工程力学(运动学与动力学)-17B-动量定理和动量矩定理B
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第17章 动量定理和动量矩定理总结
第17章 动量定理和 动量矩定理工程力学学习指导第17章 动量定理和动量矩定理17.1 教学要求与学习目标1. 正确理解动量的概念，能够熟练计算质点系、刚体以及刚体系的动量。
2. 认真理解有关动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理，掌握这些定理的相互关系。
3. 正确而熟练地应用动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的问题。
4. 学习动量矩定理时，首先需要认识到，在动力学普遍定理中，动量定理和动量矩定理属于同一类型的方程，即均为矢量方程。
而质点系的动量和动量矩，可以理解为动量组成的系统（即动量系）的基本特征量——动量系的主矢和主矩。
两者对时间的变化率等于外力系的基本特征量——力系的主矢和主矩。
5. 认真理解质点系动量矩概念，正确计算系统对任一点的动量矩。
6. 熟悉动量矩定理的建立过程，正确应用动量矩定理求解质点系的两类动力学问题。
7. 于作平面运动的刚体，能够正确建立系统运动微分方程和补充的运动学方程，并应用以上方程求解刚体平面运动的两类动力学问题。
17.2 理 论 要 点17.2.1 质点系的动量质点系中所有质点动量的矢量和（即质点系动量的主矢）称为质点系的动量。
即i ii m v p ∑=质点系的动量是自由矢，是度量质点系整体运动的基本特征量之一。
具体计算时可采用其在直角坐标系的投影形式，即⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===∑∑∑i iz i z i iy i y iix i x v m p v m p v m p质点系的动量还可用质心的速度直接表示：质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积，即C m v p =这相当于将质点系的总质量集中于质心一点的动量，所以说质点系的动量描述了其质心的运动。
上述动量表达式对于刚体系也是正确的。
17.2.2 质点系动量定理质点系动量定理建立了质点系动量的变化率与外力主矢量之间的关系。
其微分形式为(e)(e)R d d i it ==∑pF F 质点系的动量对时间的变化率等于质点系所受外力系的矢量和。
定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
THANKS
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适用范围
适用于质点和刚体的定轴 转动，是经典力学中的基 本定律之一。
数学表达
如果系统合外力矩为零， 则系统的动量矩保持不变， 即L=L'。
定律推导
推导过程
根据牛顿第二定律和角动量定理，通过数学推导 得到动量矩守恒定律。
关键点
推导过程中需要确保系统合外力矩为零，即没有 外力矩作用在系统上。
适用条件
适用于质点和刚体的定轴转动，当物体绕定点转 动时，可以用动量矩守恒定律。
定理推导
总结词
定轴转动的动量矩定理可以通过牛顿第二定律和角动量定理推导得出。
详细描述
首先，根据牛顿第二定律，质点系受到的合外力等于其动量的变化率。然后，利 用角动量定理，将动量和时间的关系转化为角动量和转动半径的关系，最终推导 出定轴转动的动量矩定理。
定理应用
总结词
定轴转动的动量矩定理在分析旋转机械、行星运动等领域有广泛应用。
定理的重要性
理论意义
动量矩定理和动量矩守恒定律是经典力学理论体系中的重要 组成部分，它们为理解和分析物体的定轴转动提供了基础理 论支持。
实际应用
在实际工程和生活中，许多机械系统、旋转运动器械以及行 星运动等都涉及到定轴转动，动量矩定理和动量矩守恒定律 为这些系统的设计和优化提供了重要的理论依据。
02
理论基石
动量矩定理和动量矩守恒定律是 经典力学中定轴转动的基础理论， 为分析定轴转动问题提供了重要 的理论支撑。
指导实践
在实际工程中，许多机械系统、 航空航天器和车辆等都涉及到定 轴转动，这些理论为设计和优化 这些系统提供了重要的指导。
学科发展
动量矩定理和动量矩守恒定律的 发展推动了相关学科如旋转动力 学、陀螺力学等的发展，为这些 学科提供了重要的理论基础。
动量定理和动量矩定理
2) 如果作用于质点系的所有外力在某轴 上的投影的代数和恒等于零，则质心速度在 该轴上的投影保持不变；若开始时速度投影 等于零，则质心沿该轴的坐标保持不变。
应用质心运动定理解题步骤
1）取质点和质点系为研究对象； 2）分析质点系所受的全部外力，包括主动力和约束反力； 3）根据外力情况确定质心运动是否守恒； 4）如果外力主矢等于零，且在初始时质点系为静止，则质 心坐标保持不变。计算在两个时刻质心的坐标（用各质心 坐标表示），令其相等，即可求得所要求的质点的位移； 4）如果外力主矢不等于零，计算质心坐标，求质心的加速 度，然后应用质心运动定理求未知力。 5）在外力已知的条件下，欲求质心的运动规律，与求质点 的运动规律相同。
动力学普遍定理包括动量定理、 动量矩定理、动能定理。这些定理建 立了表现运动特征的量（动量、动量 矩、动能）和表现力作用效果的量 （冲量、冲量矩、功）之间的关系。
9.1 动量定理
1.动量 1）质点的动量
质点的质量与速度的乘积称为质点的动量， 记为mv。
动量是矢量，方向与速度方向相同。动量的单位为 N ·s。
4.质点系的动量定理
设由n个质点组成的质点系。其中第i个质点的
动 分别量为为Fmri(iiv)与i，Fr作i(e，) 用由在质该点质的点动上量的定外理力有与内力的合力
d dt
r (mivi
)
r F (e)
i
r F (i)
i
(i 1, 2,, n)
将n个方程相加，即得
d
r (mv
)
解得
y
v FOy
O
v FOx
x
C
pv
mgr A
FOx ml(a sin 2 cos) FOy mg ml(a cos 2 sin)
应用质心运动定理解题步骤
1）取质点和质点系为研究对象； 2）分析质点系所受的全部外力，包括主动力和约束反力； 3）根据外力情况确定质心运动是否守恒； 4）如果外力主矢等于零，且在初始时质点系为静止，则质 心坐标保持不变。计算在两个时刻质心的坐标（用各质心 坐标表示），令其相等，即可求得所要求的质点的位移； 4）如果外力主矢不等于零，计算质心坐标，求质心的加速 度，然后应用质心运动定理求未知力。 5）在外力已知的条件下，欲求质心的运动规律，与求质点 的运动规律相同。
动力学普遍定理包括动量定理、 动量矩定理、动能定理。这些定理建 立了表现运动特征的量（动量、动量 矩、动能）和表现力作用效果的量 （冲量、冲量矩、功）之间的关系。
9.1 动量定理
1.动量 1）质点的动量
质点的质量与速度的乘积称为质点的动量， 记为mv。
动量是矢量，方向与速度方向相同。动量的单位为 N ·s。
4.质点系的动量定理
设由n个质点组成的质点系。其中第i个质点的
动 分别量为为Fmri(iiv)与i，Fr作i(e，) 用由在质该点质的点动上量的定外理力有与内力的合力
d dt
r (mivi
)
r F (e)
i
r F (i)
i
