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02张量分析

02张量分析

1.矢量场的旋度 令 a aP 是位置矢量P的矢量值函数,于是 aP 的左旋度 curla 定义为
Tik ek x i
divTk
类似地,二阶张量场 T TP 的右散度 d ivT 定义为
T i Tik ik Tik ,i xi
d ivT T
(2.2.19)
ij
a j xi

ai i ai xi
18

显然
a1 a 2 a3 x1 x 2 x3
(2.3.03)
但在T为对称张量的情况下, divT divT ,现证明如下:
divT
diva d iva
因此,今后我们对于矢量场的左散度和右散度不加区别,统一地记为
16
dQ T dQ Q Q dt dt
由式(1.9.10)知
(2.1.11)
dQ dQ T Q Q dt dt
于是
T
T
(2.1.12)
dQ T dQ T dt Q dt Q
所以
2.1
标量的张量值函数的导数
设 T Tt 是标量t(例如时间)的张量值函数。T对t的导数由下式定义:
dTij dT dT 的分量 给出。 由T的分量的导数 dt dt dt ij de 事实上,因为 Tij e i T e j ,又因 i 0 ,故有 dt dTij d ei T e j dt dt dT ei e j dt dT dt ij
(2.2.09)
f i
于是f的微分可写成

f x i
(2.2.04)
df f P dP f P f dx xi i

08张量分析1

08张量分析1

z = x3
图 1-1
向量的定义
k = i3
a
P
y = x2
i = i1
O
j = i2
x = x1
向量的位置(作用点)效应可用向量函数来反映。如图 1-2,水流各点的流速可用向量函数 v ( x , y , z ) 表示, x , y , z 表示 v 作用点的空间坐标。
图 1-2
流速场
A B C
vA vB vC
a + b = b + a 交换律
(a + b) + c = a + (b + c ) 结合律
( λµ ) a = λ ( µ a )
λ (a + b ) = λ a + λ b
1a = a
结合律 分配律
a+0 = a
a + (−a ) = 0
零向量 负向量
(λ + µ ) a = λ a + µ a 分配律
(
)
ɶ1 , a ɶ2 , a ɶ3 = a ɶj = a ɶ je j a= a
(
)
1.2 点积与欧氏空间
★ 同义词 : 点积、 点积、内积、 内积、数量积、 数量积、标量积 在线性空间里,没有长度和夹角的概念,从而没有几何度量的概念,此外几何上求向量在数轴上的投影, 物理上功与功率的计算等等,都需引入的点积的概念。
式中,小写指标 k , ℓ , m 为整型变量,称自由标,可在默认范围内取任意值。本书仅讨论 3 维线性 空间,自由标默认取值为 1 , 2 , 3 (n 维线性空间中,自由标默认取值为 1 ,… ,n) 。字母带自由标不 仅简化了数 (向量) 组的表示, 而且具有双重意义: 它既可代表数 (向量) 组全体(当视自由标为变量时), 亦可表示数(向量)中某-分量(当视自由标为某-数值时)。

张量分析——初学者必看精选全文

张量分析——初学者必看精选全文

§ A-1 指标符号 三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)
Ricci符号定义
偶次置换
1 若i, j, k 1,2,3, 2,3,1, 3,1,2 eijk 1 若i, j, k 3,2,1, 2,1,3, 1,3,2
0 若有两个或三个指标相等
e123 e231 e312 1 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 0
§A-4 张量的代数运算 三、矢量与张量的叉积
A 张量分析
右叉乘
T a (Tijeie j ) (akek ) Tij akeie jkrer e T jkr ij akeier B
§A-4 张量的代数运算
A 张量分析
四、两个张量的点积
两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是 原两个张量的阶数之和减 2
坐标变换式 xi ii xi xi ii xi
ii cos(xi, xi ) ii cos(xi , xi )
§A-3 坐标变换与张量的定义 A 张量分析
[ii ], [ii ]
互逆、正交矩阵
ii ii
ij
1 0
0 1
基矢量变换式
ei iiei ei iiei
坐标变换系数
v 任意向量变换式 i vii i vii i
ip iq ir eijk epqr jp jq jr
kp kq kr
pk
eijk ekqr
iq jq
ir jr
iq jr ir jq
a11 a12 a13 A a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31
a31 a32 a33 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 eijk a1ia2 j a3k eijk ai1a j2ak3

