隔板法在解排列组合问题中的应用
专题十一：隔板法在解排列组合问题中的应用(同元分组问题)
隔板法在解排列组合问题中的应用隔板法又称隔墙法、插板法是处理名额分配、相同物体的分配等排列组合问题的重要方法，本文将将通过例题将这种方法作以介绍，供同学们学习时参考.一、将n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题例1将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？分析：本题中的小球大小形状完全相同，故这些小球没有区别，问题等价于将小球分成三组，允许有若干组无元素，用隔板法.解析：将20个小球分成三组需要两块隔板，将20个小球及两块隔板排成一排，两块隔板将小球分成三块，从左到右看成三个盒子应放的球数，每一种隔板与球的排法对应一种分法.将20个小球和2块隔板排成一排有22个位置，先从这22个位置中取出两个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有222C 种不同的放法，再将小球放入其他位置，由于小球与隔板都无差别，故小球之间无序，只有1种放法，根据分步计数原理，共有222C ×1=231种不同的方法.点评：对n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题,可以看成将这n 件物品分成m 组，允许若干组为空的问题.将n 件物品分成m 组，需要1m -块隔板，将这n 件物品和1m -块隔板排成一排，占1n m +-位置，从这1n m +-个位置中选1m -个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有11m n m C -+-种不同的方法，再将物品放入其余位置，因物品相同无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种放法，根据分步计数原理，共有11m n m C -+-×1=11m n m C -+-种排法,因1m -块隔板将n 件相同物品分成m 块，从左到右可以看成每人所得的物品数，每一种隔板与物品的排法对应于一种分法，故有11m n m C -+-种分法.二、将n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），每人（或位置）必须有物品问题例2将20个优秀学生名额分给18个班，每班至少1个名额，有多少种不同的分配方法？分析：本题是名额分配问题，用隔板法.解析：将20个名额分配给18个班，每班至少1个名额，相当于将20个相同的小球分成18组，每组至少1个，将20个相同的小球分成18组，需要17块隔板，先将20个小球排成一排，因小球相同，故小球之间无顺序，是组合，只有1种排法，再在20个小球之间的19个空档中，选取17个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有1719C 种不同的放法，根据分步计数原理，共有1719C 种不同的方法，因17块隔板将20个小球分成18组，从左到右可以看成每班所得的名额数，每一种隔板与小球的排法对应于一种分法，故有11m n m C -+-种分法.点评：：对n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），每个人（或位置）必须有物品问题,可以看成将这n 件物品分成m 组，每组不空的问题.将n 件物品分成m 组，需要1m -块隔板，将这n 件物品排成一排，因物品无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种排法，再在这n 件物品之间的1n -空档中选取1m -个位置放隔板，占1n m +-位置，从这1n m +-个位置中选1m -个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有11m n C --种不同的放法，根据分步计数原理，共有1×11m n C --=11m n C --种不同排法,因1m -块隔板将n 件相同物品分成m 块，从左到右可以看成每人所得的物品数，每一种隔板与物品的排法对应于一种分法，故有11m n C --种分法.对相同物品分配问题，注意某若干组能否为空，能为空和不能为不空，方法不同，要体会和掌握.。
拓展隔板法在高中数学解题中的应用
拓展隔板法在高中数学解题中的应用隔板法，即拓展隔板法，在高中数学解题中的应用十分广泛。
它是一种利用排列组合思想解决问题的方法，常被用于解决组合数学、排列组合、概率等问题。
隔板法的应用范围涉及数学、物理、化学等多个学科，其思想灵活、简单易懂，因而备受青睐。
本文将从隔板法的原理、应用及高中数学解题实例三个方面进行探讨，希望能为读者带来一些启发和帮助。
一、隔板法的原理所谓隔板法，是指在一列物体中插入一定数量的隔板，以便将这列物体分成多个子集。
在数学中，我们通常使用这一方法来解决排列组合问题。
具体来说，隔板法适用于以下两类问题：1. 将n个相同的物体分成m份，每份至少一个的分法。
其中第一类问题对应于排列问题，而第二类问题对应于组合问题。
接下来我们通过具体的实例来解释这两类问题的解决方法。
