热传导方程和定解条件
第一章 三类典型方程和定解条件
a 其中，ij (x), bi (x), c x , f (x)都只是 x1 , x2, , xm 的已知 函数，与未知函数无关。
若一个函数具有某偏微分方程中所需 要的各阶连续偏导数，并且代入该方程中 能使它变成恒等式，则此函数称为该方程 的解（古典解）。 初始条件和边界条件都称为定解条件。 把某个偏微分方程和相应的定解条件 结合在一起，就构成了一个定解问题。 只有初始条件，没有边界条件的定解问题 称为始值问题（或柯西问题）。反之，只 有边界条件，没有初始条件的定解问题称 为边值问题。既有初始条件又有边界条件 的定解问题，称为混合问题。
数学物理方程
第一章 三类典型方程和定解条件 第二章 分离变量法 第三章 Laplace方程的格林函数法
第四章 贝塞尔函数及勒让德多项式
第一章 三类典型方程和定解条件
数学物理方程的研究对象——定解问题。 一个定解问题是由偏微分方程和相应的定解 条件组成。我们先来介绍三类典型的方程：
三类典型方程
一、波动方程 二、热传导方程
用以说明初始状态的条件称为初始条件。 用以说明边界上的约束情况的条件称为边 界条件。
一、初始条件
比如说波动方程（1.3）其初始条件有两 个，一个是参数u，一个是u的一阶导数。 即： u u t 0 及 都已知。 t
t 0
而热传导方程（1.7）其初始条件只有一 个，就是参数u。即：
Байду номын сангаасu t 0 是已知。
一个定解问题提的是否符合实际情况，从 数学角度来看，有三方面可以加以检验：
1、解的存在性，看定解问题是否有解。
2、解的唯一性，看是否只有一个解。
3、解的稳定性，看当定解条件有微小
变动时，解是否相应地只有微小的变 动，若确实如此，则称此解是稳定的。
热传导方程
热传导方程引言热传导方程是描述物质内部温度分布随时间演变的一种偏微分方程。
它广泛应用于热传导领域，如材料科学、工程热学、地球科学等。
热传导方程描述了热量在物质内部的传递方式，是研究热传导过程和温度场分布的重要工具。
热传导方程的一维形式考虑物质在一维情况下的热传导，热传导方程可以写作：∂u/∂t = α * ∂²u/∂x²其中，u为物质内部的温度，t为时间，x为空间坐标，α为热扩散系数。
热传导方程的二维形式对于二维的情况，假设热传导方程适用于平面内任意点，可以写作：∂u/∂t = α * (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)其中，u为物质内部的温度，t为时间，x和y为平面内的空间坐标，α为热扩散系数。
热传导方程的三维形式在三维情况下，热传导方程可以写作：∂u/∂t = α * (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²)其中，u为物质内部的温度，t为时间，x、y和z为空间坐标，α为热扩散系数。
定解条件为了求解热传导方程，需要给定一些定解条件。
常见的定解条件有：•初始条件：指定初始时刻的温度分布，即u(x, y, z, 0)，其中u是温度，x、y和z分别是空间坐标，0表示初始时刻。
•边界条件：指定物体表面的温度或热流密度。
常见的边界条件有：第一类边界条件（温度指定），即u(x, y, z, t) = g(x, y, z, t)；第二类边界条件（热流密度指定），即-k * ∂u/∂n = q(x, y, z, t)，其中k为导热系数，n为法向量，q为热流密度。
热传导方程的数值解热传导方程是一个偏微分方程，通常无法得到解析解。
因此，需要借助数值计算方法来求解。
常见的数值方法有有限差分法、有限元法和边界元法等。
在有限差分法中，可以将空间离散为若干个网格点，时间离散为若干个时间步长。
热传导方程的导出及其定解问题的导出
热传导方程的导出及其定解问题的导出1. 热传导方程的导出考察空间某物体G 的热传导问题。
以函数u (x ,y ,z ,t )表示物体G 在位置(x ,y ,z )及时刻t 的温度。
依据传热学中的Fourier 实验定律，物体在无穷小时段dt 内沿法线方向n 流过一个无穷小面积dS 的热量dQ 与物体温度沿曲面dS 法线方向的方向导数学成正比，即o n d udQ =-k (x ,y ,z )dSdt (1-1)o n 其中k (x ,y ,z )称为物体在点(x ,y ,z )处的热传导系数，它应取正值。
(1-1)式中负号的出 o u现是由于热量总是从温度高的一侧流向低的一侧，因此dQ 应和异号。
o n在物体G 内任取一闭曲面r ，它所包围的区域记为0，由(1-1)式，从时刻t 到t 流进12此闭曲面的全部热量为Q =f t 2仙k (x ,y ,z)—dS\dt (1-2)4I r O nJ这里表示u沿r 上单位外法线方向n 的方向导数。
o n流入的热量使物体内部的温度发生变化，在实践间隔(t ,t )中物体温度从u (x ,y ,z ,t )121变化到u (x‘y ,z ,t2)，它所应该吸收的热量是JU c (x ,y ,z )P (x ,y ,z )[u (x ,y ,z ,t )一u (x ,y ,z ,t )]dxdydz其中c 为比热，P 为密度。
