大学物理-高斯定理

§3 高斯定理 一、电力线 二、电通量 三、静电场的高斯定理 四、 高斯定理在解场方面的应用 附录：静电场高斯定理的证明
1
一、电力线 用一族空间曲线形象描述场强分布 电场线(electric field line)或电力线 1.规定 方向：力线上每一点的切线方向；
大小： 定性 疏密 定量 垂直面积 规定条数
dS
q
4πe0r 2
dS q
S
e0
此结果与球面的半径无关。即通过各球面的电力 线总条数相等。从 q 发出的电场线连续的延伸到无 穷远。
2.证明包围点电荷q 任意闭合曲面S 的电通量
穿过球面S1和S2的电场线，必定也穿 S2 S 过闭合曲面S。所以穿过任意闭合曲
E
面S的电通量必然为q
E dS
S
S
通过闭合曲面S 的电通量：
e sE dS
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通过闭合面的电通量
SE dS
规定：面元方向 ----由闭合面内指向面外
简称外法线方向
E
ds
<0
电力线穿入
E
E
ds
>0
电力线穿出
dS
S
dS
几何含义：通过闭合曲面的电力线的净条数 12
例1：一个三棱柱放在均匀电场中，E=200 N/C ,沿x
2
正点电荷与负点电荷的电场线
+
-
3
一对等量正点电荷的电场线
+
+
4
一对等量异号点电荷的电场线
-
+
5
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
-q
6
带电平行板电容器的电场线 +++++++++++++
-------------
7
2.电力线的性质 1)电力线起始于正电荷(或无穷远处)， 终止于负电荷，不会在没有电荷处中断； 2)两条电场线不会相交； 3)电力线不会形成闭合曲线。
这时可以把带电体划分成很多很小的体元d，
体元所带的电荷dq = d可看作点电荷，与上面
第3条的结果一致，这时S的电通量可表示为
s E
dS
1
e0
V
dV
根据矢量分析，可以将式高斯定理写成下面
的微分形式
E =
1
e0
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讨论
1)闭合 面内、外电荷的贡献 对 E 都有贡 献
对电通量 E dS 的贡献有差别
场强E不垂直，其法线n与场强E成 角。
e ES cos 或 e E S
n
如果在非匀强电场中有一任意
θ E
E
P
曲面S，可以把曲面S分成许多
S
小面元dS，dS可近似地看为平 面，在dS范围内场强E 可认为 处处相同。这样，穿过面元dS 的电场线条数可以表示为
E
n
de E dS
dS
dS
10
通过任一曲面S 的电通量： e de E dS
对曲面S 的电通量的代数和。可见电通量也满足叠
加原理。根据以上结论，通过闭合曲面S的电通量应
为
Φe
E dS
S
Φe1
Φe2
Φen
1
e0
qi
inside,i
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4. 任意闭合曲面S不包围电荷，点
电荷q 处于 S之外：如图所示，由
于从q 发出的电场线，凡是穿入S
面的，必定又从S面穿出，所以穿 过S 面的电场线净条数必定等于零，
数学表达式
1
E dS
S
e0
qi
inside,i
1. 包围点电荷q 的同心球面S 的电通量
球面上各点的场强方向与其径向相同。
球d面e上各E点 d的S场强Ed大S小由4π库1e仑0 r定q2 律dS给出。qr
E S
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d e
E dS
EdS
1
4πe 0
q r2
dS
e
S de
S
q
4πe0r 2
/e
0 ，即
q
s
e0
q S1
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3. 任意闭合曲面S包围多个点电荷q1,q2,…,qn 根据电通量的定义和电场强度的叠加原理，其电通
量可以表示为
e E dS (E1 E2 E3 )dS
q2
q1
qi
S
S
S E1 dS S E2 dS S En dS
这表示，闭合曲面S 的电通量，等于各个点电荷
S
选取合适的高斯面(闭合面)
取过场点P的以球心 o 为心的球面
第2步：从高斯定理等式的左方入手
计算高斯面的电通量
E dS EdS E dS E4πr2
S
只有闭合面内的电量对电通量有贡献
2)静电场性质的基本方程 有源场
3)源于库仑定律 高于库仑定律
4)微分形式
1
E
e0
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四、高斯定理在解场方面的应用
对电量的分布具有某种对称性的情况下
利用高斯定理解
E
较为方便
常见的电量分布的对称性：
球对称
均
匀 带
球体
电 球面
的 (点电荷)
柱对称 无限长 柱体 柱面 带电线
dS
'
曲面S的电通量必定等于零。
q
dS '' E
5. 多个点电荷q1,q2,…,qn，其中k个被任意闭合曲
面S所包围，另外nk个处于S面之外：
根据上一条的证明，闭合曲面S外的nk个电荷
对S面的电通量无贡献，S面的电通量只决定于其
内部的k个电荷，并应表示为
E dS
1
s
e0
k
qi
i 1
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6. 任意闭合曲面S包围了一个任意的带电体
面对称 无限大 平板 平面
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举例目的： 1)清晰用高斯定理解题的步骤 2)通过解题明确用高斯定理解题的条件 3)简单的解作为基本结论记住
并且能熟练使用。 理论是建立在理想模型之上的
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例1 求电量为Q 半径为R 的均匀带电球面的
电场强度分布 解:
第1步：根据电荷分布的对称性
Q
Ro
r
P E
dS
方向，求通过此三棱柱体的电场强度y 通量。
n
解：三棱柱体的表面为一
闭合曲面，由S1、S2、S3、 S4、S5 构成，其电场强度
通量为：
s3s5 θ
s1
s2 s4
E
x
z
Байду номын сангаас
e 1 2 3 4 5
1 ES1 cosπ ES1 ; 2 3 4 0
5 E cosS5 ES1 即：通过闭合曲面的 e ES1 ES1 0 电场强度通量为零。
由静电场的基本性质和场的单值性决定的。 可用静电场的基本性质方程加以证明。
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二、电通量 通过任意面积的电力线条数叫通过该面的电通量
由电力线的定量规定 有
匀强电场
如果在电场强度为E的匀强电场中，平面
S与电场强度E 相垂直，则 e = E S .
dS
dS
9
如果在场强为E的匀强电场中，平面S与 s n
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高斯 (C.F.Gauss 17771855）
高 德国数学家、天文学
家和物理学家，有“数 学王子”美称，他与韦
斯 伯制成了第一台有线电
报机和建立了地磁观测 台，高斯还创立了电磁 量的绝对单位制.
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三、 高斯定理（Gauss theorem）
静电场中任何意闭合曲面S 的电通量，等于该曲
面所包围的电量除以e 0 而与S以外的电荷无关。