自动控制原理例题详解-相平面法例题解析相平面法例题超详细步骤解析

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自动控制原理 (7)

自动控制原理 (7)

& 0 dx = − 型。也就是说,从奇点上可以引出不止 dx 0
x = 0 &= 0 x
如果是二阶非线性系统,奇点可能不止一个,有时也许有无穷多个,因而构成奇线。关 于奇线的特殊情况,在系统分析中再加以详述。 5. 奇点邻域的运动性质 由于从奇点上可以引出无穷条相轨迹, 所以相轨迹在奇点邻域的运动可以分为趋向于奇 点的,远离奇点的以及包围奇点成为闭合的等几种情况。 以二阶线性定常系统为例, 由于系统参数不同, 相轨迹在奇点邻域的运动会出现上述的 几种情况。二阶线性定常系统为:
2. 相轨迹的对称 某些系统的相轨迹在相平面上满足某种对称条件。依据对称条件,相轨迹曲线可 以对称画出。 (1)x 轴的对称条件 因为相轨迹斜率方程为:
& & dx f ( x, x ) =− & dt x
所以当满足
& & f ( x, x ) = f ( x ,− x )
时,在x 轴的上下,相轨迹的斜率大小相等,符号相反,因此相轨迹x 轴对称。 (2)
化简消去时间变量 赘述了。 t,得到相轨迹方程。这种方法,计算一般比较麻烦,在此就不
2.
等倾线法作图
& 由于 &= x
为:
& dx & ,将其代入二阶非线性系统方程式(7-6),得到相轨迹的斜率方程 x dt
& & dx f ( x, x ) =− & dt x
在相平面上,除了系统的奇点(后面要讲到)之外,在所有的解析点上,令斜率为给定 值α,即
与时间变量 t 的直接关系。
& 当需要从相平面图上得到相变量与时间的函数关系曲线 x(t) 、 x (t ) 时,可以采用

自动控制原理例题详解

自动控制原理例题详解

2007一、(22分)求解下列问题: 1. (3分)简述采样定理。

解:当采样频率 s 大于信号最高有效频率 h 的2倍时,能够从采样信号 e (t)中完满地恢复原信号 e(t)。

(要点:s 2 h )。

2. (3分)简述什么是最少拍系统。

解:在典型输入作用下, 能以有限拍结束瞬态响应过程, 拍数最少,且在采样时刻上无稳态误差的随动系统。

3. (3分)简述线性定常离散系统稳定性的定义及充要条件。

解:若系统在初始扰动的影响下,其输出动态分量随时间推移逐渐衰减并趋于零,则称 系统稳定。

稳定的充要条件是:所有特征值均分布在Z 平面的单位圆内。

4. (3分)已知X(z)如下,试用终值定理计算x(x )。

z2(z 1)( z z 0.5)试用Z 变换法计算输出序列c(k), k > 0解:2z C(z) 6C(z) 8C(z) R(z)C(z)zz z z(z 1)(z 2 6z 8)3(z 1)2(z 2) 6(z 4)c(k)?{2 k3 24k }, k 06(10分)已知计算机控制系统如图1所示,采用数字比例控制D(z) K , 其中K>0。

设采样周期T=1s, e 10.368。

注意,这里的数字控制器 D(z)就是上课时的G c (z)X(z)解: 经过验证 (z 1)X( z)满足终值定理使用的条件,因此,x( )I !叫 z1)X( z) 5. (5分)已知采样周期 G(s) lim 2—z--------- z 1z z 0.5T =1 秒,计算 G ⑵=Z[G h (s)G 0(s)]。

彳G h (s)G o (s)(s 1)(s 2)1解:G(z) (1 z 1)Z[-s](1 z 1)^^z 1(Z 1)(1 e z 2 (1 e 1)z e6. (5分)已知系统差分方程、 初始状态如下:c(k 2) 6c(k1) 8c(k)1(k), c(0)=c(1)=Q(5分)试求系统的闭环脉冲传递函数X i 1. X o (z); X i (z);2. (5分)试判断系统稳定的K 值范围。

现代控制理论补充内容(2)——相平面法

现代控制理论补充内容(2)——相平面法

增量式简化为 : x =
∂f ( x, x) ∂x
x = x0 x + x = x0
∂f ( x, x) ∂x
x = x0 x = x0
x
20
本例, x + 0.5 x + 2 x + x 2 = 0
f ( x, x) = −(0.5 x + 2 x + x 2 )
⎧x = 0 令: ⎨ ⎩ f ( x, x ) = 0
鞍点ζ=0
2 x − ω0 x = 0
或 b=0, S=0,s=-a
17
3.5
相平面图中的奇点和奇线
x dx f ( x, x ) 0 = = 的点。 (1) 奇点: 亦即满足: = x dx x 0
根据奇点附近的相轨迹变化的不同,奇点可分为: 稳定焦点、不稳定焦点、稳定节点、不稳定节点、中心点和鞍点。
12
具体做法: 从初始点开始,依次求圆心位置:
δ1 =
f ( x1 , x1 , t1 ) + ω 2 x1
ω2
画出一系列圆弧,连接成线,即为系统的相轨迹图。
13
3.4
线性系统的相轨迹
1 线性一阶系统的相轨迹
一阶系统的描述方程:
Tc + c = 0
相轨迹方程:
1 c=− c T
——过原点的直线方程
x1 , x1 , t 都很小,可认为 δ ( x, x, t ) = δ1为常量, f ( x1 , x1 , t1 ) + ω 2 x1 其中, δ1 = 2
于是,系统方程可写为:x + ω
ω
2
x = ω 2δ1
x + ω 2 ( x − δ1 ) = 0

