条件概率与事件的独立性(二)

(2)方差：体现了总体的稳定性(波动性)
事件间的关系
①包含(子事件) ②相等 ③和(并)
⑤互斥
⑥对立 ⑦独立
④积(交) ⑧容斥
注：互斥、对立及独立间的关联：
不能同时为互斥 互斥特例为对立 互不影响为独立 一对独立全独立 互斥独立不相干 概率相等即重复
A1 …… Ω A2 A3
AA Ω
常见事件的字母表示
① A+B=A∪B
A、B中至少有一个发生
② AB=A∩B
A、B要同时发生
③ AB+ AB
A、B中恰好有一个发生
④ A·B = A+B A·B·C = A+B+C
A、B都不发生 A、B、C都不发生
⑤ A·B = A+ B
A、B不都发生
A·B·C = A+B+C A、B、C不都发生
离散型随机变量的分布列求法： 一选二算三列表
(2)数化：将随机试验的每种结果用变量(随机变量)来表示 每种结果是否发生的用概率来衡量
(3)分布列：将每个随机变量及其所对应的概率列成表格
随机变量及其分布列概述
随 细化数化分布列①
机
一选二算三列表 ② 六大分布公式化 ③
分 布
事
件 期望方差确定化④
列
注②：一选二算三列表 求分布列的操作步骤
注③：六大分布公式化
(三)、性质公式法：
1.性质法：
①范围性 0 P( A) 1
注：必然事件的概率为1 不可能事件的概率为0 反之则不然
②总和性
若Ω=A1+A2+…+An，且 A1，A2，…，An两两互斥，则
P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1
(三)、性质公式法：
1.性质法： ①范围性
2.公式法
②总和性
①加法公式 P(A B) P(A) P(B) P(AB) 注：若A，B互斥，则有 P( A B) P( A) P(B) ②乘法公式 P(AB) P(A)P(B | A) P(B)P(A | B)
①超几何分布是“结构一分为二(成分两大类)” 概型
②超几何分布的模型是不放回抽样
随机变量千千万 均匀分布平等化 多次成败伯努利 成分两类超几何
六大分布最常见 两点分布论成败 二项连续是正态 几何分布破天荒
二项分布——独立重复n次，恰好发生k次的概率 一、定义：参课本P：57
注1：互不影响为独立 概率相等即重复 重复n 次恰好 k 通项公式后项 p
加工为一等品的概率分别为
2 3
和
3 4
.两个零件是否加工
为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的
概率为
A. 1 2
B. 5 12
C. 1
D. 1
4
6
析：设A1, A2分别表示甲、乙加工的零件为一等品
则
P( A1)
2 3
,
P( A2 )
3 4
故所求概率为
P( A1A2 ) P( A1A2 )
1 P( A1A2 )
13 15
(3)(2014年湖南)某企事业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品 成功的概率分别为 2 和 3 ,现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产 品B,设甲,乙两组的3研发5相互独立
注2：频率代概率 总数一大批 抽取要放回 二项分布也
二、常用的公式：
若 ~ B(n , p) ，则
① P( k) Cnk pk (1 p)nk (k 0,1,2,..., n)
② E( ) np
③ D( ) np(1 p)
一、求分布列的总思路：
繁 (大)
事 件
分类：互斥事件加法公式 分步：独立事件乘法公式
5 12
(2)甲,乙两人独立地破译密码的概率分别为 1 ,1 ,求
①两个人都译出密码的概率
34
②两个人都译不出密码的概率
③恰有一人译出密码的概率
④至多一人译出密码的概率
⑤至少一人译出密码的概率
析：设A, B分别表示甲、乙独自破译了密码
则 P( A) 1 , P(B) 1
3
4
①所求概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝13×14＝112
性质法
范围性 总和性
性质公式法
加法公式
公式法
乘法公式 和积互补公式
对偶律
（一）、定义法：
1.统计定义法： 参课本P：110 频率是概率的估计；频率的稳定值是概率
2.古典定义法： 参课本P：126 ①基本思想：化归思想，化大为小 ②使用前提：①0有限性 ②0等可能性
