全等三角形培优讲义

合集下载

全等三角形讲义

初二数学培优讲义全等三角形的概念和性质【知识目标1】全等三角形的概念知识点1：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的位置没有关系。

）知识点2：两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角。

例题1：如图，已知图中的两个三角形全等，填空：DA BCAB 与是对应边，BC 与是对应边， CA 与是对应边； (2)∠A 与是对应角，∠ABC 与是对应角， ∠BAC 与是对应角如何确定对应边和对应角：(1)有公共边的，公共边一定是对应边； (2)有公共角的，公共角一定是对应角； (3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。

【知识目标2】全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等。

（由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相等，对应角的角平分线相等）例题2（海南省中考卷第5题）已知图2中的两个三角形全等，则∠α度数是（） A.72° B.60° C.58° D.50°例题3、（清远）如图，若111ABC A B C △≌△，且11040A B ∠=∠=°，°，则1C ∠= ．练习4、如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则A C A '∠的度数为（）A 20° B．30° C ．35° D ．40°练习5、如图，△ABD 绕着点B 沿顺时针方向旋转90°到△EBC ，且∠ABD=90°。

（1）△ABD 和△EBC 是否全等？如果全等，请指出对应边与对应角。

（2）若AB=3cm,BC=5cm,你能求出DE 的长吗？（3）直线AD 和直线CE 有怎样的位置关系？请说明理由。

初中数学全等三角形综合复习讲义-全面完整版

初中数学全等三角形综合复习讲义-全面完整版初中数学全等三角形综合复讲义——全面完整版一、基础知识1.全等图形的有关概念1)全等图形的定义：两个图形能够完全重合，就是全等图形。

例如，图13-1和图13-2就是全等图形。

2)全等多边形的定义：两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。

例如，图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。

3)全等多边形的对应顶点、对应角、对应边：两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。

4)全等多边形的表示：例如，图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE≌五边形A’B’C’D’E’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。

表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。

5)全等多边形的性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等。

6)全等多边形的识别：对边形相等、对应角相等的两个多边形全等。

2.全等三角形的识别1)根据定义：若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。

2)根据SSS：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。

3)根据SAS：如果两个三角形有两边及夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。

4)根据ASA：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

5)根据AAS：如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

3.直角三角形全等的识别1)根据HL：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

2)SSS、SAS、ASA、AAS对于直角三角形同样适用。

三角形全等培优讲义

学科教师辅导讲义
第4题第5题第6题
；，则此三角形（）
学科教师辅导讲义
D.15°
2 图
3 沿其对角线BD翻折得到△BED，若∠1
°，∠B＝48°；
D=48，E=52，
EBC绕B点逆时针旋转90ABD，若∠E＝35°，求∠
第1题
如图所示，ΔABC≌如图所示，ΔABC≌
学科教师辅导讲义
．求证：AC=EF．
．如图，已知△ABC和△DBE，B为AD的中点，＝BC，请增加的一个条件____________
．如图，点F、C在线段BE上，且AB=DF，AC＝DE，若要使△ABC≌△DEF，则还需补充一个条件
DE折叠，点A落在点
附加：
（1）已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE 于D, CE⊥AE于E.试说明: BD=DE+CE.
（2）若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD<CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何? 为什么？
（3）若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE), 其余条件不变, 问BD与DE、CE的关系如何? 请直接写出结果, 不需说明.
学科教师辅导讲义
学科教师辅导讲义
3、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC的平分线交AD于点E，
，求证：AC=AE+CD．
学科教师辅导讲义
A.
第1题图。

全等三角形培优讲义

第6讲全等三角形一、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。

对应角：∠A=∠A ′∠B=∠B ′∠C=∠C ′△ AB C ≌'''A B C ∆ AB=''A B对应边： BC =''B C AC =''A C 二、全等三角形的判定：1、两边及夹角对应相等的两个三角形全等。

AB=''A B∠B=∠B ′ △AB C ≌'''A B C ∆ （SAS ）BC =''B C（1）、已知：如图，AD ∥BC ，AD ＝CB ，你能说明△ADC ≌△CBA 吗？证明： ∵AD ∥BC （已知）∴∠=∠（两直线平行，内错角相等）在中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∠=∠（公共边）＝（已证）（已知）＝ ∴ ≌ （）A B C A ′B ′C ′ACBDA BCA ′B ′C ′（2）、如图，AB＝AC ，AD平分∠BAC，你能证明△ABD≌△ACD？证明：∵AD平分∠BAC（）∴∠＝∠（角平分线的定义）在△ABD和△ACD中∴△ABD △ACD（）（3）、如图（五--1），点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE，AB∥ED ，AC=FD ，求证：AB=DE（4）、如图，已知AB＝AC，AE＝AD，∠1＝∠2，你能说明△ABD≌△ACE吗？（5）、求证：等腰三角形的两底角相等。

2、三边对应相等的两个三角形全等。

AB CA′B′C′AB CD图五—1BEADCFAB CDE12AB=''A BBC =''B C △AB C ≌'''A B C ∆ （SSS ）AC =''A C（1）、如图，已知AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，你能说明AD 是角平分线吗？证明：∵AD 是BC 边上的中线（已知）∴ ＝（中线的定义）在中∴ ≌ （）∴ ＝（全等三角形的对应角相等） ∴AD 是角平分线（）（2）．如图，已知：AC=AD ，BC=BD 求证：∠1=∠2 (泉州)证明：（3）、已知AB=DE ，AC=DF ，BF=EC ，求证：∠B=∠F证明：3、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

三角形全等培优同步讲义

全等三角形拓展提升一、知识梳理全等三角形中的辅助线做法：1. 基本做法：连接、延长、平移、作平行线、作垂线、作高；2. 倍长中线法构造全等；3. 截长补短法构造全等；4. 旋转法构造全等。

二、典例剖析1、（济南·中考题）如图，⊿ABE 和⊿ADC 是⊿ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折180º形成的，若∠1：∠2：∠3=28:5:3，则∠α的度数为。

2、(武汉市选拔赛试题)如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC=CE , ∠1=∠2=∠3，则DE 的长等于（）.A 、DCB 、BC C 、ABD 、AE+AC3、(河南省竞赛题)如图已知AE 平分∠BAC,BE ⊥AE 于E,ED ∥AC,∠BAE=36º,那么∠BED= .4、（泰安中考题）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B 、C 、E 在一条直线上，连接DC.(1) 请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）（2）证明：DC ⊥BES5、（第17届江苏省竞赛题）如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90º，求五边形ABCDE 的面积。

