高中数学：两角和、差及倍角公式练习

高中数学：两角和、差及倍角公式练习

1．(新疆乌鲁木齐一诊)2cos10°－sin20°

sin70°

的值是( C )

A ．12

B ．32

C ． 3

D ． 2

解析：原式＝

2cos (30°－20°)－sin20°

sin70°

＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70°

＝3cos20°

cos20°＝ 3.

2．(山西五校联考)若cos θ＝23,θ为第四象限角,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

θ＋π4的值为( B )

A ．

2＋10

6

B ．

22＋10

6

C ．2－106

D ．22－106

解析：由cos θ＝2

3,θ为第四象限角, 得sin θ＝－5

3,

故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

θ＋π4＝22(cos θ－sin θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋53＝22＋106.故选B ．

3．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π,且3cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π4－α,则sin2α的值为( C )

A ．－1

18 B ．1

18 C ．－1718

D ．1718

解析：由3cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π4－α可得

3(cos 2

α－sin 2

α)＝2

2(cos α－sin α),

又由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫

π2，π可知cos α－sin α≠0,

于是3(cos α＋sin α)＝2

2, 所以1＋2sin α·cos α＝1

18, 故sin2α＝－17

18.故选C ．

4．已知锐角α,β满足sin α－cos α＝1

6,tan α＋tan β＋3tan α·tan β＝3,则α,β的大小关系是( B )

A ．α＜π

4＜β B ．β＜π

4＜α C ．π

4＜α＜β

D ．π

4＜β＜α

解析：∵α为锐角,sin α－cos α＝1

6＞0, ∴π4＜α＜π2

. 又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3, ∴tan(α＋β)＝

tan α＋tan β

1－tan αtan β

＝3,

∴α＋β＝π3,又α＞π4,∴β＜π

4＜α.

5．在△ABC 中,sin A ＝513,cos B ＝3

5,则cos C ＝( A ) A ．－1665 B ．－5665 C ．±

1665

D ．±

5665

解析：∵B 为三角形的内角,cos B ＝3

5＞0, ∴B 为锐角,∴sin B ＝1－cos 2B ＝4

5,

又sin A ＝5

13,∴sin B ＞sin A ,

∴A 为锐角,∴cos A ＝1－sin 2A ＝12

13,

∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－1213×35＋513×45＝－16

65. 6．(福州质检)已知m ＝tan (α＋β＋γ)

tan (α－β＋γ)

,若sin[2(α＋γ)]＝3sin2β,则m ＝( D )

A ．12

B ．34

C ．32

D ．2

解析：设A ＝α＋β＋γ,B ＝α－β＋γ, 则2(α＋γ)＝A ＋B,2β＝A －B , 因为sin[2(α＋γ)]＝3sin2β, 所以sin(A ＋B )＝3sin(A －B ),

即sin A cos B ＋cos A sin B ＝3(sin A cos B －cos A sin B ), 即2cos A sin B ＝sin A cos B , 所以tan A ＝2tan B , 所以m ＝tan A

tan B ＝2,故选D ．

7．(1＋tan20°)(1＋tan21°)(1＋tan24°)(1＋tan25°)＝4__.

解析：(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝1＋tan20°＋tan25°＋tan20°tan25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan20°tan25°)＋tan20°·tan25°＝2,同理可得(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝2,所以原式＝4.

8．在△ABC 中,若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1,则cos C ＝22 . 解析：由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1, 可得tan A ＋tan B 1－tan A tan B

＝－1,

即tan(A ＋B )＝－1,又A ＋B ∈(0,π), 所以A ＋B ＝3π4,则C ＝π4,cos C ＝2

2.

9．(运城模拟)已知α为锐角,若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13,则cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫α－π3＝26＋16 .

解析：∵α为锐角,sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫α－π6＝13,∴0＜α－π6＜π3,

∴cos ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫α－π6＝

1－sin 2⎝ ⎛

⎭

⎪⎫α－π6＝223,

则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝223×

32＋13×12＝26＋1

6.

10．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝14,则sin 4θ＋cos 4

θ的值为58 . 解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π4－θ

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋2

2sin θ

＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos2θ＝1

4. 所以cos2θ＝1

2.

故sin 4θ＋cos 4θ＝⎝

⎛⎭⎪⎫1－cos2θ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos2θ22＝1

16＋916＝58. 11．已知函数f (x )＝(1＋3tan x )cos 2x .

(1)若α是第二象限角,且sin α＝6

3,求f (α)的值； (2)求函数f (x )的定义域和值域．

解：(1)因为α是第二象限角,且sin α＝6

3, 所以cos α＝－1－sin 2α＝－3

3, 所以tan α＝sin α

cos α＝－2,

所以f (α)＝(1－3×2)×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－332＝1－6

3.

(2)函数f (x )的定义域为{x ⎪⎪⎪

⎭

⎬⎫x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z .

易得f (x )＝(1＋3tan x )cos 2

x ＝⎝

⎛⎭⎪⎫1＋3sin x cos x cos 2x ＝cos 2

x ＋3sin x cos x ＝1＋cos2x 2＋32sin2x