(i 1, 2,, n)
将n个方程相加，即得
d
r (mv
)
解得
y
v FOy
O
v FOx
x
C
pv
mgr A
FOx ml(a sin 2 cos) FOy mg ml(a cos 2 sin)
理论力学动力学部分3动量矩定理
x2
rdx
=
-2
1 2 1 -2
x2
m l
dx
=
1 12
ml 2
ò ò J y¢ =
l (x¢)2 r dx¢ =
0
l 0
( x¢) 2
m l
dx¢
=
1 3
ml 2
三 动量矩定理
18
[例] 图中厚度相等的均质薄圆板的半径为R，质量为m，求圆
板对其直径轴的转动惯量。
解：设板的密度为ρ。将圆板分成无数
同心的单元圆环，则单元圆环的质量
三 动量矩定理
26
6 刚体的平面运动微分方程
刚体的平面运动分解为跟随质心的平动和相对质
心的转动。
刚体在相对运 动中对质心的 动量矩定理
r dHC dt
r M
e C
JC
d 2j dt 2
MC
应用质心运动定理和相 对质心动量矩定理得刚 体平面运动微分方程
Mx&&C Fix
M&y&C Fiy
dt
=
Mr
C
(
Fri e
)
=
Mr
e C
4
三 动量矩定理
25
讨讨 论论
Ø如将质系的运动分解为跟随质心的平动和相对质 心的运动，则可分别用质心运动定理和相对质心动 量矩定理来建立这两种运动与外力系的关系。 Ø质系相对质心的运动只与外力系对质心的主矩有 关，而与内力无关。 Ø当外力系相对质心的主矩为零时，质系相对质心 的动量矩守恒。
局部守恒： M x (F ) = 0 则: M x (mv) = 常量
1
三 动量矩定理
第十六章 动力学基本方程动量定理动量矩定理.ppt
若vcx0 = 0, 则xc =常量，质心在x轴的位置坐标保持不变。
上一页 下一页
例4 质量为m1，长为l的小车上，一质量为m2的人开始时立在 A点，车与人处于静止状态。若不计小车与地面间的摩擦，试
求当人在车上由A点走到B点时，小车向左移动的距离。
y
a
l
A
B
x
解：取小车和人组成的质点系为研究对象，开始时系统 静止，所以系统质心的位置坐标xc保持不变。
在电动机底座上的约束反力。
解: 取整个电动机作为质点系研究， 定子质心加速度a1=0，
转子质心O2的加速度a2=e2，
方向指向O1。
电动机外壳和定子的质心坐标：x1=y1=0
转子质心的坐标:x2=ecosωt,y2=esinωt 质点系质心的坐标：
xc yc
= =
m1x1 + m2 x2
m1 m1 y1
2. 质点系的动量矩定理
上一页 下一页
( ) ( ) ( ) 对质点Mi：ddt mz mi vi = mz (Fi ) = mz Fi(e) + mz Fi(i)
( ) (( )) ( ) 对质点系：
d dt mz mi vi
=
因为内力总是成对出现，所以
mz Fi(e) + mz Fi(i ) mz Fi(i) = 0
=
M
(e) z
上式称为刚体定轴转动微分方程。
上一页 下一页
三、转动惯量
1. 定义：J z = miri2
若刚体的质量是连续分布，则 J z = m r 2dm
刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的 大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。
工程力学 动力学普遍定理动量矩定理.
dLO dt
dLC dt
drC dt
mvC
rC
m
dvC dt
dLC dt
rC maC
M
(e) O
ri
Fi
(rC
ri) Fi
rC
Fi
ri Fi
dLC dt
rC
maC
rC
R(e)
M
(e) C
刚体
dLC dt
M
(e) C
质点系对点O的动量矩为质点系内各质点对同一 点O的动量矩的矢量和，一般用Lo表示。
质点系内各质点对某轴的动量矩的代数和称为 质点系对该轴的动量矩,一般用Lx、Ly ,Lz表示。
动量矩定理
例：已知小球C和D质量均为m，用直杆相连，杆重不 计，直杆中点固定在铅垂轴AB上，如图示。如杆绕 轴AB以匀角速度ω转动，求质点系对定点O的动量矩。
动量矩定理
4. 常见刚体对轴的转动惯量 J z —刚体转动惯性大小的度量 质量 J z mi ri2 { 质量分布
在工程中，常将转动惯量表示为
Jz mz2 z称为回转半径或惯性半 径
其物理意义：相当于将质量集中于一点， 该点距转轴的距离为ρz
动量矩定理
上例中：求质点系对AB(z)轴的动量矩 1.利用定义
动量矩定理
§3-1 质点系动量矩定理
1.质点动量矩的计算
◆质点对一点的动量矩：
MO (mv) r (mv)
◆质点对轴的动量矩
M x (mv) [M O (mv)]x y(mv z ) z(mv y ) M y (mv) [M O (mv)] y z(mv x ) x(mv z ) M z (mv) [M O (mv)]z x(mv y ) y(mv x ) 即：质点对点的动量矩是矢量，大小为DOMD
理论力学第十三章 动量定理和动量矩定理
例13-10 如图所示均质鼓轮，半径为R，质量为m，在半径为r处沿水平方向 作用有力F1和F2，使鼓轮沿平直的轨道向右作无滑动滚动，试求轮心0点 的加速度以及使鼓轮作无滑动滚动时的摩擦力。
解 鼓轮作平面运动，其受力如图所示，建立鼓轮平面运动微分方程为
1）
2）
3）
因鼓轮沿平直轨道作无滑动的滚动，故有如下关系
§13－2 质心运动定理和质心运动守恒定律
解 选取整个机构为研究的质点系。作用在水平方向的外力有Q和FAx。 列出质心运动定理在x轴上的投影式
为了求质心的的加速度在x轴上的投影，先计算质心的坐标，然后把它对 时间取二阶导数，即得
应用质心运动定理，解得
显然，最大压力为
§13－2 质心运动定理和质心运动守恒定律
第十三章 动量定理和动量矩定理
主要研究内容
动量定理 质心运动定理和质心运动守恒 定律 动量矩定理 刚体的平面运动微分方程
§13－1 动量定理
动量和冲量
动量
I. 质点的动量 质点的质量与某瞬时质点速度的乘积称为质点在该瞬时的动量,用p表示质点的动量,
P=mv 质点的动量是矢量，其方向与该瞬时质点速度方向一致。动量的单位,在 国际单位制中为kg•m／s。
§13－1 动量定理
II. 质点系的动量定理
质点系的动量在任一时间间隔内的变化,等于在同一时间内作 用于该质点系所有外力冲量的矢量和。 上式为矢量方程，具体应用时常用投影式，将其在直角坐标轴上投影， 其投影式,得
与
§13－1 动量定理
动量守恒定律
若作用于质点系的外力的矢量和恒等于零，即∑Fi(e)=0，可得
第二阶段为从伞张开至降落速度达到秒v=5 m／s。在这个阶段中人当然不 再自由降落，他除了受重力P=mg作用外，还受降落伞绳子拉力FT的作用。 设在3 s内绳子拉力的合力之平均值为FT*取x轴向下，
工程力学(动力学、静力学、运动学)
r LO
=
r MO
(mivri
)
=
rri × mivri
LOz = J zω
二、动力学普遍定理
1、物理量
（4）转动惯量 ① 定义
∑ J zz = rii22mii
ii
Jz
=
mρ
2 z
回转半径
z
ri
vi
mi
ω
mO
y
x
二、动力学普遍定理
1、物理量
② 简单形体的转动惯量
● 均质细圆环 JCC = mr 22
[例 题]
