利用导数求函数极值.
利用导数研究函数的极值与最值
利用导数研究函数的极值与最值导数是研究函数变化率的工具，通过导数可以研究函数的极值和最值。
在这篇文章中，我们将讨论如何利用导数来研究函数的极值和最值。
一、极值的定义和判断条件极值是指函数取得的最大值或最小值。
在数学上，函数f(x)在点x=c处取得极值的充分条件是f'(c)=0，并且f'(x)的符号在x=c的两侧改变。
具体来说，f'(x)大于0时，函数递增；f'(x)小于0时，函数递减。
而当f'(x)从正变为负或从负变为正时，就是函数取得极值的地方。
二、几何图形与导数的关系通过导数的大小和符号，我们可以推断函数的几何行为。
例如，当f'(x)>0时，函数f(x)是递增的，图像是向上的曲线；而当f'(x)<0时，函数f(x)是递减的，图像是向下的曲线。
当f'(x)=0时，函数可能达到极值点。
三、利用导数判断函数的极值1.求导数：首先求出函数f(x)的导数f'(x)。
2.解方程：解方程f'(x)=0，得到可能的极值点x=c。
3.判断符号：将极值点x=c代入f'(x)，判断f'(x)的符号在c的两侧。
如果f'(x)从正变为负，或从负变为正，那么极值点x=c是函数的极值点。
4.检验：将极值点代入函数f(x)中，算出函数值f(c)，判断是否是极值。
四、利用导数求函数的最值1.求导数：求出函数f(x)的导数f'(x)。
2.解方程：解方程f'(x)=0，得到可能的最值点x=c。
3.极值判断：判断c是否是函数的极值点，确定是否是最值点。
4.边界判断：检查函数在定义域的边界上的函数值，判断是否可能是最值。
5.比较：对于所有可能的最值点，比较它们的函数值，得到最大值和最小值。
五、利用导数求出临界点临界点是指导数不存在的点或者导数为零的点。
通过求导数，我们可以找到函数的临界点。
临界点可能是函数的极值点或最值点。
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的极值要利用导数研究函数的极值，首先需要了解什么是极值以及极值的判定条件。
在微积分中，极值是指函数在其中一点附近取得的最大值或最小值。
函数的极值可以有两种类型：局部极值和全局极值。
1.局部极值：函数在其中一点附近取得的最大值或最小值称为局部极值。
极大值表示函数取得的最大值，极小值表示函数取得的最小值。
2.全局极值：函数在整个定义域内取得的最大值或最小值称为全局极值。
全局极值可以是局部极值中最大的值或最小的值。
接下来，我们将利用导数进行极值的研究。
根据极值的定义，我们可以得到以下判定条件：1.一阶导数的零点：如果函数在其中一点的一阶导数为零，那么该点可能是极值点。
2.二阶导数的符号：如果函数在其中一点的二阶导数为正，那么该点可能是极小值点；如果二阶导数为负，那么该点可能是极大值点。
现在，我们来具体介绍如何通过导数研究函数的极值。
1.首先，求出函数的一阶导数。
一阶导数表示了函数在每一点的变化率。
将一阶导数设置为零，求解方程，可以得到导数的零点，即可能的极值点。
2.然后，求出函数的二阶导数。
二阶导数表示了函数的变化率的变化率，即加速度。
通过二阶导数的符号可以判断极值是极小值还是极大值。
3.分析导数的零点和二阶导数的符号，确定极值点。
如果对于其中一点，一阶导数为零且二阶导数为正，那么该点是极小值点；如果一阶导数为零且二阶导数为负，那么该点是极大值点。
需要注意的是，以上只是判定条件，并不代表确定该点一定是极值点。
在判定的基础上，还需要进行极值的验证。
验证的方法可以使用导数的一阶和二阶的判断性质，例如利用导数的增减性、凸凹性等性质，来进一步确定函数的极值点。
不过，对于更复杂的函数，有时在求导的过程中会遇到难以处理的情况，这时可以考虑使用其他方法，如拉格朗日乘数法、平方差和法等。
综上所述，利用导数研究函数的极值主要通过求导、求导数的零点和二阶导数的符号进行判定，并通过验证来确定极值点。
同时，需要注意在复杂的情况下使用其他方法进行研究。
导数求函数最值
导数求函数最值导数是微积分中的重要概念，它能够帮助我们求解函数的最值。
函数的最值包括最大值和最小值，而导数可以告诉我们函数在某一点的斜率，通过斜率的正负性可以判断函数在该点是增函数还是减函数，从而找到函数的极值点。
下面将介绍如何利用导数来求解函数的最值。
我们需要找到函数的导数。
导数表示函数在某一点的变化率，可以通过求导数来找到函数的极值点。
一般来说，函数的极值点要么是导数为0的点，要么是导数不存在的点。
所以，我们首先需要求出函数的导数，并将导数等于0或不存在的点作为候选的极值点。
我们需要利用导数的正负性来判断极值点的类型。
如果在导数为0的点的左侧导数为正，右侧导数为负，那么这个点就是函数的局部最大值点；如果在导数为0的点的左侧导数为负，右侧导数为正，那么这个点就是函数的局部最小值点。
通过这种方法，我们可以找到函数的极值点。
除了求解函数的极值点，导数还可以帮助我们判断函数的凹凸性。
函数的凹凸性可以告诉我们函数的曲线是向上凸起还是向下凹陷。
具体来说，如果函数的二阶导数大于0，那么函数是向上凸起的；如果函数的二阶导数小于0，那么函数是向下凹陷的。
通过分析函数的凹凸性，我们可以更好地理解函数的形状。
导数还可以帮助我们求解函数的拐点。
拐点是函数曲线上的一个点，在这个点处函数的曲率发生突变。
通过求解函数的二阶导数，我们可以找到函数的拐点。
具体来说，如果函数的二阶导数在某一点发生了从正到负或从负到正的变化，那么这个点就是函数的拐点。
通过分析函数的拐点，我们可以更加全面地了解函数的性质。
总的来说，导数在求解函数的最值、凹凸性和拐点等方面起着重要作用。
通过对函数的导数进行分析，我们可以更好地理解函数的性质，并找到函数的极值点。
因此，在微积分中，导数是一个非常重要的概念，它帮助我们解决各种数学和物理问题，对于深入理解函数的行为规律起着至关重要的作用。
利用导数求函数的极值、最值知识点讲解+例题讲解(含解析)
利用导数求函数的极值、最值一、知识梳理1.函数的极值与导数形如山峰形如山谷2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习考点一利用导数解决函数的极值问题角度1根据函数图象判断函数极值【例1－1】已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C.函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D.函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值. 答案 D规律方法 由图象判断函数y ＝f (x )的极值，要抓住两点：(1)由y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点，可得函数y ＝f (x )的可能极值点；(2)由导函数y ＝f ′(x )的图象可以看出y ＝f ′(x )的值的正负，从而可得函数y ＝f (x )的单调性.两者结合可得极值点.角度2 已知函数求极值【例1－2】 (2019·天津和平区模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R ). (1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数.解 (1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x2x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.故f (x )在定义域上的极大值为f (x )极大值＝f (2)＝ln 2－1，无极小值. (2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0).当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当a >0时，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，故函数在x ＝1a 处有极大值.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点， 当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，且为x ＝1a .规律方法 运用导数求可导函数y ＝f (x )的极值的一般步骤：(1)先求函数y ＝f (x )的定义域，再求其导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查导数f ′(x )在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点.角度3 已知函数的极(最)值求参数的取值 【例1－3】 (2019·泰安检测)已知函数f (x )＝ln x . (1)求f (x )图象的过点P (0，－1)的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－mx ＋mx 存在两个极值点x 1，x 2，求m 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x .设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则切线方程为y ＝1x 0x ＋ln x 0－1.把点P (0，－1)代入切线方程，得ln x 0＝0，∴x 0＝1. ∴过点P (0，－1)的切线方程为y ＝x －1. (2)因为g (x )＝f (x )－mx ＋m x ＝ln x －mx ＋mx (x >0)， 所以g ′(x )＝1x －m －m x 2＝x －mx 2－mx 2＝－mx 2－x ＋m x 2，令h (x )＝mx 2－x ＋m ，要使g (x )存在两个极值点x 1，x 2，则方程mx 2－x ＋m ＝0有两个不相等的正数根x 1，x 2.故只需满足⎩⎪⎨⎪⎧h (0)>0，12m >0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m <0即可，解得0<m <12.