期权定价二叉树模型

二、二项式定价的基本过程
设有这样一个以某股票为标的资产的3月期 欧式买入期权，股票现行的市场价格为30 元，期权确定的执行价格为31元。设已知3 个月后股票价格要么上升10%，要么下降 10%，市场的无风险利率为10%(年利率)， 试确定该期权的价格。
33
30 27 ?
2
1 0
1.025
1.025
令
33A 2 27 A ，
解之得
A 1/ 3 ，
即该组合应由买入1/3股该股票和卖出一份
该股票的买入期权组成。无论股票的价格
是升还是降，组合在期末的价值： 1 1 33 2 27 9 3 3
• 根据无套利原理，这就要求无风险投资在 期末的收益同为9元，因而期初用于无风险 投资的资金应为：
qu e rT (1 ) e 0.025 0.62658 0.611111
qd e
rT
e
0.025
0.37342 0.36420
Ru 2, Rd 0
C qu Ru qd Rd 0.611111 2 1.22.
在期权价值树上进行计算
2 2qu qd max{ S 0 (1 u )(1 d ) 3 S X ,0} q d max{ S 0 (1 d ) 4 S X ,0}
对于第1阶段各状态的期权价值有
3 2 10.3 qu 13.7 qd 4.69 qu max{S0 (1 u) 4 S X ,0} 3qu qd max{S0 (1 u)3 (1 d ) S X ,0}
生成股票价格树
79.86 72.6
87.846
75.867
66
60
68.97
62.7 65.5215
57
54.15
59.565
56.5868 51.4425 48.8704
股票价格树 到第四阶段末，即期权的到期日，股票价格已经有 5个状态。如果我们把整个有效期分成n个阶段，那 么到期权的到期日(最后一个阶段末)，股票价格将 有n+1个可能的状态。
2 3 S X ,0} 3qu q d max{ S 0 (1 u )(1 d ) 3 S X ,0 q d max{ S 0 (1 d ) 4 S X ,0}
期初的价值(期权的价格)
4 3 C 7.57 qu 10.3 q d 3.08 qu max{ S 0 (1 u ) 4 S X ,0} 4qu qd max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d )
计算期权在不同状 态的价值
13.79 10.3 7.57 4.69
22.846
18.03 10.867 7.14 0.5215
3.08
0.22
来自百度文库
0.33
0 0.0
0
期权价格树
四、二项式定价公式推导
对于第3阶段各状态的期权价值有
18.03 qu max{ S 0 (1 u ) 4 S X ,0} q d max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0}
计算相关数据

u (e rT 1) ud 0.1 (e 0.05 1) 0.1 0.05 0.324859
qu e rT (1 ) e 0.05 (1 0.324859) 0.642214
qd e
rT
0.309016
根据期权确定的执行价格以及股票在最后 阶段不同状态的价格，计算期权在最后阶 段各状态的价值 .
n n i i n i i C i qu q d max{ S 0 (1 u ) (1 d ) S X ,0} i 0
n
n n! n (n 1) (n i 1) , n 0,1, i (i 1) 1 i (n i )!i !
7.14 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} q d max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0}
0.33 qu max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0} q d max{ S 0 (1 u )(1 d ) 3 S X ,0}
• 无风险资产在每个阶段的收益率应该根据无风险资
产的年收益率及每个阶段的时间长度来确定. 在本
例中,每阶段无风险资产的收益率为： 10%/4=0.025 • 确定期权的价格 无套利定价: 考虑这样一个组合，买入A股该股票
和卖出该股票的一份买入期权组成。
要求组合在期权到期日的收益无论股票价格是升还 是降都应同无风险投资的收益相等。
0 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} qd max{ S 0 (1 d ) 4 S X ,0}
对于第2阶段各状态期权价值有
2 13.7 qu 18.03 q d 7.14 qu max{ S 0 (1 u ) 4 S X ,0}
上升状态价格因子和下降状态价格因子仅同股 票价格在每个阶段的上升因子、下降因子、期 权有效期(每个时段)的长短以及期权有效期内 的无风险收益率有关，而同股票价格和期权确 定的执行价格无关。
对上述例子的应用
u (e rT 1) 0.1 (e 0.025 1) 0.37342 ud 0.2

