正比例函数解析式的确定

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八年级数学《正比例函数一次函数和反比例函数》知识点

八年级数学《正比例函数、一次函数和反比例函数》知识点班级姓名1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。

2、点的坐标的概念点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。

平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。

3、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x4、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）5、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数6、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。

7、关于x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征点P 与点p ’关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数点P 与点p ’关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数点P 与点p ’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数8、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y（2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x（3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +9、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

19.2 正比例函数(原卷版)

【变式5-2】（2022秋•任城区校级期末）在正比例函数y＝（m+1）x|m|﹣1中，若y随x的增大而减小，则m＝．
【变式5-3】（2022秋•句容市期末）在正比例函数y＝（m﹣2）x中，y的值随着x值的增大而减小，则m的取值范围是．
【变式5-4】（2022春•曲阜市期末）已知正比例函数y＝（3m﹣1）x|m|（m为常数），若y随x的增大而减小，则m＝．
【变式2-7】已知正比例函数y x，下列结论：①y随x的增大而增大；②y随x的减小而减小；③当x＞0时，y＞0；④当x＞1时，y＞1．其中，正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2-8】（2022秋•渠县校级期中）三个正比例函数的表达式分别为①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（）
C．y随x的增大而减小
D．它的图象经过第二、四象限
【变式2-2】（2022秋•太原期中）下列正比例函数中，y随x的增大而增大的是（）
A．y＝2xB．y＝﹣2xC．y xD．y＝﹣8x
【变式2-3】（2021•湘西州模拟）下列图象中，表示正比例函数图象的是（）
A． B．
C． D．
【变式2-4】在下列各图象中，表示函数y＝﹣kx（k＜0）的图象的是（）
A．第一、二象限B．第一、三象限
C．第一、四象限D．第二、四象限
解题技巧提炼
本题考查的是正比例函数的图象与系数的关系，根据正比例函数的性质判断k的范围是解题的关键．
【变式2-1】（2022春•古冶区期末）下列关于正比例函数y＝3x的说法中，正确的是（）
A．当x＝3时，y＝1
B．它的图象是一条过原点的直线
是（）

正比例解析式

正比例解析式
正比例函数的解析式：y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）。

正比例函数属一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。

正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b中，若b=0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。

