高二数学椭圆双曲线抛物线测试题

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高二数学选修椭圆、双曲线综合能力测试

椭圆、双曲线综合能力测试时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．椭圆x 23＋y 22＝1的焦点坐标是( )A ．(±5，0)B ．(0，±5)C ．(±1,0)D ．(0，±1)2．已知双曲线方程为x 220－y 25＝1，那么它的半焦距是( )A ．5B ．2.5 C.152D.153．平面内两定点的距离为10，则到这两个定点的距离之差的绝对值为12的点的轨迹为( )A ．双曲线B ．线段C ．射线D ．不存在4．设P 是椭圆x 2169＋y 225＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于( )A ．22B ．21C ．20D ．135．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1B.x 212＋y 216＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 24＋y 216＝1 6．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14B ．－4C ．4D.147．双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝62，F 1、F 2分别为它的左、右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且|AB |是|AF 2|与|BF 2|的等差中项，，则|AB |等于( )A ．8 2B ．4 2C ．2 2D ．88．已知动圆P 过定点A (－3,0)，并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64内切，则动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．线段B ．直线C ．圆D ．椭圆9．3<m <5是方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示的图形为双曲线的( )A ．充分但非必要条件B ．必要但非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件10．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是( )A ．[6,10]B ．[6,8]C ．[8,10]D ．[16,20]11．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝－x ，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝96B ．y 2－x 2＝160C ．x 2－y 2＝80D ．y 2－x 2＝2412．(2010·辽宁文，9)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋12二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3,32)的双曲线方程为__________．14．双曲线x 24－y 23＝1的焦点到渐近线的距离为______．15．若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率为e ＝22，则实数m 的值等于________．17．(本题满分12分)求下列双曲线的标准方程．(1)与椭圆x216＋y225＝1共焦点，且过点(－2，10)的双曲线；(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线．18．(本题满分12分)方程x2sinα－y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，求α的取值范围．[分析]根据焦点在y轴上的椭圆的标准方程的特点，先将条件方程化为标准式，得到关于α的关系式，再求α的取值范围．19．(本题满分12分)已知动圆M与⊙O1：x2＋(y－1)2＝1和⊙O2：x2＋(y＋1)2＝4都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．20．(本题满分12分)如图，点A是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的短轴位于x轴下方的端点，过A作斜率为1的直线交椭圆于B点，P点在y轴上，且BP∥x轴，AB→·AP→＝9.(1)若P的坐标为(0,1)，求椭圆C的方程；(2)若P的坐标为(0，t)，求t的取值范围．21．(本题满分12分)设F1、F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，点P在双曲线上，若PF1→·PF2→＝0，且|PF1→|·|PF2→|＝2ac，其中c＝a2＋b2，求双曲线的离心率．22．(本题满分14分)若椭圆的中心为原点，焦点在x轴上，点P是椭圆上的一点，P在x轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P与中心O的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于10－5，试求椭圆的离心率及其方程．1[答案] C[解析]∵a2＝3，b2＝2，∴c2＝1.又焦点在x 轴上，故选C. 2[答案] A[解析] ∵a 2＝20，b 2＝5，∴c 2＝25，∴c ＝5. 3[答案] D[解析] 设两定点为A 、B ，则平面内到两定点A 、B 的距离的差的绝对值小于或等于这两定点的距离．4[答案] A[解析] 由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝26，因为|PF 1|＝4，所以|PF 2|＝22. 5[答案] D[解析] 将x 24－y 212＝－1化为y 212－x 24＝1，易知双曲线的焦点在y 轴上，焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)，所以椭圆的a ＝4，c ＝23，因此b 2＝16－12＝4，所以椭圆方程为x 24＋y216＝1.6[答案] A[解析] 双曲线mx 2＋y 2＝1的方程可化为： y 2－x2－1m＝1，∴a 2＝1，b 2＝－1m ，由2b ＝4a ，∴2－1m ＝4，∴m ＝－14. 7[答案] A[解析] ∵c a ＝62，2b ＝4，∴a 2＝8，a ＝22，|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝42， |BF 2|－|BF 1|＝2a ＝42，两式相加得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝82，又∵|AF 2|＋|BF 2|＝2|AB |，|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |，∴|AB |＝8 2. 8[答案] D[解析] 如下图，设动圆P 和定圆B 内切于M ，则动圆的圆心P 到两点，即定点A (－3,0)和定圆的圆心B (3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|P A |＋|PB |＝|PM |＋|PB |＝|BM |＝8.∴点P 的轨迹是以A、B 为焦点的椭圆，故选D.9[答案] A[解析] 当3<m <5时，m －5<0，m 2－m －6>0， ∴方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线．若方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线，则(m －5)(m 2－m －6)<0， ∴m <－2或3<m <5，故选A. 10[答案] C[解析] 由题意知a ＝10，b ＝8，设椭圆上的点M (x 0，y 0)，由椭圆的范围知，|x 0|≤a ＝10，|y 0|≤b ＝8，点M 到椭圆中心的距离d ＝x 20＋y 20，又因为x 20100＋y 2064＝1，所以y 20＝64⎝⎛⎭⎫1－x 20100＝64－1625x 20，则d ＝x 20＋64－1625x 20＝925x 20＋64，因为0≤x 20≤100，所以64≤925x 20＋64≤100，所以8≤d ≤10.故选C.11[答案] D[解析] ∵椭圆x 216＋y 264＝1的焦点(0，±43)为双曲线焦点，又它的一条渐近线为y ＝－x ，∴双曲线方程为y 2－x 2＝24.12[答案] D[分析] 考查双曲线的渐近线方程及如何用a ，b ，c 三者关系转化出离心率 [解析] 设F (－c,0) B (0，b )则K FB ＝bc与直线FB 垂直的渐近线方程为y ＝－ba x∴b c ＝ab，即b 2＝ac 又b 2＝c 2－a 2，∴有c 2－a 2＝ac 两边同除以a 2得e 2－e －1＝0∴e ＝1±52∵e ＞1，∴e ＝1＋52，选D.13[答案] y 22－8x 29＝1[解析] 设双曲线方程为：x 29－y 216＝λ(λ≠0)又点(－3,32)在双曲线上，∴λ＝－18.故双曲线方程为y 22－8x29＝1.14[答案]3[解析] 双曲线x 24－y 23＝1的一条渐近线方程为：y ＝32x ，焦点F (7，0)到该渐近线的距离为：3×73＋4＝ 3.15[答案] 10或52[解析] 若m <5，则e ＝22＝5－m 5，解得m ＝52；若m >5，则e ＝22＝m －5m，解得m ＝10.16．F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是________．16[答案] 2 3[解析] 由题意可知12×c ×32c ＝3，∴c ＝2，故P (1，3)在椭圆x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1上，即1b 2＋4＋3b2＝1，解得b 2＝2 3.三、解答题(共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17[解析] (1)∵椭圆x 216＋y 225＝1的焦点为(0，±3)，∴所求双曲线方程设为：y 2a 2－x 29－a 2＝1，又点(－2，10)在双曲线上，∴10a 2－49－a 2＝1，解得a 2＝5或a 2＝18(舍去)． ∴所求双曲线方程为y 25－x 24＝1.(2)∵双曲线x 216－y 24＝1的焦点为(±25，0)，∴设所求双曲线方程为：x 2a 2－y 220－a 2＝1，又点(32，2)在双曲线上，∴18a 2－420－a 2＝1，解得a 2＝12或30(舍去)， ∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1.18[解析] ∵x 2sin α－y 2cos α＝1，∴x 21sin α＋y 2－1cos α＝1.又∵此方程表示焦点在y 轴上的椭圆，∴⎩⎪⎨⎪⎧1sin α>0－1cos α>01sin α<－1cos α，即⎩⎪⎨⎪⎧sin α>00<－cos α<sin α，∴2k π＋π2<α<2k π＋34π(k ∈Z )．故所求α的范围为⎝⎛⎭⎫2k π＋π2，2k π＋3π4(k ∈Z )． 19[解析] 设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，半径为r ，由题意得|MO 1|＝1＋r ，|MO 2|＝2＋r ， ∴|MO 2|－|MO 1|＝2＋r －1－r ＝1<|O 1O 2|＝2，由双曲线定义知，动圆圆心M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为1的双曲线的上支，双曲线方程为：4y 2－43x 2＝1.(y ≥34)20[解析] (1)A (0，－b )，l 的方程为y ＋b ＝x ，P (0,1)，则B (1＋b,1)， AB →＝(1＋b,1＋b )，AP →＝(0，b ＋1)，又∵AB →·AP →＝9，∴(1＋b,1＋b )·(0，b ＋1)＝9，即(b ＋1)2＝9，∴b ＝2，∴点B (3,1)在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，∴a 2＝12，所求的椭圆方程为x 212＋y 24＝1.(2)P (0，t )，A (0，－b )，B (t ＋b ，t )，AB →＝(t ＋b ，t ＋b )，AP →＝(0，t ＋b )，AB →·AP →＝9， ∴(t ＋b )2＝9，∴b ＝3－t ，B (3，t )，代入椭圆9a 2＋t 2(3－t )2＝1，∴a 2＝3(t －3)23－2t， ∵a 2>b 2，∴3(t －3)23－2t>(3－t )2，∴0<t <32.21[解析] 由双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝2a ， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2，又|PF 1→|·|PF 2→|＝2ac ，∴2ac ＝2b 2，∴b 2＝c 2－a 2＝ac ，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝1＋52，即双曲线的离心率为1＋52.22[解析] 令x ＝－c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，得y 2＝b 2(1－c 2a 2)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a .设P ⎝⎛⎭⎫－c ，b2a ，而椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )． ∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－b 2ac ＝－b a，∴b ＝c ；而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.又∵a －c ＝10－5，解得a ＝10，c ＝5，∴b ＝5， ∴所求的椭圆方程为：x 210＋y 25＝1.。