因此就成立 >dt=JfJ C (x ,y ,z )P (x，y ,z)[u (x,y ,z ,12)一U (x ,y ,z ,t i )]dxdydz(1-3)假设函数u 关于变量x ,y ,z 具有二阶连续偏导数，关于t 具有一阶连续偏导数，利用格林公式，可以把(1-3)化为交换积分次序，就得到J t t 12仰(x ，y ,z )护t10O x{k 譽'O x 丿(一O u 、 +—k 二+—°y°y 丿 O z (O u 、k 一>dxdydzdt =c P JI o 丿J 「E O u dtdxdydztO t 丿dxdydzdt =0(1-4)训c P '0、由于t i,t2,0都是任意的，我们得到(1-5)式称为非均匀的各向同性体得热传导方程。
大学物理-热传导方程的定解问题
在各向同性的介质中，热流强度 q 与温度的负梯度成正比， 即
(k：热传导系数)
|q|：单位时间垂直通过等温面单位面积的热量，即 q 的方向：等温面的法线方向 (由高温指向低温) 定律的物理意义：q 正比于温度的下降率 单位时间内流入 / 流出 V 的热量为
单位时间内热源在 V 中释放 / 吸收的热量为
单位时间内，V 中介质温度升高/降低所需/放出的热量为
能量守恒定律：Q3 = Q1 + Q2 则 由 V 的任意性，得到
若介质均匀，即 k 为常量，有来自定义：，因此得到
当 V 内无热源，即 f = 0，故有
二、扩散方程 1. 扩散现象：当空间各点浓度分布不均匀时，就有粒子
从高浓度处流向低浓度处。(浓度：单位体 积中的粒子数) 2. 方程的推导 设：空间中任一小体积 V，其边界面为 S
粒子源强度：F (x, y, z, t) ——单位时间，单位体积 内产生的粒子数
求：空间各点粒子浓度 u(x, y, z, t) 的方程 V 内粒子数增加的来源：扩散 + 粒子源
扩散浓度：N ——单位时间通过垂直于 v (粒子定向运动速 度) 的单位面积的粒子数 N=uv，方向：v 的方向
对于扩散现象，有斐克定律： 扩散强度与浓度的负梯度成正比，即 D：扩散系数
扩散导致 V 内粒子增加的数量：
粒子源 V 粒子增加的数量： 内粒子数总的增加数：
因粒子数守恒，有 由 V 的任意性，得到 若 D 为常量，且设 D = a2，则
若 V 内无粒子源，即 F = 0，因而
总结：热传导：热量的传递；扩散：粒子的运动，两 者物理本质不同，但满足同一微分方程。
热传导方程的热传输的边值问题
热传导方程的热传输的边值问题一、引言热传导方程是描述热能传输的偏微分方程。
在热传输的研究中，边值问题是一个关键的问题，因为通过边界的能量交换是决定热平衡的主要因素。
本文将着重探讨热传导方程的边界问题，包括定解问题、第一类边值问题、第二类边值问题和第三类边值问题等。
二、定解问题热传导方程的定解问题需同时确定初始条件和边界条件。
通常初始条件是物体初始的温度分布，而边界条件则是物体与外界的热交换方式。
其中边界条件的选择对于解的质量有着至关重要的作用。
我们将从第一类边值问题开始探讨。
三、第一类边值问题第一类边值问题也称为Dirichlet边值问题，它的边界条件为固定的温度分布。
在第一类边值问题的研究中，需要根据温度场的分布确定物体内部的热流分布，以及物体与环境之间的热通量。
Dirichlet边值问题的一个典型应用是研究物体表面温度的分布，对于特定的材料和结构，可以通过先前的实验数据来确定温度的分布。
四、第二类边值问题第二类边值问题也称为Neumann边值问题，它的边界条件为固定的热流密度。
在第二类边值问题的研究中，需要根据热流密度的分布确定物体内部的温度分布，以及物体与环境之间的热通量。
通常情况下，第二类边值问题用于研究物体表面的热通量分布。
五、第三类边值问题第三类边值问题也称为Robin边值问题，它的边界条件为固定的温度和热流密度的线性组合。
在第三类边值问题的研究中，需要根据温度和热流密度的线性关系来确定物体内部的温度分布，以及物体与环境之间的热通量。
Robin边值问题具有较广泛的应用，例如许多机械工程中的冷却问题就可以归类为第三类边值问题。
六、总结本文主要探讨了热传导方程的边值问题，包括了定解问题、第一类边值问题、第二类边值问题以及第三类边值问题等。
在实际的工程应用中，热传导方程是研究热传输问题的基础，而针对不同的物理场景和问题，不同类型的边值问题也需要采取不同的求解方法。
对于工程领域中的热传输问题，深入地研究热传导方程的边值问题具有非常重要的意义。
热传导方程热传导方程的导出及其定解条件
(1.9)
二、扩散方程
在研究分子扩散过程中也会遇到类似的方程。例如气体的扩散，液体的渗透，半
导体材料中的杂质扩散等。下面，我们来建立所考察介质扩散过程所满足的偏微分方
程。
由于扩散方程和热传导方程的导出极为类似，我们不重复这一过程。只要将扩散
过程所满足的物理规律与热传导过程所满足的物理规律作个类比，扩散方程就不难写
本章中的讨论仅限于对一个空间变量的方程进行，对于多个空间变量的情形， 可 以 进 行 类 似 的 讨 论 ， 有 兴 趣 的 读 者 可 以 参 看F. John编 著 的 《Partial Differential Equations》, Springer-Verlag, 1982.