两重物的质量均为m，分别系在两软绳上。此两绳又分别绕在半 径各为r与2r并固结一起的两圆轮上。两圆轮构成之鼓轮的的质量亦
为m，对轴O的回转半径为ρ0。两重物中一铅垂悬挂，一置于光滑平 面上。当系统在左重物重力作用下运动时，鼓轮的角加速度α为：
（A）
α
=
5r
2
2
g+rρ02（B）
α = 2gr 3r 2 + ρ02
置作用于物块的约束力FN大小的关系为：
y
（A）FN1 = FN0 = FN2 = W （B） FN1 > FN0 = W > FN2 （C） FN1 < FN0 = W < FN2
A
a1
0 a
2
（D） FN1 = FN2 < FN0 = W
答案：C
一、质点动力学
[例 题]
r F
已知：以上抛的小球质量为m，受空气阻力
牛顿第二定律（力与加速度之间的关系定律）
∑ m ar =
r Fii
ii
牛顿第三定律（作用与反作用定律）
第十七章-动量定理和动量矩定理
1
自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。
质点系是力学中最普遍的抽象化的模型；包括刚体、弹性
体、流体。
三.动力学分类: 质点系动力学
质点动力学
质点动力学是质点
系动力学的基础。
四.动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。
11
④ 列出自然形式的质点运动微方程
G dv ma G sin F , g d t 2 1
ma n Fn ,
Gv T Gcos 2 g l
⑤ 求解未知量
v2 由 2 式得 T G (cos ), gl
, 因此 0时 , T Tmax 其中 ,v为变量. 由1式知 重物作减速运动 2 v0 Tmax G (1 ) gl
2 可见，v 随着 x 的增加而减小。若 v0 2gR 则在某一位置
2 2 gR 时，无论 x多 x=R+H 时速度将减小到零，火箭回落。若 v0
大（甚至为∞）, 火箭也不会回落。因此脱离地球引力而一去 不返 时（ x ）的最小初速度
v0 2 gR 29.8103 6370 11.2 (km/s)
[例3] 发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。
解： 取火箭(质点)为研究对象, 建立坐标如图 示。火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用。
m gR2 mM mg f F 2 R x2 d x2 mgR 2 建立质点运动微分方程 m 2 2 d t x d vx d vx d x vx d vx m gR2 d 2 x d vx m vx ( 2 ) 即： 2 mM F f 2 x
自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。
质点系是力学中最普遍的抽象化的模型；包括刚体、弹性
体、流体。
三.动力学分类: 质点系动力学
质点动力学
质点动力学是质点
系动力学的基础。
四.动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。
11
④ 列出自然形式的质点运动微方程
G dv ma G sin F , g d t 2 1
ma n Fn ,
Gv T Gcos 2 g l
⑤ 求解未知量
v2 由 2 式得 T G (cos ), gl
, 因此 0时 , T Tmax 其中 ,v为变量. 由1式知 重物作减速运动 2 v0 Tmax G (1 ) gl
2 可见，v 随着 x 的增加而减小。若 v0 2gR 则在某一位置
2 2 gR 时，无论 x多 x=R+H 时速度将减小到零，火箭回落。若 v0
大（甚至为∞）, 火箭也不会回落。因此脱离地球引力而一去 不返 时（ x ）的最小初速度
v0 2 gR 29.8103 6370 11.2 (km/s)
[例3] 发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。
解： 取火箭(质点)为研究对象, 建立坐标如图 示。火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用。
m gR2 mM mg f F 2 R x2 d x2 mgR 2 建立质点运动微分方程 m 2 2 d t x d vx d vx d x vx d vx m gR2 d 2 x d vx m vx ( 2 ) 即： 2 mM F f 2 x
电力学院工程力学第17章动量定理和动量矩定理
N
v
O
YO
XO
M
m2 g
m1 g
3
动量矩定理
例3 高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为R，质量 为m1，绕O轴转动。小车和矿石的总质量为m2。作用在鼓轮上 的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动惯量为J，轨道倾角为。设 绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。
解：以系统为研究对象，受力如图。 以顺时针为正，则
J zC mi r12 mi ( x y ) J z mi r 2 mi ( x 2 y 2 )
因 x x1 , y y1 d
x O x1 y
d
11.4.3 平行轴定理
J z mi [ x12 ( y1 d )2 ] mi ( x12 y12 ) 2d mi y1 d 2 mi
第 17 章 动量定理和动量矩定理
17.1 动量定理 本节要点： 17.2 质心运动定理
11.4.3 平行轴定理
定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对 于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚 体的质量与两轴间距离平方的乘积，即
J z J zC md 2
证明：
z r
2 1 2 1
z1 r1 C y1 m z＝z1 x＝x1 y, y1
N
FOy O FOx m1g
LO J m2vR
M O (F ) M m2 g sin R
(e)
v
M
由
d LO mO ( Fi (e) ) ，有 dt
m2g
d ( J m2vR) M m2 g sin R dt
动量矩定理
工程力学 用动量矩定理
补例：半径为R的滑轮上绕一不可伸长的绳子，绳子两端 分别挂有质量为m1和m2的两重物，设m1＞m2 ，求m1运动 的加速度。滑轮及绳子的质量不计。
研究系统，分析受力：
解：
分析运动：
d(m1v1R dt
m
2
v
2
R
)
dLz dt
M z
m1gR m2gR
v1
v1
v2
dv1 dt
a1
m1 m1
m2 m2
§11-2 动量矩定理
§1. 质点的动量矩定理
牛顿第二定律有： m dv F
d (mv )
变形为：
dt
F
dt
z
设该质点在惯性坐标系中的矢径为r
mv
m
则在上式中两端左乘r ，得
r d(mv ) r F
而： dt
o x
y
d( r mv ) dr mv r d(mv ) v mv r d(mv )
J1, J 2 , i12
R2 R1
, M1, M 2 求：
. 1
解： J11 M1 FtR1 J 2 2 Ft R2 M 2
