2021年北师大版必修2数学测试题及答案

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【课堂新坐标】（教师用书）2021学年高中数学第二章解析几何初步综合检测北师大版必修2(1)

第二章解析几何初步(时刻90分钟，总分值120分)一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．(2021·惠州高一检测)过两点A (－2，m )，B (m,4)的直线倾斜角是45°，那么m 的值是( )A ．－1B ．3C ．1D ．－3【解析】 k AB ＝m －4－2－m＝tan 45°＝1，∴m ＝1. 【答案】 C2．假设两直线ax ＋2y ＝0和x ＋(a －1)y ＋(a 2－1)＝0平行，那么a 的值是( )A ．－1或2B ．－1C ．2D ．23 【解析】由a (a －1)－1×2＝0得a ＝－1或2，经查验a ＝－1时，两直线重合．【答案】 C3．(2021·合肥高一检测)若是圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在两个点到原点的距离为2，那么实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)∪(1,3)B ．(－3,3)C ．[－1,1]D ．(－3，－1]∪[1,3) 【解析】数形结合∵(0,0)、(a 、a )所在直线是存在两点的垂直平分线，∴1＜a ＜3或－3＜a ＜－1.【答案】 A4．在空间直角坐标系O—xyz中，点M的坐标是(1,3,5)，那么其关于x轴的对称点的坐标是( ) A．(－1，－3，－5) B．(－1，－3,5)C．(1，－3，－5) D．(1,3，－5)【解析】M(1,3,5)关于x轴对称的点，在x轴上的坐标不变，其他是其相反数，即为(1，－3，－5)．【答案】C5．圆(x－3)2＋(y＋4)2＝2关于直线y＝0对称的圆的方程是( )A．(x＋3)2＋(y－4)2＝2 B．(x－4)2＋(y＋3)2＝2C．(x＋4)2＋(y－3)2＝2 D．(x－3)2＋(y－4)2＝2【解析】圆心(3，－4)关于y＝0对称的点为(3,4)，∴圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝2.【答案】D6．(2021·南宁高一检测)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( )A. 3 B．2C. 6 D．23【解析】由题意得直线方程为y＝3x，圆的方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心到直线的距离d＝23＋1＝1，弦长|AB|＝24－1＝2 3.【答案】D7．(2021·潍坊高一检测)假设直线l1：ax＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y－2＝0相互垂直，那么a的值是( )A．－3 B．1 C．－1 D．1或－3【解析】∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝1或－3.【答案】D8．假设点P(a，b，c)关于原点的对称点是P′，那么|PP′|＝( )A.a 2＋b 2＋c 2 B ．2a 2＋b 2＋c 2C ．|a ＋3＋c |D ．2|a ＋b ＋c |【解析】 P ′(－a ，－b ，－c )．由两点间距离公式得|PP ′|＝－a －a 2＋－b －b 2＋－c －c 2 ＝2a 2＋b 2＋c 2.【答案】 B9．不论a 为何数，直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0恒过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】由(a －3)x ＋2ay ＋6＝0，得(x ＋2y )a ＋(6－3x )＝0. 令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝0，6－3x ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－1，∴直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0恒过定点(2，－1)．从而该直线恒过第四象限．【答案】 D10．使得方程16－x 2－x －m ＝0有实数解，那么实数m 的取值范围是( ) A ．－4≤m ≤42 B ．－42≤m ≤42 C ．－4≤m ≤4D ．4≤m ≤42 【解析】设f (x )＝16－x 2，g (x )＝x ＋m ，在同一坐标系中画出函数f (x )和g (x )的图形，如下图．那么m是直线y ＝x ＋m 在y 轴上的截距．由图可知－4≤m ≤42. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)11．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与B 的距离相等，那么M 的坐标是________．【解析】 ∵M 在y 轴上，设其坐标为(0，y,0)，由空间两点间的距离公式得 1＋y 2＋4＝1＋y ＋32＋1，得y ＝－1，∴M 的坐标为(0，－1,0)．【答案】 (0，－1,0)12．已知点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且P 点到直线x －y －1＝0的距离为2，那么P 点坐标为________．【解析】点P 在直线3x ＋y －5＝0上，设P (x 0，y 0)，即P (x 0,5－3x 0)．由点到直线的距离公式，得|x 0－5－3x 0－1|12＋－12＝2，解得x 0＝2或x 0＝1，因此点P 的坐标为(2，－1) 或(1,2)．【答案】 (2，－1) 或(1,2)13．两平行直线l 1：3x ＋4y －2＝0，l 2：6x ＋ay －5＝0的距离等于__________．【解析】由3a －24＝0，得a ＝8，∴l 2：3x ＋4y －52＝0. ∴d ＝|－52－－2|32＋42＝110. 【答案】 110 14．