【张量分析ppt课件】张量分析课件第四章 张量函数和张量分析

【张量分析ppt课件】张量分析课件第四章 张量函数和张量分析
| x x0 |
时,对应的函数都有:
| f ( x) f ( x0 ) |
则称f (x)在x0点连续。该定义是通过两个绝对值 | x - x0 |、 | f (x) – f (x0) | 确定了f (x) 在 x0 点的连续性。由实函数理论 | x - x0 |和| f (x) – f (x0) |按距离的概念分别代表了实数x和x0 的距离及给定的x和x0的函数值f (x)和f (x0)的距离。正是距 离概念的引入使得一元实函数的连续性可以推广到张量函 数的连续性定义。 设张量函数为 F (A) 。若对任意给定的正数ε ,总存在着 一个正数δ 。使得当所有的自变量张量 A 满足:
是各向同性张量函数。
例4 : 对任意二阶张量A。试证明: i) F ( A) A3 I1 ( A) A2 I 2 ( A) A I 3 ( A) I 是各向同性张量函数。 ii) A3 I1 ( A) A2 I 2 ( A) A I 3 ( A) I 0 该式也称为Cayley-Hamilton定理。
A A 0 0
A Ai1ir ii1 iir A0 ( A0 ) i1ir ii1 iir
表示:
Ai1
ir
( A0 )i1
ir
(i1,
ir 1, 2,3)
在V 中的坐标系{o; i1, i2, i3}下,张量函数 F ( A )可表示为:
F ( A) Fi1is ( A)ii1 iis
2.r=1,s=0时: Φ记为u;F记为f。则: (4.1-8b) F (u)称为一阶张量自变量的零阶张量值函数。或称f (u)是 矢量自变量的标量值函数。 3.r=1,s=1时: Φ记为u,F记为f,则: f : u f ( u) (4.1-8c) F (u)称为一阶张量自变量的一阶张量值函数。或称f (u)是 矢量自变量的矢量值函数。 4.r=2,s=0时: Φ记为A;F记为F。则: F : A F ( A) (4.1-8d) F (A)称为二阶张量自变量的零阶张量值函数。或称F (A)是 二阶张量自变量的标量值函数。 5.r=2,s=2时: Φ记为A;F记为F。则: F : A F ( A) (4.1-8e) F(A)称为二阶张量自变量的二阶张量值函数。

张量分析

张量分析

张量分析张量分析,又称张量微积分,是一门研究多维空间中的向量和张量的数学工具。

它在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。

张量分析的核心思想是通过张量的计算和运算,来描述和解释多维空间中的现象和问题。

在数学中,张量是一种广义的向量概念。

它不仅可以表示标量和向量,还可以表示具有更高维度的物理量。

例如,二阶张量可以表示物体的形变和应力分布,三阶张量可以表示电磁场的分布,四阶张量可以表示弹性材料的性质等。

张量分析的基本概念包括张量的定义和表示、张量的变换规律以及张量的运算。

对于二阶张量,可以用一个矩阵来表示。

张量的变换规律与坐标系的选择有关,不同的坐标系下,同一个张量可以表示为不同的矩阵形式。

张量的运算包括加法、数乘、内积和外积等。

这些运算在物理和工程问题中具有重要的意义,可以帮助研究人员推导和解决实际问题。

在物理学中,张量分析被广泛应用于描述和分析物体的运动、形变、应力等问题。

例如,通过分析物体的应力张量,可以判断物体是否会发生破坏或变形。

在工程学中,张量分析可以用于解决弹性力学、流体力学、电磁学等问题。

在计算机科学中,张量分析可以用于图像处理、模式识别等领域。

张量分析的发展离不开数学家们的努力。

早在19世纪,克里斯托弗·亚当斯(Christopher Adams)就提出了张量的概念。

20世纪初,爱因斯坦在相对论的研究中也广泛应用了张量分析。

随着计算机的发展和计算能力的提高,张量分析在科学研究中的应用也越来越广泛。

虽然张量分析在各个领域中都有广泛的应用,但它的理论和方法并不容易掌握。

要学好张量分析,需要对线性代数、微积分和向量分析等数学知识有扎实的掌握。

此外,也需要具备一定的物理学和工程学的基础知识。

对于初学者来说,可以通过学习相关的教材和参考资料,同时结合实际问题进行练习和应用。

总之,张量分析是一门重要的数学工具,对于描述和解决多维空间中的问题具有重要的意义。

它在物理学、工程学、计算机科学等领域有着广泛的应用。

张量分析总结[范文]

张量分析总结[范文]

张量分析总结[范文]第一篇:张量分析总结[范文]中国矿业大学《张量分析》课程总结报告第 1 页一、知识总结张量概念1.1 指标记法哑标和自由指标的定义及性质自由指标:在每一项中只出现一次,一个公式中必须相同。