函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。

其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

正比例函数知识点整理

正比例函数知识点整理一、正比例函数的定义。

1. 定义形式。

- 一般地，形如y = kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

例如y = 2x，y=(1)/(3)x都是正比例函数，这里k = 2和k=(1)/(3)分别是它们的比例系数。

2. 对定义的理解。

- 函数表达式必须是y = kx这种形式，x的次数为1，且不能有其他项。

比如y = 2x+1就不是正比例函数，因为它多了常数项1；y=x^2也不是，因为x的次数是2。

- k不能为0，如果k = 0，那么函数y = 0× x=0，它是一个常数函数，而不是正比例函数。

二、正比例函数的图象与性质。

1. 图象。

- 正比例函数y = kx（k≠0）的图象是一条经过原点(0,0)的直线。

- 当k>0时，例如y = 2x，图象经过一、三象限，从左向右上升；当k < 0时，比如y=-2x，图象经过二、四象限，从左向右下降。

2. 性质。

- 增减性。

- 当k>0时，y随x的增大而增大。

例如在y = 3x中，如果x_1 = 1，y_1 = 3×1 = 3；当x_2=2时，y_2 = 3×2 = 6，因为2>1且6 > 3，所以y随x增大而增大。

- 当k < 0时，y随x的增大而减小。

例如在y=-2x中，若x_1 = 1，y_1=-2×1=-2；当x_2 = 2时，y_2=-2×2=-4，因为2 > 1且-4<-2，所以y随x增大而减小。

- 倾斜程度。

- | k|越大，直线越靠近y轴，即直线越陡。

例如y = 5x比y = 2x的图象更陡，因为|5|>|2|；y=-5x比y=-2x的图象更陡，同样是因为| - 5|>|-2|。

三、正比例函数解析式的确定。

1. 方法。

- 因为正比例函数y = kx（k≠0），只需要知道一个点的坐标（除原点外）就可以确定k的值，从而确定函数解析式。

例说求正比例函数和一次函数解析式的策略

例说求正比例函数和一次函数解析式的策略湖北省赵国瑞确定正比例函数和一次函数的解析式是一次函数这部分内容要考查的一个重要知识点﹒那么应该怎样确定正比例函数和一次函数的解析式呢？因为正比例函数的解析式kx y =中，只有一个待定系数，确定了k 的值，也就确定了正比例函数，因而一般只需给出一组x ，y 的对应值或图象上一点的坐标，代入xk y =中即可求出k 值，从而确定正比例函数的解析式﹒而一次函数的解析式b kx y +=中，有两个待定系数，因此需要两个条件，此条件可以是直线上的两个点的坐标，也可以是两对变量与函数的对应值．但在实际求正比例函数和一次函数的解析式时，应该具体问题具体分析﹒下面以例说明求正比例函数和一次函数的解析式的策略.一、根据一次函数的图象上两点的坐标确定例1 （浙江宁波）已知一次函数的图象经过A (-2，-3)，B (1，3)两点．(1)求这个一次函数的解析式；(2)试判断点P (-1，1)是否在这个一次函数的图象上？解：(1)设这个一次函数的解析式为b kx y +=．∵一次函数的图象经过A (-2，-3)，B (1，3)，∴⎩⎨⎧=+-=+-332b k b k ．解得⎩⎨⎧==12b k ．∴这个一次函数的解析式为12+=x y ．(2)略．二、根据直线平移的方向和距离确定例2 ( 江苏常州)将直线x y 2=向上平移两个单位，所得的直线是（）．A ． 22+=x yB ．22-=x yC ．)2(2-=x yD ．)2(2+=x y解：由于直线b kx y +=可以看作由直线kx y =平移b 个单位长度而得到(当0>b 时，向上平移；当0<b 时，向下平移)，所以将直线x y 2=向上平移两个单位，所得的直线是22+=x y ．故应选A ．三、根据两条直线交点的坐标确定例3 (贵州贵阳)如图，过A 点的一次函数的图象与正比例函数x y 2=的图象相交于点B ，能表示这个一次函数图象的方程是（）A ．032=+-y xB ．03=--y xC ．032=+-x yD ．03=-+y x解：由于一次函数的图象与正比例函数x y 2=的图象相交于点B ， ∴点B 在直线x y 2=上．∵点B 的横坐标为1，将1=x 代入x y 2=，得2=y ，即点B (1，2)． ∴一次函数的图象经过点A (0，3)，B (1，2)．设一次函数的解析式为b kx y +=．∴⎩⎨⎧=+=23b k b ．解得⎩⎨⎧=-=31b k ．∴一次函数的解析式为3+-=x y ，即03=-+y x ．故应选D ．四、根据表格确定例4 (2005年湖南湘潭)某产品每件成本20元，试销阶段产品的日销售量y (件)与每件产品的销售价x (元)之间的关系如下表： x (元) 25 30 40 …y (件) 25 20 10 …售量y (件)与每件产品的销售价x (元)的函数关系式；(2)要使日销售利润W (元)最大，每件产品的销售价x (元)应定为多少，此时每日销售利润是多少？解：(1)设一次函数为b kx y +=，将表格中的数据任取两组，不妨取(25，25)，(30，20)代入，得⎩⎨⎧=+=+20302525b k b k ．解得⎩⎨⎧=-=501b k ．∴一次函数解析式为50+-=x y ．(2)略．五、根据实际问题确定例5 (福建南安)南泉汽车租赁公司共有30辆出租汽车，其中甲型汽车20辆，乙型汽车10辆，现将这30辆汽车租赁给A ,B 两地的旅游公司，其中20辆派往A 地，10辆派往B 地，两地旅游公司与汽车租赁公司商定每天价格如下表：(1)金为y (元)，求y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；(2)若要使租赁公司这30辆汽车一天所获得的租金总额不低于26800元，请你说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；(3)如果要使这30辆汽车每天获得的租金最多，请你为租赁公司提出合理的分派方案．解：(1)设派往A 地的乙型汽车x 辆，则派往B 地的乙型汽车有(10-x )辆，派往A 地的甲型汽车(20-x )辆，派往B 地的甲型汽车有x 辆，由两地旅游公司与汽车租赁公司商定每天价格表可知，y 与x 之间的函数解析式为y =x 800+)10(600x -+)20(1000x -+x 900=26000+x 100(0≤x ≤10)．(2)依题意，得26000+x 100≥26800，又因为0≤x ≤10，∴8≤x ≤10．因为x 是整数，所以x =8，9，10．方案有三种：方案1：A 地派甲型车12辆，乙型车8辆；B 地派甲型车8辆，乙型车2辆；方案2：A 地派甲型车11辆，乙型车9辆；B 地派甲型车9辆，乙型车1辆；方案3：A 地派甲型车10辆，乙型车10辆；B 地派甲型车10辆．(3)要使这30辆汽车每天获得的租金最多，既要使y 取最大值，所以当x =10时，这30辆车每天获得的租金最多，合理的分配方案是A 地派甲型车10辆，乙型车10辆；B 地派甲型车10辆．。

数学函数公式

函数(1)1、解析式y=kx（k为不为零的一切实数）的函数叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数。

2、正比例函数y=kx的定义域是一切实数。

3、确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式。

4、当k大于0时,正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的的值也随着逐渐增大。

5、当k小于0时，正比例函数的图像经过第二、四象限;自变量x的值逐渐增大时，y的值则随着逐渐减小。

6、解析式y=x分之k（k是常数，k不等于零）的函数叫做反比例函数，k也叫做比例系数。

7、反比例函数y等于x分之k的定义域是不等于零的一切实数。

8、确定了比例系数，就可以确定一个反比例系数的解析式。

9、当k大于0时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小。

10、当k小于0时，函数图象的两支分别在地二、四象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐增大。

11、图像的两支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交。

12、在反比例函数中，常常运用到一种方法——待定系数法。

13、在正比例函数中，过已知两个点可以画且只能画一条直线。

14、在正比例函数中，自变量x可取任何实数，因此也可以描出无数个点，且没有起点也没有终点。

15、在高中将证明正比例函数的图像是一条直线。

16、再求待顶系数法的解析式时，先设解析式为y=kx（k不等于零），其中系数k待定；再利用已知条件确定k的值。

这样的方法称为待定系数法。

17、当一个函数以解析式表示时，如果对函数的定义域没有加以说明，那么定义域由这个函数的解析式确定；否则，应指明函数的定义域。

18、如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例。

用数学式子表示两个变量x、y成正比例，就是x分之y=k，或表示为y=kx（x不等于零），k是不等于0的常数。

19、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于0的常数，那么就说这两个变量成反比例。

函数及正比例函数复习(1)