《自动控制原理》经典例题分析

《自动控制原理》经典例题分析

例2.1 图为机械位移系统。

试列写质量m 在外力F 作用下位移y(t)的运动方程。

解: 阻尼器的阻尼力: 弹簧弹性力:整理得:例2.2 如图RLC 电路,试列写以u r (t)为输入量,u c (t)为输出量的网络微分方程。

解:例2.3 已知R 1=1,C 1=1F,u c (0)=0.1v, u r (t)=1(t),求 u c (t) 解:零初始条件下取拉氏变换:例2.4 如图RLC 电路,试列写网络传递函数 U c (s)/U r (s). 参见)()()()(22t u t u dt t du RC dt t u d LC r c c c =++解:1) 零初始条件下取拉氏变换:)()()()(2s U s U s RCsU s U LCs rc c c =++传递函数:11)()()(2++==RCs LCs s U s U s G r c)()()(11s U s U s sU C R r c c =+11)()(11+=s C R s U s U r c dtt dy ft F )()(1=)()(2t ky t F =)()()()(2122t F t F t F dtt y d m --=)()()()(22t F t ky dt t dy f dt t y d m =++2)))()()()(t u t Ri t u dtt di L r c =++⎰=dt t i c t u c )(1)()()()()(22t u t u dt t du RC dt t u d LC r c c c =++rc c u u dt du C R =+11)()()0()(1111s U s U u C R s sU C R r c c c =+-)()(1.0)(s U s U s sU r c c =+-11.0)1(1)(+++=s s s s U c tt c e e t u --+-=1.01)()t )t )s例2.5 已知R 1=1,C 1=1F ,1)求零状态条件下阶跃响应u c (t);2) u c (0)=0.1v, u r (t)=1(t), 求 u c (t);3)求脉冲响应g(t)。

西工大、西交大自动控制原理 第八章 非线性系统_02_相平面法

西工大、西交大自动控制原理 第八章 非线性系统_02_相平面法
稳定的极限环:周期运动稳定 起始于极限环内部或外部的相轨迹最终均卷向该极限环
c
0
c
三、奇点和奇线
奇线--极限环 极限环的三种类型
不稳定的极限环:周期运动不稳定
起始于极限环内部或外部的相轨迹最终均卷离该极限

c
0
c
三、奇点和奇线
奇线--极限环
极限环的三种类型
半稳定的极限环
起始于极限环内部(或外部)的相轨迹最终卷向该
三、奇点和奇线
奇点 零输入线性二阶系统奇点 (0, 0) 的分类: 焦点:当特征根为一对具有负实部的共轭复根时,奇点为
稳定焦点;当特征根为一对具有正实部的共轭复根 时,奇点为不稳定焦点。 节点:当特征根为两个负实根时,奇点为稳定节点;当特 征根为两个正实根时,奇点为不稳定节点。 鞍点:当特征根一个为正实根,一个为负实根时,奇点为 鞍点。 中心点:当特征根为一对纯虚根时,奇点为中心点。
x1 x1
0 0
x2 2
x 2
0
三、奇点和奇线
[例1]
为确定奇点类型,在奇点处将微分方程展开为泰勒级 数,并略去高次项: 在奇点 (0, 0) 处有:
f ( x, x ) 2,
x
x0 x 0
f
( x, x
x )
x0 x 0
0.5
故有:x 0.5x 2x 0
特征根: s1,2 0.25 j1.39 ,奇点为稳定焦点
a a
等倾线方程为: c(t ) c0 a(c(t ) c0 )
(相轨迹)
c
c
0
c
0
t
a0
3、线性系统的相轨迹
线性二阶系统的相轨迹 (b 0)
c
c

相平面自动控制理论

相平面自动控制理论

x 0
-2
奇点位
置:
x x
0 0
x 2
x
0
x
0x
原式 x 0.5x 2x x2 0
在0,0 附近,x 和 x 很小,系统可近似为
x 0.5x 2x 0
其中:2nn2
0.5 2
x
解得: 0 1 稳定焦点 -2 0 x
原式 x 0.5x 2x x2 0
在- 2,0附近,令:x x 2
一、用相平面法分析非线性系统
一般步骤:
1首先将非线性特性分段线性化,并写出相应的
数学表达式。
2在相平面上选择合适的坐标(一般取c c, 但当
系统有阶跃或斜坡输入时,取e e更方便),并将
相平面根据非线性特性划分成若干个线性区域。
3根据描述系统的微分方程绘制各区域的相轨迹。
4把相邻区域中的相轨迹在区域的边界适当连接起
r
e
b
x k c 1 c
-
b
Ts
s
并解解 :1得无局部负反馈时线性部分的微分方程为
当在rtt12120ee时22R,时Tbr,TbereTAc0A。k考x
x2
对方程 x f x, x 的研究
可以转化为对方程 dx2 f x1, x2 的研究
dx1
x2
方程的解既可用x与t的关系表示, 也可用x1与x2的关系表示。
实际上,如把 x f x, x 看作一个质
点的运动方程,用x1t 表示质点的位置,
x2 t 表示质点的运动速度。
用x1与x

2

当系统的初始状态处于
不稳定的极限环的内部
时,系统能稳定工作。
0
x
而当初始条件处于不稳 定的极限环的外部时,

《自动控制原理》 相平面法

《自动控制原理》 相平面法

(8-24) (8-25) (8-26) (8-27)
c(t) = − b c(t) = kc(t)
+a
(8-28)
其中k为等倾线的斜率。当 a2 − 4b 0时,且 b 0 时,可得满
足k=a的两条特殊的等倾线,其斜率为: ???
k1,2 = 1,2 = s1,2 = − a
a2 2
− 4b
(2)线性二阶系统的相轨迹
c + ac + bc = 0
当b>0时,上述(运动)微分方程又可以表示为
c + 2wnc + wn2c = 0
线性二阶系统的特征根
s1,2 = − a
a2 − 4b 2
相轨迹微分方程为 (相轨迹切线斜率ZX)
dc dc
=

ac − c
bc


ac − bc c
=
,可得等倾线方程为:
初始条件下的运动对应多条相轨迹,形成相轨迹簇,而由一簇相轨
迹所组成的图形称为相平面图。
若已知x和 x 的时间响应曲线如图8-10(b),(c)所示,则可根据 任一时间点的x(t)和 x(t)的值,得到相轨迹上对应的点,并由此获
得一条相轨迹,如图8—10(a)所示。
相轨迹在某些特定情况下,也可以通过积分法,直接由微分方
U+jV 表示根为复数
2
2.00
2
7.46
s2 // jV -2.41 -2.00 0.00 -2.24 -7.46 -3.00 -2.00 -2.24 2.00 0.54
1)b<0。系统特征根
− a + a2 + 4b
s1 =
2

