高中数学：两角和、差及倍角公式练习

高中数学：两角和、差及倍角公式练习1．(新疆乌鲁木齐一诊)2cos10°－sin20°sin70°的值是( C )A ．12B ．32C ． 3D ． 2解析：原式＝2cos (30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝ 3.2．(山西五校联考)若cos θ＝23,θ为第四象限角,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值为( B )A ．2＋106B ．22＋106C ．2－106D ．22－106解析：由cos θ＝23,θ为第四象限角, 得sin θ＝－53,故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22(cos θ－sin θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋53＝22＋106.故选B ．3．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π,且3cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α,则sin2α的值为( C )A ．－118 B ．118 C ．－1718D ．1718解析：由3cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α),又由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π可知cos α－sin α≠0,于是3(cos α＋sin α)＝22, 所以1＋2sin α·cos α＝118, 故sin2α＝－1718.故选C ．4．已知锐角α,β满足sin α－cos α＝16,tan α＋tan β＋3tan α·tan β＝3,则α,β的大小关系是( B )A ．α＜π4＜β B ．β＜π4＜α C ．π4＜α＜βD ．π4＜β＜α解析：∵α为锐角,sin α－cos α＝16＞0, ∴π4＜α＜π2. 又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3, ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3,∴α＋β＝π3,又α＞π4,∴β＜π4＜α.5．在△ABC 中,sin A ＝513,cos B ＝35,则cos C ＝( A ) A ．－1665 B ．－5665 C ．±1665D ．±5665解析：∵B 为三角形的内角,cos B ＝35＞0, ∴B 为锐角,∴sin B ＝1－cos 2B ＝45,又sin A ＝513,∴sin B ＞sin A ,∴A 为锐角,∴cos A ＝1－sin 2A ＝1213,∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－1213×35＋513×45＝－1665. 6．(福州质检)已知m ＝tan (α＋β＋γ)tan (α－β＋γ),若sin[2(α＋γ)]＝3sin2β,则m ＝( D )A ．12B ．34C ．32D ．2解析：设A ＝α＋β＋γ,B ＝α－β＋γ, 则2(α＋γ)＝A ＋B,2β＝A －B , 因为sin[2(α＋γ)]＝3sin2β, 所以sin(A ＋B )＝3sin(A －B ),即sin A cos B ＋cos A sin B ＝3(sin A cos B －cos A sin B ), 即2cos A sin B ＝sin A cos B , 所以tan A ＝2tan B , 所以m ＝tan Atan B ＝2,故选D ．7．(1＋tan20°)(1＋tan21°)(1＋tan24°)(1＋tan25°)＝4__.解析：(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝1＋tan20°＋tan25°＋tan20°tan25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan20°tan25°)＋tan20°·tan25°＝2,同理可得(1＋tan21°)(1＋tan24°)＝2,所以原式＝4.8．在△ABC 中,若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1,则cos C ＝22 . 解析：由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1, 可得tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－1,即tan(A ＋B )＝－1,又A ＋B ∈(0,π), 所以A ＋B ＝3π4,则C ＝π4,cos C ＝22.9．(运城模拟)已知α为锐角,若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝26＋16 .解析：∵α为锐角,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13,∴0＜α－π6＜π3,∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝223,则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝223×32＋13×12＝26＋16.10．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝14,则sin 4θ＋cos 4θ的值为58 . 解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12cos2θ＝14. 所以cos2θ＝12.故sin 4θ＋cos 4θ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－cos2θ22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos2θ22＝116＋916＝58. 11．已知函数f (x )＝(1＋3tan x )cos 2x .(1)若α是第二象限角,且sin α＝63,求f (α)的值； (2)求函数f (x )的定义域和值域．解：(1)因为α是第二象限角,且sin α＝63, 所以cos α＝－1－sin 2α＝－33, 所以tan α＝sin αcos α＝－2,所以f (α)＝(1－3×2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－332＝1－63.(2)函数f (x )的定义域为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z .易得f (x )＝(1＋3tan x )cos 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3sin x cos x cos 2x ＝cos 2x ＋3sin x cos x ＝1＋cos2x 2＋32sin2x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12.因为x ∈R ,且x ≠k π＋π2,k ∈Z , 所以2x ＋π6≠2k π＋7π6,k ∈Z , 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≠－12,但当2x ＋π6＝2k π－π6,k ∈Z 时, sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12, 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－1,1],f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32,所以函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32.12．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． 解：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14,即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2,∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3,∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32,∴sin2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝－12×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×32＝12. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2,∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π, 又由(1)知sin2α＝12, ∴cos2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝2 3.13．(河南洛阳一模)设a ＝cos50°cos127°＋cos40°·sin127°,b ＝22(sin56°－cos56°),c ＝1－tan 239°1＋tan 239°,则a ,b ,c 的大小关系是( D )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b解析：a ＝sin40°cos127°＋cos40°sin127°＝sin(40°＋127°)＝sin167°＝sin13°, b ＝22(sin56°－cos56°)＝22sin56°－22cos56°＝sin(56°－45°)＝sin11°, c ＝cos 239°－sin 239°cos 239°sin 239°＋cos 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos78°＝sin12°, ∵sin13°＞sin12°＞sin11°, ∴a ＞c ＞B ．14．(江西南昌模拟)已知tan2α＝－22,且满足π4＜α＜π2,则2cos 2α2－sin α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值是( C )A ． 2B ．－ 2C ．－3＋2 2D ．3－2 2解析：tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－22,整理可得2tan 2α－tan α－2＝0, 解得tan α＝－22或tan α＝ 2. 因为π4＜α＜π2,所以tan α＝ 2. 则2cos 2α2－sin α－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos α－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4cos α＋cos π4sin α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝cos α－sin αcos αcos α＋sin αcos α＝1－tan α1＋tan α＝1－21＋2＝22－3.故选C ． 15．(武汉调研)设α,β∈[0,π],且满足sin αcos β－cos αsin β＝1,则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为[－1,1]__．解析：由sin αcos β－cos αsin β＝1,得sin(α－β)＝1, 又α,β∈[0,π],∴α－β＝π2, ∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，即π2≤α≤π,∴sin(2α－β)＋sin(α－2β) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π) ＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.∵π2≤α≤π,∴3π4≤α＋π4≤5π4, ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1, 即取值范围为[－1,1]．16．(合肥模拟)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)·sin2x ＋12cos4x . (1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间； (2)若α∈(0,π),且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22,求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值．解：(1)f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x ＝cos2x sin2x ＋12cos4x＝12(sin4x ＋cos4x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4,∴f (x )的最小正周期T ＝π2. 令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋3π2,k ∈Z , 得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16,k ∈Z .∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2＋π16，k π2＋5π16,k ∈Z .(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1.∵α∈(0,π),－π4＜α－π4＜3π4, ∴α－π4＝π2,故α＝3π4. 因此tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan 3π4＋tan π31－tan 3π4tan π3＝－1＋31＋3＝2－ 3.。