对于这类问题，我们可以设想有n个相同的物体和m-1个隔板，我们需要将这些物体放置在m个容器中。
我们可以将这些容器从左到右编号为1,2,...,m，其中第i个容器表示第i-1个和第i个隔板之间的物体数量。
那么问题就变成了，如何将n个相同的物体和m-1个隔板进行排列，使得满足每一个容器内至少有一个物体。
根据排列数的性质，我们可知，这个问题的解法个数为C(n+m-1, m-1)。
隔板法在高中数学解题中有着广泛的应用，尤其在排列组合和概率相关的问题中经常能见到。
下面我们通过几个典型的高中数学解题实例来说明隔板法的应用。
1. 高中生在选修课选课时，需要选择4门课程，学校提供了10门可供选择的课程。
请问一共有多少种不同的选课方案？这是一个典型的排列问题，也是一个非常简单的例子。
我们可以使用隔板法来解决这个问题。
这个问题可以看作是将10门可供选择的课程分成4份，每份至少一个的排列问题。
根据隔板法的原理，这个问题的解法个数为C(10+4-1, 4-1) = C(13, 3) = 286种。
2. 有4个红色的球、3个蓝色的球和2个绿色的球，现在需要从这些球中选择3个球，问一共有多少种不同的选择方案？通过以上实例的分析，我们可以看出，隔板法在解决高中数学排列组合问题中的应用非常广泛，而且思路和方法也非常简单。
排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用
排列组合中关于捆绑法、插空法、插隔板法的应用捆绑法：当要求某几个元素必须相邻（挨着）时，先将这几个元素看做一个整体，（比如：原来3个元素，整体考虑之后看成1个元素）然后将这个整体和其它元素进行考虑。
这时要注意：一般整体内部各元素如果在前后顺序上有区别的还需进行一定的顺序考虑。
插空法：当要求某几个元素必须不相邻（挨着）时，可先将其它元素排好，然后再将要求不相邻的元素根据题目要求插入到已排好的元素的空隙或两端位置。
插隔板法：指在解决若干相同元素分组，要求每组至少一个元素时，采用将比分组数目少1的隔板插入到元素中的一种解题策略。
题目特点：“若干相同元素分组”、“ 每组至少一个元素”。
例1：一张节目表上原有3个节目，如果保持这3个节目的相对顺序不变，再添进去2个新节目，有多少种安排方法？ A.20 B.12 C.6 D.4分两种情况考虑C=8种1、这两个新节目挨着，那么三个节目有4个空，又考虑到这两个节目的先后顺序共有2×14P=12种2、这两个节目不挨着，那么三个节目有4个空，这就相当于考虑两个数在4个位置的排列，由24综上得，共8+12=20种此题中使用了捆绑法和插空法。
例2：A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人不站一起，共有（）种站法。
A.120B.72C.48D.24插空法:我们来这样考虑，因A、B两人不站一起，故可考虑的位置C、D、E，C、D、E三个人站在那有P=12。
一共留出4个空，将A、B分别放入这4个空的不同的空中，那就是4个空中取2个空的全排列，即24P=6，综上，共有6*12=72种这样考虑了之后，还有一点就是C、D、E三个人也存在一个排列问题，即23例3：A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人必须站一起，共有（）种站法。
A.120B.72C.48D.24捆绑法：此题和上一题实质是一样的，我们来这样考虑，A、B两人既然必须站在一起，那么索性我们就把他P=24，又因为A、B两人虽然是站们看成一个人，那么我们就要考虑其和C、D、E共4个人的全排列，即44P=2，综上，共有48种。
拓展隔板法在高中数学解题中的应用
拓展隔板法在高中数学解题中的应用拓展隔板法是一种在高中数学解题中常用的方法。
它主要用于解决组合数学和概率问题，在排列组合、二项式定理、数列问题等方面有广泛的应用。
下面将详细介绍拓展隔板法在高中数学解题中的应用。
拓展隔板法用于排列组合问题中。
在求解排列组合问题时，常常需要将一组物品分成若干个部分。
将10个不同的球分成3组，每组至少有1个球，可以采用拓展隔板法。
我们可以在10个球之间插入2个隔板，即在1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这11个物品之间插入2个隔板，将这11个物品分成3组。
这样，在每两个隔板之间的物品即为一组。
该方法可以使排列组合问题更加直观、具体。
拓展隔板法也可以用于概率问题的解决。
在概率问题中，我们常常需要考虑某些事件出现的可能性。
在一次摸球中，从10个球中摸3个，其中红球、蓝球、绿球至少各有1个的情况数，可以采用拓展隔板法。
我们可以在10个球之间插入2个隔板，将其分成3个部分。
这样，每一部分的球数即为红球、蓝球、绿球的数量。
在计算可能性时，可以根据每个部分球的数量进行排列组合，最后相乘得到总的可能性。
拓展隔板法还可以用于解决数列问题。
在数列问题中，通常涉及到找规律、推导公式等，而拓展隔板法可以帮助我们把数列中的元素进行分类。
求解Fibonacci数列中第n个数的问题，可以采用拓展隔板法。
我们可以将Fibonacci数列的前n个数分类，将相同的数放在一组内，采用排列组合的思想求解每个组内的可能性，最后得到总的可能性。
这样，我们可以更好地理解数列中元素的分布规律，更快地推导出数列的通项公式。