因
Ft
Ft
， 1
2
i12
R2 R1
，得
1
M1 J1
Hale Waihona Puke M2i12 J2 i122
§12-4 刚体对轴的转动惯量
n
J z mi ri2 i 1 单位：kg·m2
1. 简单形状物体的转动惯量计算
g
XO O R
YO
v2
m1g
m2g
例11-1 已知： R, J , M , , m ,小车不计摩擦. 求小车的加速度 a .
《工程力学》知识点
《工程力学》知识点工程力学是一门研究物体机械运动和受力之间关系的学科，它对于解决工程实际问题具有重要的意义。
下面让我们一起来了解一些工程力学的关键知识点。
首先，静力学是工程力学的基础部分。
静力学主要研究物体在静止状态下的受力情况。
其中，力的基本概念至关重要。
力是物体之间的相互作用，具有大小、方向和作用点三个要素。
在分析物体受力时，需要准确地画出受力图，清晰地表示出每个力的大小、方向和作用点。
平衡力系是静力学中的一个重要概念。
如果一个物体所受的力系能够使物体保持平衡状态，那么这个力系就是平衡力系。
根据平衡条件，可以列出相应的平衡方程，从而求解未知力。
在静力学中，还会涉及到常见的约束类型及其约束力。
例如，光滑接触面约束的约束力垂直于接触面；柔索约束的约束力沿着柔索的中心线方向等等。
接下来是材料力学。
材料力学主要研究杆件的内力、应力、应变以及材料的力学性能等。
内力是指杆件在外力作用下，其内部各部分之间相互作用的力。
通过截面法可以求解杆件的内力，即假想地将杆件切开，暴露出内力，然后根据平衡条件计算内力。
应力是单位面积上的内力。
正应力和切应力是常见的两种应力形式。
应变则是描述杆件变形程度的物理量，包括线应变和角应变。
材料的力学性能是通过实验来测定的。
例如，拉伸实验可以得到材料的屈服强度、抗拉强度、延伸率等重要参数，这些参数对于材料的选择和设计具有重要的参考价值。
在材料力学中，还有梁的弯曲问题。
梁在受到垂直于轴线的载荷作用时会发生弯曲变形。
需要掌握弯曲内力（剪力和弯矩）的计算方法，以及弯曲应力的分布规律。
另外，压杆稳定也是一个重要的知识点。
压杆在受到轴向压力时，当压力达到一定值时可能会突然发生弯曲失稳。
需要通过计算临界压力来判断压杆的稳定性。
再来说说运动学。
运动学主要研究物体的运动规律，而不考虑引起运动的原因。
点的运动可以用直角坐标法、自然法等方法来描述。
例如，在直角坐标法中，可以通过建立坐标轴来确定点的位置、速度和加速度。
工程力学课件-第十七章part2动量矩定理
三、刚体的动量矩 1. 平移刚体
LO = LO (mvC )
Lz Lz (mvC )
2. 定轴转动刚体
Lz
Lz (mi vi )
( m i v i ri )
m i ri 2
相对质心 的动量矩
J z
3. 平面运动刚体
刚体对转轴的转动惯量
质心动量对点 + (轴)的矩
动力学动量矩定理21如图均质杆ab均质圆轮b质量均为m图示瞬时杆ab角速度为均质轮相对于杆ab的角速度为系统动量沿水平方向的投影大小为系统对a点的动量矩为系统的总动能为复习22例179如图所示半径为r质量为物块系在跨过圆轮的绳子两端其中物块b因水平绳子的牵引在光滑水平面上运动
第三部分
动力学
第17章
动量定理和动量矩定理
(2) 若 M z ( F ) 0 ，则 0 , 恒量， 即刚体作匀速转动或保持静止； 若 M z ( F ) 恒量，则 恒量，
即刚体作匀变速转动。
(3) 与质点的运动微分方程作比较
ma F
形式相似
33
转动惯量是刚体转动时惯性的度量。
动力学/动量矩定理
Fox
vBa
vB
思 考
若考虑定滑轮的质量，并设 JO ，则比赛结果又如何？
A
m A g mB g
B
解： 取整个系统为研究对象,设绳子 移动速度为v，且右段向上移动， 由动量矩定理：
mB vBa R mAv Aa R J O 0
动力学/动量矩定理
v R
由速度合成定理
R
1 则： [(v A vB ) (v Aa vBa )] 2R
工程力学(下册)07动量矩定理
式中
e x, y, z
动量矩的单位为
kg m2 / s
● 7.1.2 质点系的动量矩定理 已知任一质点的动量定理的微分式 Fi dt mi dvi ,在两边分别用 矢径r叉乘得
ri Fi dt ri mi dvi
mi vi dri 0 dt
由于 则
ri Fi ri
n d ( J z ) M z ( Fi ) dt i
Jz M z ( Fi ) 即 i n n d 2 由于，则式(7-11)也可写为 J z 2 M z (Fi )或 J z M z ( Fi ) (7-12) dt i i 式(7-12)称为绕定轴转动刚体的运动微分方程，即刚体对定 轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用在刚体上的主动力对 该轴矩的代数和。
【例7.4】 如图7.9所示，两鼓轮固连在一起，其总质量是 m，对 水平转轴 O的转动惯量是JO；鼓轮的半径分别为r1和r2 。绳端 悬挂的重物A和B质量分别是m1和m2，且m1 > m2，绳的质量不 计。试求鼓轮的角加速度。 解：取鼓轮、重物A、B为研究对象。对鼓轮的 转轴 z (垂直于图面，指向读者)应用动量矩定理，
解：如图7.10(b)所示，取滑轮和软绳组成的系统为研究对象， 画出受力图。滑轮的运动可看作沿过点A的铅垂线向下做纯滚 动，滚动角速度 vC r，滚动角加速度 aC r 。应用质心运动 定理沿铅垂轴的投影，得 ………① maC mg F
vC r
在列写第二个方程时，可以任意选用以下方法中的一种： (1)对固定轴Az的动量矩定理 d ( J Cz mvC r ) mgr
第 第7章 动量矩定理 ● 7.1 质点系的动量矩定理与动量矩守恒定律 1 ● 7.1.1 质点系的动量矩 4 质点系的动量矩定理 ● 7.1.2 章 ● 7.1.3 动量矩守恒定律
e x, y, z
动量矩的单位为
kg m2 / s
● 7.1.2 质点系的动量矩定理 已知任一质点的动量定理的微分式 Fi dt mi dvi ,在两边分别用 矢径r叉乘得
ri Fi dt ri mi dvi
mi vi dri 0 dt
由于 则
ri Fi ri
n d ( J z ) M z ( Fi ) dt i
Jz M z ( Fi ) 即 i n n d 2 由于，则式(7-11)也可写为 J z 2 M z (Fi )或 J z M z ( Fi ) (7-12) dt i i 式(7-12)称为绕定轴转动刚体的运动微分方程，即刚体对定 轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用在刚体上的主动力对 该轴矩的代数和。
【例7.4】 如图7.9所示，两鼓轮固连在一起，其总质量是 m，对 水平转轴 O的转动惯量是JO；鼓轮的半径分别为r1和r2 。绳端 悬挂的重物A和B质量分别是m1和m2，且m1 > m2，绳的质量不 计。试求鼓轮的角加速度。 解：取鼓轮、重物A、B为研究对象。对鼓轮的 转轴 z (垂直于图面，指向读者)应用动量矩定理，
解：如图7.10(b)所示，取滑轮和软绳组成的系统为研究对象， 画出受力图。滑轮的运动可看作沿过点A的铅垂线向下做纯滚 动，滚动角速度 vC r，滚动角加速度 aC r 。应用质心运动 定理沿铅垂轴的投影，得 ………① maC mg F
