初中反比例函数与二次函数知识点详解

初中反比例函数与二次函数知识点详解
知识点一、反比例函数
1、反比例函数的概念
一般地，函数x
k
y =
（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。

反比例函数的解析式也可以写成1
-=kx y 的形式。

自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

3、反比例函数的性质
4、反比例函数解析式的确定
确定及诶是的方法仍是待定系数法。

由于在反比例函数x
k
y =
中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。

5、反比例函数中反比例系数的几何意义
如下图，过反比例函数)0(≠=
k x
k
y 图像上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM ∙PN=xy x y =∙。

k S k xy x
k
y ==∴=,, 。

知识点二、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地，如果特)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意
a 不为零
那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像
二次函数的图像是一条关于a
b
x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：
①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法 五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴
（2）求抛物线c bx ax y ++=2
与坐标轴的交点：
当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。

由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。

如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

知识点三、二次函数的解析式
二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数，
（2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2
与x 轴有交点时，即对应二次好方程
02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式
))((21x x x x a y --=。

如果没有交点，则不能这样表示。

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

（3）三顶点 顶点式：)0,,()(2
≠+-=a k h a k h x a y 是常数，
知识点四、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当
a
b
x 2-=时，a b ac y 442-=最值。

如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看a
b
2-
是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a
b
2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则
需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当
2x x =时，c bx ax y ++=22
2
最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=12
1最大，当2x x =时，c bx ax y ++=22
2最小。

知识点五、二次函数的性质
1、二次函数的性质
2、二次函数)0,,(2
≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义：
a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上
a <0时，抛物线开口向下
b 与对称轴有关：对称轴为x=a
b 2-
c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0，c ）
3、二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的ac 4b 2
-=∆，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。

当∆>0时，图像与x 轴有两个交点； 当∆=0时，图像与x 轴有一个交点； 当∆<0时，图像与x 轴没有交点。

知识点六、 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）
1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） y 如图：点A 坐标为（x 1，y 1）点B 坐标为（x 2，y 2） 则AB 间的距离，即线段AB 的长度为()()221221y y x x -+- A
0 x
B
2，二次函数图象的平移
① 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，
；
② 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，
处，具体平移方法如下：
③平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．
函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提
高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）
特别记忆--同左上加 异右下减 (必须理解
记忆)
说明① 函数中ab 值同号，图像顶点在y 轴左侧同左，a b 值异号，图像顶点必在Y 轴右侧异右
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减
3、直线斜率：
1
212tan x x y y k --=
=α b 为直线在y 轴上的截距4、直线方程：
4、①两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:
此公式有多种变形 牢记 ②点斜
③斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式: y ＝kx ＋b (k ≠0)
④截距 由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：
1=+b
y a x 牢记 口诀 ---两点斜截距--两点 点斜 斜截
截距
5、设两条直线分别为，1l ：11y k x b =+ 2l ：22y k x b =+ 若12//l l ，则有
1212//l l k k ⇔=且12b b ≠。

若
12121l l k k ⊥⇔⋅=-
6、点P （x 0，y 0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离:
1
)
1(2
002
2
00++-=
-++-=
k b
y kx k b y kx d
)()(tan 11
21
21x x x x x y y b x b kx y y ---=
+=+=-α)(11x x kx y y -=-
7、抛物线c bx ax y ++=2中， a b c,的作用
（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2
ax y =中的a 完全一样.
（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2
的对称轴是直线
a
b x 2-
=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b
（即a 、b 同号）时，对称轴
在y 轴左侧；③0<a b
（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. 口诀 --- 同
左 异右
（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2
与y 轴交点的位置.
当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2
与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；
③0<c ,与y 轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则
0<a
b
. 初中数学助记口诀(反比例函数与二次函数部分)
二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象现；开口、大小由a 断,c 与Y 轴来相见,b 的符号较特别，符号与a 相关联；顶点位置先找见，Y 轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。

若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点,双曲线相背离的远;k为正,图在一、三(象)限,k为负,图在二、四(象)限;图在一、三函数减,两个分支分别减。

图在二、四正相反,两个分支分别添;线越长越近轴,永远与轴不沾边。

反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、y的顺序可交换。

二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，△的符号最简便，x轴上数交点，a、b同号轴左边抛物线平移a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。

关于x轴对称
2
=---；
y ax bx c
=++关于x轴对称后，得到的解析式是2
y ax bx c
()2
=---；
y a x h k
y a x h k
=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2
关于y轴对称
2
=-+；
y ax bx c
=++关于y轴对称后，得到的解析式是2
y ax bx c
()2
=++；
y a x h k
=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k
关于原点对称
2
y ax bx c
=-+-；
y ax bx c
=++关于原点对称后，得到的解析式是2
()2
=-+-
y a x h k
y a x h k
=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2
关于顶点对称
2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =--+．
关于点()m n ，对称
()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2
22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
函数图像的移动规律:
二次函数的解析式写成y=a （x+h ）2+k 的形式，
则用下面后的口诀：
“左右平移在括号,上下平移在末稍,
左正右负须牢记,上正下负错不了”。