规律方法 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)·e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( ) A.－1B.－2e －3C.5e －3D.1解析 f ′(x )＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]·e x －1，则f ′(－2)＝[4－2(a ＋2)＋a －1]·e －3＝0⇒a ＝－1， 则f (x )＝(x 2－x －1)·e x －1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)·e x －1， 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝1， 当x <－2或x >1时，f ′(x )>0， 当－2<x <1时，f ′(x )<0，所以x ＝1是函数f (x )的极小值点， 则f (x )极小值为f (1)＝－1. 答案 A(2)(2018·北京卷)设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . ①若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； ②若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围. 解 ①因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .f ′(1)＝(1－a )e. 由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.②f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在x ＝2处取得极小值.若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点. 综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.考点二 利用导数求函数的最值【例2】 (2019·广东五校联考)已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数. (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值. 解 (1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ，f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx ， 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.∴f (x )在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数. ∴f (x )max ＝f (1)＝－1.∴当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1. (2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞.①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不合题意.②若a <－1e ，令f ′(x )>0得a ＋1x >0，结合x ∈(0，e]，解得0<x <－1a；令f ′(x )<0得a ＋1x <0，结合x ∈(0，e]，解得－1a <x ≤e.从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上为增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1a ，e 上为减函数，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a .令－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－3，得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－2，即a ＝－e 2.∵－e 2<－1e ，∴a ＝－e 2为所求.故实数a 的值为－e 2.规律方法 1.利用导数求函数f (x )在[a ，b ]上的最值的一般步骤：(1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.【训练2】 (2019·合肥质检)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值.解 (1)∵f (x )＝e x ·cos x －x ，∴f (0)＝1， f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，∴f ′(0)＝0，∴y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y －1＝0·(x －0)， 即y ＝1.(2)f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，令g (x )＝f ′(x )， 则g ′(x )＝－2e xsin x ≤0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立， 且仅在x ＝0处等号成立， ∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，∴g (x )≤g (0)＝0，∴f ′(x )≤0且仅在x ＝0处等号成立， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减， ∴f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2.考点三 利用导数求解最优化问题【例3】 (2018·衡水中学质检)在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v (米/单位时间)，每单位时间的用氧量为⎝ ⎛⎭⎪⎫v 103＋1(升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为v2(米/单位时间)，每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y (升). (1)求y 关于v 的函数关系式；(2)若c ≤v ≤15(c >0)，求当下潜速度v 取什么值时，总用氧量最少.解 (1)由题意，下潜用时60v (单位时间)，用氧量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫v 103＋1×60v ＝3v 250＋60v (升)，水底作业时的用氧量为10×0.9＝9(升)，返回水面用时60v 2＝120v (单位时间)，用氧量为120v ×1.5＝180v (升)，因此总用氧量y ＝3v 250＋240v ＋9(v >0).(2)y ′＝6v 50－240v 2＝3（v 3－2 000）25v 2，令y ′＝0得v ＝1032，当0<v <1032时，y ′<0，函数单调递减； 当v >1032时，y ′>0，函数单调递增.若c <1032 ，函数在(c ，1032)上单调递减，在(1032，15)上单调递增，∴当v ＝1032时，总用氧量最少. 若c ≥1032，则y 在[c ，15]上单调递增， ∴当v ＝c 时，这时总用氧量最少.规律方法 1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)设自变量、因变量，建立函数关系式y ＝f (x )，并确定其定义域； (2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答.2.如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.三、课后练习1.(2019·郑州质检)若函数y ＝f (x )存在n －1(n ∈N *)个极值点，则称y ＝f (x )为n 折函数，例如f (x )＝x 2为2折函数.已知函数f (x )＝(x ＋1)e x －x (x ＋2)2，则f (x )为( ) A.2折函数 B.3折函数 C.4折函数D.5折函数解析 f ′(x )＝(x ＋2)e x －(x ＋2)(3x ＋2)＝(x ＋2)(e x －3x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝－2或e x ＝3x ＋2. 易知x ＝－2是f (x )的一个极值点，又e x ＝3x ＋2，结合函数图象，y ＝e x 与y ＝3x ＋2有两个交点.又e －2≠3(－2)＋2＝－4.∴函数y ＝f (x )有3个极值点，则f (x )为4折函数. 答案 C2.若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内存在最小值，则实数k 的取值范围是________.解析 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，又因为f ′(x )＝4x －1x ，所以由f ′(x )＝0解得x ＝12，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，323.(2019·杭州质检)传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12 cm 且以每秒1 cm 等速率缩短，而长度以每秒20 cm 等速率增长.已知神针的底面半径只能从12 cm 缩到4 cm ，且知在这段变形过程中，当底面半径为10 cm 时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为________ cm. 