1、在问题研究进程中，可以取不同数值的量叫 _____，保持数值不变的量叫_______；
写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量 (1)圆的周长C 与半径 r 的关系式;
C = 2πr 2π是常量; C 与 r是变量
(2)火车以60千米/时的速度行驶,它驶过的路程
s (千米）和所用时间 t （时）的关系式;
第二、四 k 0 范围是________，图像经过_______象限。（3）.如果正比例函数y＝（k－1）x的图象经过第二、四象限，那么k的取值范围是 k 1 ．
（4）若正比例函数y=（1-2m）x的图象经过点
A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1<x2时,y1>y2, 则m的取值范围是(
y ６ 6 4 ４ 2 -6 -4 －2 -2
∵图象过点（1，2）
∴k =2
∴y与x的函数解析式为 y = 2x
2 4 6 ６
o
-2
-4 -6
x
y kx 3
②正比例函数的图像过点（6，2），那么函数 1 y x 解析式是____. 3
已知y是x的正比例函数，并且当x=3时，y=6，如果点A（a，a+3）是它的图象上的点，(1)求a的值
生活问题:
几何问题:

x0 y0
题目要求整数
x0 y0
题目要求(三角形的内角小于度） 180
x 0 等腰三角形: y0 2腰和底边
（二）填空题
1. 函数y 2 x 2 3x 1的定义域为 X为一切实数 3x 1 x2 2. 函数y 的定义域为 2 x 1 x 3. 函数y 2 x 1的定义域为 2 2x 6 4. 函数y 的定义域为 7x 1 5. 函数y 的定义域为 1 1 x2

专题2 一次函数与正比例函数-重难点题型(举一反三)(浙教版)(解析版)

