图形与几何教材分析及策略

［参见例1］
圆柱和圆锥，认识长方体、正方体和圆柱的
展开图。
有哪些新的要求呢？
对图形认识的要求主要包括两个方面： 一是对图形自身特征的认识。 二是对图形各元素之间、图形与图形之间关
系的认识。
学生的图形认知水平主要分为 五级：
水平1：直观化； 水平2：描述/分析； 水平3：抽象/关联；
学 离。
3．知道平角与周角，了解周角、平角、钝
段 （4）知道周角、平角的概念及周角、平角、钝角、直角、角、直角、锐角之间的大小关系。
锐角之间的大小关系。
4．结合生活情境了解平面上两条直线的平
（5）结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交 行和相交（包括垂直）关系。
（包括垂直）关系。
5．通过观察、操作，认识平行四边形、梯
规律，给出半径。 （6）半径的属性 （7）直径的概念与属性 （8）直径与半径的关系 （9）圆规画圆 （10）练习
2006： （1）用圆形物体画圆 （2）用纸质的圆对折 （3）给出圆心、半径直径概念。 （4）直径与ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ径属性与关系 （5）圆规画圆 （6）练习 （7）圆是轴对称图形，画轴对称图 （8）练习
出现矛盾。 如果图中出现象图（2）中的“田”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因
为同一顶点处不可能出现四个面的。 如果图中出现象图（3）中的“凹”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因
为如果把该图形折叠起来将有两个面重合。
一维图形的大小 二维图形的大小 三维图形的大小
长度 面积 体积
重点问题
问题1：如何以“测量”为载体，体会测量的意义，认 识度量单位及其实际意义，渗透度量意识。
角、锐角和钝角。
钝角。
（7）能对简单几何体和图形进行分类。7. 能对简单几何体和图形进行分类（参见例
20）。
实验稿
2011年版
（1）了解两点确定一条直线和两条相交直线确定一个点。1．结合实例了解线段、射线和直线。
第 （2）能区分直线、线段和射线。
2．体会两点间所有连线中线段最短，知道
二 （3）体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距 两点间的距离。
正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁。 十四条边布周围，十一类图记分明： 四方成线两相卫，六种图形巧组合； 跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯。 对面相隔不相连,识图巧排“7”、“凹”、
“田”。
一、四方成线两相卫，六种图形巧组合

以上六种展开图可归结为四方连线，
即
，另外两个小方块在四个方块的上
学生一上来就犯了从直尺一端开始测 量的“经验主义”错误。不会正确摆放量 角器。用量角器非中心点的一端顶住了角 的顶点。因此，找不到角的度数。
学生用量角器的圆弧直接卡住了两条边 的任意一点直接去量点。
问题四：“究竟是30°还是150°呢？”
30°
150°
——亲自尝试，突破难点
这是一节问题丛生的“活力课堂”， 巧妙的教学设计魅力就在于此——让学生 自己发现问题、提出问题、解决问题，积 极主动地自主建构。
空间观念（表象的形成） ↓
空间想象（表象的改造）
实物指认 图形指认 剖面指认
三种水平既递进发展，又交错共存
我们认为其中的“空间与图形”涉及到的内容 可以分为这样几类：视图；图形的位置；图形 的认识；图形的变换；测量；展开与折叠。
PISA通过各种各样的问题或是分开或是综合地对它们进行了考察。 例如，PISA中有这样一个问题是对视图、变换及测量的综合考察：
问题1：试以米为单位估计这栋建筑的高度， 并解释你的答案。
现有两张不同方向看到的图，
问题2：图1是从哪个方向看到的？（A.北 B. 南 C.东 D.西）
问题3：图2是从哪个方向看到的？（A.西北 B.东北 C.东南 D.西南）