拓展隔板法在高中数学解题中有着广泛的应用。
它可以帮助我们处理排列组合、概率、数列等问题，使解题更加直观、具体。
通过运用拓展隔板法，我们能够更好地理解和解决各种数学问题，提高解题的思维能力和技巧。
在高中数学学习中，熟练掌握和灵活运用拓展隔板法是十分重要的。
隔板法的应用
隔板法在解决排列组合问题中的应用（一）：问题提出：在解决排列组合问题时常常会遇到这样一类问题；例如：例1：某校高二年级有三个班级，现要从中选出五人组成篮球队，且规定每班至少有一人参加，则有多少种分配方案。
解（一）：用常规解法，分类；第一类：有一个班三人，其余两班各一人；共有13c 种方法；第二类：有两个班各两人，剩下一个班一人；共有23c 种方法；综上：共计13c +13c =6种方法。
解（二）：分析：此题就是把五个名额要分配到三个班中去，可以看作要把五个无差异的元素分成三组，那么只需将五个元素分隔开来即可，即就是从四个空中找出两个把五个元素分成三组即可。
共24c =6种方法。
例2：某校高二年级有10个班级，现要从中选出18人组成篮球队，且规定每班至少有一人参加，则有多少种分配方案。
分析：若用常规解法，分类则比较麻烦；若把此题看作要把18个无差异的元素分成10组，即就是从17个空中找出9个把18个元素分成10组即可。
解起来则比较简单。
解：共917c 种方法。
例3：有90枝玫瑰花，要分给10个人，每人至少一支，不同的方法有多少种。
分析：把此题看作要把90个无差异的元素分成10组，即就是从89个空中找出9个把90个元素分成10组即可。
解：共989c 种方法。
（二）：结论：我们可以看到，以上三个问题有一个共同特点：就是要把n 个无差异的元素分到m 个不同的组中去，要求（1） n ≥m ；（2） 每组至少分到一个元素；（3） 每组都不相同；这样的问题我们都能看作是：把n 个无差异的元素分成m 组，即就是从n-1个空中找出m-1个把m 个元素分成n 组即可。
就像在n-1个空中插入m-1个隔板把m 个元素分成了n 组。
共计11--m n c 方法； 我们把它形象的称为就是隔板法。
（三）：应用：例4：某公司有7个车队，每个车队至少4辆车，现从中抽出10辆，每个车队至少一辆组成运输队，则不同的方法有多少种。
分析：此题看作要把10个无差异的元素分成4组；（1）10≥4；（2）每组至少分到一个元素；（3）每组都不相同；解：方法总数为3c。
利用隔板法巧解排列组合问题四个方面
利用隔板法巧解排列组合问题（四个方面）隔板法就是在n 个元素间，插入()1b -个板，把n 个元素分成b 组的方法。
一、放球问题。
例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同的放法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。
由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有311C 种排法。
所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有311165C =种不同方法。
点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。
隔板的块数要比盒子数少1。
二、指标分配问题。
例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有多少种不同分法？解析：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，把10相同的名额分配到6个不同的班级，适合隔板法。
分两步。
第一步：6个班每班先分配1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的4个名额分配给6个班。
取615-=块相同隔板，连同4个相同名额排成一排，共9个位置。
由隔板法知，在9个位置中任取5个位置排上隔板，有59C 种排法。
由分步计数原理知：10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，共有59126C =种不同分法。
点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，所以适合隔板法。
三、求n 项展开式的项数。
例3、求()10125x x x +++L 展开式中共有多少项？解析：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、L 、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、L 、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x ()125i =L ，，，的每个盒子得到的小球数i k ()125i i k N =∈L ，，，，，记作i x 的i k 次方。
这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。
取514-=块相同隔板，连同10个相同的小球排成一排，共14个位置。