高中数学专题10解析几何直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线试题

2021届专题十数学考试范围：解析几何〔直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线〕一、选择题〔本大题一一共10小题；每一小题5分，一共50分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕 1．直线07tan =+y x π的倾斜角是〔〕 A ．7π-B ．7π C ．75π D ．76π 2．直线01:1=+-y x l 关于直线2:=x l 对称的直线2l 方程为〔〕 A ．012=--y xB ．072=-+y xC ．042=--y xD ．05=-+y x3．“2-=a 〞是直线()021:1=-++y x a l 与直线()0122:2=+++y a ax l 互相垂直的〔〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．直线0=+++b a by ax 与圆222=+y x 的位置关系为〔〕 A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或者相切5．点P 在圆074422=+--+y x y x 上，点Q 在直线上kx y =上，假设PQ 的最小值为122-，那么k = 〔〕 A ．1B ．1-C ．0D ．26．假设椭圆122=+my x 的离心率⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈22,33e ，那么m 的取值范围是〔〕 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,21B ．()2,1C ．()2,132,21 ⎪⎭⎫ ⎝⎛D ．⎪⎭⎫⎝⎛2,217．中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为03=-y x ，那么该双曲线的离心率为〔〕 A ．332 B ．3 C ．2或者332 D ．332或者3 8．M 是抛物线x y 42=上一点，且在x 轴上方，F 是抛物线的焦点，以x 轴的正半轴为始边，FM 为终边构成的最小的角为60°，那么=FM〔〕 A ．2B ．3C ．4D ．69．设抛物线x y 82=的准线经过中心在原点，焦点在坐标轴上且离心率为21的椭圆的一个顶点，那么此椭圆的方程为〔〕A ．1161222=+y x 或者1121622=+y xB ．1644822=+y x 或者1486422=+y xC ．1121622=+y x 或者1431622=+x y D ．13422=+y x 或者1431622=+x y10．定点()0,21-F 、()0,22F ，动点N 1=〔O 为坐标原点〕，NM M F 21=，()R MF MP ∈=λλ2，01=⋅PN M F ，那么点P 的轨迹是〔〕 A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆二、填空题〔本大题一一共5小题；每一小题5分，一共25分.将答案填在题中的横线上〕 11．以点()2,1-为圆心且与直线1-=x y 相切的圆的HY 方程是． 12．圆064422=++-+y x y x 上到直线05=--y x 的间隔等于22的点有个．13．假设点P 在直线03:1=++my x l 上，过点P 的直线2l 与曲线()165:22=+-y x C 只有一个公一共点M ，且PM 的最小值为4，那么=m ．14．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞0)的离心率为22，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，再过⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,2c a P 作圆M 的两条切线PA 、PB ，那么APB ∠= ．15．以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角的范围是⎪⎭⎫⎝⎛2,3ππ那么双曲线的离心率的范围是．三、解答题〔本大题一一共6小题；一共75分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕16．〔此题满分是12分〕圆O 的方程为1622=+y x ．〔1〕求过点()8,4-M 的圆O 的切线方程；〔2〕过点()0,3N 作直线与圆O 交于A 、B 两点，求OAB △的最大面积以及此时直线AB 的斜率．17．〔此题满分是12分〕将抛物线y x 222-=向上平移2个单位长度后，抛物线过椭圆12222=+by ax (a ＞b ＞0)的上顶点和左右焦点．〔1〕求椭圆方程；〔2〕假设点()0,m P 满足如下条件：过点P 且倾斜角为π65的直线l 与椭圆相交于C 、D 两点，使右焦点F 在以CD 线段为直径的圆外，试求m 的取值范围．18．〔此题满分是12分〕双曲线,12222=-by ax (a ＞0，b ＞0)左右两焦点为1F 、2F ，P 是右支上一点，212F F PF ⊥，1PF OH ⊥于H ，1OF OH λ=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,91λ．〔1〕当31=λ时，求双曲线的渐近线方程；〔2〕求双曲线的离心率e 的取值范围；〔3〕当e 取最大值时，过1F ，2F ，P 的y 轴的线段长为8，求该圆的方程．19．〔此题满分是13分〕在平面直角坐标系xOy中，过定点()0,pC作直线m与抛物线2=(p＞0)相交于A、B两点．y2px〔1〕设()0,pNA⋅的最小值；N-，求NB〔2〕是否存在垂直于x轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？假设存在，求出l的方程；假设不存在，请说明理由．20．〔此题满分是13分〕椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于21,它的一个顶点恰好是抛物线y x 382=的焦点．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕()3,2P 、()3,2-Q 是椭圆上两点，A 、B 是椭圆位于直线PQ 两侧的两动点，①假设直线AB 的斜率为21，求四边形APBQ 面积的最大值；②当A 、B 运动时，满足BPQ APQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．21．〔此题满分是13分〕在平面直角坐标系中，向量()2,-=y x a ，()()R k y kx b ∈+=2,，假b a b a =．〔1〕求动点()y x M ,的轨迹T 的方程,并说明该方程表示的曲线的形状；〔2〕当34=k 时，()1,01-F 、()1,02F ，点P 是轨迹T 在第一象限的一点，121=PF PF ，假设点Q 是轨迹T 上不同于点P 的另一点，问是否存在以PQ 为直径的圆G 过点2F ，假设存在，求出圆G 的方程，假设不存在，请说明理由．2021届同心圆梦专题卷数学专题十答案与解析1．【命题立意】此题考察直线的一般方程形式、斜率和倾斜角的关系以及正切函数的诱导公式．【思路点拨】抓住直线方程y=kx+b 中斜率为k ，α为倾斜角，其中[)πα,0∈，当2πα≠时αtan =k ．【答案】D 【解析】7tan πx y -=，斜率76tan 7tan 7tan ππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=k ．2．【命题立意】此题考察直线的对称和直线方程的求解以及直线上点确实定．【思路点拨】求出直线1l 与x 轴、与l 的交点坐标，再确定对称点的坐标，最后由两点式得到2l 的直线方程．【答案】D 【解析】画出图形，容易求得直线1l 与x 轴的交点()0,1-A ，它关于直线l 的对称点为()0,5B ，又1l 与l 的交点()3,2P ，从而对称直线2l 经过B 、P 两点，于是由两点式求得2l 的方程为05=-+y x ．3．【命题立意】此题考察两条直线的位置关系和充要条件：0212121=+⇔⊥B B A A l l .【思路点拨】判断直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的位置关系时，抓住两点，一是1l ∥2l 时，212121C C B B A A ≠=，为了防止讨论系数为零的情况，转化为积式1221B A B A =且1221C A C A ≠；二是21l l ⊥，即斜率的乘积为1-，假如一条直线的斜率为零，那么另一条直线的斜率不存在，也就是02121=+B B A A ．充分必要条件的断定，关键是看哪个推出哪个．【答案】A 【解析】1023221-=⇔=++⇔⊥a a a l l 或者2-=a ，应选答案A ．4．【命题立意】此题考察直线与圆的位置关系和点到直线的间隔公式以及根本不等式．【思路点拨】直线与圆的位置关系有三种，由圆心到直线的间隔 d 与半径r 的大小关系决定，当d ＞r 时，相离；当d =r 时相切；当d ＜r 时相交．【答案】D 【解析】圆心()0,0到直线0=+++b a by ax 的间隔 22ba b a d ++=，半径2=r ．由于()221222222≤++=++=b a ab ba b a d，所以r d ≤，从而直线与圆相交或者相切．5．【命题立意】此题考察直线与圆的位置关系和点到直线的间隔．【思路点拨】圆上的点到直线上的点，这两个动点之间的间隔的最小值，可以转化为直线上的点到圆心的间隔的最小值来解决，圆上的点到直线的间隔的最大值等于圆心到直线的间隔加上半径，最小值等于圆心到直线的间隔减去半径；当直线与圆相交时，圆上的点到直线的间隔的最大值等于圆心到直线的间隔加上半径，最小值等于0．【答案】B 【解析】由题意可知，直线与圆相离，074422=+--+y x y x 即()()12222=-+-y x ，圆心()2,2到直线kx y =的间隔 1222+-=k k d ，∴12211222-=-+-=-k k r d ，解得1-=k ．6．【命题立意】考察椭圆的HY 方程和椭圆中的根本量及其关系以及分类讨论的思想．【思路点拨】可建立m 关于e 的函数，从而可根据e 的范围求得m 的范围．【答案】C 【解析】化椭圆的方程为HY方程1122=+my x ，当m 1＜1，即m ＞1时，椭圆焦点在x 轴上，此时12=a ，mb 12=，mc 112-=，me 112-=∴，211e m -=∴，又⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈22,33e ，∴23＜m ＜2，又m ＞1，∴1＜m ＜2．当m1＞1，即m ＜1时，椭圆焦点在y 轴上，此时ma 12=，12=b ，112-=m c ，∴m ac e -==1222，即21e m -=，又⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈22,33e ，∴21＜m ＜32．综上，m 的范围范围是()2,132,21 ⎪⎭⎫⎝⎛．选择C ． 7．【命题立意】考察双曲线的HY 方程，离心率的概念．【思路点拨】根据渐近线方程可以得到双曲线系方程，再分两种情况讨论焦点位置，从而求得离心率．【答案】C 【解析】由于一条渐近线方程为03=-y x ，所以可设双曲线方程为λ=-223y x ．当焦点在x 轴上时，方程为1322=-λλy x 〔λ＞0〕，此时32λ=a ，λ=2b ，于是34222λ=+=b a c ，所以离心率2==ace ；当焦点在y 轴上时，方程为1322=---λλxy 〔λ＜0〕，此时λ-=2a ，32λ-=b ，于是34222λ-=+=b a c ，所以离心率332==a c e ．应选择C ．8．【命题立意】考察抛物线的定义和HY 方程以及直角三角形的性质．【思路点拨】画出图形，利用抛物线的定义找出点M 的横坐标与|FM |的关系即可求得．【答案】C 【解析】画出图形，知()0,1F ，设FM=a 2，由点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，那么FN=a ，于是点M 的横坐标a x +=10．利用抛物线的定义，那么M 向准线作垂线，有FM=10+x ，即112++=a a ，所以2=a ，从而FM=4．9．【命题立意】考察椭圆与抛物线的HY 方程，根本量的关系以及分类讨论问题．【思路点拨】由抛物线的HY 方程求得准线方程，从而求得椭圆一个顶点的坐标，这个值是a 还是b ，就必须分两种情况讨论．【答案】D 【解析】由抛物线x y 82=，得到准线方程为2-=x ，又21=a c ，即c a 2=．当椭圆的焦点在x 轴上时，2=a ，1=c ，3222=-=c a b ，此时椭圆的HY 方程为13422=+y x ；当椭圆的焦点在y 轴上时，2=b ，332=c ，334=a ，此时椭圆的HY 方程为1431622=+x y ．应选择D ．10．【命题立意】考察对向量含义的理解，线段垂直平分线的性质、三角形中位线性质和双曲线定义．【思路点拨】画出图形，将向量问题转化为实数中线段关系问题，利用线段垂直平分线的性质和三角形中位线的性质，得到线段的差是常数，符合双曲线的定义．【答案】B 【解析】1说明点N 在圆122=+y x 上，NM M F 21=说明N 是线段M F 1的中点，2MF MP λ=〔x ∈R 〕说明P 在2MF 上，01=⋅PN M F 说明PN 是线段M F 1的垂直平分线，于是有PM PF =1，221MF ON=，从而有ONMF PF PM PF PF 22221==-=-=2＜21F F =4，所以点P 的轨迹是以1F 、2F 为焦点的双曲线的右支．从而选择B ． 11．【命题立意】考察圆的方程，直线与圆相切问题．【思路点拨】圆心，故只需求得其半径即可，而半径为圆心〔-1,2〕到直线的间隔，根据点到直线的间隔可求其半径，从而可求得圆的HY 方程．【答案】()()82122=-++y x 【解析】圆的半径()221112122=-+---=r ，所以圆的方程为()()()2222221=-++y x ，即()()82122=-++y x ．12．【命题立意】考察圆的HY 方程，点到直线的间隔．【思路点拨】先化圆的方程为HY 方程，求出圆心到直线的间隔，再来与半径比拟．【答案】3【解析】圆的方程为()()22222=++-y x ，圆心()2,2-到直线05=--y x 的间隔 222522=-+=d ，圆的半径2=r ，所以圆上到直线的间隔等于22的点有3个．13．【命题立意】考察圆心到直线的间隔、圆的切线长定理和直线与圆相切问题．【思路点拨】画出图形，PM 是切线，切线长最小，即|PC |最小，也就是C 到1l 的间隔．【答案】1±【解析】画出图形，由题意l 2与圆C 只一个交点，说明l 2是圆C 的切线，由于162222-=-=PC CMPC PM ，所以要|PM|最小，只需|PC |最小，即点C 到l 1的间隔22181305mm+=+++，所以|PM|的最小值为4161822=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+m ，解得1±=m ． 14．【命题立意】考察椭圆的HY 方程，椭圆离心率的概念和圆的切线问题．【思路点拨】画出图形，由椭圆的离心率为22得到a c =22，再利用圆的切线的性质得到直角三角形，在直角三角形中求解角度．【答案】2π【解析】如图，连结OA ，那么OA ⊥PA ，22sin 2===∠a c ca a APO ，所以4π=∠APO ，从而2π=∠APB ．15．【命题立意】考察双曲线中由a 、b 、c 构成的直角三角形的几何意义及离心率与a 、b 、c 的关系．【思路点拨】可根据四边形的特征，以“有一个内角小于60°〞为桥梁确定离心率的范围．【答案】⎪⎪⎭⎫⎝⎛2,26【解析】设双曲线的方程为12222=-b y a x =1〔a ＞0，b ＞0〕,如下图，由于在双曲线c ＞b ，所以只能是211B F B ∠＜90°,故由题意可知60°＜211B F B ∠＜90°，∴在11B OF Rt ∆中，30°＜11B OF ∠＜45°，∴33＜c b ＜22，∴31＜222c a c-＜21，即31＜1－21e＜21，∴23＜e 2＜2，∴26＜e ＜2．16．【命题立意】考察圆的HY 方程，直线与圆的位置关系，以及弦长问题．【思路点拨】〔1〕过圆外一点的圆的切线方程，一般设斜率，利用圆心到直线的间隔等于半径来求出斜率，但一定要注意斜率存在与否；〔2〕将弦长AB看成底边，那么三角形的高就是圆心到直线的间隔．【解析】〔1〕圆心为()0,0O ，半径4=r ，当切线的斜率存在时，设过点()8,4-M 的切线方程为()48+=-x k y ，即084=++-k y kx 〔1分〕．那么41|84|2=++k k ，解得43-=k ，〔3分〕，于是切线方程为02043=-+y x 〔5分〕．当斜率不存在时，4-=x 也符合题意．故过点()11,5-M 的圆O 的切线方程为02043=-+y x 或者4-=x ．〔6分〕〔2〕当直线AB 的斜率不存在时，73=∆ABC S ，〔7分〕，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()3-=x k y ，即03=--k y kx ，圆心()0,0O 到直线AB 的间隔 132+=k k d ，〔9分〕线段AB 的长度2162d AB -=，所以()()821616162122222=-+≤-=-==∆d d d d d d d AB S ABC ，〔11分〕当且仅当82=d 时取等号，此时81922=+k k ，解得22±=k ，所以OAB △的最大面积为8，此时直线AB 的斜率为22±．〔12分〕17．【命题立意】此题考察椭圆方程的求法，直线和圆锥曲线的位置关系以及存在性问题．【思路点拨】〔1〕可根据抛物线平移后与坐标轴的交点求得b 、c 的值，从而可得a 的值，故可求椭圆方程；〔2〕可利用向量法解决．【解析】〔1〕抛物线y x 222-=的图象向上平移2个单位长度后其解析式为()2222--=y x ，其与x 、y 轴的交点坐标分别为()0,2±、()2,0，∴2=b ，2=c ，〔2分〕∴62=a ，故椭圆的方程为12622=+y x ．〔4分〕〔2〕由题意可得直线l 的方程为()m x y --=33，代入椭圆方程消去y 得，062222=-+-m mx x ，〔6分〕又()68422--=m m △＞0，∴32-＜m ＜32．〔7分〕设C 、D 分别为()11,y x ，()22,y x ，那么m x x =+21，26221-=m x x ，∴()()()33313333221212121m x x m x x m x m x y y ++-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=，∵()11,2y x FC -=，()22,2y x FD -=，∴()()()()33243363422221212121-=++++-=+--=⋅m m mx x m x x y y x x FD FC ，〔10分〕∵点F 在圆的外部，∴FD FC ⋅＞0，即()332-m m ＞0，解得m ＜0或者m ＞3，又∵32-＜m ＜32，∴32-＜m＜0或者3＜m ＜32．〔12分〕18．【命题立意】考察双曲线的定义和HY 方程，渐近线和离心率计算公式．【思路点拨】〔1〕求渐近线方程的目的就是求ab ，可根据条件建立a 、b 的数量关系来求得；〔2〕可建立e 关于λ的函数，从而可根据λ的范围求得e 的范围；〔3〕可根据离心率确定a 、b 的数量关系，再结合图形确定圆的圆心与半径．【解析】由于()0,2c F ，所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛±a b c P 2,，于是ab PF 22=，a ab a PF PF 22221+=+=，〔1分〕由相似三角形知，112PF OF PF OH =，即121PF PF OF OH =，即ab a a b 222+=λ，〔2分〕∴2222b b a =+λλ，()λλ-=1222b a ，λλ-=1222a b ．〔1〕当31=λ时，122=ab ，∴b a =．〔3分〕所以双曲线的渐近线方程为x y ±=．〔4分〕〔2〕()[]12111211121121122222---=--=---+=-+=+==λλλλλλab ac e ，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,91上为单调递增函数．〔5分〕∴当21=λ时，2e 获得最大值3〔6分〕；当91=λ时，2e 获得最小值45．〔7分〕∴3452≤≤e ，∴325≤≤e ．〔8分〕〔3〕当3=e 时，3=ac，∴a c 3=，∴222a b =．〔9分〕∵212F F PF ⊥，∴1PF 是圆的直径，圆心是1PF 的中点，∴在y 轴上截得的弦长就是直径，∴81=PF ．〔10分〕又a aaa ab a PF 4222221=+=+=，∴84=a ，2=a ，32=c ，22=b ．〔11分〕∴4222===a ab PF ，圆心()2,0C ，半径为4，故圆的方程为()16222=-+y x ．〔12分〕19．【命题立意】考察抛物线的HY 方程，直线与抛物线的位置关系．【思路点拨】设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理来解决；存在性问题一般是假设存在，利用垂径定理推导求解来解决．【解析】〔1〕依题意，可设()11,y x A 、()22,y x B ，直线AB 的方程为p my x +=，由0222222=--⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=p pmy y pxy pmy x ，〔2分〕得⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+2212122py y pmy y ，〔3分〕∴NB NA ⋅=()()2211,,y p x y p x ++()()2121y y p x p x +++=()()212122y y p my p my +++=()()221212421p y y pm y y m ++++=22222p m p +=〔6分〕当0=m 时，NB NA ⋅获得最小值22p .〔7分〕〔2〕假设满足条件的直线l 存在，其方程为a x =，AC 的中点为O '，l 与以AC 为直径的圆相交于P 、Q ，PQ 的中点为H ，那么PQ H O ⊥'，O '的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+2,211y p x ．()2212121212121p x y p x AC P O +=+-==' 〔9分〕，()()()a p a x p a p x a p x HO P O PH -+⎪⎭⎫⎝⎛-=---+='-'=∴1212212222124141，2PQ =()22PH =()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫⎝⎛-a p a x p a 1214〔11分〕，令021=-p a 得p a 21=．此时p PQ =为定值．故满足条件的直线l 存在，其方程为p x 21=．〔13分〕20．【命题立意】考察椭圆与抛物线的HY 方程，直线与椭圆的位置关系．【思路点拨】〔1〕利用抛物线的HY 方程，求出焦点坐标，从而得到椭圆中的b ，再由离心率建立方程，可求得椭圆的HY 方程；〔2〕抓住直线PQ ⊥x 轴，BPQ APQ ∠=∠即直线PA 、PB 的斜率互为相反数，联络方程利用韦达定理来解决．【解析】〔1〕设C 方程为12222=+b y a x 〔a ＞b ＞0〕，那么32=b ．由21=ac，222b c a +=，得a =4∴椭圆C 的方程为1121622=+y x．〔4分〕〔2〕①设()11,y x A ，()22,y x B ，直线AB 的方程为t x y +=21，代入1121622=+y x ，得01222=-++t tx x ，由∆＞0，解得4-＜t ＜4．〔6分〕由韦达定理得t x x -=+21，12221-=t x x ．四边形APBQ 的面积2213483621t x x S -=-⨯⨯=，∴当0=t 时312max=S ．〔8分〕②当BPQ APQ ∠=∠，那么PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k ，那么PB 的斜率为k -，PA 的直线方程为()23-=-x k y ，由()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-)2(11216)1(2322y x x k y ．将〔1〕代入〔2〕整理得()()()04823423843222=--+-++k kx k xk ，有()21433282k k k x +-=+．〔10分〕同理PB 的直线方程为)2(3--=-x k y ，可得()()22243328433282k k k k k k x ++=+---=+，∴2221431216kk x x +-=+，2214348k k x x +-=-．〔12分〕从而AB k =2121x x y y --=()()21213232x x x k x k ---++-=()21214x x k x x k --+=21，所以AB 的斜率为定值21．〔13分〕21．【命题立意】考察圆锥曲线的HY 方程，椭圆与双曲线的定义，向量垂直问题．【思路点拨】〔1〕利用向量的数量积的坐标运算来求出轨迹方程，但一定要注意对参数的讨论；〔2〕利用椭圆或者双曲线的定义确定点P 的位置，以PQ 为直径的圆G 过点2F ，即022=⋅QF PF ，利用向量垂直的坐标运算来解决．【解析】〔1〕∵b a ⊥，∴()()02,2,=+⋅-=⋅y kx y x b a ，得0422=-+y kx ，即422=+y kx ．〔1分〕当0=k 时，方程表示两条与x 轴平行的直线；〔2分〕当1=k 时，方程表示以原点为圆心，以2为半径的圆；〔3分〕当0＜k ＜1时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；〔4分〕当k ＞1时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆；〔5分〕当k ＜0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线．〔6分〕〔2〕由〔1〕知，轨迹T 是椭圆13422=+x y ，那么1F 、2F 为椭圆的两焦点．解法一：由椭圆定义得421=+PF PF ,联立121=-PF PF 解得251=PF，232=PF ，又221=F F ，有2212221F F PF PF +=,∴212F F PF ⊥，∴P 的纵坐标为1，把1=y 代入13422=+x y 得23=x 或者23-=x 〔舍去〕，∴⎪⎭⎫⎝⎛1,23P ．〔9分〕设存在满足条件的圆，那么22QF PF ⊥，设()t s Q ,，那么⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,232PF ，()t s QF --=1,2,∴022=⋅QF PF ，即()01023=-⨯+t s ,∴0=s ．又13422=+s t ，∴2±=t ,∴()2,0Q 或者()2,0-Q ．〔12分〕所以圆G 的方程：1613234322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 或者1645214322=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ．〔13分〕励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