解析 设神针原来的长度为a cm ，t 秒时神针的体积为V (t ) cm 3， 则V (t )＝π(12－t )2·(a ＋20t )，其中0≤t ≤8， 所以V ′(t )＝[－2(12－t )(a ＋20t )＋(12－t )2·20]π.因为当底面半径为10 cm 时其体积最大，所以10＝12－t ，解得t ＝2，此时V ′(2)＝0，解得a ＝60，所以V (t )＝π(12－t )2·(60＋20t )，其中0≤t ≤8.V ′(t )＝60π(12－t )(2－t )，当t ∈(0，2)时，V ′(t )>0，当t ∈(2，8)时，V ′(t )<0，从而V (t )在(0，2)上单调递增，在(2，8)上单调递减，V (0)＝8 640π，V (8)＝3 520π，所以当t ＝8时，V (t )有最小值3 520π，此时金箍棒的底面半径为4 cm.答案 44.设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x (常数a >0). (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围. 解 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ， 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞). 所以g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x . 又a >0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减.∴函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞.(2)由(1)知，f ′(1)＝0.①当0<a <12时，12a >1，由(1)知f ′(x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 内单调递增，可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，1)内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 内单调递增. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意.②当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意.③当a >12时，0<12a <1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.。
高中数学的解析如何利用导数求函数的极值
高中数学的解析如何利用导数求函数的极值在高中数学中，求解函数的极值是一个常见的问题。
通过计算函数的导数，可以帮助我们找到函数的极大值或者极小值。
解析法是一种常用且简洁的方法，它基于导函数的性质进行推导和分析。
本文将介绍解析法如何利用导数求解函数的极值。
一、解析法的基本思想解析法利用导数的性质来求解函数的极值。
对于一个函数 f(x)，如果它在某个点 x0 处取得极大值或者极小值，那么 f'(x0) = 0。
此外，如果 f'(x0) 不存在，也可能代表 f(x) 在该点取得极值。
二、求解过程1. 求解导函数首先，我们需要求解原函数 f(x) 的导函数 f'(x)。
根据具体的题目，可以通过求导法则来计算函数的导数，例如常用的求导法则包括和差法、乘法法则、除法法则和链式法则等。
求导的过程需要运用高中数学中学过的求导公式和技巧。
2. 解方程 f'(x) = 0根据解析法的基本思想，我们需要找到函数导数为零的点。
因此，我们需要解方程 f'(x) = 0，找出满足条件的 x 值。
3. 判定极值类型在找到满足 f'(x) = 0 的 x 值后，我们可以通过二阶导数的符号来判定具体的极值类型。
如果 f''(x) > 0，那么函数在该点取得极小值；如果f''(x) < 0，那么函数在该点取得极大值。
如果 f''(x) = 0，则需要结合其他方法进一步进行判定。
4. 给出极值点和极值根据判定的结果，我们可以得到函数的极值点和极值。
我们可以通过代入原函数 f(x) 进行计算，得到极值点的具体数值和函数的极值。
三、解析法的应用举例为了更好地理解解析法的应用，以下以一个具体的数学问题为例来演示。
问题：已知函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求函数 f(x) 的极值点和极值。
解答：1. 求解导函数将函数 f(x) 求导得到 f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
利用导数求函数的极值(最值)的几个特例
Ｂｆ （。不存在 ． ）
垒 二
一
二ｏ ： 一 ） ２ …（ 一０ ） （ １（ 一 ） ５ ） △
一
、
一
，、
厶
，
、‘ Ｊ 一 一 ｕ
． ，・
ｃ 。 ０ 。 ． （ ） 或厂（ ） 在 ｆ ＝ 不存
答 案 ： Ｃ
Ｄ 。 ．（ ） ｆ 存在但可能不为０
＜ 即０ ０， ＜ ４
一
≤２ｊ ＂ ≤一— ｇ 一 ￣ ２ １
—
＜ ０
＋一 一
１
＋ ——
１
十 — —
ｌ
观 察 函数 在 各段 上 导数 的符 号 ．从 而 准确 判 断 各 段 上 函数 的 单
调 性 ． 定 函数 的极 值 和 最值 ． 确
当 ０ ，＝ ， ２ ， ， ＝ 时 ｙ Ｏ 即一 ≤） ≤２ 函数有最大值２ 最小值 一 ． ， ２
特例２ 设 函数 厂 ＝ 一 ） １下列结论正确的是（ （ （ １ｚ ， ） ＋ Ａｘ ｌ 函数 的极小值点 ，＝ 是极大值点 ． 是 ＝ ｘ０
Ｂ ＝ 及 ０ 是 函数 的 极 大 值 点 ． １ ＝均 Ｃｘ ｌ ＝ 均 是 函数 的 极 小 值 点 ．＝ 及ｘ ０ Ｄ １ 函数 的极 小 值 点 ， ． 是 ＝ 函数 无 极 大 值 点
答案 ： Ｄ
） ．
数 的公 式 求 解 即 可．
特 例４ 函 数ｙ ＝
（
） ．
Ａ 有最大值２ 无最小值 ． ，
Ｂ无最大值 ， ． 有最小值一 ２
ｃ最大值２ 最小值一 ． ， ２
答 案 ： Ｃ
Ｄ无最值 ．
解析： ）６ｘ １Ｘ ０解得 ＝ ， ＝． 令厂（ ＝（３ ） ＝ ， － ２ ． ｘ１ ０ ２ 列出表格如下
函数的极值与最值的求解(导数法)
函数的极值与最值的求解（导数法）函数的极值与最值是数学中重要的概念，它们在数学建模、优化问题等方面具有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍如何使用导数法求解函数的极值与最值问题。
一、函数的极值与最值在介绍如何求解函数的极值与最值之前，我们首先需要明确这两个概念的定义。
对于函数f(x)，如果存在一个区间I，对于区间内的任意x，都有f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)），那么f(x0)就是函数在区间I内的极小值（或极大值）。
而函数f(x)在整个定义域内的最小值和最大值则被称为函数的最小值和最大值。
二、导数法求解极值与最值导数法是求解函数极值与最值常用的方法之一。
通过求解函数的导数和判断导数的正负，可以找到函数的极值点及其对应的极值。
1. 求解函数的极值点首先，我们需要求解函数f(x)的导数，并令导数等于零，即f'(x)=0。
解这个方程可以得到函数的临界点（即导函数为零的点），也就是可能的极值点。
2. 判断极值类型在求得了函数的临界点之后，我们需要判断每个临界点对应的极值类型，即是极小值还是极大值。
我们可以通过求解导数的二阶导数来判断，即求解f''(x)，其中f''(x)表示函数f(x)的二阶导数。
若f''(x) > 0，则说明该临界点对应的极小值；若f''(x) < 0，则说明该临界点对应的极大值；若f''(x) = 0，则需要进行其他方法进一步判断。
3. 比较端点值除了求解临界点之外，我们还需要比较函数在区间的端点值，并找出其中的最大值和最小值。
三、实例分析为了更好地理解导数法求解极值与最值的过程，我们举一个实例来进行说明。
假设我们要求解函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1, 3]的极值和最值。
1. 求解导数和临界点首先，求解函数f(x)的导数，得到f'(x)=3x^2-6x+2。
利用导数研究函数的极值
题型五.函数的极值与最值的综合应用
例9. 已知f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1和x=2时取得极值.
(1). 求a、b的值； (2). 若对于x∈[0, 3]，都有f(x)<c2，求c的取值范围. 例10.已知f(x)是[-e,0) (0,e]上的奇函数，当x∈(0, e]时, f(x)=ax+lnx; (1)求f(x)的解析式； ln x 1 ,求证:当x (0, e]时f (x) g(x) 恒成立 . (2)若a=-1, g(x) x 2
一.函数极值的概念
2. 极值与导数的关系：
(2). “f '(x0)=0”与“ x0是f(x)的极值点”的关系？ (3). f(x)的极大值与极小值的关系？
y
f(x) x3
y
g(x) | x |
o
x
o
x
二.求函数极值的方法与步骤 题型一.求函数的极值
例1. 判断下列函数在其定义域内是否有极值？ (1). y=8x3-12x2+6x+1； (2). y=x|x|； (3). y=1-(x-2) .
求f(x)在[a, b]上的最值的步骤：
题型三.求连续函数在闭区间上的最值 (1)求f(x)在开区间(a,b)上的极值；
例6. 求下列函数的最值： (2)求f(a)和f(b)；
1 3 (3)比较f(a)、f(b)与极值，的最值. (1). f(x)= x -4x+4 , x∈[-3, 4] ; 3 x (2). y x ，x∈[0, 2]; e 1 2 (3). y=ln(1+x) - x , x∈[0, e]; 4
(4). 已知x、y∈R+, x2-2x+4y2=0, 求xy的最大值.