§ 1. 热传导方程的导出及其定解条件
出。
在 推 导 热 传 导 方 程 的 过 程 中 起 基 本 作 用 的 是Fourier定 律 与 热 量 守 恒 定 律 ， 即 方
程(1.1)与方程(1.3)式。在考虑扩散过程时，我们碰到的是相应的扩散定律与质量守恒
定律，即
dm
=
−γ(x,
y,
z)
∂U ∂n
dS
dt,
(1.10)
t2 t1
S
由于t1，t2与区域Ω都是任意的，于是
νρ
∂u ∂t
=
∂ ∂x
k
∂u ∂x
+
∂ ∂y
k
∂u ∂y
+
∂ ∂z
k
∂u ∂z
.
(1.4) (1.5)
(1.5)式称为非均匀的各向同性介质的:热:::传::导:::方::程:::。如果介质是均匀的，此时k ，ν 及ρ均 为常数，记k/νρ = c2，即得
热传导中的傅立叶热传导定律和热传导方程
热传导中的傅立叶热传导定律和热传导方程热传导是物体中热能由高温区域向低温区域传递的过程。
为了准确描述热传导现象，在热力学中引入了傅立叶热传导定律和热传导方程。
本文将详细介绍这两个概念，帮助读者更好地理解热传导的基本原理和数学描述。
一、傅立叶热传导定律傅立叶热传导定律是基于傅立叶分析的理论，用于描述物体内部热传导的规律。
根据傅立叶热传导定律，热流密度（q）正比于温度梯度（▽T）的负方向，即：q = -k▽T其中，q表示热流密度，单位为瓦特/平方米（W/m²），表示单位时间内通过单位面积传输的热量；k表示热导率，单位为瓦特/米·开尔文（W/m·K），表示物质导热能力的大小；▽T表示温度梯度，单位为开尔文/米（K/m），表示单位长度内温度的变化量。
根据傅立叶热传导定律，热流由高温区域到低温区域，且热流密度的大小与温度梯度成正比。
如果物体温度均匀分布，即温度梯度为零，那么热流密度也为零，即没有热传导现象发生。
二、热传导方程热传导方程是描述热传导过程的偏微分方程，通过时间和空间导数描述了热量在物体内部的传递规律。
一维空间中的热传导方程可以表达为：∂u/∂t = α∂²u/∂x²其中，u(x,t)表示温度场，即温度随着时间和空间变化的函数；α表示热扩散系数，单位为米²/秒（m²/s），表示热量在物体内部传递的速率。
热传导方程的解得到了温度场随时间和位置的变化规律，通过求解热传导方程，可以预测物体内部温度的变化情况。
根据不同的边界条件和初值条件，可以得到具体问题的解析解或数值解。
三、热传导现象的应用热传导现象在日常生活中有着广泛的应用。
首先，热传导是制冷和加热技术的基础，如空调、冰箱、电磁炉等设备的工作原理都与热传导密切相关。
其次，热传导定律和热传导方程在工程领域中应用广泛，如热传导材料的选择、热传导的优化设计等方面。
另外，热传导也在科学研究中起着重要的作用。
第7章 热传导
5. 二维、三维非稳态导热
1. 薄壁物体非稳态导热 ----集总热容法 ( lumped capacity method ) 薄壁——当物体内部的导热热阻比物体与环境
的对流热阻小的很多时，可归结为薄壁物体的导热 问题。
集总热容法——当物体体积不大，而导热系
数又比较大，认为物体内部的温度在任意时刻都是均 匀的，好像该物体原来连续分布的质量和热容量汇 总到一点，因而只有一个温度值，这种分析法称为 总集热容法。
第一类边界条件（记为B.C.I）
直接给出边界上（任意时刻）的数值。
传热 传质
T TS
A AS
第二类边界条件（记为B.C.II）
给出边界上的导数值（梯度值、通量值）
传热 传质
q ys
T k y
S
j Ays D AB
A y
S
T 0 如某一端面(L)绝热，则可具体写为 q k x x l T 如温度分布中心对称(x =0)，则写为 x 0 0 x
初始条件（I.C.）
反映研究对象的特定历史条件。 追溯了在某个初始时刻的状态。
边界条件（B.C.）
反映所研究对象是处于怎样的特定环境。 环境通过体系的边界将如何影响所研究的对象。
下面以传热为例写出相应的初始条件和边界条件。
1）初始条件
给定某时刻物体内的温度或浓度分布，写为：
传热 传质 传热 传质
三、非稳态导热
在工程问题中，需要知道当物体表面的热状态
发生变化时，物体内给定的温度变化到某一确 定值需要的时间，这也是非稳态导热问题。
在本节将着重讨论薄壁、无限大物体、厚
壁物体 非稳态导热中的 温度分布及求解 方法。
数学物理方程课后参考答案第二章
第 二 章 热 传 导 方 程§1 热传导方程及其定解问题的提1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律dsdt u u k dQ )(11-= 又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。
解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。
记杆的截面面积42l π为S 。