性质:在表达式或方程中自由指标可以出现多次,但不得在同项内重复出现两次。

哑标:一个单项式内,在上标(向量指标)和下标(余向量指标)中各出现且仅出现一次的指标。

性质:哑标可以把多项式缩写成一项;自由指标可以把多个方程缩写成一个方程。

例:A11x1+A12x2+A13x3=B1A21x1+A22x2+A23x3=B2 A31x1+A32x2+A33x3=B3式(1.1)可简单的表示为下式:(1.1)Aijxj=Bi(1.2)其中:i为自由指标,j为哑标。

特别区分,自由指标在同一项中最多出现一次,表示许多方程写成一个方程;而哑标j则在同项中可出现两次,表示遍历求和。

在表达式或者方程中自由指标可以出现多次,但不得在同项中出现两次。

1.2 Kronecker符号定义δij为:δij=⎨⎧1,i=j0,i≠j⎩(1.3)δij的矩阵形式为:⎡100⎤⎥δij=⎢010⎢⎥⎢⎣001⎥⎦(1.4)可知δijδij=δii=δjj=3。

δ符号的两指标中有一个与同项中其它因子的指标相同时,可把该因子的重指标换成δ的另一个指标,而δ符号消失。

如:δijδjk=δikδijδjkδkl=δil(1.5)中国矿业大学《张量分析》课程总结报告第 2 页δij的作用:更换指标、选择求和。

1.3 Ricci符号为了运算的方便,定义Ricci符号或称置换符号:⎧1,i,j,k为偶排列⎪lijk=⎨-1,i,j,k为奇排列⎪0,其余情况⎩(1.6)图1.1 i,j,k排列图lijk的值中,有3个为1,3个为-1,其余为0。

Ricci符号(置换符号)是与任何坐标系都无关的一个符号,它不是张量。

1.4 坐标转换图1.2 坐标转换如上图所示,设旧坐标系的基矢为ei,新坐标系的基矢为ei'。

张量分析第三章

张量分析第三章
A B ( Ai i Bi i )ii ii
1 m 1 m 1 m
(3.1-3)
张量间的运算除加法、减法运算和数乘运算外,还可以 定义乘法运算。但应当特别注意的是张量间的乘法运算 有多种按不同法则定义的乘法运算。这一点在矢量乘法 运算中表现为矢量与矢量的点乘和叉乘(矢量本身就是 一阶张量)。因此谈到张量(不一定是同阶张量)间的 乘法运算必须指明是什么法则定义的乘法运算。 张量积:设张量 A P ; B P ;则 A和 B的张量积按:
m n
A B AB ( Ai1im B j1 jn )ii1 iim i j1 i jn B A BA ( Ai1im B j1 jn )i j1 i jn ii1 iim
(3.1-4)
定义。由定义可以看出AB和BA都是m + n阶张量。且一般 AB≠BA(两张量的张量积一般不满足交换律)。对任一 组给定的i1,…,im ; j1,…,jn值,A 、B 都是确定的实数。 A B 记C 。则:
J : A (ii i j ii i j ) : ( Amn imin ) Amnim jn ii i j Amn imin A
四阶单位张量唯一性证明留作练习。
例1: 如图3-1所示刚体Ω 以角速度 ω(ω是对刚体整体运动的 述量。 ω与r无关。即对刚体上的任意点而言刚体的角速 度都是ω) 。物体点 r处的密度为ρ (r) ;速度矢量为 u (r) 。则处微分体积 dV所包含质量 ρ (r) dV对 o点动量矩为:
ij i j k k ij k i j k 3
k k ij i j ij k k i j 3
二阶张量与二阶张量的张量积:
AB Aij ii i j (Bmn imin) Aij Bmn)i j imin Φ ( ) ( ii ; Φ P 4

教材张量分析及场论

教材张量分析及场论

张量分析与场论 第一章 张量代数任何物理现象的发展都是按照自身的规律进行的,这是客观的存在,而不以人们的意志为转移。

但是,在研究、分析这些物理现象时,采用什么样的方法则是由人们的意志决定的。

无数事实证明,研究方法的选取与当时人们对客观事物的认识水平有关,而研究方法的好坏则直接关系到求解问题的繁简程度。

由于物理量的分量与坐标的选择有关,所以由物理量的分量表示的方程,其形式就必然与坐标系的选取有关。

在建立基本方程时,每选用一种坐标系都要作一些繁琐的推导。

张量分析能以简洁的表达式,清晰的推导过程,有效地描述复杂问题的本质,并突出现象的几何和物理特点。

张量分析成功应用的根本在于由它表示的方程具有坐标变换下不变的性质,即由张量表示的方程,其形式不随坐标的选择而变化。

第一章中将着重介绍直角坐标系中的张量代数,第二章介绍正交曲线坐标系的张量分析及场论,作为进一步的学习的基础,在第三章还对一般曲线坐标系中的张量做了简单的介绍。

1.1点积、矢量分量及记号ij δ我们在以前的学习中已熟悉了用箭头表示的矢量,如位移u ρ,力F ρ等。

这些量满足平行四边形运算的矢量加法法则,即设u ρ,v ρ为矢量,则v u w ρρρ+=的运算如右图所示。

在理论力学中我们还知道,如u ρ表示某一点的位移,F ρ表示作用在该点上的力,则该力对物体质点所做的功为 其中F ρ、|u ρ|分别表示矢量F ρ、u ρ的大小,θ表示矢量F ρ与矢量u ρ之间的夹角,这就定义了一种称为点积的运算。

