年北京市夏季普通高中会考数学试卷
2022届北京市第一次普通高中高三学业水平合格性考试数学试题(解析版)
2022届北京市第一次普通高中高三学业水平合格性考试数学试题一、单选题1．已知集合{2,1,0,2},{0,1,2}A B =--=，则A B =（ ） A ．{2,1}-- B ．{2,0}- C ．{0,1} D ．{0,2}【答案】D【分析】根据集合的交集运算，可求得答案. 【详解】集合{2,1,0,2},{0,1,2}A B =--=, 故{0,2}A B ⋂=， 故选：D2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)-，则z =（ ） A ．2i + B ．2i - C ．12i + D ．12i -【答案】D【分析】利用复数的几何表示即得.【详解】∵复数z 对应的点的坐标是(1,2)-， ∴z =12i -. 故选：D.3．()sin 45-︒=（ ）A B ．C ．12D ．12-【答案】B【分析】利用诱导公式求得正确答案.【详解】()sin 45sin 45-︒=-︒=. 故选：B4．已知函数2(),f x x x =∈R ，则（ ） A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是偶函数C ．()f x 既是奇函数又是偶函数D ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数【答案】B【分析】由函数奇偶性的定义即可判断答案.【详解】由题意，()()()22R,x f x x x f x ∈-=-==，即函数为偶函数. 故选：B.5．sin cos θθ=（ ）A ．1sin 22θB ．1cos 22θC ．sin 2θD ．cos2θ【答案】A【分析】利用二倍角公式即得.【详解】由二倍角公式可得，sin cos θθ=1sin 22θ.故选：A.6．函数()y f x =的图象如图所示，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．(1,0)-B ．()0,1C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】C【分析】结合图象确定正确选项.【详解】由图象可知，当()1,2x ∈时，()0f x >. 故选：C7．某天甲地降雨的概率为0.2，乙地降雨的概率为0.3．假定这一天甲、乙两地是否降雨相互之间没有影响，则两地都降雨的概率为（ ） A ．0.24 B ．0.14 C ．0.06 D ．0.01【答案】C【分析】根据相互独立事件概率计算公式，计算出正确答案. 【详解】依题意，两地都降雨的概率为0.20.30.06⨯=. 故选：C8．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．()f x x = B ．1()f x x=C ．2()log f x x =D ．()sin f x x =【答案】B【分析】根据基本初等函数的单调性即可求解.【详解】()f x x =在(0,)+∞上单调递增，故A 不符题意； 1()f x x=在(0,)+∞上单调递减，故B 符合题意；2()log f x x =在(0,)+∞上单调递增，故C 不符题意；()sin f x x =在(0,)+∞上不单调，故D 不符题意.故选：B.9．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等腰直角三角形．若14,3AB AC AA ===，则该直三棱柱的体积为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．24【答案】D【分析】根据棱柱的体积计算公式，可直接求得答案.【详解】因为在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等腰直角三角形，14,3AB AC AA ===，则BAC ∠ 为直角， 故可得：11111114432422AB BC B A C A C V S AA AB AC AA -=⋅=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= , 故选：D10．已知向量(1,0),(1,1)a b ==，则a b ⋅=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【分析】由平面向量数量积的坐标运算即可求得答案. 【详解】11011a b →→⋅=⨯+⨯=. 故选：B.11．“四边形ABCD 为矩形”是“四边形ABCD 为平行四边形”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】若四边形ABCD 是矩形，则它是平行四边形，反之,若四边形ABCD 为平行四边形，四边形ABCD 不一定是矩形，所以“四边形ABCD 为矩形”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充分不必要条件. 故选：A.12．函数2()log (3)f x x =-的定义域为（ ） A ．(3,)+∞ B ．(0,)+∞C ．(3),-∞D ．(,0)-∞【答案】A【分析】由真数大于0可得. 【详解】由30x ->，得3x >. 故选：A13．如图，已知四边形ABCD 为矩形，则AB AD +=（ ）A ．BDB ．DBC ．ACD ．CA【答案】C【分析】根据向量加法的平行四边形法则求得正确答案. 【详解】根据向量加法的平行四边形法则可知AB AD AC +=. 故选：C14．甲、乙两个学习小组各有5名同学，两组同学某次考试的语文、数学成绩如下图所示，其中“+”表示甲组同学，“”表示乙组同学．从这两个学习小组数学成绩高于80分的同学中任取一人，此人恰为甲组同学的概率是（ ） A ．0.25 B ．0.3C ．0.5D ．0.75【答案】C【分析】利用古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】根据图象可知，两个小组高于80分的同学各有2人，所以从中任取一人，此人恰为甲组同学的概率是21222=+. 故选：C15．设m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为（ ）A ．若,m n αα∥∥，则m n ∥B ．若,m n αα⊥⊥，则m n ∥C ．若,m m αβ∥∥，则αβ∥D ．若,m m αβ⊂∥，则αβ∥【答案】B【分析】在正方体中取直线和平面可排除ACD ，由线面垂直的性质可得B 正确. 【详解】在正方体ABCD EFGH -中，记底面ABCD 为α，EF 为m ，EH 为n ，显然A 不正确；记底面ABCD 为α，EF 为m ，平面CDHG 为β，故排除C ；记底面ABCD 为α，EF 为m ，平面ABFE 为β，可排除D ；由线面垂直的性质可知B 正确. 故选：B16．在ABC 中，1,2,60a c B ===︒，则b =（ ） A ．1 B ．2 C 2D 3【答案】D【分析】根据由余弦定理，可得2222cos b a c ac B =+-，代入数据即得.【详解】由余弦定理，得2222212cos 1221232b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=， ∴ 3b =故选：D.17．已知a ，b 是实数，且a b >，则（ ） A ．a b -<- B ．22a b <C ．11a b> D ．||||a b >【答案】A【分析】根据不等式的性质确定正确答案.【详解】由于a b >，所以a b -<-，A 选项正确.221,1,,a b a b a b ==-==，BD 选项错误.112,1,a b a b==<，C 选项错误. 故选：A18．已知0,0x y >>，且1xy =，则x y +的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】由基本不等式即可求得答案.【详解】因为,0x y >，所以2x y +≥=，当且仅当1x y ==时取“=”. 故选：B.19．已知函数()2x f x =，[0,)x ∈+∞，则()f x （ ） A ．有最大值，有最小值 B ．有最大值，无最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．无最大值，无最小值【答案】C【分析】根据指数函数的知识确定正确选项.【详解】()2xf x =在[)0,∞+上是增函数，所以最小值为()0f ，没有最大值. 故选：C20．对于正整数n ，记不超过n 的正奇数的个数为()K n ，如(1)1K =，则(2022)K =（ ） A ．2022 B ．2020 C ．1011 D ．1010【答案】C【分析】根据题意求出正奇数的个数即可. 【详解】由题意，不超过2022的正奇数有202210112=个. 故选：C. 二、填空题21．计算：lg 2lg5+=___________． 【答案】1【详解】lg2lg5lg101+==. 故答案为122．某校举行演讲比赛，五位评委对甲、乙两位选手的评分如下：甲 8.1 7.9 8.0 7.9 8.1 乙 7.9 8.0 8.1 8.5 7.5记五位评委对甲、乙两位选手评分数据的方差分别为22,S S 甲乙，则：2S 甲______2S 乙（填“>”，“=”或“<”）． 【答案】<【分析】计算出22,S S 甲乙，由此确定正确答案. 【详解】甲的得分平均值为8.17.98.07.98.18.05++++=，()2210.040.1455S =⨯=甲. 乙的得分平均值为7.98.08.18.57.58.05++++=，()22210.520.120.5255S =⨯+⨯=乙， 所以22S S <甲乙. 故答案为：<23．对于温度的计量，世界上大部分国家使用摄氏温标（℃），少数国家使用华氏温标（℉），两种温标间有如下对应关系：根据表格中数值间呈现的规律，给出下列三个推断： ①25℃对应77℉； ②20-℃对应4-℉；③存在某个温度，其摄氏温标的数值等于其华氏温标的数值． 其中所有正确推断的序号是_____________． 【答案】①②③【分析】根据条件可得 1.832y x =+，然后逐项分析即得. 【详解】设摄氏温标为x ℃，对应的华氏温标为y ℉,根据表格数据可知.,.,.,503268328632181818100200300---===---∴.32180y x -=-，即 1.832y x =+， ∴25℃x =时，77℉y =，20℃x =-时，4℉y =-，故①②正确；由.1832y x x =+=，可得40x =-，即摄氏温标40-℃对应的华氏温标为40-℉，故③正确.故答案为：①②③. 三、双空题24．已知函数()2,0,0,x x f x x <⎧⎪=≥则(1)f -=________；方程()1f x =的解为________．【答案】 －2 1【分析】根据分段函数的性质求解即可. 【详解】(1)f -=2×(－1)＝－2；x ＜0时，f (x )＜0，故f (x )＝1＞0时，x ≥01=，解得x ＝1. 故答案为：－2；1. 四、解答题25．已知函数2()1f x x mx =++（m 是常数）的图象过点(1,2)． (1)求()f x 的解析式；(2)求不等式()21f x x <+的解集． 【答案】(1)2()1f x x =+； (2)(0,2).【分析】（1）把点代入解析式可得0m =，即得； （2）利用一元二次不等式的解法即得. (1)由题意，(1)22f m =+=， 所以0m =．所以()f x 的解析式为2()1f x x =+． (2)不等式()21f x x <+等价于220x x -<． 解得02x <<．所以不等式()21f x x <+的解集为(0,2)．26．已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)写出()f x 的最小正周期； (2)求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【答案】(1)2π (2)12【分析】（1）根据解析式写出最小正周期；（2）根据正弦函数的单调性判断函数在区间上的单调性，从而求出最值. (1)()f x 的最小正周期为：221T ππ==. (2) 因为02x π≤≤，所以336x πππ-≤-≤．当36x ππ-=，即2x π=时，()f x 取得最大值12．27．阅读下面题目及其解答过程． 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -．（Ⅰ）求证：1AC BD ⊥；（Ⅱ）求证：直线1D D与平面1AB C 不平行．解：（Ⅰ）如图，连接11,BD B D ．因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以1D D ⊥平面ABCD ．所以①___________． 因为四边形ABCD 为正方形， 所以②__________． 因为1D D BD D⋂=，所以③____________． 所以1AC BD ⊥．（Ⅱ）如图，设ACBD O =，连接1B O ．假设1//D D 平面1AB C ． 因为1D D ⊂平面11D DBB ，且平面1AB C平面11D DBB =④____________，所以⑤__________． 又11//D D B B，这样过点1B 有两条直线11,B O B B 都与1D D 平行，显然不可能．所以直线1D D与平面1AB C 不平行．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合推理，请选出符合推理的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）． 空格序号 选项 ①A ．1D D AC⊥ B ．1D D BD⊥②A ．AB BC ⊥ B ．AC BD ⊥ ③A ．1BD ⊥平面1ABC B ．AC ⊥平面11D DBB④A ．1B OB ．1B B⑤ A ．11//D D B OB ．1D D与1B O为相交直线【答案】（Ⅰ）①A ②B ③B ；（Ⅱ）④A ⑤A【分析】结合线面垂直、线面平行的知识对“解答过程”进行分析，从而确定正确答案. 【详解】要证明1AC BD ⊥，可通过证明AC ⊥平面11D DBB 来证得，要证明AC ⊥平面11D DBB ，可通过证明1,D AC A BD D C ⊥⊥来证得， 所以①填A ，②填B ，③填B.平面1AB C 与平面11D DBB 的交线为1B O ，所以④填A ， 由于1//D D 平面1AB C ，因为1D D ⊂平面11D DBB ，且平面1AB C 平面111D DBB B O =，根据线面平行的性质定理可知，11//D D B O ，所以⑤填A.28．给定集合(,0)(0,)D =-∞+∞，()f x 为定义在D 上的函数，当0x <时，24()4xf x x =+，且对任意x D ∈，都有___________．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，补充在横线处，使()f x 存在且唯一确定．条件①：()()1f x f x -+=； 条件②：()()1f x f x -⋅=； 条件③：()()1f x f x --=． 解答下列问题：（1）写出(1)f -和(1)f 的值；（2）写出()f x 在(0,)+∞上的单调区间；（3）设()()()g x f x m m =-∈R ，写出()g x 的零点个数． 【答案】答案详见解析【分析】判断条件③不合题意.选择条件①②、则先求得当0x >时，()f x 的表达式，然后结合函数的解析式、单调性、零点，对（1）（2）（3）进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意()f x 的定义域为(,0)(0,)D =-∞+∞， 当0x <时，24()4xf x x =+. 对于条件③，对任意x D ∈，都有()()1f x f x --=，以x -替换x ，则()()1f x f x --=，这与()()1f x f x --=矛盾，所以条件③不合题意. 若选条件①，当0x >时，0x -<，()()224411144x xf x f x x x -=--=-=+++. （1）()()44491,11145145f f --==-=+=++. （2）对于函数()()2404xh x x x =≠+， 任取120x x <<，()()()()()()221221121222221212444444444x x x x x x h x h x x x x x +-+-=-=⨯++++()()22121122221244444x x x x x x x x +--=⨯++()()()()12212122124444x x x x x x x x ---=⨯++ ()()()()122122124444x x x x xx --=⨯++，其中210x x ->，当122x x <<-时，1240x x ->，()()()()12120,h x h x h x h x ->>， 所以()h x 在(),2-∞-上递减.当1220x x -<<<时，1240x x -<，()()()()12120,h x h x h x h x -<<， 所以()h x 在()2,0-上递增.所以在区间(),0∞-，()()()20,10h h x h x -≤<-≤<.同理可证得：()h x 在()0,2上递增，在()2,+∞上递减，()()()02,01h x h h x <≤<≤. 当0x >时，()()24114xf x h x x =+=++， 由上述分析可知，()f x 在()0,2上递增，在()2,+∞上递减.且()12f x <≤. （3）()()()0,g x f x m m f x =-==，由（2）的分析可画出()f x 的大致图象如下图所示，所以，当1m <-或01m ≤≤或2m >时，()g x 的零点个数是0； 当1m =-或2m =时，()g x 的零点个数是1； 当10m -<<或12m <<时，()g x 的零点个数是2．若选条件②，当0x >时，0x -<，由()()1f x f x -⋅=得()()2144x f x f x x+==--，（1）()()441451,114544f f -+-==-==-+-. （2）对于函数()()2404xh x x x =<+， 根据上述分析可知：()h x 在(),2-∞-上递减，在()2,0-上递增， 且在区间(),0∞-，()()()20,10h h x h x -≤<-≤<. 对于()()2404x f x x x+=>-，任取120x x <<，()()2222122112122144441444x x x x f x f x x x x x ⎛⎫++++-=-=- ⎪--⎝⎭()2212121212414x x x x x x x x -+-=⋅()()12212112414x x x x x x x x ---=⋅()()122112414x x x x x x --=⋅.其中210x x ->.当1202x x <<<时，()()()()12121240,0,x x f x f x f x f x -<-<<，()f x 递增；当122x x <<时，()()()()12121240,0,x x f x f x f x f x ->->>，()f x 递减.所以()f x 的增区间为()0,2，减区间为()2,+∞.且()()21f x f ≤=-. （3）()()()0,g x f x m m f x =-==，结合上述分析画出()f x 的大致图象如下图所示，所以当0m ≥时，()g x 的零点个数是0；当0m <时，()g x 的零点个数是2．【点睛】利用函数的单调性的定义求函数的单调性，主要是计算出()()12f x f x -的符号.求解函数零点问题，可利用分离参数法，结合函数图象来进行求解.。
北京市夏季普通高中会考数学试题
