高中数学常见的函数问题总结
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h( x) f ( x) g ( x) 的最小值 0
（5） 若在某区间上至少存在一个实数 x0 ，使 f ( x0 ) g ( x0 ) 成立， 则
不等式 f ( x) g ( x) 0 在某区间上有解
（6）若存在 x1 , x2 [1,1], 使得 f ( x1 ) g ( x2 ) 成立，则
考查函数的凹凸性，在教材的习题中有所体现．
7.（山东卷理科第9题）
8. 一辆中型客车的营运总利润y (单位：万元)与营运 年数x(x∈N)的变化关系如下表所示： 5 时，该客车的年平均利 则客车的运输年数为 _______ 润最大． x(年 ) y＝ax2＋bx＋c (万元) 4 7 6 11 8 7 … …
4．围绕基本初等函数，主要考查函数的 单调性与奇偶性、最值、图象等；函数 与方程，分类讨论，数形结合，等价转 化等数学思想都有所涉及.
Байду номын сангаас
a （1） f ( x ) x ( a 0) 型; x ax b
高考常考查以下几种函数：
(2) f ( x )
mx n (3) f ( x) 2 ; ax bx c
g ( x) g ( x) h( x) (4) f ( x) ; h( x) g ( x) h( x)
(5) f ( x) ax bx cx d
3 2
cx d
;
（6 ）
y | x a |
又如：
与 y＝lnx 组合，如 2 广东(19)：f(x)＝lnx＋a(1－a)x －2(1－a)x(a>0)； 福建(22)：f(x)＝－ax＋b＋axlnx(a0)； 1 湖南(22)：f(x)＝x－x－alnx(aR)；
二、——四年新课程卷的命题规律 1. “重点知识重点考查，重点知识均衡考 查” ;
2. 从函数类型看，一次函数，二次函数 (含参，含绝对值等)，三次函数(含参)， 简单的分式函数，与y＝lnx或y＝ex组合 (用于函数综合题)以及分段函数(一定有) 等.
二、——新课程卷的命题规律
3．分量重，约有40分左右，占总分值的 四分之一；难度分布广，易、中、难都有， 而试卷的难度“制高点”之一都是函数；
对导数的研究都落实到二次函数上！
2 1 ＋ ax －2ax ex x 安徽(18)：f(x)＝ 2( a>0)，f (x)＝e · 2 2 ， 1＋ax (1＋ax )
求导后一定能从导数中“分离”出 ex
2 x －ax＋1 1 湖南(22)：f(x)＝x－x－alnx(aR)，f (x)＝ ， 2 x
与 y＝ex 组合， ex 安徽(18)：f(x)＝ (a>0)； 1＋ax2 北京(18)：f(x)＝(x－k) ex；
三次函数如， 3 2 2 天津(19)：f(x)＝4x ＋3tx －6t x＋t－1(t R)； 1 3 江西(20)：f(x)＝ x ＋mx2＋nx； 3
其它如， 山东(17)应用题(分式函数)， 上海(21)：f(x)＝a· 2x＋ b · 3x．
3．已知实数 a≠0，函数
3 f(1－a)＝f(1＋a)，则 a 的值为___. 4
2x＋a，x＜1， f(x)＝ 若 －x－2a，x≥1，
4. 定义在 D 上的函数 f(x)，如果满足：任意 x∈D，存在常数 A， 都有|f(x)|≤A 成立，则称函数 f(x)是 D 上的“有界函数”，下列函数中： x ①f(x)＝2sinx；②f(x)＝ 1－x2；③f(x)＝1－2x；④f(x)＝ 2 ． x ＋1 其中是“有界函数”的是
要高度重视(强调)二次函数！
三、解题中常见的词语及转化方法
Ａ
（1）方程 f ( x) a 有解 a f ( x) 的值域;
（2）不等式 f ( x) a 恒成立 a f ( x) min
（3）不等式 f ( x) a 有解
存在 x R ，使 f ( x) a 成立
c | f ( x1 ) f ( x2 ) |max f ( x)max f ( x)min
(3)若对 x1 [2, 2], 总存在 x0 [2, 2]，使 f ( x1 ) g ( x0 ) 成立， 则
f ( x) 的值域是 g ( x) 值域的子集
(4) 若不等式 f ( x) g ( x) 恒成立，则函数
a f ( x) max
B.(1)若对任意的 x1 , x2 [1, e] ，都有 f ( x1 ) g ( x2 ) 成立，则
f ( x) 的最小值不小于 g ( x) 的最大值
(2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值 x1 , x2 ，都有
| f ( x1 ) f ( x2 ) | c, 则
第一部分 函数与导数
一、2014年“考试说明”中关于“函数与 导数”的考查要求 2．函数的概念与基本初等函数Ⅰ： 函数的概念(B)，函数的基本性质(B)，指 数与对数(B)，指数函数的图象与性质(B)， 对数函数的图象与性质(B)，幂函数(A)， 函数与方程(A)，函数模型及其应用(B).