点积的定义:设u ρ,v ρ为两个任意矢量,设|u ρ|,|v ρ|分别为其大小(也称为模)。

θ为这两个矢量之间的夹角,则u ρ与v ρ的点积为由点积定义可知,点积具有交换律,即u ρ•v ρ=v ρ•u ρ。

可以用几何的方法证明点积也具有分配率,即如w ρ=u ρ+v ρ,则或可写为如果0v u =⋅ρρ则称u ρ垂直于v ρ,记为u ρ⊥v ρ。

由点积的定义可知,2u u u ρρρ=⋅。

第二章 张量分析

第二章  张量分析

a y x a y y a y z
az z az x az y
右梯度
grada a
a i e i e j

j

ai ei e j xj
ai , j ei e j
a ij e i e j
其中:
a ij
柱面坐标系 设直角坐标系为
曲线坐标系为
则式
i i
x x x
1 1
的具体形式取为:
i'
'
'
x
x
i'
i
: x1 , x 2 , x 3
1'

, x
3'
: x r, x
2'
z

x i' x x x 2 x 2 xi
x
3
x x z
3 i'
r cos r sin
x z C3 (常数)为垂直于z轴的平面;
3'
(iii)
和坐标曲线: (i) (ii) (iii)
x r C1和 x C2 的交线(z线)是直线;
dS1
dS3
d S1 d r2 d r3 d S2 d r3 d r1 d S3 d r1 d r2
a (P、Q、R)
根据Gauss定理有: 左边
(a1n1 a2 n2 a3n3 )dS

r 0
外,
J 0 ,故有逆变换的具体形式如下:
x
1'
r
'

附录:张量分析

附录:张量分析
3
ui ei (2)分解式记法: u=u1e1+u2e2+u3e3= i 1
分量和基矢量
(3)分量记法:
ui(i=1,2,3)的集合
张量是具有多个分量的复杂物理量,为表达简洁,需引入一些记号和约定
指标符号
指标符号: 对于一组性质相关的n个量用相同的字母加不同的指标符号来表示
举例——

a的n个分量
∑:通过哑指标可把多个项缩写成一项,通过自由指标又把多个方程缩写成一个方程。
指标符号使书写简洁,但也必须小心,因为许多重要的含义往往只表现在指标的细微变化上。
§ A.2 符号δij与erst
本节介绍两个张量分析中的常用符号
一、符号δij ,称为“Kronecker delta” 【使重复下标求和约定更加方便】
内容梗概
【坐标变换揭示各类量的性质、张量方程的特点等】 求和约定: 多项简写 自由标: 多个方程简写 符号δij 符号erst
哑标

自由标

换标符δij
⇒ 排列符erst
张量分析引论
张量分析以简洁的表达形式和清晰的推导过程描述复杂问题,被近代力学文献和教科书普遍采用。 本附录着重介绍笛卡儿坐标系和正交曲线坐标系中的张量。
❷ 同一项中出现两对(或几对)的不同哑标,表示重复求和。(共九项求和)
❸ 若对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和,一般应加求和号,或者,在多余指标下加一横, 表示该指标不计指标数。如:
❹ 当自由指标在同项内出现两次时,应申明该指标不求和。 或者,在其中一个指标下加一横,表示该指标不求和。例如:s=aii原表示s=a11+a22+a33 , 但
§A.1
矢量和张量的记法,求和约定

(完整版)《张量分析》报告

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一 爱因斯坦求和约定1.1指标变量的集合:n n y y y x x x ,...,,,...,,2121表示为:n j y n i x j i ...,3,2,1,,...,3,2,1,==写在字符右下角的 指标,例如xi 中的i 称为下标。

写在字符右上角的指标,例如yj 中的j 称为上标;使用上标或下标的涵义是不同的。

用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母,除非作了说明,一般取从1到n 的所有整数,其中n 称为指标的范围。

1.2求和约定若在一项中,同一个指标字母在上标和下标中重复出现,则表示要对这个指标遍历其范围1,2,3,…n 求和。

这是一个约定,称为求和约定。

例如:333323213123232221211313212111bx A x A x A b x A x A x A bx A x A x A =++=++=++筒写为:ijijbx A =j——哑指标i——自由指标,在每一项中只出现一次,一个公式中必须相同遍历指标的范围求和的重复指标称为“哑标”或“伪标”。