椭圆双曲线抛物线大题训练题(含答案)

椭圆双曲线抛物线训练题一、解答题（共21题；共195分）1.已知椭圆Γ：的左，右焦点分别为F1( ，0)，F2( ，0)，椭圆的左，右顶点分别为A，B，已知椭圆Γ上一异于A，B的点P，PA，PB的斜率分别为k1，k2，满足.（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若过椭圆Γ左顶点A作两条互相垂直的直线AM和AN，分别交椭圆Γ于M，N两点，问x轴上是否存在一定点Q，使得∠MQA=∠NQA成立，若存在，则求出该定点Q，否则说明理由.2.已知椭圆C：=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A（，）在椭圆C上，且△F1AF2的面积为。

（1）求椭圆C的方程。

（2）设直线y=kx+1和椭圆C交于B，D两点，O为坐标原点，判断在y轴上是否存在点E，使∠OEB=∠OED。

若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。

3.已知椭圆的离心率为，点椭圆的右顶点.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，直线与直线的斜率和为，求直线l的方程.4.设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.5.设A，B为曲线C：y= 上两点，A与B的横坐标之和为4．（12分）（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．6.设椭圆的右焦点为，过得直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.7.已知椭圆C：+ =1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（12分）（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．8.设椭圆的左焦点为，左顶点为，顶点为B.已知（为原点）.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.9.已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为（1）证明:（2）设为的右焦点，为上一点，且，证明:10.已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．（Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上；（Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．11.设抛物线的焦点为F，过F点且斜率的直线与交于两点，. （1）求的方程。

椭圆、双曲线抛物线综合练习题及答案.

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每题6分共36分）1. 椭圆221259x y +=的焦距为。

（） A ． 5 B. 3 C. 4 D 82．已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4,0），（4,0），则双曲线的方程为（）A ．221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D 221610x y -= 3．双曲线22134x y -=的两条准线间的距离等于（） A ．67 B. 37 C. 185 D 1654.椭圆22143x y +=上一点P 到左焦点的距离为3，则P 到y 轴的距离为（） A ． 1 B. 2 C. 3 D 45．双曲线的渐进线方程为230x y ±=，(0,5)F -为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程为。

（）A ．22149y x -= B. 22194x y -= C. 2213131100225y x -= D 2213131225100y x -= 6．设12,F F 是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ︒∠=且123AF AF =,则双曲线的离心率为（）A ．52B. 102C. 152 D 57.设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4B ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x8．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115D.37169．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )10．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8二．填空题。

高二数学浙江椭圆与双曲线测试

椭圆双曲线测试----理科1、如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率是（）A 、32 D 、2 2、若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的 ( ) A ．充分不必要条件. B ．必要不充分条件. C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3、已知P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0,F 1 、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|P F 1 |=3，则|P F 2|= （）A ． 6B ．7C ．5D ．34、过点（2，-2）且与2212x y -=有公共渐进线的双曲线方程是（） A 、22142x y -+= B 、22142x y += C 、22124x y -+= D 、22124x y -= 5、⎪⎭⎫ ⎝⎛π∈20,a 方程122=α+αcos y sin x 表示焦点在y 轴的椭圆，则α的范围是（ A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛π40, B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛π40, C. ,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ24, 6、△ABC 一边的两个顶点为B （-3，0），C （3，0）另两边所在直线的斜率之积为2，则顶点A 的轨迹落在下列哪一种曲线上（）A 、圆B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线 7、斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于A ，B 两点，则|AB|的最大值为（）A 、2B D 8、⊿ABC 中，已知(4,0),(4,0)A B -，且s i n s i n A B -=1s i n 2C ，则C 的轨迹方程是（） A 221412x y += B 221(2)412x y x -=<- C ． 221124x y -= D ． 221(1)124x y y -=≠ 9、椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率22=e ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e,则椭圆方程为____ ________．10、P 是双曲线22x y 1916＝的右支上一点，M 、N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则||||PM PN -的最大值为．二、解答题：11、已知双曲线的中心在原点，左右焦点分别为12,F F ，且过点(4,，求此双曲线的标准方程；12、如图，椭圆以边长为1的正方形ABCD 的对角顶点A ，C 为焦点，且经过各边的中点，试建立适当的坐标系，求椭圆的方程；13、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使得弦被M 点平分，求此弦所在的直线方程；14、如图，线段MN 的两个端点M 、N 分别在x 轴、y 轴上滑动，5=MN ，点P 是线段MN 上一点，且23MP PN =，点P 随线段MN 的运动而变化.求点P 的轨迹。