DEC BA6、（海口市中考题）在⊿ABC中，∠ACB=90º，AC=BC,直线MN经过点C, 且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1) 当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE(2) 当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD - BE(3) 当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的位置关系？请写出这个等量关系，并加以证明。

7、（台州市中考题）如图，CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线，CA=CB, E 、F 分别是直线CD 上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α.(1) 若直线CD 经过∠BCA 的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：① 如图1，若∠BCA=90º,∠α=90º，则BE CF; EF BE AF (填“<”、“>”或“=”) ② 如图2，若0º<∠BCA <180º，请添加一个关于∠α与∠BCA 关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论。

2020华师大初二上册培优讲义第七讲全等三角形

第七讲全等三角形学习目标1、知识目标：掌握全等三角形的性质及判定方法；并会利用相关知识解决问题。

2、能力目标：引导学生总结出全等三角形解题的模型，培养学生归纳总结的能力，使学生体会数形结合思想、转化思想在解决问题中的作用。

3、情感目标：培养学生把已有的知识建立在联系的思维习惯，并鼓励学生积极参与数学活动，在活动中学会思考、讨论、交流与合作。

一、知识讲解课前测评1．（2015秋黄冈期末）如图，下列条件中，不能证明△ABC△△DCB的是（）A．AB=DC，AC=DB B．AB=DC，△ABC=△DCB C．BO=CO，△A=△D D．AB=DC，△A=△D 2．如图，已知AC=DB，AO=DO，CD=100m，则A，B两点间的距离（）A．大于100 m B．等于100 m C．小于100 m D．无法确定3．（2015东营）如图，在△ABC中，AB>AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F在BC边上，连接DE，DF，EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判断△FCE与△EDF全等（）A．△A=△DFE B．BF=CF C．DF△AC D．△C=△EDF4．（2017宁德模拟）如图，在△ABC中，已知△1=△2，BE=CD，AB=10，AE=4，则CE=__________。

5．（2015盐城市中考）如图，在△ABC与△ADC中，已知AD=AB.在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC△△ADC，只需再添加一个条件可以是________。

知识点回顾1、理解全等三角形相关概念（1）能够的两个三角形叫做全等三角形，两个全等三角形中互相重合的顶点叫做，重合的角叫做，重合的边叫做。

（2）全等三角形的对应边，对应角。

（3）两个三角形只有一组或两组的元素（边或角），那么这两个三角形全等。

2、掌握全等三角形的判定和性质一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）、角边角（ASA）角角边（AAS）、边边边（SSS）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等【考点1、全等三角形的性质】例1、（2014年秋衡阳市期末）如图，△AOC△△BOD，△C与△D是对应角，AC与BD是对应边，AC=8cm，AD=10cm，OD=OC=2cm，那么OB的长是（）A．8cm B．10cm C．2cm D．无法确定变式练习：1．（2013年秋船山英文学校第二次月考）如图，长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，△BAF=60°，那么△DAE等于_______；2．（2017秋木里县校级月考）如图所示，△ABC△△ADE，BC的延长线过点E，△ACB=△AED=105°，△CAD=10°，△B=50°，△DEF的度数是。

第四讲培优全等三角形的性质及判定

第三讲全等三角形的性质及判定【知识要点】1、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。

2、三角形全等的判定方法：①SSS ②SAS ③ASA ④AAS ⑤HL（直角三角形）不要自己造三角形全等方法，一般三角形只有SSS、SAS、ASA、AAS、别无他法，特别在运用SAS时，一定记住是两边夹角，而如果是两边及一边对角，则两个三角形不一定全等，更没有“角角角”。

3、HL只适合直角三角形，不适合一般三角形。

【例题解析】例1 已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．(SSS，角平分线的性质，辅助线)例2 ．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．1.如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD 与BE相交于点F．（1）求证：△ABE≌△CAD；（SAS）（2）求∠BFD的度数．2.已知：如图Rt△ABC与Rt△DCE都是等腰直角三角形，求证：△ACE≌△BCD变式如上图Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB边上一点，且不与A、B两点重合，AE⊥AB，AE=BD，连接DE、DC．求证：△ACE≌△BCD（SAS）例3已知：如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．求证：△ABC≌△DEF (ASA)如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G.求证：AE=BF． (ASA)例4.已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B．求证：△ABC≌△CDE ( AAS )同类练习1.如图，AD∥BC，∠A=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AD于点E，连接BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，求证：AB=FC．2. 如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE．请完整说明为何△ABC与△DEC全等的理由（AAS）【拓展训练】1.如图△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点。

《全等三角形》讲义（完整版）

全等三角形讲义一、知识点总结全等三角形定义：形状大小相同，并且能够完全重合的两个三角形叫做全等形三角形。

：形状大小相同，并且能够完全重合的两个三角形叫做全等形三角形。

补充说明：重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

：重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等全等三角形判定定理：（1）边边边定理：三边对应相等的两个三角形全等。

（简称SSS ）（2）边角边定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

）边角边定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

((简称SAS) （3）角边角定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（简称ASA ASA））（4）角角边定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

（简称AAS AAS））（5）斜边、直角边定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（简称HL HL））角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等. .∵OP 平分∠平分∠AOB AOB AOB，，PM PM⊥⊥OA 于M ，PN PN⊥⊥OB 于N ，∴PM=PN 角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上到角的两边距离相等的点在角的平分线上. .∵PM PM⊥⊥OA 于M ，PN PN⊥⊥OB 于N ，PM=PN ∴OP 平分∠平分∠AOB AOB三角形的角平分线的性质：三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。