自动控制原理第9章 习题及解析

自动控制原理第9章 习题及解析

第9章 习题参考答案9-1 设一阶非线性系统的微分方程为3x x x =-+试确定系统有几个平衡状态,分析各平衡状态的稳定性,并作出系统的相轨迹。

解 3x x x =-+由30x x -+=解得1230, 1, 1e e e x x x ===-。

作出系统的相轨迹图如下:平衡状态(0, 0)稳定,平衡状态(1, 0), (1, 0)-不稳定。

9-2 已知非线性系统的微分方程为(1) 320x x x ++= (2) 0x xx x ++= (3) 0x x x ++= (4) 2(1)0x x x x --+= 试确定系统的奇点及其类型,并概略绘制系统的相轨迹图。

解 (1) 奇点(0, 0)。

特征方程为2320λλ++=两个特征根为1,21, 2λ=--平衡点(0, 0)为稳定节点。

在奇点附近的概略相轨迹图:x(2) 奇点(0, 0)。

在平衡点(0, 0)的邻域内线性化,得到的线性化模型为0x x +=其特征方程为210λ+=两个特征根为1,2j λ=±平衡点(0, 0)为中心点。

在奇点附近的概略相轨迹图:x(3) 奇点(0, 0)。

原方程可改写为0000x x x x x x x x ++=≥⎧⎨+-=<⎩其特征方程、特征根和类型为21,221,2100.50.866 10 1.618, 0.618 j λλλλλλ⎧++==-±⎪⎨+-==-⎪⎩稳定焦点鞍点 在奇点附近的概略相轨迹图:(4) 奇点(0, 0)。

在平衡点(0, 0)的邻域内线性化,得到的线性化模型为x x x-+=其特征方程为210λλ-+=两个特征根为1,20.50.866jλ=±平衡点(0, 0)为不稳定焦点。

在奇点附近的概略相轨迹图:xx9-3 非线性系统的结构图如图9-48所示。

系统开始是静止的,输入信号r(t)=4·1(t),试写出开关线方程,确定奇点的位置和类型,在e-e平面上画出该系统的相平面图,并分析系统的运动特点。

相平面法例题解析相平面法例题超详细步骤解析

相平面法例题解析相平面法例题超详细步骤解析

相平面法例题解析x2x s x=1x sx=x2s x =1s x※稳定焦点不稳定焦点中心点xx2x s x=1x s x=220n n x x x ζωω+-=220n n x x x ζωω++=例已知线性系统的运动方程0=++e b e a e,分别给出系统在相平面中具有(a)稳定焦点和(b)鞍点时,参数a 和b 的取值范围。

解:由方程求出两根为1,2s =(a)稳定焦点10<<ζ,系统具有一对负实部共轭复根,0>a 、b a 42<且0>b ; (b)鞍点,系统具有符号相反的两个实极点0<b 。

例已知某二阶线性系统的运动方程为240e e e ++=,则系统的奇点类型和当输入()51()r t t =⋅时的系统稳态误差分别为__ B ____。

A .稳定的节点,∞;B .稳定的焦点,0;C .稳定的焦点,∞;D .稳定的节点,0 。

例8.6:设线性系统开始处于静止状态(即输出初始值为0),试利用相平面法对系统稳定性及稳态误差进行分析。

其中,1)()1(),r t R t R =⋅为常数:2)(),r t R t R =⋅为常数:解:因分析系统稳定性故从闭环系统传递函数出发,由闭环系统传递函数2()()C s KR s Ts s K=++,则2()[]()C s Ts s K KR s ++=。

于是描述该系统的运动方程为: Tc c Kc Kr ++=绘制e e -相平面相轨迹。

【注】:把相变量变成误差,分析最终奇点位置表示稳态误差情况。

当然c c -也行。

但是若没要求,一般建议e e -相平面。

因为e r c =-,即c r e =-,所以,Te e Ke Tr r ++=+————————(1)1)()1(),r t R t R =⋅为常数:0r r ==,于是得出关于误差e 的运动方程:0Te e Ke ++=,注:如果线性系统运动方程为典型的二阶系统运动方程,可以不用解析法求相轨迹,而直接根据此时特征方程根的分布情况,分析奇(异)点类型并绘制该区域的相轨迹。

相平面法例题解析相平面法例题超详细步骤解析

相平面法例题解析相平面法例题超详细步骤解析

相平面法例题解析xx2x s x=1x sx=x2s x =1s x※稳定焦点不稳定焦点1s 2中心点xx2x s x=1x s x=220n n x x x ζωω+-=220n n x x x ζωω++=例已知线性系统的运动方程0=++e b e a e,分别给出系统在相平面中具有(a)稳定焦点和(b)鞍点时,参数a 和b 的取值范围。

解:由方程求出两根为1,2s =(a)稳定焦点10<<ζ,系统具有一对负实部共轭复根,0>a 、b a 42<且0>b ; (b)鞍点,系统具有符号相反的两个实极点0<b 。

