性质有了一定的了解，具备一定的分析观察与逻辑推理能力,并有强烈的求知欲.三、教学目标1.知识与技能：1）观看几何画板的演示，理解球的体积与球的半径有关；2）类比柱体和锥体的体积公式的推导过程，探究球的体积公式；3）掌握两类基本的关于球的组合体计算问题，能根据已知条件分析组合体的结构特征，从而求出球的体积；2.过程与方法：1）实验探究球体的结构特征，提高观察及概括的能力；2）推导球体的体积公式，进一步渗透祖暅原理，提高观察、类比、分析、计算能力；3）对比两类组合体切、接问题，培养化曲为直、数形结合的思想.3.情感、态度与价值观：1）经历合作探究球的体积的过程，感受旋转体的和谐之美，激发学习兴趣，培养协作、交流能力；2）通过类比锥体、柱体得出球的体积，形成“用联系的观点看数学”的良好习惯；3）通过研究球的性质，培养学生善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度.四、教学重难点重点：球的体积公式的推导；难点：关于球的组合体的计算.五、教学策略选择与设计《球的体积》一课教学模式和策略设计旨在对素质教育如何落实在课堂教学的每一个环节上进行一些探索和研究.本课采用开放式课堂教学模式，以学生参与为主，教师启发、点拨的课堂教学策略.具体方法如下：1.讲授法：采用讲述、讲解和讲演结合的方式，引导学生发现并探索球的体积公式，对体积公式的推导进行细致分析与讲解.2.演示法：教师通过多媒体课件和几何画板展示，让学生从图形中直观感知球体的几何特征.3.练习法：通过及时提供相应例题，让学生学以致用，并在运用中加深理解，形成技能与技巧，培养了分析问题、解决问题的能力.六、教学资源与工具设计多媒体教室、几何画板演示课件、flash动画展示、PowerPoint幻灯片课件.【创设情境】观看图片，提出以下问题:【引导】生活中有很多球形的物体，怎样计算球的体积？教师展示生活中常见的球形的物体，启发学生思考如何计算球的体积，进而引出本节课要学习的内容“球的体积公式的推导”回顾祖暅【实验】取几个高与底面半径均为R 的旋转体体积对比，发现3331R V V V R ππ=<<=圆柱半球圆锥【猜想】圆锥圆柱半球V V R V -==332π通过几何画板展示动态图，引导学生分析几何体特征，进而抽象出平面图形，进一步证明猜想【问题】根据祖暅原理，我们如何构造模型？ 【步骤】1.给出如下几何模型：2.拿出圆锥和圆柱3.将圆锥倒立放入圆柱4.取出半球和新的几何体作它们的截面，截面图形分别为圆面和圆环.5.计算并比较两个截面的面积 【学生板演】 教师一步步引导学生思考如何构建模型如果截面和平面的距离为h ，那么圆面的半径22h R r -=，圆环面的大圆半径为R ，小圆半径为h ，因此 ()222h R r S -==ππ圆22h R S ππ-=圆环即圆环圆S S =根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即 R R R R V ⋅-⋅=223121ππ球【实验操作】 将圆锥和半球形容器装满蓝色液体，依次倒入圆柱形容器中【结论】圆锥圆柱半球V V V -=【公式】半径为R 的球的体积为 334R V π=将学生分为小组，每个小组自讨在课堂巡视各小组进度【例1】 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求球的体积与圆柱体积之比. 【学生解答】 分析：球内切于圆柱 解：设球的半径为R教师引导学生从分析组合体的特点，将立体图形化。
数学人教版高中一年级必修2 祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
教学的重点和难点
重点：引导学生运用祖暅原理推出柱体、 锥体、球体的体积公式。
难点：运用祖暅原理探究球体体积公式 时，构造“等积体”。理解数学中割补 思维方法 。
教材分析
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
二、学情分析
我校是省级重点中学，学生思维活跃， 知识面广，好奇心和求知欲强，乐于接受 挑战，但部分学生缺乏探究意识和钻研精 神。为适应学生这一特点，调动学生的学 习积极性，满足其学习愿望，本节课采用 以教师为引导，学生为主体的探究学习形 式。
1 2
V球
= R2
R
1
3
R2 R
=
2 3
R3
R 所以
V球 = 34
3
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
回顾小结
说说这节课你有什么收获 和体会？
设计意图
通过学生自 己谈体会谈 收获，发挥 了学生主体 作用。学生 对本节课思 路重新梳理， 进一步巩固
了知识
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
七、教学评价
2. 以感性、直观、突出重点为主，分层设置 问题，突破难点。
3.鼓励学生独立思考，引导学生自主探索、合 作交流。
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
一、创设情境 引入新课
1、把一叠摆放不整齐的作业本放在讲台上。
设计意图
设置问题
提问：你能求出这叠作业本的体积吗？ 情 境 ， 激 发
提问：能不能把这叠作业本摆放整齐 后再求其体积呢？
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
三、教材处理
根据新课程标准精神，教师可以 对教材进行恰当处理。依照认识规律， 我把本节探究内容调整至体积公式运 用之前，以帮助学生重建先探究再应 用的认知结构。
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课教案_0
探究与发现：祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积 一、教学目标1、知识与技能：理解祖暅原理的含义，了解用祖暅原理推导柱体、锥体、球体等几何体体积的方法；2、过程与方法：通过对祖暅原理的探究学习，体会由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法思想；利用模型演示，推导柱体、锥体、球体等几何体体积计算公式；3、情感态度与价值观：通过对祖暅以及祖暅原理的介绍，激发学生的民族自豪感，同时渗透数学文化，提高学生对数学的学习兴趣。