不求和的指标称为自由指标。

1.3 Kronecker-δ符号(克罗内克符号)和置换符号Kronecker-δ符号定义j i ji ij ji ≠=⎩⎨⎧==当当01δδ置换符号ijkijk e e =定义为:⎪⎩⎪⎨⎧-==的任意二个指标任意k j,i,当021)(213,132,3的奇置换3,2,1是k j,i,当112)(123,231,3的偶置换3,2,1是k j,i,当1ijk ijke ei,j,k 的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。

置换符号主要可用来展开三阶行列式:231231331221233211231231133221332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++==因此有:ijmjimii i i jijAA aa a a a ==++=δδδδδ332211kijjkiijkkjiikjjikijkee e e e e e ==-=-=-=同时有:ijjijij iiiijijijkj ikilkljkijjjiiijijijkjikiie e aa aa a a a aa δδδδδδδδδδδδδδδδδδδ=⋅=++=========++=332211332211331001010100131211232221333231321333222111321321321-=====δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδe e k j i k j i k j i k k k j j j i i i ijk333222111321321321r q p r q p r q p k k k j j j i i i pqr ijke e δδδδδδδδδδδδδδδδδδ⋅=ipp i p i p i p i δδδδδδδδδ==++11332211krkqkpjrjqjpiriqippqrijke e δδδδδδδδδ=jqirjriqjrjqiriqkqrijke e kp δδδδδδδδ-===321321322311332112312213322113312312332211333231232221131211k j i ijkkjiijkaa a e a a a e aa a a a a a a a a a a a a a a a a aaaa a aaa a A ==---++==Kronecker-δ和置换符号符号的关系为:itjsjtiskstkije e δδδδ-=二 张量代数2.1张量的加法(减法)两个同阶、同变异(结构) 的张量可以相加(或相减)。

第2章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有)PPT课件

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• 负整数次幂
G T 0 T 1(1) T 1 T 1 T T 1
T 2 T 1 T 1
T m T 1 T 1 T 1 T 1
几种特殊的二阶张量
➢ 正张量:N>0的对称二阶张量
uN u 0
➢ 非负张量:N≥0的对称二阶张量 u N u 0
对称二阶张量总可以化为:
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
能量密度。而大变形情况会出现高度非线性,则不能 用加法分解,而要用乘法分解。
• 最简单的坐标变换
y y
x cos sin x
y
sin
cos
y
x
• 椭圆曲线的坐标变换
x
正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式
ax2 bxy cy2 d 0
变换为最简形式,即两主轴坐标系下形式。
x a
2
y b
2
1
几种特殊的二阶张量
➢ 正交张量Q
• 正交张量的定义和性质
可证: Q e3 e3
Q e1 cos e1 sin e2 Q e2 cos e2 sin e1
e1, e2 整体绕轴向旋转一个角度
几种特殊的二阶张量
• 正交张量对应的正交变换的特性
① 保内积性质 ② 保长度性质 ③ 保角度性质
(Q u) (Q v) u v
(Q u) (Q u) u u
l i
Tii
J2
1 2!
T T ij l
lm i
m j
1 2
(TiiTll
TliTil )
J3
1 3!
T T ijk l
lmn i
Tm n
j k
det(T )

第4章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)

第4章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)

x2
A

• •
b
a
dF ( x) dx F (a ) F (b) dx
微分阶次降了一阶 域内转换到边界
l
x1
向二维扩展:Green定理
X 1 ( x1 , x 2 ) 1 2 1 2 1 dx dx X 1 ( x , x )dx 2 x A l X 2 ( x , x ) 1 2 dx dx 1 x A
gi ( x j ) gi ( x j x j )
gi gi ( x , x , x )
1 2 3
O
是坐标的非线性函数
基矢量的导数,Christoffel符号

基矢量的导数与Christoffel符号 协变基矢量的导数与第二类Christoffel符号 g j g j k k k ij gk ij i g 定义式 i x x
m Tim m T i j k
i i m T m T j mk m jk
四者之间满足指标升降关系。
张量分量对坐标的协变导数
★张量场函数的梯度 特殊张量1:度量张量G
g ij;k 0 G G 0
两个张量的并AB的协变导数
1 ij gg i j x g x
2
张量场函数的散度和旋度
因此,Laplace算子的计算式:
1 ij ( ) ( ) gg i j x g x
2
Euclid空间,只有一个最基本的一阶矢量微分算子, 即梯度算子。 Euclid空间,只有一个最基本的二阶标量微分算子, 即Laplace算子。
从而可得右梯度和左梯度:
T i T T (r ) i g x