例已知某二阶线性系统的运动方程为240e e e ++=,则系统的奇点类型和当输入()51()r t t =⋅时的系统稳态误差分别为__ B ____。

A .稳定的节点,∞;B .稳定的焦点,0;C .稳定的焦点,∞;D .稳定的节点,0 。

例:设线性系统开始处于静止状态(即输出初始值为0),试利用相平面法对系统稳定性及稳态误差进行分析。

其中,1)()1(),r t R t R =⋅为常数:2)(),r t R t R =⋅为常数:解:因分析系统稳定性故从闭环系统传递函数出发,由闭环系统传递函数2()()C s KR s Ts s K=++,则2()[]()C s Ts s K KR s ++=。

于是描述该系统的运动方程为: Tc c Kc Kr ++=绘制e e -相平面相轨迹。

【注】:把相变量变成误差,分析最终奇点位置表示稳态误差情况。

当然c c -也行。

但是若没要求,一般建议e e -相平面。

因为e r c =-,即c r e =-,所以,Te e Ke Tr r ++=+————————(1)1)()1(),r t R t R =⋅为常数:0r r ==,于是得出关于误差e 的运动方程:0Te e Ke ++=,注:如果线性系统运动方程为典型的二阶系统运动方程,可以不用解析法求相轨迹,而直接根据此时特征方程根的分布情况,分析奇(异)点类型并绘制该区域的相轨迹。

自动控制原理试题及答案解析

自动控制原理试题及答案解析

自动控制原理一、简答题:(合计20分, 共4个小题,每题5分)1. 如果一个控制系统的阻尼比比较小,请从时域指标和频域指标两方面说明该系统会有什么样的表现?并解释原因。

2. 大多数情况下,为保证系统的稳定性,通常要求开环对数幅频特性曲线在穿越频率处的斜率为多少?为什么?3. 简要画出二阶系统特征根的位置与响应曲线之间的关系。

4. 用根轨迹分别说明,对于典型的二阶系统增加一个开环零点和增加一个开环极点对系统根轨迹走向的影响。

二、已知质量-弹簧-阻尼器系统如图(a)所示,其中质量为m 公斤,弹簧系数为k 牛顿//米,当物体受F = 10牛顿的恒力作用时,其位移y (t )的的变化如图(b)(合计20分)图(a) 图(b)三、已知一控制系统的结构图如下,(合计20分, 共2个小题,每题10分)1)2)个交接频率的几何中心。

1) 计算系统对阶跃信号、斜坡信号和加速度信号的稳态精度。

2) (合计20分, 共2个小题,每题10分) [,最大输出速度为2 r/min1) 确定满足上述指标的最小K 值,计算该K 值下的相位裕量和幅值裕量;(rad/s)(合计20分, 共2个小题,每题10分)自动控制原理模拟试题3答案答案一、简答题1.如果二阶控制系统阻尼比小,会影响时域指标中的超调量和频域指标中的相位裕量。

根据超调量和相位裕量的计算公式可以得出结论。

2.之间。

3.二、系统的微分方程为 ()()y t y t ky μ++因此所以由系统得响应曲线可知,由二阶系统性能指标的计算公式解得由响应曲线得,峰值时间为3s ,所以由解得由系统特征方城可知所以三、1比较2)由题意知,该系统是个线性系统,满足叠加原理,故可以分别AB四、解:1因为是“II ”型系统所以对阶跃信号、斜坡信号的稳态误差为0;2180(180ϕω+-五、解:1)系统为I 360/602=可以求得3.5 3.5arctanarctan 25-得2)加入串联校正后,开环传递函数为4.8 4.8 4.8 4.8arctan arctan arctan arctan---=2.52512.5单项选择题(16分)(扣分标准 >标准:一空一分)1.根据控制系统元件的特性,控制系统可分为( B )反馈控制系统和前馈控制系统线性控制系统和非线性控制系统定值控制系统和随动控制系统连续控制系统和离散控制系统2.系统的动态性能包括( C )A. 稳定性、平稳性 B.快速性、稳定性C.平稳性、快速性 D.稳定性、准确性3.系统的传递函数( C )A.与输入信号有关B.与输出信号有关C.完全由系统的结构和参数决定4.传递函数反映了系统的动态性能,它与下列哪项因素有关?( C )A. 输入信号 B.初始条件 C.系统的结构参数 D.输入信号和初始条件D.既由系统的结构和参数决定,也与输入信号有关5.设系统的传递函数为G(S)=,则系统的阻尼比为( A )A. B.1 C. D.6.一阶系统的阶跃响应( D )A.当时间常数T较大时有超调 B.当时间常数T较小时有超调C.有超调 D.无超调7.根轨迹上的点应满足的幅角条件为 G(S)H(S) =( D )A.-1 B.1C.(k=0,1,2…) D.(k=0,1,2,…).8.欲改善系统动态性能,一般采用( A )A.增加附加零点 B.增加附加极点C.同时增加附加零、极点 D.A、B、C均不行而用其它方法9.伯德图中的低频段反映了系统的( A )A.稳态性能 B.动态性能 C.抗高频干扰能力 D..以上都不是10.放大环节的频率特性相位移为( B )A. -180 B.0 C.90 D.-9011.Ⅱ型系统对数幅频特性的低频段渐近线斜率为( B )A. -60(dB/dec) B. -40(dB/dec)C. -20(dB/dec) D.0(dB/dec)12. 常用的比例、积分与微分控制规律的另一种表示方法是( D )A. PI B. PD C.ID D. PID13.设有一单位反馈控制系统,其开环传递函数为,若要求相位裕量 , 最为合适的选择是采用( B )A.滞后校正 B.超前校正 C.滞后—超前校正 D.超前—滞后校正14. 已知离散控制系统结构图如下图1所示,则其输出采样信号的Z变换的表达式C(z)为( D )来自 www.3 7 2 中国最大的资料库下载图系统结构图A. B C. D.15. 零阶保持器是采样系统的基本元件之一,其传递函数,由其频率特性可知,它是一个(B)A.高通滤波器 B.低通滤波器 C.带通滤波器 D.带阻滤波器16. 非线型系统的稳定性和动态性能与下列哪项因素有关?( D )A.输入信号 B.初始条件C.系统的结构、参数 D.系统的结构参数和初始条件二、填空题(16分)(扣分标准:一空一分)1. 线性控制系统有两个重要特性:叠加性和____齐次性(或均匀性)__________。