vC r
在列写第二个方程时，可以任意选用以下方法中的一种： (1)对固定轴Az的动量矩定理 d ( J Cz mvC r ) mgr
第 第7章 动量矩定理 ● 7.1 质点系的动量矩定理与动量矩守恒定律 1 ● 7.1.1 质点系的动量矩 4 质点系的动量矩定理 ● 7.1.2 章 ● 7.1.3 动量矩守恒定律
工程力学动力学知识点梳理
工程力学动力学知识点梳理工程力学中的动力学是研究物体机械运动与作用力之间关系的学科分支。
它对于理解和解决各种实际工程问题具有重要意义。
下面让我们一起来梳理一下工程力学动力学中的关键知识点。
一、质点动力学的基本概念首先要了解的是质点的概念。
质点是指在研究物体的运动时，如果物体的大小和形状对研究结果的影响可以忽略不计，就可以把物体看作一个只有质量而没有大小和形状的点。
力是使物体运动状态发生改变的原因。
力的三要素包括大小、方向和作用点。
在动力学中，常见的力有重力、弹力、摩擦力等。
加速度是描述物体速度变化快慢的物理量。
加速度与力之间存在着直接的关系，这就是牛顿第二定律：物体所受的合力等于物体的质量乘以加速度，即＄F ＝ ma$。
二、动量定理动量是物体质量与速度的乘积，用＄p ＝ mv$ 表示。
动量定理指出，合外力的冲量等于物体动量的增量。
冲量则是力在时间上的累积，用＄I ＝ F ＼Delta t$ 表示。
通过动量定理，可以方便地分析和解决一些碰撞、冲击等问题。
例如，在两个物体的碰撞过程中，通过计算动量的变化，可以了解碰撞前后物体速度的变化情况。
三、动量守恒定律如果一个系统所受的合外力为零，那么这个系统的总动量保持不变，这就是动量守恒定律。
在实际应用中，动量守恒定律常用于分析爆炸、反冲等问题。
比如火箭发射，燃料燃烧产生的气体向后喷出，从而使火箭向前运动，整个过程中动量守恒。
四、动能定理动能是物体由于运动而具有的能量，用＄E_k ＝＼frac{1}｛2}mv^2$ 表示。
动能定理表明，合外力对物体所做的功等于物体动能的增量。
利用动能定理，可以简便地计算物体在不同力作用下速度的变化，或者求出力所做的功。
五、机械能守恒定律在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变，这就是机械能守恒定律。
例如，物体在自由落体运动中，重力势能不断减少，动能不断增加，但机械能始终守恒。
六、刚体的定轴转动刚体是指在运动过程中形状和大小都不发生变化的物体。
理论力学 第10章 动量定理和动量矩定理
解: 如图所示 m1 m 2 a Cx Fx F
xC
m1
r 2
cos
m2 r cos
b
m1
1
m2
aCx
d 2 xC dt 2
r 2
m1 m2
m1 2
m2
cos
t
应用质心运动定理,解得
Fx
F
r
2
m1 2
m
2
c
o
s
t
显然,最大水平约束力为
Fmax
F
r
2
m1
2
m2
10.1.2 动量与冲量
得 Fx m2e 2 sint
动约束力
Fy (m1 m 2 )g m 2e 2 cost
附加动约束力
理论力学 动量定理和动量矩定理
力学教研室
• 主讲老师：XXX • 土木建筑工程学院
目录
Contents
11.1 动量定理和质心运动定理 11.2 动量矩定理 11.3 刚体定轴转动微分方程
p2z
p1z
I (e) z
——质点系动量定理积分形式的投影式
3．质点系动量守恒定律
若 F (e ) 0 , p=恒矢量
若
F (e) x
0,
px = 恒量
解: p m 2 e p x m 2 e co s t p y m 2 e sin t
由
dpx dt
Fx
dpy dt
Fy
m1 g m2 g
mivi
即
p mvc
10.1.2 动量与冲量
2．冲量 常力的冲量 变力的元冲量
I Ft
dI Fdt
I t2 Fdt t1
工程力学—动量矩定理
M m1g
由
d dt
LO
mO (Fi(e) ) ，有
m2g
d dt
(J
m2vR)
M
m2 g
sin R
动量矩定理
因 v , d v a ,于是解得
R dt
a MR m2gR2 sin
J m2R2
若M＞m2gR sin ，则 a＞0，小车的加速度沿轨道向上。
必须强调的是：为使动量矩定理中各物理量的正 负号保持协调，动量矩和力矩的正负号规定必须完 全一致。
解：以系统为研究对象，受力如图。
由于SMO(F (e))＝0，且系统初始静止，所以LO＝0。
设重物A上升的速度为v，则人的绝对速度va的大小为
va u v LO mvar mvr 0
FOy
O
FOx
u
A mg mg
LO m(u v)r mvr 0
vu 2
va
u 2
由上可知，人与重物A具有相同的的速度，此速度等于
为m1，绕O轴转动。小车和矿石的总质量为m2。作用在鼓轮上
的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动惯量为J，轨道倾角为。设
绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。
解：以系统为研究对象，受力如图。 以顺时针为正，则
LO J m2vR MO (F (e) ) M m2 g sin R
Nv
FOy
O
FOx
重力 —— 由于水轮机水平放 置，重力对O轴之矩等于0；
相邻水流的压力 —— 忽略不 解：在 d t 时间间隔内，水流 计； ABCD段的水流运动到abcd时， 叶轮的反作用力矩 —— 与 所受的力以及他们对O轴之矩： 水流对叶轮的驱动力矩大小
相等，方向相反。
工程力学(动力学、静力学、运动学)
= −k vr ，则对图示坐标轴Ox，小球的运动微
分方程为：
（A） m&x& = mg− kx& （B） m&x& = −mg− kx& （C） m&x& = −mg+ kx& （D） m&x& = mg+ kx&
x
v
M mg F O
答案：B
一、质点动力学
[例 题]
自由质点受力作用而运动时，质点的运动方向是：
r LO
=
r MO
(mivri
)
=
rri × mivri
LOz = J zω
二、动力学普遍定理
1、物理量
（4）转动惯量 ① 定义
∑ J zz = rii22mii
ii
Jz
=
mρ
2 z
回转半径
z
ri
vi
mi
ω
mO
y
x
二、动力学普遍定理
1、物理量
② 简单形体的转动惯量
● 均质细圆环 JCC = mr 22
（3若）若动量F定rFrReR理e＝＝、00质心运则则动定vrprC理＝＝守CrCr恒
二、动力学普遍定理
[例 题]
图示均质杆AB长 l ，直立在 光滑的水平面上。若它从铅直位 置无初速地倒下，其质心C 的轨 迹为
y
A
C
C
（A） 圆弧线 （B） 椭圆曲线 （C） 铅垂直线 （D） 抛物线
x B
maCx = Fx = 0
牛顿第二定律（力与加速度之间的关系定律）
∑ m ar =
r Fii
ii
牛顿第三定律（作用与反作用定律）
分方程为：
（A） m&x& = mg− kx& （B） m&x& = −mg− kx& （C） m&x& = −mg+ kx& （D） m&x& = mg+ kx&
x
v
M mg F O
答案：B
一、质点动力学
[例 题]
自由质点受力作用而运动时，质点的运动方向是：
r LO
=
r MO
(mivri
)
=
rri × mivri
LOz = J zω