隔板法解决排列组合问题
隔板法解决排列组合问题Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，则如图00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有311C=165种。
（2）法1：（分类）①装入一个盒子有144C=种；②装入两个盒子，即12个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有2141166C C=种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32411C C=220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有311165C=种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。
法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有315455C =种。
（3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可以装在1个盒子或两个盒子，共有124410C C +=种。
隔板法排列组合题目
隔板法排列组合题目排列组合是数学中的一个重要概念，通过排列和组合运算，可以计算出不同元素间的全排列和部分排列数量。
其中，隔板法是一种常用的求解排列组合问题的方法。
本文将通过一个具体的题目，介绍隔板法的应用。
一、题目描述及要求假设有一堆相同的小球，现在要将这些小球分成若干组，每组中小球的数量可以不同。
要求：1. 求出将 n 个小球分成 k 组的方法数量；2. 每组中至少有一个小球。
二、隔板法的应用隔板法是一种解决将对象划分成多个部分的方法。
对于题目中的要求，我们可以使用隔板法进行求解。
思路如下：1. 假设有 n 个小球和 k-1 个隔板，将 n 个小球和 k-1 个隔板排成一排；2. 每个小球都可以选择在哪个隔板前放置，而每个隔板将小球分为一组；3. 每个隔板前放置的小球数量就是该组的小球数量。
三、计算方法根据隔板法的思路，我们可以通过计算小球和隔板的排列组合数量来求解题目。
1. 小球和隔板一共有 n+k-1 个位置，其中 n 个位置放置小球，k-1 个位置放置隔板；2. 我们只需要确定放置小球的位置，即可确定每个隔板前的小球数量；3. 可以使用组合数学中的排列组合公式计算，即 C(n+k-1, n)。
四、题目求解按照上述计算方法，我们可以得出将 n 个小球分成 k 组的方法数量为 C(n+k-1, n)。
其中，C(m, n) 表示从 m 个元素中选择 n 个元素的组合数。
接下来，以一个具体的例子来进行求解。
假设有 6 个小球，要将其分成 3 组。
根据上述计算公式，我们有：C(n+k-1, n) = C(6+3-1, 6) = C(8, 6) = 28。
因此，将 6 个小球分成 3 组的方法数量为 28。
五、总结通过隔板法的应用，我们可以轻松求解排列组合问题，特别是将对象划分成多个部分的情况。
我们可以使用排列组合公式计算出将 n 个小球分成 k 组的方法数量，进而解决具体的问题。
隔板法不仅可以应用于数学领域，也可以在实际问题求解中发挥巨大的作用。
“隔板法”
“隔板法”解决排列组合问题排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
所谓隔板法，就是把隔板当成元素，再从元素里选隔板就行例1、（1）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问不同放法有多少种？（2）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？（3）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？解：（1）本题需要3个隔板，把3个隔板当成3个元素，共15个元素，再从15个元素里选取3个隔板，共有C 153 =455 种（2）首先一个盒子放一小球，还剩8个小球，把8个小球放4个盒子需3个隔板，把3个隔板当成3个元素共11个元素，最后从11个元素里选3个隔板就行了，共有C113 =165 种。
（3）先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2 个小球，2个小球装在4个盒子里需3个隔板，3个隔板看成3个元素，共5个元素，最后从5个元素里选出3个隔板就行了，共有C53=10种913111例 2、（ 1）方程 x 1x 2 x 3 x 4 10 的正整数解有多少组？(2) 方程 x 1x 2 x 3 x 4 10 的非负整数解有多少组？（ 3）方程2x 1 x 2 x 3x 10 3 的非负整数整数解有多少组？解：（ 1）转化为 10 个相同的小球装入4 个不同的盒子， 每盒至少装一个， 有 C 384 种，所以该方程有 84 组正整数解。
（ 2）转化为 10 个相同的小球装入 4 个不同的盒子， 可以有空盒， 先给每个小盒装一个，进而转化为 14 个相同的小球装入4 个不同的盒子， 每盒至少装一个， 有 C3286 种， 所以该方程有 286 组非负整数整数解。