北京市夏季普通高中会考（新课程）数 学 试 卷第一部分 选择题（每小题3分，共60分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2,3A =，{}1,4B =，那么集合A B 等于（A ）{}1 （B ）{}4 （C ）{}2,3 （D ）{}1,2,3,42．在等比数列{}n a 中，已知122,4a a ==，那么4a 等于(A)6 (B)8 (C)10 (D)163．函数()1f x x =-的零点的个数是(A) 0 (B)1 (C)2 (D)34．一个空间几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积是(A) 18 (B)12 (C)6 (D)45．已知函数2x y =的图象经过点()01,y -，那么0y 等于 (A) 12 (B)12- (C) 2 (D)2-6．函数y =(A)(],1-∞- (B) ()1,1-(C) (][),11,-∞-+∞ (D)[)1,+∞7．在菱形ABCD 中，与AB 相等的向量可以是(A)CD (B) AC CB + (C)AD (D)AD DB -8．3tan 4π的值等于(A) 1- (B) (C) (D)1 9．四个函数1y x -=，12y x =，2y x =，3y x =中，在区间()0,+∞上为减函数的是 (A) 1y x -= (B) 12y x = (C) 2y x = (D) 3y x =10．如果直线20ax y ++=与直线320x y -+=垂直，那么a 等于(A)3 (B) 3- (C)13 (D)13-11．函数2sin cos y x x =的最小正周期是 (A) 2π (B)π (C) 2π (D) 4π 12．函数()2log 1y x =+的图象大致是(A) (B) (C) (D)13．口袋中装有大小、材质都相同的6个小球，其中有3个红球、2个黄球和1个白球，从中随机摸出1个球，那么摸到红球或白球的概率是(A) 16 (B) 13 (C)12 (D)2314．函数1sin 2y x x =的最大值是 (A) 12(B) 2 (C) 1(D)122+ 15．经统计，2011年3月份30个地区工业增加值速度（%）.全部介于6与26之间，现将统计结果以4为组距分成5组：[]6,10，(]10,14，(]14,18，(]18,22，(]22,26，得到如图所示的频率分布直方图，那么工业增加值增长速度（%）在(]10,18的地区有(A) 3个 (B) 7个 (C) 9个 (D)12个16．平面α与平面β平行的条件可以是(A)α内的一条直线与β平行 (B)α内的两条直线与β平行(C)α内的无数条直线与β平行(D)α内的两条相交直线分别与β平行17．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()1f x x x =+，那么()1f -等于(A)2- (B)1- (C)0 (D)218．已知直线,a b 和平面α，那么下列命题中的真命题是(A) 若,a b αα⊥⊥，则//a b (B) 若//,//a b αα，则//a b(C)若,a b b α⊥⊥，则//a α (D)若//,//a b b α，则//a α19．当,x y 满足条件10260y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩时，目标函数z x y =+的最小值是(A)0 (B) 2 (C) 4 (D)520．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ ，空气的温度是0C θ ，t min 后物体的温度C θ 可由公式()0.24010t e θθθθ-=+-求得．把温度是100C 的物体，放在10C的空气中冷却t min 后，物体的温度是40C ，那么t 的值约等于（参考数据：ln 3取1.099，ln 2取0.693）(A) 6.61 (B)4.58 (C)2.89 (D)1.69第二部分 非选择题（共40分）一、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分）21．已知3sin 5θ=，且0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么cos θ= 22．已知0x >，0y >，且4x y +=，那么xy 的最大值是23．某校共有学生2000人，其中高三年级有学生700人．为调查“亿万学生阳光体育运动”的落实情况，现采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个容量为400的样本，那么样本中高三年级的学生人数是24．阅读下面的程序框图，运行相应的程序．当输入16x =，12y =时，输出的结果是二、解答题（共3个小题，共28分）25．（本小题满分9分）已知直线l 经过两点()()1,0,0,1P Q -，圆C ：()()22114x y -+-=（Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于,A B 两点，求AB 的值．26．（本小题满分9分）在平面直角坐标系xOy 中，()4,0OA = ，(OB = ，点C 满足4OCB π∠=．（Ⅰ）求OB BA ⋅ ；（Ⅱ）证明：OC OBC =∠ ；（Ⅲ）是否存在实数λ，使得BC BA λ= 成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．27．（本小题10分）已知函数()21xf x x =+，数列{}n a 满足()11a f =，()1n n a f a +=()n N *∈．（Ⅰ）求1a ，2a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设1n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并比较n S 与218n n+参考答案：1.D2.D3.C4.B5.A6.C7.B8.A9.A10.C11.B12.B13.D14.C15.D1.6D17.A18.A 19.D20.B 21.4522. 4 23.140人24. 425. （Ⅰ）1y x =-26. （Ⅰ）求0OB BA ⋅= ； （Ⅱ）11||||sin ||||sin 22OC CB OCB OB CB OBC ∠=∠，面积相等，化简得证；（Ⅲ）是否存在实数3λ=±．数形结合，同向或反向。
2023年高中会考数学试卷含答案
2023年高中会考数学试卷含答案第一部分：选择题（共40分）1. 一种高速公路的限速为每小时100公里。
小明驾驶小汽车在这条高速公路上行驶了2小时半，行驶的路程为300公里。
那么小明的平均时速是多少？a) 80公里/小时b) 100公里/小时c) 120公里/小时d) 150公里/小时答案：b2. 已知函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 4，求 f(-1) 的值是多少？a) -6b) 1c) 0d) -9答案：b...第二部分：填空题（共30分）1. 在一个三角形中，三个内角的度数分别是60°、70°和（）°。
答案：502. 已知直线 y = 2x - 3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B。
直线 y = -x + 4 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D。
那么 AB 的斜率是（）， CD 的斜率是（）。
答案：2，-1...第三部分：解答题（共30分）1. 已知集合 A = {2, 4, 6, 8, 10}，集合 B = {4, 5, 6, 7, 8}，求 A∪ B 和A ∩ B。
答案：A ∪ B = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 10}，A ∩ B = {4, 6, 8}2. 某推销员从一家餐厅进货，他为每件产品支付进货价格的80%，然后在售价上加价50%出售。
如果推销员每件产品进货价格为200元，那么他应该以多少元的价格出售产品以实现50%的利润？答案：480元...以上是2023年高中会考数学试卷的部分内容和答案。
请同学们认真作答，祝你们取得优异的成绩！。
2024年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学试卷含答案
2024年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试（一）（答案在最后）第一部分（选择题共60分）一、选择题：共20小题，每小题3分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}2,1,0A =--，{}1,1,2=-B ，则A B =（）A.{}1- B.{}2,2- C.{}2,1,0,2-- D.{}2,1,0,1,2--【答案】D 【解析】【分析】由集合并集的定义即可得到答案.【详解】{}1,2,0,1,2A B =-- 故选：D2.函数()()ln 6f x x =+的定义域为（）A.()6,-+∞ B.()6,+∞ C.(),6-∞- D.(),6-∞【答案】A 【解析】【分析】由60x +>即可求解.【详解】由解析式可知，60x +>，及6x >-，所以定义域为()6,-+∞，故选：A3.在复平面内，复数23i z =-对应的点的坐标为（）A.()2,3 B.()2,3- C.()2,3-- D.()2,3-【答案】D 【解析】【分析】复数i z a b =+对应的点为(),a b 即可求解.【详解】因为23i z =-，所以对应的点的坐标为()2,3-，故选：D4.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面,ABC D 是BC 的中点，则直线1DC （）A.与直线AC 相交B.与直线AC 平行C.与直线1AA 垂直D.与直线1AA 是异面直线【答案】D 【解析】【分析】由直三棱柱的特征逐项判断即可.【详解】易知三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，由图易判断1DC 与AC 异面，AB 错误；因为11AA CC ∥,1DC 与1CC 相交但不垂直，所以1DC 与直线1AA 不垂直，C 错误；由图可判断1DC 与直线1AA 是异面直线，D 正确.故选：D5.如图，四边形ABCD 是正方形，则AC AB -=（）A.ABB.BCC.CDD.DA【答案】B 【解析】【分析】由三角形法则即可求解.【详解】AC AB -= BC.故选：B6.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()11f f +-=（）A.1-B.0C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】根据奇函数的性质求解即可.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()11f f -=-，即()()011f f +-=.故选：B.7.在下列各数中，满足不等式()()120x x -+<的是（）A.2-B.1-C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】解二次不等式，判断数是否在解集内即可得到答案.【详解】解不等式()()120x x -+<得2<<1x -.故选：B.8.命题“2,10x x ∀∈+≥R ”的否定是（）A.2,10x x ∃∈+≥RB.2,10x x ∀∈+>RC.2,10x x ∃∈+<RD.2,10x x ∀∈+<R 【答案】C 【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】2,10x x ∀∈+≥R 的否定为：2,10x x ∃∈+<R .故选：C 9.22ππcos sin 66-=（）A.12B.33C.22D.2【答案】A【分析】根据条件，利用二倍角公式及特殊角的三角函数值，即可求解.【详解】因为22πππ1cos sin cos 6632-==，故选：A.10.在下列各数中，与cos10︒相等的是（）A.sin80︒B.cos80︒C.sin170︒D.cos170︒【答案】A 【解析】【分析】由半角和全角诱导公式逐项化简即可；【详解】对于A ，()sin80sin 9010cos10°=°-°=°，故A 正确；对于B ，()cos80cos 9010sin10°=°-°=°，故B 错误；对于C ，()sin170sin 18010sin10︒=︒-︒=︒，故C 错误；对于D ，()0c cos 1810co os170s10°=°-=-°，故D 错误；故选：A.11.在下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（）A.()3xf x = B.()2log f x x = C.()2f x x= D.()13log f xx =【答案】D 【解析】【分析】由指数函数、对数函数以及幂函数的单调性逐项判断即可得.【详解】对A ：()3xf x =在R 上单调递增，故A 错误；对B ：()2log f x x =在()0,∞+上单调递增，故B 错误；对C ：()2f x x =在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故C 错误；对D ：()13log f x x =在()0,∞+上单调递减，故D 正确.故选：D.12.已知x ∈R ，则“4x >”是1>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】判断两个命题的关系，当p q ⇒时，p 是q 充分条件；当p q ⇒/时，p 是q 不充分条件；当q p ⇒时，p 是q 必要条件；当q p ⇒/时，p 是q 不必要条件.【详解】当4x >21>=>，∴“4x >”是1>”充分条件；1>时，1x >，此时3x =满足要求，而34<，故4x >不一定成立，∴“4x >”是1>”不必要条件.故选：A.13.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为顶点，Ox 为始边，终边在y 轴上的角的集合为（）A.{}2π,k k αα=∈Z B.{}π,a k k α=∈Z C.ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z D.π,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z 【答案】C 【解析】【分析】结合角的定义即可得解.【详解】当终边在y 轴非负半轴上时，有π2π,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，当终边在y 轴非正半轴上时，有3π2π,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，故终边在y 轴上的角的集合为ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z .故选：C.14.在ABC V 中，1,2,60a b C ==∠=︒，则c =（）A.B.C.D.3【答案】A 【解析】【分析】由余弦定理即可求解.【详解】由22212cos 1421232c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以c =.故选：A15.下图是甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温走势图.记这7天甲地每天最低气温的平均数为1x ，标准差为1s ；记这7天乙地每天最低气温的平均数为2x ，标准差为2s .根据上述信息，下列结论中正确的是（）A.1212,x x s s <<B.1212,x x s s <> C.1212,x x s s >< D.1212,x x s s >>【答案】B 【解析】【分析】分析统计图中对应信息得出对应量的结果即可.【详解】甲地1至7日最低气温均低于乙地，则甲地最低气温平均值也会小于乙地，即12x x <；标准差时反应一组数据的波动强弱的量，由图可知甲地最低气温明显波动性较大，则标准差值要大，即12s s >.故选：B16.函数()π2sin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是（）A.[]π,0- B.[]π,π- C.[]0,π D.[]0,2π【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式化简()f x ，再结合cos x 的图象性质可得结果.【详解】()π2sin 2cos 2f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，由cos x 的图象可知()f x 在[]π,0-，[]π,2π上单调递增，[]0,π上单调递减，故A 正确，BCD 均错误.故选：A.17.已知,a b c d >>，则下面不等式一定成立的是（）A.a d b c +>+B.a d b c +<+C.a d b c ->-D.a d b c-<-【答案】C 【解析】【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可.【详解】对于ABD:取4,3,2,1a b c d ====，满足,a b c d >>，显然a d b c +>+和a d b c +<+，a dbc -<-都不成立；对于C ：由c d >可得d c ->-，故a d b c ->-成立.故选：C18.2023年杭州亚运会的三个吉祥物分别是“琮琮”“莲莲”“宸宸”．“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址；“莲莲”代表世界遗产杭州西湖；“宸宸”代表世界遗产京杭大运河．某中学学生会宣传部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机抽取2名负责吉祥物的宣传工作，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A.19 B.29C.13D.23【答案】D 【解析】【分析】算出基本事件的总数、随机事件中的基本事件的个数后可求概率.【详解】设A 为“2名学生来自不同年级”，则总的基本事件的个数为24C 6=，A 中基本事件的个数为224⨯=，故()4263P A ==，故选：D.19.在区间[],5a 上，()2x f x =的最大值是其最小值的4倍，则实数a =（）A.1 B.2 C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据条件，利用()2xf x =的单调性，得到3242a =⨯，即可求解.【详解】()2xf x =区间[],5a 上单调递增，又()2af a =，()55232f ==，所以3242a =⨯，即3282a ==，解得3a =，故选：C.20.小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为,,A B C ，如图1所示，然后截去以ABC V 为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（）A.108B.162C.180D.189【答案】C 【解析】【分析】正方体的体积减掉8个以ABC V 为底面的正三棱锥的体积即得此半正多面体模型的体积.【详解】设此半正多面体模型的体积为V ，则3311868318032V V V =-=-⨯⨯⨯=正方体正三棱锥.故选：C.第二部分（非选择题共40分）二、填空题：共4小题，每小题3分，共12分．21.66log 4log 9+=_________．【答案】2【解析】【分析】由同底数的对数计算公式化简，即可得出结果.【详解】66662log 4log log 949log 36⨯+===.故答案为：2.22.已知()22,0,2,0,x x f x x x +<⎧=⎨-+≥⎩则()1f -=_________；()f x 的最大值为_________．【答案】①.1②.2【解析】【分析】第一空直接代入即可，第二空分别计算两段的最大值，比较即可求解.【详解】由解析式可知：()11f -=，当0x <，易知()2f x <，当0x ≥，()222f x x =-+≤，当0x =时，取最大值2，所以()f x 的最大值为2，故答案为：1，223.已知向量,a b在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则a =_________；⋅=a b _________.【答案】①.2②.2-【解析】【分析】向量的模长即向量起点至终点的距离，由图可知结果；向量的数量积等于向量的模乘以另一个向量在这个向量上的投影，由图可知结果.【详解】由图可知2a =，cos ,a b a b a b ⋅=⋅ ，其中cos ,b a b 为b 在a上的投影，由图可知投影长度为1，且方向与a相反，故()cos ,212a b a b a b ⋅=⋅=⨯-=-.故答案为：2；2-.24.某公司,,A B C 三个部门共有100名员工，为调查他们的体育锻炼情况，通过随机抽样获得了20名员工一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：A 部门 4.5567.59111213B 部门 3.54 5.579.510.511C 部门566.578.5从,,A B C 三个部门抽出的员工中，各随机抽取一人，分别记为甲、乙、丙、假设所有员工的锻炼时间相互独立，给出下列三个结论：①甲该周的锻炼时间超过8小时的概率为12；②甲、乙该周的锻炼时间一样长的概率为156；③乙该周的锻炼时间一定比丙该周的锻炼时间长．其中所有正确结论的序号是_________．【答案】①②【解析】【分析】本意通过古典概型即可判断出①②，B 部门员工运动时间存在比C 部门员工运动时间多的，也存在少的，所以无法的结论③，从而得出答案.【详解】①A 部门共有8名员工，运动时间超过8小时的有4名员工，∴由古典概型可得甲该周的锻炼时间超过8小时的概率为12，故①正确；②A 、B 两部门各有员工8和7名，随机各抽取一名员工共有8756⨯=种情况，其中运动时间相同的情况只有1种，∴甲、乙该周的锻炼时间一样长的概率为156，故②正确；③当抽取出来的乙运动时间为4小时，抽取出来的丙运动时间为7小时，此时不满足乙该周的锻炼时间一定比丙该周的锻炼时间长，故③不正确.故答案为：①②三、解答题：共4小题，共28分．解答应写出文字说明，演算步聚或证明过程．25.已知函数()22f x x x b =-+的部分图象如图所示．（1）求()1f 的值；（2）求函数()()3g x f x =-的零点．【答案】（1）()11f =-（2）1-，3【解析】【分析】（1）根据图象可知()00f =，即可求解函数解析式，再代入求值；（2）根据零点的定义，解方程，即可求解.【小问1详解】因为()()22,00f x x x b f =-+=，所以0b =．所以()22f x x x =-．所以()11f =-．【小问2详解】因为()22f x x x =-，所以()()()()232331g x f x x x x x =-=--=-+．令()0g x =，得121,3x x =-=．所以()g x 的零点为1-，3．26.已知电流i （单位：A ）关于时间t （单位：s ）的函数解析式为π5sin(100π),[0,)3i t t =+∈+∞．（1）当2t =时，求电流i ；（2）当t m =时，电流i 取得最大值，写出m 的一个值．【答案】（1）A 2；（2）1600（答案不唯一，1,N 60050k m k =+∈）.【解析】【分析】（1）把2t =代入，结合诱导公式及特殊角的三角函数值计算即得.（2）利用正弦函数的性质求出m 的表达式即可得解.【小问1详解】函数π5sin(100π[0,)3i t t =+∈+∞，当2t =时，ππ5sin(200π)5sin A 332i =+==.【小问2详解】当t m =时，电流i 取得最大值，则ππ100π2π,N 32m k k +=+∈，解得1,N 60050k m k =+∈，所以m 的一个值为1600.27.如图，在三棱锥P ABC -中，,,,AC BC AB PA D E =⊥分别是,AB PB 的中点.（1）求证：//PA 平面CDE ；（2）求证：AB CE ^.请先写出第（1）问的解答过程，然后阅读下面第（2）问的解答过程.证明：（2）因为,AC BC D =是AB 的中点，所以①_________.因为AB PA ⊥，由（1）知，//PA DE ，所以②_________所以③_________.所以AB CE ^.在第（2）问的解答过程中，设置了①～③三个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理.请选出符合逻辑推理的选项，并填写在横线上（只需填写“A”或“B”）.空格序号选项①（A ）AB CD ⊥（B ）AB CD =②（A ）AB DE ⊥（B ）//PA 平面CDE ③（A ）AB ⊥平面PBC （B ）AB ⊥平面CDE【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由中位线得到线线平行，然后得到线面平行，即得证；（2）等腰三角形三线合一得到线线垂直，由（1）的结论和条件得到另一组垂线，从的证明面面垂直.【小问1详解】在PAB 中，因为D ，E 分别是AB ，PB 的中点，所以//PA DE ，因为PA ⊄平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，所以//PA 平面CDE .【小问2详解】①A ，②A ，③B.28.已知()f x 是定义在R 上的函数．如果对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()212101f x f x x x -<<-，则称()f x 缓慢递增．