椭圆,双曲线,抛物线练习题及答案

椭圆,双曲线,抛物线练习题及答案1、已知椭圆方程为 $x^2/23+y^2/32=1$，则这个椭圆的焦距为（） A．6 B．3 C．35 D．652、椭圆 $4x^2+2y^2=1$ 的焦点坐标是（） A．(-2,0),(2,0) B．(0,-2),(0,2) C．(0,-1/2),(0,1/2) D．(-2/2,0),(2/2,0)3、$F_1$，$F_2$ 是定点，且 $FF_{12}=6$，动点$M$ 满足 $MF_1+MF_2=6$，则 $M$ 点的轨迹方程是（）A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段4、已知方程$x^2+my^2=1$ 表示焦点在$y$ 轴上的椭圆，则 $m$ 的取值范围是（） A．$m1$ D．$1<m<5$5、过点 $(3,-2)$ 且与椭圆 $4x^2+9y^2=36$ 有相同焦点的椭圆方程是（）A．$x^2y^2/15+10=1$ B．$x^2y^2/152+102=1$ C．$x^2/10+y^2/15=1$ D．$x^2y^2/102+152=1$6、若直线 $y=mx+1$ 与椭圆 $x^2+4y^2=1$ 只有一个公共点，那么 $m^2$ 的值是（）A．$1/2$ B．$3/4$ C．$2/3$ D．$4/5$7、已知椭圆 $C:x^2/9+y^2/2=1$，直线 $l:x/10+y=1$，点$P(2,-1)$，则（） A．点 $P$ 在 $C$ 内部，$l$ 与 $C$ 相交B．点 $P$ 在 $C$ 外部，$l$ 与 $C$ 相交 C．点 $P$ 在 $C$ 内部，$l$ 与 $C$ 相离 D．点 $P$ 在 $C$ 外部，$l$ 与 $C$ 相离8、过椭圆 $C:x^2/a^2+y^2/b^2=1$ 的焦点引垂直于 $x$ 轴的弦，则弦长为（） A。

$2b^2/a$ B。

$b^2/a$ C。

$b/a$ D。

$2b/a$9、抛物线 $x+2y^2=0$ 的准线方程是（） A。

椭圆双曲线抛物线大题及答案

椭圆双曲线抛物线大题及答案近年来，越来越多的数学考试和竞赛中出现了椭圆、双曲线和抛物线的大题。

这些大题考查的是对于这些曲线的了解和掌握，以及运用其性质解决数学问题的能力。

下面，我们来一起探讨一下椭圆、双曲线和抛物线的大题及其答案。

一、椭圆的大题及答案椭圆的一般方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>b>0$。

1.已知椭圆的焦点为$(\pm c,0)$，准线为$x=\pm a$，则椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1$。

证明：由于椭圆的准线为$x=\pm a$，则$a$为椭圆的半长轴，$b=\sqrt{a^2-c^2}$为椭圆的半短轴。

又由于椭圆的焦点为$(\pmc,0)$，则$c=\sqrt{a^2-b^2}$为椭圆的焦距。

代入椭圆的一般方程，得到$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1$。

2.已知椭圆的离心率为$\frac{1}{3}$，其中一个焦点为$(4,0)$，则椭圆的方程为$\frac{(x-4)^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$。

证明：由于椭圆的离心率为$\frac{1}{3}$，则椭圆的半长轴为$a=9$，焦距为$c=\frac{a}{3}=3$，半短轴为$b=\sqrt{a^2-c^2}=6$。

又由于一个焦点为$(4,0)$，则另一个焦点为$(-4,0)$。

代入椭圆的一般方程，得到$\frac{(x-4)^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$。

二、双曲线的大题及答案双曲线的一般方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>0$，$b>0$。

1.已知双曲线的离心率为2，其中一个焦点为$(5,0)$，则双曲线的方程为$\frac{(x-5)^2}{16}-\frac{y^2}{12}=1$。

椭圆、双曲线、抛物线综合检测(含答案)

椭圆、双曲线、抛物线综合试题学校:___________姓名：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）1．(a>0,b>0)的一条渐近线方程是它的一个焦点在抛物线y 2=24x 的准线上，则双曲线的方程为( )2．已知焦点在x 轴上的椭圆，则a 的值为 ( ) ABD ．123．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x4．椭圆2249144x y +=内的一点(3,2)P ，过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在的直线方程A. 32120x y +-=B. 23120x y +-=C. 491440x y +-=D. 941440x y +-=5k 适合的条件是A ．2k <-或25k <<B ．22k -<<或5k >C ．2k <-或5k > D．25k -<<6．已知P 为抛物线上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A的坐标是（）(A)8 (B)(C)107 A 、0 B 、1 C 、2 D 、38（0,0>>>b m a ）的离心率之积大于1，则以m b a ,,为边长的三角形一定是（）A 等腰三角形B 锐角三角形C 直角三角形D 钝角三角形第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明9．已知P上一点，F 1,F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2=900,则△F 1PF 2的面积为___________;10．如图，双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，. 若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为. 则（Ⅰ）双曲线的离心率；（Ⅱ）菱形的面积与矩形的面积的比值 . 11．过点)2,2(p M -作抛物线)0(22>=p py x 的两条切线，切点分别为A 、B ，若线段AB 中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为．12．对任意实数k ,直线y kx b =+与椭圆,则b 的取值范围是三、解答题（题型注释）13．（本小题满分12分）抛物线22y px =的焦点与双曲线. （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）求抛物线的准线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积.14．已知1F )0,1(-、2F )0,1(为椭圆的焦点，且直线（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，求△2ABF 的面积S 的最大值，并求此时直线的方程。

专题15 椭圆、双曲线、抛物线(高考押题)(解析版)