排列组合中的分组分配问题的有效解法
排列组合中的分组分配问题的有效解法排列组合中的分组分配问题是数学中一个非常重要的问题，也是在实际生活中经常遇到的问题。
该问题主要涉及到将一组物品分配到若干个组中，或者将一组人员分配到不同的团队中。
解决这类问题通常需要使用排列组合的知识和技巧。
下面我们将介绍一些有效的解法，希望可以帮助您更好地解决这类问题。
一、隔板法隔板法是经典的排列组合问题解法之一，它在解决分组分配问题中非常实用。
这种方法的核心思想是在待分配的物品之间插入隔板，将物品分成若干组。
具体步骤如下：1. 确定分组数目：首先需要确定待分配的物品要分成几组，这取决于具体问题的要求。
2. 插入隔板：接下来，在待分配的物品之间插入隔板，每个隔板代表一个组的结束。
设共有n个物品和m-1个组隔板，那么总共有n+m-1个位置可以插入隔板。
其中一个特殊的情况是可以将物品和组隔板看作一共有n+m个位置中选择n个位置插入物品，这进一步转化成排列组合问题。
3. 解决问题：确定好每个物品的位置，将其分配到不同的组中即可得到分组分配问题的解。
二、多重集的分组分配多重集是集合的一个扩展，它包含了元素的重复出现次数。
在分组分配问题中，有时候待分配的物品会包含相同的元素，这时候就需要使用多重集的知识和技巧来解决问题。
多重集的分组分配通常需要使用生成函数、递推关系式等工具来求解。
具体步骤如下：1. 确定多重集：首先需要将待分配的物品表示成一个多重集，其中包含了元素的类型和重复出现次数。
通常可以使用集合的形式来表示多重集，例如{a, a, b, c, c, c}表示了元素a出现2次，b出现1次，c出现3次。
2. 利用生成函数求解：多重集的分组分配问题通常可以转化成生成函数的形式来求解，其中生成函数是一个形式化的表达式，它包含了待分配的物品的信息。
利用生成函数的性质和技巧，可以快速得到分组分配问题的解。
3. 使用递推关系式求解：对于一些复杂的多重集分组分配问题，可以使用递推关系式来求解。
数学运算必会考点：隔板法
数学运算必会考点：隔板法今天来给各位同学介绍一下，公务员考试中行测数学运算必会考点：隔板法。
隔板法也叫作插板法，主要解决排列组合问题中的相同元素分配问题。
一、隔板法何时用三大必要条件：1.分配元素相同；2.分配对象不同；3.每个分配对象至少分一个。
如果题目满足以上三个条件，我们就可以用隔板法解题啦。
【例题】4张相同的煎饼，分配给张三、李四两个人，每个人至少一张煎饼，一共有多少种分法？A2 B3 C4 D5分析：题干明显满足三个必要条件。
1.分配元素相同：4张相同的煎饼。
2.分配对象不同：张三、李四两个不同的人。
3.每个分配对象至少分一个：每人至少分一个。
二、隔板法怎么用隔板法三步走：1.有几个位置可以放板；2.需要隔成几部分；3.需要放几块板。
刚刚我们已经分析【例题】可以用隔板法解决，接下来我们研究一下，具体怎么应用隔板法。
如果我们不用隔板法，仅仅用排练组合的列举法，其实我们也能够得到此题正确答案。
无非是三种情况，分别是：张三1张，李四3张；张三2张，李四2张；张三3张，李四1张。
但是如果情况变复杂一些，我们通过列举法就很难操作了，比如100张相同的煎饼，分给张三、李四、王五、孙六，每个人至少一个。
此时我们再用列举，大家可以想象到复杂程度有多大。
但是用隔板法，我们就能很容易解决这个问题。
假设四张煎饼如图所示，排成一排：●●●●我们想把煎饼分给两个人，其实本质上是把四张煎饼分成了两部分，而且每个部分至少一个，那么如何实现这个目标，我们可以在任意两张饼中间放一块木板，把四张煎饼隔成两部分。
假设木板放在1和2中间，那么对应就是：张三1张，李四3张；假设木板放在2和3中间，那么对应就是：张三2张，李四2张；假设木板放在3和4中间，那么对应就是：张三3张，李四1张。
由此可见，其实所有的方法数，又可以由木板不同的位置表现出来，因此我们可以把题目转化为这样几个问题：1.有几个位置可以放板；2.需要隔成几部分；3.需要放几块板。
关于隔板法的原理及应用
关于隔板法的原理和应用一：原理隔板法是一种排列组合中的一种解题应用模型，是将“实际分配问题”或较复杂的数学“球盒问题”转化为“球板模型”的一种重要方式。
其中用球代表相同元素，用板所隔出的几个部分代表相应的分配集合，也就是“球”。
通过隔板的不同插入方式，得到不同的分配结果。
这里需注意的是，既然是插隔板，那么每个空只能插一个，即两个隔板间至少一个元素。
（而板的插入方式则可由简单的计数原理插空法计算得出）二：应用（为方便叙述，以下以球盒模型进行分析）●应用条件必须是相同元素分配到不同集合的相关问题，即’同球异盒’问题。
具体说，主要有两种。
一种是“每盒至少一个球”，另一种是“允许有盒子是空的”，前者较为常见相对简单，是隔板法最原始的原理体现。
下面分别介绍。
●模型应用➢每盒至少有一个元素➢允许有盒子空此时实际已经超出原始隔板法的研究范围，但仍可通过转化，化为隔板法能解决的问题。
●解题应用1.求正整数范围内的不定方程解得组数。
例：在正整数范围内方程X＋Y＋Z＝5有几组解。
解析：由于在正整数范围，则可联系到计数原理，转化为：将5个球分给X,Y,Z这三个“盒”。
即转化为了上述的例一的球盒模型问题。