利用导数解决函数极值问题的技巧
利用导数解决函数极值问题的技巧在数学中，函数极值问题是一个重要的概念，它可以帮助我们找到函数在某个区间内的最大值或最小值。
导数的应用使这一过程变得更加简单和高效。
本文将介绍一些利用导数解决函数极值问题的技巧。
1. 极值点的定义在深入讨论如何利用导数解决函数极值问题之前，我们首先来了解一下什么是极值点。
对于一个函数f(x)，如果在某一点a处，它的函数值f(a)是在函数的邻域内最大值或最小值，那么我们称a为函数f(x)的极值点。
极大值点指函数在该点处取得最大值，而极小值点指函数在该点处取得最小值。
2. 导数与极值点之间的关系在解决函数的极值问题时，导数是非常重要的工具。
导数能够告诉我们函数在某一点处的斜率，也就是函数值的变化速率。
在函数的极值点，导数的值为零或不存在。
3. 利用导数求取极值点的步骤3.1 求取函数的导数首先，我们需要求取给定函数的导数。
导数代表了函数的变化趋势，通过求导，我们可以得到函数的斜率函数。
3.2 导数的根与极值点导数函数的零点或不存在的点是我们寻找极值点的关键。
当导数为零时，函数的斜率为零，这意味着函数在该点的增长或减少的速度变为了0。
因此，导数为零的点有可能是函数的极值点。
此外，当导数不存在时，也需要进一步研究该点是否是极值点。
导数不存在意味着函数在该点处的切线斜率无限大或无限小，也可能代表极值点的存在。
3.3 寻找极值点找到导数为零或不存在的点后，我们需要通过进一步的计算来判断其是否为极值点。
一种简单的方法是求取二阶导数，即求取一阶导数的导数。
如果二阶导数大于0，那么此点为极小值点；如果二阶导数小于0，那么此点为极大值点；如果二阶导数等于0，那么无法得出明确的结论。
此外，我们还可以通过绘制函数的图像来验证求得的极值点，并进一步分析函数在其他区间的变化情况。
4. 实例演示以函数f(x) = x^3-3x为例来演示如何利用导数解决函数极值问题。
4.1 求取函数的导数f'(x) = 3x^2-34.2 导数的根与极值点令3x^2-3=0，解得x=±1。
利用导数研究函数的极值最值
利用导数研究函数的极值最值导数是研究函数的极值、最值的重要工具之一、通过计算函数的导数，我们可以找到函数的临界点，进而确定函数的极值和最值。
极值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
极大值是函数在其中一点上取得的最大值，极小值是函数在其中一点上取得的最小值。
首先，我们可以通过计算函数的导数来找到函数的临界点。
临界点是函数导数等于0的点，也包括导数不存在的点。
然后，通过进一步的分析，可以确定临界点中的极值点。
假设函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导。
首先，我们需要计算函数f(x)的导数f'(x)。
然后，我们找出导数f'(x)等于0的点，这些点就是函数f(x)的临界点。
接下来，我们进一步分析导数f'(x)的符号。
在临界点两侧，如果导数f'(x)由正变负，则表明在该点上函数f(x)取得极大值；如果导数f'(x)由负变正，则表明在该点上函数f(x)取得极小值。
当然，也可能存在导数f'(x)不存在的点，这些点也是函数的临界点。
最值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。
最大值是函数在定义域内所有点上取得的最大值，最小值是函数在定义域内所有点上取得的最小值。
通过求解函数的导数，我们可以找到函数的临界点。
然后，通过分析函数在临界点、定义域的边界点和导数不存在的点上的取值，可以确定函数的最值。
当函数在闭区间[a,b]上连续时，最大值和最小值一定在定义域的边界点上或者在临界点上取得。
因此，在求解函数最值时，我们需要计算函数在闭区间的端点上的取值，并将其和临界点上的取值相比较。
需要注意的是，导数仅能帮助我们找到函数的临界点，但临界点未必都是极值点。
为了判断极值点是否为极大值或极小值，我们还需要进行二阶导数测试。
如果二阶导数大于0，则表示该点为极小值；如果二阶导数小于0，则表示该点为极大值；如果二阶导数等于0，则需要进行其他方法的分析。
总之，利用导数研究函数的极值、最值是一种有效的方法。
利用导数求函数的变化率和极值
利用导数求函数的变化率和极值在微积分中，导数是非常重要的概念之一。
利用导数可以求解函数在某一点的变化率以及找到函数的极值点。
本文将介绍如何利用导数求函数的变化率和极值，并逐步展示具体的计算方法。
一、函数的变化率函数的变化率描述的是函数在某一点上的变化趋势。
具体来说，若函数f(x)在某一点x=a处可导，则f(x)在x=a处的变化率可以由导数f'(a)来表示。
导数f'(a)表示函数f(x)在x=a处的瞬时变化率。
示例：考虑函数f(x) = 2x^2 + 3x - 1，求该函数在x=2处的变化率。
解：首先，计算函数f(x)的导数f'(x)：f'(x) = 4x + 3然后，计算函数f(x)在x=2处的导数值：f'(2) = 4(2) + 3 = 11因此，函数f(x)在x=2处的变化率为11。
二、函数的极值函数的极值点是指函数在某一区间内取得最大值或最小值的点。
利用导数，我们可以很方便地找到函数的极值点。
具体步骤如下：1. 求解函数的导数f'(x)。
2. 找到导数f'(x)的根，即f'(x)=0的解。
3. 利用二阶导数或者图像等进一步判断每个根对应的点是极大值点还是极小值点。
示例：考虑函数f(x) = x^3 - 3x^2，求该函数的极值点。
解：首先，计算函数f(x)的导数f'(x)：f'(x) = 3x^2 - 6x然后，求解方程f'(x)=0，得到导数f'(x)的根：3x^2 - 6x = 0化简得，x(x - 2) = 0解得x=0和x=2。
接下来，需要判断x=0和x=2所对应的点是极大值点还是极小值点。
为此，求解函数f(x)的二阶导数f''(x)：f''(x) = 6x - 6计算f''(0)和f''(2)：f''(0) = 6(0) - 6 = -6f''(2) = 6(2) - 6 = 6根据二阶导数的正负性可以得知：当f''(x) > 0时，函数在对应的x值处取得极小值；当f''(x) < 0时，函数在对应的x值处取得极大值。
考点 利用导数求函数的单调性、极值、最值
考点：利用导数求函数的单调性、极值、最值知识点1.求函数单调区间的步骤：①确定f(x)的定义域；②求导数y ′；③令y ′>0(y ′<0),解出相应的x 的范围。
当y ′>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当y ′<0时，f(x)在相应区间上是减函数2.求极值常按如下步骤：① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程/y =0的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；④通过列表法, 检查在可能极值点的左右两侧的符号，确定极值点。
3.设函数f(x)在[a,b]上连续,在（a,b ）内可导，求f(x)在[a,b]上的最大（小）值的步骤如下：①求f(x)在(a,b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
4.最值（或极值）点必在下列各种点之中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。
5.求函数f (x )的极值的步骤:①确定函数的定义区间，求导数f ′(x )；②求方程f ′(x )=0的根 ③用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列表.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，若左正右负，则f (x )在这个根处取得极大值；若左负右正，则f (x )在这个根处取得极小值；若左右不改变符号即都正或都负，则f (x )在这个根处无极值例题1. 函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间为_______________．2. 讨论下列函数的单调性：（1）x x a a x f --=)(（0>a 且1≠a ）；（2）)253(log )(2-+=x x x f a （0>a 且1≠a ）；3.求下列函数的极值：（1）x x x f 12)(3-=；（2）x ex x f -=2)(；（3）.212)(2-+=x x x f练习1.下列说法正确的是（ ）A.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极大值B.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极小值C.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极值D.当f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=02.函数y =216x x +的极大值为（ ） A.3 B.4 C.2 D.53.函数y =x 3－3x 的极大值为m ,极小值为n ,则m +n 为（ ）A.0B.1C.2D.44.y =ln 2x +2ln x +2的极小值为（ ）A.e －1B.0C.－1D.15．函数y=xsinx+cosx 在下面哪个区间内是增函数（ ） A.(,) B.(π,2π) C.(,) D.(2π,3π)6．已知函数y=xf′(x)的图象如下图所示（其中f′（x ）是函数f （x ）的导函数）.下面四个图象中y=f （x ）的图象大致是（ ）7.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y 11log 21在区间),0(+∞上是（ ） A ．增函数，且0>y B ．减函数，且0>yC ．增函数，且0<yD ．减函数，且0<y8．函数f (x )=x 3－3x 2+7的极大值为___________.9. 求下列函数的单调区间：（1）32)(24+-=x x x f ； （2）22)(x x x f -=； （3）).0()(>+=b xb x x f10.已知)0()(23≠++=a cx bx ax x f 在1±=x 时取得极值，且1)1(-=f ．（1）试求常数a 、b 、c 的值；（2）试判断1±=x 是函数的极小值还是极大值，并说明理由．11.已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23与x ＝1时都取得极值 （1） 求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间（2） 若对x ∈〔－1，2〕，不等式f （x ）<c 2恒成立，求c 的取值范围．。
利用导数求函数的极值
利用导数求函数的极值
求极值是微积分中一个重要而复杂的问题，导数是一种有效的方法来求解极值。
导数可以通过表示函数变化的快慢和方向，为求解极值提供强有力的理论支持。
求函数的极值，可以先得到函数的导数，然后求函数的导数的零点，它们就是极值点。
求函数的导数，可以根据求导公式，逐项对函数中的每项均求导数，然后根据导数的定义，将求得的分式或分部均化为一个有理式，得到函数的导数。
求函数的导数的零点，也就是求函数的极值点的方法有很多，其中最常用的是图解法、二分法和牛顿法。
图解法是通过函数的前后变化情况来求得函数的极值点。
