抛物线定义及标准方程

一、复习预习
复习双曲线的基本性质，标准方程以及方程的求法、应用
二、知识讲解
(一)导出课题
我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．
请大家思考两个问题：
问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？
在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？
问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？
在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．
引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．
(二)抛物线的定义
1．回顾
平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？
2．简单实验
如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．
3．定义
这样，可以把抛物线的定义概括成：
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．
(三)抛物线的标准方程
设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？
让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几种方案：方案1：(由第一组同学完成，请一优等生演板．)
以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2-30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}．
化简后得：y2=2px-p2(p＞0)．
方案2：(由第二组同学完成，请一优等生演板)
以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31)．设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}．
化简得：y2=2px+p2(p＞0)．
方案3：(由第三、四组同学完成，请一优等生演板．)
取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．
抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．
化简后得：y2=2px(p＞0)．
比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？
引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍．
由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：
将上表画在小黑板上，讲解时出示小黑板，并讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x 轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．
三、例题精析
例、(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程．
方程是x2=-8y．
例2、根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：
(1)焦点是F(3，0)；
(3)焦点到准线的距离是2．
答案是：(1)y2=12x；(2)y2=-x；(3)y2=4x，y2=-4x，x2=4y，x2=-4y．
四、课堂运用
【基础】
1.(2009年高考四川卷)抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是________
答案：2
解析：解析：抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，准线x＝－1. ∴焦点到准线的距离为2.
例题：分别求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点(－3,2)； (2)焦点在直线x －2y －4＝0上．
答案：
解析：解：(1)设抛物线方程为y 2＝－2px 或x 2＝2py (p >0)，则将点(－3,2)代入方程得2p ＝43或2p ＝92，故抛物线方程为y 2＝－43x 或x 2＝92
y . (2)①令x ＝0，由方程x －2y －4＝0，得y ＝－2. ∴抛物线的焦点为F (0，－2)．
设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则由p 2
＝2，得2p ＝8. ∴所求抛物线方程为x 2＝－8y . ②令y ＝0，由方程x －2y －4＝0，得x ＝4. ∴抛物线的焦点为F (4,0)．
设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则由p 2
＝4，得2p ＝16.∴所求抛物线方程为y 2＝16x . 综上，所求抛物线方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y .
例、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点5，求抛物线的方程和m的值．
解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则准线方
因为抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离
得p=4．因此，所求抛物线方程为y2=-8x．
又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)．
解法二：由题设列两个方程，可求得p和m．由学生演板．由题意
在抛物线上且|MF|=5，故
课程小结
本节课用不同的活动环节涵盖整个教学的过程，设计理念务实、新颖。

教学目标中的知识与能力等目标的定位鲜明清晰。

并能以此目标为主旋律，贯通教学全过程。

教学重点与难点的掌握比较准确；教学过程中的铺垫引入、引导探究、获得新知、深入探索，推导方程以及等环节连接也基本流畅，与学生的认知起点与整体水平相吻合；学习内容丰富充实，教师能较好地把握课堂的教学活动，教学情境的设置也有利于启迪学生的思维。

计算机辅助课堂教学使数形结合的数学思想得到传递；信息技术手段恰当地利用也更有助于学生对新知识的理解和掌握。

师生共同诠释和描述的抛物线的形成，使学生对知识的发生、发展以及延伸的过程有更深刻的理解。

课后作业
【基础】分别求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)过点(－3,2)； (2)焦点在直线x －2y －4＝0上．
答案：
解析： (1)设抛物线方程为y 2＝－2px 或x 2＝2py (p >0)，则将点(－3,2)代入方程得2p ＝43
或2p ＝92，故抛物线方程为y 2＝－43x 或x 2＝92
y . (2)①令x ＝0，由方程x －2y －4＝0，得y ＝－2. ∴抛物线的焦点为F (0，－2)．
设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则由p 2
＝2，得2p ＝8. ∴所求抛物线方程为x 2＝－8y . ②令y ＝0，由方程x －2y －4＝0，得x ＝4. ∴抛物线的焦点为F (4,0)．
设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则由p 2
＝4，得2p ＝16.∴所求抛物线方程为y 2＝16x . 综上，所求抛物线方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y .
【巩固】若抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M 点的坐标．
解析： 解：由抛物线的定义，设焦点F (－p 2，0)．则准线为x ＝p 2
.设M 到准线的距离为|MN |， 则|MN |＝|MF |＝10，即p 2
－(－9)＝10，∴p ＝2. 故抛物线方程为y 2＝－4x . 将M (－9，y )，代入抛物线方程得y ＝±6. 故M (－9,6)或M (－9，－6)．
【拔高】已知抛物线C 的焦点F 在x 轴的正半轴上，点A (2，32
)在抛物线内．若抛物线上一动点P 到A 、F 两点距离之和的最小值为4，求抛物线C 的方程．
解析： 解：设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，其准线为x ＝－p 2
，过P 点作抛物线准线的垂线，垂足为H (图略)，由定义知，|PH |＝|PF |.∴|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PH |，故当H 、P 、A 三点共线时，
|P A |＋|PF |最小． ∴|P A |＋|PF |的最小值为p 2
＋2＝4，p ＝4， 即抛物线C 的方程为y 2＝8x .
【拔高】动圆M 经过点A (3,0)且与直线l ：x ＝－3相切，求动圆圆心M 的轨迹方程．
解：设圆M 与直线l 相切于点N . ∵|MA |＝|MN |，∴圆心M 到定点A (3,0)和定直线x ＝－3的距离相等．根据抛物线的定义，M 在以A 为焦点，l 为准线的抛物线上．
∵p 2
＝3，∴p ＝6. ∴圆心M 的轨迹方程为y 2＝12x .。