由假设，在任意时刻t 到t t ∆+内流入截面坐标为x 到x x ∆+一小段细杆的热量为t x s xuk t s x u k t s x u k dQ x x x x ∆∆∂∂=∆∂∂-∆∂∂=∆+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。
由假设，在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+一小段中产生的热量为()()t x s u u lkt x l u u k dQ ∆∆--=∆∆--=111124π又在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+这一小段内由于温度变化所需的热量为()()[]t x s tuc x s t x u t t x u c dQ t ∆∆∂∂=∆-∆+=ρρ,,3由热量守恒原理得：()t x s u u lk t x s x uk t x s t u c x t ∆∆--∆∆∂∂=∆∆∂∂11224ρ消去t x s ∆∆，再令0→∆x ，0→∆t 得精确的关系：()11224u u l kxu k t u c --∂∂=∂∂ρ或 ()()11222112244u u l c k xu a u u l c k x u c k t u --∂∂=--∂∂=∂∂ρρρ 其中 ρc k a =22. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。
解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt nuDdM ∂∂-=，其中D 为扩散系数，得 ⎰⎰⎰∂∂=21t t sdsdt nuDM 浓度由u 变到2u 所需之溶质为()()[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ∂∂=∂∂=-=2121121,,,,,,t t tt dvdt t uC dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M两者应该相等，由奥、高公式得：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ∂∂==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=21211t t t t dvdt t uC M dvdt z uD z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。
导热微分方程的定解条件
导热微分方程的定解条件
1 导热微分方程
导热微分方程是一类重要的热传导方程，它在描述热物质物理概念和理论建模研究过程中起着重要作用。
导热微分方程是以温度场作为暂时变量，以热流密度和导热系数作为参数的一类偏微分方程，其数学形式如下：
∂u/∂t= K·∆u
其中，u代表温度，t代表时间，K为导热系数（就是由材料、温度等因素决定的热流的系数）。
2 演绎定解条件
定解条件是求解微分方程的一种求解方式，即在给定的初始/边界条件下，将微分方程求解为常数解。
对于导热微分方程，首先我们要先确定该方程的初始/边界条件，然后令微分方程中的时间变量t=0，把各变量带入到方程中，求出该时刻的初始值u0，并且根据初值确定方程的数值解。
有了数值解，就可以将温度场的温度T0曲线，时间变量t曲线图作出来，对实际热传导状况进行可视化。
此外，我们还可以将初值带入微分方程，求出该方程的解析解
u(t)，根据解析解，我们可以求出t时刻的温度场温度T，然后把它们
代入解析解，得到一组关于t的等式，画出t时刻温度场的温度T（t）图，显示出导热微分方程的解析解的特性。
最后，求解导热微分方程的定解条件就是确定初始/边界条件后，
将微分方程中的变量求值后，得出方程的数值/解析解，从而求出温度
曲线的结果。
数学物理方程复习
数学物理方程复习一．三类方程及定解问题（一）方程1.波动方程（双曲型）Utt = a2Uxx+f; 0<x<l,t>0U(0,t)= Φ1（t）;U(l,t)= Φ2（t）;U(x,0)= Ψ1（x）;Ut (x,0)=Ψ2（x）。
2.热传导方程（抛物型）Ut = a2Uxx+f; 0<x<l,t>0U(0,t)= Φ1（t）;U(l,t)= Φ2（t）;U(x,0)= Ψ1（x）.3.稳态方程（椭圆型）Uxx +Uyy=f; 0<x<a;0<y<b;t>0.U(0,x)= Φ1（x）;U(b,x)= Φ2（x）;U(y,0)= Ψ1（y）;Ut (y,a)=Ψ2（y）。
（二）解题的步骤1.建立数学模型，写出方程及定解条件2.解方程3.解的实定性问题（检验）（三）写方程的定解条件1.微元法：物理定理2.定解条件：初始条件及边界条件（四）解方程的方法1.分离变量法（有界区域内）2.行波法（针对波动方程，无界区域内）3.积分变换法（Fourier变换Laplace变换）Fourier变换:针对整个空间奇：正弦变换偶：余弦变换Laplace变换：针对半空间4.Green函数及基本解法5.Bessel函数及Legendre函数法例一：在弦的横震动问题中，若弦受到一与速度成正比的阻尼，试导出弦阻尼振动方程。