二、动力学普遍定理
1、物理量
（4）转动惯量 ① 定义
∑ J zz = rii22mii
ii
Jz
=
mρ
2 z
回转半径
z
ri
vi
mi
ω
mO
y
x
二、动力学普遍定理
1、物理量
② 简单形体的转动惯量
● 均质细圆环 JCC = mr 22
（3若）若动量F定rFrReR理e＝＝、00质心运则则动定vrprC理＝＝守CrCr恒
二、动力学普遍定理
[例 题]
图示均质杆AB长 l ，直立在 光滑的水平面上。若它从铅直位 置无初速地倒下，其质心C 的轨 迹为
y
A
C
C
（A） 圆弧线 （B） 椭圆曲线 （C） 铅垂直线 （D） 抛物线
x B
maCx = Fx = 0
牛顿第二定律（力与加速度之间的关系定律）
∑ m ar =
r Fii
ii
牛顿第三定律（作用与反作用定律）
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Lx Ly Lz
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m (y v
i
n
i iz
zi viy ) xi viz ) yi vix )
m (z v
i
i 1 n
i ix
m (x v
i i 1
i 1 n
i iy
质点系对于各轴的动量矩为代数量，采用右手定则：右 手握拳，四指与动量矩的转向一致，拇指指向与坐标轴正 向一致者为正，反之为负。
相对质心的动量矩定理
TSINGHUA UNIVERSITY
质点系相对质心的动量矩 质点系相对质心的动量矩定理
相对质心的动量矩定理
e r m v r m v r F i i i i i i i dt ' i i i 0 n n
LO 2 LO1 ri Fi e dt
0
动量矩定理及其守恒形式
动量矩定理积分形式
TSINGHUA UNIVERSITY
e r m v r m v r F i i i i i i i dt ' i i i 0
TSINGHUA UNIVERSITY
范钦珊教育教学工作室
FAN Qin-Shans Education & Teaching Studio
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清华大学 范钦珊
范钦珊教育与教学工作室
工程力学
课堂教学软件(17B)
2016年9月6日
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第三篇 运动学与动力学
i
d (ri mi v i ) ri Fi e ri Fi i dt i i
TSINGHUA UNIVERSITY
注意到微分和求和运算可以互换，以及内力必成对出现的 特点，上式可简化为 d ( ri mi v i ) ri Fi e dt i i
d LO e MO dt
e Mx 0
Lx C1
其中C1 为常数。
动量矩定理与动量矩守恒
动量矩定理的守恒形式
TSINGHUA UNIVERSITY
？
谁最先到
达顶点
第17章B 动量定理和动量矩定理
TSINGHUA UNIVERSITY
相对质心的动量矩定理
返回
相对质心的动量矩定理
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质点与刚体的动量矩
刚体对轴的转动惯量
TSINGHUA UNIVERSITY
2． 平行移轴定理
J z J z C md 2
上述关系称为平行移轴定理，它表明，刚体对任一轴 z的转动惯量，等于刚体对通过质心并与轴z平行的轴 zC的转动惯量，加上刚体质量与两轴间距离平方的乘 积。
第17章B 动量定理和动量矩定理
动量矩定理及其守恒形式
TSINGHUA UNIVERSITY
动量矩定理积分形式
动量矩定理及其守恒形式
动量矩定理积分形式Fra bibliotekd ( ri mi v i ) ri Fi e dt i i
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d LO e MO dt
将上述二式积分，得到
质点与刚体的动量矩
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刚体对轴的转动惯量
质点与刚体的动量矩
刚体对轴的转动惯量
对于简单形状均质物体的转动惯量，有表可查。在计 算时还要特别说明以下两点：
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1． 回转半径（或称惯性半径）
刚体对任一轴z的回转半径或惯性半径为
第17章B 动量定理和动量矩定理
几个有意义的实际问题 质点与刚体的动量矩 动量矩定理及其守恒形式 相对质心的动量矩定理 刚体定轴转动微分方程与 平面运动微分方程 动量和动量矩定理在碰撞中的应用 结论与讨论
TSINGHUA UNIVERSITY
参考性例题
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第17章B 动量定理和动量矩定理
e
LO C
这表明质点系对该点的动量矩守恒
动量矩定理与动量矩守恒
动量矩定理的守恒形式 当外力对某定轴的主矩等于零时，质点系对该轴的动量矩守恒。 TSINGHUA UNIVERSITY
例如
dL x e Mx dt dL y e My dt dL z e Mz dt
z
Jz m
若已知刚体对某轴z的回转半径ρz和刚体的质量m，则其转 动惯量可按下式计算
2 J z m z
质点与刚体的动量矩
刚体对轴的转动惯量
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1． 回转半径（或称惯性半径）
Jz
2 m z
z
Jz m
即物体的转动惯量等于该物体的质量与回转A半径平 方的乘积。 上式表明，若将物体的质量全部集中于一点，并 令该质点对于z轴的转动惯量等于物体的转动惯量， 则质点到z轴垂直距离即为回转半径。
工程力学
工程力学
第三篇 运动学与动力学
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第17章B 动量定理和动量矩定理
第17章B 动量定理和动量矩定理
TSINGHUA UNIVERSITY
动量定理和动量矩定理在数学上同属于一类方程，即 矢量形式的微分方程。而质点系的动量和动量矩，可以理 解为动量组成的系统（即动量系）的基本特征量 ——动量 系的主矢和主矩。二者对时间的变化率分别等于外力系的 两个基本特征量——力系的主矢和主矩。 本章主要研究质点系的动量矩定理和刚体平面运动微分 方程。
质点与刚体的动量矩
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刚体的动量矩
质点与刚体的动量矩
刚体的动量矩
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作为特殊质点系的刚体，其动量矩与 刚体的运动形式有关。
质点与刚体的动量矩
刚体的动量矩
平移刚体对O点的动量矩
设平移刚体的总质量为m，由于其运动特征是刚体上每 一质点的速度均相等，即vi=v，则有
这就是质点系动量矩定理的投影形式，也就是质点系相对定轴 的动量矩定理
动量矩定理与动量矩守恒