自控 第8章-2 相平面法

自控 第8章-2 相平面法

12
8.2.3 二阶系统的相轨迹
二阶系统的运动方程为
c ac bc 0
当 b 0 ,可以表示为
c f (c, c) ac bc
其中 n b ,
c 2n c c 0
2 n
a 2 b
a a 2 4b 其特征根为 s1, 2 2 相轨迹微分方程为 dc f (c, c) ac bc dc c c
17
2)b=0
系统特征根为 s1 0, s2 a
dc c 相轨迹微分方程为 a dc c 用积分法求得相轨迹方程为
s1, 2
a a 2 4b 2
c ac bc
c(t ) c0 a(c(t ) c0 )
a>0时,系统收敛 a<0时,系统发散
系统零输入响应为非振荡衰减 存在两条特殊等倾线,斜率为
k1 s1 0, k2 s2 k1
当初始点落在特殊等倾 线上时,将沿直线趋于 原点,除此之外,相轨 迹沿着s1c(t)的方向收敛 于原点。
20
(3)ξ=1
特征根为两个相等的负实根
s1, 2 n n 1
2
s1, 2 n
0.5 x 2 x x 2 0 x
试求系统奇点,并绘制相平面图 解: f ( x, x) (0.5x 2 x x 2 ) x 所以系统相轨迹微分方程为 dx (0.5 x 2 x x 2 ) dx x 令
dx 0 dx 0
0.5x 2x 0 x
得特征根
s1, 2 0.25 j1.39
故奇点(0,0)为稳定奇点 (焦点)

自动控制原理学生实验:非线性系统的相平面分析讲解

自动控制原理学生实验:非线性系统的相平面分析讲解

非线性系统的相平面分析实验一典型非线性环节一.实验要求1. 了解和掌握典型非线性环节的原理。

2. 用相平面法观察和分析典型非线性环节的输出特性。

二.实验原理及说明实验以运算放大器为基本元件, 在输入端和反馈网络中设置相应元件 (稳压管、二极管、电阻和电容组成各种典型非线性的模拟电路,模拟电路见图 3-4-5 ~ 图 3-4-8所示。

1.继电特性理想继电特性的特点是:当输入信号大于 0时,输出 U 0=+M,输入信号小于 0,输出 U 0=-M。

理想继电特性如图 3-4-1所示, 模拟电路见图 3-4-5, 图 3-4-1中 M 值等于双向稳压管的稳压值。

图 3-4-1 理想继电特性图 3-4-2 理想饱和特性注:由于流过双向稳压管的电流太小(4mA ,因此实际 M 值只有 3.7V 。

实验步骤:(1 将信号发生器 (B1 的幅度控制电位器中心 Y 测孔, 作为系统的 -5V~+5V输入信号 (Ui : B1单元中的电位器左边 K3开关拨上(-5V ,右边 K4开关也拨上(+5V 。

(2模拟电路产生的继电特性:继电特性模拟电路见图 3-4-5。

图 3-4-5 继电特性模拟电路①构造模拟电路:按图 3-4-5安置短路套及测孔联线,表如下。

(b 测孔联线②观察模拟电路产生的继电特性:观察时要用虚拟示波器中的 X-Y 选项慢慢调节输入电压(即调节信号发生器 B1单元的电位器,调节范围 -5V~+5V ,观测并记录示波器上的 U 0~Ui 图形,如下图:由图得 M=3.77V(3函数发生器产生的继电特性①函数发生器的波形选择为‘继电’ ,调节“设定电位器1” ,使数码管右显示继电限幅值为 3.7V 。

②测孔联线:③观察函数发生器产生的继电特性:观察时要用虚拟示波器中的 X-Y 选项慢慢调节输入电压(即调节信号发生器 B1单元的电位器,调节范围 -5V~+5V ,观测并记录示波器上的 U 0~Ui 图形。

自动控制原理经典题解

自动控制原理经典题解

例1 某一个控制系统动态结构图如下,试分别求系统的传递函数:)()(,)()(1211s R s C s R s C ,)()(,)()(2122S R S C s R s C 。

43213211243211111)()(,1)()()(G G G G G G G s R s C G G G G s G s R s C --=-=例2 某一个控制系统动态结构图如下,试分别求系统的传递函数:)()(,)()(,)()(,)()(s N S E s R s E s N s C s R s C 。

例3:例4、一个控制系统动态结构图如下,试求系统的传递函数。

X r )例5 如图RLC 电路,试列写网络传递函数 U c (s)/U r (s).解: 零初始条件下取拉氏变换:作业2-9;2-10;2-17(a )、(b )、(e );2-22(a )、(b )(t)U )()()()(22t u t u dtt du RC dt t u d LC r c c c =++11)()()(2++==RCs LCs s U s U s G r c )()()()(2s U s U s RCsU s U LCs r c c c =++=∆k KK P 1第三章 本章要求:1、稳定性判断1)正确理解系统稳定性概念及稳定的充要条件。