9．导数及其应用：导数的概念(A)， 导数的几何意义(B)；导数的运算(B)，利 用导数研究函数的单调性与极值(B)；导 数在实际生活中的应用(B).
f ( x) 的最小值小于 g ( x) 的最大值
四、真题例析
1 1.(07 广东)已知函数 f(x)＝ 的定义域为 1. 1－x M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为 N，则 M∩N 是 （-1，1） ． 说明：考查分式函数、对数函数的定义域及集合的运 算．
1 ( , ) 2.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是_____. 2
①②④
（写出所有满足要求的序号） ．
考查函数的整体性质，根据已有的性质考查新的性质．
5：(07海南、宁夏）设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)是 偶函数，则a的值是 a=-1 ．
利用偶函数的定义解决问题，用特值法解决时 一般要注意检验．
6. 在 y＝2x，y＝log2x，y＝x2，y＝cos2x 这四个函数中，当 0＜x1＜x2＜1 x1＋x2 f(x1)＋f(x2) 时 ， 使 f( ) ＞ 恒 成 立 的 函 数 的 个 数 2 2 是 ． 2个
（5） 若在某区间上至少存在一个实数 x0 ，使 f ( x0 ) g ( x0 ) 成立， 则
不等式 f ( x) g ( x) 0 在某区间上有解
（6）若存在 x1 , x2 [1,1], 使得 f ( x1 ) g ( x2 ) 成立，则
考查函数的凹凸性，在教材的习题中有所体现．
7.（山东卷理科第9题）
8. 一辆中型客车的营运总利润y (单位：万元)与营运 年数x(x∈N)的变化关系如下表所示： 5 时，该客车的年平均利 则客车的运输年数为 _______ 润最大． x(年 ) y＝ax2＋bx＋c (万元) 4 7 6 11 8 7 … …
4．围绕基本初等函数，主要考查函数的 单调性与奇偶性、最值、图象等；函数 与方程，分类讨论，数形结合，等价转 化等数学思想都有所涉及.
Байду номын сангаас
a （1） f ( x ) x ( a 0) 型; x ax b
高考常考查以下几种函数：
(2) f ( x )
mx n (3) f ( x) 2 ; ax bx c
g ( x) g ( x) h( x) (4) f ( x) ; h( x) g ( x) h( x)
(5) f ( x) ax bx cx d
3 2
cx d
;
（6 ）
y | x a |
又如：
与 y＝lnx 组合，如 2 广东(19)：f(x)＝lnx＋a(1－a)x －2(1－a)x(a>0)； 福建(22)：f(x)＝－ax＋b＋axlnx(a0)； 1 湖南(22)：f(x)＝x－x－alnx(aR)；
二、——四年新课程卷的命题规律 1. “重点知识重点考查，重点知识均衡考 查” ;
2. 从函数类型看，一次函数，二次函数 (含参，含绝对值等)，三次函数(含参)， 简单的分式函数，与y＝lnx或y＝ex组合 (用于函数综合题)以及分段函数(一定有) 等.
