全等三角形培优讲义

全等三角形常见辅助线作法

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精准诊查

高

与三角形有关的线段 中线

角平分线

性质

直角三角形判定 多边形及其内角和

【导学】全等三角形

第一部分：知识点回顾

常见辅助线的作法有以下几种：

1） 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的

2） 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全

等变换中的“旋转” •

3） 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中

的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.

4） 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻

【知识导

图】

概念 ( <~ 1 三边之和大于等于第三边

稳定性

三角形 与三角形有关的角

三角形内角和定理

三角形的外角

“对折”.

转折叠”

5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明•这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.

第二部分：例题剖析

一、倍长中线（线段）造全等

例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5 AC=3贝忡线AD的取值范围是___________________

A

例2、如图，△ ABC中，E、F分别在AB AC上，DEL DF, D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

例3、如图，△ ABC中，BD=DC=ACE是DC的中点，求证：AD平分/ BAE.

A

二、截长补短

1 如图，ABC 中，AB=2AC AD平分BAC，且AD=BD 求证：CDL AC

A

C

D

2、如图，AC// BD, EA,EB 分别平分/ CAB,/ DBA CD过点E,

求证;AB =AC+BD

B

应用:

如图*伍四也嚴AHCD 中h AD //BC. A 应匙M 上一牛动戊•若ZJf -册m 二血，n_ 厶磁=60°，判斷W ”穗坊BC 的关系井证阴祢啊结论•

、平移变换

例1 AD 为厶ABC 的角平分线，直线 MN L AD 于A.E 为MN 上一点，△ ABC 周长记为P A , △ EBC 周长记为 F B .求证 P B > P

A . 例2如图，在△ ABC 的边上取两点 D E ,且BD=CE

求证：AB+AOAD+AE. C

五、旋转

四、借助角平分线造全等

1 如图，已知在厶 ABC 中，/ B=60°A ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点

Q 求证：OE=OD

2、如图，△ ABC 中，AD 平分/ BAC

DGL BC 且平分 BC, DEI AB 于 E , DF 丄 AC 于 F. (1)说明BE=CF 的理由；(2)如果 AB=a , AC=b ，求 AE 、BE 的长.

F

例1正方形ABCD中, E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF求/ EAF的度数.

例2如图，

一个600

ABC是边长为

3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC 1200，以D为顶点做

，使其两边分别交AB于点M交AC于点N,连接MN贝y AMN的周长为例3设点E

AP I EF 于点(1) 求证P,

F分别在正方形ABCD的边BC CD上滑动且保持/ EAF=4& AP=AB ( 2)若AB=5,求厶ECF的周长。

变式练习1、如图所示，正方形ABCD的BC边上有一点E,Z DAE的平分线交CD于F,试用旋转的思想方法说明AE=DF+BE A D

3. (1)如图 11—〔，△ ADE 中，AE=AD 且/ AED 2 ADE / EAD=90 , EC DB 分别平分/ AED / ADE 交 AD AE 于点C 、B,连接BC.请你判断AB AC 是否相等，并说明理由；

(2)A ADE 的位置保持不变，将△ ABC 绕点A 逆时针旋转至图11 — 2的位置，AD BE 相交于0,请你判断 线段BE 与CD 的关系，并说明理由.

【课后作业】 1.如图，在△ ABC 中，/ ACB= 90°, AC= BC 直线l 经过顶点 C,过A B 两点分别作I 的垂线 AE BF, E 、 F 为垂足.

C

图 11 — 2

(1)当直线l不与底边AB相交时，求证：EF= AE+ BF.

(2)如图，将直线I绕点C顺时针旋转，使I与底边AB交于点D,请你探究直线I在如下位置时,

EF AE BF之间的关系.

① AD> BD ② AD- BD ③ AD< BD

2.如图3, Rt△ ABC中，/ ACB=90 , AC=BC ADL CD, BF丄CD, AB交CD于E. 求证：DF=CD-AD.

3.如图，已知AC=BC / ACB=90 , D为AB上任意一点,

5.如图，ABC 的中线，/ ADB 和/ADC 的平分线分别交 AB AC 于点E 、 求证：BE+CF> EF.

4.如图，在△ ABC 中，AC 丄BC,AC=BC,D 为AB 上一点, 于 E.求证：EF=BE — AF

AF 丄CD 交CD 的延长线于 F , BE 丄CD