闭环系统特征方程的所有根均具有负实部;或者说,闭环传递函数的极点均分布在 平面的左半部。

2)熟练运用代数稳定判据判定系统稳定性,并进行分析计算。

2、稳态误差计算1)正确理解系统稳态误差的概念及终值定理应用的限制条件。

2)牢固掌握计算稳态误差的一般方法。

3)牢固掌握静态误差系数法及其应用的限制条件。

3、动态性能指标计算1)掌握一阶、二阶系统的数学模型和典型响应的特点。

2)牢固掌握一阶、二阶系统特征参数及欠阻尼系统动态性能计算。

3)掌握典型欠阻尼二阶系统特征参数、极点位置与动态性能的关系。

《自动控制原理》辅导资料十六

《自动控制原理》辅导资料十六

自动控制原理辅导资料十六主 题:非线性控制系统的辅导文章——相平面分析法、描述函数分析法 学习时间:2013年1月14日-1月20日内 容:我们这周主要还是学习课件第8章非线性控制系统的部分内容。

希望通过下面的内容能使同学们加深对非线性控制系统的相关知识的理解。

注意:请同学根据老师标注的侧重点选择性学习。

一、相平面分析法(需要掌握的内容,其中相轨迹了解即可)相平面法是庞卡莱(H.Poincare)提出来的一种用图解法求解一阶、二阶微分方程的方法,它实质上属于状态空间分析法在二维空间中的应用。

该方法适合于研究给定初始状态的二阶自由运动系统和给定初始状态及非周期输入信号(如阶跃、斜坡或脉冲信号等)的二阶系统。

相平面是以相变量1x 和2x 为坐标构成的平面。

其中系统在某一时刻1t 的状态就成为相平面上的一个点12((),())x t x t 。

相轨迹:在相平面上,由12(,)x x 以时间t 为参变量构成的曲线。

相轨迹上的箭头表示时间参量的增大方向。

若以一些初始状态作为起始点,在相平面上做出一簇相轨迹,成为系统的相平面图。

图1 相平面图相平面图的特点1.相平面图的对称性:相平面图往往是关于原点或坐标轴对称的,它的对称性可以从相轨迹的斜率来判断。

2.除了奇点外,相轨迹和x 轴垂直相交。

3.系统状态沿相轨迹的移动方向由相轨迹上的箭头表示。

奇点和极限环是相平面法中分析系统性能的两个重要概念,在相平面图中,确定了奇点和极限环的位置与形式,也就确定了各种初始条件下状态的运动过程以及系统的基本性能。

奇点:在相平面上,同时满足0x= 和(,)0f x x = 的点,由于(,)(,)00f x xf x xx x -==相轨迹的斜率不是一个确定的值,说明通过该点的相轨迹曲线有一条以上,这样的点称为奇点。

奇点只分布在相平面的x 轴上。

极限环:非线性系统所特有的自激振荡现象,在相平面图中则表现为一个孤立的封闭轨迹,称做极限环。

自动控制原理例题详解-相平面法例题解析相平面法例题超详细步骤解析

自动控制原理例题详解-相平面法例题解析相平面法例题超详细步骤解析

相平面法例题解析:要求:1.正确求出对于非线性系统在每个线性区的相轨迹方程,也就是e e -之间关系的方程(或c c -)。

会画相轨迹(模型中是给具体数的)。

※※关键是确定开关线方程。

2. ※※※如果发生自持振荡,计算振幅和周期。

注意相平面法一般应:1)按照信号流向与传输关系。

线性部分产生导数关系,非线性部分形成不同分区。

连在一起就形成了不同线性分区对应的运动方程,即含有c 或者e 的运动方程。

2)※※※根据不同线性分区对应的运动方程的条件方程确定开关线方程。

开关线方程确定很关键。

3)※※※根据不同线性分区对应的运动方程,利用解析法(分离变量积分法或者消去t 法)不同线性分区对应的相轨迹方程,即c c -和e e -之间关系。

4)※根据不同分区的初始值绘制出相轨迹,并求出稳态误差和超调、以及自持振荡的周期和振幅等。

例2问题1. 用相平面法分析系统在输入r (t ) = 4.1(t )时的运动情况。

问题2. 如果发生自持振荡 ,求自持振荡的周期和振幅。

解:问题1:1)设系统结构图,死区特性的表达式:0,||22,22,2x e x e e x e e =≤⎧⎪=->⎨⎪=+<-⎩2)线性部分:2()1()C s X s s =,则微分方程为:c x = 3)绘制e e -平面相轨迹图。

因为e r c =-,c r e =-,c r e =-,c r e =-。

代入则e x r =-+ (1)当0t >,0r =,0r =。

代入,则各区的运动方程0,||2I 2,2II 2,2III e e e e e e e e =≤--⎧⎪=->---⎨⎪=--<----⎩由于非线性特性有3个分区,相平面ee -分为3个线性区。

注意,当相平面选好后,输入代入后,最后代入非线性特性。

4) 系统开关线:2e =±。

5) 由题意知初始条件(0)(0)(0)4e r c =-=,(0)(0)(0)0e r c =-=在II 区,则从初始值出发绘制相轨迹:【注】:用解析法中的斜率法求:上课时按照此方法求相轨迹方程: II 区: e e-20 += ------不是标准线性系统运动方程的形式。

自动控制原理典型习题(含答案解析)

自动控制原理典型习题(含答案解析)

自动控制原理习题一、(20分) 试用结构图等效化简求下图所示系统的传递函数)()(s R s C 。

解:所以:32132213211)()(G G G G G G G G G G s R s C +++= 二.(10分)已知系统特征方程为06363234=++++s s s s ,判断该系统的稳定性,若闭环系统不稳定,指出在s 平面右半部的极点个数。

(要有劳斯计算表)解:劳斯计算表首列系数变号2次,S 平面右半部有2个闭环极点,系统不稳定。

66.06503366101234s s s s s -三.(20分)如图所示的单位反馈随动系统,K=16s -1,T=0.25s,试求:(1)特征参数n ωξ,; (2)计算σ%和t s ; (3)若要求σ%=16%,当T 不变时K 应当取何值? 解:(1)求出系统的闭环传递函数为:TK s T s T K Ks Ts K s /1/)(22++=++=Φ因此有:25.0212/1),(825.0161======-KT T s T K n n ωζω(2) %44%100e %2-1-=⨯=ζζπσ%)2)((2825.044=∆=⨯=≈s t n s ζω(3)为了使σ%=16%,由式%16%100e %2-1-=⨯=ζζπσ可得5.0=ζ,当T 不变时,有:)(425.04)(425.05.021212/11221--=⨯===⨯⨯===s T K s T T n n ωζζω四.(15分)已知系统如下图所示,1.画出系统根轨迹(关键点要标明)。

