韦达定理在解析几何中的应用

韦达定理在解析几何中的应用
陈历强
一，求弦长
在有关解析几何的高考题型中不乏弦长问题以及直线与圆锥曲线相交的问题。

求直线与圆锥曲线相交所截得的弦长，可以联立它们的方程，解方程组求出交点坐标，再利用两点间距离公式即可求出，但计算比较麻烦。

能否另擗捷径呢？能！仔细观察弦长公式：
∣AB ∣=∣x 1-x 2∣21k +⋅=)1](4)[(221221k x x x x +-+
或∣AB ∣=∣y 1-y 2∣211k +⋅ =)11](4)[(221221k
y y y y +-+ ， 立刻发现里面藏着韦达定理（其中x 1、x 2分别表示弦的两个端点的横坐标，y 1、y 2分别表示弦的两个端点的纵坐标）。

请看下面的例子：
例1,已知直线 L 的斜率为2，且过抛物线y 2=2px 的焦点，求直线 L 被抛物线截得的弦长。

解：易知直线的方程为y=2(x-2p ). 联立方程组y 2=2px 和y=2(x-2
p ) 消去x 得y 2-py-p 2=0.∵△=5p 2>0,∴直线与抛物线有两个不同的交点。

由韦达定理得y 1+y 2=p,y 1y 2=-p 2.故弦长d=2
5p 例2,直线y=kx-2交椭圆x 2+4y 2=80交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标为2，则∣PQ ∣等于___________.
分析：联立方程组y=kx-2和x 2+4y 2=80消去y 得(4k 2+1)x 2-16kx-64=0
设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2). 由韦达定理得
x 1+x 2=1
4162+k k = 4得k=21.x 1x 2= -32∣PQ ∣=6 . 练习1：过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6, 那么|AB|=( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 (文尾有提示.下同) 二，判定曲线交点的个数
例3,曲线 y = ax 2(a>0)与曲线 y 2+3= x 2+4y 交点的个数应是___________个. 分析：联立方程组y=ax 2(a>0)与y 2+3=x 2+4y.消去x 得y 2-(1/a+4)y+3=0(a>0) 因为 ⎪⎩⎪⎨⎧>=>+=+>>-+=∆030
/14)0(012)4/1(2
1212y y a y y a a 所以,方程有两个不等正实根。

由y=ax 2 得出，有四个不等的x 解，故二曲线的交点有4个。

三，求弦中点坐标
例4，已知直线 x-y=2与抛物线 y 2= 4x 交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是____________________.
分析：联立方程组 x-y = 2和y 2= 4x.消去x 得 y 2-4y-8=0由韦达定理得y 1 + y 2 = 4, 线段AB 中点的纵坐标y=
221y y +, 横坐标x= y+2= 4. 故线段AB 中点坐标为（4，2）. 练习2：求直线y=
2521-x 和圆x 2+y 2=16相交所成的弦的中点坐标。

四，求曲线的方程
例5，顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线,被直线 y=2x+1截得的弦长为15.求此抛物线方程。

解：设抛物线方程为 y 2=2px, 联立方程组y 2=2px 和 y=2x+1消去y 得
4x 2+2(2-p)x+1=0.又由韦达定理得x 1+x 2=
22-p x 1x 2=41.于是有 1554
14)22(2=⋅⋅--p 解得 p= -2 或 p=6. 故抛物线方程为 y 2= -4x 或 y 2=12x. 例6,抛物线 y= -2
2x .与过点M(0,-1)的直线L 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 和OB 的斜率之和为1，求直线L 的方程.
解：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线L 的方程为y=kx-1.联立方程组y=kx-1和y=-22
x 消去y 得 x 2+2kx-2=0.由韦达定理得x 1+x 2=-2k, x 1x 2= -2. 又
k x x x x k x kx x kx x y x y =+-=-+-=+=2121221122112111 则直线 L 的方程为 y = x-1.
练习3：直线L 在双曲线2x 2-3y 2=6上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线L 的方程. 练习4:求m 的值使圆x 2+y 2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0的两个交点A 、B 满足OA ⊥OB.
练习5:一条直线与抛物线y2=x 及y 轴分别交于P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),P(x 3,y 3).求证： 2
13111y y y += ______________________________
练习1提示：易知抛物线的焦点为（1，0），设过焦点的直线为y=k(x-1)(由x 1+x 2=6知此直线不平行于y 轴，斜率k 存在)联立方程组y=k(x-1)和y 2=4x ，消去y 得k 2x 2-2(k 2+2)x+k 2=0 由韦达定理得x 1+x 2 =2(k 2+2) /k 2=6,解得k 2=1又x 1x 2=1.从而可求|AB|=8.
练习2提示：联立方程组y=2
521-x 和x 2+y 2=16,消去y 得方程5x 2-10x-39=0,由韦达定理得x 1+x 2=2
练习3提示：设直线L 的方程为y=2x+m. 联立方程组y=2x+m 和2x 2-3y 2=6消去y 得 10x 2+12mx+3(m 2+2)=0.令直线L 与双曲线的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). 由韦达定理得
x 1+x 2 = -5
6m ,x 1x 2 =10)2(32+m 42=[( x 1+x 2)2- 4x 1x 2](1+22 )=[(-5
6m )2-4·10)2(32+m ]·5,解得 m =±3210 ∴直线L 的方程为y=2x ±3210。