问题4：每层的公寓相对于底层都有一定角度 的“旋转”。最顶层（21层）相对于底层来说 旋转了。下面的图表示的是底层。请在它上面 画出第11层的平面图，并标明它与底层的相对 旋转度数。
三角形、钝角三角形。
角形、锐角三角形、钝角三角形。
（9）通过观察、操作，认识长方体、正方体、圆柱和圆 8．能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）
锥，认识长方体、正方体和圆柱的 展开图。
看到的物体的形状图（参见例32）。
（10）能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置。9．通过观察、操作，认识长方体、正方体、
4 . 这样的课堂似乎缺了点什么，缺了点什 么呢？
……
“问题丛生”的课堂
问题一：“怎么才能量出这两个角谁大谁小呢？”
(1)
⑵
——小角量大角，渗透度量意识
问题二：“小角量大角太麻烦了， 有更简便的测量方法吗？”
——认识量角器，感受量角器的价值
问题三：“这样量怎么读不出度数”？
——亲自尝试，探究量角的方法
从《圆的认识》三种教材的变化 看该领域教学的变化
1.“圆的认识”的编写顺序 1980： （1）说明生活中有许多圆形的物体 （2）圆规画圆 （3）圆心、半径、直径概念 （4）半径与直径的属性（相等、无数条） （5）圆是轴对称图形 （6）练习
1990： （1）从平面直线图形引出曲线图形圆。 （2）生活中有许多圆 （3）用圆形物体画圆 （4）纸质的圆对折给出圆心 （5）用尺子量圆心与与圆上任意一点的距离，发现
“体－面－体”的混合螺旋编排结构原因是：
第一、 分散难点 第二、 符合儿童生活经验和认知规律。
3.怎样通过图形的认识教学，促进学生空 间观念的发展？
第一：通过对实物的观察与操作认识图形发展 空间观念
案例：画图的技能
画图技能
思考：画图技能背后有哪些认知目标？教师如何通过 设计教学任务来完成这些认知目标？
我们可以进一步地把PISA中考察的内容总体分为两大类— —静态与动态。所谓静态，即指我们传统的几何课程中所 关注的一些部分，如度量衡方面的知识、图形的认识等； 而动态，则包含了变换、视图、立体的展开与折叠等内容。 PISA在不摈弃传统的几何的同时，更侧重于希望学生用 “动态”的眼光去“了解、探索和征服我们所居住、呼吸 和运动的空间，以使我们对它有更多的了解” （Freudenthal,1973）。
PISA考察的是15岁年龄段的处于基础教育结束阶段的学生， 对我国来说，这个年龄段的学生正是初中毕业，那么，值 得我们思考的是对初中阶段的学生来说，PISA中所关注的 几何素养是否也应成为我国义务教育阶段的学生几何学习 目标的重要组成部分呢？
从PISA试题中我们可以看出，它处处渗透着 推理的思想和要求，处处体现着几何中的直观、 经验和归纳。
2.三种教材如何开头，引导教师与学生对圆的 认识进行研究的?有什么共同点与不同点？
3.三种教材如何给出圆心、半径、直径三个概 念，如何引导师生研究半径、直径的属性以及 它们的关系？
4.三种教材如何引导学生画圆？
5.三种教材出现了哪些练习题的类型？
图形 与 几何
“图形的认识” “测 量” “图形的运动” “图形与位置”
（6）通过观察、操作，认识平行四边形、梯形和圆，会 形和圆，知道扇形，会用圆规画圆。
用圆规画圆。
6．认识三角形，通过观察、操作，了解三
（7）认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之 角形两边之和大于第三边、三角形内角和是
和大于第三边、三角形内角和是180 °。
180°。
（8）认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角 7．认识等腰三角形、等边三角形、直角三
图形与几何内容分析与教学建议 乌鲁木齐市教研中心 韩辉
空间观念
空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图 形，根据几何图形想象出所描述的实际物体； 想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描 述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图 形等。
实际物体