如果对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()212110f x f x x x --<<-，则称()f x 缓慢递减．（1）已知函数()f x kx b =+缓慢递增，写出一组,k b 的值；（2）若()f x 缓慢递增且()12f =，直接写出()2024f 的取值范围；（3）设()()g x f x x =-，再从条件①、条件②中选择一个作为条件，从结论①、结论②中选择一个作为结论，构成一个真命题，并说明理由．条件①：()f x 缓慢递增；条件②：()f x 单调递增．结论①：()g x 缓慢递减；结论②：()g x 单调递减．【答案】（1）1,02k b ==（2）()2,2025（3）条件①和结论①为真命题，条件①和结论②为真命题，答案见解析【解析】【分析】（1）根据缓慢递增函数定义，代入可求得01,k b <<为任意值，即可求解；（2）根据缓慢递增函数定义，代入可求得()2024f 的取值范围；（3）先确定条件条件①：()f x 缓慢递增；根据缓慢递增函数定义可确定结论①：()g x 缓慢递减，根据条件条件①：()f x 缓慢递增，根据缓慢递增函数定义可确定结论①：()g x 单调递减.若()f x 单调递增不妨设()3f x x =，代入()()212120f x f x x x -=>-，可得两结论都不满足.【小问1详解】已知()f x kx b =+是定义在R 上的缓慢递增，如果对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()2121212101f x f x kx b kx b x x x x ---+<=<--，则可得01,k b <<为任意值，所以可得1,02k b ==；【小问2详解】若()f x 缓慢递增且()12f =，根据定义可得()()120241020241f f -<-<，将已知代入化简可得()520242202f <<，所以()2024f 的取值范围为()2,2025【小问3详解】若选择条件①和结论①，构成的真命题为如果()f x 缓慢递增，那么()g x 缓慢递减．理由如下：因为()f x 在R 上缓慢递增，所以对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()212101f x f x x x -<<-．因为()()g x f x x =-，所以()()()()()()212211212121311g x g x f x x f x x f x f x x x x x x x ---+-==----．所以()()212110g x g x x x --<<-．所以()g x 在R 上缓慢递减．若选择条件①和结论②，构成的真命题为如果()f x 缓慢递增，那么()g x 单调递减．理由如下：因为()f x 在R 上缓慢递增，所以对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()212101f x f x x x -<<-．因为()()g x f x x =-，所以()()()()()()212211212121211g x g x f x x f x x f x f x x x x x x x ---+-==----．所以()()21210g x g x x x -<-．所以()g x 在R 上单调递减．而条件②：()f x 为单调递增函数，不妨设()3f x x =，则()()2g x f x x x =-=，根据题意代入()()212121212221g x g x x x x x x x --==>--，不满足新的定义，所以()f x 为单调递增函数不能推出()g x 缓慢递减；也不能推出()g x 单调递减.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.。
会考2013年北京市夏季普通高中会考数学试卷
2013年北京市夏季普通高中会考数学试卷（2013.07） 满分100分 考试时间：120分第一部分 选择题 （每小题3分，共60分） 在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的. 1. 如果集合{0,1}A =，2{|1}B x x ==，那么集合A B 等于（ ） A. {1} B. {0,1} C. {1,1}- D. {1,0,1}- 2. 不等式22x x >的解集为（ ）A. {|2}x x >B. {|0}x x <C. {|02}x x <<D. {|0x x <或2}x >3. 已知向量(2,3)OA =-uu r ，(1,2)OB =-uu u r，那么AB uu u r 等于（ ）A. (－3,5)B. （3，－5）C. （1，－1）D. （3,5）4. 口袋中装有大小、材质完全相同的红色小球2个、黑色小球1个，现从口袋中随机摸出两个小球，那么恰好摸到1个红色小球和1个黑色小球的概率是（ ）A.16 B. 13 C. 12 D. 235. 如果0x >，那么14x x+的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 56. 如果直线20x y +=与直线5y kx =-平行，那么实数k 的值为（ ） A. 2 B. －2 C.12 D. 12- 7. 在等差数列{}n a 中，已知18a =，50a =，那么4S 等于（ ） A. 44 B. 40 C. 20 D. －128. 在函数cos y x =，y ，e x y =，lg y x =中，奇函数是（ ）A. cos y x =B. y e x y = D. lg y x =9. 要得到函数sin()6y x π=-的图象，只要将函数sin y x =的图象（ ） A. 向左平移6π个单位 B. 向右平移6π个单位C. 向左平移3π个单位D. 向右平移3π个单位10.如图，在三棱锥D-ABC 中，点E,F,G 分别在侧棱DA,DB,DC 上，且平面EFG ∥平面ABC. 给出下列三个结论：○1EF ∥AB;○2BC ∥平面EFG;○3EG ∥平面ABC,其中成立的结论的个数是（A. 0B. 1C. 2D. 311. 已知函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在区间[1,4]上最大值是2，那么a 等于（ ） A.14 B. 12C. 2D. 4 12. 一个几何体的三视图如下图所示，该几何体的体积为（ ）A. 12B. 18C. 24D. 3613. 在ABC ∆中，::AC CB AB =，那么A ∠等于（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120° 14. 11sin3π的值为（ ） A. 15. 函数sin cos y x x =的一个单调递增区间可以为（ ） A. [0,]2πB. [,0]2π-C. [,]44ππ-D. [,]22ππ-16. 当,x y 满足条件1,30,230,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩时，目标函数z x y =-的最大值是（ ）A. －1B. 1C. 2D. 317.为了解某停车场中车辆停放的状况，在工作日（周一至周五）期间随机选取了一天，对该停车场内的1000辆汽车的停放时间进行了统计分析，绘制出车辆停放时间的频率分布直方图（如图所示），那么这1000辆汽车中停放时间不多于．．．4小时的汽车有（ ）A. 700辆B. 350辆C. 300辆D. 70辆18.在2005年到2010年的“十一五”期间，党中央、国务院坚持优先发展教育，深入实施科教兴国战略，各种形式的高等教育在校学生总规模由2300万人增加到3150万人.这五年间平均增长率x 应满足的关系式是（ ）A. 42300805x = B. 52300805x = C.42300(1)3105x += D. 52300(1)3105x +=19.如果函数12,2()1ln ,2x a x f x x x ⎧+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩恰有一个零点，那么实数a 的取值范围是（ ）A. a ≥0B. a <－1C. a ≥－1D. a <020.已知向量(1,1)=a ，||1OM =,2ON a ⋅= ，其中O 为坐标原点，那么MN a ⋅ 的最小值为（ ）12第二部分 非选择题（共40分）一、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 21.经过两点A （1,1），B(2，3)的直线的斜率为 .22.已知向量(1,2)=-a ，(2,)k =b ，且=2a b ，那么实数k = . 23. 某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S 的值为 .24.已知数列{}n a 的通项公式为sin2n n a n π=，记前n 项和为n S ，那么2013S = . 二、解答题（共4个小题，共28分） 25.（本小题满分7分）如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC,且AB=AC,D 是BC 的中点.(I)求证：AD ⊥平面BCC 1B 1; (II)求证：A 1C ∥平面AB 1D. 26. （本小题满分7分）已知函数()2cos2,f x x x x R +∈. （I ）求函数()f x 的最小正周期； （II ）求函数()f x 在区间[0,]2π上最大值和最小值.27. （本小题满分7分）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆经过点A （－1,0）. (I)求圆O 的方程；(II)设M 是直线340x y +-=上的一个动点，ME,MF 是圆O 的两条切线，切点为E,F. (i)如果∠EMF=60°，求点M 的横坐标； (ii)求四边形MEOF 面积的最小值. 28. （本小题满分7分）设函数1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ ，1110g()m m m m x b x b x b x b --=++++ ，且对所有的实数x ，等式[()][(f g x g f x =都成立，其中01,,,n a a a ，01,b ,,b n b R ∈,,m n N ∈.(I)如果函数2()2f x x =+，g()x kx =，求实数k 的值；(II)设函数32()321f x x x =+-，写出满足[()][()]f g x g f x =的两个函数()g x ； (II)如果方程()()f x g x =无实数解，求证：方程[()][()]f f x g g x =无实数解.2013年北京市夏季普通高中会考数学试卷（2013.07）参考答案选择题：1. D2. D3. A4. D5. C6. B7. C8.A9.B 10. D 11. C 12. A 13. B 14. A 15. C 16. D 17. A 18. D 19. B 20. C 一．填空题21. 2 ;22. －4 ;23. 14 ;24. 1007 ; 二． 25．（I ）证明：因为AB=AC,D 是BC 的中点，所以AD ⊥BC. 因为BB 1⊥平面ABC,AD ⊂平面ABC,所以AD ⊥BB 1. 因为BB 1∩BC=B,所以AD ⊥平面BCC 1B 1.（II ）证明：如图，连接A 1B,设AB 1∩A 1B=E,连接DE.因为四边形ABB 1A 1为矩形，所以E 为A 1B 中点因为在△A 1BC 中，D 是BC 的中点，所以DE ∥A 1C.因为DE ⊂平面AB 1D,A 1C ⊄平面AB 1D.所以A 1C ∥平面AB 1D. 26. （I ）解：因为()2cos2f x x x =+= 12cos 2)2x x + =2(sin 2coscos 2sin )66x x ππ+ =2(sin 2)6x π+所以函数()f x 的最小正周期22||2T πππω===.（II ）解：由[0,]2x π∈，可得72[,]666x πππ+∈，所以1sin(2)126x π-≤+≤. 所以12sin(2)26x π-≤+≤所以当7266x ππ+=，即2x π=时，函数()f x 的最小值为－1； 当262x ππ+=，即6x π=时，函数()f x 的最大值为2.27. （I ）解：因为|OA|=1，所以圆O 的方程为221x y +=.（II ）解：（i ）如图，连接OM,由题意可知△OEM 为直角三角形.因为∠EMF=60°，所以∠OME=30°. 所以|OM|=2|OE|=2.因为M 是340x y +-=直线上的动点，所以设点M 的坐标为（t,－3t+4）.所以，解得t =，或t =.所以点M（ii ）因为原点O 到直线340x y +-=的距离d == 所以|OM|因为△OEM 为直角三角形，所以|ME|2=|OM|2-12≥35.所以|ME|DE 最小值是5.因为S 四边形MEOF =2S △MEO =121|ME ||ME |2⨯⨯⨯=,所以四边形MEOF 面积的最小值是5. 28．（I ）解：因为[()][()]f g x g f x =，所以22()2(2)kx k x +=+，即22222k x kx k +=+.因为上式对所有的实数x 都成立，所以222k kk⎧=⎨=⎩解得1k =.（II ）解：如()()f x g x =32321x x =+-，()g x x =，符合题意.(答案不唯一) （III ）证明：设函数F()()()x f x g x =-，因为方程()()f x g x =无实数解. 所以函数F()x 的图象恒在x 轴上方，或者恒在x 轴下方， 即对任意R,F()0x x ∈>，或者对于任意R,F()0x x ∈<.○1当F()0x >时，因为[()][()]f f x g g x -={[()][()]}{g[()][()]}f f x g g x f x g g x -+- ={[()][()]}{[()][()]}f f x g f x f g x g g x -+-=F[()]F[()]0f x g x +> 所以此时方程[()][()]f f x g g x =无实数解.○2当F()0x <时，同理可证[()][()]0f f x g g x -<. 所以此时方程[()][()]f f x g g x =无实数解.综上，当方程()()f x g x =无实数解，求证：方程[()][()]f f x g g x =无实数解.。
北京市2017年夏季普通高中会考数学试卷及答案(Word版)
2017 年北京市夏天一般高中会考数学试卷考生须知 1. 考生要仔细填写考场号和座位序号。
2. 本试卷共6页，分为两个部分，第一部分为选择题，25个小题（共75分）；第二部分为解答题，5个小题（共25分）。
3．试题全部答案一定填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分一定用2B铅笔作答；第二部分一定用黑色笔迹的署名笔作答。
4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员回收。
第一部分选择题（每题3分，共75分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是切合题目要求的.1．已知会合A{1，2，3} ， B { 1，3} ，那么会合 A B 等于A． { 3} B．{ 1，1，，2 3} C．{1，1} D． { x 1≤ x≤3}2．假如直线l与直线3xy 2平行，那么直线l的斜率是1 1A ．3B ．3C．3D． 33．不等式 x2 2x 3 0的解集为A ．(1，3) B．(3，1) [gkstkgkstkgkstk]C．(， 1) (3， ) D．(， 3) (1， )4．已知向量a( 1，2) ，b (2 ，y ) ，且ab ，那么y等于A．1B．1C．4D．45．已知tan=3 ，那么 tan( π+ ) 等于1 1A ．3B ．3C．3D．3x 的值是2，那么输出y的值是6．某程序框图以下图，假如输入A. 2B. 4C. 5D.6[gkstkgkstk]y sin( xπ7．要获得函数 )y sin x 的图象4 的图象，只需将函数ππ A ．向左平移 4个单位 B ．向右平移 4 个单位ππC ．向上平移4个单位 D ．向下平移 4 个单位 [gkstkgkstkgkstk]8．给出以下四个函数： ○1y x 1；○2 y x 2 ；○3 y ln x ；○4 y x 3.此中偶函数的序号是 A ．○1 B ．○2 C ．○3 D ．○49．在△ABC中， a 2，b7 ， c 3，那么角 B 等于π ππ5πA ．6B ．4 C ．3D ．1210．已知数列 a n 的前 n 项和 S n = n21，那么a 3等于A ．5B ．6C ． 7D ．811．已知正数a ，b 知足a b10 ，那么 ab的最小值等于A ．2B ． 10C ．2 10D ．2012． log 2 8 log 2 4 等于A ．1B ．2C ．5D ．613．某几何体的三视图以下图，那么该几何体的体积是2 πA.35 πB.38πC.3开始输入是否输出结束D.2πx ，≤ ，2 1 x 0f ( x) 1，x 014．函数x 零点的个数为A．0B．1C．2D ．3cos2 πsin 2 π15．12 12 等于2 3 2 3A ． 2B ． 2 C．2D ．2x y 1 ≤ 0，x y 2 ≤0 ，16．不等式组x≥ 0表示的平面地区的面积等于3 9 5A ．2B ．2C．4D．217．已知定义在R 上的函数f ( x )是单一函数，其部分图象如图所示，那么不等式 f ( x) 3的解集为A． (0，) B ．(，0)C．( 2， ) D．(， 2)2 2 2 2 218．已知圆x + y= 1与圆 ( x - 3) + y= r ( r > 0)相外切，那么 r 等于A ．1B ．2C．3D．419．在植树活动中，每名同学可从两种树苗中任选一种进行栽种，那么甲乙两名同学选择同一种树苗的概率是111 3A．4B．3C．2D．420．已知向量a(0，2)，b(1，0) ，那么向量a2b与 b的夹角为A． 135 B． 120 C．60D．4521．某地域有网购行为的居民约10万人 . 为认识他们网上购物花费金额占平时花费总数的比率状况，现从中随机抽取168 人进行检查，其数据如右表所示. 由此预计，该地域网购花费金额占平时花费总数的比率在20% 及以下的人数大概是A．万B．万C．万D．万22．已知数列a n 知足an+ an 1n，那么其前 4项的和S4等于A．3B．4C．5D．623．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，那么A．BD1// GHB． BD // EFC．平面EFGH // 平面A1BCD1D．平面 EFGH // 平面 ABCD24．如图，在△ABC 中，点D在线段BC上，BD 2 DC .假如AD x AB y AC，那么x 1，y 2A ． 3 3x 2，y 1B ． 3 3x 2，y 1C． 3 3x 1，y 2D． 3 325．从 2008 年京津城际铁路通车营运开始，高铁在过去几年里迅速发展，并在公民经济和平时生活中饰演着日趋重要的角色 . 以下图是 2009 年至 2016 年高铁营运总里程数的折线图（图中的数据均是每年12 月 31 日的统计结果） .依据上述信息，以下结论中正确的选项是A ．截止到 2015 年 12 月 31 日，高铁营运总里程数超出 2 万公里 [gkstkgkstkgkstk]B ．2011 年与 2012 年新增高铁营运里程数之和超出了0.5 万公里C．从 2010 年至 2016 年，新增高铁营运里程数最多的一年是2014 年D．从 2010 年至 2016 年，新增高铁营运里程数逐年递加第二部分解答题（每题5分，共25分）26．（本小题满分5分）已知函数f ( x )sin 2x cos2 x ．（Ⅰ） f (0) ；（将结果直接填写在答题卡的相应地点上）（Ⅱ）求函数f ( x )的最小正周期及单一递加区间.27．（本小题满分5分）如图，在三棱锥P ABC 中， PB PC，AB AC． D，E分别是BC，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE //平面 PAC ；（Ⅱ）求证：平面ABC平面 PAD ．28．（本小题满分5分）已知数列{ an}是公差为d的等差数列，a1 3 ， a3 9 ．（Ⅰ）公差d；（将结果直接填写在答题卡的相应地点上）nb n an（n 1，2，3，n}的前 n 项和n（Ⅱ）数列{ b }知足2），求数列{ bS29．（本小题满分5分）已知⊙ M ：x 24xy 20 .（Ⅰ）⊙ M 的半径 r；（将结果直接填写在答题卡的相应地点上）（Ⅱ）设点A (0，3)，B (2，5)，试判断⊙ M 上能否存在两点C， D ，使得四边形 ABCD 为平行四边形？若存在，求直线CD的方程；若不存在，请说明原因.30．（本小题满分 5分）科学研究表示：人类对声音有不一样的感觉，这与声音的强度I （单位：瓦 /平方米）相关 . 在实质丈量L a lgI 时，常用 L （单位：分贝）来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I 知足关系式：I（ a12I 1 1011是常数），此中 I 01 10瓦 /平方米 . 如风吹落叶沙沙声的强度瓦/平方米，它的强弱等级L 10分贝.（Ⅰ）a；（将结果直接填写在答题卡的相应地点上）（Ⅱ）已知生活中几种声音的强度以下表： [gkstkgkstkgkstk] 声音根源声音大小风吹落叶沙沙声 轻声私语 很喧闹的马路强度 I （瓦 /平方米） 1 10 11 1 1010 110 3强弱等级 L （分贝） 10m 90那么m；（将结果直接填写在答题卡的相应地点上）（Ⅲ）为了不影响正常的歇息和睡眠，声音的强弱等级一般不可以超出 50分贝，求此时声音强度 I 的最大值 .2017 年北京市夏天一般高中会考 数学试卷答案及评分参照 [说明 ]第一部分选择题，机读阅卷.第二部分解答题 . 为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详尽，考生只需写明主要过程即可. 若考生的解法与本解答不一样，正确者可参照评分标准给分. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 .第一部分选择题 (每题 3 分，共75 分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9答案 B B A B D B A B C题号10 11 12 13 14 15 16 17 18答案 A C A A B D C A B题号19 20 21 22 23 24 25 ———答案 C A D B C A C第二部分解答题 (每题 5 分，共 25 分)26．（本小题满分5分）已知函数f ( x)sin 2x cos2 x ．（Ⅰ）f(0) ；（将结果直接填写在答题卡的相应地点上）（Ⅱ）求函数f ( x)的最小正周期及单一递加区间 .（Ⅰ）解：f (0) =1 ．2 分f (x) 2 sin(2 xπ)（Ⅱ）解：由题意得 4 .