二、典型例题举例A BC PMNO A BCPMN O例1、如图,△ABN ≌△ACM,∠B 和∠C 是对应角,AB 与AC 是对应边,写出其他对应边和对应角.例2、如图，△、如图，△ABC ABC 是一个钢架，是一个钢架，AB=AC AB=AC AB=AC，，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架．的支架．求证：△求证：△ABD ABD ABD≌△≌△≌△ACD ACD ACD．．例3、已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上，AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ．例4、如图：、如图：D D 在AB 上，上，E E 在AC 上，上，AB AB AB＝＝AC AC，∠，∠，∠B B ＝∠＝∠C C ．求证AD AD＝＝AE AE．．例5、如图：∠、如图：∠1=1=1=∠∠2，∠，∠3=3=3=∠∠4 求证：求证：AC=AD AC=AD例6、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由吗？说说你的理由D CB ACADB123 4例7、如图1，△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由.例8、如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上的一点，PD ⊥OA 交OA 于D ，PE ⊥OB 交OB 于E ，F 是OC 上的另一点，连接DF ，EF ，求证DF ＝EF例9、如图，△ABC 中，AD 是它的角平分线，P 是AD 上的一点，PE ∥AB 交BC 于E ，PF ∥AC 交BC 于F ，求证：D 到PE 的距离与D 到PF 的距离相等的距离相等例10、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 面积是282cm ，AB ＝20cm ，AC ＝8cm，求DE 的长．AGF CBDE图1AEB DCFAB CDED C EF BA 例10、已知：BE ⊥CD ，BE ＝DE ，BC ＝DA ，求证：①，求证：① △BEC ≌△DAE ；②DF ⊥BC ．例11、如图，已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，C ，D 是垂足，连接CD ，求证:（1）∠ECD=∠EDC ；（2）OD=OC ；（3）OE 是CD 的中垂线.三、专题版块三、专题版块专题一：专题一：全等三角形的判定和性质的应用全等三角形的判定和性质的应用例1、如图，在△ABC 中，AB=AC ， BAC=40°,分别以AB AB、AC 为边作两个等腰三角形ABD 和ACE ACE，使∠，使∠BAD=∠CAE=90°.(1)求∠DBC 的度数.(2)求证：BD=CE.例2、如图，A B ∥CD,AF CD,AF∥∥DE,BE=CF,DE,BE=CF,求证：求证：求证：AB=CD. AB=CD.例3、如图在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，在BE 延长线上截取BM ＝AC ，在CF 延长线上截到CN ＝AB ，求证：AM ＝AN 。

全等三角形培优讲义

全等三角形常见辅助线作法【知识导图】思维模式是全等变换中的“对折”.2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的 “平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明. 这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.第二部分：例题剖析、倍长中线(线段)造全等概念三边之和大于等于第三边稳定性与三角形有关的线段中线角平分线高三角形内角和定理三角形与三角形有关的角三角形的外角性质直角三角形判定多边形及其内角和【导学】全等三角形第一部分：知识点回顾—常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用 “三线合一” 的性质解题，精准诊查已知，如图△ABC 中，AB=5, AC=3,贝忡线AD 的取值范围是 E 、F 分别在 AB AC 上, DEL DF , D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的大小.例1、（ “希望杯”试题）例2、如图，△ ABC 中, 例3、如图，△ ABC 中, BD=DC=AC E 是DC 的中点，求证： AD 平分/ BAE.二、截长补短 1、如图, 2、如图, ABC 中,AB=2AC AD 平分 BAC ,且 AD=BD 求证：CD L A(B AC// BD,EA,EB 分别平分/ CAB,/ DBA CD 过点 E ,求证;AB = AC B已知在VABC 内， BAC 60 , C求证P B > P A .例2如图，在厶ABC 的边上取两点 D 、E ,且BD=CE 求证：AB+AC>AD+AE. 四、借助角平分线造全等1、如图，已知在△ ABC 中，/ B=60°, △ ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点O,求证：OE=OD2、如图,△ ABC 中,AD 平分/ BAC DGL BC 且平分 BC, DE! AB 于 E, DF L AC 于 F.(1)说明 BE=CF 的理由；(2)如果 AB=a , AC=b ,求 AE 、 BE 的长.五、旋转例1正方形ABCD 中 , E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF / EAF 的度数.FC如图,340° , P , Q例1 ADABC 的角平分线，直线MN L AD 于为MN 上一点，△ ABC 周长记为P A , △ EBC 周长记为F B .求例2如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC 1200，以D为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN贝U AMN的周长为_________________ 例3设点E、F分别在正方形ABCD的边BC CD上滑动且保持/ EAF=4f,AP± EF 于点P,(1) 求证：AP=AB ( 2)若AB=5,求厶ECF的周长。

全等三角形培优竞赛讲义(全集)

全等三角形培优竞赛讲义(一)知识点全等三角形的性质：对应角相等,对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等,面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：（1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4）有公共角的，公共角常是对应角．（5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角）是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边（或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：（1）边角边定理(SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．（2）角边角定理(ASA ):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．（3) 边边边定理(SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理(AAS ）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5) 斜边、直角边定理（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中,注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．例题精讲板块一、截长补短【例1】 (06年北京中考题）已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．DOEC B A4321FDOE CB A【解析】 BE CD BC +=，理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ，利用SAS 证得BEO ∆≌BFO ∆,∴12∠=∠,∵60A ∠=︒,∴1901202BOC A ∠=+∠=，∴120DOE ∠=，∴180A DOE ∠+∠=,∴180AEO ADO ∠+∠=，∴13180∠+∠=， ∵24180∠+∠=，∴12∠=∠，∴34∠=∠,利用AAS 证得CDO ∆≌CFO ∆，∴CD CF =，∴BC BF CF BE CD =+=+．【例2】如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点（点B 除外），作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ,DM 与MN 有怎样的数量关系?N E B M A DGNEB M A D【解析】猜测DM MN =.过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ，AG AM =，∴GD MB =又∵120ADM DMA +∠=∠，120DMA NMB +=∠∠ ∴ADM NMB =∠∠，而120DGM MBN ==∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．【变式拓展训练】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC∠外角的平分线交于点N ,MD 与MN 有怎样的数量关系？N CDE B M A NCDEB M A【解析】猜测DM MN =。