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动量矩定理的守恒形式
动量矩定理与动量矩守恒
动量矩定理的守恒形式
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d LO e MO dt
若外力矩
MO 0
则质点系对该点的动量矩为常矢量
n
n
LO 2 LO1 ri Fi e dt
0
以上二式均为质点系动量矩定理的积分形式，与上一章介 绍的冲量定理一起，构成了用于解决碰撞问题的基本定理。
动量矩定理与动量矩守恒
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动量矩定理的投影形式
动量矩定理与动量矩守恒
动量矩定理的投影形式
比照力对点之矩与力对轴之矩的关系，可以得到动量对点 之矩在过该点之轴上的投影等于该动量对该轴之矩。
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d ( ri mi v i ) ri Fi e dt i i
d LO e MO dt
dL x e Mx dt dL y e My dt dL z e Mz dt
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LO
r m v ( r m ) v mr
i i i i i i 1 i 1
n
n
C
v rC mv
这一结果表明，平移刚体可以看成是一质量集中在质心处的质 点，只要确定刚体质心的矢径rC，即可应用上式确定平移刚体 对O点的动量矩。
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几个有意义的实际问题
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几个有意义的实际问题
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？
谁最先到
达顶点
几个有意义的实际问题
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？
的直升飞
机是怎么 飞起来的
没有尾桨
第17章B 动量定理和动量矩定理
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质点与刚体的动量矩
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质点与刚体的动量矩
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质点系的动量矩 刚体的动量矩
刚体对轴的转动惯量
质点与刚体的动量矩
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质点系的动量矩
质点与刚体的动量矩
质点系的动量矩
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质点与刚体的动量矩
刚体对轴的转动惯量
2． 平行移轴定理
若已知物体对于过质心轴的转动惯量，则可通过下列公式计 算出对其他平行轴的转动惯量：
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J z J z C md 2
式中 Jz表示刚体对任一轴z的转动惯量； JzC 为刚体对通过质心C且与z轴平行的轴zC的转动惯量； m为刚体的质量； d为z与zC轴之间的距离。
这一结果表明，质点系相对固定点的动量矩对时间的一阶导数 等于作用在该质点系上的外力系对同一点的主矩 。这就是质点 系 相 对 定 点 的 动 量 矩 定 理 (theorem of the moment of momemtum with respect to a given point)。以后如不特别说明 ，则动量矩定理都是指对惯性参考系的固定点。
J z mi ri
i
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i
i
2
Jz称为刚体对轴z的转动惯量(moment of inertial)。
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m (y v
i
n
i iz
zi viy ) xi viz ) yi vix )
m (z v
i
i 1 n
i ix
m (x v
i i 1
i 1 n
i iy
质点系对于各轴的动量矩为代数量，采用右手定则：右 手握拳，四指与动量矩的转向一致，拇指指向与坐标轴正 向一致者为正，反之为负。
相对质心的动量矩定理
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质点系相对质心的动量矩 质点系相对质心的动量矩定理
相对质心的动量矩定理
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LO 2 LO1 ri Fi e dt
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动量矩定理及其守恒形式
动量矩定理积分形式
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第三篇 运动学与动力学
i
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注意到微分和求和运算可以互换，以及内力必成对出现的 特点，上式可简化为 d ( ri mi v i ) ri Fi e dt i i
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其中C1 为常数。
动量矩定理与动量矩守恒
动量矩定理的守恒形式
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第17章B 动量定理和动量矩定理
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相对质心的动量矩定理
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质点与刚体的动量矩
刚体对轴的转动惯量
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2． 平行移轴定理
J z J z C md 2
上述关系称为平行移轴定理，它表明，刚体对任一轴 z的转动惯量，等于刚体对通过质心并与轴z平行的轴 zC的转动惯量，加上刚体质量与两轴间距离平方的乘 积。
第17章B 动量定理和动量矩定理
动量矩定理及其守恒形式
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动量矩定理积分形式
动量矩定理及其守恒形式
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将上述二式积分，得到
质点与刚体的动量矩
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刚体对轴的转动惯量