因此T.2kππ≤ 2xπ≤ 2kππZ ，由于 2 4 2 ，kkπ3π≤ x ≤ kππZ .因此8 8 ，k[ kπ3ππ， kπ+ ]，k Z.5分因此f ( x)的单一递加区间是8 827．（本小题满分5分）如图，在三棱锥P ABC 中， PB PC，AB AC． D，E分别是BC，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE //平面 PAC ；（Ⅱ）求：平面ABC平面PAD．（Ⅰ）明：因D， E 分是BC，PB的中点，因此DE //PC ．因DE 平面 PAC ， PC 平面PAC，因此DE //平面 PAC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分（Ⅱ）明：因PB PC，AB AC，D是BC的中点，因此PD BC，AD BC ．因PD AD D ，因此BC 平面 PAD ．因BC 平面ABC，因此平面 ABC 平面 PAD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分28．（本小分5分）已知数列{ an}是公差d的等差数列，a1 3 ， a 3 9 ．（Ⅰ）公差d；（将果直接填写在答卡的相地点上）（Ⅱ）数列 { b n } 足bna2n（n1，2，3，），求数列{ b n}的前n和S n．（Ⅰ）解：公差 d 3 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分（Ⅱ）解：因等差数列{ an}的公差 d 3 ，a13，因此an 3n．因此b n a n 3 2n2 ．因此数列 { b n } 是首6，公比 2 的等比数列.6(1 2n )6 2 n 6S n2因此 1 . 5 分29．（本小题满分5分）已知⊙M： x2 4x y2 0 .（Ⅰ）⊙ M 的半径r；（将结果直接填写在答题卡的相应地点上）（Ⅱ）设点A(0，3)，B (2，5)，试判断⊙ M 上能否存在两点C， D ，使得四边形ABCD为平行四边形？若存在，求直线CD的方程；若不存在，请说明原因.（Ⅰ）解：⊙ M 的半径 r 2 . 1 分（Ⅱ）解：由x24x y2 0 得 ( x 2) 2 y 2 4 .因此⊙ M 的半径 r 2 ，圆心M (2，0).5 31由点A(0，3)，B (2，5)可得直线 AB 的斜率为2 0 AB 2 2 .，假如存在点C， D ，使得四边形ABCD 为平行四边形，那么AB∥ CD ，ABCD .d 2 b设直线CD的方程为y x b，则点 M 到直线CD的距离 2 .r 2 CD2d 2 4 2 (2 b) 2由 2 可得 2 ，解得 b 0 ，或b4 .当b 0时，直线CD的方程为xy 0 ，此时 C (2，2) ， D (0，0) ；当b 4时，直线CD的方程为xy 4 0 ，此时 C (4，0) ， D (2， 2) .因此⊙ M 上存在两点C， D ，使得四边形ABCD 为平行四边形 .5 分30．（本小题满分5分）科学研究表示：人类对声音有不一样的感觉，这与声音的强度I （单位：瓦/平方米）相关.在实质丈量L a lgI时，常用 L （单位：分贝）来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I 知足关系式：I0 （a是常数），此中I1 1012瓦 /平方米 . 如风吹落叶沙沙声的强度I 1 1011 瓦 /平方米，它的强弱等级L 10分贝.（Ⅰ） a ；（将结果直接填写在答题卡的相应地点上）（Ⅱ）已知生活中几种声音的强度以下表：声音根源声音大小风吹落叶沙沙声轻声私语很喧闹的马路强度 I （瓦/平方米） 1 10 11 1 10101 10 3强弱等级 L （分贝）10 m 90那么m；（将结果直接填写在答题卡的相应地点上）（Ⅲ）为了不影响正常的歇息和睡眠，声音的强弱等级一般不可以超出50 分贝，求此时声音强度I 的最大值 .（Ⅰ）解：（Ⅱ）解：am10 . 1 分20 . 3 分（Ⅲ）解：由题意，得L≤50.10 lg I12≤50 10因此 1 .解不等式，得I ≤1 7 0 .答：此时声音强度1 75 分I 的最大值为瓦/平方米 .欢迎接见“高中试卷网”——。
北京市会考数学试题
北京市会考数学试题一、选择题（每题3分，共30分）下列函数中，周期为π的是( )A. y = sin(2x)B. y = cos(x/2)C. y = tan(3x)D. y = sec(4x)若复数z 满足|z| = 2，且z^2 = -4，则z = ( )A. 2iB. -2iC. ±2iD. ±√2i已知直线l: y = kx + b 经过点(1, 2) 和(3, 0)，则直线l 的斜率为( )A. 1B. -1C. 2D. -2已知函数f(x) = 3x^2 - 6x + 1，则f(x) 在区间[0, 3] 上的最大值为( )A. 1B. 2C. 4D. 10下列关于等差数列{an} 的性质，正确的是( )A. 若a1 > 0，公差d < 0，则数列{an} 是递增数列B. 若a1 < 0，公差d > 0，则数列{an} 是递减数列C. 数列{an} 中，任意两项的和为常数D. 数列{an} 中，任意两项的积为常数若直线y = kx + b 与双曲线x^2 - y^2 = 1 相交于两点，则实数k 的取值范围为( )A. (-∞, -1) ∪ (1, +∞)B. (-1, 1)C. (-∞, -1] ∪ [1, +∞)D. 以上都不对设随机变量X 服从正态分布N(μ, σ^2)，且P(X < 3) = 0.7，则P(X > 3) = ( )A. 0.3B. 0.7C. 0.4D. 0.6已知平面内三点A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 6)，则ΔABC 的形状为( )A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 以上都不对下列命题中，真命题的个数为( )① 若a > b，则a^2 > b^2② 若a > b，c > d，则ac > bd③ 若a > b，c > 0，则a/c > b/c④ 若a < b < 0，则a^2 < ab < b^2A. 1B. 2C. 3D. 4设f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c，若f(x) 有两个不同的极值点x1, x2，且f(x1) + f(x2) = -4/3，则a + b = ( )A. -4/3B. -2C. -8/3D. -4二、填空题（每题4分，共16分）已知函数y = log2(x - 1) 的定义域为_______．已知等比数列{an} 的前n 项和为Sn = 3^n + r，则a2 + r = _______．在ΔABC 中，内角A, B, C 所对的边分别为a, b, c，若cos A = 1/3，则sin(2B + C) = _______．已知椭圆C: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为√3/2，且过点(1, √3/2)，则椭圆C 的方程为_______．三、解答题（共54分）（本题12分）已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + 1 有两个不同的极值点，求 a 的取值。
北京市夏季会考数学试卷
２０１8年北京市夏季普通高中会考数学试卷第一部分 选择题（每小题3分,共7５分）1. 已知集合{1,0,1}A =-，{1,3}B =，那么集合A B 等于Ａ． {1}- Ｂ. {1} C. {1,1}- D. {1,0,1,3}-2. 不等式220x x +-<的解集为A. {|21}x x -<<B. {|12}x x -<<Ｃ. {|21}x x x <->或 Ｄ. {|12}x x x <->或3. 已知向量ａ =(1,2)-, b = (2,)y ,且a // b ,那么y 等于A. 4- Ｂ． 1- Ｃ． 1 Ｄ. 44. 给出下列四个函数：①21y x =-+ ②y = ③2log y x = ④3xy = 其中在区间(0,)+∞上是减函数的为Ａ. ① B ．② C.③ Ｄ．④5. 把函数cos y x =的图像向右平移6π个单位长度,所得图像的函数关系式为 A ． sin()6y x π=+B. sin()6y x π=-C. cos()6y x π=+ Ｄ. cos()6y x π=- 6． 123log 94+等于Ａ. 52 B. 72C. 4 Ｄ． ５ 7. 某校高中三个年级共有学生15０0人，其中高一年级有学生550人,高二年级有学生４5０人,为了解学生参加读书活动的情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为300的样本进行调查,那么应抽取高三年级学生的人数为A. ９0 Ｂ. 10０ C. 110 D. 1208. 已知数列{}n a 满足12(,2)n n a a n N n *--=∈≥，且11a =，那么3a 等于A. 3-B.1- Ｃ. 3 Ｄ. 59. 已知5sin 13α=，那么sin()πα-等于 A. 1213- B. 513- C. 513 D. 1213１0． 某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出的S 的值是A. １２B. 19 Ｃ. ２２ D. 3２11． 已知0a >，那么4a a+的最小值是 Ａ. １ B. 2 C ． 4 D. ５１2． 已知4sin 5α=,那么cos2α等于 A. 2425- B ． 725- C. 725 D. 2425 1３． 当实数,x y 满足条件102200x y x y y --≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩时,z x y =+的最大值为A ．2- B ． 1- C. 1Ｄ. 2 14. 某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积是Ａ.3 B. 33 C. 6 D ． 6315. ABC ∆中，3,2,60a b A ===︒，那么sin β的值为 A. 13 B ． 33 C ． 23D. 63 1６． 已知向量a ，b 在正方形网格中的位置如图所示,那么向量a ,b 的夹角为Ａ. 45︒ B ． 60︒Ｃ. 90︒ D. 135︒17. 大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带作为北京历史文化名城保护系统的重要内容，高度凝练了北京旧城以外的文化遗产,对于建设北京全国文化中心、满足人民对美好生活的需要,起到关键的支撑作用,为了把握好三个文化带的文化精髓,做好保护与传承， 某课外研究小组决定从三个文化带中随机选取两个文化带进行研究，那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是Ａ. 13 B ． 12 C. 23 Ｄ. 341８． 函数()ln 2f x x x =+-的零点个数为Ａ. 0 B. 1 C. 2 Ｄ. 31９. 已知O 为原点，点P 在直线10x y +-=上运动，那么||OP 的最小值为A.B. 1C.D.20. 已知数列{}n a 中，1111(,2)n a n N n a *-=-∈≥，那么2018a 等于 Ａ． 13- B ． 34Ｃ． 2 Ｄ. 4 ２1． 直线:3450l x y ++=被圆22(2)(1)16x y -+-=截得的弦长为Ａ．B. 5 C ．D ． 10２2. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：“某人从距离关口三百七十八里处出发，第一天走的轻快有力,从第二天起，由于脚痛,每天走的路程为前一天的一半,共走了六天到达关口……”那么该人第一天走的路程为Ａ. ２4里 B. 48里 Ｃ. 96里 Ｄ. 192里23. 已知直线,,m n l ,平面,,αβγ,给出下面四个命题① //αββγαγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭ ② //////αββγαγ⎫⇒⎬⎭③//l m m n l n ⊥⎫⇒⎬⊥⎭ ④ //m n m n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭ 其中正确的命题是A. ①B. ②C. ③D. ④24.给出下列四个函数①()sinf x x=②1()f xx=③2()f x x=④()lnf x x=对于()f x定义域中任意的x，满足不等式“[()()]0(0)x f x t f x t+-≥>”的函数是A. ①②B. ①③C．②③Ｄ. ③④25.在20１8年３月５日召开的第十三届全国人民代表大会第一次会议上，李克强总理代表国务院向大会报告政府工作，报告中指出：十八大以来的五年，是我国发展进程中极不平凡的五年，是我国发展进程中极不平凡的五年,五年来，国内生产总值从54万亿元增加到82.７万亿元,年均增长7.1%,占世界经济比重从11．4%提高到1５%左右，对世界经济增长贡献率超过30%，经济实力跃上新台阶，居民消费价格年均上涨1．9%,保持较低水平，2018年2月国家统计局发布了《２017年国民经济和社会发展统计公报》,其中“20１7年居民消费价格月度跌幅度”的折线图如下图:说明：在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较,例如2017年1２月与201６年1２月相比较：同比增长率＝(本期数－同期数)÷同期数⨯100%，环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2017年1２月与2017年11月相比较：环比增长率=(本期数-上期数)÷同期数⨯10０%根据上述信息,下列结论中错误的是A. 从２017年每月的环比增长率看，20１7年每月居民消费价格逐月比较有涨有跌B. 从２017年每月的环比增长率看,2０17年每月居民消费价格逐月比较1月涨幅最大C.从2０17年每月的同比增长率看,201７年每月居民消费价格与2０１6年同期比较有涨有跌D. 从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与２016年同期比较1月涨幅最大第二部分 解答题（每小题5分,共25分)２6. 已知函数()32cos 2f x x x =+（1）函数()f x 的最小正周期为 ；（２)求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值。
北京市2017年夏季普通高中会考数学试卷及答案(Word版)
北京市2017年夏季普通高中会考数学试卷及答案(Word版)·2·2017年北京市夏季普通高中会考数 学 试 卷考生须知 1. 考生要认真填写考场号和座位序号。
2. 本试卷共6页，分为两个部分，第一部分为选择题，25个小题（共75分）；第二部分为解答题，5个小题（共25分）。
3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。
第一部分 选择题（每小题3分，共75分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合{123}A =，，，{13}B =-，，那么集合A B等于A ．{3}B ．{1123}-，，，C ．{11}-，D ．{13}x x -≤≤ 2．如果直线l 与直线320x y +-=平行，那么直线l 的斜率是A．3B．3-C．13D．13-3．不等式2230x x--<的解集为A．(13)-，[gkstkgkstkgkstk]-，B．(31)C．(1)(3)，，-∞-+∞，，D．(3)(1)-∞-+∞4．已知向量(12)b，且⊥a b，那么y等于=，=-，a，(2)yA．1-B．1C．4-D．45．已知tan=3α，那么tan(π+)α等于A．3-B．13-C．13D．36．某程序框图如图所示，如果输入x的值是2，那么输出y的值是A. 2B. 4C. 5D. 6·3··4·[gkstkgkstk] 7．要得到函数πsin()4y x =+的图象，只需将函数sinx 的图象A ．向左平移π4个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向上平移π4个单位 D ．向下平移π4个单位[gkstkgkstkgkstk] 8．给出下列四个函数：○11y x =-； ○22y x =； ○3ln y x =； ○43y x =.其中偶函数的序号是A ．○1B ．○2C ．○3D ．○49．在△ABC 中，2a =，b =3c =，那么角B 等于 A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．5π1210．已知数列{}na 的前n 项和2=1nS n-，那么3a 等于A ．5B ．6C ．7D ．811．已知正数a b ，满足10ab =，那么a b +的最小值等于开始是否输入输出A．2BC．D．2012．22log8log4-等于A．1 B．2 C．5 D．613．某几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是A. 2π3B.C. 8π3D. 2π14．函数210()1x xf xxx⎧-⎪=⎨>⎪⎩，≤，，零点的个数为A．0B．1C．2D．3·5··6·15．22ππcos sin 1212-等于A．．D16．不等式组1 02 00x y x y x --⎧⎪+-⎨⎪⎩≤，≤，≥表示的平面区域的面积等于A ．32B ．2C ．94D ．5217．已知定义在R 上的函数()f x 是单调函数，其部分图象如图所示，那么不等式()3f x <的解集为A ．(0)+∞，B ．(0)-∞，C ．(2)-+∞，D ．(2)-∞-， 18．已知圆221x y 与圆222(3)(0)x y r r 相外切，那么r 等于A ．1B ．2C ．3D ．419．在植树活动中，每名同学Array可从两种树苗中任选一种进行种植，那么甲乙两名同学选择同一种树苗的概率是A．14B．13C．12D．3420．已知向量(02)=，b，那么向量2-a b与b的夹角=，a，(10)为A．135︒B．120︒C．60︒D．45︒21．某地区有网购行为的居民约10万人. 为了解他们网上购物消费金额占日常消费总额的比例情况，现从中随机抽取168人进行调查，其数据如右表所示. 由此估计，该地区网购消费金额占日常消费总额的比例在20%及以下的人数大约是A．1.68万B．3.21万C．4.41万·7··8·D ．5.59万22．已知数列{}na 满足1+nn a an+=，那么其前4项的和4S 等于A ．3B ．4C ．5D ．623．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，，分别是棱111111A B BB CC C D ，，，的中点，那么A ．1//BD GHB ．//BD EFC ．平面//EFGH 平面11A BCDD ．平面//EFGH 平面ABCD24．如图，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，2BD DC =. 如果AD x AB y AC =+，那么A ．1233x y ==，B ．2133x y ==，·9·C ．2133x y =-=， D ．1233x y ==-，25．从2008年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去几年里快速发展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色. 下图是2009年至2016年高铁运营总里程数的折线图（图中的数据均是每年12月31日的统计结果）.根据上述信息，下列结论中正确的是A ．截止到2015年12月31日，高铁运营总里程数超过2万公里[gkstkgkstkgkstk]B ．2011年与2012年新增高铁运营里程数之和超过了0.5万公里C ．从2010年至2016年，新增高铁运营里程数最多的一年是2014年D．从2010年至2016年，新增高铁运营里程数逐年递增第二部分解答题（每小题5分，共25分）26．（本小题满分5分）已知函数()sin2cos2=+．f x x x（Ⅰ）(0)f=；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）（Ⅱ）求函数()f x的最小正周期及单调递增区间.27．（本小题满分5分）如图，在三棱锥P ABC=．D，E分别是-中，PB PC=，AB ACBC，PB的·10·中点．（Ⅰ）求证：//DE 平面PAC ；（Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面PAD ．28．（本小题满分5分）已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，13a =，39a =．（Ⅰ）公差d = ；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）（Ⅱ）数列{}n b 满足2n n b a =（123n =，，，），求数列{}nb 的前n 项和nS29．（本小题满分5分）已知⊙M：22-+=.x x y40（Ⅰ）⊙M的半径r=；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）（Ⅱ）设点(03)A，，(25)B，，试判断⊙M上是否存在两点C，D，使得四边形ABCD为平行四边形？若存在，求直线CD的方程；若不存在，请说明理由.30．（本小题满分5分）科学研究表明：人类对声音有不同的感觉，这与声音的强度I（单位：瓦/平方米）有关. 在实际测量时，常用L（单位：分贝）来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I 满足关系式：0lg I L a I =⋅（a 是常数），其中120110I -=⨯瓦/平方米. 如风吹落叶沙沙声的强度11110I -=⨯瓦/平方米，它的强弱等级10L =分贝.（Ⅰ）a = ；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）（Ⅱ）已知生活中几种声音的强度如下表：[gkstkgkstkgkstk] 声音来源声音大小 风吹落叶沙沙声 轻声耳语 很嘈杂的马路 强度I （瓦/平方米）11110-⨯ 10110-⨯ 3110-⨯ 强弱等级L （分贝） 10 m 90那么m = ；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上） （Ⅲ）为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I 的最大值.2017年北京市夏季普通高中会考数学试卷答案及评分参考[说明]第一部分选择题，机读阅卷.第二部分解答题. 为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可. 