二分法是它的原理是，取一个函数的的前后的若干点，根据导数的定义，将求得的分式或分部均化为一个有理式，经过不断的二分，得到函数的极值点。
牛顿法是一种采用泰勒展开式，取相邻两个点来线性近似拟合函数，然后反复重复，直至精确求得函数的极值点。
由于极值是特定范围内函数的取值极大或极小的点，所以导数的形变的状态，也是求函数的极值的依据，根据导数的取值来判断函数的取值大小，而且，所有函数极值点都等于零点，可以通过求导数的零点来得到函数极值点。
用导数求函数的极值是一种可行的方法，它可以正确准确的得到函数极值点。
总而言之，用导数求函数的极值，不仅可以准确求解函数极值点，而且还能依据函数的变化形态来判断函数的局部最值，是使用频繁的方法之一。
利用导数求解函数的极值与最值
利用导数求解函数的极值与最值函数的极值与最值是高中数学中的重要概念之一。
在数学中，我们通过求函数的导数来研究函数的极值与最值。
本文将详细讨论如何利用导数求解函数的极值与最值的方法。
一、函数的极值当函数在某一点处的导数等于零或者不存在时，该点可能为函数的极值点。
具体而言，我们可根据导数的符号变化来判断函数的极值。
1. 当导数的符号从正变负时，函数在该点处取得极大值；2. 当导数的符号从负变正时，函数在该点处取得极小值；3. 当导数的符号不变，或者导数不存在时，函数在该点处可能为极值点，需通过其他方法进行判断。
二、求解函数的极值的步骤下面我们将通过一个具体的例子来介绍如何求解函数的极值。
例：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x的极值。
步骤一：求导数首先，对函数f(x)求导数，得到f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
步骤二：解方程f'(x) = 0，得到导数等于零的解对f'(x) = 0进行因式分解，得到(3x - 3)(x - 3) = 0。
解得x = 1或x = 3。
步骤三：求解极值将求得的解代入原函数f(x)，计算函数值。
当x = 1时，f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 4；当x = 3时，f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) = 0。
根据我们上文对导数符号变化的判断方法，我们可得出以下结论：当x = 1时，函数取得极小值；当x = 3时，函数取得极大值。
三、函数的最值函数的最值可以通过求解函数的极值来得到。
通常情况下，我们还需要考虑函数在定义域的端点处的取值。
例：求函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1在区间[0, 2]上的最大值和最小值。
步骤一：求导数对函数f(x)求导数，得到f'(x) = 4x - 4。
步骤二：求解极值将导数f'(x) = 0，解得x = 1。
步骤三：求解函数在区间端点处的取值将x = 0和x = 2代入原函数f(x)，计算函数值。
求极值的方法
求极值的方法一、导数法。
求极值的常用方法之一是利用导数。
对于给定的函数，我们可以通过求导数来找到函数的驻点和拐点，进而确定函数的极值点。
具体步骤如下：1. 求出函数的导数；2. 解出导数为0的方程，得到函数的驻点；3. 利用二阶导数的符号来判断驻点的类型，从而确定函数的极值。
二、边界法。
对于定义在闭区间上的函数，我们可以通过边界法来求取函数的极值。
具体步骤如下：1. 求出函数在闭区间端点处的函数值；2. 求出函数在闭区间内部的驻点；3. 比较上述所有点的函数值，最大值即为函数的最大值，最小值即为函数的最小值。
三、拉格朗日乘数法。
对于带有约束条件的极值问题，我们可以使用拉格朗日乘数法来求解。
具体步骤如下：1. 根据约束条件建立拉格朗日函数；2. 求出拉格朗日函数的偏导数，并令其等于0；3. 解方程组，得到极值点。
四、牛顿法。
对于无法通过导数法求解的函数，我们可以使用牛顿法来求取函数的极值。
具体步骤如下：1. 选取一个初始点，计算函数在该点的函数值和导数值；2. 根据函数值和导数值，利用牛顿迭代公式来更新下一个点；3. 重复上述步骤，直到满足精度要求为止。
五、全局优化方法。
对于复杂的多维函数，我们可以利用全局优化方法来求取函数的全局极值。
常见的全局优化方法包括遗传算法、模拟退火算法、粒子群算法等。
总结。
求极值是数学中的一个重要问题，我们可以利用导数法、边界法、拉格朗日乘数法、牛顿法以及全局优化方法来求解。
不同的方法适用于不同的函数和问题，我们需要根据具体情况来选择合适的方法。
希望本文对读者有所帮助，谢谢阅读！。
求函数极值的若干方法
求函数极值的若干方法函数极值是数学中一个重要的概念，用于描述函数在一些点上取得的最大值或最小值。
求函数极值的方法有很多种，下面将介绍一些常见的方法，包括微积分法和图像法。
一、微积分法1.导数法：函数在极值点上的导数为0，因此可以通过求导数的方法来寻找函数的极值点。
具体步骤如下：a.首先求出函数的导数；b.解方程f'(x)=0，求出所有导数为0的点，这些点就是函数的可能极值点；c.求出这些可能极值点对应的函数值，找出最大值或者最小值。
2.二阶导数法：函数在极值点上的二阶导数有特殊的性质。
具体步骤如下：a.首先求出函数的导数和二阶导数；b.解方程f'(x)=0，求出所有导数为0的点，这些点就是函数的可能极值点；c.计算这些可能极值点对应的二阶导数的值。
如果f''(x)>0，则函数在该点上有极小值；如果f''(x)<0，则函数在该点上有极大值。
3.极值判别法：对于一些特殊的函数，可以利用极值判别法来判断函数的极值。
常见的极值判别法有如下几种：a.变号法：判断函数在极值点左右两侧的变化趋势，如果左侧是增量，右侧是减量，则函数在该点上有极大值；如果左侧是减量，右侧是增量，则函数在该点上有极小值。
b.拐点法：寻找函数的拐点，拐点是函数的导数的极值点。
如果函数在拐点上的二阶导数大于0，则函数在该点上有极小值；如果函数在拐点上的二阶导数小于0，则函数在该点上有极大值。
c.边界法：求解函数在区间的边界点上的函数值，将这些函数值与函数的内部极值点的函数值比较，找出最大值或最小值。
二、图像法1.函数图像法：通过观察函数的图像来估计函数的极值点。
函数的极值点对应函数图像上的最高点或最低点。
2.导数图像法：通过观察函数的导数图像来判断函数的极值点。
导数的图像上的极值点对应原函数的极值点。
需要注意的是，以上的方法仅仅是一些基本的求函数极值的方法，对于特殊的函数，可能需要应用更复杂的方法来求解。
高考数学专题：利用导数研究函数的极值、最值
高考数学专题：利用导数研究函数的极值、最值考点一 用导数研究函数的极值 【例1】 求下列函数的极值： (1)f (x )＝x 2－2x －4ln x ；(2)f (x )＝ax 3－3x 2＋1－3a (a ∈R 且a ≠0). 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x ，令f ′(x )＝0得x ＝2或－1(舍).随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴f (x )有极小值f (2)(2)由题设知a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a .令f ′(x )＝0得x ＝0或2a .当a >0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴f (x )极大值＝f (0)＝1－3a ， f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝－4a 2－3a ＋1.当a <0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴f (x )极大值＝f (0)＝1－3a ，f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝－4a 2－3a ＋1.综上，f (x )极大值＝f (0)＝1－3a ， f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＝－4a 2－3a ＋1.规律方法 函数极值的两类热点问题(1)求函数f (x )极值这类问题的一般解题步骤为：①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值. (2)由函数极值求参数的值或范围.讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f ′(x )＝0根的有无(个数).然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号.【训练1】 (1)设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c .若f (x )在R 上无极值点，则实数a 的取值范围为________.(2)设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A.a >－3 B.a <－3 C.a >－13D.a <－13解析 (1)由题得f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.若f (x )在R 上无极值点，则f (x )在R 上是单调函数，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立. ①当a ＝0时，f ′(x )＝－4x ＋1，显然不满足条件；②当a ≠0时，f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43.综上，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.(2)y ′＝f ′(x )＝a e ax ＋3，当a ≥0时，f ′(x )>0在R 上恒成立，∴f (x )无极值点； 当a <0时，令f ′(x )＝0得x ＝1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a ，∴1a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a >0得a <－3，故选B.答案 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ (2)B考点二 利用导数研究函数的最值【例2】 （·郑州质检)已知函数f (x )＝(4x 2＋4ax ＋a 2)x ，其中a ＜0. (1)当a ＝－4时，求f (x )的单调递增区间； (2)若f (x )在区间[1，4]上的最小值为8，求a 的值. 解 (1)当a ＝－4时，由f ′(x )＝2（5x －2）（x －2）x＝0得x ＝25或x ＝2，由f ′(x )＞0得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25或x ∈(2，＋∞)，故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25和(2，＋∞).(2)因为f ′(x )＝（10x ＋a ）（2x ＋a ）2x，a ＜0，由f ′(x )＝0得x ＝－a 10或x ＝－a2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 10时，f (x )单调递增.