质点与刚体的动量矩
刚体对轴的转动惯量
对于简单形状均质物体的转动惯量，有表可查。在计 算时还要特别说明以下两点：
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1． 回转半径（或称惯性半径）
刚体对任一轴z的回转半径或惯性半径为
第17章B 动量定理和动量矩定理
几个有意义的实际问题 质点与刚体的动量矩 动量矩定理及其守恒形式 相对质心的动量矩定理 刚体定轴转动微分方程与 平面运动微分方程 动量和动量矩定理在碰撞中的应用 结论与讨论
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参考性例题
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第17章B 动量定理和动量矩定理
e
LO C
这表明质点系对该点的动量矩守恒
动量矩定理与动量矩守恒
动量矩定理的守恒形式 当外力对某定轴的主矩等于零时，质点系对该轴的动量矩守恒。 TSINGHUA UNIVERSITY
例如
dL x e Mx dt dL y e My dt dL z e Mz dt
z
Jz m
若已知刚体对某轴z的回转半径ρz和刚体的质量m，则其转 动惯量可按下式计算
2 J z m z
质点与刚体的动量矩
刚体对轴的转动惯量
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1． 回转半径（或称惯性半径）
Jz
2 m z
z
Jz m
即物体的转动惯量等于该物体的质量与回转A半径平 方的乘积。 上式表明，若将物体的质量全部集中于一点，并 令该质点对于z轴的转动惯量等于物体的转动惯量， 则质点到z轴垂直距离即为回转半径。
工程力学
工程力学
第三篇 运动学与动力学
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第17章B 动量定理和动量矩定理
第17章B 动量定理和动量矩定理
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动量定理和动量矩定理在数学上同属于一类方程，即 矢量形式的微分方程。而质点系的动量和动量矩，可以理 解为动量组成的系统（即动量系）的基本特征量 ——动量 系的主矢和主矩。二者对时间的变化率分别等于外力系的 两个基本特征量——力系的主矢和主矩。 本章主要研究质点系的动量矩定理和刚体平面运动微分 方程。
质点与刚体的动量矩
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刚体的动量矩
质点与刚体的动量矩
刚体的动量矩
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作为特殊质点系的刚体，其动量矩与 刚体的运动形式有关。
质点与刚体的动量矩
刚体的动量矩
平移刚体对O点的动量矩
设平移刚体的总质量为m，由于其运动特征是刚体上每 一质点的速度均相等，即vi=v，则有
这就是质点系动量矩定理的投影形式，也就是质点系相对定轴 的动量矩定理
动量矩定理与动量矩守恒
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动量矩定理的守恒形式
动量矩定理与动量矩守恒
动量矩定理的守恒形式
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d LO e MO dt
若外力矩
MO 0
则质点系对该点的动量矩为常矢量
n
n
LO 2 LO1 ri Fi e dt
0
以上二式均为质点系动量矩定理的积分形式，与上一章介 绍的冲量定理一起，构成了用于解决碰撞问题的基本定理。
动量矩定理与动量矩守恒
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动量矩定理的投影形式
动量矩定理与动量矩守恒
动量矩定理的投影形式
比照力对点之矩与力对轴之矩的关系，可以得到动量对点 之矩在过该点之轴上的投影等于该动量对该轴之矩。
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d ( ri mi v i ) ri Fi e dt i i
d LO e MO dt
dL x e Mx dt dL y e My dt dL z e Mz dt
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LO
r m v ( r m ) v mr
i i i i i i 1 i 1
n
n
C
v rC mv
这一结果表明，平移刚体可以看成是一质量集中在质心处的质 点，只要确定刚体质心的矢径rC，即可应用上式确定平移刚体 对O点的动量矩。
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几个有意义的实际问题
返回
几个有意义的实际问题
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？
谁最先到
达顶点
几个有意义的实际问题
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？
的直升飞
机是怎么 飞起来的
没有尾桨
第17章B 动量定理和动量矩定理
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质点与刚体的动量矩
返回
质点与刚体的动量矩
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质点系的动量矩 刚体的动量矩
刚体对轴的转动惯量
质点与刚体的动量矩
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质点系的动量矩
质点与刚体的动量矩
质点系的动量矩
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质点与刚体的动量矩
刚体对轴的转动惯量
2． 平行移轴定理
若已知物体对于过质心轴的转动惯量，则可通过下列公式计 算出对其他平行轴的转动惯量：
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J z J z C md 2
式中 Jz表示刚体对任一轴z的转动惯量； JzC 为刚体对通过质心C且与z轴平行的轴zC的转动惯量； m为刚体的质量； d为z与zC轴之间的距离。
这一结果表明，质点系相对固定点的动量矩对时间的一阶导数 等于作用在该质点系上的外力系对同一点的主矩 。这就是质点 系 相 对 定 点 的 动 量 矩 定 理 (theorem of the moment of momemtum with respect to a given point)。以后如不特别说明 ，则动量矩定理都是指对惯性参考系的固定点。
J z mi ri
i
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i
i
2
Jz称为刚体对轴z的转动惯量(moment of inertial)。