全等三角形经典讲义

全等三角形状元笔记【知识要点】1．全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．3．三角形全等的判定方法(1)三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)．(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)．(3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)．(4)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)．4．直角三角形全等的判定方法斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)．【温馨提示】1．两个三角形全等的条件中必须有一条边分别相等，只有角分别相等不能证明两个三角形全等．2．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．3．“HL”定理指的是斜边和一条直角边分别相等，而不是斜边和直角分别相等．【方法技巧】1．应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角，其规律主要有以下几点：（1）以对应顶点为顶点的角是对应角；（2）对应顶点所对应的边是对应边；（3）公共边（角）是对应边（角）；（4）对顶角是对应角；（5）最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）．全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定，如若△ABC≌△DEF，说明A与D，B与E， C与F是对应点，则∠ABC与∠DEF是对应角，边AC与边DF是对应边．2．判定两个三角形全等的解题思路：专题一三角形全等的判定1．如图，BD 是平行四边形ABCD 的对角线，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ．求证：△ABE≌△CDF ．2．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的点（不与B ，C 重合），F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF ∥BE . 请你添加一个条件，使△BDE ≌△CDF (不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．（1）你添加的条件是：__________；（2）证明：SAS SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩找夹角——已知两边找另一边——边为角的对边——找任一角——找夹角的另一边——已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角——找边的对角——找夹边——已知两角找任一边——3．如图，△ABC中，点D在BC上，点E在AB上，BD=BE，要使△ADB≌△CEB，还需添加一个条件．（1）给出下列四个条件：①AD=CE；②AE=CD；③∠BAC=∠BCA；④∠ADB=∠CEB；请你从中选出一个能使△ADB≌△CEB的条件，并给出证明；（2）在（1）中所给出的条件中，能使△ADB≌△CEB的还有哪些？直接在题后横线上写出满足题意的条件序号．__________________．专题二全等三角形的判定与性质4．如图，已知△ABC 中，∠ABC =45°，AC =4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为（）AB ．4C ．D ．55．【2013·襄阳】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，将△ADC 绕点A 顺时针旋转，使AC 与AB 重合，点D 落在点E 处，AE 的延长线交CB 的延长线于点M ，EB 的延长线交AD 的延长线于点N .求证：AM ＝AN .6．【2012·泸州】如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上一点，以CD 为边作等边三角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，连接AE ．求证：AE ∥BC ．NME D B CA专题三全等三角形的应用7．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（）A．60° B．90° C．120° D．150°8．有一座小山，现要在小山A、B的两端开一条隧道，施工队要知道A、B两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长，就是A、B两端的距离，你能说说其中的道理吗？9．已知如图，要测量水池的宽AB ，可过点A 作直线AC ⊥AB ，再由点C 观测，在BA 延长线上找一点B′，使∠ACB′=∠ACB ，这时只要量出AB′的长，就知道AB 的长，对吗？为什么？10．如图，点D 、B 分别在∠A 的两边上，C 是∠A 内一点，AB = AD ，BC = CD ，CE ⊥AD 于E ，CF ⊥AF于F ．求证：CE = CF11.已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB = AC ，BD 平分∠ABC ．求证：BC = AB + ADFA BECD12．如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB13．如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B14．如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．（1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．DBACPEDCBA D CBA15．已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，（1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：16．如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．OEDCBAFEA17.已知:在△ABC中,∠BAC=90,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.(1)当直线AE处于如图①的位置时,有BD=DE+CE,请说明理由；(2)当直线AE处于如图②的位置时,则BD、DE、CE的关系如何？请说明理由；(3)归纳(1)、(2),请用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的关系.18、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E，，在同一条直线上，连结DC．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；图1图2DCAB（2）证明：DC BE⊥．19．如图-1，ABC△的边BC在直线l上，AC BC⊥，且AC BC=；EFP△的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF FP=．（1）在图-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP关系；（2）将EFP△沿直线l向左平移到图-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜想并写出BQ与AP的关系，请证明你的猜想；（3）将EFP△沿直线l向左平移到图-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．A （E）B C （F）Pl l l图-1 图-2图-3全等三角形——角的平分线的性质状元笔记【知识要点】1．角的平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2．角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．【温馨提示】1．到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，不是其他线段的交点．2．到三角形三边距离相等的点不仅有内角的平分线的交点，还有相邻两外角的平分线的交点，这样的点共有4个．【方法技巧】1．利用角的平分线的性质解决问题的关键是：挖掘角的平分线上的一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——直接考虑垂线段相等，若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段．2．利用角平分线的判定解决问题的策略是：挖掘已知图形中一点到角两边的垂线段．若已知条件存在两条垂线段——先证明两条垂线段相等，然后说明角平分线或角的关系；若已知条件存在一条垂线段——考虑通过作辅助线补出另一条垂线段，再证明两条垂线段相等；若已知条件不存在垂线段——考虑通过作辅助线补出两条垂线段后，证明两条垂线段相等．专题一利用角的平分线的性质解题1．如图，在△ABC中，AC=AB，D在BC上，若DF⊥AB，垂足为F，DG⊥AC，垂足为G，且DF=DG．求证：AD⊥BC.2．如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB=OC．3．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，，AD 是∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，AC =3 cm ，求BE 的长．专题二角平分线的性质的应用 4．如图，三条公路把A 、B 、C 三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A ．在AC 、BC 两边高线的交点处B ．在AC 、BC 两边中线的交点处C ．在∠A 、∠B 两内角平分线的交点处D ．在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处5．如图，要在河流的南边，公路的左侧M 区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A 处的距离为1cm （指图上距离），则图中工厂的位置应在__________，理由是__________．21BAC B ∶∶∠∠6. 如图， ∠ B= ∠ C=90 °， M 是 BC 中点， DM 平分 ∠ ADC ，求证： AM 平分 ∠ DAB ．7. 如图，已知 △ ABC 的周长是 22 ， OB 、 OC 分别平分 ∠ ABC 和 ∠ ACB ， OD ⊥ BC 于 D ，且 OD=3 ， △ ABC 的面积是多少？8.如图，已知 ∠ 1= ∠ 2 ， P 为 BN 上的一点， PF ⊥ BC 于 F ， PA=PC ，求证： ∠ PCB+ ∠ BAP=180 º9.如图，△ ABC 中， P 是角平分线 AD ， BE 的交点．求证：点 P 在∠ C 的平分线上．10. 如图，在 △ ABC 中， BD 为 ∠ ABC 的平分线， DE ⊥ AB 于点 E ，且 DE=2cm ， AB=9cm ， BC=6cm ，求 △ ABC 的面积．21NP F C BA11.如图， D 、 E 、 F 分别是△ ABC 的三条边上的点， CE=BF ，△ DCE 和△ DBF 的面积相等．求证： AD 平分∠ BAC ．。

全等三角形讲义

全等三角形讲义(总14页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--全等三角形一、知识点：1.全等形的定义2.全等三角形的定义3.对应顶点、对应边、对应角的定义4.全等三角形的性质二、重难点：1.全等三角形的概念2.对应顶点、对应边、对应角的定义3.全等三角形的性质三、考点全等三角形的性质一、全等形1. 叫做全等形。

全等用符号表示，读作2.两个图形是否为全等形，关键是看两个图形的是否相同，是否相等，而与图形所在的无关；判断两个图形是否是全等形，只要把它们在一起，看是否完全；一个图形经过、、等变换后，所得到的图形与原图形全等。