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a10，－a 2时，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f (x )单调递增.易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0.①当－a2≤1时，即－2≤a ＜0时，f (x )在[1，4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a ＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意. ②当1＜－a2≤4时，即－8≤a ＜－2时，f (x )在[1，4]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0，不符合题意.③当－a2＞4时，即a ＜－8时，f (x )在[1，4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4处取得，而f (1)≠8， 由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)，当a ＝－10时，f (x )在(1，4)上单调递减，f (x )在[1，4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意. 综上有，a ＝－10.规律方法 (1)求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤：①求函数在(a ，b )内的极值；②求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；③将函数f (x )的极值与 f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(2)含参数的函数的最值一般不通过比值求解，而是先讨论函数的单调性，再根据单调性求出最值.含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间，二是定极值点动区间，这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论. 【训练2】 已知函数f (x )＝(ax －2)e x 在x ＝1处取得极值. (1)求a 的值；(2)求函数在区间[m ，m ＋1]上的最小值. 解 (1)f ′(x )＝(ax ＋a －2)e x ， 由已知得f ′(1)＝(a ＋a －2)e ＝0， 解得a ＝1，经检验a ＝1符合题意， 所以a 的值为1.(2)由(1)得f (x )＝(x －2)e x ，f ′(x )＝(x －1)e x . 令f ′(x )>0得x >1，令f ′(x )<0得x <1.所以函数f (x )在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增.当m ≥1时，f (x )在[m ，m ＋1]上递增，f (x )min ＝f (m )＝(m －2)e m ，当0<m <1时，f (x )在[m ，1]上递减，在(1，m ＋1]上递增，f (x )min ＝f (1)＝－e. 当m ≤0时，m ＋1≤1，f (x )在[m ，m ＋1]上单调递减， f (x )min ＝f (m ＋1)＝(m －1)e m ＋1. 综上，f (x )在[m ，m ＋1]上的最小值为f (x )min ＝⎩⎨⎧（m －2）e m ，m ≥1－e ，0<m <1，（m －1）e m ＋1，m ≤0.考点三用导数解决函数的优化问题【例3】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解(1)因为x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2.(2)由(1)知，该商品每日的销售量为y＝2x－3＋10(x－6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)＝(x－3)[2x－3＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6.从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6).于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3，4)4(4，6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.规律方法函数的优化问题即实际问题中的最值问题，其一般解题步骤为：一设：设出自变量、因变量；二列：列出函数关系式，并写出定义域；三解：解出函数的最值，一般常用导数求解；四答：回答实际问题.【训练3】要做一个圆锥形漏斗，其母线长为30 cm，要使其体积最大，则其高应为()A.12 3 cmB.10 3 cmC.8 3 cmD.5 3 cm解析设圆锥的高为x cm，则底面半径为900－x2，∴圆锥体积V＝13π(900－x2)·x(0<x<30)，∴V′＝π(300－x2)，令V′＝0得x＝10 3.当0<x<103时，V′>0；当103<x<30时，V′<0，∴当x＝103时，V取最大值.答案 B[思想方法]1.求函数的极值、最值，通常转化为对函数的单调性的分析讨论，所以，研究函数的单调性、极值、最值归根结底都是对函数单调性的研究.2.研究函数的性质借助数形结合的方法有助于问题的解决.函数的单调性常借助导函数的图象分析导数的正负；函数的极值常借助导函数的图象分析导函数的变号零点；函数的最值常借助原函数图象来分析最值点.3.解函数的优化问题关键是从实际问题中抽象出函数关系，并求出函数的最值.[易错防范]1.求函数的极值、函数的优化问题易忽视函数的定义域.2.已知极值点求参数时，由极值点处导数为0求出参数后，易忽视对极值点两侧导数异号的检验.3.由极值、最值求参数时，易忽视参数应满足的前提范围(如定义域)，导致出现了增解.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.（·四川卷)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝()A.－4B.－2C.4D.2解析f′(x)＝3x2－12，∴x<－2时，f′(x)>0，－2<x<2时，f′(x)<0，x>2时，f ′(x )>0，∴x ＝2是f (x )的极小值点. 答案 D2.函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( ) A.12B.1C.0D.不存在解析 f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12. 答案 A3.（·合肥模拟)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( ) A.23 B.43 C.83D.163解析 由图象可知f (x )的图象过点(1，0)与(2，0)，x 1，x 2是函数f (x )的极值点，因此1＋b ＋c ＝0，8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2，所以f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.x 1，x 2是方程f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0的两根，因此x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83. 答案 C4.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为( ) A.3B.4C.6D.5解析 设圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，则V ＝πR 2l ＝27π，∴l ＝27R 2，要使用料最省，只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和S 最小. 由题意，S ＝πR 2＋2πRl ＝πR 2＋2π·27R .∴S ′＝2πR －54πR 2，令S ′＝0，得R ＝3，则当R ＝3时，S 最小.故选A. 答案 A5.（·东北四校联考)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A.(－1，2) B.(－∞，－3)∪(6，＋∞) C.(－3，6)D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根. ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0， ∴a >6或a <－3. 答案 B 二、填空题6.（·肇庆模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________.解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3.依题意知，－3是方程f ′(x )＝0的根， 所以3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5. 经检验，a ＝5时，f (x )在x ＝－3处取得极值. 答案 57.（·北京卷改编)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x >0，则f (x )的最大值为________.解析 当x >0时，f (x )＝－2x <0；当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，当x <－1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，当－1<x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数.∴f (x )≤f (－1)＝2，∴f (x )的最大值为2. 答案 28.设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________. 解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a . ∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵x >0时，－e x <－1，∴a ＝－e x <－1. 答案 (－∞，－1) 三、解答题9.（·安徽卷)已知函数f(x)＝ax（x＋r）2(a>0，r>0).(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若ar＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值.