4.弯曲内力典型习题解析

F Ay = qa ， FCy = 2qa
2、将梁分成 AB、BC 和 CD 三个区段 以 A 为原点，向右取 x 坐标。 AB 段，如图 d：
FS = FAy = qa ，( 0 < x < a )
1
M = FAy x = qax ，( 0 ≤ x ≤ a )
BC 段，如图 e：
FS = FAy − q × ( x − a ) = q(2a − x) ，( a < x < 2a )
max
= qa
BC 力区， FS 为斜线，正值， M 图为二次抛物线，C 处 M 值等于零。 CD 力区， FS 为斜线，负值， M 图为二次抛物线。 DE 力区， FS 为正常数， M 图为斜线。 M
max
=
qa 2 。 2
讨论： 作刚架内力图时充分利用刚架的几何对称性、 载荷的对称性或反对称性可以大大降低 工作量。
M = FAy x + q ( x − a )( x − a )/2 = q ( x 2 + a 2 )/2 ，( a ≤ x ≤ 2a )
CD 段，如图 f：
FS = FAy − q × ( x − a) − F = q(a − x) ，( 2a < x < 3a )
M = FAy x + q ( x − a )( x − a )/2 = q ( x 2 + a 2 )/2 ，( 2a ≤ x ≤ 3a )
qa2 A FAy a a B C FCy a q D
FS
(+)
3 qa 4
(-)
qa
(+) 1 qa 4
x
M
3 qa2 4
(+)
1 qa2 4
(-)
1 2 qa 2
x
题2图 解题分析：不分段列剪力、弯矩方程，只计算特殊截面处的剪力、弯矩值，根据规律连线。 解：1、求支反力
FAy = 3 4 qa , FCy = qa 4 5
max
及M
max
，B 处是中间铰。 q
A a B a C 3 2 Me= 2 qa D x a
解题分析：梁上有中间铰时，先自铰处将梁拆分。中 间铰可以传递力，但不能传递弯矩，所以中间铰处弯 矩一定为零。 解： 1、求支反力 在中间铰 B 处将梁拆开两部分，铰处互相作用
MA
(a)
FBy q Me
力用 FBy 代替，如图 b 所示。
qa ，直线； 4
DE 力区， FN = −qa ，直线。 3、作 FS 图 AB 力区， q = 0 ， FS = −
qa 直线 4
6
BD 力区， q 等于负常数， FS 图为斜线， FS DE 力区， q = 0 ， FS = 4、作 M 图 AB 力区， FS 为负常数， M 图为斜线。
qa 直线 4
弯曲内力
典型习题解析
1 作图示简支梁的剪力图和弯矩图，并求出 FS
max
和M
max
。
q
F=qa D a FDy
(d)
A FAy
FS
M
(a)
A FAy a
B a
C
x
q
Fs
(e)
qa
A FAy x
B
FS
M
(b)
(+)
qa 3qa2/2
(-)
2qa
x A FAy
q
F=qa FS M
M
(f)
qa2 q
B x
5
FS
max
=
q0 l ， 4
M
max
=
1 q0l 2 12
5 作图示刚架的内力图 q
FCx B 2a a C a D B C FCy
FAx
A FAy qa
E FEy
FEx
FAx
FAy
A
B
C
D qa/4
B
C
D qa2/2
B
qa2/2
C
qa2/2
D qa
(-)
(FN) (-)
E
(-)
(FS)
qa (+)
2、计算特殊截面剪力值 将梁分为三个区段计算每个截面的 FS 值。集中力作用截面的左、右两侧 FS 值不同。
FSA左 = 0， FSA右 = FSB左 = 3 qa 4
3 1 qa， FSB右 = − qa 4 4 1 qa， FSC右 = qa 4
FSC左 = − FSD = 0
3、计算特殊截面弯矩值 计算前述特殊截面处的 M 值。集中力偶作用截面的左、右两侧的 M 值不同。
M ( x) = − FD ×
(b) 1 qa 4 x
7 qa 4 (c)
M
3 qa 4
7 2 qa 4
1 2 qa 4
1 1 qa − qx = 0 ，得 x = a ，代入弯 4 4
x 1 qa2 5 2 32 qa 4
(d) 题3图
1 1 a 1 a + q( ) 2 = qa 2 4 2 4 32
qa
0
qa
qa 2
qa
qa 2
3 2 qa 2
3 2 qa 2
3、根据载荷情况及微分关系，判断各力区的内力图形状，并以相应的图线连接起来， 得到剪力图和弯矩图。 力区 载荷 FS M A 截面 FAy向上 突跳FAy 0 AB q=0
水平(+)