若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.第一部分选择题(每小题3分，共75分)题号1 2 3 4 5 6 7 8 9答案B B A B D B A B C题号10 11 12 13 14 15 16 17 18答案A C A A B D C A B题号19 20 21 22 23 24 25 ———答案C A D B C A C第二部分解答题(每小题5分，共25分) 26．（本小题满分5分）已知函数()sin2cos2f x x x=+．（Ⅰ）(0)f=；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）（Ⅱ）求函数()f x的最小正周期及单调递增区间. （Ⅰ）解：(0)=f1．……………………………………2分（Ⅱ）解：由题意得π())4f x x=+.所以T=π.因为πππ2π22π242k x k-++≤≤，k∈Z，所以3ππππ88k x k-+≤≤，k∈Z.所以()f x的单调递增区间是3ππ[ππ+]88k k -，，k∈Z. …………5分27．（本小题满分5分）如图，在三棱锥P ABC-中，PB=E分别是BC，PB的中点．（Ⅰ）求证：//DE平面PAC；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面PAD．（Ⅰ）证明：因为D，E分别是BC，PB的中点，所以//DE PC．因为DE⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，所以//DE平面PAC．……………………………………2分（Ⅱ）证明：因为PB PC=，AB AC=，D是BC的中点，所以PD BC⊥，AD BC⊥．因为PD AD D =， 所以BC ⊥平面PAD ． 因为BC ⊂平面ABC ， 所以 平面ABC ⊥平面PAD ． ……………………………………5分28．（本小题满分5分）已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，13a =，39a =． （Ⅰ）公差d = ；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）（Ⅱ）数列{}n b 满足2n n b a =（123n =，，，），求数列{}n b 的前n 项和nS ． （Ⅰ）解：公差d =3. ……………………………………2分（Ⅱ）解：因为 等差数列{}n a 的公差3d =，13a =， 所以 3n a n =．所以232n n n b a ==⋅．所以 数列{}nb 是首项为6，公比为2的等比数列. 所以 6(12)62612n n n S -==⋅--. …………………………………… 5分29．（本小题满分5分） 已知⊙M ：2240x x y -+=. （Ⅰ）⊙M 的半径r = ；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上）（Ⅱ）设点(03)A ，，(25)B ，，试判断⊙M 上是否存在两点C ，D ，使得四边形ABCD 为平行四边形？若存在，求直线CD 的方程；若不存在，请说明理由. （Ⅰ）解：⊙M 的半径r =2. ……………………………………1分（Ⅱ）解：由2240x x y -+=得 22(2)4x y -+=. 所以 ⊙M 的半径2r =，圆心(20)M ，.由点(03)A ，，(25)B ，可得 直线AB 的斜率为53120-=-，AB =如果存在点C ，D ，使得四边形ABCD 为平行四边形，那么AB CD ∥，AB CD =. 设直线CD 的方程为y x b =+，则点M 到直线CD 的距离d =由()2222CDr d =+可得 2(2)422b +=+，解得 0b =，或4b =-.当0b =时，直线CD 的方程为0x y -=，此时(22)C ，，(00)D ，； 当4b =-时，直线CD 的方程为40x y --=，此时(40)C ，，(22)D -，. 所以 ⊙M 上存在两点C ，D ，使得四边形ABCD 为平行四边形. …5分·21· 强弱等级L （分贝） 10 m 90那么m = ；（将结果直接填写在答题卡的相应位置上） （Ⅲ）为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I 的最大值. （Ⅰ）解：a =10. ……………………………………1分（Ⅱ）解：m =20. ……………………………………3分（Ⅲ）解：由题意，得50L ≤. 所以 1210lg 50110I -⨯⨯≤.解不等式，得 70I -≤1.答：此时声音强度I 的最大值为70-1瓦/平方米. …………………………5分。
2020-2021学年北京市高二第一次普通高中学业水平合格性考试数学试题(解析版)
2020-2021学年北京市高二第一次普通高中学业水平合格性考试数学试题一、单选题1．已知集合{1,0,2},{0,1,2}A B =-=，则A B ＝（ ） A ．{－1，0，2} B ．{0，1，2} C ．{－1，0，1} D ．{－1，0，1，2} 【答案】D【分析】由集合并集概念求得结果即可. 【详解】由题知，{}1,0,1,2A B ⋃=-. 故选：D.2．已知复数134i z =-，223i z =-+，则12z z +=（ ） A ．1i - B ．5i - C ．17i - D ．5i +【答案】A【分析】根据复数加法运算求得结果.【详解】由题知，()()123243i 1i z z +=-+-+=- 故选：A3．函数2()log f x x =的定义域是（ ） A ．(1,)-+∞ B ．(0,)+∞ C ．(1,)+∞ D ．(2,)+∞【答案】B【分析】利用真数大于直接求解【详解】由题意0x >，故函数2()log f x x =的定义域是(0,)+∞ 故选：B4．下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（ ）A ．2y x B ．y =C ．2xy =D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性判断可得出结论.【详解】函数2y x 、y x =、2xy =在()0,∞+上均为增函数，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上为减函数. 故选：D.5．下列各点中，在函数()21x f x =-的图象上的点是（ ） A ．（0，0） B ．（0，1） C ．（1，0） D ．（1，2）【答案】A【分析】直接代入计算可得.【详解】解：因为()21xf x =-，所以()00210f =-=，故函数过点()0,0.故选：A.6．某校为了解学生关于校本课程的选课意向，计划从高一、高二这两个年级共500名学生中，采用分层抽样的方法抽取50人进行调査．已知高一年级共有300名学生，那么应抽取高一年级学生的人数为（ ） A ．10 B ．20C ．30D ．40【答案】C【分析】根据分层抽样的定义求出相应比例，进而得出结果.【详解】解：因为高一年级共有300名学生，占高一、高二这两个年级共500名的30035005=， 则采用分层抽样的方法抽取50人中，应抽取高一年级学生的人数为350305⨯=人.故选：C.7．如图，四边形ABCD 是平行四边形，则AB BC +=（ ）A ．ACB ．CAC ．BD D ．DB【答案】A【分析】根据向量加法的三角形法则计算可得； 【详解】解： AB BC AC故选：A8．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，它的终边经过点()4,3，则cos α=（ ）A ．45-B ．45 C ．34-D ．34【答案】B【分析】由任意角的三角函数的定义即可求得结果. 【详解】解：角α以Ox 为始边，终边经过点()4,3，∴4cos 5α==. 故选：B.9．函数()||1f x x =-的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【分析】令()||10f x x =-=求解. 【详解】令()||10f x x =-=， 解得 1x =±，所以函数()||1f x x =-的零点个数是2， 故选：C10．已知a R ∈，则“1a >”是“0a >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两者的推出关系，结合充要条件的概念分析即可． 【详解】若1a >，则0a >成立， 若0a >，无法推出1a >， 故1a >是0a >的充分不必要条件， 故选：A ．【点睛】本题考查了充分条件必要条件的判断，考查逻辑思维能力，属于基础题． 11．sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝（ ）A ．12 B C D ．1【答案】A【分析】逆用两角和的正弦公式求值. 【详解】原式()1sin 2010sin 302=︒+︒=︒=故选：A12．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB ＝AD ＝2，13AA =，则四棱锥1D ABCD -的体积为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．9【答案】B【分析】根据长方体的特殊线面关系，结合棱锥体积公式求得结果. 【详解】在长方体中，1DD ⊥底面ABCD ， 则四棱锥1D ABCD -的体积为122343⨯⨯⨯=.故选：B13．已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为0.9，0.8，且两人罚球是否命中相互独立．若甲、乙各罚球一次，则两人都命中的概率为（ ） A ．0.08 B ．0.18 C ．0.25 D ．0.72【答案】D【分析】根据独立事件乘法公式求解【详解】由题意，根据独立事件乘法两人都命中的概率为0.90.80.72⨯= 故选：D14．在△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则b ＝（ ） A ．22B ．23C ．6D ．42【答案】C【分析】利用正弦定理直接求解【详解】由正弦定理34sin 226sin sin sin 2a b a Bb A B A=∴===故选：C15．不等式x （x －1）＜0的解集为（ ） A ．{01}xx <<∣ B ．{10}xx -<<∣C ．{0x x <∣或1}x >D ．{1xx <-∣或0}x > 【答案】A【分析】根据一元二次方程的两个根，解得一元二次不等式的解集. 【详解】方程()10x x -=有两个根0,1， 则不等式()10x x -<的解集为{}01x x << 故选：A16．在△ABC 中，a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则c ＝（ ）A ．2B ．C ．4D ．6【答案】B【分析】直接利用余弦定理求解即可. 【详解】2222cos 416812c a b ab C =+-=+-=∵，c ∴=故选：B17．函数()3sin cos f x x x =的最大值为（ ） A ．1 B ．12C ．2D ．32【答案】D【分析】由二倍角公式可得()3sin 22f x x =，结合正弦函数的值域即可得结果【详解】∵()33sin cos sin 22f x x x x ==，∴函数()3sin cos f x x x =的最大值是32.故选：D.18．已知224a b >>，则（ ） A ．a ＞b ＞2 B ．b ＞a ＞2C ．a ＜b ＜2D ．b ＜a ＜2【答案】A【分析】利用指数函数单调性解不等式即可 【详解】222422a b a b >>=∴>> 故选：A19．已知向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则·a b ＝（ ）A ．3B ．32C ．6D ．12【答案】C【分析】从图中读出向量模长和夹角，按照数量积运算公式求得结果. 【详解】由图知，322a b ==，，两向量的夹角为45°，则2··cos ,3226a b a b a b ==⨯⨯= 故选：C20．在信息论中，设某随机事件发生的概率为p ，称21log p为该随机事件的自信息．若随机抛一枚均匀的硬币1次，则“正面朝上”这一事件的自信息为（ ） A ．0 B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】首先求出“正面朝上”的概率，再代入计算可得；【详解】解：随机抛一枚均匀的硬币1次，则“正面朝上”的概率12p =， 所以22211log log log 2112p===，故“正面朝上”这一事件的自信息为1； 故选：C二、填空题21．已知a ，b 是实数，且a ＞b ，则－a ________－b （填“＞”或“＜”）． 【答案】＜【分析】根据不等式的性质计算可得； 【详解】解：因为a b >，所以a b -<- 故答案为：<22．已知向量a ＝（1，m ），b ＝（2，4）．若//a b ，则实数m ＝________． 【答案】2【分析】根据向量平行关系求得参数.【详解】由//a b 知，124m=，解得m =2. 故答案为：223．设m ，n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面．给出下列三个命题： ①如果m ∥n ，m ⊥α，那么n ⊥α； ②如果m ⊥α，m ⊥β，那么α//β； ③如果α⊥β，m ∥β，那么m ⊥α． 其中所有真命题的序号是________． 【答案】①②【分析】由线面垂直的判定定理可判断①；由线面垂直的性质可判断②；由面面垂直的性质可判断③【详解】解：对于①，由m ∥n ，m ⊥α，可得n ⊥α，所以①正确； 对于②，由m ⊥α，m ⊥β，可得α//β，所以②正确；对于③，由α⊥β，m ∥β，可得直线m 与平面α可平行，可能相交但不垂直，可能垂直，还有可能直线m 在平面α内，所以③错误， 故答案为：①②三、双空题24．已知函数1()f x x x=+，则f (x )是________函数（填“奇”或“偶”）；f (x )在区间（0，＋∞）上的最小值是________． 【答案】奇 2【分析】根据奇函数定义判断函数奇偶性；利用基本不等关系求得最小值.【详解】由题知，1()()f x x f x x-=--=-，故()f x 是奇函数；(0,)x ∈+∞时，1()2f x x x =+≥=，当且仅当1x =时，等号成立， 则()f x 的最小值为2. 故答案为：奇；2.四、解答题25．已知函数()sin 4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）写出f (x )的最小正周期；（2）求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值．【答案】（1）2π ；（2）最小值为．【分析】（1）根据函数解析式写出最小正周期；（2）根据正弦函数单调性判断函数在区间上的单调性，从而求得最值.【详解】解：（1）f (x )的最小正周期为2π． （2）因为02x π， 所以444x πππ--．所以函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，当44x ππ-=-，即x ＝0时，f (x )取得最小值2-；当44x ππ-=，即2x π=时，f (x )所以f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为26．阅读下面题目及其解答过程．已知函数23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩，（1）求f （－2）与f （2）的值； （2）求f (x )的最大值．解：（1）因为－2＜0，所以f （－2）＝ ① ． 因为2＞0，所以f （2）＝ ② ． （2）因为x ≤0时，有f (x )＝x ＋3≤3，而且f （0）＝3，所以f (x )在(,0]-∞上的最大值为 ③ ． 又因为x ＞0时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+， 而且 ④ ，所以f (x )在（0，＋∞）上的最大值为1． 综上，f (x )的最大值为 ⑤ ．以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ”）．④ A ．f （1）＝1 B ．f （1）＝0 ⑤ A ．1 B ．3【答案】（1）①A ； ②B ；（2）③A ； ④A ； ⑤B ． 【分析】依题意按照步骤写出完整的解答步骤，即可得解；【详解】解：因为23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩，（1）因为20-<，所以()2231f -=-+=，因为20>，所以()222220f =-+⨯=（2）因为0x ≤时，有()33f x x =+≤，而且()03f =，所以()f x 在(,0]-∞上的最大值为3． 又因为0x >时，有22()2(1)11f x x x x =-+=--+， 而且()11f =，所以()f x 在()0,∞+上的最大值为1． 综上，()f x 的最大值为3．27．如图，在三棱锥O －ABC 中，OA ，OB ，OC 两两互相垂直，OA ＝OB ，且D ，E ，F 分别为AC ，BC ，AB 的中点．（1）求证：DE ∕∕平面AOB ； （2）求证：AB ⊥平面OCF ． 【答案】（1）见解析 ；（2）见解析．【分析】（1）D ，E 分别为AC ，BC 的中点，得DE AB ∕∕，从而证明DE ∕∕平面AOB ； （2）OA ，OB ，OC 两两互相垂直，得：OC ⊥平面AOB ，从而得出OC AB ⊥，由题易知AB OF ⊥从而证明AB ⊥平面OCF ．【详解】解：（1）在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 的中点， 所以DE ∥AB ．又因为DE⊄平面AOB，所以DE∥平面AOB．（2）因为OA＝OB，F为AB的中点，所以AB⊥OF．因为OC⊥OA，OC⊥OB，所以OC⊥平面AOB．所以AB⊥OC．所以AB⊥平面OCF．28．为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．假设待检测的总人数是2m（m为正整数）．将这2m个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测1次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，则将这些人平均分成两组，每组12m-个人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直至确定所有的感染者．例如，当待检测的总人数为8，且标记为“x”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用下图表示．从图中可以看出，需要经过4轮共n次检测后，才能确定标记为“x”的人是唯一感染者．（1）写出n的值；（2）若待检测的总人数为8，采用“二分检测方案”，经过4轮共9次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值；（3）若待检测的总人数为102，且其中不超过2人感染，写出采用“二分检测方案”所需总检测次数的最大值．【答案】（1）7n =；（2）感染者人数可能的取值为2，3，4；（3）39．【分析】（1）由图可计算得到n 的取值；（2）当经过4轮共9次检测后确定所有感染者，只需第3轮对两组都进行检查，由此所有可能的结果；（3）当所需检测次数最大时，需有2名感染者，并在第2轮检测时分居两组当中，从而将问题转化为待检测人数为92的组，每组1个感染者，共需的检测次数，由此可计算求得结果.【详解】（1）由题意知：第1轮需检测1次；第2轮需检测2次；第3轮需检测2次；第4轮需检测2次；12227n ∴=+++=；（2）由（1）可知：若只有1个感染者，则只需7次检测即可；经过4轮共9次检测查出所有感染者，比只有1个感染者多2次检测，则只需第3轮时，对两组都都进行检查，即对最后4个人进行检查，可能结果如下图所示：∴感染者人数可能的取值为2，3，4.（3）若没有感染者，则只需1次检测即可；若只有1个感染者，则只需121021+⨯=次检测即可；若有2个感染者，若要检测次数最多，则第2轮检测时，2个感染者不位于同一组中； 此时相当于两个待检测人数均为92的组，每组1个感染者，此时每组需要12919+⨯=次检测；∴此时两组共需21938⨯=次检测；∴若有2个感染者，且检测次数最多，共需38139+=次检测. 综上所述：所需总检测次数的最大值为39.。
北京普通高中会考数学真题及答案B