✧拓展：若是a＋b＋c＋3d＋3e＋4f＝23该怎么解（提示：合并同系项，分类讨论后结合隔板法解）2.求有关盒序号问题。
例：将18个相同的球全部装入编号分别为1,2，3的三个盒子中，要求每个盒子的球数不少于其编号数，则有几种不同装法？解析：由于球是相同的，可将1,2,3中先分别放入0,1,2个球，转化为，每个盒至少一个球的隔板法模型来解，即有14空插2板，91种。
（也可先放1,2,3个球，用“允许盒空”模型解）。
隔板法”解决排列组合问题
“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解，下面通过典型例子加以解决。
例1、（1） 12个相同的小球放入编号为1, 2, 3, 4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？（2）12个相同的小球放入编号为1, 2, 3, 4的盒子中，问不同放法有多少种？（3）12个相同的小球放入编号为1, 2, 3, 4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？解：（1 ）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选岀3个，放上“隔板”，若把“1”，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有Cn3 =165种。
（2）法1：（分类）①装入一个盒子有C41 4种；②装入两个盒子，即12个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有CrCn166种；③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有C43C H2 =220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有Cu3 165种；由加法原理得共有4+66+220+165=455种。
法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有C153 4 5 5种。
（3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可以装在1个盒子或两个盒子，共有C41C4210种。
法2：先给每个盒子装上比编号小1的小球，还剩6个小球，则转化为将6个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有C5310由上面的例题可以看出法2要比法1简单，即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。
解排列组合问题的利器之一：“隔板法”
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例３ ２ ０个相同的小球放入 编号为 １ 、 、 号 ２号 ３号的三 个盒子里 ， 要求每个 盒 内的球数 不小 于盒 子 的编 号数 ， 问有
多少种放法 ？ 解 析 ： 放 入 １号 、 设 ２号 、 ３号 的 三 个 盒 子 里 的球 的 个 数
两端 ）７个空 隙中选 出 ３个分别 插入 ３个“＋” ８个 １ ， ， 被分
成 ４组 ， 每种插入方 法对 应着 方程 的一 个解 ， 方程正 整数 此
解的个数为 Ｃ ＝ ５ ； ３．
例 ２ 把 ８个 相 同 的 篮 球 任 意 分 给 甲 、 、 、 四 所 学 乙 丙 丁 校 ， 多少 种 不 同 的 分 法 ？ 有
分另 为 ｌ ２ ， Ｕ ， ，３
分法．
校， 每所学 校至少一个 ， 多少种不 同的分法 ？ 有 解析 ： 可把 ８个相同 的篮球排 成一列 ， ０ ０ ０ ０ ８ 即 ０ ０ ０ ０， 个篮球 中间有 ７个空隙 （ 不包括两端 ） 用 ３个隔板分别插 在 ，
７个 空 隙 中 ， ８个 篮 球 分 成 ４组 ， 如 ０ １０ １ １ ０依 次 把 例 ００ ０００ 分 配 给 甲 乙 丙 丁 四所 学 校 的 篮 球 数 为 ２ ３ １２ 所 以 每 一 种 、、、，
排列组合问题中的定序问题和隔板法
排列组合问题中的定序问题和隔板法
定序问题和隔板法是排列组合中常见的两个概念。
1. 定序问题：在排列组合中，如果考虑元素的顺序，则称为定序问题。
对于n个元素进行排列，其中元素的顺序不同，结果也是不同的。
例如，从4个元素中选择2个元素进行排列，可以得到12种不同的结果，因为存在不同的顺序。
2. 隔板法：隔板法是一种用于解决组合问题的方法。
在隔板法中，我们可以将问题转化为将n个元素分成k个组的问题。
假设有n个元素和k个隔板，我们可以将n个元素插入k个隔板之间的空隙中，从而将n个元素分成k个组。
例如，如果有10个球和3个隔板，我们可以将10个球分成3组，每组的球数不同。
使用隔板法，我们可以计算出不同分组的可能数。
在排列组合问题中，我们经常需要综合考虑定序问题和隔板法来解决实际问题。
定序问题考虑元素的顺序，而隔板法则考虑将元素分组的方式。
通过综合运用这两个概念，我们可以解决更复杂的组合问题。
隔板拓展法在高中数学排列组合问题中的应用