例题：1.下列说法不正确的是（）A．形状相同的两个图形是全等形 B.大小不同的两个图形不是全等形C. 形状、大小都相同的两个图形是全等形D.能够完全重合的两个图形是全等形2.下列说法正确的是（）A．面积相等的两个图形是全等图形 B.周长相等的两个图形是全等图形C. 形状相同的两个图形是全等图形D.能够重合的两个图形是全等图形二、全等三角形1. 叫做全等三角形2. 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫做，重合的边叫做，重合的角叫做3.寻找对应因素的方法：①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；②全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角；③全等三角形的公共角是对应角；④全等三角形的公共边是对应边；⑤全等三角形中的对顶角是对应角；⑥全等三角形中一对最长（短）的边是对应边，一对最大（小）的角是对应角例题：1．下面是两个全等的三角形，按下列图形的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角oO BCDCDABCDCBD2．将ABC ∆沿直线BC 平移，得到DEF ∆，说出你得到的结论，说明理由B AD3．如图，,ACD ABE ∆≅∆AB 与AC ，AD 与AE 是对应边，已知： 30,43=∠=∠B A ，求ADC ∠的大小。

全等三角形讲义

一、疑难讲解二、知识点梳理1、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。

2、全等三角形的性质（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。

（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。

（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

3、全等三角形的判定边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS ”)边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS ”) 角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA ”) 角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS ”) 斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL ”)4、证明两个三角形全等的基本思路：方法指引证明两个三角形全等的基本思路：（1）：已知两边----找第三边(SSS )找夹角（SAS )(2):已知一边一角---已知一边和它的邻角找是否有直角(HL )已知一边和它的对角找这边的另一个邻角(ASA )找这个角的另一个边(SAS)找这边的对角(AAS )找一角(AAS )已知角是直角，找一边(HL )(3):已知两角---找两角的夹边(ASA)找夹边外的任意边(AAS )练习5、角的平分线：（1）、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等.（2）、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

6、学习全等三角形应注意以下几个问题：（1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义；（2表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”三、典型例题1、三边对应相等的两个三角形全等 ( SSS )例1. 如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。

全等三角形讲义整理讲义

全等三角形讲义整理讲义一、全等三角形的定义与判定条件1.1 定义全等三角形是指两个三角形的三边分别相等，三个角度也是完全相等的三角形。

1.2 判定条件两个三角形全等的条件有以下几点： - SSS（边边边）：若两个三角形各边分别相等，则两个三角形全等。

- SAS（边角边）：若两个三角形两边和夹角都相等，则两个三角形全等。

- ASA（角边角）：若两个三角形的两角和一边相等，则两个三角形全等。

- RHS（直角斜边边）：若两个直角三角形的斜边和一条直角边相等，则两个三角形全等。

二、全等三角形的性质2.1 全等三角形的对应角度和对应边长相等对于全等三角形，它的三个角度分别对应，三个边长也对应，也就是说：在全等三角形中，任意两个角度应相等，边长也是相等的。

2.2 全等三角形的任意一对对应边和对应角都相等对于全等三角形，若两个三角形是全等的，那么它们对应的任意一个角度和边长都是相等的。

2.3 全等三角形的对边平行对于全等三角形来说，如果我们将两个全等三角形重合，那么对应边就会重合，此时，它们的对边将会互相平行。

三、全等三角形的应用3.1 计算两个全等三角形之间的比例关系通过全等三角形的性质，我们可以计算出两个全等三角形之间的比例关系，这在解决一些类似于“影子问题”等数学题目时非常实用。

3.2 解决几何题目在解决几何题目时，有些问题常常需要使用到全等三角形的性质，例如，通过证明两个三角形全等，来计算出未知的边长或角度等。

四、常见误区4.1 认为两个形状相同的图形就是全等三角形形状相同的图形不一定是全等三角形，两个三角形只有在三边或者两边一角相等的情况下才能被认定为全等的。

4.2 认为两个三角形的相似一定就是全等的两个相似的三角形不一定是全等的三角形，相似三角形只是其中的边长成比例。

五、全等三角形是一种非常重要的基础概念，它的应用十分广泛，对于许多与求解边长、角度有关的几何题目都有很大的帮助，也对于对称性的研究、空间几何、画图以及设计等领域有着重要的意义。

三角形基础全等三角形讲义

三角形基础全等三角形讲义一、三角形的定义与基本元素三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。

这三条线段就是三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

三角形有三条边、三个内角和三个顶点。

边可以用小写字母 a、b、c 表示，角可以用大写字母 A、B、C 表示。

例如，边 a 所对的角就是角 A。

三角形按照边的关系可以分为等边三角形（三条边都相等）、等腰三角形（至少有两条边相等）和不等边三角形（三条边都不相等）；按照角的大小可以分为锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）和钝角三角形（有一个角是钝角）。

二、三角形的内角和三角形的内角和是 180°。

这是三角形的一个重要性质，可以通过多种方法来证明。

比如，我们可以将三角形的三个角剪下来，拼在一起，会发现正好组成一个平角，也就是 180°。

又或者，我们作三角形一条边的平行线，利用平行线的性质，也能证明三角形的内角和是 180°。

这个性质在解决很多与三角形内角有关的问题中非常有用。

三、三角形的外角三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

三角形的每个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，所以三角形共有六个外角。

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

例如，在三角形 ABC 中，外角∠ACD 等于∠A ＋∠B。

三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

四、三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

这个关系可以通过实际操作来理解。

比如，我们用三根长度分别为3cm、4cm、5cm 的小棒来摆三角形，能摆成一个三角形；但是如果用1cm、2cm、4cm 的小棒，就无法摆成三角形。

在判断三条线段能否组成三角形时，只需要判断两条较短的线段之和是否大于最长的线段即可。

五、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

全等三角形讲义 1

全等三角形讲义一、全等三角形的认识与性质全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形．相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．全等多边形的对应边、对应角分别相等．如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE ≌五边形'''''A B C D E ．这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．A'B'C'D'E'EDCBA全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形．全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等．全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．二、三角形全等的判定与应用全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．判定三角形全等的基本思路：SAS HL SSS →⎧⎪→⎨⎪→⎩找夹角已知两边找直角找另一边ASA AAS SAS AAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩ 边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角边就是角的一条边找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASA AAS →⎧⎨→⎩找两角的夹边已知两角找任意一边全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： ⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型由全等可得到的相关定理：⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．⑵ 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．⑶ 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)． ⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．⑸ 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)．⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．三、典型例题分析例1.在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD ＋BE ；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE =AD －BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．例2、已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。