北京普通高中会考数学真题及答案B第一部分 选择题（ 每小题分,共分）在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的. 1．已知集合A={1,2,3},B={1,2},那么A ∩B 等于（ ） A ．{3} B ．{1,2} C ．{1,3} D ．{1,2,3}2．已知直线l 经过两点P （ 1,2）,Q （ 4,3）,那么直线l 的斜率为（ ） A ．﹣3 B ．C ．D ．33．某小学共有学生2000人,其中一至六年级的学生人数分别为400,400,400,300,300,200．为做好小学放学后“快乐30分”活动,现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查,那么应抽取一年级学生的人数为（ ） A ．120 B ．40 C ．30 D ．204．已知向量,,且,那么x 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．65．给出下列四个函数①；②y=|x|； ③y=lgx ； ④y=x 3+1,其中奇函数的序号是（ ） A ．① B ．② C ．③D ．④6．要得到函数的图象,只需将函数y=sinx 的图象（ ） A ．向左平移个单位 B ．向右平移个单位 C ．向上平移个单位D ．向下平移个单位7．在△ABC 中,2a =,b 3c =,那么角B 等于（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π128．给出下列四个函数：○11y x =-； ○22y x =； ○3ln y x =； ○43y x =. 其中偶函数的序号是（ ） A ．○1 B ．○2 C ．○3D ．○49．等于（ ）A ．1B ．2C ．5D ．610．如果α为锐角,,那么sin2α的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．37511．22log 8log 4 等于 A ．1B ．2C ．5D ．612．cos12°cos18°﹣sin12°sin18°的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．13．共享单车为人们提供了一种新的出行方式,表所示：年龄 12﹣20岁 20﹣30岁 30﹣40岁 40比例14%45.5%34.5%为调查共享单车使用满意率情况,线采用分层抽样的方法从中抽取容量为200岁的人数为（ ）A ．12B ．28C ．69D ．91 14．某几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积是（ ）15．已知向量满足,,,那么向量的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°16．某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动,要求每名学生选择连续的两天参加体验活动,那么某学生随机选择的连续两天中,有一天是星期二的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．17．函数的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．318．已知圆M ：x 2+y 2=2与圆N ：（ x ﹣1）2+（ y ﹣2）2=3,那么两圆的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离19．已知圆221x y 与圆222(3)(0)x y r r相外切,那么r 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．420．在△ABC 中,,那么sinA 等于（ ）A．B． C． D．21．某地区有网购行为的居民约10万人. 为了解他们网上购物消费金额占日常消费总额的比例情况,现从中随机抽取168人进行调查,其数据如右表所示. 由此估计,该地区网购消费金额占日常消费总额的比例在20%及以下的人数大约是A．1.68万 B．3.21万 C．4.41万 D．5.59万22．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,给出下列四个推断：①A1C1⊥AD1 ②A1C1⊥BD ③平面A1C1B∥平面ACD1 ④平面A1C1B⊥平面BB1D1D其中正确的推断有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个23．如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,D在斜边BC上,且CD=2DB,那的值为（）A．3 B．5 C．6 D．924．从2008年京津城际铁路通车运营开始,高铁在过去几年里快速发展,并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色. 下图是2009年至2016年高铁运营总里程．．．数的折线图（图中的数据均是每年12月31日的统计结果）.根据上述信息,下列结论中正确的是（）A．截止到2015年12月31日,高铁运营总里程数超过2万公里B．2011年与2012年新增．．高铁运营里程数之和超过了0.5万公里C．从2010年至2016年,新增．．高铁运营里程数最多的一年是2014年D．从2010年至2016年,新增．．高铁运营里程数逐年递增25．一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体是（）A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．四棱柱选择题答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25第二部分 解答题（ 每小题分,共分）26．已知函数f （ x ）=1﹣2sin 2x （ 1）= ；（ 2）求函数f （ x ）在区间上的最大值和最小值．27．如图,在三棱锥P ﹣ABC 中,PB ⊥BC,AC ⊥BC,点E,F,G 分别为AB,BC,PC,的中点 （ 1）求证：PB ∥平面EFG ； （ 2）求证：BC ⊥EG ．28． 如图,在三棱锥P ABC -中,PB PC =,AB AC =．D ,E 分别是BC ,PB 的中点．（ Ⅰ）求证：//DE 平面PAC ； （ Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面PAD ．29．已知点P （ ﹣2,2）在圆O ：x 2+y 2=r 2（ r ＞0）上,直线l 与圆O 交于A,B 两点． （ 1）r= ；（ 2）如果△PAB 为等腰三角形,底边,求直线l 的方程．30．已知圆M ：2x 2+2y 2﹣6x+1=0． （ 1）圆M 的圆心坐标为 ；（ 2）设直线l 过点A （ 0,2）且与x 轴交于点D ．与圆MOAB 与△OCD 的面积相等,求直线l 的斜率．参考答案选择题答题卡第二部分 解答题（ 每小题分,共分）26．已知函数f （ x ）=1﹣2sin 2x （ 1）= ；（ 2）求函数f （ x ）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：函数f （ x ）=1﹣2sin 2x=cos2x, （ 1）=cos （ 2×）=；故答案为：；（ 2）x ∈[﹣,],∴2x ∈[﹣,], ∴cos2x ∈[0,1], ∴当x=﹣时,f （ x ）取得最小值0,x=0时,f （ x ）取得最大值1, ∴函数f （ x ）在区间上的最大值为1,最小值为0．27．如图,在三棱锥P ﹣ABC 中,PB ⊥BC,AC ⊥BC,点E,F,G 分别为AB,BC,PC,的中点 （ 1）求证：PB ∥平面EFG ； （ 2）求证：BC ⊥EG ．【解答】证明：（ 1）∵点F,G 分别为BC,PC,的中点, ∴GF ∥PB,∵PB ⊄平面EFG,FG ⊂平面EFG, ∴PB ∥平面EFG ．（ 2）∵在三棱锥P ﹣ABC 中,PB ⊥BC,AC ⊥BC, 点E,F,G 分别为AB,BC,PC,的中点, ∴EF ∥AC,GF ∥PB, ∴EF ⊥BC,GF ⊥BC,∵EF ∩FG=F,∴BC ⊥平面EFG, ∵EG ⊂平面EFG,∴BC ⊥EG ．28． 如图,在三棱锥P ABC -中,PB PC =,AB AC =．D ,E 分别是BC ,PB 的中点．（ Ⅰ）求证：//DE 平面PAC ；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面PAD．（Ⅰ）证明：因为D,E分别是BC,PB的中点,所以//DE PC．因为DE⊄平面PAC,PC⊂平面PAC,DE平面PAC．……………………………………2分所以//（Ⅱ）证明：因为PB PC=,AB AC=,D是BC的中点,所以PD BC⊥．⊥,AD BC=,因为PD AD D所以BC⊥平面PAD．因为BC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面PAD．……………………………………5分29．已知点P（﹣2,2）在圆O：x2+y2=r2（ r＞0）上,直线l与圆O交于A,B两点．（ 1）r= ；（ 2）如果△PAB为等腰三角形,底边,求直线l的方程．【解答】解：（ 1）∵点P（﹣2,2）在圆O：x2+y2=r2（ r＞0）上,∴r=2．…（ 1分）（ 2）因为△PAB为等腰三角形,且点P在圆O上,所以PO⊥AB．因为PO的斜率, 所以可设直线l的方程为y=x+m．由得2x2+2mx+m2﹣8=0．△=4m2﹣8×（ m2﹣8）=64﹣4m2＞0, 解得﹣4＜m＜4．设A,B的坐标分别为（ x1,y1）,（ x2,y2）,可得．所以．解得m=±2．所以直线l的方程为x﹣y+2=0,x﹣y﹣2=0．…（ 5分）30．已知圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．（ 1）圆M的圆心坐标为；（ 2）设直线l过点A（ 0,2）且与x轴交于点D．与圆M在第一象限的部分交于两点B,C．若O为坐标原点,且△OAB与△OCD的面积相等,求直线l的斜率．【解答】解：（ 1）圆M：2x2+2y2﹣6x+1=0．转化为：．则圆M的圆心坐标为：（）．（ 2）直线l过点A（ 0,2）且与x轴交于点D．则：设直线的方程为：y=kx+2．与圆M在第一象限的部分交于两点B,C．且△OAB与△OCD的面积相等,则：AB=CD．即：AM=DM．设点A（ x,0）则：, 整理得：x2﹣3x﹣4=0,解得：x=4或﹣1（负值舍去）．则：A（ 4,0）由于点A在直线y=kx+2上,解得：k=﹣故直线的斜率为﹣．故答案为：（,0）；直线的斜率为﹣．。
2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试 数学含答案
2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷（答案在最后）考生须知：1.考生要认真填写考场号和座位序号.2.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分.3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B 铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，则A B = （）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.{}1,0,1,2-2.复数2i =（）A.iB.i- C.1D.1-3.函数()()21f x x x =+的零点为（）A.1-B.0C.1D.24.已知向量()()0,1,2,1a b == ，则a b -=（）A.()0,2- B.()2,0 C.()2,0- D.()2,25.不等式21x >的解集为（）A.{}10x x -<< B.{}01x x << C.{}11x x -<< D.{1x x <-或}1x >6.在空间中，若两条直线a 与b 没有公共点，则a 与b （）A.相交B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线7.在同一坐标系中，函数()y f x =与()y f x =-的图象（）A.关于原点对称B.关于x 轴对称C .关于y 轴对称D.关于直线y x =对称8.已知,a b 挝R R ，则“a b =”是“22a b =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.故宫文创店推出了紫禁城系列名为“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款书签，并随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为（）A.12B.13C.14D.1610.已知函数(),01,0x x f x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若()02f x =，则0x =（）A.12B.12-C.2D.2-11.在ABC 中，7,3,5a b c ===，则A ∠=（）A.30︒ B.60︒C.90︒D.120︒12.下列函数中，存在最小值的是（）A.()1f x x =-+ B.()22f x x x =- C.()exf x = D.()ln f x x=13.贸易投资合作是共建“一带一路”的重要内容.2013—2022年中国与共建国家进出口总额占中国外贸总值比重（简称占比）的数据如下：年份2013201420152016201720182019202020212022占比()%39.240.338.938.639.640.642.441.442.245.4则这10年占比数据的中位数为（）A.40.3%B.40.45%C.40.6%D.41.4%14.若tan 1α=-，则角α可以为（）A.π4B.π6C.3π4D.5π615.66log 2log 3+=（）A.0B.1C.2D.316.函数()f x =的定义域为（）A.[)3,∞-+ B.[)2,-+∞ C.[)2,+∞ D.[)4,+∞17.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为BC 的中点.若1AB =，则三棱锥1D ADP -的体积为（）A.2B.1C.12D.1618.()2sin15cos15︒+︒=（）A.12B.1C.32D.219.已知0,0a b ≥≥，且1a b +=，则a b -的取值范围是（）A.[]1,0- B.[]0,1 C.[]1,1- D.[]22-,20.某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（）A.最多有1651名学生B.最多有1649名学生C.最少有618名学生D.最少有617名学生第二部分（非选择题共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分.21.已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，则α=_______．22.已知,a b 挝R R ，且a b >，则2a -________3b -（填“>”或“<”）.23.已知向量,,a b c ，其中()1,0a = .命题p ：若a b a c ⋅=⋅r r r r，则b c = ，能说明p 为假命题的一组b 和c 的坐标为b = ________，c =________.24.已知的()11f x x =+，给出下列三个结论：①()f x 的定义域为R ；②()(),0x f x f ∀∈≤R ；③k ∃∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点.其中所有正确结论的序号是________.三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.25.已知函数()2cos2f x x =.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.26.阅读下面题目及其解答过程.已知函数()22xxf x -=+.（1）证明：()f x 是偶函数；（2）证明：()f x 在区间()0,∞+上单调递增.解：（1）()f x 的定义域为D =①________.因为对任意x D ∈，都有x D -∈，且()22xx f x --=+=②________，所以()f x 是偶函数.（2）③________()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，()()()()1122122222x x x x f x f x ---=+-+1212112222x x x x =-+-21121222222x x x x x x +-=-+()()12121222212x x x x x x ++--=因为120x x <<，所以1222x x -④________0，1221x x +-⑤________0，1221x x +>.所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增.以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ”），空格序号选项① A.R B.()(),00,∞-+∞U ② A.()fx - B.()f x ③ A.任取 B.存在④ A.> B.<⑤A.>B.<27.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求证：//PB 平面AEC .28.已知()00000,,,a b c d α=和数表111122223333a b c d A a b c d a b c d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中()*,,,N 0,1,2,3i i i i a b c d i ∈=.若数表A 满足如下两个性质，则称数表A 由0α生成.①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3；②存在{}1,2,3k ∈，使,,,k k k k a b c d 中恰有三个数相等.（1）判断数表566645593848A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否由()06,7,7,3α=生成；（结论无需证明）（2）是否存在数表A 由()06,7,7,4α=生成？说明理由；（3）若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，写出0d 所有可能的值.2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷考生须知：1.考生要认真填写考场号和座位序号.2.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分.3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B 铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，则A B = （）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.{}1,0,1,2-【答案】A 【解析】【分析】根据集合交集的概念与运算，即可求解.【详解】集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，根据集合交集的运算，可得{}1A B ⋂=.故选：A.2.复数2i =（）A.iB.i- C.1D.1-【答案】D 【解析】【分析】直接根据复数的运算得答案.【详解】2i 1=-.故选：D.3.函数()()21f x x x =+的零点为（）A.1-B.0C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】解方程求得方程的根，即可得相应函数的零点.【详解】令()()210f x x x =+=，则0x =，即函数()()21f x x x =+的零点为0，故选：B4.已知向量()()0,1,2,1a b == ，则a b -=（）A.()0,2- B.()2,0 C.()2,0- D.()2,2【答案】C 【解析】【分析】直接利用向量的坐标运算计算即可.【详解】()()0,1,2,1a b ==,()2,0a b ∴-=-.故选：C.5.不等式21x >的解集为（）A.{}10x x -<< B.{}01x x << C.{}11x x -<< D.{1x x <-或}1x >【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由题意知，211x x >⇒<-或1x >，所以原不等式的解集为{1x x <-或1}x >.故选：D6.在空间中，若两条直线a 与b 没有公共点，则a 与b （）A.相交B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线【答案】D 【解析】【分析】根据空间直线的位置关系判断，即可得答案.【详解】由题意知在空间中，两条直线a 与b 没有公共点，即a 与b 不相交，则a 与b 可能平行，也可能是异面直线，故选：D7.在同一坐标系中，函数()y f x =与()y f x =-的图象（）A.关于原点对称B.关于x 轴对称C.关于y 轴对称D.关于直线y x =对称【答案】B 【解析】【分析】根据函数上点的关系即可得函数图象的关系.【详解】当x a =时，()y f a =与()y f a =-互为相反数，即函数()y f x =与()y f x =-的图象关于x 轴对称.故选：B.8.已知,a b 挝R R ，则“a b =”是“22a b =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】直接根据充分性和必要的定义判断求解.【详解】当a b =时，22a b =，当22a b =时，a b =±，则“a b =”是“22a b =”的充分而不必要条件.故选：A .9.故宫文创店推出了紫禁城系列名为“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款书签，并随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为（）A.12B.13C.14D.16【答案】A 【解析】【分析】直接根据古典概型的计算公式求解即可.【详解】由已知得随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲有4种赠法，其中游客甲得到“春”或“冬”款书签的有2种赠法，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为2142=.故选：A.10.已知函数(),01,0x x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若()02f x =，则0x =（）A.12B.12-C.2D.2-【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，即可得答案.【详解】当0x ≤时，()0f x x =≤，当0x >时，1()0f x x=>，故由()02f x =，得001122,x x =∴=，故选：A11.在ABC 中，7,3,5a b c ===，则A ∠=（）A.30︒ B.60︒C.90︒D.120︒【答案】D 【解析】【分析】根据余弦定理求角，即可得答案.【详解】在ABC 中，7,3,5a b c ===，由余弦定理得222925491cos 22352b c a A bc +-+-===-⨯⨯,而A 为三角形内角，故120A =︒，故选：D12.下列函数中，存在最小值的是（）A.()1f x x =-+B.()22f x x x =- C.()exf x = D.()ln f x x=【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性及值域分别判断最小值即可.【详解】()1f x x =-+单调递减值域为R ,无最小值，A 选项错误；()22f x x x =-在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增，当1x =取得最小值，B 选项正确；()e x f x =单调递增，值域为()0,+∞，无最小值，C 选项错误；()ln f x x =单调递增，值域为R ,无最小值，D 选项错误.故选:B.13.贸易投资合作是共建“一带一路”的重要内容.2013—2022年中国与共建国家进出口总额占中国外贸总值比重（简称占比）的数据如下：年份2013201420152016201720182019202020212022占比()%39.240.338.938.639.640.642.441.442.245.4则这10年占比数据的中位数为（）A.40.3%B.40.45%C.40.6%D.41.4%【答案】B 【解析】【分析】将数据从小到大排列，然后求中位数即可.