解：建立如图所示的直角坐标系，设位移函数为U（x,t）,取任意一小段△x进行受力分析，由题设，单位弦所受阻力为b U t（b为常数），在振动过程中有△x所受纵向力为：（T2COSa2-T1COSa1）横向力为：（T2SINa2-T1SINa1-b U t(x+n△x））(0<n<1). T2,T1为△x弦两端所受的张力，又因为弦做横振动而无纵振动，由牛顿定律有T2COSa2-T1COSa1=0，T2SINa2-T1SINa1-b(x+n△x)U t=p U tt(x+n△x)△x在小的振动下SINa1≈TANa1=Ux(x,t), SINa2≈TANa2=Ux(x+△x,t),COSa2≈COSa1≈1,T=T1=T2.(ρ是密度)即(T/ρ)[ Ux (x+△x,t)- Ux(x,t)]/ △x-(b/ρ) U t(x+n△x，t)即令△x→0时有：U tt+ aU t=a2U xx例二：设扩散物质的源强（即单位时间内单位体积所产生的扩散物质）为F （x,y,z,t），试导出扩散方程。
3热传导方程(扩散方程)
u
g ( x , y , z , t ),
( x, y, z ) ,
t 0,
(1.8)
特别地：g ( x , y , z , t ) 0 时，物体表面保持恒温。
2、第二边界条件 （ Neumann 边界条件）
u k n
g ( x , y , z , t ),
定义2 在区域 R 3 [0, ) 上，由偏微分方程和初 始条件组成的定解问题称为初值问题或柯西问题。 例如三维热传导方程的初值问题为：
2 3 u a ( u u u ) f ( x , y , z , t ), ( x , y , z , t ) R , t 0, t xx yy zz 3 u ( x , y , z , t ) | ( x , y , z ), ( x , y , z , t ) R . t 0
准备知识
2. *通量与散度 设向量场 A ( P, Q, R ), P, Q, R, 在域G 内有一阶 连续 偏导数, 则 向量场通过有向曲面 的通量为
A n d S
( n 为 的单位法向量）
G 内任意点处的散度为 P Q R div A A x y z
(1.6)
通常称（1.5）为非齐次的热传导方程，而称（1.6） 为齐次热传导方程。
二、定解条件（初始条件和边界条件） 初始条件：
u( x , y , z , t ) ( x , y , z ), ( x , y , z ) G , t 0 : (1.7)
边界条件：( G )
例如三维热传导方程的第一初边值问题为：
复习第二章导热过程的传热学原理与导热微分方程
15
第四节 简化假设与实际问题的模型化
③液固态金属的热物性均为常数，即不随温度而变。 ④铸型材料的热物性值亦取为常数。 ⑤常不考虑金属铸型界面气隙的存在，或以简化的综合换热系数
第五节 凝固潜热的处理
（2）非平衡凝固条件下二元合金的固相率与温度的关系 考虑固相无扩散，液相溶质均匀分布。 则由夏尔（Sheil）方程：
C LC 0[1fs(T)k]01
又C0 Tm TL CL Tm T
fs(T)1(TTm mTTL)k011
21
第五节 凝固潜热的处理
由上述两种 fs (T ) 的表达式可知，f s (T ) 是温
上述分类目的是从数学上便于求解方程组，实际 上物体边界的传热现象是多种多样的。
10
第三节 导热过程的定解条件/边界条件
4、辐射换热边界条件
针对铸件的凝固过程，要考虑辐射换热边界条件和 铸件/铸型界面边界条件的处理。
q( T n)w (Tw 4Tf4)
(热辐射量定 E义 T4)
Tw物体表面T温 f 已 度知 ，环境温度
波尔兹曼常数， 辐射系数，是物 光体 洁表 度面 函数
11
第三节 导热过程的定解条件/边界条件
针对上式进行线性化处理，得：
q( T n)whr(TwTf)
式中h， r (Tw2Tf2)(TwTf ),称为辐射换热系数
实际导热问题，可能同时存在对流和辐射换热，其 边界条件为：
q( T n)w(h ch r)T (w T f)
2、第二类边界条件
给定边界上的热流密度，即：
热传导方程(扩散方程)
为 u1(x, y, z, t)，它与物体表面的温度u(x, y, z, t)并不
相同。这给出了第三边界条件的提法。
热传导 从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比：
试验定 律或牛
dQ k1(u u1)dSdt,
(1.11)
顿定律 其中比例常数 k1 0 称为热交换系数
例如三维热传导方程的第一初边值问题为：
ut
a2 (uxx
uyy
uzz )
f (x, y, z, t),
(x, y, z,t) ,
u( x, y, z, t) |t0 ( x, y, z), ( x, y, z, t) ,
u |(x, y,z) g( x, y, z, t), t 0.