解(1)由题意可知x≠－r，所求的定义域为(－∞，－r)∪(－r，＋∞).f(x)＝ax（x＋r）2＝axx2＋2rx＋r2，f′(x)＝a（x2＋2rx＋r2）－ax（2x＋2r）（x2＋2rx＋r2）2＝a（r－x）（x＋r）（x＋r）4.所以当x<－r或x>r时，f′(x)<0；当－r<x<r时，f′(x)>0.因此，f(x)的单调递减区间为(－∞，－r)，(r，＋∞)；f(x)的单调递增区间为(－r，r).(2)由(1)的解答可知f′(r)＝0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，＋∞)上单调递减. 因此，x＝r是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0，＋∞)内的极大值为f(r)＝ar（2r）2＝a4r＝4004＝100，f(x)在(0，＋∞)内无极小值；综上，f(x)在(0，＋∞)内极大值为100，无极小值. 10.已知函数f(x)＝(x－k)e x.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值.解(1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)e x.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)随x的变化情况如下表：所以，f(x)(2)当k－1≤0，即k≤1时，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当0<k －1<1，即1<k <2时，f (x )在[0，k －1]上单调递减，在[k －1，1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1； 当k －1≥1，即k ≥2时，f (x )在[0，1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e. 综上，当k ≤1时，f (x )在[0，1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当1<k <2时，f (x )在[0，1]上的最小值为 f (k －1)＝－e k －1；当k ≥2时，f (x )在[0，1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.（·石家庄质检)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为( ) A.2B.3C.6D.9解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，则a ＋b ＝6， 又a >0，b >0，则t ＝ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号. 答案 D12.（·长沙调研)若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( ) A.[－5，0) B.(－5，0) C.[－3，0)D.(－3，0)解析 由题意，f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示. 令13x 3＋x 2－23＝－23得，x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，⎩⎨⎧－3≤a <0，a ＋5>0，解得a ∈[－3，0)，故选C. 答案 C13.函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递减区间是________.解析 令f ′(x )＝3x 2－3a ＝0，得x ＝±a ， 则f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：从而⎩⎨⎧（a ）3－3a a ＋b ＝2，⎩b ＝4.所以f (x )的单调递减区间是(－1，1). 答案 (－1，1)14.（·济南模拟)设函数f (x )＝ln(x ＋a )＋x 2.(1)若当x ＝－1时，f (x )取得极值，求a 的值，并讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于ln e 2. 解 (1)f ′(x )＝1x ＋a＋2x ，依题意，有f ′(－1)＝0，故a ＝32. 从而f ′(x )＝（2x ＋1）（x ＋1）x ＋32，且f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞， 当－32<x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <－12时，f ′(x )<0； 当x >－12时，f ′(x )>0.∴f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12上单调递减.(2)f (x )的定义域为(－a ，＋∞)，f ′(x )＝2x 2＋2ax ＋1x ＋a .方程2x 2＋2ax ＋1＝0的判别式Δ＝4a 2－8，①若Δ≤0，即－2≤a ≤2时，f ′(x )≥0，故f (x )无极值.②若Δ>0，即a <－2或a >2，则2x 2＋2ax ＋1＝0有两个不同的实根，x 1＝－a －a 2－22，x 2＝－a ＋a 2－22.当a <－2时，x 1<－a ，x 2<－a ， 故f ′(x )>0在定义域上恒成立， 故f (x )无极值.当a >2时，－a <x 1<x 2，故f (x )在(－a ，x 1)上递增，(x 1，x 2)上递减，(x 2，＋∞)上递增. 故f (x )在x ＝x 1，x ＝x 2取得极值.综上，f (x )存在极值时，a 的取值范围为(2，＋∞). 由上可知，x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝12.所以，f (x )的极值之和为f (x 1)＋f (x 2)＝ln(x 1＋a )＋x 21＋ln(x 2＋a )＋x 22 ＝ln(－x 2)＋ln(－x 1)＋(x 21＋x 22)＝ln(x 1x 2)＋(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝ln 12＋a 2－1>ln 12＋(2)2－1＝ln e 2.。
导数求极值的方法
导数求极值的方法宝子们，今天咱们来唠唠导数求极值这个超酷的数学方法。
导数呢，就像是一个函数的小跟班，能告诉我们函数的好多小秘密。
那怎么用导数求极值呢？咱先得求出函数的导数。
这就好比是要找到函数变化的小线索。
比如说，有个函数f(x)，求出它的导数f'(x)。
这个导数啊，它反映了函数的斜率变化情况。
当导数f'(x) = 0的时候，这可是个关键的点哦。
这个点就像是函数的一个小站台，函数在这里可能会有极值。
为啥这么说呢？你想啊，导数是斜率嘛，如果斜率为0，那就说明函数在这个地方可能是到了“山顶”或者“山谷”，也就是极大值或者极小值的地方。
不过呢，这里面也有小陷阱。
当f'(x) = 0的点找出来后，咱还得看看这个点周围导数的情况。
如果在这个点的左边，导数是正的，右边是负的，那这个点就是极大值点。
就好像你爬山，爬到一个地方，左边是在往上爬（导数正），右边是在往下走（导数负），那这个地方就是山顶，是极大值啦。
反过来，如果左边导数是负的，右边是正的，这个点就是极小值点，就像到了山谷底部一样。
咱再举个小例子哈。
比如说函数f(x)=x^2，它的导数f'(x)=2x。
当f'(x)=0的时候呢，2x = 0，解得x = 0。
那我们再看x = 0周围，当x<0的时候，f'(x)<0，当x>0的时候，f'(x)>0，所以x = 0这个点就是极小值点，函数在这个点的值f(0)=0就是极小值。
宝子们，导数求极值其实也没有那么难啦，只要掌握了这个小窍门，就像拿到了打开函数极值大门的小钥匙。
多做几道题，你就会发现其中的乐趣啦，加油哦。
利用导数求函数极值
利用导数求函数极值函数极值是数学中的一个重要概念，它描述了函数在其定义域内的最大值和最小值。
为了确定函数的极值点，我们可以使用导数的概念和求导的方法。
本文将介绍如何利用导数求函数极值。
一、导数的定义在开始讲解之前，我们先来回顾一下导数的定义。
对于函数y = f(x)，在某一点x处的导数可以表示为f'(x)，它的定义如下：f'(x) = lim(h->0) [f(x + h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示一个无穷小的增量。
这个极限表示的是函数在点x处的切线斜率。
当导数为正时，函数呈现上升趋势；当导数为负时，函数呈现下降趋势。
而极值点就是在导数变号的地方。
二、求解极值的步骤为了求解函数的极值，我们可以遵循以下步骤：1. 求解导函数首先，我们需要求解原函数的导函数。
导函数是通过求原函数的导数得到的，即将原函数中的自变量进行求导。
2. 求解导函数的零点接下来，我们需要求解导函数的零点，即令导函数等于零，解出自变量的值。
这些零点就是可能的极值点。
3. 判断极值类型通过对导函数的零点进行二阶导数的正负性判断，可以确定每个零点处的极值的类型。
当二阶导数大于零时，表示该点为极小值；当二阶导数小于零时，表示该点为极大值。
三、举例说明为了更好地理解如何利用导数求函数极值，我们举一个具体的例子来说明。
例题：求函数y = x^2 - 4x + 3的极值点及极值类型。
解答：1. 求解导函数：首先，我们需要求解原函数的导函数。
对函数y = x^2 - 4x + 3求导得到导函数y' = 2x - 4。
2. 求解导函数的零点：令导函数等于零，解方程2x - 4 = 0得到x = 2。
所以x = 2是一个可能的极值点。
3. 判断极值类型：对导函数y' = 2x - 4求二阶导数得到y'' = 2。
由于二阶导数大于零，即y'' > 0，所以x = 2处为极小值。
用导数求函数极值
①首先确定函数定义域。
②二次函数通过配方或分解因式可求极值。
③通过求导是求极值最常用方法。
f'(x)=0，则此时有极值。
>0为↑
<0为↓
判断是极大还是极小值。
例如：
①求函数的二阶导数，将极值点代入，二级导数值>0
为极小值点，反之为极大值点
二级导数值=0，有可能不是极值点；
②判断极值点左右邻域的导数值的正负：左+右-
为极大值点，左-右+
为极小值点，左右正负不变，不是极值点。
极大值和极小值
也可以为集合定义极大值和极小值。
一般来说，如果有序集S具有极大的元素m，则m是极大元素。
此外，如果S是有序集T的子集，并且m是相对于由T诱导的阶数的S的极大元素，则m是T中S的极小上限。
类似的结果适用于极小元素，极小元素和极大的下限。
在一般的部分顺序的情况下，极小元素（小于所有其他元素）不应该与极小元素混淆（没有更小）。
同样，部分有序集合（poset）的极大元素是集合中包含的集合的上限，而集合A的极大元素m是A的元素，使得如果m≤b（对于任何b在A）然后m = b。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y
f (x) 0
f (x) 0
f ( x0 ) 0
o
a
X0
b
x
同理, 如上图所示,若x0是f(x)极小值点, 则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数, 即 f ’(x) <0; 在x0的右侧附近只能是增函数, 即 f ’(x) >0.