【详解】把这10年占比数据从小到大排列得38.6%,38.9%,39.2%,39.6%,40.3%,40.6%,41.4%,42.2%,42.4%,45.4%，中位数为40.3%40.6%40.45%2+=.故选：B14.若tan 1α=-，则角α可以为（）A.π4B.π6 C.3π4D.5π6【答案】C 【解析】【分析】直接根据正切值求角即可.【详解】tan 1α=- ,3ππ,4k k α∴=+∈Z ，观察选项可得角α可以为3π4.故选：C.15.66log 2log 3+=（）A.0B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】直接利用对数的运算性质计算即可.【详解】()66661l o 2og 2log 3l g l g 36o ==+⨯=.故选：B.16.函数()f x =的定义域为（）A.[)3,∞-+ B.[)2,-+∞ C.[)2,+∞ D.[)4,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据函数()f x 的解析式有意义，列出不等式，即可求解.【详解】由函数()f x =有意义，则满足390x -≥，即2393x ≥=，解得2x ≥，所以函数()f x 的定义域为[)2,+∞.故选：C.17.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为BC 的中点.若1AB =，则三棱锥1D ADP -的体积为（）A.2B.1C.12D.16【答案】D 【解析】【分析】直接利用棱锥的体积公式计算.【详解】因为1DD ⊥面ADP 所以1111111113326D ADP ADP V DD S -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= .故选：D.18.()2sin15cos15︒+︒=（）A.12B.1C.32D.2【答案】C 【解析】【分析】按完全平方公式展开后，结合同角的三角函数关系以及二倍角正弦公式，即可求得答案.【详解】()2223sin15cos15sin 152sin15cos15cos 151sin 302︒+︒=︒+︒︒+︒=+︒=，故选：C19.已知0,0a b ≥≥，且1a b +=，则a b -的取值范围是（）A.[]1,0- B.[]0,1 C.[]1,1- D.[]22-,【答案】C 【解析】【分析】先通过条件求出a 的范围，再消去b 求范围即可.【详解】由1a b +=得1b a =-，所以10a -≥，得01a ≤≤，所以()[]1211,1a b a a a -=--=-∈-.故选：C.20.某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（）A.最多有1651名学生B.最多有1649名学生C.最少有618名学生D.最少有617名学生【答案】D 【解析】【分析】根据题意求出最多和最少的人数即可.【详解】185036162÷= ,6161617+=，即研学人数最多的地点最少有617名学生，18501001001650--=，即研学人数最多的地点最多有1650名学生.故选：D第二部分（非选择题共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分.21.已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，则α=_______．【答案】2【解析】【分析】由幂函数所过的点可得24α=，即可求α.【详解】由题设，(2)24f α==，可得2α=.故答案为：222.已知,a b 挝R R ，且a b >，则2a -________3b -（填“>”或“<”）.【答案】<【解析】【分析】根据不等式的基本性质即可求解.【详解】由题意知，a b >，则a b -<-，所以23a b -+<-+，即23a b -<-.故答案为：<23.已知向量,,a b c ，其中()1,0a = .命题p ：若a b a c ⋅=⋅r r r r，则b c = ，能说明p 为假命题的一组b 和c 的坐标为b = ________，c =________.【答案】①.()0,1（答案不唯一）②.()0,2（答案不唯一）【解析】【分析】直接根据0a b a c ⋅=⋅=r r r r可得答案.【详解】让0a b a c ⋅=⋅=r r r r即可，如()()0,1,0,2b c ==r r ，此时b c≠r r 故答案为：()()0,1,0,2（答案不唯一）.24.已知的()11f x x =+，给出下列三个结论：①()f x 的定义域为R ；②()(),0x f x f ∀∈≤R ；③k ∃∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点.其中所有正确结论的序号是________.【答案】①②【解析】【分析】①直接观察函数可得答案；②通过0x ≥求出()f x 的最值即可；③将问题转化为1y k=与()()1y g x x x ==+的交点个数即可.【详解】对于①：由10x +≠恒成立得()f x 的定义域为R ，①正确；对于②：()1011101x x f x ≥⇒+≥⇒≤=+，②正确；对于③：令11kx x =+，变形得()11x x k+=，作出函数()()22,01,0x x x g x x x x x x ⎧+≥=+=⎨-+<⎩的图象如下图：根据图象可得()g x 在R 上单调递增，故1y k=与()y g x =只有一个交点，即不存在k ∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点，③错误.故答案为：①②.三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.25.已知函数()2cos2f x x =.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】25.π26.最大值为2，最小值为-2【解析】【分析】（1）结合公式2πT ω=计算直接得出结果；（2）由题意求得02πx ≤≤，根据余弦函数的单调性即可求解.【小问1详解】由2π2ππ2T ω===，知函数()f x 的最小正周期为π；【小问2详解】由π02x ≤≤，得02πx ≤≤，令2x θ=，则0πθ≤≤，函数cos y θ=在[0,π]上单调递减，所以1cos θ1-＃，所以2()2f x -≤≤，即函数()f x 在π[0,2上的最大值为2，最小值为-2.26.阅读下面题目及其解答过程.已知函数()22xxf x -=+.（1）证明：()f x 是偶函数；（2）证明：()f x 在区间()0,∞+上单调递增.解：（1）()f x 的定义域为D =①________.因为对任意x D ∈，都有x D -∈，且()22xx f x --=+=②________，所以()f x 是偶函数.（2）③________()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，()()()()1122122222x x x x f x f x ---=+-+1212112222x x x x =-+-21121222222x x x x x x +-=-+()()12121222212x x x x x x ++--=因为120x x <<，所以1222x x -④________0，1221x x +-⑤________0，1221x x +>.所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增.以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ”），空格序号选项①A.RB.()(),00,∞-+∞U ② A.()f x - B.()f x ③ A.任取 B.存在④ A.> B.<⑤A.>B.<【答案】ABABA 【解析】【分析】根据()f x 的定义域以及函数奇偶性的定义可解答①②；根据函数单调性的定义，结合用单调性定义证明函数单调性的步骤方法，可解答③④⑤.【详解】①由于()22xxf x -=+的定义域为R ，故A 正确；②由于()2()2xx x x f f --=+=，故B 正确；③根据函数单调性定义可知任取()12,0,x x ∈+∞，故A 正确；④因为120x x <<，所以1222x x <，故12220x x -<，故B 正确；⑤因为120x x <<，故120x x +>，故121221,210x x x x ++>∴->，故A 正确.27.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求证：//PB 平面AEC .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质可得BD PA ⊥，结合线面垂直判定定理即可证明；（2）设AC 与BD 交于点O ，连接OE ，则//OE PB ，结合线面平行的判定定理即可证明.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD PA ⊥，又平面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，又,PA AC A PA AC 、=Ì平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ；【小问2详解】E 为PD 的中点，设AC 与BD 交于点O ，连接OE，则//OE PB ，又OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .28.已知()00000,,,a b c d α=和数表111122223333a b c d A a b c d a b c d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中()*,,,N 0,1,2,3i i i i a b c d i ∈=.若数表A满足如下两个性质，则称数表A 由0α生成.①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3；②存在{}1,2,3k ∈，使,,,k k k k a b c d 中恰有三个数相等.（1）判断数表566645593848A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否由()06,7,7,3α=生成；（结论无需证明）（2）是否存在数表A 由()06,7,7,4α=生成？说明理由；（3）若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，写出0d 所有可能的值.【答案】（1）是（2）不存在，理由见解析（3）3，7，11.【解析】【分析】（1）根据数表A 满足的两个性质进行检验，即可得结论；（2）采用反证的方法，即若存在这样的数表A ，由性质①推出对任意的{}1,2,3k ∈，,,,k k k k a b c d 中均有2个奇数，2个偶数，则推出不满足性质②，即得结论；（3）判断出0d 的所有可能的值为3，7，11，一方面说明0d 取这些值时可以由()007,12,3,d α=生成数表A ，另一方面，分类证明0d 的取值只能为3，7，11，由此可得0d 所有可能的值.【小问1详解】数表566645593848A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是由()06,7,7,3α=生成；检验性质①：当0i =时，561,671,671,633-=--=--=--=，共三个1-，一个3；当1i =时，451,561,561,963-=--=--=--=，共三个1-，一个3；当2i =时，341,853,451,891-=--=-=--=-，共三个1-，一个3；任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3；检验性质②：当1k =时，11115,6,6,6a b c d ====，恰有3个数相等.【小问2详解】不存在数表A 由()06,7,7,4α=生成,理由如下:若存在这样的数表A ，由性质①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3，则13i i a a +-=或-1，总有1i a +与i a 的奇偶性相反，类似的，1i b +与i b 的奇偶性相反，1i c +与i c 的奇偶性相反，1i d +与i d 的奇偶性相反；因为00006,7,7,4a b c d ====中恰有2个奇数，2个偶数，所以对任意的{}1,2,3k ∈，,,,k k k k a b c d 中均有2个奇数，2个偶数，此时,,,k k k k a b c d 中至多有2个数相等，不满足性质②；综上，不存在数表A 由()06,7,7,4α=生成；【小问3详解】0d 的所有可能的值为3，7，11.一方面，当03d =时，(71233),,,可以生成数表611265105541344A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；当07d =时，(71237),,,可以生成数表611665145541744A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；当011d =时，(712311),,,可以生成数表611610510998988A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；另一方面，若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，首先证明：0d 除以4余3；证明：对任意的0,1,2,3i =，令i i i a b ∆=-，则()()()()11111ΔΔi i t i i i i i i i a b a b a a b b +++++-=---=---，分三种情况：（i ）若11i i a a +-=-，且11i i b b +-=-，则10i i +∆∆=-；（ii ）若11i i a a +-=-，且13i i b b +=-，则14i i +∆-=-∆；（iii ）若13i i a a +-=，且11i i b b +-=-，则14i i +∆∆=-；均有1i +∆与i ∆除以4的余数相同.特别的，“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a b =”的一个必要不充分条件为“00,a b 除以4的余数相同”；类似的，“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a c =”的一个必要不充分条件为“00,a c 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a d =”的一个必要不充分条件为“00,a d 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k b c =”的一个必要不充分条件为“00,b c 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k b d =”的一个必要不充分条件为“00,b d 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k c d =”的一个必要不充分条件为“00,c d 除以4的余数相同”；所以，存在{}1,2,3k ∈，使得,,,k k k k a b c d 中恰有3个数相等的一个必要不充分条件是,,,k k k k a b c d 中至少有3个数除以4的余数相同.注意到07a =与03c =除以4余3，012b =除以4余0，故0d 除以4余3.其次证明：0{3,7,11,15}d ∈；证明：只需证明015d ≤；由上述证明知若()007,12,3,d α=可以生成数表A ，则必存在{}1,2,3k ∈，使得k k k a c d ==；若015d >，则0015312d c ->-=，()()1100221148,44d c d c d c d c -≥-->-≥-->，()332240d c d c -≥-->，所以，对任意{}1,2,3k ∈，均有0k k d c ->，矛盾；最后证明：015d ≠；证明：由上述证明可得若()007,12,3,d α=可以生成数表A ，则必存在{}1,2,3k ∈，使得k k k a c d ==，0015312d c =--=，()()1100221148,44d c d c d c d c -≥--=-≥--≥，()332240d c d c -≥--≥，欲使上述等号成立，对任意的{}1,2,3k ∈，113,1k k k k c c d d ++-=-=-，则111,1k k k k a a b b ++-=--=-，611614510913491212A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，经检验，不符合题意；综上，0d 所有可能的取值为3，7，11.【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第3问中确定0d 所有可能的取值，解答时要根据数表A 满足的性质分类讨论求解，并进行证明，证明过程比较复杂，需要有清晰的思路.。
2023年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学试题及答案
2023北京高中合格考数学（第二次）第一部分（选择题 共60分）一、选择题：共20小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}1,2A =，{}0,1B =，则A B ⋃=（ ） A. {}0,1B. {}0,1,2C. {}0,2D. {}1,22. 函数2log y x =的图象经过点（ ） A. ()1,0B. ()1,1C. ()1,1−D. ()2,23. 要得到函数πcos 6y x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭的图象，只要将函数cos y x =的图象（ ） A. 向左平移π3个单位长度 B. 向右平移π3个单位长度 C. 向左平移π6个单位长度 D. 向右平移π6个单位长度 4. 已知向量()2,1a =，()1,b x =−，a b ⊥，则x 的值为（ ） A. 12−B. 1−C. 2D. 2−5. 已知平面内的两个非零向量a ，b 满足3a b =−，则a 与b （ ） A. 相等B. 方向相同C. 垂直D. 方向相反6. 031log 93⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ） A.5−B. 1−C. 0D. 17. 在复平面内，复数2i z =−+对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限8. 如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，12AD AA ==，AB =，则1B D =（ ）A.3B. 4C. 5D. 69. 函数()22xf x =−的零点个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 410. 不等式()()310x x +−<的解集是（ ） A. {}31x x −<< B. {}13x x −<< C. {|3x x <−或}1x > D. {|1x x <−或}3x >11. 复数()22i +=（ ） A. 43i −B. 34i −C. 43i +D. 34i +12. 已知0x >，则4x x+的最小值为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 413. 甲、乙两人在罚球线进行投篮比赛，甲的命中率为0.7，乙的命中率为0.8，甲、乙命中与否互不影响．甲、乙两人各投篮1次，那么“甲、乙两人都命中”的概率为（ ） A. 0.08B. 0.14C. 0.24D. 0.5614. 如图，四边形ABCD 是菱形，下列结论正确的是（ ）A. AB AD =B. AC BD =C. AB BC AC +=D. AB AD BD += 15. 已知直线l ，m 和平面α，满足//l m ，m α⊥，则下列结论正确的是（ ） A. //l α B. l ⊂α C. l α⊥D. l 是平面α的斜线16. 已知3sin 5α=，则()sin α−=（ ） A. 45−B.35C.35D.4517. 在核酸检测中，“10合1”混采检测是指将10个人的样本混合在一个采集管中进行检测．采集时，将采集管发放给10人中的第一个人．某同学参加“10合1”混采，他拿到采集管的概率为（ ） A.910B. 12C.19D.11018. “0a b >>”是“22a b >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件19. 已知集合{}2,4,6,8P =，定义函数()1,,1,.x P f x x P ∈⎧=⎨−∉⎩则()()23f f +=（ ） A. 2−B. 0C. 1D. 220. 某小区的公共交流充电桩每小时的充电量为6.5kW h ⋅，收费标准如下表所示：看，发现已充满，则小王应缴纳的充电费可能为（ ） A. 31.5元B. 37.5元C. 45.3元D. 51.1元第二部分（非选择题 共40分）二、填空题：共4小题，每小题3分，共12分．21. 函数()11f x x =+的定义域是______． 22. 已知向量()1,2a =，()3,1b =−，则2a b +=______． 23. 计算ππ2sincos 88=______． 24. ．根据图中信息，给出下列三个结论：①该公司去年12月份甲产品的月投资额低于乙产品的月投资额；②该公司去年甲产品的月投资额的平均数大于乙产品的月投资额的平均数； ③该公司去年甲产品的月投资额的方差小于乙产品的月投资额的方差． 其中所有正确结论的序号是______．三、解答题：共4小题，共28分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．25. 如图，在四棱锥P ABCD −中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是矩形．AB平面PCD；（1）求证：//（2）求证：AB⊥平面PAD．26. 阅读下面题目及其解答过程．个正确，请选出正确的选项，并填写在相应的横线上（只需填写“A”或“B”）．27. 已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间 ππ,36⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的最大值及相应x 的值．