全等三角形讲义

11.1全等三角形1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．1.什么样的两个三角形全等？2.全等三角形有什么性质？1.问题导学１.观察下列图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形2．学生自己动手（同桌两名同学配合）取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板、完全一样．3．获取概念形状与大小都完全相同的两个图形就是．（要是把两个图形放在一起，能够完全重合，•就可以说明这两个图形的形状、大小相同．）即：全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．推得出全等三角形的概念：对应顶点：、对应角：、对应边：。

“全等”符号：读作“全等于”1.问题：将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC旋转180°得△AED．甲DCAB FE乙DCAB丙DCABE议一议：各图中的两个三角形全等吗？不难得出：≌△DEF，△ABC≌，△ABC≌．（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，•但、都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略．观察与思考：寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？全等三角形的性质：，。

符号语言：1、如图1，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，•说出这两个三角形中相等的边和角．DC ABO图12、如图2，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C ，•指出其他的对应边和对应角．DCABE图2（1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边．（2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．1、已知如图3 △ABC ≌△ADE ，试找出对应边、对应角．DC ABEO图3测试1 全等三角形的概念和性质课堂学习检测一、填空题1．_____的两个图形叫做全等形. 2．把两个全等的三角形重合到一起，_____叫做对应顶点；叫做对应边；_____叫做对应角．记两个三角形全等时，通常把表示_____的字母写在_____上．3．全等三角形的对应边_____，对应角_____，这是全等三角形的重要性质．4．如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，∠DEF的对应角是_____．图1－15．如图1－1所示，ΔABC≌ΔDCB．（1）若∠D＝74°∠DBC＝38°，则∠A＝_____，∠ABC＝_____（2）如果AC＝DB，请指出其他的对应边_____；（3）如果ΔAOB≌ΔDOC，请指出所有的对应边_____，对应角_____．图1－2图1－36．如图1－2，已知△ABE≌△DCE，AE＝2 cm，BE＝1.5 cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝_____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°．7．一个图形经过平移、翻折、旋转后，_____变化了，但__________都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形二、选择题8．已知：如图1－3，ΔABD≌CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（）A．DB B．BC C．CD D．AD9．下列命题中，真命题的个数是（）①全等三角形的周长相等②全等三角形的对应角相等③全等三角形的面积相等④面积相等的两个三角形全等A．4B．3C．2D．110．如图1－4，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD ＝4，那么BC等于（）A．6 B．5C．4D．无法确定图1-4 图1-5 图1-611．如图1－5，△ABC≌△AEF，若∠ABC和∠AEF是对应角，则∠EAC等于（）A ．∠ACB B ．∠CAFC ．∠BAFD ．∠BAC12．如图1－6，△ABC ≌ΔADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为（） A ．40° B ．35° C ．30° D ．25°11.2 全等三角形的判定（1）(SSS)1．三角形全等的“边边边”的条件． 2．了解三角形的稳定性．3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、•归纳获得数学结论的过程．1.两个三角形全等应满足几个条件？最少条件是几个？.问题导学已知△ABC ≌△A ′B ′C ′，找出其中相等的边与角．C 'B 'A 'C B A图中相等的边是：．相等的角是：问题：你能画一个三角形与△ABC 全等吗？怎样画？1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），•画出的两个三角形一定全等吗？2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做．①三角形一内角为30°，一条边为3cm ． ②三角形两内角分别为30°和50°． ③三角形两条边分别为4cm 、6cm ．学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流．结果展示： 1．只给定一条边时：只给定一个角时：2．给出的两个条件：一边一内角、两内角、两边．3. 给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？归纳：已知一个三角形的三条边长分别为6cm 、8cm 、10cm ．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？1．作图方法：2．以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现3．要是任意画一个三角形ABC ，根据前面作法，同样可以作出一个三角形A ′B ′C ′，使AB=A ′B ′、AC=A ′C ′、BC=B ′C ′．将△A ′B ′C ′剪下，发现两三角形重合．这反映了一个规律：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS ”．符号语言：1、如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架．求证：△ABD ≌△ACD ．证明：2.如图，已知AC=FE 、BC=DE ，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，AD=FB ．要用“边边边”证明△ABC ≌△FDE ，除了已知中的AC=FE ，BC=DE 以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？FDCBEA3、如图四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，你能把四边形ABCD 分成两个相互全等的三角形吗?你有几种方法?你能证明你的方法吗?试一试．A BCD测试2 三角形全等的条件（一）学习要求1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．课堂学习检测一、填空题1．判断_____的_____ 叫做证明三角形全等． 2．全等三角形判定方法1——“边边边”（即______）指的是________________________________________________________________________________．D CB A3．由全等三角形判定方法1——“边边边”可以得出：当三角形的三边长度一定时，这个三角形的_____也就确定了．图2－1 图2－2图2－34．已知：如图2－1，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．分析：要证RM 平分∠PRQ ，即∠PRM ＝______，只要证______≌______证明：∵ M 为PQ 的中点（已知）， ∴______＝______在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(____________,),(PM RQ RP 已知 ∴______≌______（）． ∴ ∠PRM ＝______（______）．即RM ．5．已知：如图2－2，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF . 求证：∠A ＝∠D ．分析：要证∠A ＝∠D ，只要证______≌______．证明：∵BE ＝CF （）， ∴BC ＝______．在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧===______,______,______,AC BC AB ∴______≌______（）． ∴ ∠A ＝∠D （______）．6．如图2－3，CE ＝DE ，EA ＝EB ，CA ＝DB ，求证：△ABC ≌△BAD ．证明：∵CE ＝DE ，EA ＝EB ，∴______＋______＝______＋______，即______＝______．在△ABC 和△BAD 中，＝______（已知），⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______已证已知 ∴△ABC ≌△BAD （）．§11．2.2三角形全等的条件（2）(SAS)1．三角形全等的“边角边”的条件．2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、•归纳获得数学结论的过程． 3．掌握三角形全等的“S ＡS ”条件，了解三角形的稳定性． 4．能运用“S ＡS ”证明简单的三角形全等问题．两个三角形满足两边及其中一角对应相等时全等吗？一、创设情境，复习提问1．怎样的两个三角形是全等三角形？ 2．全等三角形的性质？3．三角形全等的判定Ⅰ的内容是什么？二、导入新课1．如图2，AC 、BD 相交于O ，AO 、BO 、CO 、DO 的长度如图所标，△ABO 和△CDO 是否能完全重合呢？猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形．2．上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：(1)读句画图：①画∠DAE ＝45°，②在AD 、AE 上分别取 B 、C ，使 AB ＝3.1cm ， AC ＝2.8cm ．③连结BC ，得△ABC ．④按上述画法再画一个△A ＇B ＇C ＇．(2)把△A ＇B ＇C ＇剪下来放到△ABC 上，观察△A ＇B ＇C ＇与△ABC 是否能够完全重合？ 3．边角边(简称“边角边”或“SAS ”) 符号语言：AB1．填空：(1)如图3，已知AD ∥BC ，AD ＝CB ，要用边角边公理证明△ABC ≌△CDA ，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD ＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)．(2)如图4，已知AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD ≌ACE ，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________(这个条件可以证得吗？)．例1 已知： AD ∥BC ，AD ＝ CB(图3)．求证：△ADC ≌△CBA ．问题：如果把图3中的△ADC 沿着CA 方向平移到△ADF 的位置(如图5)，那么要证明△ADF ≌ △CEB ，除了AD ∥BC 、AD ＝CB 的条件外，还需要一个什么条件(AF ＝ CE 或AE ＝CF)？怎样证明呢？例2 已知：AB ＝AC 、AD ＝AE 、∠1＝∠2(图4)．求证：△ABD ≌△ACE ．1．已知：如图，AB ＝AC ，F 、E 分别是AB 、AC 的中点求证：△ABE ≌△ACF ．2.已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE 求证： △ABD ≌△ACE测试3 三角形全等的条件（二）学习要求1．理解和掌握全等三角形判定方法2——“边角边”．2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等图3－1图3－2课堂学习检测一、填空题1．全等三角形判定方法2——“边角边” （即______）指的是_________________________________________________________________________________． 2．已知：如图3－1，AB 、CD 相交于O 点，AO ＝CO ，OD ＝OB ．求证：∠D ＝∠B ．分析：要证∠D ＝∠B ，只要证______≌______ 证明：在△AOD 与△COB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=),______(),______(______),(OD CO AO ∴ △AOD ≌△______ （）． ∴ ∠D ＝∠B （______）．3．已知：如图3－2，AB ∥CD ，AB ＝CD ．求证：AD ∥BC ．分析：要证AD ∥BC ，只要证∠______＝∠______，又需证______≌______．证明：∵ AB ∥CD （）， ∴ ∠______＝∠______ （），在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(______),______(______),______(______ ∴ Δ______≌Δ______ （）． ∴ ∠______＝∠______ （）． ∴ ______∥______（）．综合、运用、诊断一、解答题4．已知：如图3－3，AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAD ．求证：∠B＝∠C．图3－35．已知：如图3－4，AB＝AC，BE＝CD．求证：∠B＝∠C．图3－46．已知：如图3－5，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．图3－511.2三角形全等的判定（3）(ASA AAS)1、通过动手实践，自主探索，进一步掌握三角形全等的条件。