张量分析简介

张量分析简介
✓ ji, j fi 0
ji,j fii 0
张量基本概念
★ 自由指标表示:若轮流取该指标范围内的任何值, 关系式将始终成立。
例如:表达式 xi aij x j
在自由指标 i 取1,2,3时该式始终成立,即有
xx21
a11x1 a21x1
a12x2 a22x2
a13x3 a23x3
a1jxj a2jxj
x3 a31x1 a32x2 a33x3 a3jxj
张量基本概念
★ 同时取值的自由指标必须同名,独立取值的自由指 标应防止重名。
ji, j fi 0
★ 自由指标必须整体换名,即把方程或表达式中出现 的同名自由指标全部改成同一个新名字。
ji, j fi 0 i 换成k jk, j fk 0
张量基本概念
ij
1 0
(i = j) (i, j=1, 2, …, n) (i j)
➢ 特性
1. 对称性,由定义可知指标 i 和 j 是对称的,即
ij ji
26
符号ij 与erst
2. ij 的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间
11 12 13 1 0 0
21
22
23
0
1
0
31 32 33 0 0 1
42
坐标与坐标转换
➢ 笛卡尔坐标系(单位直角坐标系)
r ( x 1 ,x 2 ,x 3 ) x 1 e 1 x 2 e 2 x 3 e 3 x ie i
ei ej eijkek 而对于左手系,有: ei ej eijkek
e3 e2
e3 e1
e1
e2
32
符号ij 与erst
2. 矢量的点积:
ab(ajej)(bkek)ajbk(ej ek)

张量分析清华大学张量分析你值得拥有

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g是正实数(右手系)
斜角直线坐标系旳基矢量与矢量分量
➢ 三维空间中旳斜角直线坐标系和基矢量
定义逆变基矢量 g j,满足对偶条件:
g j gi ij (i, j = 1, 2,3)
问题:已知 gi,怎样求 g j ?
※ 根据几何图形直接拟定
由对偶条件可知, g1与 g2 、g3 均正交,所以正交于 g2与 g3所
第1章 矢量与张量
2023年12月12日
张量旳两种体现形式
实体形式
分量形式
几何形式 定义式
代数形式 计算式
概念旳内涵和外 延(定量)
怎样计算?
主要内容
➢ 矢量及其代数运算 ➢ 斜角直线坐标系旳基矢量与矢量分量 ➢ 曲线坐标系及坐标转换关系 ➢ 并矢与并矢式 ➢ 张量旳基本概念 ➢ 张量旳代数运算 ➢ 张量旳矢积
g1 1
g2 x1(cos x2 cos x3i cos x2 sin x3 j sin x2k) g2 x1
g3 x1注sin:x2(()s式in 只x3i对 c正os交x3曲j) 线坐标系成立,g3 x1 sin x2
☆正交曲可作线为坐求标正系交与系L中am度é量常张数量旳一种措施。
y
※平面极坐标系
(x, y) (x1, x2)
r
g gr
(r, ) (x1, x2 )
矢径:
r x1i x2 j
j
x1
x2
(x1)2 (x2)2
arctan
x2 x1
x1
x1
cos
x2
x2 x1 sin x2
i
x
平面极坐标系
xi' = xi' xi
r g1 i cos x2 j sin x2

张量分析第5章

张量分析第5章
1 2
对称性:

度量张量的行列式
a d e t( a ) a11 a 21 a12 a 22
2
a11 a 22 a12 a 21 a11a 22 a12

度量张量的逆变分量
a
11
a 22 a
a
22
a11 a
a
12
a a
12
a
21
a12 a a 21 a

d d




♣ 曲面的第二基本形式:
n ρ

2
d d


b d d
bαβ 是外蕴的,表达了切平面外的信息。
曲面的第二基本张量
b n
ρ

2
n
ρ



( , )
1


2
b1 b2 b1b2 b2 b1 0
1 2 1 2 1 2
1 2
(1 ) ( 2 ) b 1 b 2 b t r b (1 ) ( 2 ) b 1 b 2 b 2 b 1 d e t b
2
其中, ρ
ρ