e
rT
(1 u ) u (e 1) ud ud
rT
qu e rT (` 1 ) 市场的上升状态价格因子
q d e rT
市场的下降状态价格因子
C qu Ru qd Rd
qu max{ S 0 (1 u) S X ,0} qd max{ S 0 (1 d ) S X ,0}
• 首先确定应买入的股票数A使得组合在期末的收 益在两种状态(价升或价降)下都相同。 • 如果股票价格上升至33元，组合在到期日的价值 为： 33A 2， 其中2是期权被执行后投资者的付出； • 如果股票价格下降至27元，期权不被执行，组合 的价值为： 27 A。 • 在到期日这两个值应相等，且应等于无风险投资 的收益。
2 2 3 S X ,0} 6qu q d max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0} 4qu qd max{ S 0 (1 u )(1 d ) 3
4 S X ,0} q d max{ S 0 (1 d ) 4 S X ,0}
9 e
0.10.25
8.78
• 这也应该是期初用于投资组合的资金，由 此得：
1 30 C 8.78, C 10 8.78 1.22 3 • 买入期权的价格应该定为1.22元
三、期权定价的二项式公式
符号: S 0 股票在期初的价格, S X 期权确定的执行价格, u 股票价格在单个时间阶段内的上升因子 d 股票价格在单个时间阶段内的下降因子(-) Ru 期权在股票价格上升状态下的收益 Rd 期权在股票价格下降状态下的收益 r 年无风险收益率 T 期权的期限
期权在股票价格上升状态下的收益： Ru max{ S 0 (1 u) S X ,0}
期权在股票价格下降状态下的收益 ： Rd max{S0 (1 d ) S X ,0} 构建一个组合，由买入A股股票，卖出一份 买入期权组成，要求在期权到期日无论何种 情况出现，组合的价值相同
期权定价的二项式方法
一、定价原理 二、二项式定价的基本过程 三、期权定价的二项式公式 四、二项式定价公式推导 五、美式期权的定价
一、定价原理
无套利定价原理: 具有相同收益不同头寸的价格应该相同。 在到期日现金流完全相同的两个组合，它们 期初的现金流必定也完全相同 . 期权在到期日的执行与否是不确定的， 这种不确定性使得在到期日的收益变得不确 定,因而难于直接利用无套利原理对期权进行 定价。
2 2qu q d max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0} qd max{ S 0 (1 u )(1 d ) 3 S X ,0}
2 0.22 qu 0.33 q d 0 qu max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0}
4 4 i i 4 i i q q max{ S ( 1 u ) ( 1 d ) S X ,0} u d 0 i i 0
4
4 4! , i 0,1, 2,3, 4 i (4 i)!i !
0! 1
把持有期分成n个相同时段的情形 假定每阶段内股票价格上升或下降的因子 相同 ,无风险收益率相同.
2 2qu q d max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} q d max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0}
2 4.69 qu 7.14 q d 0.33 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0}
AS 0 (1 u ) Ru AS 0 (1 d ) Rd Ru Rd A S 0 (u d )
根据无套利原理,买入期权的价格C应满足方 程：
S 0 A C [ AS 0 (1 u ) Ru ]e
Ce
rT
rT
将A代入得：
[ Rd (1 ) Ru ]
2 3 3qu qd max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d ) 2 S X ,0} qd max{ S 0 (1 u )(1 d ) 3 S X ,0}
3 2 3.08 qu 4.69 q d 0.22 qu max{ S 0 (1 u ) 3 (1 d ) S X ,0} 3qu q d max{ S 0 (1 u ) 2 (1 d )
(a)股票价格树
(b)期权价值树
(c)无风险收益树
股票价格树: 给出股票在不同阶段不同状态确 定的价格. 期权价值树: 根据股票在不同阶段不同状态确 定的价格以及期权确定的执行价格,给出期 权在相应状态的价值,其在初始状态的价值 就是要确定的期权价格. 无风险收益树: 无风险资产在不同阶段不同状 态的价格,这是进行无套利定价的标准.
2
qu
C
Ru
1.22
0.61111
qd
Rd
0.3642
0
计算期权价格的价格树(二叉树)
四个时段的情形 考虑以某一股票为标的资产、执行期限为T 的买入期权，设股票的现行价格为S 0 60 元， 期权确定的执行价格为 。设把期权 S X 65 元 的有效期分为时间相同的4个阶段，预计股 票价格在每阶段要么上升10%，要么下降 5%，每阶段内无风险收益率为5%, 确定期 权的价格.
,n
欧式卖出期权的二项式定价公式
n n i i n i i P qu qd max{S X S0 (1 u ) (1 d ) , 0} i 0 i
为了克服这种不确定性的困难, 以便采用 无套利原理对期权进行定价: 二项式定价方法； 布莱克—舒尔斯定价方法； 蒙特卡罗模拟法。 二项式方法 (二叉树方法)的步骤具体如下：
• 把整个持有期分成若干个时间区间, 并假定在每 个时间区间内股票的价格只有上升和下降两种状 态, 且价格上升和下降的百分比也已知,这样可以 得出股票在期权到期日有限个确定的价格状态,从 而克服了不确定性. • 期权的价格就可以利用无套利原理从这有限个确 定的股票价格(期权的收益)来进行估计. • 时间区间分得越小, 在到期日确定的股票价格状 态越多, 计算越复杂,所得期权价格估计越接近于 真实的价格.