【期末培优讲义】专题全等三角形八大模型必考点(人教版)(含解析)

专题全等三角形八大模型必考点【考点1 一线三等角构造全等模型】方法点拨：“一线三等角模型”最关键的要点就是证明角相等，（1）三垂直：利用同角的余角相等（2）一般角：利用三角形的外角的性质1．阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．（1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD△DE于D，BE△DE于E，求证：△ADC△△CEB；（2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，AD△CE于D，BE△CE于E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长；（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），C（1，3），△ABC为等腰直角三角形，△ACB＝90°，AC＝BC，求B点坐标.【分析】（1）证△DAC＝△ECB，再由AAS证△ADC△△CEB即可；（2）证△ADC△△CEB（AAS），得AD＝CE＝2.5cm，CD＝BE，即可解决问题；（3）过点C作直线l△x轴，交y轴于点G，过A作AE△l于点E，过B作BF△l于点F，交x轴于点H，证△AEC△△CFB（AAS），得AE＝CF＝3，BF＝CE＝2，则FG＝CG+CF＝4，BH＝FH﹣BF＝1，即可得出结论．【解答】（1）证明：△AD△DE，BE△DE，△△ADC＝△CEB＝90°，△△ACB＝90°，△△ACD+△ECB＝90°，△DAC+△ACD＝90°，△△DAC＝△ECB，在△ADC和△CEB中，，△△ADC△△CEB（AAS）；（2）解：△BE△CE，AD△CE，△△ADC＝△CEB＝90°，△△CBE+△ECB＝90°，△△ACB＝90°，△△ECB+△ACD＝90°，△△ACD＝△CBE，在△ADC和△CEB中，，△△ADC△△CEB（AAS），△AD＝CE＝2.5cm，CD＝BE，△BE＝CD＝CE﹣DE＝2.5﹣1.7＝0.8（cm），即BE的长为0.8cm；（3）解：如图3，过点C作直线l△x轴，交y轴于点G，过A作AE△l于点E，过B作BF△l 于点F，交x轴于点H，则△AEC＝△CFB＝△ACB＝90°，△A（﹣1，0），C（1，3），△EG＝OA＝1，CG＝1，FH＝AE＝OG＝3，△CE＝EG+CG＝2，△△ACE+△EAC＝90°，△ACE+△FCB＝90°，△△EAC＝△FCB，在△AEC和△CFB中，，△△AEC△△CFB（AAS），△AE＝CF＝3，BF＝CE＝2，△FG＝CG+CF＝1+3＝4，BH＝FH﹣BF＝3﹣2＝1，△B点坐标为（4，1）．【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、一线三垂直”模型等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．2．如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC．（1）如图1，求C点坐标；（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，P A与CQ有何位置和数量关系，猜想并证明；（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时△APB的度数及P点坐标．【分析】（1）作CH△y轴于H，证明△ABO△△BCH，根据全等三角形的性质得到BH＝OA ＝3，CH＝OB＝1，求出OH，得到C点坐标；（2）证明△PBA△△QBC，根据全等三角形的性质即可得到P A＝CQ，P A△CQ；（3）根据C、P，Q三点共线，得到△BQC＝135°，根据全等三角形的性质得到△BP A＝△BQC ＝135°，根据等腰三角形的性质求出OP，即可得到P点坐标．【解答】解：（1）如图1，过C作CH△y轴于H，则△BCH+△CBH＝90°，△AB△BC，△△ABO+△CBH＝90°，△△ABO＝△BCH，在△ABO和△BCH中，，△△ABO△△BCH（AAS），△BH＝OA＝3，CH＝OB＝1，△OH＝OB+BH＝4，△C点坐标为（1，﹣4）；（2）CQ＝AP，CQ△AP．证明：如图2，延长CQ交x轴于D，交AB于E，△△PBQ＝△ABC＝90°，△△PBQ﹣△ABQ＝△ABC﹣△ABQ，即△PBA＝△QBC，在△PBA和△QBC中，，△△PBA△△QBC（SAS），△P A＝CQ，△BAP＝△BCQ，又△△AED＝△CEB，△△ADE＝△CBE＝90°，即CD△AD，△CQ△AP；（3）△△BPQ是等腰直角三角形，△△BQP＝45°，当C、P，Q三点共线时，△BQC＝135°，由（2）可知，△PBA△△QBC，△△BP A＝△BQC＝135°，△△OPB＝180°﹣135°＝45°，△OP＝OB＝1，△P点坐标为（1，0）．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分△AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE△OC交y轴于点E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n满足n2﹣12n+36+|n ﹣2m|＝0．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点D为AB中点，延长DE交x轴于点F，在ED的延长线上取点G，使DG＝DF，连接BG．△BG与y轴的位置关系怎样？说明理由；△求OF的长；（3）如图2，若点F的坐标为（10，10），E是y轴的正半轴上一动点，P是直线AB上一点，且P点的坐标为（6，﹣6），是否存在点E使△EFP为等腰直角三角形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）先利用非负数的性质求出m，n的值，即可得出结论；（2）△先判断出△BDG△△ADF，得出BG＝AF，△G＝△DF A，然后根据平行线的判定得出BG△AF，从而利用平行线的性质即可得出结论；△利用等腰三角形的性质，建立方程即可得出结论；（3）分析题意知要使△EFP为等腰直角三角形，必有EF＝EP，且△FEP═90°，再过F、P分别向y轴作垂线垂足分别为M、N，然后利用全等三角形的判定证得△FME△△ENP，从而利用全等的性质求得ME的长，进而求出OE，即可得出结论．【解答】解：（1）由n2﹣12n+36+|n﹣2m|＝0，△（n﹣6）2+|n﹣2m|＝0，△n﹣6＝0，n﹣2m＝0，△n＝6，m＝3，△A（3，0），B（0，6）；（2）△BG△y轴．在△BDG与△ADF中，BD＝DA，△BDG＝△FDA，DG＝DF，△△BDG△△ADF（SAS），△BG△AF．△AF△y轴，△BG△y轴．△由△可知，BG＝F A，△BDE为等腰直角三角形．△BG＝BE．设OF＝x，则有OE＝x，△3+x＝6﹣x，△x＝1.5，即：OF＝1.5；（3）要使△EFP为等腰直角三角形，必有EF＝EP，且△FEP═90°，如图，过F、P分别向y轴作垂线垂足分别为M、N．△△FEP═90°，△△FEM+△PEN＝90°，又△FEM+△MFE＝90°，△△PEN＝△MFE，△Rt△FME△Rt△ENP（HL），△ME＝NP＝6，△OE＝10﹣6＝4．即存在点E（0，4），使△EFP为等腰直角三角形．【点评】此题是三角形综合题，主要考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．【考点2 手拉手模型-旋转模型】方法点拨：手拉手模型有一个特点，就是从一个顶点出发，散发出来的四条线段，两两相等（或者对应成比例），然后夹角相等。