隔板拓展法在高中数学排列组合问题中的应用发布时间：2022-04-29T09:09:46.350Z 来源：《教学与研究》2022年第1期1月作者：刘合明[导读] 为提升高中生的数学综合能力，本文主要针对高中数学排列组合相关内容展开研究刘合明河北省廊坊市文安县第一中学 065800摘要：为提升高中生的数学综合能力，本文主要针对高中数学排列组合相关内容展开研究，以期在提升学生解题能力的同时，使学生以最高效的速度完成习题的解答。
排列组合相关内容的学习具体从隔板拓展法主要应用原理中展开，采用有传统隔板法的应用实践工作完成基础教学，并在此部分内容的基础上进行复杂性佩列组合知识内容学习，进而逐渐掌握该种思维方式，为之后数学逻辑思维的建立打牢基础。
关键词：隔板托战法；高中数学；排列组合问题前言：高中数学作为学生数学能力提升的最重要阶段，其各部分教学内容都需要重视，数学思维建设的重要性获得了各方的关注。
因此，为提升学生的解题能力及技巧，隔板法的教学及应用就成了教学中重点研究的内容。
该种教学方法对于不相邻组合问题以及追加排列问题的解决来说，能够以替代的形式完成辅助教学工作，学生在习题不断变化的情况下，解题能力、思维能力、解题精准度都随之提升。
一、隔板拓展法的主要应用原理隔板拓展法是排列组合中的一种思维方式，也是最常见的一种应用模型，主要学习目的就是为了提升学生的分配能力、以球盒问题展开分析，通过限制条件减少，变量增多的形式，提升题目的复杂性，完成“球板模型”的转化[1]。
其中球为同一类元素，利用隔板将不通透各区域进行分割，可以完成区域的分配集合。
此中需要注意的内容为，若采用插隔板，那么每个空只能插一个，即两个隔板之间至少要有一个元素。
二、传统隔板法的应用隔板法作为一种解题思路，主要针对一类排列组合习题知识展开，该种习题的解题方法主要在高中的排列组合内容学习中得以应用，学生通过实践学习掌握该种思维方式，并在之后的解题环节展开中，将这种解析思维融入自己脑中[2]。
拓展隔板法在高中数学解题中的应用
拓展隔板法在高中数学解题中的应用隔板法，又称为“插纸法”、“画线法”、“插缝法”等，是一种解决数学问题的方法，常用于解决排列、组合、概率等问题。
隔板法的应用广泛，尤其在高中数学解题中，能够帮助学生更好地理解和解决各种复杂的问题。
本文将围绕隔板法在高中数学解题中的应用进行介绍和讨论。
我们来看看隔板法在排列组合问题中的应用。
排列组合是高中数学中一个重要的概念，而隔板法在解决排列组合问题中有着很大的优势。
有5个球和3个盒子，问每个盒子至少有1个球的放法有多少种？我们可以使用隔板法来解决这个问题。
我们可以先在5个球之间插入2个隔板，这样就形成了3个区间，每个区间代表一个盒子，隔板的位置就代表了球的分配情况。
这样一来，我们就可以很容易地计算出符合条件的放法的种数。
在概率问题中，隔板法同样有着广泛的应用。
有10个球，其中有3个标有“A”，5个标有“B”，2个标有“C”，问从这些球中任取6个，其中至少有2个“A”的概率是多少？我们同样可以使用隔板法来解决这个问题。
我们在10个球中插入2个隔板，这样就形成了3个区间，分别对应取到“A”的球的个数，取到“B”的球的个数以及取到“C”的球的个数。
这样一来，我们就可以很容易地计算出概率。
除了排列组合和概率问题，隔板法在解决其他类型的数学问题中同样有着重要的应用。
在解决整数分解问题中，隔板法可以帮助学生更容易地理解整数分解的原理，从而更好地解决问题。
在解决质因数分解问题中，隔板法同样有着很大的帮助。
隔板法在高中数学解题中的应用不仅仅局限于排列组合和概率问题，还可以泛化到其他类型的数学问题中。
隔板法的应用不仅仅是帮助学生更好地理解数学问题，更重要的是，它能够培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
通过隔板法的应用，学生可以更加直观地理解数学问题的本质，从而更好地解决问题。
隔板法的应用也能够帮助学生锻炼自己的逻辑思维能力，培养学生的思维方式和解决问题的方法。
隔板法的应用在高中数学教学中有着非常重要的意义。
拓展隔板法在高中数学解题中的应用
拓展隔板法在高中数学解题中的应用拓展隔板法是一种在高中数学解题中经常用到的方法，它可以帮助学生更好地理解和解决各种数学问题。
在学习数学的过程中，很多同学都会发现数学问题中有时会用到一种分割的方法来解决问题，这就是拓展隔板法。
在各种数学问题中，尤其是组合数学和概率统计等领域，拓展隔板法都有着极其广泛的应用，能够帮助学生更好地理解和解决问题。
本文将重点介绍拓展隔板法在高中数学解题中的应用，希望可以帮助同学们更好地掌握这一方法。
拓展隔板法又称作“隔板法”、“分隔法”、“区隔法”等，它是一种用来解决排列组合问题的数学方法。
这种方法利用“隔板”的概念，将一些带有特定排列顺序的对象进行分隔从而使其变成两段或多段，从而进一步简化问题。
最常见的应用是在组合数学中的排列组合问题，比如求解排列、组合、二项式定理等。
在概率统计中也常常会用到拓展隔板法，比如求解一些离散型随机变量的期望、方差等。
在高中数学中，拓展隔板法的应用可以涉及到很多内容，比如排列组合、数列、概率统计等。
下面将以具体的例子，介绍拓展隔板法在高中数学解题中的应用。
【例题1】有8个相同的苹果和5个相同的香蕉，把它们放在托盘上，问一共有多少种不同的放法？解析：这是一个典型的排列问题，我们可以使用拓展隔板法来解决。