专题5.2 一次函数与正比例函数-重难点题型【浙教版】【例1】（2021春•娄星区期末）在下列函数中：①y＝﹣8x；②y=32x+1；③y=√x+1；④y＝﹣8x2+5；⑤y＝﹣0.5x﹣1，一次函数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解题思路】根据一次函数的解析式y＝kx+b（k≠0）判定一次函数即可．【解答过程】解：∵一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），y＝﹣8x，y=32x+1，y＝﹣0.5x﹣1符合一次函数解析式形式，∴一次函数有①②⑤，故选：C．【变式1-1】（2020秋•肥西县校级月考）下列函数：（1）y＝3x；（2）y＝2x﹣1；（3）y=1 x；（4）y＝x2﹣1；（5）y=−x8中，是一次函数的有（）个A．4B．3C．2D．1【解题思路】直接利用一次函数的定义分析得出答案．【解答过程】解：（1）y＝3x是正比例函数，也是一次函数；（2）y＝2x﹣1是一次函数；（3）y=1x的分母含有自变量x，不是一次函数；（4）y＝x2﹣1是二次函数，不是一次函数；（5）y=−x8是正比例函数，也是一次函数．是一次函数的有3个，故选：B．【变式1-2】（2021春•汉阴县期末）在①y＝﹣8x：②y=−3x：③y=√x+1；④y＝﹣5x2+1：⑤y＝0.5x﹣3中，一次函数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解题思路】根据一次函数的定义解答即可．【解答过程】解：在①y＝﹣8x：②y=−3x：③y=√x+1；④y＝﹣5x2+1：⑤y＝0.5x﹣3中，一次函数有①y＝﹣8x；⑤y＝0.5x﹣3．故选：B．【变式1-3】下列语句中，y与x是一次函数关系的有（）个（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系（2）圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；（3）一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这个棵树的高度为y厘米，y与x的关系；（4）某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克大米时，花费y元，y与x的关系．A．1B．4C．3D．2【解题思路】根据一次函数的定义逐个判断即可．【解答过程】解：汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程y（千米）与行驶时间x （时）之间的关系，是一次函数；圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系，不是一次函数；一棵树现在高50厘米，每个月长高2厘米，x月后这个棵树的高度为y厘米，y与x的关系，是一次函数；某种大米的单价是2.2元/千克，当购买大米x千克大米时，花费y元，y与x的关系，是一次函数，所以共3个一次函数，故选：C．【题型2 利用一次函数的概念求值】【例2】（2021春•昭通期末）若y＝（k﹣2）x|k﹣1|+1表示一次函数，则k等于（）A．0B．2C．0或2D．﹣2或0【解题思路】依据一次函数的定义可知|k﹣1|＝1且k﹣2≠0，从而可求得k的值．【解答过程】解：∵函数y＝（k﹣2）x|k﹣1|+3是一次函数，∴|k﹣1|＝1且（k﹣2）≠0，解得：k＝0．故选：A．【变式2-1】（2021春•雨花区期中）若函数y＝（m+2）x|m|﹣1﹣5是一次函数，则m的值为（）A．±2B．2C．﹣2D．±1【解题思路】根据一次函数y＝kx+b（k≠0）求解．【解答过程】解：∵|m|﹣1＝1，∴m＝±2，又∵m+2≠0，∴m≠﹣2，∴m＝2，故选：B．【变式2-2】（2021春•杨浦区期末）如果y＝kx+x+k是一次函数，那么k的取值范围是k ≠﹣1．【解题思路】根据一次函数的定义条件直接解答即可．【解答过程】解：∵y＝kx+x+k是一次函数，∴k+1≠0．故答案为：k≠﹣1．【变式2-3】已知y＝（k﹣1）x|k|+（k2﹣4）是一次函数．（1）求k的值；（2）求x＝3时，y的值；（3）当y＝0时，x的值．【解题思路】（1）直接利用一次函数的定义得出k的值即可；（2）利用（1）中所求，再利用x＝3时，求出y的值即可；（3）利用（1）中所求，再利用y＝0时，求出x的值即可．【解答过程】解：（1）由题意可得：|k|＝1，k﹣1≠0，解得：k＝﹣1；（2）当x＝3时，y＝﹣2x﹣3＝﹣9；（3）当y＝0时，0＝﹣2x﹣3，解得：x=−3 2．【题型3 正比例函数的概念】【例3】（2021春•萝北县期末）若y ＝（m +2）x +m 2﹣4是关于x 的正比例函数，则常数m ＝ 2 ．【解题思路】依据正比例函数的定义求解即可．【解答过程】解：∵y ＝（m +2）x +m 2﹣4是关于x 的正比例函数，∴m +2≠0，m 2﹣4＝0，解得：m ＝2．故答案为：2．【变式3-1】函数y ＝（k +1）x k 2是正比例函数，则常数k 的值为 1 ．【解题思路】根据正比例函数的定义可得出关于k 的方程，即可得出k 的值．【解答过程】解：k +1≠0，k 2＝1，∴k ＝1．故填1．【变式3-2】已知函数y ＝mx +25﹣m 是正比例函数，则该函数的表达式为 y ＝25x ．【解题思路】根据正比例函数的定义求解即可．【解答过程】解：由题意，得25﹣m ＝0，解得m ＝25，该函数的表达式为y ＝25x ，故答案为：y ＝25x ．【变式3-3】已知函数y ＝2x 2a +b +a +2b 是正比例函数，则a ＝23 ．【解题思路】根据正比例函数的定义进行选择即可．【解答过程】解：∵函数y ＝2x 2a +b +a +2b 是正比例函数，∴2a +b ＝1，a +2b ＝0，解得a =23，故答案为23．【例4】已知y +2与x ﹣1成正比例，且当x ＝3时，y ＝4．（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）当y ＝1时，求x 的值．【解题思路】（1）已知y +2与x ﹣1成正比例，即可以设y +2＝k （x ﹣1），把x ＝3，y ＝4代入即可求得k 的值，从而求得函数解析式；（2）在解析式中令y ＝1即可求得x 的值．【解答过程】解：（1）设y +2＝k （x ﹣1），把x ＝3，y ＝4代入得：4+2＝k （3﹣1）解得：k ＝3，则函数的解析式是：y +2＝3（x ﹣1）即y ＝3x ﹣5；（2）当y ＝1时，3x ﹣5＝1．解得x ＝2．【变式4-1】已知y ﹣1与x +2成正比例，且x ＝﹣1时，y ＝3．（1）求y 与x 之间的关系式；（2）它的图象经过点（m ﹣1，m +1），求m 的值．【解题思路】（1）根据y ﹣1与x +2成正比例，设y ﹣1＝k （x +2），把x 与y 的值代入求出k 的值，即可确定出关系式；（2）把点（m ﹣1，m +1）代入一次函数解析式求出m 的值即可．【解答过程】解：（1）根据题意：设y ﹣1＝k （x +2），把x ＝﹣1，y ＝3代入得：3﹣1＝k （﹣1+2），解得：k ＝2．则y 与x 函数关系式为y ＝2（x +2）+1＝2x +5；（2）把点（m ﹣1，m +1）代入y ＝2x +5得：m +1＝2（m ﹣1）+5解得m ＝﹣2．【变式4-2】直线AB 与x 轴交于点A （2，0），与y 轴交于点B （0，﹣4）．（1）求直线AB 的解析式．（2）若直线CD 与AB 平行，且直线CD 与y 轴的交点与B 点相距2个单位，则直线CD 的解析式为 y ＝2x ﹣2或y ＝2x ﹣6 ．【解题思路】（1）由点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式；（2）找出在y 轴上与B 点相距2个单位的点的坐标，再结合直线CD 与AB 平行，即可得出直线CD 的解析式．【解答过程】解：（1）设直线AB 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将点A （2，0）、B （0，﹣4）代入y ＝kx +b 中，{2k +b =0b =−4，解得：{k =2b =−4，∴直线AB 的解析式为y ＝2x ﹣4．（2）在y 轴上与B 点相距2个单位的点的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣6）．又∵直线CD 与AB 平行，∴直线CD 的解析式为y ＝2x ﹣2或y ＝2x ﹣6．故答案为：y ＝2x ﹣2或y ＝2x ﹣6．