28. 已知数集A 含有n （*n ∈N ）个元素，定义集合{}*,A x y x y A =+∈．（1）若{}1,2,3A =，写出*A ； （2）写出一个集合A ，使得*A A =；（3）当4n =时，是否存在集合A ，使得{}*2,3,4,6,7,8,10A =？若存在，写出一个符合条件的集合A ；若不存在，说明理由．参考答案第一部分（选择题 共60分）一、选择题：共20小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 【答案】B【分析】由并集定义可求.【详解】由题意，{}1,2A =，{}0,1B =， 所以A B ⋃={}0,1,2. 故选：B 2. 【答案】A【分析】根据对数的运算求解即可.【详解】根据对数的运算可知，2log 10=，2log 11≠，2log (1)−无意义，2log 21=， 所以函数2log y x =的图象经过点(1,0). 故选：A 3. 【答案】D【分析】根据三角函数图象的相位变换可得.【详解】由三角函数图象的相位变换可知，将函数cos y x =的图象向右平移π6个单位长度所得图象的解析式为πcos 6y x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭. 故选：D 4. 【答案】C【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可求得实数x 的值.【详解】因为向量()2,1a =，()1,b x =−，a b ⊥，则20a b x ⋅=−+=，解得2x =. 故选：C. 5. 【答案】D【分析】根据向量的共线及模的关系确定选项即可. 【详解】因为两个非零向量a ，b 满足3a b =−， 所以,a b 为共线反向向量，且模不相等， 所以ABC 错误，D 正确. 故选：D 6. 【答案】B【分析】根据指数幂的性质及对数的运算求解.【详解】02331log 91log 31213⎛⎫−=−=−=− ⎪⎝⎭. 故选：B 7. 【答案】B【分析】由复数的几何意义得出答案.【详解】复数2i z =−+对应的点坐标为()2,1−，位于第二象限 故选：B 8. 【答案】B【分析】根据长方体的性质求解.【详解】在长方体中，14B D ====，故选：B 9. 【答案】A【分析】由函数的单调性结合()10f =即可判断零点个数.【详解】函数()22xf x =−是R 上的单调递增函数，且()122=0f =−，所以函数()22xf x =−只有一个零点，故选：A. 10. 【答案】A【分析】先解相应方程，然后根据二次函数开口方向判断解集即可. 【详解】解方程()()310x x +−=得3x =−或1x =， 因为函数()()()31f x x x =+−开口向上，所以不等式()()310x x +−<的解集为{}31x x −<<. 故选：A 11. 【答案】D 【分析】根据复数的乘法运算可得答案. 【详解】()2244134i i i +=+−=+. 故选：D. 12. 【答案】D【分析】直接由基本不等式运算即可.【详解】因为0x >，所以44x x +≥=，即4x x +的最小值为4，当且仅当20x =>时，等号成立. 故选：D. 13. 【答案】D【分析】根据题意，由相互独立事件的概率公式求解. 【详解】根据独立事件同时发生的概率公式可知， “甲、乙两人都命中”的概率为0.70.80.56P =⨯=， 故选：D 14. 【答案】C【分析】根据向量相等的概念及向量的加法法则判断选项即可. 【详解】因为四边形ABCD 是菱形，所以根据向量加法的平行四边形法则知，AB BC AC +=，AB AD AC BD +=≠，故C 对D 错；因为向量方向不同，所以AB AD ≠，AC BD ≠，故AB 错误. 故选：C 15. 【答案】C【分析】根据线面垂直的性质得解. 【详解】因为//l m ，m α⊥， 所以l α⊥， 故选：C 16. 【答案】B【分析】根据诱导公式求解. 【详解】因为3sin 5α=，所以()3sin sin 5αα−=−=−， 故选：B 17. 【答案】D【分析】根据古典概型求解.【详解】因为某同学参加“10合1”混采，他在10人组中的位置是等可能的， 有10个位置可排，成为第一个人的可能性为110， 所以他拿到采集管的概率为110. 故选：D 18. 【答案】A【分析】根据充分不必要条件的概念判断即可.【详解】当0a b >>时，22a b >；当22a b >时，a b >，不一定0a b >>，所以“0a b >>”是“22a b >”的充分不必要条件. 故选：A. 19.【答案】B【分析】由23P P ∈∉，，结合分段函数的解析式可得答案. 【详解】由题意可知23P P ∈∉，， 所以(2)(3)1(1)0f f +=+−=， 故选：B. 20. 【答案】B【分析】根据题意算出各时间段的充电费用即可判断选项.【详解】由题知，小王在15：00—18：00时段充电0.5小时，费用为6.50.5 1.4 4.55⨯⨯=元； 在18：00—21：00时段充电3小时，费用为6.53 1.631.2⨯⨯=元； 记在21：00—23：00时段充电时间为x 小时，费用为6.5 1.49.1x x ⨯=元. 综上，小王应缴纳的充电费 4.5531.29.19.135.75y x x =++=+， 因为00.5x <≤，所以35.7540.3y <≤. 故选：B第二部分（非选择题 共40分）二、填空题：共4小题，每小题3分，共12分．21. 【答案】{|1}x x ≠−【分析】根据函数解析式有意义求解即可. 【详解】由10x +≠可得1x ≠−， 所以函数()11f x x =+的定义域是{|1}x x ≠−， 故答案为：{|1}x x ≠− 22. 【答案】(5,4)−【分析】根据向量加法的坐标运算求解. 【详解】因为()1,2a =，()3,1b =−， 所以2(1,2)(6,2)(5,4)a b +=+−=−， 故答案为：(5,4)−23. 【答案】2【分析】由二倍角的正弦公式求解.【详解】πππ2sincos sin 8842==.故答案为：224. 【答案】①②③【分析】根据雷达图，明显可得出甲、乙每月投资额的大小及波动幅度，即可得出结论. 【详解】由雷达图可知，12月份甲产品的月投资额低于乙产品的月投资额，故①正确；由雷达图可知，该公司去年甲产品的月投资额的平均数在25万元附近，比较稳定，变化幅度小，乙产品的月投资额的平均数明显小于25万元较多，并且不稳定，变化幅度大，故②③正确. 故答案为：①②③三、解答题：共4小题，共28分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．25. 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解【分析】（1）因为//AB CD ，由线面平行判定定理得证；（2）由题意得AB AD ⊥，AB PD ⊥，根据线面垂直的判定定理得证. 【小问1详解】由题意，底面ABCD 是矩形，即//AB CD ，CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ，所以//AB 平面PCD ；【小问2详解】由题意，PD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB PD ⊥，又底面ABCD 是矩形，即AB AD ⊥，,AD PD D AD ⋂=⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ． 26. 【答案】①B ②A ③A ④A ⑤B【分析】①由具体函数的定义域求解；②由()()1111f x x x x x f x −=−−+−+=++−=求解；③由()()()11112f x x x x x =−++=−−++=求解；④()11112f x x x x x x =−++=−++=求解；⑤由一次函数的单调性判断.【详解】解：①因为()11f x x x =−++，所以()f x 的定义域为R ；故答案为：B. ②因为()()1111f x x x x x f x −=−−+−+=++−=，故答案为：A. ③因为()()()11112f x x x x x =−++=−−++=，故答案为：A. ④因为()11112f x x x x x x =−++=−++=，故答案为：A ；⑤因为当1x ≥时，()2f x x =，所以函数是[)1,+∞上的增函数，故答案为：B. 27. 【答案】（1）π（2）2，π6x = 【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式得解；（2）根据自变量的取值范围求出π26x +的范围，再由正弦函数求解即可. 【小问1详解】因为函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以周期2ππ2T ==， 即函数最小正周期为π.【小问2详解】 因为ππ,36x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，所以πππ2262x −≤+≤， 所以π1sin 216x ⎛⎫−≤+≤ ⎪⎝⎭，π2()2sin 226f x x ⎛⎫−≤=+≤ ⎪⎝⎭， 所以()f x 在区间 ππ,36⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的最大值为2， 此时ππ262x +=，即π6x =. 28. 【答案】（1）{}2,3,4,5,6（2）{}0（3）不存在，理由见解析.【分析】（1）根据集合的新定义，写出A *中元素即可得解； （2）根据条件分析集合中元素即可得解；（3）根据题意可得不存在，利用反证法证明即可.【小问1详解】因为{}1,2,3A =，{}*,A x y x y A =+∈， 所以112,123,134,224,235,336+=+=+=+=+=+=为A *中元素， 故{}{}*,2,3,4,5,6A x y x y A =+∈=. 【小问2详解】取{}0A =，此时{}{}*,0A x y x y A =+∈=， 满足*A A =.【小问3详解】当4n =时，不存在集合A ，使得{}*2,3,4,6,7,8,10A =. （反证法）假设4n =时，存在集合A ，使得{}*2,3,4,6,7,8,10A =， 不妨设{,,,}A a b c d =，且a b c d <<<，则22a a b a c b c b d c d d <+<+<+<+<+<，所以2,,,,,,2a a b a c b c b d c d d +++++为*A 中7个不同的元素， 所以22,3,4,6,7,8,210a a b a c b c b d c d d =+=+=+=+=+==， 由22,3,4a a b a c =+=+=解得1,2,3a b c ===.此时，5b c A *+=∈与5A *∉矛盾，所以假设不成立，故不存在这样的集合A .。
2021夏季会考数学试卷及答案
2021夏季会考数学试卷及答案2021年北京市夏季普通高中会考数学考试考生须知1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.本试卷共6页，分为两个部分，第一部分为选择题，25个小题（共75分）；第二部分为解答题，5个小题（共25分）。
3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2b铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。
第一部分选择题（每小题3分，共75分）在每个子问题中给出的四个备选答案中，只有一个符合问题的要求。
1.已知集合a？{1,3}，那么设置A23}，B？{1，a.{3}123}b．{?1，，，b等于d、 {x？1≤十、≤3}1}c．{?1，2．如果直线l与直线3x?y?2?0平行，那么直线l的斜率是a、三,b．?31c。
31d．?323.不平等x？2倍？3.0的解决方案集为a．(?1，3)c．(??，?1)b．(?3，1)(3，??) d、（？？，3）（1，？）4．已知向量a?(?1，2)，b?(2，y)，且a?b，那么y等于a、 ?。
？一b．1c、 ?。
？四d．45.已知tan=π，tan+）等于a．?31b。
？31c．3d.36．某程序框图如图所示，如果输入x的值是2，那么输出y的值是 a、 2b。
4c。
5d。
六否开始输入是输出结束数学试卷第1页，共10页7．要得到函数y?sin(x?a．向左平移c．向上平移π）把函数放在y上？SiNx图像4π单位4π单位4B。
右译D.下译π个单位4π个单位48．给出下列四个函数：1y?x?1；○2y?x○23岁？lnx○4y？x3○其中偶函数的序号是a．○1b。
○2.c．○39.在△ ABC，a？2，b？7，c？3，那么角度B等于a．ππ6b。
4c．π 310. 已知序列？一Sn=N2？1，那么A3等于a．5b、六,c．711.已知的正数a和B是否满足AB？10，那么a？B的最小值等于a．2b、 10c.21012.log28？Log24等于a．1b、二,c．513.如果图中显示了几何图形的三个视图，则几何图形的体积为a.23πb.53πc.83πd.2π?2x?1，x≤0，14．函数f(x)1?x，x?0零点的个数为a、 0b．1c、二,数学试卷第2页(共10页)d。
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2018年北京市夏季普通高中会考
数 学 试 卷
第一部分 选择题（每小题3分,共75分）
在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的．
1．已知集合{1,0,1}A =-,{1,3}B =,那么集合A B 等于
A .{1}-
B .{1}
C ．{1,1}-
D .{1,0,1,3}-
2．不等式220x x +-<的解集为 A ．{|21}x x -<< B ．{|12}x x -<<
C ．{|2x x <-或1}x >
D ．{|1x x <-或2}x >
3.已知向量(1,
2)=-a ，(2,)y =b ,且∥a b ,那么y 等于
A.4-
B ．1-
C ．1 D.4
4.给出下列四个函数:
①2
1y x =-+; ②y =
③2log y x =; ④3x y =.
其中在区间(0,)+∞上是减函数的为
Ａ．①
B .②
C ．③
D ．④
5.把函数cos y x =的图象向右平移6
π
个单位长度,所得图象的函数关系式为 Ａ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π
=-
C ．cos()6
y x π
=+
D.cos()6
y x π
=-
６． 12
3log 94+等于
A ．
52
B.
72
C ．4
D ．5
７．某校高中三个年级共有学生1500人，其中高一年级有学生550人，高二年级有学生450 人．为了解学生参加读书活动的情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为300的样本进行调查,那么应抽取高三年级学生的人数为
A ．90
B ．100 Ｃ.110
D.120
8．已知数列{}n a 满足12n n a a --=(2),n n *∈N ≥,且11a =,那么3a 等于
A ．3-
B ．1-
Ｃ．3
D ．5
9.已知5
sin 13
=α，那么sin(π)-α等于
A ．12
13
- Ｂ．513-
Ｃ．
5
13
D ．
1213
10. 某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出的S 的值是
A ．12
B ．19 C.22 D ．32
11.已知0a >,那么4
a a
+的最小值是
A.1
B.2
C.4
D.5
１２.已知4
sin 5
=α，那么cos2α等于
A ．2425
-
B ．725
-
Ｃ.
725
D.
2425
1３. 当实数x ,y 满足条件10,2+20,0x y x y y --⎧⎪
+⎨⎪⎩
≤≥≤ 时，z x y =+的最大值为
A.2-
Ｂ.1-
C ．1
Ｄ.2
14. 某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积是
１5. 在△ABC 中,3a =，2b
=，60A =︒，那么sin B 的值为
A.13
Ｃ．
23
D 16.已知向量a ，b 在正方形网格中的位置如图所示,那么向量a ,b 的夹角为
A ．45︒
B ．60︒ Ｃ．90︒ D.135︒
17. 大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带作为北京历史文化名城保护体系的重要内容,高度凝练了北京旧城以外的文化遗产,对于建设北京全国文化中心、满足人民对美好生活的需要，起到关键的支撑作用.为了把握好三个文化带的文化精髓，做好保护与传承，某课外研究小组决定从三个文化带中随机选取两个文化带进行研究,那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是
A ．1
3
B.
12
Ｃ.
23
D.
34
18. 函数()ln 2f x x x =+
-的零点的个数为
A ．0
B.
1
Ｃ．2
D ．
3
俯视图
侧(左)视图
2正(主)视图
3
19．已知O 为原点,点P 在直线10x y +-=上运动,那么||OP 的最小值为
A
．
2
B.1
D
．20． 已知数列{}n a 中，13
4
a =，111n n a a -=-(2),n n *∈N ≥，那么2018a 等于
Ａ.1
3
-
B ．
34
C.2 Ｄ．4
21. 直线:3450l x y ++=被圆22:(2)(1)16M x y -+-=截得的弦长为
B ．5
Ｃ．Ｄ.10
22． 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难,次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：“某人从距离关口三百七十八里处出发，第一天走得轻快有力,从第二天起，由于脚痛,每天走的路程为前一天的一半，共走了六天到达关口……”
那么该人第一天走的路程为
A.24里
B ．48里
C.96里
D ．192里
２3.已知直线m ,n ，l ,平面α，β,γ．给出下面四个命题：
① ⊥⇒⊥⎫
⎬⎭
αββγαγ∥;
③ l m m n l n ⊥⇒⊥⎫⎬⎭
∥；
其中正确．．的命题是 ② ⇒⎫
⎬⎭
αββγαγ∥∥∥;
④
m n m n ⇒⎫
⎬⎭
αα∥∥∥．
A ．①
B ．②
C ．③ D.④
24．给出下列四个函数:
①()sin f x x =； ②1()f x x
=
； ③2
()f x x =; ④()ln f x x =. 对于()f x 定义域中任意的x ,满足不等式“[()()]0(0)x f x t f x t +->≥”的函数是 A.①②
B.①③
C ．②③
D.③④
25．在2018年3月5日召开的第十三届全国人民代表大会第一次会议上,李克强总理代表国务院向大会报告政府工作,报告中指出:十八大以来的五年,是我国发展进程中极不平凡的五年.五年来,国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7.1%,占世界经济比重从
11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%,经济实力跃上新台阶.居民消费价
格年均上涨1.9%,保持较低水平．
2018年2月国家统计局发布了《2017年国民经济和社会发展统计公报》，其中“2017年居民消费价格月度涨跌幅度”的折线图如下图：
说明：在统计学中,同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较,例如2017年12月与2016年12月相比较;同比增长率 =（本期数-同期数）÷同期数⨯100%.
环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较,例如2017年12月与2017年11月相比较；环比增长率 =(本期数-上期数）÷上期数⨯100%．
根据上述信息，下列结论中错误
．．的是
A．从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较有涨有跌
B.从2017年每月的环比增长率看，2017年每月居民消费价格逐月比较1月涨幅最大
C.从2017年每月的同比增长率看，2017年每月居民消费价格与2016年同期比较有涨有跌
D.从2017年每月的同比增长率看,2017年每月居民消费价格与2016年同期比较1月涨幅最大
第二部分 解答题(每小题5分，共25分）
2６.(本小题满分5分）
已知函数()2cos 2f x x x =+．
（Ⅰ)函数()f x 的最小正周期为 ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上) （Ⅱ)求函数()f x 在区间[0,]2
π上的最大值和最小值．
2７.（本小题满分5分）
如图,在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ,AB BC =， 点E ，F 分别为AC ，PC 的中点． （Ⅰ）求证:PA ∥平面BEF ； （Ⅱ)求证:BE ⊥平面PAC ．
28.(本小题满分5分)
已知数列{}n a 是等差数列，且23a =，4612a a +=．
(Ⅰ）数列{}n a 的首项1a =__;（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上) (Ⅱ)数列{}n b 中，2n a n b =（*n ∈N ),设数列{}n b 的前n 项和为n S ,当60n S ≤
时，求n 的最大值.
2９.（本小题满分5分)
已知点(4,0)P -在圆222
:(0)O x y r r +=>上，直线l 与圆O 交于A ,B 两点,且与圆
22:(1)(1)2C x y +++=交于M ,N 两点.
（Ⅰ）圆O 的方程为＿_;(将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅱ)如果点M 为线段AB 的中点,且||||PM PN =,求直线l 的方程．
30.（本小题满分5分）
自然界的资源和空间是有限的，所以很多种群的增长呈“S ”型曲线．“S ”型曲线在社会学、生物统计学、临床、市场营销等很多方面都有广泛的应用．下面我们来研究一
类“S ”型曲线，它的函数表达式为1
()e x
f x a b -=+（其中a ,b 是非零常数，无理数
e 2.71828=⋅⋅⋅)．
（Ⅰ）当2e a =-,1b =时,函数()f x 的定义域是＿_;(将结果直接填写在答题卡．．．
的相应位置上）
（Ⅱ）如果0ab >，且0a b +<,试证明函数()f x 的图象在直线1
y a
=的上方； (Ⅲ）如果函数1
()()2
g x f x =-
的图象关于原点对称，求a ,b 的值． C
E
F
B
A P。