ρ
ρ b n

对比欧氏空间的基矢量求偏导数:
gi x
j
gi x
j
ij g k

k
ij g k
k
ρ

ρ b n

仍在欧氏 空间内
曲面内+法向
曲面的第二基本张量

张量分析绪论

张量分析绪论
x3
x3
A

x2 O

A
O

1 2 3

x2
x1
x1
C1 x + C2 x + C3 x
K 1 x1 + K 2 x 2 + K 3 x 3
张量用于描述物理定律:
x3
x3
A

x2
1 2

A
O

等效
O

3 等效
x2
rOຫໍສະໝຸດ A••2 3
x1
x1
1
r ← → C1 x + C2 x + C3 x ← → k1 x + k 2 x + k3 x
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + + + f x = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xy ∂σ y ∂τ zy + + + f y = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z + + + fz = 0 ∂x ∂y ∂z
弹性力学平衡方程 张量方程
令:2,3 代替 x, y, z 1, 表示三个方向 σ 11 → σ 1
为学习连续介质力学等作必要的准备。
r = pi x i , (i = 1,2,3)
r为客观量,可通过某种参考系来表达,其表达式分量随参考系的不同有相 应变化,这种变化可通过坐标转换关系互导。并且一旦给定任一组分量,则r 可确定,其他坐标系中的分量亦可确定。
张量定义:某物理量或力学量可由若干有序数组成的数组集 张量定义:
合来表达,当参考系变化时,这些有序数按相应的坐标转换关 系变化,但物理量本身不变,则这组有序数的集合就是张量。
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一 爱因斯坦求和约定1.1指标变量的集合:n n y y y x x x ,...,,,...,,2121表示为:n j y n i x j i ...,3,2,1,,...,3,2,1,==写在字符右下角的 指标,例如xi 中的i 称为下标。

写在字符右上角的指标,例如yj 中的j 称为上标;使用上标或下标的涵义是不同的。

用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母,除非作了说明,一般取从1到n 的所有整数,其中n 称为指标的范围。

1.2求和约定若在一项中,同一个指标字母在上标和下标中重复出现,则表示要对这个指标遍历其范围1,2,3,…n 求和。

这是一个约定,称为求和约定。

例如:333323213123232221211313212111bx A x A x A b x A x A x A bx A x A x A =++=++=++筒写为:ijijbx A =j——哑指标i——自由指标,在每一项中只出现一次,一个公式中必须相同遍历指标的范围求和的重复指标称为“哑标”或“伪标”。

不求和的指标称为自由指标。

1.3 Kronecker-δ符号(克罗内克符号)和置换符号Kronecker-δ符号定义j i ji ij ji ≠=⎩⎨⎧==当当01δδ置换符号ijkijk e e =定义为:⎪⎩⎪⎨⎧-==的任意二个指标任意k j,i,当021)(213,132,3的奇置换3,2,1是k j,i,当112)(123,231,3的偶置换3,2,1是k j,i,当1ijk ijke ei,j,k 的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。

置换符号主要可用来展开三阶行列式:231231331221233211231231133221332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++==因此有:ijmjimii i i jijAA aa a a a ==++=δδδδδ332211kijjkiijkkjiikjjikijkee e e e e e ==-=-=-=同时有:ijjijij iiiijijijkj ikilkljkijjjiiijijijkjikiie e aa aa a a a aa δδδδδδδδδδδδδδδδδδδ=⋅=++=========++=332211332211331001010100131211232221333231321333222111321321321-=====δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδe e k j i k j i k j i k k k j j j i i i ijk333222111321321321r q p r q p r q p k k k j j j i i i pqr ijke e δδδδδδδδδδδδδδδδδδ⋅=ipp i p i p i p i δδδδδδδδδ==++11332211krkqkpjrjqjpiriqippqrijke e δδδδδδδδδ=jqirjriqjrjqiriqkqrijke e kp δδδδδδδδ-===321321322311332112312213322113312312332211333231232221131211k j i ijkkjiijkaa a e a a a e aa a a a a a a a a a a a a a a a a aaaa a aaa a A ==---++==Kronecker-δ和置换符号符号的关系为:itjsjtiskstkije e δδδδ-=二 张量代数2.1张量的加法(减法)两个同阶、同变异(结构) 的张量可以相加(或相减)。

张量相加(或相减)是相加(或相减)其同名的分量。

设i jk i jk B A ,是张量,则i jki jki jki jk i jk i jk BA CB A A +=+=ˆ也是张量。

可以证明,张量相加(减)的结果是一个同阶同变异张量。

()()()()()()()()()[]()x C yx y x x y x A x A yx y x x y y B y A y Cy x y x x y x B y B y x y x x y x A y Al mn k n j m l i lmnl mn kn j m l i i jki jki jkknj m l i l mni jk k n j m l i l mni jk∂∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂=+=∂∂∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂=ˆˆˆˆˆ2.2对称张量、斜对称张量1)对称张量若张量满足如下的关系式:ji ij A A =这样的张量称为二阶对称张量。

