隔板法在解排列组合问题中的应用

隔板法在解排列组合问题中的应用

河南省三门峡市卢氏一高（472200）赵建文

隔板法又称隔墙法、插板法是处理名额分配、相同物体的分配等排列组合问题的重要方法，本文将将通过例题将这种方法作以介绍，供同学们学习时参考.

一、将n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题

例1将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？

分析：本题中的小球大小形状完全相同，故这些小球没有区别，问题等价于将小球分成三组，允许有若干组无元素，用隔板法.

解析：将20个小球分成三组需要两块隔板，将20个小球及两块隔板排成一排，两块隔板将小球分成三块，从左到右看成三个盒子应放的球数，每一种隔板与球的排法对应一种分法.将20个小球和2块隔板排成一排有22个位置，先从这22个位置中取出两个位置放隔

板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有222C 种不同的放法，再将小球

放入其他位置，由于小球与隔板都无差别，故小球之间无序，只有1种放法，根据分步计数

原理，共有222C ×1=231种不同的方法.

点评：对n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题,可以看成将这n 件物品分成m 组，允许若干组为空的问题.将n 件物品分成m 组，需要1m -块隔板，将这n 件物品和1m -块隔板排成一排，占1n m +-位置，从这1n m +-个位置中选1m -个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有11m n m C -+-种不同的方法，

再将物品放入其余位置，因物品相同无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种放法，根据分步计数原理，共有11m n m C -+-×1=11m n m C -+-种排法,因

1m -块隔板将n 件相同物品分成m 块，从左到右可以看成每人所得的物品数，每一种隔板与物品的

排法对应于一种分法，故有11m n m C -+-种分法.

二、将n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），每人（或位置）必须有物品问题

例2将20个优秀学生名额分给18个班，每班至少1个名额，有多少种不同的分配方法？

分析：本题是名额分配问题，用隔板法.

解析：将20个名额分配给18个班，每班至少1个名额，相当于将20个相同的小球分成18组，每组至少1个，将20个相同的小球分成18组，需要17块隔板，先将20个小球排成一排，因小球相同，故小球之间无顺序，是组合，只有1种排法，再在20个小球之间的19个空档中，选取17个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故

隔板有1719C 种不同的放法，根据分步计数原理，共有1719C 种不同的方法，因17块隔板将20个小球分成18组，从左到右可以看成每班所得的名额数，每一种隔板与小球的排法对应于

一种分法，故有11m n m C -+-种分法.

点评：：对n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），每个人（或位置）必须有

物品问题,可以看成将这n 件物品分成m 组，每组不空的问题.将n 件物品分成m 组，需要1m -块隔板，将这n 件物品排成一排，因物品无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种排法，再在这n 件物品之间的1n -空档中选取1m -个位置放隔板，占1n m +-位置，从这1n m +-个位置中选1m -个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组

合问题，故隔板有11m n C --种不同的放法，根据分步计数原理，共有1×11m n C --=11m n C --种不同排

法,因1m -块隔板将n 件相同物品分成m 块，从左到右可以看成每人所得的物品数，每一

种隔板与物品的排法对应于一种分法，故有11m n C --种分法.

对相同物品分配问题，注意某若干组能否为空，能为空和不能为不空，方法不同，要体会和掌握.