特别地：g(x, y, z, t) 0 时，物体表面保持恒温。
2、第二边界条件 （ Neumann 边界条件）
注：
u k n g( x, y, z, t), ( x, y, z) ,
t 0, (1.9)
特别地：g(x, y, z, t) 0 时，表示物体绝热。
u 表示 u 沿边界 上的单位外法线方向 n 的方向导数
程：
u t
a2
2u x2
.
(1.12)
而对于薄片的热传导，可得二维热传导方程：
u t
a
2
(
2u x 2
2u y2 ).
(1.13)
3 拉普拉斯方程
当我们研究物理中的各类现象，如振动、热传导、
扩散等的稳定过程时，由于表达该物理过程的物
理量 不随u 时间变化而变化，因此
u. 0
t
如果我们考虑的是一个稳定的热场，则可以得到
热传导方程的求解
热传导方程的求解热传导方程是描述热传导的基本方程，它可以用来解决各种热传导问题。
本文将介绍热传导方程的求解方法和一些应用。
一、热传导方程的基本形式热传导方程是一个偏微分方程，它描述了物质内部的热传导过程。
在一维情况下，热传导方程的一般形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$其中，$u(x,t)$是温度场分布，$t$是时间，$x$是空间坐标，$k$是导热系数。
在二维和三维情况下，热传导方程的形式稍有不同，但都可以用相似的方法求解。
下面将介绍热传导方程的求解方法。
二、热传导方程的解法解决热传导方程的数值方法有许多，如有限差分法、有限元法、边界元法等。
在本文中，我们将介绍最基础的解法——分离变量法。
1、一维情况对于一维情况，我们可以假设$u(x,t)$可以表示为下面的形式：$$u(x, t) = X(x) \cdot T(t)$$将上式代入热传导方程中，得到：$$\frac{1}{k}\frac{T'(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda$$其中，$\lambda$是常数。
由此得到两个方程：$$X''(x) +\lambda X(x)=0$$$$T'(t) + \lambda k T(t) = 0$$第一个方程的通解为$X(x)=A\sin(\sqrt{\lambda}x)+B\cos(\sqrt{\lambda}x)$，其中$A$和$B$为常数。
第二个方程的通解为$T(t)=Ce^{-\lambda kt}$，其中$C$为常数。
将两个通解联立起来，得到：$$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} [ A_n \sin(\sqrt{\lambda_n}x) +B_n \cos(\sqrt{\lambda_n}x)] e^{-\lambda_n kt} $$其中，$\lambda_n$是第$n$个特征值，$A_n$和$B_n$是对应的系数。
温度场传输方程及定解条件的求解方法研究
温度场传输方程及定解条件的求解方法研究热传导是自然界中常见的一种热量传递方式，其具有重要的理论和应用价值。
在很多现代工业领域中，如材料加工、熔炼、焊接、注塑、电子散热等，热传导的研究与应用都是必不可少的工作。
热传导问题的研究建立在热传导的基本方程式上，其中最基本的方程式就是温度场传输方程。
本文主要探讨温度场传输方程及定解条件的求解方法研究。
一、温度场传输方程的基本理论温度场传输方程是描述物体内部温度分布随时间变化的方程。
它的基本形式可以表示为：∂T/∂t - α ∇²T = q其中，T表示温度，t表示时间，α表示热传导系数，∇²表示拉普拉斯算子，q表示热源项。
在一些情况下，比如固定边界条件下的热传导问题，T的变化只与时间有关，因此，温度场传输方程可以简化为：∂T/∂t - α ∇²T = 0二、求解温度场传输方程的方法1. 分离变量法利用分离变量法可以将温度场传输方程简化为一系列常微分方程，从而容易求解。