【变式4-3】已知一次函数y ＝kx +b ，当x ＝2时y 的值是﹣1，当x ＝﹣1时y 的值是5．（1）求此一次函数的解析式；（2）若点P （m ，n ）是此函数图象上的一点，﹣3≤m ≤2，求n 的最大值．【解题思路】（1）把x ＝2，y ＝﹣1代入函数y ＝kx +b ，得出方程组，求出方程组的解即可；（2）根据函数的性质得出m ＝﹣3时n 最大，代入求出即可．【解答过程】解：（1）依题意得：{2k +b =−1−k +b =5，解得：{k =−2b =3.，所以一次函数的解析式是y ＝﹣2x +3；（2）∵由（1）可得，y ＝﹣2x +3，∴k ＝﹣2＜0，y 随x 的增大而减小，又∵点P （m ，n ）是此函数图象上的一点，﹣3≤m ≤2，∴把m ＝﹣3代入得出n 的最大值是﹣2×（﹣3）+3＝9，即n 的最大值是9．【题型5 用待定系数法求正比例函数解析式】【例5】（2020秋•青山区期中）已知正比例函数过点A （2，﹣4），点P 在此正比例函数的图象上，若坐标轴上有一点B （0，4）且三角形ABP 的面积为8．求：（1）过点A 的正比例函数关系式；（2）点P 的坐标．【解题思路】（1）设正比例函数的解析式为y ＝kx （k ≠0），再把A （2，﹣4）代入即可求出k 的值；（2）设出P 点坐标，再分x ＜0与x ＞0两种情况进行讨论．【解答过程】解：（1）设正比例函数为y＝kx（k≠0），∵A（2，﹣4），∴﹣4＝2k，解得k＝﹣2，∴正比例函数的解析式为：y＝﹣2x．（2）设P（x，﹣2x）如图1所示，当x＜0时，S△ABP＝S△PBO+S△ABO＝﹣4x÷2+4×2÷2＝8，解得x＝﹣2，∴P（﹣2，4）；②如图2所示，当x＞0时S△ABP＝S△PBO﹣S△ABO＝4x÷2﹣4×2÷2＝8，解得x＝6．∴P（6，﹣12）．综上所述，P点坐标为（﹣2，4），（6，﹣12）．【变式5-1】已知函数y＝mx+25﹣m是正比例函数，则该函数的表达式为y＝25x．【解题思路】根据正比例函数的定义求解即可．【解过程答】解：由题意，得25﹣m＝0，解得m＝25，该函数的表达式为y＝25x，故答案为：y＝25x．【变式5-2】若y＝y1+y2且y1与x成正比例，y2与（x﹣3）成正比例，当x＝1时y＝3，当x＝﹣1时y＝9，当x＝3时y的值．【解题思路】设y1＝ax，y2＝k（x﹣3），由当x＝1时y＝3，当x＝﹣1时y＝9可得关于a、k的两个等式，联立方程组即可求出a，k，得出y关于x的函数关系式，再把x＝3代入，求解即可．【解答过程】解：设y1＝ax，y2＝k（x﹣3），∴y＝ax+k（x﹣3）．由当x ＝1时y ＝3，当x ＝﹣1时y ＝9可得，{3=a +k(1−3)9=−a +k(−1−3)，解得：{a =−1k =−2，∴y 与x 之间的关系式为：y ＝﹣x ﹣2（x ﹣3），即y ＝﹣3x +6；∴当x ＝3时，y ＝﹣3×3+6＝﹣3．【变式5-3】已知一个正比例函数和一个一次函数的图象交于点P （﹣2，2），且一次函数的图象与y 轴相交于点Q （0，4）．（1）求这两个函数的解析式．（2）在同一坐标系内，分别画出这两个函数的图象．（3）求出△POQ 的面积．【解题思路】（1）设正比例函数解析式为y ＝mx ，一次函数解析式为y ＝nx +4，将（﹣2，2）代入可得出两个解析式．（2）运用两点法确定直线所在的位置．（3）面积=12|OQ |•|P 横坐标|，由此可得出面积．【解答过程】解：设正比例函数解析式为y ＝mx ，一次函数解析式为y ＝nx +4，将（﹣2，2）代入可得2＝﹣2m ，2＝﹣2n +4，解得：m ＝﹣1，n ＝1，∴函数解析式为：y ＝﹣x ；y ＝x +4．（2）根据过点（﹣2.2）及（0，4）可画出一次函数图象，根据（0，0）及（﹣2，2）可画出正比例函数图象．（3）面积=12|OQ |•|P 横坐标|=12×2×4＝4．【题型6 一次函数解析式与三角形面积问题】【例6】（2021春•赣州期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AC 与直线AB 交y 轴于点A ，直线AC 与x 轴交于点C ，直线AB 与x 轴交于点B ，已知A （0，4），B （2，0）．（1）求直线AB 的解析式；（2）若S △ABC ＝12，求点C 的坐标．【解题思路】（1）利用待定系数法求直线AB 的关系式；（2）根据S △ABC ＝12，可求出OC ，进而确定点C 坐标．【解答过程】解：（1）设直线AB 的关系式为y ＝kx +b ，将A （0，4），B （2，0）代入得，b ＝4，2k +b ＝0，即k ＝﹣2，b ＝4，∴直线AB 的关系式为y ＝﹣2x +4；（2）∵S △ABC ＝12，∴12BC •OA ＝12，又∵OA ＝4，OB ＝2，∴BC ＝6，∴OC ＝BC ﹣OB ＝6﹣2＝4，∴点C （﹣4，0）．【变式6-1】（2021春•阿荣旗期末）已知：一次函数的图象与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，﹣2）．（1）求一次函数的解析式；（2）若直线AB 上的有一点C ，且S △BOC ＝2，求点C 的坐标．【解题思路】（1）设直线AB 的解析式为y ＝kx +b ，将点A （1，0）、点B （0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB 的解析式；（2）设点C 的坐标为（x ，y ），根据三角形面积公式以及S △BOC ＝2求出C 的横坐标，再代入直线即可求出y 的值，从而得到其坐标．【解答过程】解：（1）设直线AB 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），∵直线AB 过点A （1，0）、点B （0，﹣2），∴{k +b =0b =−2，解得{k =2b =−2，∴直线AB 的解析式为y ＝2x ﹣2．（2）设点C 的坐标为（x ，y ），∵S △BOC ＝2，∴12•2•|x |＝2，解得x ＝±2，∴y ＝2×2﹣2＝2或y ＝2×（﹣2）﹣2＝﹣6，∴点C 的坐标是（2，2）或（﹣2，﹣6）．【变式6-2】（2020秋•泰兴市期末）如图，已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过A （﹣2，﹣1），B （1，3）两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D ．（1）求该一次函数的表达式；（2）求△AOB 的面积．【解题思路】（1）先把A 点和B 点坐标代入y ＝kx +b 得到关于k 、b 的方程组，解方程组得到k 、b 的值，从而得到一次函数的解析式；（2）先确定D 点坐标，然后根据三角形面积公式和△AOB 的面积＝S △AOD +S △BOD 进行计算．【解答过程】解：（1）把A （﹣2，﹣1），B （1，3）代入y ＝kx +b 得{−2k +b =−1k +b =3，解得{k =43b =53．所以一次函数解析式为y =43x +53；（2）把x ＝0代入y =43x +53，得y =53，所以D 点坐标为（0，53），所以△AOB 的面积＝S △AOD +S △BOD=12×53×2+12×53×1=52．【变式6-3】（2021春•雄县期末）如图，直线l 1经过点A （0，2）和C （6，﹣2），点B 的坐标为（4，2），点P 是线段AB 上的动点（点P 不与点A 重合）．直线l 2：y ＝kx +2k 经过点P ，并与l 1交于点M ，过点P 作PN ⊥l 2，交l 1于点N ．（1）求l 1的函数表达式；（2）当k =49时，①求点M 的坐标；②求S △APM ．【解题思路】（1）设l 1的函数表达式为y ＝k 1x +b （k ≠0），把点A 与点C 的坐标代入即可求出l 1函数表达式；（2）①把k 的值代入求出l 2表达式，与l 1联立方程组求解，即可得到点M 的坐标； ②把y ＝2代入l 2求出x 的值，得到点P 的坐标，求出点M 到AP 的距离，即可求出△APM 的面积．【解答过程】解：（1）设l 1的函数表达式为y ＝k 1x +b （k ≠0），将点A （0，2）和C （6，﹣2）代入得：{b =26k 1+b =−2，解得{k 1=−23b =2， ∴l 1的表达式为y =−23x +2；（2）①当k =49时， l 2的表达式为y =49x +89，联立得：{y =−23x +2y =49x +89，解得{x =1y =43，则交点M （1，43）；②当y ＝2时，有2=49x +89，解得：x =52，∴P （52，2），∴点M 到直线AP 的距离是2−43=23， ∴S △APM =12×52×23=56。