2.求使系统稳定的K 值范围,及临界状态下的振荡频率。

解① 3n =,1,2,30P =,1,22,1m Z j ==-±,1n m -= ②渐进线1条π ③入射角1ϕ()18013513513590360135135=︒+︒+︒+︒-︒=︒+︒=︒同理 2ϕ2135sr α=-︒④与虚轴交点,特方 32220s Ks Ks +++=,ωj s =代入222K K-0=1K ⇒=,2s = X rX cK S 3S 2+2S +2所以当1K >时系统稳定,临界状态下的震荡频率为2ω=。

自动控制原理习题及解答

自动控制原理习题及解答

自动控制原理习题及其解答第一章(略) 第二章例2-1 弹簧,阻尼器串并联系统如图2-1示,系统为无质量模型,试建立系统的运动方程。

解:(1) 设输入为y r ,输出为y 0。

弹簧与阻尼器并联平行移动。

(2) 列写原始方程式,由于无质量按受力平衡方程,各处任何时刻,均满足∑=0F ,则对于A 点有其中,F f 为阻尼摩擦力,F K 1,F K 2为弹性恢复力。

(3) 写中间变量关系式 (4) 消中间变量得 (5) 化标准形 其中:215K K T +=为时间常数,单位[秒]。

211K K K K +=为传递函数,无量纲。

例2-2 已知单摆系统的运动如图2-2示。

(1) 写出运动方程式 (2) 求取线性化方程解:(1)设输入外作用力为零,输出为摆角? ,摆球质量为m 。

(2)由牛顿定律写原始方程。

其中,l 为摆长,l ? 为运动弧长,h 为空气阻力。

(3)写中间变量关系式 式中,α为空气阻力系数dtd lθ为运动线速度。

(4)消中间变量得运动方程式0s i n 22=++θθθmg dt d al dtd ml (2-1) 此方程为二阶非线性齐次方程。

(5)线性化由前可知,在? =0的附近,非线性函数sin ? ≈? ,故代入式(2-1)可得线性化方程为例2-3 已知机械旋转系统如图2-3所示,试列出系统运动方程。

解:(1)设输入量作用力矩M f ,输出为旋转角速度? 。

(2)列写运动方程式 式中, f ?为阻尼力矩,其大小与转速成正比。

(3)整理成标准形为 此为一阶线性微分方程,若输出变量改为?,则由于代入方程得二阶线性微分方程式例2-4 设有一个倒立摆安装在马达传动车上。

如图2-4所示。

图2-2 单摆运动图2-3 机械旋转系统倒立摆是不稳定的,如果没有适当的控制力作用在它上面,它将随时可能向任何方向倾倒,这里只考虑二维问题,即认为倒立摆只在图2-65所示平面内运动。

控制力u 作用于小车上。

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相平面法例题解析:
要求:
1.正确求出对于非线性系统在每个线性区的相轨迹方程,也就是e e -之间关系的方程(或c c -)。

会画相轨迹(模型中是给具体数的)。

※※关键是确定开关线方程。

2. ※※※如果发生自持振荡,计算振幅和周期。

注意相平面法一般应:
1)按照信号流向与传输关系。

线性部分产生导数关系,非线性部分形成不同分区。

连在一起就形成了不同线性分区对应的运动方程,即含有c 或者e 的运动方程。

2)※※※根据不同线性分区对应的运动方程的条件方程确定开关线方程。

开关线方程确定很关键。

3)※※※根据不同线性分区对应的运动方程,利用解析法(分离变量积分法或者消去t 法)不同线性分区对应的相轨迹方程,即c c -和e e -之间关系。

4)※根据不同分区的初始值绘制出相轨迹,并求出稳态误差和超调、以及自持振荡的周期和振幅等。

例2
问题1. 用相平面法分析系统在输入r (t ) = 4.1(t )时的运动情况。

问题2. 如果发生自持振荡 ,求自持振荡的周期和振幅。

解:问题1:1)设系统结构图,死区特性的表达式:
0,||2
2,22,2x e x e e x e e =≤⎧⎪
=->⎨⎪=+<-⎩
2)线性部分:
2
()1
()C s X s s =,则微分方程为:c x = 3)绘制e e -平面相轨迹图。

因为e r c =-,c r e =-,c r e =-,c r e =-。

代入则
e x r =-+ (1)
当0t >,0r =,0r =。

代入,则各区的运动方程0,
||2I 2,2II 2,2III e e e e e e e e =≤--⎧⎪
=->---⎨⎪=--<----⎩
由于非线性特性有3个分区,相平面e
e -分为3个线性区。

注意,当相平面选好后,输入代入后,最后代入非线性特性。

4) 系统开关线:2e =±。

5) 由题意知初始条件(0)(0)(0)4e r c =-=,(0)(0)(0)0e r c =-=在II 区,则从
初始值出发绘制相轨迹:
【注】:用解析法中的斜率法求:上课时按照此方法求相轨迹方程: II 区: e e-20 += ------不是标准线性系统运动方程的形式。

根据斜率方程2e de e
de e e
-==
,则分离变量积分得 40(2)e e e de ede -=⎰⎰ 则e
e -之间的相轨迹方程为 22
(2)4e e -+= 结论:II 区以20奇点(,)为中心的圆,与右开关线2e =的交点A (2,-2) I 区:0e =,2e ==-常数,水平线,与左开关线2e =-的交点B (-2,-2) III 区:e e 20 ++= ------不是标准线性系统运动方程的形式。