3.几何定义法： 参课本P：136 ①基本思想：数形结合思想，事件图形化 ②使用前提：①0无限性 ②0等可能性
随机变量千千万 均匀分布平等化 多次成败伯努利 成分两类超几何
六大分布最常见 两点分布论成败 二项连续是正态 几何分布破天荒
几何分布
如果事件A每次发生的概率均为p，则事件A在第k次首次
发生的概率为P(ξ＝k)＝ (1－p) k-1p (k＝1,2,3，…) 则称ξ服从几何分布，并记ξ～ G (p)
①求至少有一种新产品研发成功的概率 ②若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；
若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元， 求该企业可获利润的分布列和数学期望
析：设A1, A2分别表示甲、乙独自研发出了新产品
则
P( A1)
2 3
,
P(
A2
)
3 5
①所求概率为 P(A1 A2) P(A1) P(A2) P(A1A2)
注1：几何分布的模型是放回抽样 注2：几何分布是“破天荒”概型
随机变量千千万 均匀分布平等化 多次成败伯努利 成分两类超几何
六大分布最常见 两点分布论成败 二项连续是正态 几何分布破天荒
超几何分布
在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品数
则
P( X
k)
C C k nk M NM CNn
注2：如果事件A 1,A2,…,An 两两相互独立，那么
P(A1A2...An ) P(A1)P(A2 )...P(An )
注3：P(B | A) P( AB) P( A)
注4：题干中出现“在”、“当”、“已知”、“如果” 词
十有八九是条件概率
练习1.事件的独立性：
(1)(2010年辽宁)甲、乙两个实习生每人加工一个零件
4.公理化定义法： 有待大学提高补充之
估计稳定是概率 古典概型个数比 几何概型测度比 有限无限是区分
（一）、定义法：
1.统计定义法 2.古典定义法 3.几何定义法 4.公理化定义法
（二）、模拟试验法：
1.物理机械法： 2.计算机(软件)法：
（三）、性质公式法：
1.性质法： ①范围性 ②总和性 2.公式法： ①加法公式 ②乘法公式 ③和积互补公式 ④对偶律
§259 条件概率与事件的独立性(二)
P(AB) P(A)P(B | A) P(B)P(A | B)
注1：A，B独立 P(AB) P(A)P(B)
注2：如果事件A 1,A2,…,An 两两相互独立，那么
P(A1A2...An ) P(A1)P(A2 )...P(An )
注3：P(B | A) P( AB) P( A)
不能同时为互斥 互斥特例为对立 互不影响为独立 一对独立全独立 互斥独立不相干 概率相等即重复
条件概率
1.定义： 在事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为条件概率 并记为P(B|A). 读作：A发生的条件下B发生的概率 2.性质：
① 0 P(B | A) 1;
②如果B和C是两个互斥事件，那么
(1)均匀分布
(2)两点(0—1)分布
(3)几何分布
(4)超几何分布
(5)二项分布
(6)正态分布
随机变量及其分布列概述
随 细化数化分布列①
机
一选二算三列表 ② 六大分布公式化 ③
分 布
事
件 期望方差确定化④
列
注④：期望方差确定化
(1)期望：将随机事件“虚拟”成一确定事件 体现了总体的平均水平(聚中性)
格式③
X x1 x2 x3 x4 … xi … p p1 p2 p3 p4 … pi …
随机变量千千万 均匀分布平等化 多次成败伯努利 成分两类超几何
六大分布最常见 两点分布论成败 二项连续是正态 几何分布破天荒
均匀分布
X 形如
p
x1
1 n
x2
1 n
x3
1 n
x4
1 n
…
…
xn
1
的分布列，
n
称为均匀分布
注4：题干中出现“在”、“当”、“已知”、“如果” 词
十有八九是条件概率
随机变量及其分布列概述
随 细化数化分布列①
机 事
一选二算三列表 ② 六大分布公式化 ③
件 期望方差确定化④
分 布 列
注①：细化数化分布列
(1)细化： 繁
简
(大) 分类：互斥事件加法公式 (小)
事 分步：独立事件乘法公式 事
件