正比例函数的解析式

正比例函数的解析式正比例函数是数学和物理学中的一种重要函数，它的解析式表示方式是一种重要的概念。

该文章将分三部分介绍正比例函数的解析式：它的定义、公式及应用。

一．正比例函数的定义正比例函数（Proportional Function）是一种子类函数，它表示变量之间的正反比关系。

此类函数也可以称为线性函数，它是以一条直线形式出现，并且符合等式关系，并且能够精确表示出输入和输出之间的变化关系，它的定义如下：若自变量的任意变换将使得因变量的变化量与自变量的变化量成恒定的正比，则称此种变换关系为正比关系，若任意两个值关于自变量的变化量之比为常数，则称此种变换关系为正比例变换。

二．正比例函数的解析式正比例函数的解析式为 y=kx，其中，常数 k 为正比例函数的比例系数，它表示因变量与自变量的变换率；x 为自变量，表示可以变化的量；y 为因变量，表示函数结果。

换言之，正比例函数就是自变量与因变量的变换率为常数的函数。

此外，正比例函数的比例系数 k正负值决定函数走向，当 k 为正时，函数向上凸，反之则向下凹；当 k越大时，函数斜率也越大，即因变量变化时自变量变化也会越快；当 k为零时，函数即变为水平线，表明自变量与因变量无关。

三．正比例函数的应用正比例函数有广泛的应用，它可以在很多领域中找到，因为它能够精确表示出输入和输出之间的变化关系。

例如：（1）在经济学中，正比例函数可以用来解释供求关系，以便预测物价变化；（2）在制药学中，正比例函数可以用来推断药物有效量；（3）在传感器技术中，正比例函数可以用来描述传感器的响应特性。

综上所述，正比例函数的解析式是一种重要的概念，它的定义为自变量的变换将使得因变量的变化量与自变量的变化量成恒定的正比，其解析式为 y=kx，具有广泛的应用。

人教版同步教参数学八年级下册-一次函数(一)：正比例函数

一次函数第 1 节正比例函数【知识梳理】1、正比例函数的定义一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

备注：（1）正比例函数y=kx必须满足两个条件：①比例系数k≠0，②自变量x的次数是1（2）在判断一个函数是否是正比例函数时，只要看其是否满足y=kx（k≠0）的形式即可；若求函数的解析式，只要求出比例系数k的值，解析式就可以确定了。

（3）求正比例函数的解析式采用待定系数法，即设所求解析式为y=kx,将图象上的点的坐标代入解析式，求出k即可。

2、正比例函数的图象与性质=（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点与点（1，k）的直线，我们称正比例函数y kx=。

其图象和性质如下表：它为直线y kx3、确定正比例函数的关系式=（k是常数，k≠0），就是确定比例系数k（k≠0）的值，一确定正比例函数的关系式y kx般步骤如下：（1）先根据条件设出函数解析式y kx =；（2）确定一对自变量和函数的对应值（或图象上一个点的坐标）；（3）把对应值代入函数解析式，列出方程，解方程求出k 的值；（4）确定函数解析式。

【诊断自测】1、下列函数中是正比例函数的有（） ①y kx =；②13y x =-；③1y x=；④2y x =-；⑤1y x =-+ A.①③ B.② C.①③⑤ D.①②④2、如果正比例函数y kx =的图象经过点（1，-2），那么k 的值等于________。

3、画正比例函数2y x =的图象。

4、如图所示的函数图象中，正比例函数的图象是（）。

A ． B. C. D.5、111(,)P x y ，222(,)P x y 是正比例函数y x =-图象上的两点，则下列判断正确的是（）。

A. 12y y > B. 12y y < C.当12x x <时，12y y > D.当12x x <时，12y y < 6、正比例函数y kx =的图象经过点A （1,3），（1）求这个函数的解析式；（2）请判断点B （2,6）是否在这个正比例函数的图象上，并说明理由。

正比例函数导学案汇编

19.2.1.1 正比例函数(1)学习目标：1、理解正比例函数的定义;2、会用待定系数法确定简单的正比例函数的解析式。

学习重点：正比例函数的概念、确定正比例函数的解析式的方法。

学习难点：正比例函数的特征、正比例函数解析式的确定。

学习过程：一.预学：问题1：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km ，设列车的平均速度为300km/h ,考虑以下问题：（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时？（结果保留小数点后一位）（2）京沪高铁列车的行程y（单位：km ）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5小时后，是否已经超过了始发站1100 的南京南站？二、互学：1. 问题2：写出下列各题中函数的解析式：（1）圆的周长L随半径r大小变化而变化；(2)铁的密度为7.8g/cm,铁块的质量m(单位g)随它的体积V(单位cm3)大小变化而变化(3)每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本撂在一起的总厚度h(单位cm)随这些练习本的本数n的变化而变化;(4)冷冻一个0℃物体,使它每分下降2℃,物体的温度T(单位: ℃)随冷冻时间t(单位:分)的变化而变化。