根据斜率方程2
de e e e d e
e --=
=,则分离变量积分得 2
2
(2)e
e
e de ede ---+=⎰
⎰(注意新的初始值B (-2,-2))
则e
e -之间的相轨迹方程为 2
2
(2)4e e ++= 结论:III 区以20奇点(-,)
为中心的圆。

以此例推,出现了一个封闭椭圆。

——极限环
问题2:
若相平面中出现了稳定的极限环——对应着非线性的自持振荡。

问题:自持振荡的周期怎么算呢?幅值怎么算呢?如图: 这是个椭圆,1)周期:4()CA AD T t t =+
II 区:2244
1CA t de e e d ==-⎰⎰,
这是因为: 2
2
(2)4e e +-=→ 4(e =--,注意, e 在图中为负的。

I 区: 002211
12
AD t de de e ==-=⎰⎰
振幅——代表此时的位移,也就是此时与横轴的交点位置大小——即C 点的横坐标。

这是因为,对于整个非线性系统的奇点是(0,0 )。

对于该点,最大的位移就是振幅,因此是C 点的横坐标4。

例3:具有继电器特性的非线性系统分析 2006-B (15分)非线性控制系统如图。

e
问题1:给出起点在02c =,00c =的c c -相轨迹图。

(10分) 问题2:计算相轨迹旋转一周所需时间。

(5分)
解:问题1:(10分)
1)非线性环节数学表达式:0||12
121e x e e ≤⎧⎪
=>⎨⎪-<-⎩

2)线性部分:
2()1
()C s X s s
=所以描述线性部分的微分方程为:c x = 则0||12
121c e c e c e =≤⎧⎪
=>⎨⎪=-<-⎩
3)绘制c c -平面相轨迹。

e r c =-,令0r =,e c =-,
则各区的运动方程0||1I 21
II 21III c c c c c c =≤⎧⎪
=->⎨⎪=<-⎩
注意:条件方程也要改成c c -的。

4)开关线方程:1c =±
5)由已知条件,起点02c =,0c 0=,)0,2(从II 区开始,下面绘制相轨迹: 【注】:用解析法中消去参变量时间t 的方法求相轨迹方程:上课时按照此方法求的,以下同。

当然如果用斜率法求相轨迹方程也可以。

不过,这个例子c 为常数,消去参变量时间t 的方法更适合。

Ⅱ区:
2c =-,则022c t c t =-+=-;22002c t c t c t =-++=-+;
相轨迹为开口向左的抛物线,22
20
00.250.250.252c c c c c =-++=-+; 在右开关线1c =处的交点为01c =1 , 210.252c =-+ 012c =----(1,-2)
Ⅰ区:0c =,则012c c ==-;010121c c t c t =-+=-+;相轨迹为平行横轴的直线(因
为纵坐标不变-2,而横坐标虽时间变化);
在左开关线处的交点为02c =-1 , 022c =----(-1,-2)
Ⅲ区: 02222c t c t =+=-;22020221c t c t c t t =++=--;
22
202020.250.250.252c c c c c =-+=-----相轨迹为开口向右的抛物线,
在开关线处的交点 (-1, 2)以此类推,求得如图的极限环。

注意: 每个区的初始值是不同的。

当进入II 区时的第一个位置即为II 的初始值, 每个区的初始值的求法就是根据上一个区的区域根轨迹方程可以求出进入下一区的初始值,以此一个个区经过后,会变成一个连续的曲线轨迹——非线性系统的相轨迹。

问题2:运动一周所需时间为
1
010********()4()62T dc
dc dc c c =+=+=--⎰
⎰⎰⎰(因为II 区20.252c c =-+,则c =,注意,c 在图中为负的。


注意: 并不是所有开关线都是垂直于横轴的,开关线关键要看各个线性区域的边界条件。

例4 :2008年 非线性控制系统如下图所示。

图中()21()r t t =⋅。

1、以c c -为相变量,写出相轨迹分区运动方程(8分); 2、若M =0.5,画出起始于(0)0c =、(0)0c =的相轨迹(4分); 3、利用相轨迹计算稳态误差及超调量(3分)。

b
解: 1. 1)非线性特性:00M
c b M
c ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩
2) 线性部分: c e b =- (1)
注意:线性部分关键是产生c 的运动方程,但是更关键的是,此运动方程必须能与非线
性特性的输出产生关系。

3)绘制以c c -平面的相轨迹。

因此,e r c =-代入式(1)中,则 则 c r c b =--即运动方程为
0c c b r -++=
因为()21()r t t =⋅,则 20c b c +-+=(2)
式(2)中代入非线性特性,于是
各区的运动方程:
2020c r c M c c M
c c r c M c c M
c ⎧=--⇒+=->⎪⎨
=-+⇒+=+<⎪⎩ M =0.5,则各区的运动方程:
1.50,0
2.50,0
c c c c c c +-=>⎧⎨+-=<⎩ 5)开关线方程:0c =
2. 绘制相轨迹:
起点为(0,0)在I 区。

I 区: 1.5
dc c dc c
-=-,积分分离后00( 1.5)c c c dc cdc -+=⎰⎰则 222
( 1.5) 1.5c c -+=, 相轨迹为奇点为 1.5c =,0c =的圆。

与开关线交于3c =,0c =的点
II 区: 2.5
dc c dc c
-=-,积分分离后30( 2.5)c c c dc cdc -+=⎰⎰,则222( 2.5)0.5c c -+=,相轨迹为奇点为 2.5c =,0c =的圆。

则相轨迹如图:
3. 稳态误差:()()ss e r c =∞-∞=2-2=0
超调量: 32
%=50%2
σ-=
可见:开关线不一定垂直于或者平行于横轴,见本章的作业P477 8-7 。

I 区 II 区 I 区
II 区。

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