例如,基本度量张量和相伴度量张量 都是对称张量。

2)斜对称张量若张量满足以下关系式:ji ij A A -=则称为二阶斜对称张量。

斜对称张量也称为反对称张量。

3)二阶张量的分解任何一个一般二阶张量 都可以分解成一个对称张量和一个反对称张量之和,即:()()()jiij ji ij jiji ij ijij B C C C C B A C C A B A C ji ij ij ij -=--=-==+=+=2121214)高阶张量的对称和反对称高阶张量可以是关于一对下标(或上标)对称或反对称。

例如置换张量,它关于任一对下标是反对称的:kji ijk ikj ijk jik ijk ∈-=∈∈-=∈∈-=∈,,2.3张量的乘法两个张量的外积是将它们的分量相乘。

这样的运算产生一个新张量,其阶数是相乘两张量的阶数之和。

设 ij A 、k B 是张量,则外积()()jn im mn ij kij kij yx y x x A y A B A C ∂∂∂∂==ˆ ()()()()x B x A yx y x x y y B y A l mn j n i m l k kij ∂∂∂∂∂∂=ˆˆ ()()x C y x y x x y y C k ij jn i m l k k ij ∂∂∂∂∂∂=ˆ 张量乘法的性质:张量的乘法是不可交换的。

由几个张量连乘的乘积,则乘积张量中指标排列的次序由连乘张量的排列次序确定。

k ij kij B A C =ij k ij k A B C =张量k ij C 与张量ij k C 不相等。

若 ij A 是对称张量,ij B 是斜对称张量,可以很容易证明,它们的乘积等于0,即:0=ij ij B A由于置换张量是关于任一对指标的反对称张 量,因此它与任何一个二阶对称张量的乘积等于0。

2.4张量的缩并、内积在混合张量中,使一个上标和一个下标相等,然后按求和约定求和,这样的运算,称为缩并。

每一缩并,得到一个新张量,比原张量降两阶。

设i jkl A 是一个四阶混合张量。

作缩并运算,则:jk jik i B A =()()x A y x y x y x x y y A qrs p l s k r j q p i jkl i∂∂∂∂∂∂∂∂=ˆ 若令指标i 与k 相等,可得:()()()x A y x y x x A y x y x y x x y y A qrs p l s j q r p qrs p l s i r j q p i jil i∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=δˆ 缩并运算可以应用于任意阶混合张量。

还可将乘法和缩并结合起来形成新张量,这种运算称为两张量的内乘法,得到的张量称为该两张量的内积。

如:ij i ij i B A C =三 张量的扩展3.1基矢量的偏导数与克里斯托弗(Christoffel)符号求一个矢量的导数,必须对它的各个分量与基矢量乘积之和求导:()()k k ji i j i ii i j k i k j ji i jj i i i j i ji i j x x z x z xv v v v v v xi i g g g g g g g V2,,,,,,,∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=+==+==∂∂可以看出基矢量i g 对于坐标jx 的偏导数也是矢量,它也可以分成沿对偶基矢量或基矢量方向的分量:kk ij k ijk j i g g g ,Γ=Γ=式中:ijkΓ是沿 kg 方向的分量;称为第一种克里斯托弗符号;ij k Γ是沿kg 方向的分量; 称为第二种克里斯托弗符号。

ijk l k ijl k l ijl k j i ΓΓg g Γg g ,==⋅=⋅δkijk l l ij l ij j i k l k ΓΓg g Γg g ,==⋅=⋅δ 3.2 Hamilton 算子记由于可知算子服从向量的定义。

设为三维区域中的标量场,关于的左右梯度为,其中,下标中的逗号表示对其后坐标的微商,。

从上述两式可以看出标量的左右梯度相等。

设为三维区域中的向量场,关于的左右散度为,从上面两式可以看出向量的左右散度相等。

关于向量场的左右旋度为,对于的左右旋度,有关系式。

标量场的Laplace算子为,向量场的Gauss公式为其中为区域的边界曲面,,为上的单位外法向量。

向量场的Stokes公式为这里为任意曲面,为的边界曲线,在边界上积分的环向与的外法向依右手定向规则:指向观察者,从观察者来看,曲线沿反时针为正。

第二部分张量的简单运用张量分析在许多领域有着广泛的应用,现在所学的弹塑性力学就有简单的运用介绍,而且张量分析在岩石流变中的应用也非常有意义。

岩石流变本构方程在小变形情况下有:如上所述,岩石流变在引进了张量分析后,其表达变得很简便,便于计算和学习。

第三部分张量分析的展望首先,感谢张志镇老师的教导,让我深刻学习了张量分析。

张量分析在开始阶段,学习困难,入门不易,但是我相信我以后可以通过继续学习打到预期的学习目标。

张量分析在实际运用中可以减少计算,并且可以大大减少表达方式,从而使表达更为清楚,张量分析的学习为我们以后科研工作中的理论分析打下了坚实的基础,我相信以后通过张量分析可以更好的写好自己的论文。

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