2.合作交流：认真观察以上四个函数解析式，分别说出哪些是常数、自变量和函数:(1) 观察这些函数关系式，这些函数有什么共同点?这些函数都是常数与自变量的_____________ 形式.（2）一般地，形如__________________ 函数，叫做正比例函数，其中叫做________ 。

思考：为什么强调K ≠0 ？3、练一练(1)下列函数是否是正比例函数？若是正比例函数，比例系数是多少？①y=2x ②y=x+2 ③y=3x④y= x 3 ⑤ y=-x 2+1 ⑥ y= -x 21(2) 若 325-=m x y 是正比例函数，则 m =________ 。

(3) .若 32)2(--=m x m y 是正比例函数，则 m =_______ 。

求正比例函数解析式的方法

求正比例函数解析式的方法正比例函数是数学中的一种重要函数形式，它的特点是：当它的输入变化时，它的输出也会成比例地变化，而且，其图形呈现出直线性特征。

正比例函数具有重要地研究和应用价值，甚至可以拓展到其他数学问题中，因此，求正比例函数解析式的方法具有重要意义。

首先，有关正比例函数的定义及概念要清楚。

正比例函数的定义是，它是一种线性函数，其标准形式为： y=ax，其中x是任意实数，a为实数，而y是其相应的函数值。

正比例函数的概念是，它是关于表达式y=ax的变量x的函数，它表示一个让变量在同一比例下发生变化的函数。

正比例函数是变量x和变量y之间的函数关系，可以用斜率表示，即斜率a=y/x，表示变量x变化一个单位，变量y就会变化a个单位。

它的解析式可以这样表示：y=ax，其中x和y都是实数，而a为实数的常数。

正比例函数的性质有很多，其中最重要的一条性质是它的斜率是常数，即斜率a即相同，不会随着x变化而变化。

接下来，就是求正比例函数解析式的方法。

首先，如果给出正比例函数的斜率a和一个实数点(x0，y0)，那么就可以求出该正比例函数的解析式，即：y=ax+b，其中b=y0-ax0。

这里，如果x0=0，则解析式可以简写为：y=ax。

其次，如果给出正比例函数的斜率a和一条直线的方程式，即y=kx+m，那么也可以求出该正比例函数的解析式，此时正比例函数的解析式为： y=ax+b，其中b=m-ka。

最后，如果已知正比例函数的点（x1，y1）和（x2，y2），则可以求出该正比例函数的解析式，即：y=ax+b，其中，a=(y2-y1)/(x2-x1)，b=y1-ax1。