具体地，假设温度场T有一个可分离变量的解，即：T(x,y,z,t) = X(x)Y(y)Z(z)T(t)带入温度场传输方程，可以得到以下结果：X''/X + Y''/Y + Z''/Z + λ = γT/T其中，λ和γ是常数。
由于每个部分只与自己对应的坐标有关，因此可以把它们看作是互相独立的问题。
接着，利用定解条件求解每个常微分方程，最后组合在一起得到温度场的解。
2. 有限差分法有限差分法是利用网格点函数逼近微分方程的一种数值方法。
将连续的物理空间离散化为网格，利用差分近似代替微分，继而求解差分方程。
对于温度场传输方程，可利用有限差分法求解。
具体地，将温度场的各个变量在网格上离散化，然后利用差分公式近似替代微分项，从而得到离散方程。
接着利用初值和边界条件求解出网格点的温度。
三、定解条件的求解方法定解条件是温度场传输方程求解的必要条件。
传热学概念复习解析
1.传热学是研究由温差引起的热量传递规律的科学。
2.热传递分为稳定热传递（温度不随时间的变化热变化）和不稳定热传递（温度随时间的变化热变化）3.热传导: 它是不同温度的物体之间通过直接接触或同一物体不同温度的各部分之间，当没有宏观相对位移时,由分子原子电子等微观粒子的热运动来传递热量的过程。
热对流: 它是物体间不同温度的各部分之间由流体微团宏观相对唯一来传递热量的过程热辐射: 由于热的原因而向外发出辐射的过程。
4.对流换热过程；运动着的流体与固体壁面之间的热传递过程5.传热过程：热量从壁面一侧流体传给壁面另一侧流体的过程6.综合换热：对流换热和辐射换热同时存在的过程7.温度场:温度场是各时刻物体中各点温度分布的总称。
8.温度场按物体中个点的温度是否随时间变化分为非稳态温度场（随时间变化）和稳态温度场（不随时间变化）9.等温面：温度场中，同意瞬间温度相等的点连成的面成为等温面。
等温线等温面与任意平面的交线为等温线。
注：等温线是不可能相交的，它只能是封闭曲线或者终止于物体的边界线上。
10.导温系数α也称为热扩散系数或热扩散率，它象征着物体在被加热或冷却是其内部各点温度趋于均匀一致的能力。
Α大的物体被加热时，各处温度能较快的趋于一致。
11.肋片效率：实际的肋片换热量/整个肋片壁面的温度等于肋根温度时的换热量。
速度边界层：现定义贴近壁面的具有明显速度梯度的那一层流体为速度边界层。
12.热边界层：定义贴近壁面的具有明显温度梯度的那一层流体为热边界层。
13.定型尺寸：应该选择对换热系数影响最大的尺寸作为定型尺寸。
14.定型温度的选择：确定流体物性的温度，从而把物性当作常量处理。
15.凝结：工质由气态变为液态的过程叫凝结。
17、膜状凝结：如果能够湿润，他就在壁面上形成一层液膜，并受重力作用而向下流动，称为膜状凝结。
18、珠状凝结：这些滚入的液珠冲掉了沿途所有的液珠，于是蒸汽又在这些裸露的冷壁面重新凝结，在凝结核心处形成小液珠，这称之为珠状液珠。
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如果所考察的物体内部没有热源, 由于热量守恒,
Q2 Q1
c[u(x, y, z,t2 ) u(x, y, z,t1)]dv
[t2
t1
k u dS]dt n
4
先对 Q1 进行变形
Q1
t2 [
t1
k u dS]dt, n
Q1
[t2
t1
k 为常数， n 为曲面 dS 沿热流方向的法线.
2
dQ k(x, y, z) u dSdt, n
为了导出温度 u 所满足的方程, 在物体G内任取
一闭曲面 , 它所包围的区域记作 , 则从时刻 t1
到时刻 t2 经过曲面 流入区域 的热量为
Q1
t2 [
t1
k u dS]dt, n
其中 u 表示 u 对曲面的外法向导数.
已知物体表面上各点的热流量 q, 也就是说在
单位时间内流过单位面积的热量是已知的，
由傅里叶实验定律可知
q
k
u n
|S
,
u n |S f2 (x, y, z,t),
其中 f2 (x, y, z,t) q / k 是定义在边界曲面S，且
t 0 上的已知函数.