件
一选：根据题意灵活的选取随机变量所有可能的取值 二算：根据题意灵活的计算各随机变量相应的概率
计算概率常用的方法
复
简
杂 化繁为简 单
事
事
件
件
的 以小代大 的
概
概
率
率
定义法 模拟试验法 性质公式法
统计定义 古典概型 几何概型
计算概率常用的方法
定义法
统计定义法 古典定义法 几何定义法
模拟试验法
物理机械法 计算机(软件)法
3
4
③所求概率为 P(AB AB ) P(AB) P(AB ) 5
12
④所求概率为 P 1 P(AB) 11
12
(2)甲,乙两人独立地破译密码的概率分别为 1 ,1 ,求
①两个人都译出密码的概率
34
②两个人都译不出密码的概率
③恰有一人译出密码的概率
④至多一人译出密码的概率
⑤至少一人译出密码的概率
k＝0,1,2,…,m; m＝min{M，n}
X
0
1
…
m
即P
C0MCNn－ －0M CnN
C1MCNn－ －1M CnN
…
CmM
Cn－ m N－ M
CNn
称该分布列称为超几何分布
称随机变量X服从超几何分布. 并记X～ H (n,M,N)
注：元素属性两大类 质量抽检是范例
①
②
大 N总数抽小 n 次品 M 含小 k
注：若A，B独立，则有 P( AB) P( A)P(B)
③和积互补公式 P(A1 A2 An ) 1 P(A1 • A2 • • An ) 注：若A，B对立，则有 P( A) P(B) 1，反之则不然
④对偶律 P(A• B •C) P(A B C) P(A• B •C) P(A B C)
简 (小)
事 件
六大分布套公式 陌生事件三步法
①加法公式 P(A B) P(A) P(B) P(AB) 注：若A,B互斥,则 P(A B) P(A) P(B)
②乘法公式 P(AB) P(A)P(B | A) P(B)P(A | B) 注：若A,B独立,则 P(AB) P(A)P(B)
析：设A, B分别表示甲、乙独自破译了密码
则 P( A) 1 , P(B) 1
3
4
⑤所求概率为 P 1 P(AB ) 1
2
(3)(2014年湖南)某企事业有甲、乙两个研发小组，他们
研发新产品成功的概率分别为 2 和 3 ，现安排甲组研发
35
新产品A,乙组研发新产品B,设甲,乙两组的研发相互独立
注：均匀分布是平等化概型
随机变量千千万 均匀分布平等化 多次成败伯努利 成分两类超几何
六大分布最常见 两点分布论成败 二项连续是正态 几何分布破天荒
两点分布(0-1分布)
形如 ξ 0 1 的分布列称为两点分布列 P 1-p p
又称0-1分布 ，称随机变量ξ服从两点分布 称 p 为成功概率 注：两点分布是结果“一分为二(成败,非黑即白)”概型
不能同时为互斥 互斥特例为对立 互不影响为独立 一对独立全独立 互斥独立不相干 概率相等即重复
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1.定义：
事件的独立性
若 P( AB) P(A)P(B) ,则称事件A与事B相互独立
2.性质：
若事件A与B相互独立，则事件 A与B，A与B，A与B
也相互独立
3.判定：
A与B独立 P(AB) P(A)P(B)
离散型随机变量的分布列求法： 一选二算三列表
一选：根据题意灵活的选取随机变量所有可能的取值 二算：根据题意灵活的计算各随机变量相应的概率 三列表：
格式①
X x1 x2 x3 x4 … xi … p p1 p2 p3 p4 … pi …
格式②
X x1 x2 x3 x4 … xi … p p1 p2 p3 p4 … pi …
②所求概率为 P( A B )＝P( A )P( B )＝…＝12
(2)甲,乙两人独立地破译密码的概率分别为 1 ,1 ,求
①两个人都译出密码的概率
34
②两个人都译不出密码的概率
③恰有一人译出密码的概率
④至多一人译出密码的概率
⑤至少一人译出密码的概率
析：设A, B分别表示甲、乙独自破译了密码
则 P( A) 1 , P(B) 1
P(B UC | A) P(B | A) P(C | A).
3.求法： ①定义法 P(B | A) P( AB)
P( A)
②缩小样本空间法 P(B | A) n( AB) n( A)
§259 条件概率与事件的独立性(二)
P(AB) P(A)P(B | A) P(B)P(A | B)
注1：A，B独立 P(AB) P(A)P(B)