高考押题专练1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1，F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3，4)，则此双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1B.x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1 【答案】C【解析】以F 1，F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，又因为点(3，4)在圆上，所以32＋42＝c 2，所以c ＝5，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，且点(3，4)在这条渐近线上，所以b a ＝43，又a 2＋b 2＝c 2＝25，解得a ＝3，b ＝4，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1，故选C.2．椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍【答案】A【解析】由题设知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，如图，∵线段PF 1的中点M 在y 轴上， ∴可设P (3，b )，把P (3，b )代入椭圆x 212＋y 23＝1，得b 2＝34.∴|PF 1|＝36＋34＝732，|PF 2|＝0＋34＝32. ∴|PF 1||PF 2|＝73232＝7.故选A.3．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【答案】B【解析】由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|⇒cos 60°＝（|PF 1|－|PF 2|）2＋2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|⇒|PF 1|·|PF 2|＝4.4．设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点，点P ⎝⎛⎭⎫62，22在此双曲线上，且PF 1⊥PF 2，则双曲线C 的离心率等于( )A.22 B. 2 C. 3 D.62【答案】B【解析】根据已知条件得：⎩⎪⎨⎪⎧32a 2－12b 2＝1，⎝⎛⎭⎫62＋c 2＋12＋⎝⎛⎭⎫62－c 2＋12＝4c 2，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2－1c 2－a 2＝2，c 2＝2，∴解得a ＝1，c ＝ 2.∴双曲线C 的离心率e ＝ca＝ 2.故选B.5．已知抛物线C 的顶点是椭圆x 24＋y 23＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点F 2重合，若抛物线C 与该椭圆在第一象限的交点为P ，椭圆的左焦点为F 1，则|PF 1|＝( )A.23B.73C.53 D ．2 【答案】B【解析】由椭圆的方程可得a 2＝4，b 2＝3，∴c ＝a 2－b 2＝1，故椭圆的右焦点F 2为(1，0)，即抛物线C 的焦点为(1，0)，∴p 2＝1，∴p ＝2，∴2p ＝4，∴抛物线C 的方程为y 2＝4x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y 2＝4x .解得⎩⎨⎧x ＝23，y ＝263或⎩⎨⎧x ＝23，y ＝－263，∵P 为第一象限的点，∴P ⎝⎛⎭⎫23，263，∴|PF 2|＝1＋23＝53，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝4－53＝73，故选B.6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．45 【答案】B【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋p2＝4，－p2＝－2，－1＝（－2）·b a⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，a ＝2，b ＝1⇒c ＝a 2＋b 2＝ 5. ∴双曲线的焦距2c ＝2 5.故选B.7．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8 【答案】C【解析】∵y 2＝4x ，∴F (1，0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2＝4x 联立，解得x ＝3或x ＝13(舍)，故A (3，23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝4 3.故选C.8．已知直线y ＝k (x ＋1)(k >0)与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若||F A ＝2||FB ，则k ＝( )A.13B.223C.23D.23 【答案】B【解析】设A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，由||F A ＝2||FB 得y 1＝2y 2(如图)．由y ＝k (x ＋1)得，x ＝yk －1，代入C ：y 2＝4x 并整理得ky 2－4y ＋4k ＝0，又y 1，y 2是该方程的两根，∴⎩⎨⎧3y 2＝y 1＋y 2＝4k， ①2y 22＝y 1y 2＝4kk＝4， ②∴由①②得，2＝y 22＝⎝⎛⎭⎫43k 2.∵k >0，∴k ＝223.故选B.9．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F (c ，0)(c >0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两实根分别为x 1，x 2，则P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2外C ．必在圆x 2＋y 2＝1外D ．必在圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＝2形成的圆环之间【答案】D【解析】椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F (c ，0)(c >0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两实根分别为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝－ca，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝b 2a 2＋2ac a 2>a 2＋c 2a 2＝1＋e 2，因为0<e <1，即0<e 2<1. 所以1<e 2＋1<2，所以x 21＋x 22>1，又b 2a 2＋2ac a 2<b 2＋a 2＋c 2a 2＝2，所以1<x 21＋x 22<2，即点P 在圆x 2＋y 2＝1与x 2＋y 2＝2形成的圆环之间．故选D.10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，抛物线y 2＝158(a ＋c )x 与椭圆交于B ，C 两点，若四边形ABFC 是菱形，则椭圆的离心率等于( )A.158B.415C.23D.12 【答案】D【解析】∵椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，∴A (a ，0)，F (－c ，0)．∵抛物线y 2＝158(a ＋c )x 与椭圆交于B ，C 两点，∴B ，C 两点关于x 轴对称，可设B (m ，n )，C (m ，－n )． ∵四边形ABFC 是菱形， ∴m ＝12(a －c )．将B (m ，n )代入抛物线方程，得 n 2＝158(a ＋c )·12(a －c )＝1516b 2，∴B ⎝⎛⎭⎫12（a －c ），154b ，再代入椭圆方程，得⎣⎡⎦⎤12（a －c ）2a 2＋⎝⎛⎭⎫154b 2b 2＝1，即14·（a －c ）2a 2＝116，化简整理，得4e 2－8e ＋3＝0，解得e ＝12(e ＝32>1不符合题意，舍去)．故选D.11．已知A (－1，0)，B 是圆F ：x 2－2x ＋y 2－11＝0(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为( )A.x 212＋y 211＝1 B.x 236－y 235＝1 C.x 23－y 22＝1 D.x 23＋y 22＝1 【解析】由题意得|P A |＝|PB |，所以|P A |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝r ＝23＞|AF |＝2.所以点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝1，所以b ＝2，所以动点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1.【答案】D12．已知双曲线C ：x 2－y 23＝1的右顶点为A ，过右焦点F 的直线l 与C 的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B ，则S △ABF ＝( )A. 3B.32C.334D.338【解析】由双曲线C ：x 2－y 23＝1，得a 2＝1，b 2＝3，故c ＝a 2＋b 2＝2，所以A (1，0)，F (2，0)，渐近线方程为y ＝±3x . 不妨设BF 的方程为y ＝3(x －2)，代入方程y ＝－3x ，解得B (1，－3)，所以S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12×1×3＝32.【答案】B13．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |等于________．【解析】过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP →＝4FQ →，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4. 又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ |′＝3. 【答案】3 14．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的一点M (1，t )(t ＞0)到焦点的距离为5，双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为________．【解析】由题设1＋p2＝5，所以p ＝8.不妨设点M 在x 轴上方，则M (1，4)，由于双曲线的左顶点A (－a ，0)，且AM 平行一条渐近线，所以41＋a ＝3a，则a ＝3. 【答案】315．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，由F 向其渐近线引垂线，垂足为P ，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为________．【解析】方法一：由题意设F (c ，0)，相应的渐近线方程为y ＝b a x ，根据题意得k PF ＝－ab ，设P ⎝⎛⎭⎫x ，b a x ，代入k PF ＝－a b 得x ＝a 2c ，则P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，ab c ，则线段PF 的中点为⎝⎛⎭⎫12⎝⎛⎭⎫a 2c ＋c ，ab 2c ，代入双曲线方程得14⎝⎛⎭⎫a c ＋c a 2－14⎝⎛⎭⎫a c 2＝1，即14⎝⎛⎭⎫1e ＋e 2－14·⎝⎛⎭⎫1e 2＝1，∴e 2＝2，∴e ＝ 2. 方法二：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为x a ±yb＝0，焦点F 到渐近线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪c a ⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫±1b 2＝b .设线段PF 的中点M (x 0，y 0)，则其到两条渐近线的距离分别为b ，b 2，距离之积为b 22，又距离之积为⎪⎪⎪⎪x 0a －y 0b ⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫－1b 2·⎪⎪⎪⎪x 0a ＋y 0b ⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫1b 2＝a 2b 2c 2，则a 2b 2c 2＝b 22， ∴a 2c 2＝12，e ＝ 2. 【答案】216．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________．【解析】将双曲线方程化为标准方程得x 2a 2－y 23a2＝1，抛物线的准线为x ＝－2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 23a 2＝1，y 2＝8ax ，解得x ＝3a ，即点P 的横坐标为3a .而由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a解得|PF 2|＝6－a ，∴|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，解得a ＝1， ∴抛物线的准线方程为x ＝－2. 【答案】 x ＝－217．设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若ED →＝6DF →，则k 的值为________．【解析】依题意得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝21＋4k 2.由ED →＝6DF →知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2.由D 在直线AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，x 0＝21＋2k ，所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简得24k2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38. 【答案】 23或3818．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP →＝(λ－1)OA →(λ∈R)，且OA →·OP→＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________．【解析】∵AP →＝(λ－1)OA →，∴OP →＝λOA →，则O ，P ，A 三点共线． ∵OA →·OP →＝72，∴|OA →||OP →|＝72，设线段OP 与x 轴的夹角为θ，设A (x ，y )，B 为点A 在x 轴的投影，则线段OP 在x 轴上的投影长度为|OP →|cos θ＝72|OB →||OA →|2＝72×|x |x 2＋y 2＝72×11625|x |＋9|x |≤72×1216×925＝15. 当且仅当|x |＝154时等号成立．则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为15. 【答案】1519．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1，0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M . (1)若过点M 的直线l 与抛物线C 有且只有一个交点，求直线l 的方程； (2)若直线MF 与抛物线C 交于A ，B 两点，求△OAB 的面积．【解析】(1)由题意得抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1，0)，抛物线E ：x 2＝2py 的焦点为M ，所以p ＝2，M (0，1)，①当直线l 的斜率不存在时，x ＝0，满足题意；②当直线l 的斜率存在时，设方程为y ＝kx ＋1，代入y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0，当k ＝0时，x ＝14，满足题意，直线l 的方程为y ＝1；当k ≠0时，Δ＝(2k －4)2－4k 2＝0，所以k ＝1，方程为y ＝x ＋1，综上可得，直线l 的方程为x ＝0或y ＝1或y ＝x ＋1.(2)结合(1)知抛物线C 的方程为y 2＝4x ，直线MF 的方程为y ＝－x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝－x ＋1，得y 2＋4y －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－4，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝42，所以S △OAB ＝12|OF ||y 1－y 2|＝2 2.20．如图，已知椭圆C 的中心在原点，其一个焦点与抛物线y 2＝46x 的焦点相同，又椭圆C 上有一点M (2，1)，直线l 平行于OM 且与椭圆C 交于A ，B 两点，连接MA ，MB .(1)求椭圆C 的方程；(2)当MA ，MB 与x 轴所构成的三角形是以x 轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l 在y 轴上截距的取值范围．【解析】(1)抛物线y 2＝46x 的焦点为(6，0)，又椭圆C 上有一点M (2，1)，由题意设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝6＝a 2－b 2，4a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)∵l ∥OM ⇒k 1＝k O M ＝12，设直线在y 轴上的截距为m ，则直线l ：y ＝12x ＋m .直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．联立⎩⎨⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1消去y 得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0，∴Δ＝(2m )2－4(2m 2－4)＝4(4－m 2)＞0， ∴m 的取值范围是{m |－2＜m ＜2，且m ≠0}，设MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2， ∴k 1＋k 2＝0，则A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则k 1＝y 1－1x 1－2，k 2＝y 2－1x 2－2，x 1x 2＝2m 2－4，x 1＋x 2＝－2m ，∴k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝（y 1－1）（x 2－2）＋（y 2－1）（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）＝⎝⎛⎭⎫12x 1＋m －1（x 2－2）＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋m －1（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）＝x 1x 2＋（m －2）（x 1＋x 2）－4（m －1）（x 1－2）（x 2－2）＝2m 2－4－2m 2＋4m －4m ＋4（x 1－2）（x 2－2）＝0，故MA ，MB 与x 轴始终围成等腰三角形时，∴直线l 在y 轴上的截距m 的取值范围是{m |－2＜m ＜2，且m ≠0}．21．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且椭圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫43，13. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设过点A (0，2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，求点Q 的轨迹方程．【解析】(1)由椭圆定义知， 2a ＝|PF 1|＋|PF 2| ＝⎝⎛⎭⎫43＋12＋⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫43－12＋⎝⎛⎭⎫132＝22，所以a ＝ 2.又由已知，得c ＝1，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12＝22. (2)由(1)知，椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. 设点Q 的坐标为(x ，y )．①当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0，1)，(0，－1)两点，此时点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，2－355. ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1＋2)，(x 2，kx 2＋2)，则|AM |2＝(1＋k 2)x 21，|AN |2＝(1＋k 2)x 22.又|AQ |2＝x 2＋(y －2)2＝(1＋k 2)x 2.由2|AQ |2＝1|AM |2＋1|AN |2，得 2（1＋k 2）x 2＝1（1＋k 2）x 21＋1（1＋k 2）x 22，即2x 2＝1x 21＋1x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 21x 22.① 将y ＝kx ＋2代入x 22＋y 2＝1中，得 (2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0.②由Δ＝(8k )2－4×(2k 2＋1)×6>0，得k 2>32. 由②可知，x 1＋x 2＝－8k 2k 2＋1，x 1x 2＝62k 2＋1，代入①中并化简，得x 2＝1810k 2－3.③ 因为点Q 在直线y ＝kx ＋2上，所以k ＝y －2x，代入③中并化简，得10(y －2)2－3x 2＝18.由③及k 2>32，可知0<x 2<32，即x ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62. 又点⎝⎛⎭⎫0，2－355满足10(y －2)2－3x 2＝18，故x ∈⎝⎛⎭⎫－62，62. 由题意知Q (x ，y )在椭圆C 内，所以－1≤y ≤1.又由10(y －2)2＝18＋3x 2有(y －2)2∈⎣⎡⎭⎫95，94，且－1≤y ≤1，则y ∈⎝⎛⎦⎤12，2－355. 所以点Q 的轨迹方程为10(y －2)2－3x 2＝18，其中x ∈⎝⎛⎭⎫－62，62，y ∈⎝⎛⎦⎤12，2－355. 22．如图，已知M (x 0，y 0)是椭圆C ：x 26＋y 23＝1上的任一点，从原点O 向圆M ：(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝2作两条切线，分别交椭圆于点P ，Q .(1)若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；(2)试问|OP |2＋|OQ |2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【解析】(1)证明：因为直线OP ：y ＝k 1x ，OQ ：y ＝k 2x 与圆M 相切，所以|k 1x 0－y 0|1＋k 21＝2，化简得：(x 20－2)k 21－2x 0y 0k 1＋y 20－2＝0，同理：(x 20－2)k 22－2x 0y 0k 2＋y 20－2＝0，所以k 1，k 2是方程(x 20－2)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－2＝0的两个不相等的实数根，所以k 1·k 2＝y 20－2x 20－2. 因为点M (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 206＋y 203＝1，即y 20＝3－12x 20，所以k 1k 2＝1－12x 20x 20－2＝－12为定值． (2)|OP |2＋|OQ |2是定值，定值为9.理由如下：方法一：①当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧x 21＝61＋2k 21，y 21＝6k 211＋2k 21，所以x 21＋y 21＝6（1＋k 21）1＋2k 21，同理得x 22＋y 22＝6（1＋k 22）1＋2k 22，又因为k 1k 2＝－12，所以|OP |2＋|OQ |2＝x 21＋y 21＋x 22＋y 22＝6（1＋k 21）1＋2k 21＋6（1＋k 22）1＋2k 22＝6（1＋k 21）1＋2k 21＋6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝⎛⎭⎫－12k 121＋2⎝⎛⎭⎫－12k 12＝9＋18k 211＋2k 21＝9. ②当直线OP ，OQ 落在坐标轴上时，显然有|OP |2＋|OQ |2＝9，综上：|OP |2＋|OQ |2＝9为定值．方法二：①当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，因为k 1k 2＝－12，所以y 21y 22＝14x 21x 22，因为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在椭圆C 上，所以⎩⎨⎧x 216＋y 213＝1，x 226＋y 223＝1，即⎩⎨⎧y 21＝3－12x 21，y 22＝3－12x 22，所以⎝⎛⎭⎫3－12x 21⎝⎛⎭⎫3－12x 22＝14x 21x 22，整理得x 21＋x 22＝6，所以y 21＋y 22＝⎝⎛⎭⎫3－12x 21＋⎝⎛⎭⎫3－12x 22＝3，所以|OP |2＋|OQ |2＝9. ②当直线OP ，OQ 落在坐标轴上时，显然有|OP |2＋|OQ |2＝9，综上：|OP |2＋|OQ |2＝9为定值．23．已知动点P 到定点F (1，0)和到直线x ＝2的距离之比为22，设动点P 的轨迹为曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，直线l ：y ＝mx ＋n 与曲线E 交于C ，D 两点，与线段AB 相交于一点(与A ，B 不重合)．(1)求曲线E 的方程；(2)当直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切时，四边形ABCD 的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由．【解析】(1)设点P (x ，y )，由题意可得，（x －1）2＋y 2|x －2|＝22，整理可得x 22＋y 2＝1. ∴曲线E 的方程是x 22＋y 2＝1. (2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由已知可得|AB |＝ 2.当m ＝0时，不合题意．当m ≠0时，由直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，可得|n |m 2＋1＝1，即m 2＋1＝n 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋n ，x 22＋y 2＝1消去y 得⎝⎛⎭⎫m 2＋12x 2＋2mnx ＋n 2－1＝0， ∴Δ＝4m 2n 2－4⎝⎛⎭⎫m 2＋12(n 2－1)＝2m 2＞0，则x 1＝－2mn ＋Δ2m 2＋1，x 2＝－2mn －Δ2m 2＋1， ∴S 四边形ACBD ＝12|AB ||x 2－x 1|＝2|m |2m 2＋1＝22|m |＋1|m |≤22，当且仅当2|m |＝1|m |，即m ＝±22时等号成立，此时n ＝±62，经检验可知，直线y ＝22x －62和直线y ＝－22x ＋62符合题意． 24．如图，已知抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (1，2)作抛物线C 的弦AP ，AQ .(1)若AP ⊥AQ ，证明：直线PQ 过定点，并求出定点的坐标；(2)假设直线PQ 过点T (5，－2)，请问是否存在以PQ 为底边的等腰三角形APQ ？若存在，求出△APQ 的个数，若不存在，请说明理由．【解析】(1)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋n ，点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，y 2＝4x得y 2－4my －4n ＝0.由Δ>0，得m 2＋n >0，y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－4n .∵AP ⊥AQ ，∴AP →·AQ →＝0，∴(x 1－1)(x 2－1)＋(y 1－2)(y 2－2)＝0.又x 1＝y 214，x 2＝y 224， ∴(y 1－2)(y 2－2)[(y 1＋2)(y 2＋2)＋16]＝0，∴(y 1－2)(y 2－2)＝0或(y 1＋2)(y 2＋2)＋16＝0.∴n ＝－2m ＋1或n ＝2m ＋5.∵Δ>0恒成立，∴n ＝2m ＋5.∴直线PQ 的方程为x －5＝m (y ＋2)，∴直线PQ 过定点(5，－2)．(2)假设存在以PQ 为底边的等腰三角形APQ .设直线PQ 的方程为x ＝my ＋n .∵直线PQ 过点T (5，－2)，∴5＝m ·(－2)＋n ，∴n ＝2m ＋5.∴直线PQ 的方程为x ＝my ＋2m ＋5.设点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2m ＋5，y 2＝4x 得 y 2－4my －8m －20＝0.∴y 1＋y 2＝4m ，y 1·y 2＝－8m －20.∵PQ 的中点坐标为M ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即M ⎝⎛⎭⎫y 21＋y 228，y 1＋y 22，且y 21＋y 228＝（y 1＋y 2）2－2y 1y 28＝2m 2＋2m ＋5，∴PQ 的中点坐标为M (2m 2＋2m ＋5，2m )．由已知得2m －22m 2＋2m ＋5－1＝－m ，即m 3＋m 2＋3m －1＝0.设g (m )＝m 3＋m 2＋3m －1，则g ′(m )＝3m 2＋2m ＋3>0，∴g (m )在R 上是增函数．又g (0)＝－1<0，g (1)＝4>0，∴g (m )在(0，1)内有一个零点．∴函数g (m )在R 上有且只有一个零点，即方程m 3＋m 2＋3m －1＝0在R 上有唯一实根，∴满足条件的等腰三角形有且只有一个．25.已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)若AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程；(2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切．【解析】(1)∵AB ∥l ，∴|AB |＝2p .又|FD |＝p ，∴S △ABD ＝p 2＝1.∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py消去y 得，x 2－2kpx －p 2＝0.∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2. 其中A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212p ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222p . ∴M ⎝⎛⎭⎫kp ，k 2p ＋p 2，N ⎝⎛⎭⎫kp ，－p 2. ∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp ＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p . 又x 2＝2py 即y ＝x 22p ，∴y ′＝x p. ∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x 1p.∴直线AN 与抛物线相切． 26．已知椭圆E 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，离心率等于223，P 是椭圆E 上的点．以线段PF 1为直径的圆经过F 2，且9PF 1―→·PF 2―→＝1.(1)求椭圆E 的方程；(2)作直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N .如果线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，求直线l 的倾斜角的取值范围．【解析】(1)依题意，设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，半焦距为c . ∵椭圆E 的离心率等于223， ∴c ＝223a ，b 2＝a 2－c 2＝a 29. ∵以线段PF 1为直径的圆经过F 2，∴PF 2⊥F 1F 2.∴|PF 2|＝b 2a. ∵9PF 1―→·PF 2―→＝1，∴9|PF 2―→|2＝9b 4a2＝1. 由⎩⎨⎧ b 2＝a 29，9b 4a 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝1，∴椭圆E 的方程为y 29＋x 2＝1. (2)∵直线2x ＋1＝0即x ＝－12与x 轴垂直，且由已知得直线l 与直线x ＝－12相交， ∴直线l 不可能与x 轴垂直，∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，y 29＋x 2＝1，得(k 2＋9)x 2＋2kmx ＋(m 2－9)＝0. ∵直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N ，∴Δ＝4k 2m 2－4(k 2＋9)(m 2－9)>0，即m 2－k 2－9<0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2km k 2＋9. ∵线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，∴2×x 1＋x 22＋1＝0，即－2km k 2＋9＋1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－k 2－9<0，－2km k 2＋9＋1＝0，得⎝⎛⎭⎫k 2＋92k 2－(k 2＋9)<0.∵k 2＋9>0，∴k 2＋94k 2－1<0， ∴k 2>3，解得k >3或k <－ 3.∴直线l 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎫π3，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，2π3.。