全等三角形的性质及判定培优辅导

全等三角形的性质及判定（培优）1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．（3）全等三角形的面积相等,全等三角形的周长相等．3、全等三角形判定方法：(1) “边角边”或“SAS” (2) “角边角”或“ASA” (3) “边边边”或“SSS”(4) “角角边”或“AAS”一：判断题1．两边和一角对应相等的两个三角形全等.（）2．两角和一边对应相等的两个三角形全等.（）3．两条直角边对应相等的两个三角形全等.（）4．腰长相等，顶角相等的两个等腰三角形全等.（）5．三角形中的一条中线把三角形分成的两个小三角形全等. （）6．两个等边三角形全等. （）7．一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等. （）8．腰长相等，且都有一个40°角的两个等腰三角形全等.（）9．腰长相等，且都有一个100°角的两个等腰三角形全等.（）10．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．（）二、证明题1、已知：AB=DE，AC=DF，BF=EC，求证：∠B=∠E （长沙·中考题）2、已知：OA=OB，AC=BD，∠A=∠B，M为CD中点.求证：OM平分∠AOB （红河·中考题）3、已知AD是⊿ABC的中线，BE⊥AD，CF⊥AD，问BE=CF吗？说明理由。

4.已知如图，E.F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF,求证：AC与BD互相平分.5. 如图在ABC∆则DEB∆6、已知∠BAC=∠7、已知∠1=∠2，∠3=∠4，问AC=AD吗？说明理由。

ABCDEFAB CDFEACDB12348、在⊿ABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，且AD =BD ，问⊿BHD ≌⊿ACD ，为什么？9、已知AD =AE ，BD =CE ，∠1=∠2，问⊿ABD ≌⊿ACE 吗？10、已知∠1=∠2，AC =BD ，E ，F ，A ，B 在同一直线上，问∠3=∠4吗？11．已知如图(1)，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AE 是过A 的一条直线，且B 、C 在AE 的异侧，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，求证：(1)BD ＝DE ＋CE ；(2)若直线AE 绕A 点旋转到(2)位置时(BD ＜CE )，其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何?请予证明．(3)若直线AE 绕A 点旋转到图(3)位置时，(BD ＞CE )，其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何?请直接写出结果，不须证明．(4)归纳(1)、(2)、(3)，请用简捷语言表述BD 、DE 、CE 的关系．12、已知，AC ⊥CE ，AC =CE ， ∠ABC =∠DEC =900，问BD =AB +ED 吗？13.已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。

全等三角形培优讲义

全等三角形讲义

初中数学全等三角形综合复习讲义-全面完整版

三角形全等培优讲义

全等三角形 培优讲义

三角形全等培优同步讲义

2020华师大初二上册培优讲义第七讲 全等三角形

第四讲培优 全等三角形的性质及判定

《全等三角形》讲义（完整版）

全等三角形培优讲义

全等三角形培优竞赛讲义(全集)

全等三角形经典讲义

全等三角形讲义

全等三角形讲义

全等三角形讲义整理讲义

三角形基础 全等三角形 讲义

全等三角形讲义 1

全等三角形讲义

【期末培优讲义】专题 全等三角形八大模型必考点(人教版)(含解析)

全等三角形的性质及判定培优辅导

全等三角形培优讲义

2020华师大初二上册培优讲义第七讲全等三角形

第四讲培优全等三角形的性质及判定

三角形基础全等三角形讲义

【期末培优讲义】专题全等三角形八大模型必考点(人教版)(含解析)