正比例函数是常见的数学函数形式，它在求解数学问题、在常见的生活现象中都有着重要的应用。

本文通过定义、概念和求解解析式的方法，简要地介绍了正比例函数的相关知识，以期能够更加清楚地了解该函数形式，并在实际应用中能够更好地进行掌握使用。

求正比例函数解析式

求正比例函数解析式你有没有听过“正比例函数”这个词？一开始听到的时候，我自己也傻了半天。

什么是正比例？这个词听起来像是从天文学课本里蹦出来的。

可是呢，一旦你搞清楚了它的意思，哎呦，简直豁然开朗！就像把一块迷雾重重的石头翻过来，哇，下面竟然是闪闪发光的宝藏。

今天就来聊聊这个“正比例函数”的小秘密，搞定它也不难，放心，跟做饭一样，简单明了，人人能学会。

咱们得知道“正比例”到底指啥。

简单来说，正比例就像是两个人站在一起手牵手，关系特别亲密。

如果一个人怎么变，另一个人也跟着变。

而且变化的关系特别“和谐”，那就是正比例。

比如说，汽车开得越快，油费花得越多；你跑得越快，消耗的卡路里越多。

这就叫做正比例。

你看，汽车油费和车速、你跑步的速度和卡路里消耗之间的关系，简直就是一模一样，分分钟能找到“手牵手”的影子！现在，咱们聊聊如何用一个公式表示这个关系。

记住，正比例函数的基本形式是：y = kx。

这其中，y和x的关系就是正比例，而那个k呢，简单点说，它就是“比例系数”，相当于两个人站得多近。

比例系数k是个常数，也就是它在整个过程中都不会变。

这个k决定了x变化时，y变化的幅度有多大。

比如说，k是2，那x每增加1，y就增加2。

再举个例子，如果k是0.5，那x每变1，y就变0.5，变化幅度可小了。

听起来很简单对吧？是的！这就像你买东西，价格是根据你买的数量来定的。

比如，水果店卖苹果，一斤2块钱，你买了3斤，那总共就是6块钱。

这里，单价2块就是k，而你买的数量3斤就是x，最后算出的6块钱就是y。

明白了吧？这个例子里的y、k和x就是按比例关系一起“跳舞”的。

不过，最关键的还是如何用这个公式去找“正比例函数解析式”。

嘿，你不用急，我一步步带你走。

假设你知道了x和y的数值，接下来只需要求出k，也就是“比例系数”。

你可以用y ÷ x来求k。

比如，你已经知道x是3，y是6，那k就等于6 ÷ 3，得出的结果是2。

正比例函数

1、正比例函数一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做系数.2、正比例函数图象和性质一般地，正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是一条经过原点和（1,k）的一条直线，我们称它为直线y=kx.当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大，y也增大；当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小.3、正比例函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y=kx(k≠0)中的常数k，其基本步骤是：（1）设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0)；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程；（3）解方程，求出待定系数k；（4）将求得的待定系数的值代回解析式.4、一次函数一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.5、一次函数的图象（1）一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象是经过（0，b）和两点的一条直线，因此一次函数y=kx＋b的图象也称为直线y=kx ＋b. （2）一次函数y=kx＋b的图象的画法. 根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.6、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.7、直线y=kx＋b的图象和性质与k、b的关系如下表所示： k>0,b>0 经过第一、二、三象限 k>0,b<0经过第一、三、四象限 k>0,b=0经过第一、三象限k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大 k<0 b>0经过第一、二、四象限 k<0,b<0经过第二、三、四象限 K,0,b=0经过第二、四象限 k<0 图象从左到右下降，y随x的增大而减小8、直线y1=kx＋b与y2=kx图象的位置关系： (1)当b>0时，将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到y1=kx＋b的图象． (2)当b<0时，将y2=kx图象向x轴下方平移－b个单位，就得到了y1=kx＋b的图象．9、直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2的位置关系可由其解析式中的比例系数和常数来确定：当k1≠k2时，l1与l2相交，交点是(0，b)． 10、直线y=kx＋b(k≠0)与坐标轴的交点． (1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0，0)； (2)直线y=kx＋b与x轴交点坐标为( ，0)与y轴交点坐标为(0，b)．。

知识卡片-待定系数法求正比例函数解析式

用待定系数法求正比例函数解析式
能量储备
●正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)，只有一个待定系数k，所以只要知道除(0，0)外的
自变量与函数的一对对应值或图象上一个点的坐标(原点除外)即可求出k的值，从而确定表达式．
●确定正比例函数表达式的一般步骤：
(1)设——设出函数表达式，如y＝kx(k≠0)；
(2)代——把已知条件代入y＝kx中；
(3)求——解方程求未知数k；
(4)写——写出正比例函数的表达式.,,
通关宝典
★基础方法点
方法点1：确定正比例函数的一般步骤：设——代——求——写
例1 某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(m/s)与其下滑时间t(s)的关系如图441所示．
(1)写出v与t之间的函数表达式；
(2)下滑3 s时物体的速度是多少？
解：(1)设v与t之间的函数表达式为v＝k t(k≠0)．
根据题意，得6＝2k，所以k＝3，所以v＝3t(t≥0)．
(2)当t＝3时，v＝3×3＝9(m/s)．,
★★易混易误点
易混易误点1:写函数关系式时易把x写成k
例2 已知正比例函数的图象经过点A(－2，－3)，求正比例函数的表达式．
解：设正比例函数的表达式为y＝kx(k≠0)．
根据题意，得－3＝－2k ，所以k ＝32
. 所以正比例函数的表达式为y ＝32
x ., 分析：求出k 的值后，易把x 换成求出的数，导致错误，如写成y ＝32k .,
蓄势待发
考前攻略
考查根据实际问题中的条件或图象确定一次函数(或正比例函数)的表达式．多以选择题或填空题的形式出现，难度较小．
完胜关卡。

专题15 正比例函数与一次函数的概念及解析式的确定

专题15 正比例函数与一次函数的概念及解析式的确定1.正比例函数表达式： y =kx (k ≠0的常数)；正比例函数y =kx 的图象是一条经过(0，0)和(1，k)的直线，一般情况下，自変量取值范围为全体实数.说明：正比例函数y =kx 的图象也叫做“直线y = kx ”,如图15-1所示:2.成正比例关系的几种表达形式：y 与x 成正比例：y =kx (k ≠0);y 与x +a 成正比例：y =k (x +a ) (k ≠0);y +a 与x 成正比例： y +a =kx (k ≠0);y +a 与x +b 成正比例： y +a =k (x +b ) (k ≠0).3.一次函数表达式： y =kx +b (k ≠0，k ，b 为常数).注意: (1) k ≠0，自变量x 的最高次项的系数为1； (2)当b =0时，y =kx ， y 是x 的正比例函数.4. “待定系数法”的基本思想是方程思想，一般来说，题目的已知等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程.5. 一次函数的|k |越大，与y 轴越接近.典例精析例1 已知正比例函数的图象经过点(2，4).（1）试求函数的表达式，并画出它的图象;（2）点A (－1，－2)，B (6， 3)，C (－3，－23)，D (2m , 4m )是否在它的图象上?（3）若点 (3a ，b )向下平移一个单位后正好落在该一次函数的图象上，求a 与b 的关系.【解】【点评】本题涉及了正比例函数的图象与点的位置的讨论，基本的参数运算，解决问题的关键在于应用坐标系内点与直线的位置关系的代数表示方式。

拓展与变式1 已知正比例函数的图象过点A (－2，0.5)， B (6，m )，求:（1）这个丽数的解析式；（2）点B 的坐标；（3）如果y >1，x 的取值范围. 拓展与变式2 已知函数y=(2－m )32-m x －3+2－b 是关于x 的正比例函数，(1)求m ，b 的值;(2)若点(a +1, n )与点(a －l, h )在该函数上，请比较n 与h 的大小.拓展与変式3 已知函数y =kx (k ≠0) 的図象经过P (1, 2), Q 两点,并且P , Q 两点间的距高是5,求点Q 的坐棕.【反思】正比例函数是特殊的一次函数，相关增减性以及几何运算的问题可以通过数形结合和图象来解决.解：例2．已知一次函数y =(m －2)x +m 2－6的图象与y 轴相交，交点的纵坐标是－2，求m 的値.【分析】本题只有一个待定系数，因而只需要一个交点的方程即可求出m 的値.【解】【点评】抓住一次函数y =kx +b 对系数的限制，即k ≠0，b 即图象与y 轴交点的纵坐标. 拓展与変式4 如果y =m 82-m x 是正比例函数，而且对于它的毎一组非零的对应值(x ， y )有xy <0,求m 的値.拓展与变式5 如果y +3与x +2成正比例，且x =3时，y =7,（1）求出y 与x 之间的函数关系式；。