从而我们得出结论:若x0满足f ’(x) =0, 且在x0的两侧的导数异号, 则x0是f(x)的极 值点, f(x0)是极值,并且如果f ’(x)在x0两侧满 足“左正右负”, 则x0是f(x)的极大值点, f(x0)是极大值; 如果f ’(x) 在x0两侧满足“左 负右正”, 则x0是f(x)的极小值点, f(x0)是极 小值从. 曲线的切线角度看,曲线在极值点处
及求可导函数的极值的步骤.
教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可
导函数的极值的步骤.
教学目标
利用函数的导数来研究函数y=f(x)的单调 性这个问题.其基本的步骤为:
①求函数的定义域; ②求函数的导数f ’(x) ;
③解不等式f ’(x)>0得f(x)的单调递增区间; 解不等式f ’(x) <0得f(x)的单调递减区间.
在定义中,取得极值的点称为极值点,极值 点是自变量的值,极值指的是对应的函数值.
请注意以下几点: (1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是 某个点的函数值与它附近点的函数值比较是 最大或最小.并不意味着它在函数的整个的 定义域内最大或最小.也就是说极值与最值 是两个不同的概念. (2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在 某区间上或定义域内极大值或极小值可以 不止一个.
右图为函数y=2x3－6x2+7 y
的图象,从图象我们可以看出
下面的结论:
2
x
0
函数在x=0的函数值比它附近所有各点
的函数值都大，我们说f (0)是函数的一个
极大值；
函数在x=2的函数值比它附近所有各点
的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个
极小值。
课前预习
函数的极值:
一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定 义, 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数 值都大, 我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极 大值; 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函 数值都小, 我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个 极小值. 极大值与极小值统称极值.
假设x0使f ’(x) =0 .那么在什么情况下x0 是f(x)的极值点呢？
y
f (x0) 0
f (x) 0 f (x) 0
oa
X00
b
x
如上图所示,若x0是f(x)的极大值点, 则x0 两侧附近点的函数值必须小于f(x0) . 因此, x0的左侧附近f(x)只能是增函数, 即f ’(x) >0; x0的右侧附近f(x)只能是减函数, 即f ’(x) <0.
如何求函数的最大（小）值呢？
假设y=f(x)在闭区间[a，b]上的图象是 一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b] 一定能够取得最大值与最小值，函数的最 值必在极值点或区间端点取得。由于可导 函数在区间(a，b)内的极值只可能在使 f ’(x)=0的点取得，因此把函数在区间端点 的值与区间内使f ’(x)=0的点的值作比较， 最大者必为函数在[a，b]上的最大值，最 小者必为最小值。
(3)极大值与极小值之间无确定的大小 关系.即一个函数的极大值未必大于极小值, 如下图所示, x1是极大值点, x4是极小值点, 而f(x4)>f(x1).
y
f ( x4 ) f ( x1 )
o a X1
X2
X3 X4 b
x
(4)函数的极值点一定出现在区间的内 部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取 得最大值、最小值的点可能在区间的内部, 也可能在区间的端点.
在上节课中,我们是利用函数的导数来 研究函数的单调性的.下面我们利用函数的 导数来研究函数的极值问题.
由上图可以看出, 在函数取得极值处, 如果曲线有切线的话, 则切线是水平的,从 而有f ’(x) =0 .但反过来不一定.
如函数y=x3, 在x=0处, 曲线的切线是水 平的, 但这点的函数值既不比它附近的点 的函数值大,也不比它附近的点的函数值小.
求函数y=f(x)在[a，b]的最大（小）值 步骤如下：
（1）求函数f(x)在开区间(a，b)内所有 使f ’(x)=0的点；
（2）计算函数f(x)在区间内使f ’(x)=0的 所有点和端点的函数值，其中最大的一个 为最大值，最小的一个为最小值。
1
例1．已知函数y= 3 x3－4x+4， （1）求函数的极值，并画出函数的大致 图象； （2）求函数在区间[－3，4]上的最大值和 最小值 解：（1）y’=( 1 x3－4x+4)’=x2－4
切线的斜率为0, 并且,曲线在极大值点左侧
切线的斜率为正,右侧为负; 曲线在极小值
点左侧切线的斜率为负,右侧为正.
求函数y=f(x)的极值f(x0)，并判别f(x0) 是极大(小)值的方法是:
（1）求导数f ’(x); （2）求方程f’(x)=0的所有实数根;
(3) 如果在根x0附近的左侧 f ’(x) >0, 右 侧f ’(x) <0, 那么, f(x0)是极大值;
(4) 如果在根x0附近的左侧f ’(x) <0, 右 侧f ’(x) >0, 那么, f(x0)是极小值.
如果在f’(x(x0)不是极值. 即:f’(x)=0的根不一定都是函数的极值点。 由此可见，可导函数f(x)在点x0取得极值 的充分必要条件是f’(x0)=0，且在x0左侧 与右侧，f’(x)的符号不同。很明显， f’(x0)=0是x0为极值点的必要条件， 并非充分条件。
教学目标
知识与技能目标：理解极大值、极小值的概
念；能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数 的极值；掌握求可导函数极值的步骤；
过程与方法目标：多让学生举例说明，培养
他们的辨析能力，以及培养他们分析问题和解决问 题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，
激发学生学习数学的兴趣.
教学重难点
教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以
3
=(x+2)(x－2)
令y’=0，解得x1=－2，x2=2