(2021·九江高一检测)已知方程x 2＋y 2＋2mx －2my －2＝0表示的曲线恒过第三象限的一个定点A ，假设点A 又在直线l ：mx ＋ny ＋1＝0上，那么m ＋n ＝________.【解析】已知方程即x 2＋y 2－2＋2m (x －y )＝0，该曲线系恒通过圆x 2＋y 2－2＝0与直线x －y ＝0的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2＝0x －y ＝0得所过定点为(－1，－1)，(1,1)，∵点A 为第三象限的点，∴A 点的坐标为(－1，－1)，将其代入直线l 的方程得(－1)·m ＋(－1)·n ＋1＝0，即m ＋n ＝1.【答案】 1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤)15．(本小题12分)菱形ABCD 中，A (－4,7)、C (6，－5)、BC 边所在直线过点P (8，－1)，求：(1)AD 边所在直线的方程；(2)对角线BD 所在直线的方程．【解】 (1)k BC ＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2.∴直线AD 方程为y －7＝2(x ＋4)，即2x －y ＋15＝0.(2)k AC ＝－65，∵菱形对角线相互垂直， ∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56，而AC 中点(1,1)，也是BD 的中点，∴直线BD 的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0. 图116．(本小题12分)如图1所示，⊙O 的方程为x 2＋y 2＝9，点P 的坐标为(4,0)，求：(1)以点P 为圆心且与⊙O 外切的圆的标准方程；(2)以点P 为圆心且与⊙O 内切的圆的标准方程．【解】 (1)知足条件的圆P 是以(4,0)为圆心，1为半径的圆．因此圆P 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1.(2)知足条件的圆P 是以(4,0)为圆心，7为半径的圆，因此圆P 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝49.17．(本小题12分)已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0.(1)假设此方程表示圆，求m 的取值范围；(2)假设(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值．【解】 (1)x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0，D ＝－2，E ＝－4，F ＝m ，D 2＋E 2－4F ＝20－4m ＞0，m ＜5.(2)将x ＝4－2y 代入x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得5y 2－16y ＋8＋m ＝0，y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5，∵OM ⊥ON ，得出：x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴5y 1y 2－8(y 1＋y 2)＋16＝0，∴m ＝85. 18．(本小题14分)已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点．(1)求四边形PACB 面积的最小值；(2)直线l 上是不是存在点P ，使∠BPA ＝60°？假设存在，求出点P 的坐标；假设不存在，说明理由．【解】 (1)如下图，△PAC ≌△PBC ，那么有S PACB ＝2S △PAC .圆心C (1,1)，半径r ＝1.由切线性质得AC ⊥PA ，那么|PA |＝|PC |2－|AC |2，又|AC |＝1，∴S △PAC ＝12|AC |·|PA |＝12|PC |2－1. 又P 在直线l 上，那么|PC |的最小值是C 到直线l 的距离d ＝|3＋4＋8|9＋16＝3. ∴S △PAC 的最小值为1232－1＝ 2.∴四边形PACB 面积的最小值是22. (2)假设直线l 上存在点P 知足题意．∵∠APB ＝60°，∴|AP |＝3|AC |＝3，|PC |＝2.设P (x ，y )，那么有⎩⎪⎨⎪⎧ x －12＋y －12＝4，3x ＋4y ＋8＝0，整理可得25x 2＋40x ＋96＝0.∵Δ＝402－4×25×96<0，∴如此的点P是不存在的．。

北师大版必修22021学年高中数学综合质量检测2

综合质量检测(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．以A (1,3)和B (－5,1)为端点，线段AB 的中垂线方程是( ) A ．3x －y ＋8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．2x －y －6＝0D ．3x ＋y ＋8＝0[解析] AB 的中点为(－2,2)，k AB ＝3－11＋5＝13.中垂线的斜率k ＝－3.AB 的中垂线方程为y －2＝－3(x ＋2)，即3x ＋y ＋4＝0. [答案] B2．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．正三棱锥B ．直三棱柱C ．正三棱台D ．正三棱柱[解析] 根据三视图原理可以推知此几何体是一个正三棱柱．故选D. [答案] D3．若以点C (－1,2)为圆心的圆与直线x －2y ＋3＝0没有公共点，则圆的半径r 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，255B.⎝⎛⎭⎪⎫0，355C ．(0，5)D ．(0,25)[解析] 设圆心到直线的距离为d ，则d ＝|－1－4＋3|12＋(－2)2＝255.若直线与圆没有公共点，则0<r <255，故选A.[答案] A4．点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(－2,5) C ．(2，－5)D ．