高中数学圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)经典习题

高中数学圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)经典习题1.已知圆$x^2+y^2-6x-7=0$与抛物线$y^2=2px(p>0)$的准线相切，则抛物线方程为$y^2=8x$。

2.与双曲线$2x^2-2y^2=1$有公共焦点，离心率互为倒数的椭圆方程为$\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{16}=1$。

3.方程$k-\dfrac{35}{k}+\dfrac{x^2}{y^2}=1$表示双曲线，则$m$的取值范围是$(-\infty,-7)\cup(0,7)$。

4.经过点$M(3,-2),N(-2,3)$的椭圆的标准方程是$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{9}=1$。

5.与双曲线$x^2-y^2=53$有公共渐近线且焦距为8的双曲线方程为$\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$。

6.过点$P(-2,4)$的抛物线的标准方程为$y=\dfrac{1}{8}(x+2)^2$。

7.以$\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{12}=-1$的上焦点为顶点，下顶点为焦点的椭圆方程为$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{48}=1$。

重点二：1.椭圆$16x+25y=400$的焦点为$F_1,F_2$，直线$AB$过$F_1$，则$\triangle ABF_2$的周长为$10$。

2.动圆的圆心在抛物线$y^2=8x$上，且动圆恒与直线$x+2=0$相切，则动圆必过定点$(-1,2)$。

3.椭圆$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$上的一点$M$到左焦点$F_1$的距离为$2$，$N$是$MF_1$的中点，则$ON=\dfrac{4}{3}$。

4.设椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$和双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$有公共焦点$F_1,F_2$，点$P$是两曲线的一个公共点，则$\cos\angleF_1PF_2=\dfrac{3}{5}$。

高二数学双曲线试题

高二数学双曲线试题1.双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，易求M坐标为，在三角形中，即，由得，答案选B.【考点】双曲线的性质2.已知双曲线的右焦点是抛物线的焦点，两曲线的一个公共点为，且，则双曲线的离心率为A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得：双曲线的焦点为，且两曲线的一个公共点为在y轴右侧，因为，因此可设点,所以,所以，所以双曲线的离心率为．【考点】双曲线、抛物线的定义及性质．3.与双曲线有共同的渐近线，并且过点A(6,8)的双曲线的标准方程为__________．【答案】【解析】设所求双曲线为，把点(6,8)代入，得,解得λ=-4，∴所求的双曲线的标准方程为．故答案为：．【考点】双曲线的性质和应用．4.已知集合P={x|1≤x≤8，x∈Z}，直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1有且只有一个公共点，其中m、n∈P，则满足上述条件的双曲线共有__________________个.【答案】3【解析】依题意，将直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1的方程联立，消去y得：（m-4n）x2-4nx-n-1=0；分①直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1相切，②直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1相交，讨论，分利用判别式与直线y=2x+1与双曲线mx2-ny2=1的一条渐近线y=x平行即可求得答案．【考点】直线与双曲线的位置关系.5.已知双曲线中心在原点，一个焦点为，点P在双曲线上，且线段的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是________________.【答案】【解析】由题可得P（，4），∵，∴把P（，4）代入双曲线标准方程，解方程组即可.【考点】双曲线的标准方程.6.双曲线的焦距是10，则实数的值是（）A．B．4C．16D．81【答案】C【解析】由双曲线的方程，可得，而，所以由可得，故选C.【考点】双曲线的定义及其标准方程.7.设P是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于 ( )A．2B．18C．2或18D．16【答案】C【解析】因为双曲线渐近线方程是，所以又因为,所以等于2或18【考点】双曲线定义，渐近线方程8.已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴，离心率＝，∴，故选C．【考点】1、双曲线的性质；2、直线与圆锥曲线的位置关系．9.抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的焦点，若△为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先根据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得，根据双曲线的对称性可知为等腰直角三角形，进而可求得或的纵坐标为，进而求得，利用和的关系求得，则双曲线的离心率可得. 解：依题意知抛物线的准线方程为，代入双曲线的方程得，不妨设，设准线与轴的交点为，∵是直角三角形，所以根据双曲线的对称性可知，为等腰直角三角形，所以即，解得，∴，所以离心率为，选D.【考点】双曲线的性质.10.若中心在原点,以坐标轴为对称轴的圆锥曲线,离心率为,且过点,则曲线的方程为________.【答案】【解析】离心率为的圆锥曲线是双曲线，而且是等轴双曲线，故可设基方程为，把点代入可求出．因此双曲线方程为．【考点】等轴双曲线的标准方程．11.过双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于______.【答案】2.【解析】本题MN实质上是双曲线的通径，(可令代入双曲线方程求出的坐标，从而得出通径长)，根据题意应该有，.【考点】双曲线的通径与离心率.12.已知双曲线(a＞0，b＞0)的离心率，过点A(0，－b)和B(a，0)的直线与原点的距离是．（Ⅰ）求双曲线的方程及渐近线方程；（Ⅱ）若直线y＝kx＋5 (k≠0)与双曲线交于不同的两点C、D，且两点都在以A为圆心的同一个圆上，求k的值．【答案】（Ⅰ）,；（Ⅱ）＝【解析】本题主要考察双曲线的标准方程、韦达定理等基础知识，考察学生运算能力、综合分析和解决问题的能力.（Ⅰ）离心率为，∴，∴①，直线的方程为即，利用点到直线的距离公式得到：②，两式联立，可求出，∴双曲线方程为，渐近线方程为：；（Ⅱ）两点在以为圆心的同一个圆上，的中垂线过点,将直线与双曲线联立，消去，可得，设，中点为，则∴，解得＝，并检验是否满足(.试题解析：（Ⅰ）直线的方程为：即又原点到直线的距离由得 3分所求双曲线方程为 4分（注：也可由面积法求得）渐近线方程为： 5分（Ⅱ）方法1：由（1）可知（0，－1），设,由得： 7分∴3＋3＋＝3＋3＋，整理得：＝0，∵，∴，∴，又由－10＋25－3＝0 （），∴y＋y＝， 10分2＝7， 11分由△＝100－4（1－3）（25－3）>0=7满足此条件，满足题设的＝. 12分方法2：设，中点为，由， 7分∵，的中垂线过点 9分∵∴ 11分整理得解得＝.（满足 12分【考点】1、双曲线的标准方程；2、点到直线的距离公式和直线方程；3、韦达定理.13.双曲线的焦距为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】中，所以，双曲线的焦距为2c=,故选D。

高考数学总复习椭圆、双曲线、抛物线单元测试题

高考数学总复习椭圆、双曲线、抛物线单元测试题一.选择题(1) 抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 ( )A 2B 3C 4D 5 (2) 若焦点在x轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m=( )ＡＢ32 Ｃ83Ｄ23(3) 若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆, 那么实数k 的取值范围是 ( )A (0, +∞)B (0, 2)C (1, +∞)D (0, 1)(4) 设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则=||2PF( )A 1或 5B 6C 7D 9(5) 对于抛物线y 2=2x 上任意一点Q, 点P(a, 0)都满足|PQ|≥|a |, 则a 的取值范围是( )A [0, 1]B (0, 1)C (]1，∞- D (-∞, 0)(6) 若椭圆)0(12222〉〉=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为( )A1716B 17174C 54D 552(7) 已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为 ( )A23 B23C 26D 332(8) 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点,并且满足OA ⊥OB. 则y 1y 2等于( )A – 4p 2B 4p 2C – 2p 2D 2p 2(9) 已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为( )A43B53C 3 (10) 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )A2B C 2 1 二.填空题(11) 若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________.(12)设中心在原点的椭圆与双曲线2 x 2-2y 2=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是 .(13) 过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．(14) 以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k PB PA =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若),(21OB OA OP +=则动点P 的轨迹为椭圆； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）三.解答题(15)点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥.求点P 的坐标； .(16) 已知抛物线C: y=-21x 2+6, 点P （2, 4）、A 、B 在抛物线上, 且直线PA 、PB 的倾斜角互补. (Ⅰ)证明:直线AB 的斜率为定值;(Ⅱ)当直线AB 在y 轴上的截距为正数时, 求△PAB 面积的最大值及此时直线AB 的方程.(17) 双曲线12222=-by a x (a>1,b>0)的焦距为2c,直线l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l 的距离与点(-1,0)到直线l 的距离之和s ≥54c.求双曲线的离心率e 的取值范围(18) 已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M.（1）求抛物线方程；（2）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；（3）以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系.参考答案一选择题:1.D[解析]：点A 与抛物线焦点的距离就是点A 与抛物线准线的距离，即5)1(4=-- 2.B[解析]：∵焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，∴2122=-m 则m=233.D[解析]： ∵方程x 2+ky 2=2，即12222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆 ∴22>k故10<<k 4.C[解析]：双曲线19222=-y ax 的一条渐近线方程为023=-y x ，故2=a 又P 是双曲线上一点，故4||||||21=-PF PF ，而3||1=PF ，则=||2PF 75.C[解析]：对于抛物线y 2=2x 上任意一点Q, 点P(a, 0)都满足|PQ|≥|a |,若,0≤a 显然适合若0>a ，点P(a, 0)都满足|PQ|≥|a |就是2222)2(y y a a +-≤ 即1142≤+≤y a ，此时10≤<a 则a 的取值范围是(]1，∞- 6.D[解析]：3522=-+b c bc ，5245222==∴=∴=a c e a c b c 7.D[解析]：双曲线)0(1222>=-a y a x 的准线为122+±=a a x抛物线x y 62-=的准线为23=x 因为两准线重合，故122+a a =23，2a =3，则该双曲线的离心率为328.A[解析]：∵A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是抛物线y 2=2px(p>0)上的两点,并且满足OA ⊥OB.∴04)(0,12122212121=+∴=+∴-=⋅y y py y y y x x k k OBOA 则y 1y 2 = – 4p 29.C[解析]：∵120,MF MF ⋅=∴点M 在以F 1F 2为直径的圆322=+y x 上故由32||1232222=⎪⎩⎪⎨⎧=-=+y y x y x 得则点M 到x 轴的距离为332 10.D[解析]：不妨设点P 在 x 轴上方，坐标为),(2ab c ,∵△F 1PF 2为等腰直角三角形∴|PF 2|=|F 1F 2|，即c a b 22=，即e e a c ac a 2122222=-∴=- 故椭圆的离心率e1二填空题:11. 1922=-y x [解析]：因为双曲线的渐近线方程为x y 3±=，则设双曲线的方程是λ=-922y x ，又它的一个焦点是()0,10 故1109=∴=+λλλ12. 1222=+y x [解析]：双曲线2 x 2-2y 2=1的焦点为（)0,1±，离心率为2故椭圆的焦点为（)0,1±，离心率为22, 则1,2,1===b a c ，因此该椭圆的方程是1222=+y x 13. 2[解析]：设双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1，右顶点为A ，因为以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，故|F 1M|=|F 1A|，∴c a ab +=2∴2112=∴+=-e e e 14. ③④[解析]：根据双曲线的定义必须有||||AB k ≤，动点P 的轨迹才为双曲线，故①错 ∵),(21OB OA OP +=∴P 为弦AB 的中点，故090=∠APC 则动点P 的轨迹为以线段AC 为直径的圆。