特别地，如果物体表面上各点的热流量为0,
电流,或有化学反应等情况), 设热源密度(单位时
间内单位体积所产生的热量)为 F(x, y, z,t),
则在时间间隔 (t1,t2 ) 中区域 内所产生的热量为
Q3
Hale Waihona Puke t2 (t1F(x, y, z,t)dv)dt.
同样由于热量要平衡,
c[u(x, y, z,t2) u(x, y, z,t1)]dv
其中 (x, y, z) 为已知函数。 1、第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet）
设所考察的物体G的边界曲面为S，已知物
表面体温度函数为 f1(x, y, z, t), 即
u(x, y, z,t) |S f1(x, y, z,t), (x, y, z) S.
10
2、第二类边界条件（诺伊曼Neumann）
u 0 或 2u 0.
12
2.泊松方程(非齐次的拉普拉斯方程)
1.2 热传导方程与定解条件
热传导现象： 如果空间某物体G内各处的温度 不同，则热量就从温度较高的点处向温度较 低的点流动。
一、下面先从物理G内的热传导问题出发来导出 热传导方程。
为此，我们用函数 u(x, y, z,t) 表示物体G
在位置 (x, y, z) 处及时刻 t 的温度。
1
热的传播按傅立叶（Fourier）实验定律进行：
n
u u cos u cos u cos .
n x
y
z
3
流入的热量使区域 内部的温度发生变化, 在时间间隔 (t1,t2 ) 中物理温度从 u(x, y, z,t1) 变化到 u(x, y, z,t2) 所需要的热量为
Q2 c(x, y, z)(x, y, z)[u(x, y, z,t2) u(x, y, z,t1)]dv,
物体在无穷小时段 dt 内流过一个无穷小面积
dS 的热量 dQ 与物体温度沿曲面 dS 法线方向 的方向导数 u 成正比，而热流方向与温度升高的
n
方向相反，即
dQ k(x, y, z) u dSdt, n
其中 k(x, y, z) 称为物体在点 (x, y, z) 处的热传导 系数，为正值. 当物体为均匀且各向同性时，
t x x y y z z
u t
a
2
(
2u x 2
2u y 2
2u z2 )
f
(x,
y, z,t).
其中 f (x, y, z,t) F(x, y, z,t) / c.
非齐次热传 导方程
相对应的一维、二维热传导方程可 类似写出。
9
二、定解条件
初始条件：表示初始时刻物体内温度的分布情况
u(x, y, z,t) |t0 (x, y, z),
[t2 k u dS]dt t2 ( F(x, y, z,t)dv)dt.
t1 n
t1
8
{t2 [c u (k u ) (k u ) (k u )]dv}dt
t1
t x x y y z z
t2 ( F(x, y, z,t)dv)dt.
t1
c u (k u ) (k u ) (k u ) F(x, y, z,t).
是连续的,于是得
c u (k u ) (k u ) (k u ).
t x x y y z z
上式称为非均匀的各向同性体的热传导方程.
如果物体是均匀的,此时 k,c, 为常数, 记
k / c a2, 则得
u t
a
2
(
2u x 2
2u y 2
2u z 2 ).
齐次热传导 方程
7
如果所考察的物体内部有热源(例如物体中通有
(t2 c udv)dt
t1
t
{t2 [ (k u ) (k u ) (k u )]dv}dt
t1 x x y y z z
移项即得 6
{t2 [c u (k u ) (k u ) (k u )]dv}dt 0.
t1
t x x y y z z
由于 t1,t2 与区域 都是任意取的,并且被积函数
5
而 Q2 可化为 （利用牛顿-莱布尼兹公式）
Q2 c[u(x, y, z,t2) u(x, y, z,t1)]dv
c( t2 udt)dv
t1 t
因此由
t2 (
t1
c udv)dt,
t
c[u(x, y, z,t2 ) u(x, y, z,t1)]dv
[t2
t1
k u dS]dt n
k(u cos u cos u cos )dS]dt.
x
y
z
利用奥-高(Gauss)公式
(
P x
Q y
R z
)dv
(P
cos
Q
cos
R
cos
)dS
设函数 u 关于变量 x, y, z 具有二阶连续偏导数,
关于变量 t 具有一阶连续偏导数, Q1 可化为
Q1
{t2
t1
[ (k u ) (k u ) (k u )]dv}dt; x x y y z z
则相应的边界条件为
u n
|S
0.
绝热性边界条 件
11
1.3 拉普拉斯方程与定解条件
拉普拉斯方程描述的是稳定状态下物理量的 分布规律.
1.三维拉普拉斯(Laplace)方程 (调和方程)
2u x 2
2u y 2
2u z 2
0
(1)
凡具有二阶连续偏导数并满足方程(1)的连 续函数为调和函数.
方程(1)通常表示成