(4，－3)[解析] 设对称点坐标为(a ，b )，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －32＋b ＋42－2＝0，b －4a ＋3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5，即Q (－2,5)．[答案] B5．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，面对角线A 1C 1与体对角线B 1D 所成角等于( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°[解析] ∵ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，∴B 1D 1⊥A 1C 1，且DD 1⊥A 1C 1.又B 1D 1∩DD 1＝D 1，∴A 1C 1⊥面B 1D 1D . ∴A 1C 1⊥B 1D . [答案] D6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题 ①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∥γ⇒β∥γ； ②⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βm ∥α⇒m ⊥β；③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ∥β⇒α⊥β； ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n α⇒m ∥α.其中正确的命题是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③D ．②④[解析] ①正确，平面平行具有传递性；②错，m 可能在β内或m ∥β或m 与β相交；③正确；④错，m 可能在α内．[答案] C7．圆(x －3)2＋(y ＋4)2＝2关于直线y ＝0对称的圆的方程是( ) A ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝2 B ．(x －4)2＋(y ＋3)2＝2 C ．(x ＋4)2＋(y －3)2＝2D ．(x －3)2＋(y －4)2＝2[解析] ∵(3，－4)关于y ＝0对称的点为(3,4)， ∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝2. [答案] D8．如图1所示，在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是边G 1G 2、G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体(如图2所示)，使G 1、G 2、G 3三点重合于点G ，这样，下面结论成立的是( )A ．SG ⊥平面EFGB ．SD ⊥平面EFGC ．GF ⊥平面SEFD ．DG ⊥平面SEF[解析] ∵SG ⊥GE ，SG ⊥GF ，GE ∩GF ＝G ，∴SG ⊥平面EFG . [答案] A9．直线l ：ax －y ＋b ＝0，圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋2by ＝0，则l 与M 在同一坐标系中的图形可能是( )[解析] 由题意，得圆M ：(x －a )2＋(y ＋b )2＝a 2＋b 2. 因为圆M 过原点(0,0)，所以排除A ，C 选项．选项B ，D 中，圆心M (a ，－b )在第一象限，所以a >0，b <0，所以直线ax －y ＋b ＝0经过第一、三、四象限，故B 选项符合． [答案] B10.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P ，Q 分别为AA 1，CC 1上的点，而且满足AP ＝C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积是( )A.12VB.13VC.14V D.15V [解析] 设侧面ACC 1A 1的面积为S ，点B 到侧面ACC 1A 1的距离为h ，则V B —APQC ＝13×12Sh＝13V .故选B. [答案] B11．点P (－2，－1)到直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ的距离为d ，则d 的取值范围是( )A ．0≤d ＜13B ．d ≥0C ．d ＞13D ．d ≥13[解析] 直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ可化为 (x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴直线l 恒过定点A (1,1)(不包括直线3x ＋2y －5＝0)， ∴|PA |＝(－2－1)2＋(－1－1)2＝13.∵PA 与直线3x ＋2y －5＝0垂直，点P (－2，－1)到直线的距离为13，∴点P (－2，－1)到直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ的距离为0≤d ＜13，故选A.[答案] A12．如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥面ABCD ，则下列结论中不正确的是( )A ．AC ⊥SB B ．AB ∥面SCDC ．AB 与SC 所成角等于BC 与SA 所成的角D ．平面SAB ⊥平面SBC [解析] ∵ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，又SD ⊥平面ABCD ， ∴SD ⊥AC ，BD ∩SD ＝D ， ∴AC ⊥平面SBD ，∴AC ⊥SB ，故A 正确；又AB ∥CD ，AB 平面SCD ，CD 平面SCD ，∴AB ∥平面SCD ，故B 正确；C 显然正确．[答案] D第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．