椭圆双曲线抛物线综合测试题

椭圆、双曲线、抛物线综合测试题一选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1设双曲线2212y x m -=的一个焦点为(0,2)-，则双曲线的离心率为( ).A B 2 C D2椭圆221167x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，一直线经过1F 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为（）A 32B 16C 8D 43 两个正数a 、b 的等差中项是52，，则椭圆22221x y a b +=的离心率为（）AB C D 4设1F 、2F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且31||PF =42||PF ，则12PF F ∆的面积为（）A B C 24 D 485 P 是双曲线22916x y -=1的右支上一点，M 、N 分别是圆22(5)1x y ++=和22(5)x y -+=4上的点，则||||PM PN -的最大值为（）A 6B 7C 8D 96已知抛物线24x y =上的动点P 在x 轴上的射影为点M ，点(3,2)A ，则||||PA PM +的最小值为（）A1 B 2- C 1 D 27 一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +++=都外切，则动圆圆心的轨迹为（） A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线8若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（）ABCD 29抛物线2y x =上到直线20x y -=距离最近的点的坐标（）A 35,24⎛⎫⎪⎝⎭ B (1,1) C 39,24⎛⎫⎪⎝⎭D (2,4) 10已知c 是椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的半焦距，则b ca+的取值围（）A (1,)+∞ B)+∞ CD11方程2mx ny +=0与22mx ny +=1(0,0,)m n m n >>≠表示的曲线在同一坐标系中图象可能是（）12若AB 是抛物线22(0)y px p =>的动弦，且||(2)AB a a p =>，则AB 的中点M 到y 轴的最近距离是（） A12a B 12p C 1122a p + D 12a －12p 二填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题中横线上） 13 设1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且12F PF ∠=60o，12PF F S ∆=2，则双曲线方程的标准方程为．14 已知椭圆221x y m n +=与双曲线221x y p q -=(,,,,)m n p q R m n +∈>，有共同的焦点1F 、2F ，点P 是双曲线与椭圆的一个交点，则12||||PF PF •= ．15 已知抛物线22(0)x py p =>上一点A (0,4)到其焦点的距离为174，则p = ． 16已知双曲线2222x y a -=1(a >的两条渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为．三解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）求适合下列条件的双曲线的标准方程：BCDA⑴ 焦点在x 轴上，虚轴长为12，离心率为54； ⑵ 顶点间的距离为6，渐近线方程为32y x =±.18．（12分）在平面直角坐标系中，已知两点(3,0)A -及(3,0)B ．动点Q 到点A 的距离为10，线段BQ 的垂直平分线交AQ 于点P ． ⑴求||||PA PB +的值； ⑵写出点P 的轨迹方程．19．（12分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l 与椭圆相交，其中一个交点为M ．⑴求椭圆的方程；⑵设椭圆的一个顶点为(0,)B b -，直线2BF 交椭圆于另一点N ，求1F BN ∆的面积．20．（12分）已知抛物线方程24x y =，过点(,4)P t -作抛物线的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ．⑴求证：直线AB 过定点(0,4)；⑵求OAB ∆（O 为坐标原点）面积的最小值．21 ．（12分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线的右支上，且1||PF =3|2|PF ．⑴求双曲线离心率e 的取值围，并写出e 取得最大值时，双曲线的渐近线方程；⑵若点P 的坐标为，且12PF PF •=0，求双曲线方程．22．（12分）已知O 为坐标原点，点F 、T 、M 、1P 满足OF =(1,0)，(1,)OT t =-，FM MT =，1PM ⊥FT ，1PT ∥OF ． ⑴求当t 变化时，点1P 的轨迹方程；⑵若2P 是轨迹上不同于1P 的另一点，且存在非零实数λ使得12FP FP λ=，求证：1211||||FP FP +=1.参考答案1A 提示：根据题意得222c a b =+=2m +=4，∴m =2，∴c e a===．故选A ．2B 提示：2ABF ∆的周长=12||||AF AF ++12||||BF BF +=4a =16.故选B ．3C 提示：根据题意得56a b ab +=⎧⎨=⎩，解得a =3，b =2，∴c ，∴ce a =4C 提示：∵P 是双曲线上的一点，且31||PF =42||PF ，1||PF －2||PF =2，解得1||PF =8，2||PF =6，又12||F F =2c =10，∴12PF F ∆是直角三角形，12PF F S ∆=1862⨯⨯=24.故选C ．5 D 提示：由于两圆心恰为双曲线的焦点，||PM ≤1||PF +1，||PN ≥2||PF 2-，∴||||PM PN -≤1||PF +1—（2||PF 2-） =1||PF —2||PF +3=2a +3=9.6A 提示：设d 为点P 到准线1y =-的距离，F 为抛物线的焦点，由抛物线的定义及数形结合得，||||PA PM +=d －1+||PA =||PA +||PF －1≥||AF －1．故选A ． 7C 提示：设圆221x y +=的圆心为(0,0)O ，半径为1，圆228120x y x +++=的圆心为1(4,0)O -，O '为动圆的圆心，r 为动圆的半径，则1||||O O O O ''-=(2)(1)r r +-+=1，所以根据双曲线的定义可知．故选C ．2题图8C 提示：设其中一个焦点为(,0)F c ，一条渐近线方程为by x a=，根据题意得||b c 2a ，化简得2b a =，∴ e =c a故选C ．9 B 提示：设2(,)P x x 为抛物线2y x =上任意一点，则点P 到直线的距离为2d =2，∴当1x =时，距离最小，即点P (1,1)．故选B ．10 D 提示：由于22222b c b c bc a a +++⎛⎫= ⎪⎝⎭≤22222b c b c a +++=2，则b c a +，又b c a +>，则b ca+＞1.故选D ． 11 C 提示：椭圆与抛物线开口向左．12 D 提示：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，结合抛物线的定义和相关性质，则AB 的中点M 到y 轴的距离为122x x +=||||222p pAF BF -+-=||||2AF BF p +-，显然当AB 过焦点时，其值最小，即为12a －12p ．故选D ．二填空题13221412x y -= 提示：设双曲线方程为22221x y a b -=，∵2c e a ==，∴2c a =．∵12PF F S ∆=，∴1||PF ×2||PF =48.()22c =21||PF +22||PF -21||PF 2||PF 12cos F PF ∠，解得216c =，∴2a =4，2b =12.14 m p - 提示：根据题意得1212||||||||PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得1||PF =，2||PF =12||||PF PF •=m p -．1512 提示：利用抛物线的定义可知4()2p --=174，p =12．16=，a =c =c e a==．三解答题17解：⑴因为焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，∴22221254a b c b c a ⎧⎪+=⎪=⎨⎪⎪=⎩，解得 8a =，6b =，10c =，∴双曲线的标准方程为2216436x y -=． ⑵设以32y x =±为渐近线的双曲线的标准方程为2249x y λ-=， ① 当0λ>时，，解得94λ=，此时所求的双曲线的标准方程为2218194x y -=； ② 当0λ<时，，解得1λ=-，此时所求的双曲线的标准方程为22194y x -=． 18解：⑴ 因为线段BQ 的垂直平分线交AQ 于点P ，∴||PB =||PQ ， ∴||||PA PB +=||PA +||PQ =||AQ =10；⑵由⑴知||||PA PB +=10（常数），又||||PA PB +=10＞6=||AB ，∴点P 的轨迹是中心在原点，以,A B 为焦点，长轴在x 轴上的椭圆，其中210,26a c ==，所以椭圆的轨迹方程为2212516x y +=． 19解：⑴∵l ⊥x轴，∴2F ，根据题意得22222112a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2242a b ⎧=⎨=⎩， ∴所求椭圆的方程为：22142x y +=．⑵由⑴可知(0,B ，∴直线2BF的方程为y x =22142y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得点N的纵坐标为3，∴1F BN S ∆=12F F N S ∆+12F BF S ∆=123⨯⨯=83． 20解：⑴设切点11(,)A x y ，22(,)B x y ，又12y x '=，则切线PA 的方程为：1111()2y y x x x -=-，即1112y x x y =-；切线PB 的方程为：2221()2y y x x x -=-，即2212y x x y =-，又因为点(,4)P t -是切线PA 、PB 的交点，∴ 11142x t y -=-， 22142x t y -=-，∴过A 、B 两点的直线方程为142tx y -=-，即1402tx y -+=，∴直线AB 过定点(0,4)．⑵ 由214024tx y x y ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩，解得2216x tx --=0，∴122x x t +=，1216x x =-．∴OAB S ∆=1214||2x x ⨯⨯-16. 当且仅当0t =时，OAB ∆（O 为坐标原点）面积的最小值21解：⑴∵1||PF －2||PF =2a ，1||PF =3|2|PF ，∴1||PF =3a ，2||PF =a ，由题意得1||PF +2||PF ≥12||F F ，∴4a ≥2c ，∴ca≤2，又因为1e >，∴双曲线离心率e 的取值围为(1,2]．故双曲线离心率的最大值为2.⑵∵12PF PF •=0，∴21||PF +22||PF =24c ，即22104a c =，即2232b a =，又因为点P 在双曲线上，∴22160902525a b -=1，∴2216060a a -=1，解得 24a =，26b =，∴所求双曲线方程为；2222x y a b-=1.22解⑴设1P (,)x y ，则由FM MT =得点M 是线段FT 中点，∴(0,)2tM ，则1PM =(,)2t x y --，又因为FT =(2,)t -，1PT =(1,)x t y ---，∵ 1PM ⊥FT ， ∴ 2()02tx t y +-=， ① ∵ 1PT ∥OF ，∴ (1)0()1x t y --•--•=0，即 t y = ② 由 ①和②消去参数得 24y x =．⑵证明：易知(1,0)F 是抛物线24y x =的焦点，由12FP FP λ=，得F 、1P 、2P 三点共线，即1P 2P 为过焦点F 的弦．①当1P 2P 垂直于x 轴时，结论显然成立；② 当1P 2P 不垂直于x 轴时，设111(,)P x y ，222(,)P x y ，直线1P 2P 的方程为(1)y k x =-，∴24y kx k y x=-⎧⎨=⎩，整理得22222(2)0k x k x k -++=，∴12x x +=2224k k +，12x x =1， ∴1211||||FP FP +=121111x x +++=1212122()1x x x x x x +++++=1.。