B 截面 无集中力 连续 相切
BC q=负常数 下斜线(+) 上凸抛物线
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FDy =
1 7 7 qa, F Ay = FBy = qa, M A = qa 2 4 4 4
FS
FAy
FBy
FDy
2、将梁分为 AB、BC、CD 三个区段，计算 A、 B、C、D 截面处的内力值。 3、根据载荷集度与剪力、弯矩之间的微分关系， 判断各区段的内力图形状，并用图线连接。 4、CD 段剪力有零点，根据左负右正，判断弯矩 图有极小值。 令 FS ( x) = 矩方程
C
(c)
(+)
x
题1图 解题分析：作剪力、弯矩图的基本方法是写出每一段梁上的剪力、弯矩方程，根据方程描点 作图。在能熟练地作剪力、弯矩图后，可采用如下简便作图法：在表中列出特殊截面（如有 位移约束的截面、集中力作用截面等的剪力、弯矩值，再根据载荷集度与剪力、弯矩之间的 微分关系判断各区段的内力图形状， 连线相邻特殊截面对应的点。 下面按两种方法分别作图。 解 I：1、求支反力
3、按照步骤 2 所得各段梁的剪力、弯矩方程画出剪力图和弯矩图，如图 b 和图 c。 4、计算剪力和弯矩的最大值
FS
max
= 2qa ，
M
max
=
3 2 qa 2
解 II：1、计算支反力
F Ay = qa ， FCy
= 2qa
2、将梁分为 AB、BC、CD 三个区段，计算每个区段起点和终点的力值。 力区 起终点 FS M A右 AB B左 B右 BC C左 0 C右 - qa CD D左 -2 qa 0
(M)
A qa
qa
A qa/4
E
qa/4
A
E
题5图
解题分析：刚架有中间铰，自铰处拆开，先求支反力，然后根据对称规律作剪力、弯矩图。 铰处无集中载荷时，铰两侧轴力、剪力图连续，弯矩为零。 解：1、求支反力 由于对称
F Ay = FEy = qa
在 C 铰处拆开，得：
F Ax = qa = FEx 4
2、作 FN 图 AB 力区， FN = −qa ，直线； BC，CD 力区， FN = −
l 处 M 为极大值。 2 q l 1 l 1 q0 l ( ) − 0 ( ) 3 = q0 l 2 4 2 3l 2 12
M max =
3、作 FS 、 M 图 AB 段， FS 图为二次抛物线， M 图为三次抛物线。 BC 段， FS 图与 AB 段反对称， M 图与 AB 段对称。 4、计算最大剪力弯矩值
MA =0 M B左 =
3 2 1 qa ， M B右 = − qa 2 4 4
3
MC = − MD =0
1 2 qa 2
CD 段是二次抛物线，抛物线上有极值时应求出。 4、计算最大剪力和弯矩值
FS
max
= qa ，
M
max
=
3 2 qa 4
讨论：采用上述作图法不能遗漏代表点，包括载荷变化点、约束点。计算极值弯矩时，可以 先找出该区段剪力为零的截面， 该截面处的弯矩即为极值弯矩。 也可以借助该区段的弯矩方 程计算极值。 3 作图示梁的剪力图和弯矩图，并求出 FS
F Ay = FCy =
1 q0l 4
2、列 FS 、 M 方程
q( x) = q 0
FS1 ( x) = M 1 ( x) = x=
2x l
1 x2 1 1 q 0 l − q( x) x = q 0 l − q 0 4 l 4 2 q 1 x x q q 0 lx − q( x) ⋅ = 0 lx − 0 x 3 4 2 3 4 3l l (0 < x < ) 2 l (0 ≤ x ≤ ) 2
5、计算最大剪力、弯矩值
FS
max
=
7 qa ， 4
M
max
=
7 2 qa 4
4
4 试作图示梁的剪力图和弯矩图
q(x) q0
A x FAy q0l/4 l/2
B l/2
C FCy
(+) (-)
q0l/4 q0l2/12
(+)
题4图 解题分析：对于三角形分布载荷，先列出q(x)和q0的关系，再列出剪力、弯矩方程。结构和 载荷均对称时，弯矩图对称，剪力图反对称。所以，只须取左半边作图，然后根据上述对称 反对称关系，画出另一半剪力、弯矩图。 解： 1、求支反力
C 截面 F 向下 突减 F 转折
CD q=负常数 下斜线(-) 上凸抛物线
D 截面 FDy向上 突跳FDy 0
上斜线
4、计算剪力弯矩最大值
FS
max
= 2qa ，
M
max
=
3 2 qa 2
讨论：利用剪力弯矩方程作图时，注意坐标轴x的正向一般由左至右。有时候根据需要，可
2
以取为由右至左，但此时必须注意q，FS和M之间的微分关系在正负号上有变化。 2 作图示梁的剪力图和弯矩图。