二、学情分析1、认知基础：学生前面已经认识了柱体、锥体、球体等简单几何体，并初步学习了体积公式；大部分学生对于公式仅停留在记忆的层面上，对公式的推导产生疑问和兴趣。
2、认知障碍：高一的学生刚刚接触立体几何，空间想象能力还较弱，不太善于利用空间图形的几何性质推导公式，尤其是球体的体积公式推导。
祖暅介绍三、教学重难点1、重点：祖暅原理以及柱体、球体体积公式的推导2、难点：球体体积公式的推导四、教学过程（一）复习回顾体积公式33431r V Sh V ShV π===球锥柱 提问：这些公式是怎么来的？【设计意图】回顾旧知，通过提问引起学生主动思考，带着疑问进入探究学习。
（二）探究新知活动1：学生自行阅读教材30-32页，初步了解祖暅原理以及公式的推导。
活动2：祖暅原理“幂势既同，则积不容异”①祖暅：祖冲之之子，南北朝时代的伟大科学家，在数学和天文学上都有杰出的贡献，提出祖暅原理，巧妙地解决了柱体、锥体、球体的体积计算。
②原理的含义：“幂”是面积，“势”即是高。
如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。
师：祖暅原理告诉我们什么呢？有没有同学用自己的话来说说看？（教师提问，学生代表说说自己对祖暅原理的理解）师：这几位同学都说得很好，没错，祖暅原理告诉我们，夹在两个平行平面之间的两个几何体，现在用平行于这两个平面的任意平面去截这两个几何体，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
人教版高一数学必修二《探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、》教案及教学反思
人教版高一数学必修二《探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、》教案及教学反思一、教案设计1.教学目标通过本节课的学习，学生将会： - 了解祖暅原理的定义及其在几何学中的应用。
- 能够使用三视图来描述柱体和椎体的形状特征。
- 熟练掌握柱体和椎体表面积及体积的计算公式，并能够在实际问题中进行运用。
2.教学重点•祖暅原理的定义及其在几何学中的应用。
•柱体和椎体的三视图的绘制。
•柱体和椎体表面积及体积的计算公式及其运用。
3.教学难点•祖暅原理的具体应用及解题方法的讲解。
•柱体和椎体三视图的绘制方法。
4.教学方法•综合授课法；•讲解与练习相结合；•学生合作探究；•图像识别和计算机模拟。
5.教学过程5.1引入新知识通过展示一组物品的照片，如水瓶、柱形饮料广告牌等，引导学生理解并初步掌握祖暅原理的概念和应用。
5.2学生合作探究将学生分成小组，分别探究柱体和椎体的概念、形状特征以及表面积和体积的计算公式。
每个小组将自己的发现、总结和计算结果展示给全班同学。
5.3知识总结和归纳在学生合作探究的基础上，全班共同总结柱体和椎体的概念、形状特征以及表面积和体积的计算公式。
并分享实际问题中的操作技巧和解题方法。
5.4练习训练和答疑解惑在进行了相关练习和实例演练后，学生将进行答疑解惑，讨论疑难问题，并针对性地进行深入讲解。
5.5作业布置老师将按照教学进度和学生的掌握情况，布置相关的作业。
学生可以在完成作业的过程中，进一步巩固所学知识。
二、教学反思1.教学效果评估通过调查问卷的形式，对本课程进行了评估。
调查结果表明，学生们在课堂上有了更好的理解和掌握柱体、椎体及其相关知识点。
此外，学生对于课堂上的分组探究、练习训练等教学方法都持有较高的认可度。
2.优点本节课的优点： - 突出了学生的主体地位，采用学生合作探究和练习训练的教学方法，营造了积极向上的教学氛围。
- 尝试了不同的教学形式，通过展示照片、小组讨论、实际问题演练等方式丰富了教学内容，激发了学生的兴趣和主动性。
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探究祖暅原理
教师：张现军 单位：巩义市市直高级中学
学习目标:
（1）能够利用祖暅原理求柱体和锥体的体积。 （2）能够利用祖暅原理求球体的体积。
祖暅的介绍：
祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭的 影响，尤其是父亲的影响，他从小热爱科对数学具有浓 厚的兴趣。祖冲之除了在计算圆周率方面的成就，还与 他的儿子祖暅一起，用巧妙的方法解决了柱体，锥体， 球体的体积计算。他们当时采用的原理，在西方被称为 “卡瓦列利”原理，但这是在祖氏父子以后一千多年才由 意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念祖氏父子的 这一伟大发现，数学上也称这个原理为“祖暅原理”。
人教版数学高一必修二第一章探究与 发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积
探究锥体的体积公式
问：一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？
C1
B1 C1
B1
A1
A1
C
BC
B
A
A
分成的每个锥体的体积有什么关系？说明理由。
锥体的体积
V锥体
1 3
S底h
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估计教学楼的高度、长度、宽度及墙 壁的厚度、窗户的大小等数据。体会 几何学在现实生活中的应用。
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人教版数学高一必修二第一章探究与 发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积
制作单位：巩义市市直高级中学 制作人员： 张现军 录制时间：2016年5月
•Leabharlann 4.夕阳将下，余晖照映湖面，金光璀 璨，不 可名状 。一是 苏州光 福的石 壁，也 是太湖 的一角 ，更见 得静止 处，已 不是空 阔浩渺 的光景 。而即 小见大 ，可以 使人有 更多的 推想.