椭圆、双曲线测试含答案

椭圆、双曲线测试（含答案）一、单选题1．已知双曲线C 与椭圆E ：221925x y +=有共同的焦点，它们的离心率之和为145，则双曲线 C 的标准方程为 A ．221124x y -=B ．221412x y -=C ．221412y x -=D ．221124y x -=【答案】C 【解析】【分析】由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案．【详解】由椭圆221925x y +=，得225a =，29b =，则22216c a b =-=，∴双曲线与椭圆的焦点坐标为()10,4F -，()20,4F ， ∴椭圆的离心率为45，则双曲线的离心率为144255-=．设双曲线的实半轴长为m ，则42m=，得2m =，则虚半轴长224223n -= ∴双曲线的方程是221412y x -=．故选C ．【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题． 2．已知椭圆22143x y +=，F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上一点，若椭圆内一点A (1,1)，则PA PF +的最小值为（） A ．3B 10C 152D 51【答案】A 【解析】【分析】由椭圆定义把PF 转化为P 到右焦点的距离，然后由平面上到两定点的距离之差最小的性质可得. 【详解】设椭圆的右焦点为2F (1,0)，21AF =，22||||||4||4||||PA PF PA PF PA PF +=+-=+-，又2||||PA PF -≤2||AF ，222||||||||AF PA PF AF --≤≤，当2P A F ，，三点共线时取等号，||||PA PF +的最小值为3（取最小值时P 是射线2F A 与椭圆的交点），故选：A.3．“01t <<”是“曲线2211x y t t+=-表示椭圆”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据曲线表示椭圆，可求得t 的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】因为曲线2211x y t t+=-为椭圆，所以0101t t t t>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得01t <<且12t ≠，所以“01t <<”是“01t <<且12t ≠”的必要而不充分条件. 故选：B4．已知1F ､2F 是椭圆C ：22221x ya b+=(0a b >>)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥.若12PF F △的面积为9，则b =（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】【分析】根据12PF F △的面积以及该三角形为直角三角形可得1218PF PF ⋅=，22212||||4PF PF c +=，然后结合12||||2PF PF a +=，简单计算即可.【详解】依题意有12||||2PF PF a +=，所以2121222|||||2||4|PF PF PF PF a +⋅+=又12PF PF ⊥，1212192PF F S PF PF =⋅=△，所以1218PF PF ⋅=，又22212||||4PF PF c +=，可得224364c a +=，即229a c -=，则3b =，故选：B.5．如图，椭圆的中心在坐标原点,O 顶点分别是1212,,,A A B B ，焦点分别为12,F F ，延长12B F 与22A B 交于Р点，若12B PA ∠为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由题意，12B PA ∠就是22B A 与21F B 的夹角，所以22B A 与21F B 的夹角为钝角，从而有22210B A F B ⋅<，结合222b a c =-即可求椭圆离心率的取值范围．【详解】解：由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a ，b ，c ，则22(,)B A a b =-，21(,)F B c b =--，因为12B PA ∠就是22B A 与21F B 的夹角，所以22B A 与21F B 的夹角为钝角，所以22210B A F B ⋅<，即20ac b -+<，又222b a c =-，所以220a ac c --<，两边同时除以2a ，得210e e --<，即210e e +->，解得e e >，又01e <<，1e <<，所以椭圆离心率的取值范围为⎫⎪⎪⎝⎭，故选：D ．二、填空题6．与双曲线221x y -=有相同的渐近线，且过点(1,2)的双曲线的标准方程为_________.【答案】22133y x -=【解析】【分析】根据给定条件，设出所求双曲线的方程，利用待定系数法求解作答. 【详解】依题意，设双曲线方程为：22(0)x y λλ-=≠，于是得22123λ=-=-，则有223x y -=-，所以双曲线的标准方程为22133y x -=.故答案为：22133y x -=7．椭圆22110036x y +=上一点P 满足到左焦点1F 的距离为8，则12F PF ∆的面积是________.【答案】【解析】根据椭圆的定义再利用余弦定理求出12cos F PF ∠，最后由面积公式计算可得；【详解】解：由椭圆的定义得12||||220PF PF a +==，18PF =，∴212PF =，22222212121212||||812161cos 281242PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===-⨯⨯⋅，∴21n si F PF ∠==1218122PF F S =⨯⨯=△.故答案为：8．已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为________．【答案】9 【解析】【分析】根据椭圆的定义可得126MF MF +=，结合基本不等式即可求得12MF MF ⋅的最大值. 【详解】 ∴M 在椭圆C 上 ∴12236MF MF +=⨯=∴根据基本不等式可得126MF MF +=≥129MF MF ⋅≤，当且仅当123MF MF ==时取等号.故答案为：9.9．已知椭圆2214x y +=，过11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭点作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且点P 是AB的中点，则直线l 的方程是__________. 【答案】220x y +-= 【解析】【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．【详解】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则221144x y +=，222244x y +=，12121212((4)0)))((x x x x y y y y ∴+-++-=．1(1,)2P 恰为线段AB 的中点，即有122x x +=，121y y +=，1212()2()0x x y y ∴-+-=，∴直线AB 的斜率为121212y y k x x -==--， ∴直线AB 的方程为11(1)22y x -=--，即220x y +-=．由于P 在椭圆内，故成立．故答案为：220x y +-=．三、解答题10．已知定点(1,0)F ，动点(,)(0)P x y x ≥到点F 的距离比它到y 轴的距离大1． (1)求动点P 的轨迹方程；(2)过(1,2)Q 的直线1l ，2l 分别与点P 的轨迹相交于点M ，N （均异于点Q ），记直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，若120k k +=，求证：直线MN 的斜率为定值．【答案】(1)24y x =； (2)证明见解析. 【解析】【分析】（1||1x =+，整理即可得轨迹方程.（2）根据题设令11(,)M x y 、22(,)N x y ，1l 为2(1)y k x -=-，2l 为2(1)y k x -=--，联立抛物线方程求,M N 的坐标，再应用两点式求MN k 即可证结论. (1)||1x =+，则22(||)y x x =+，又0x ≥， ∴24y x =，故动点P 的轨迹方程为24y x =. (2)由题设，令1l 为2(1)y k x -=-，2l 为2(1)y k x -=--，1l 联立抛物线，可得：22222(22)(2)0k x k k x k --++-=，若11(,)M x y ，22(,)N x y ，∴212()k x k -=，则142y k =-，同理可得222()k x k +=，则242y k=--，∴2121818MNy yk k x x k--===--，为定值.11．已知椭圆C 的标准方程为：22221(0)x y a b a b +=>>，若右焦点为F且离心率为（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是C 上的两点，直线MN 与曲线222x y b +=相切且M ，N ，F 三点共线，求线段MN 的长．【答案】（1）2213x y +=；（2【解析】【分析】（1）根据椭圆的焦点、离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.（2）由（1）知曲线为221(0)x y x +=>，讨论直线MN 的存在性，设直线方程联立椭圆方程并应用韦达定理求弦长即可. 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a =，则a =2221b a c =-=， ∴椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意：当直线MN 的斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y 又M ，N ，F 三点共线，可设直线:(MN y k x =，即0kx y -=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立22(13y x x y ⎧=±⎪⎨+=⎪⎩，得2430x -+=，则12x x +=，1234x x ⋅=，∴||MN ==12．双曲线221124x y -=，1F ､2F 为其左右焦点，C 是以2F 为圆心且过原点的圆.(1)求C 的轨迹方程；(2)动点P 在C 上运动，M 满足12F M MP =，求M 的轨迹方程. 【答案】(1)22(4)16x y -+= (2)22464()39x y -+=【解析】【分析】（1）由双曲线的右焦点作为圆心，以半焦距为半径的圆，可以直接写出圆的标准方程即可.（2）求解轨迹方程求谁设谁，设(,)M x y ，00)(P x y ，用点M 的坐标表示点P 的坐标，带入方程即可得到答案. (1)由已知得212a =，24b=，故4c =，所以1(4,0)F -､2(4,0)F ，因为C 是以2F 为圆心且过原点的圆，故圆心为(4,0)，半径为4，所以C 的轨迹方程为22(4)16x y -+=； (2)设动点(,)M x y ，00)(P x y ，，则1(4,)F M x y =+，00(,)MP x x y y =--，由12F M MP =，得(4x +，0)2(y x x =-，0)y y -，即0042()2()x x x y y y +=-⎧⎨=-⎩，解得0034232x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为点P 在C 上，所以2200(4)16x y -+=，代入得22343(4)()1622x y+-+=，化简得22464()39x y -+=.13．已知双曲线2214x y -=，P 是双曲线上一点.(1)求证：点P 到双曲线两条渐近线的距离的乘积是一个定值.(2)已知点(3,0)A ，求PA 的最小值. 【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意求得11(,)P x y 到两条渐近线的距离分别为1d =2d =得到22112154d d x y -⋅=，结合双曲线的定义，即可求解.（2）设P 的坐标为(,)x y ，求得2225124(3)()455PA x y x =-+=-+，结合2x ≥，即可求解. (1)证明：设11(,)P x y 是双曲线2214x y -=上的任意一点，则221144x y -=，该双曲线的两条渐近线方程分别为20x y -=和20x y +=，点11(,)P x y 到两条渐近线的距离分别为1d =和2d =则2211124554y x d d -⋅===，所以点P 到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. (2)解：设P 的坐标为(,)x y ，则()()22222251243314455x PA x y x x ⎛⎫=-+=-+-=-+ ⎪⎝⎭，因为2x ≥，所以当125x =时，2PA 的最小值为45，即PA。

椭圆、双曲线、抛物线习题(有答案)

1．双曲线222x y -=的焦距为（）A. 1B. 4C. 2D. 2．抛物线22y x =的焦点坐标是（）A. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B. 102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C. 108⎛⎫ ⎪⎝⎭，D 108⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 3．椭圆22143x y +=的焦距为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 44．双曲线2214x y -=的渐近线方程为（）A. 2xy =±B. 2y x =±C. 2y x =±D. y = 5．方程22121x y m m +=-为椭圆方程的一个充分不必要条件是（） A. 12m >B. 12m >且1m ≠ C. 1m > D. 0m >6且过点()2,0的椭圆的标准方程是( ) A. 2214x y += B. 2214x y +=或2214y x += C. 2241x y += D.2214x y +=或221416x y +=7．若点(P m 为椭圆22:12516x y C +=上一点，则m =（） A. 1± B. 12±C. 32±D. 52± 8．若坐标原点到抛物线2y mx = 的准线的距离为2 ，则m = （） A. 1+8 B. 1+4C. 4±D. 8±9．【2018届福建省福州市高三3月质量检测】已知双曲线的两顶点间的距离为4，则的渐近线方程为( ) A.B.C.D.10．已知m 是2，8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是（） A.32或52 B. 32 C. 5 D. 32或5 11．若圆22:2210M x y x y +-++=与x 轴的交点是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，则p =（） A. 1 B. 2 C. 4 D. 812．已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最大值为（）A.B. 9C.D. 1013.【2018届山东省泰安市高三上学期期末】若抛物线24x y =上的点A 到焦点的距离为10，则A 到x 轴的距离是_________.14．已知椭圆的两焦点坐标分别是()20-，、()20，，并且过点(233，，则该椭圆的标准方程是__________．15．【2018届河北省武邑中学高三上学期期末】已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为__________．16．【2018届北京市朝阳区高三第一学期期末】已知双曲线C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，一条渐近线方程为0x y +=，则双曲线C 的方程是________． 1.【答案】B【解析】双曲线的标准方程即： 22122x y -=，则：222222,4,2a b c a b c ==∴=+==，双曲线的焦距为： 24c =. 本题选择B 选项. 2．【答案】D【解析】转化为标准方程， 212x y =，所以焦点为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选D.3．【答案】B【解析】在椭圆22143x y +=中， 224,3a b ==，所以21,1c c == ，故焦距22c =，选B.4．【答案】A【解析】Q 双曲线2214x y -=∴渐近线方程为2204x y -=，即2x y =±故选A . 5．【答案】C【解析】方程22121x y m m +=-表示椭圆的充要条件是0{210 21m m m m >->≠-，即12m >且1m ≠，所以方程22121x y m m +=-为椭圆方程的一个充分不必要条件是1m >，故选C.6．【答案】D【解析】当椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由离心率为3，∴222214b a c a =-=∵椭圆过点（2，0），∴2222201a b +=，∴a2=4，∴b2=1，∴椭圆标准方程为2214x y += 当椭圆的焦点在y 轴上，同理易得： 221416x y += 故选D.7．【答案】D【解析】由题意可得： (22312516m+=，则： 22125,2544m m ==，据此可得： 52m =±. 本题选择D 选项. 8．【答案】A9．【答案】B【解析】由双曲线的方程可知：，即，∴，解得：令，得到故选：B.10．【答案】D【解析】由m 是2，8的等比中项得2264m m =⨯∴=±因此当4m =时,342,413,,c a c e a ===-===当4m =-时, 1,415,5,ca c e a ==+===所以离心率是3或5,选D.11．【答案】B【解析】圆M 的方程中，令0y =有： 2210,1x x x -+=∴=，据此可得抛物线的焦点坐标为()1,0，则： 1,22pp =∴=. 本题选择B 选项.12．【答案】A【解析】连接P 点和另一个焦点即为E ，=. 故答案为：A.13.【答案】9【解析】根据抛物线方程可求得焦点坐标为()0,1，准线方程为1y =-∵抛物线24x y =上的点A 到焦点的距离为10 ∴点A 到x 轴的距离是1019-= 故答案为9.14．【答案】2211612x y +=15．【答案】2【解析】抛物线的准线为2p x =-，与圆相切，则342p+=， 2p =．16．【答案】22122x y -=【解析】抛物线28y x =的焦点坐标为20（，），所以双曲线C 的右焦点坐标为20（，），因为双曲线的一条渐近线方程为0x y +=，所以a b = ，所以224a a += ，所以22a = ，所以双曲线方程为22122x y -=．。

高二数学双曲线试题答案及解析

高二数学双曲线试题答案及解析1.若方程+=1所表示的曲线为C,则下面四个命题①若C为椭圆，则1<t<4 ;②若C为双曲线，则t>4或t<1;③曲线C不可能是圆;④若C为椭圆，且长轴在x轴上，则1<t<其中真命题的序号是_________.【答案】②【解析】据椭圆方程的特点列出不等式求出t的范围判断出①错，据双曲线方程的特点列出不等式求出t的范围，判断出②对；据圆方程的特点列出方程求出t的值，判断出③错；据椭圆方程的特点列出不等式求出t的范围，判断出④错．解：若C为椭圆应该满足(4-t)(t-1)＞0，4-t≠t-1即1＜t＜4且t≠故①错，若C为双曲线应该满足（4-t）（t-1）＜0即t＞4或t＜1故②对，当4-t=t-1即t=表示圆，故③错，若C表示椭圆，且长轴在x轴上应该满足4-t＞t-1＞0则1<t<，因此④错，故填写②【考点】圆锥曲线的共同特征。

点评：主要是考查了椭圆方程于双曲线方程的标准形式的运用，属于中档题。

2.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，由于双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同（），那么可知，则可知双曲线的渐近线方程是，故选C.【考点】双曲线的性质，抛物线点评：解决的关键是对于双曲线和抛物线性质的熟练表示，属于基础题。

3.若双曲线（b＞0）的离心率为2，则实数b等于（）A．1B．2C．D．3【答案】C【解析】由双曲线方程可知【考点】双曲线的性质离心率点评：本题涉及到的性质：4.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】画图。

抛物线的焦点，准线。

连接和EO，则，即有，所以点P到准线的距离等于2a，所以点P的横坐标为，由点P在抛物线上，得点。

又OP=OF=c，所以，解得。