几何图形
特征描述
例如：指认圆柱高
空间知觉（表象的基础） ↓
问题2：如何帮助学生在图形测量过程中感悟数学思想， 了解掌握测量的基本方法，积累数学活动经验， 培 养学生的空间观念。
问题3：如何在图形测量的过程中，培养学生的估测意 识和能力，体验解决问题方法的多样性。
问题1：如何以“测量”为载体，体会测 量的意义，认识度量单位及其实际意义， 渗透度量意识。
《角的度量》
螺旋形的建筑（PISA 2000） 现代建筑通常有着不寻常的形状。下图给的是一个螺旋形的建筑的模型
及它的地层的平面图。图形下方是方向轴。 建筑的底楼有一个主要入口和一些商店，在此上面的20层都是公寓。每
层的平面图都和底层相同，但每层都相对于下一层旋转了一定角度。建 筑的电梯和平台位于图中的圆柱形内。
新的课程标准在图形的认识方面有哪些变化？ 有哪些新的要求呢？
小学阶段对于“图形的认识”这一内容，教材 是遵循怎样一个编排体系？
怎样通过图形的认识教学，促进学生空间观念 的发展？(请你举例）
1.新的课程标准在图形的认识方面有 哪些变化？有哪些新的要求呢？
实验稿
2011年版
（1）通过实物和模型辨认长方体、正 1. 能通过实物和模型辨认长方体、正方体、
小学
水平4：演绎/形式化推理； 水平5：严密/元数学。
中学
图形认识的教学要明确两点：
一是这部分内容属于图形认识的哪个水平，前 面的知识基础和后续知识各是什么；
二是多数学生现在的形象思维处于一个什么阶 段，要通过教学达到什么阶段。
2.小学阶段，对于图形的认识，教材是遵 循了怎么样的一个编排体系？
案例3：关注没有问题的“轻松”课堂 ——角的度量
创设情境 认识量角器 使用量角器
总结提高
课后留给老师们的思考：
１. 课堂学生似乎轻松地学会了角的度量， 难道他们真的没有遇到问题吗？
2 . 在数学学习过程中是否还有比掌握量角 的技能更重要的东西呢？
3 . 如何让学生在探究知识的过程中学会发 现问题、提出问题并尝试着解决问题呢？
下两侧，共六种情况。
二、跃马失蹄四分开
以上四种情况可归结为五个小方块组成“三 二相连”的基本图形（如图），另外一个小 方块的位置有四种情况，即图中四个小方块 中的任意一个，这一图形有点像失蹄的马， 故称为“跃马失蹄”。
三、两两错开一阶梯
这一种图形是两个小方块一组，两两错开， 像阶梯一样，故称“两两错开一阶梯”。
边形、圆等简单图形。
（4）通过观察、操作，能用自己的语 4. 通过观察、操作，初步认识长方形、正方
言描述长方形、正方形的特征。
形的特征。
（5）会用长方形、正方形、三角形、 5. 会用长方形、正方形、三角形、平行四边
平行四边形或圆拼图。
形或圆拼图。
（6）结合生活情境认识角，会辨认直 6. 结合生活情境认识角，了解直角、锐角和
方体、圆柱和球等立体图形。
圆柱和球等几何体。
第 （2）辨认从正面、侧面、上面观察到 2. 能根据具体事物、照片或直观图辨认从不
一 的简单物体的形状。［参见例1］
同角度观察到的简单物体（参见例11）。
学 （3）辨认长方形、正方形、三角形、 3. 能辨认长方形、正方形、三角形、平行四
段 平行四边形、圆等简单图形。
这是一道综合性问题，问题1涉及的是对建筑 高度的估测，问题2、3则是一个与视图有关的 题目，而问题4就从“旋转”变换的角度来要 求学生。它不是用抽象的几何图形来考察学生 对相关知识的理解，而是将其融入到这样一个 现实的情景中，考察学生是否能在现实中把握 现代建筑这个“几何体”，PISA认为这将反 映出一个人的几何素养。
四、对面相隔不相连
这是确定展开图的又一种方法，也是确定展 开图中的对面的一种方法。如果出现三个相连， 则1号面与3号面是对面，中间隔了一个2号面， 并且是对面的一定不相连。
五、识图巧排“7”、“凹”、“田”
这里介绍的是一种排除法。如果图中出现象图（1）中的“7”形结构的图形不 可能是正方体展开图的，因为图中1号面与3号面是对面，3号面又与5号面是对面，
有关图形知识的学习从认知目标出发分为：识图和画 图。识图是头脑中的操作，画图是行为中的操作。
画图的技能对该概念的形成很有意义。“以图识性” 第一学段侧重直观感知图形特征 第二学段侧重理论提升，画图时需要理解画图的原理。
第二：基于图形的想象和图形之间的转换， 发展空间观念 案例《正方体展开图》