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5.桃花源里景美人美，没有纷争。虽 然看似 一个似 有似无 ，亦真 亦幻的 所在， 但它是 陶渊明 心灵酿 出的一 杯美酒 ，是他 留给后 世美好 的向往.
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6.抓住课文中的主要内容和重点句子 ，引导 学生从 “摇花 乐”中 体会到 作者对 童年生 活的和 对家乡 的怀念 之情。
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7.桂花是没有区别的，问题是母亲不 是在用 嗅觉区 分桂花 ，而是 用情感 在体味 它们。 一亲一 疏，感 觉自然 就泾渭 分明了 。从中 ，我们 不难看 出，家 乡在母 亲心中 的分量 。
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2.许地山这样说，也是这样做的，他 长大后 埋头苦 干，默 默奉献 ，成为 著名的 教授和 作家， 他也因 此取了 个笔名 叫落花 生，这 就是他 笔名的 由来。
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3.在伟大庄严的教堂里，从彩色玻璃 窗透进 一股不 很明亮 的光线 ，沉重 的琴声 好像是 把人的 心都洗 淘了一 番似的 ，我感 到了我 自己的 渺小。
布置作业： 画出教学楼的三视图和直观图，
估计教学楼的高度、长度、宽度及墙 壁的厚度、窗户的大小等数据。体会 几何学在现实生活中的应用。
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布置作业： 画出教学楼的三视图和直观图，
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课堂小结： 知识方面：本节探究了利用祖暅原理获得了
柱体、锥体、球体的体积公式。 思维能力方面：体会到联想，类比，猜想
证明等合情推理及逻辑推理的 方法在探索新知识方面的重要 作用
小实验：将一叠作业本放在桌面上组成一个几何体，将它改变一 下形状，几何体的形状发生了改变，几何体的高发生改变了吗？ 几何体的体积发生改变了吗？说明理由！
祖暅原理
“幂势既同，则积不容异” “幂”是面积，“势”即是高。 意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的 截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。
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探究球体的体积
如图，设平行于大圆且与大圆的距离为l的平面
截半球所得圆面的半径为r，r= R2 l2
于是截面面积 S r2(R2l2)R2l2
则红色部分也可以看成是什么图形的面积？ 以看成是在半径为R的圆面上挖去一个半径为l的 同心圆所得圆环的面积。由此你能推导出半球的 体积吗？
V长方体 S底h
从而我们可以得到所有
柱体的体积是_V__柱 __体 ____S__底h
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如图，下面是底面积都等于S，高都等于 h的任意棱锥和圆锥，你能用祖暅 原理推导锥体的体积公式吗？
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1.边塞诗的作者大多一些有切身边塞 生活经 历和军 旅生活 体验的 作家， 以亲历 的见闻 来写作 ；另一 些诗人 用乐府 旧题来 进行翻 新创作 。于是 ，乡村 便改变 成了另 一种模 样。正 是由于 村民们 的到来 ，那些 山山岭 岭、沟 沟坪坪 便也同 时有了 名字， 成为村 民们最 朴素的 方位标 识.
简要介绍祖暅(gèng)原理，(教材P30） 祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面 (阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的 体积一定相等。
利用上述原理推导柱体和锥体的体积公式：
探究柱体的体积公式 如图，下面是底面积都等于S，，高都等于 h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅 原理推导柱体的体积公式吗？
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8.特点就是这件事物不同于其他的地 方，每 种物品 都有自 己明显 的特点 ，比如 外形、 用途等 ，所以 ，如果 要想让 自己的 物品与 众不同 ，就一 定要抓 住它的 特点。
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9.有的时候，我遇到的字只知道拼音 ，可不 知道它 的写法 ，我就 用音序 查字法 从字典 里寻出 它的芳 踪，有 时候看 到不会 读的字 ，我就 用部首 查字法 在字典 中找到 它的倩 影。