西工大大学物理学习题册答案

第一章 真空中的静电场

一、选择题 ； ；；；；；；； ； 二、填空题 1.

3

0281R qb επ；由圆心指向缺口。 2. 0εq

；21Φ<Φ。

3. 均匀带电薄球壳。

4. 1

22

10

h h E E --ε；312C/m 1021.2-⨯。

5. N/C 100；2

-9

C/m 10.858⨯。 6. V 135-；V 45。

7. R Q q U q E

0006πε=

；00=∞C U q ；R Q q U q CE 0006πε-=；R

Q

q U q E 0006πε=∞。

8.

41

2

20

R x q

+πε； 2

322

)

(41R x qx πε

+； R

22； N/C 4333620=R

πεq 。 9. 有源场；无旋场（或保守场）。

三、问答题

答：E 电场强度从力的角度描述电场的性质，矢量场分布；U 从能和功的角度描述电场的性质，标量场。

E 与U 的关系为： U E grad -=ϖ，⎰∞⋅=a

d l E U a ϖ

ϖ

使用叠加原理计算电场强度，注意先将各个场源产生的电场强度分解到各坐标轴，然后再叠加。 使用叠加原理计算电势，要注意电势零点的选择。

四、计算与证明题：

1．证：（1） CD BC AB E E E E ϖ

ϖϖϖ++=

根据对称性分布，两段直导线AB 和CD 在O 点产生的电场强度大小相等，方向相反，则0=+CD AB E E ϖ

ϖ。

在半圆形BC 上取电荷元d l ，则l q d d λ=，相应的在O 点产生d E 为 2

04d d a

l

E πελ=

由于对称分布分析可知0=x E ，设d E 和y 轴夹角为θ，且有θd d a l =

θθελ

θελd cos 4πcos 4πd d 020y a

a l E ==

a a E y 02202πd cos 4πελθθελππ==⎰- j a εE ϖϖ0

2πλ=∴ 得证

（2）半圆形BC 在O 点产生的电势为：a

εl

U 014πd d λ=

， ⎰=

=

a

εl a εU π0

014πd 4πλπ

λ

带电导线AB 或CD 在O 点产生的电势为：l l 024πd dU ελ=， ⎰

==

a

a

l dl U 20

22ln 44ππελ

ελ

总电势：)2ln 2π(4π20

21+=

+=ελ

U U U 得证 2．解：①取高斯面为同心球面，由高斯定理：∑⎰⎰=

==⋅q r E dS E S d E S

S

2

14επϖϖ，得

当r ≤R 时，)( 4πππ3

4π343

01333

33R r R

Qr

E Q

R r r R Q r q <=

⇒

===∑ερ 当r >R 时 )( 4π1π42

020

22R r r

Q

E Q r E Q q >=

⇒

=

⇒

=∑εε ② 选无穷远为势能零点。 当r ≤R 时，即球内一点电势为

)3(8d 4d 4d d d 22

020

3

0211R r R Q r r Q r r R Q r E r E r E U R

R

r

R

R r

r

-=+

=

⋅+⋅=⋅=⎰

⎰

⎰⎰⎰

∞

∞∞

πεπεπεϖϖϖϖϖϖ 当r >R 时，即球外一点电势： r

Q

r r Q r E r E U r

r r

020

224d 4d d πεπε=

=

=⋅=

⎰

⎰⎰

∞

∞∞

ϖϖ ③ 球内电荷虽沿径向分布不均匀，但电场仍是球形对称，则作高斯面为半径为r 的同心球面。 当r ≤R 时，选一个半径为r ＇、厚度为d r ＇的薄球壳，则

'd '2'd 'π4'1π2d )'(d 2

2

2r r R Q r r r R Q V r q ==

=ρ

高斯面内总电荷：2202'd '2)'(r R

Q

r r R Q dV r q r V ===∑⎰⎰ρ

由高斯定理： ∑⎰

⎰===⋅q r E dS E S d E S

S

2

14επϖϖ22

r R

Q

ε=

2

04R Q E πε=

得证

3．解：由高斯定理可得各区域场强的分布为

当R r ≤，01=E ；当R r R 2<<，2

024r q E πε=

；当R r 2≥，2

034r Q

q E πε+=

① 当R r 2≥，r Q q dr r

Q q dr E U r

r

02

03344πεπε+=+==

⎰

⎰

∞

∞

， R Q

q U 08πε+=外