二、——新课程卷的命题规律
3．分量重，约有40分左右，占总分值的 四分之一；难度分布广，易、中、难都有， 而试卷的难度“制高点”之一都是函数；
对导数的研究都落实到二次函数上！
2 1 ＋ ax －2ax ex x 安徽(18)：f(x)＝ 2( a>0)，f (x)＝e · 2 2 ， 1＋ax (1＋ax )
求导后一定能从导数中“分离”出 ex
2 x －ax＋1 1 湖南(22)：f(x)＝x－x－alnx(aR)，f (x)＝ ， 2 x
与 y＝ex 组合， ex 安徽(18)：f(x)＝ (a>0)； 1＋ax2 北京(18)：f(x)＝(x－k) ex；
三次函数如， 3 2 2 天津(19)：f(x)＝4x ＋3tx －6t x＋t－1(t R)； 1 3 江西(20)：f(x)＝ x ＋mx2＋nx； 3
其它如， 山东(17)应用题(分式函数)， 上海(21)：f(x)＝a· 2x＋ b · 3x．
3．已知实数 a≠0，函数
3 f(1－a)＝f(1＋a)，则 a 的值为___. 4
2x＋a，x＜1， f(x)＝ 若 －x－2a，x≥1，
4. 定义在 D 上的函数 f(x)，如果满足：任意 x∈D，存在常数 A， 都有|f(x)|≤A 成立，则称函数 f(x)是 D 上的“有界函数”，下列函数中： x ①f(x)＝2sinx；②f(x)＝ 1－x2；③f(x)＝1－2x；④f(x)＝ 2 ． x ＋1 其中是“有界函数”的是
要高度重视(强调)二次函数！
三、解题中常见的词语及转化方法
Ａ
（1）方程 f ( x) a 有解 a f ( x) 的值域;
（2）不等式 f ( x) a 恒成立 a f ( x) min
（3）不等式 f ( x) a 有解
存在 x R ，使 f ( x) a 成立
c | f ( x1 ) f ( x2 ) |max f ( x)max f ( x)min
(3)若对 x1 [2, 2], 总存在 x0 [2, 2]，使 f ( x1 ) g ( x0 ) 成立， 则
f ( x) 的值域是 g ( x) 值域的子集
(4) 若不等式 f ( x) g ( x) 恒成立，则函数
a f ( x) max
B.(1)若对任意的 x1 , x2 [1, e] ，都有 f ( x1 ) g ( x2 ) 成立，则
f ( x) 的最小值不小于 g ( x) 的最大值
(2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值 x1 , x2 ，都有
| f ( x1 ) f ( x2 ) | c, 则
第一部分 函数与导数
一、2014年“考试说明”中关于“函数与 导数”的考查要求 2．函数的概念与基本初等函数Ⅰ： 函数的概念(B)，函数的基本性质(B)，指 数与对数(B)，指数函数的图象与性质(B)， 对数函数的图象与性质(B)，幂函数(A)， 函数与方程(A)，函数模型及其应用(B).
9．导数及其应用：导数的概念(A)， 导数的几何意义(B)；导数的运算(B)，利 用导数研究函数的单调性与极值(B)；导 数在实际生活中的应用(B).
f ( x) 的最小值小于 g ( x) 的最大值
四、真题例析
1 1.(07 广东)已知函数 f(x)＝ 的定义域为 1. 1－x M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为 N，则 M∩N 是 （-1，1） ． 说明：考查分式函数、对数函数的定义域及集合的运 算．
1 ( , ) 2.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是_____. 2
①②④
（写出所有满足要求的序号） ．
考查函数的整体性质，根据已有的性质考查新的性质．
5：(07海南、宁夏）设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)是 偶函数，则a的值是 a=-1 ．
利用偶函数的定义解决问题，用特值法解决时 一般要注意检验．
6. 在 y＝2x，y＝log2x，y＝x2，y＝cos2x 这四个函数中，当 0＜x1＜x2＜1 x1＋x2 f(x1)＋f(x2) 时 ， 使 f( ) ＞ 恒 成 立 的 函 数 的 个 数 2 2 是 ． 2个