我们将托盘看成一个盒子，其中8个苹果和5个香蕉排成一个序列。
我们将这些水果看成小球，在它们之间放上“隔板”，将它们分成两个段，分别代表苹果和香蕉。
这样，我们就得到了一个有13个物品的序列，其中有8个相同的苹果和5个相同的香蕉。
按照排列的原则，我们可以通过计算13个位置中选出8个位置来摆放苹果，剩下的位置自然就是香蕉的位置。
答案就是\binom{13}{8}=1287，共有1287种不同的放法。
【例题2】将10本不同的书放在3个人身边的桌子上，每个人手边最多可以放3本书，问一共有多少种不同的放法？通过上面这两个例子，我们可以看到拓展隔板法在解决排列组合问题中的威力。
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隔板法在解排列组合问题中的应用
河南省三门峡市卢氏一高（472200）赵建文
隔板法又称隔墙法、插板法是处理名额分配、相同物体的分配等排列组合问题的重要方法，本文将将通过例题将这种方法作以介绍，供同学们学习时参考.
一、将n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题
例1将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？
分析：本题中的小球大小形状完全相同，故这些小球没有区别，问题等价于将小球分成三组，允许有若干组无元素，用隔板法.
解析：将20个小球分成三组需要两块隔板，将20个小球及两块隔板排成一排，两块隔板将小球分成三块，从左到右看成三个盒子应放的球数，每一种隔板与球的排法对应一种分法.将20个小球和2块隔板排成一排有22个位置，先从这22个位置中取出两个位置放隔
板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有222C 种不同的放法，再将小球
放入其他位置，由于小球与隔板都无差别，故小球之间无序，只有1种放法，根据分步计数
原理，共有222C ×1=231种不同的方法.
点评：对n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题,可以看成将这n 件物品分成m 组，允许若干组为空的问题.将n 件物品分成m 组，需要1m -块隔板，将这n 件物品和1m -块隔板排成一排，占1n m +-位置，从这1n m +-个位置中选1m -个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有11m n m C -+-种不同的方法，
再将物品放入其余位置，因物品相同无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种放法，根据分步计数原理，共有11m n m C -+-×1=11m n m C -+-种排法,因
1m -块隔板将n 件相同物品分成m 块，从左到右可以看成每人所得的物品数，每一种隔板与物品的
排法对应于一种分法，故有11m n m C -+-种分法.
二、将n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），每人（或位置）必须有物品问题
例2将20个优秀学生名额分给18个班，每班至少1个名额，有多少种不同的分配方法？
分析：本题是名额分配问题，用隔板法.
解析：将20个名额分配给18个班，每班至少1个名额，相当于将20个相同的小球分成18组，每组至少1个，将20个相同的小球分成18组，需要17块隔板，先将20个小球排成一排，因小球相同，故小球之间无顺序，是组合，只有1种排法，再在20个小球之间的19个空档中，选取17个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故
隔板有1719C 种不同的放法，根据分步计数原理，共有1719C 种不同的方法，因17块隔板将20个小球分成18组，从左到右可以看成每班所得的名额数，每一种隔板与小球的排法对应于
一种分法，故有11m n m C -+-种分法.
点评：：对n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），每个人（或位置）必须有
物品问题,可以看成将这n 件物品分成m 组，每组不空的问题.将n 件物品分成m 组，需要1m -块隔板，将这n 件物品排成一排，因物品无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种排法，再在这n 件物品之间的1n -空档中选取1m -个位置放隔板，占1n m +-位置，从这1n m +-个位置中选1m -个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组
合问题，故隔板有11m n C --种不同的放法，根据分步计数原理，共有1×11m n C --=11m n C --种不同排
法,因1m -块隔板将n 件相同物品分成m 块，从左到右可以看成每人所得的物品数，每一
种隔板与物品的排法对应于一种分法，故有11m n C --种分法.
对相同物品分配问题，注意某若干组能否为空，能为空和不能为不空，方法不同，要体会和掌握.。