在z 轴上与点A (－4,1,7)和点B (3,5，－2)等距离的点C 的坐标为________． [解析] 设C 点的坐标为(0,0，z )，由|AC |＝|BC |，得|AC |2＝|BC |2.于是有16＋1＋(7－z )2＝9＋25＋(－2－z )2，解得z ＝149.故点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，149. [答案] ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，14914．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，A 1A ⊥AC ，A 1A ⊥AB ，AA 1＝12，则球O 的表面积为________．[解析] 依题意，可将题中的三棱柱补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高依次是3,4,12，因此题中的球就是这个长方体的外接球，设球的半径为R ，则(2R )2＝32＋42＋122＝169.所以球O 的表面积为4πR 2＝169π. [答案] 169π15.如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，下列结论命题正确的序号是________．①BD ∥平面CB 1D 1 ②AC 1⊥BD ③AC 1⊥平面CB 1D 1 ④△CB 1D 1不是等边三角形 [解析] ∵BD ∥B 1D 1，∴BD ∥面CB 1D 1，故①正确；对于②， ∵ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体， ∴BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1又CC 1∩AC ＝C ， ∴BD ⊥面ACC 1，∴BD ⊥AC 1，故②正确；由②知BD ⊥AC 1，又BD ∥B 1D 1，∴B 1D 1⊥AC 1，同理可证AC 1⊥B 1C ，又B 1C ∩B 1D 1＝B 1，∴AC 1⊥面CB 1D 1，故③正确；又B 1D 1＝B 1C ＝D 1C ， ∴△CB 1D 1为等边三角形，故④不正确． [答案] ①②③16．已知点A (－2,0)，B (0,2)，若点C 是圆x 2－4x ＋y 2＝0上的动点，则△ABC 面积的最小值为________．[解析] ∵A (－2,0)，B (0,2)， ∴|AB |＝(0＋2)2＋(2－0)2＝22，且直线AB ：x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0，∴C 到AB 的最小距离d ＝|2－0＋2|2－2＝22－2，∴S △ABC min ＝12×22×(22－2)＝4－2 2.[答案] 4－2 2三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)当a 为何实数时，(1)直线x ＋2ay －1＝0与直线(3a －1)x －ay －1＝0平行； (2)直线2x ＋ay ＝2与直线ax ＋2y ＝1垂直．[解] (1)当a ≠0时，由3a －11＝－a 2a ≠－1－1，得两条直线平行，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a －1≠1，3a －1＝－12，∴a ＝16.当a ＝0时，两直线方程分别为x －1＝0和x ＋1＝0，显然平行．故当a ＝0或16时，两直线平行．(2)解法一：当a ≠0时，由－2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1知，两直线垂直，但此方程无解，因此两直线不可能垂直；当a ＝0时，两直线分别为x ＝1和y ＝12，显然两条直线垂直，故当a ＝0时，两直线垂直．解法二：利用两直线垂直的充要条件A 1A 2＋B 1B 2＝0，此种解法可避免漏解．即2·a ＋a ·2＝0，即4a ＝0，∴a ＝0.18．(本小题满分12分)已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，求这个几何体的体积．[解] 由三视图可知，该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱，两个圆柱高均为1，底面是半径为2和32的同心圆，故该几何体的体积为4π×1－π⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝7π4.19．(本小题满分12分)已知平面内两点A (8，－6)，B (2,2)． (1)求AB 的中垂线方程；(2)求过点P (2，－3)且与直线AB 平行的直线l 的方程；(3)一束光线从B 点射向(2)中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在直线的方程．[解] (1)因为8＋22＝5，－6＋22＝－2，所以AB 的中点坐标为(5，－2)，因为k AB ＝－6－28－2＝－43，所以AB 的中垂线的斜率为34，故AB 的中垂线的方程为y ＋2＝34(x －5)即3x －4y －23＝0. (2)由(1)知k AB ＝－43，所以直线l 的方程为y ＋3＝－43(x －2)，即4x ＋3y ＋1＝0.(3)设B (2,2)关于直线l 的对称点B ′(m ，n )，由⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝34，4×m ＋22＋3×n ＋22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－145，n ＝－85，所以B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－145，－85，k B ′A ＝－6＋858＋145＝－1127，所以反射光线所在直线方程为y ＋6＝－1127(x －8)．即11x ＋27y ＋74＝0.20．(本小题满分12分)过点P (－2，－3)作圆C ：(x －4)2＋(y －2)2＝9的两条切线，切点分别为A ，B .求：(1)经过圆心C ，切点A ，B 这三点的圆的方程； (2)直线AB 的方程． [解] (1)如图所示，连接CA，CB.由平面几何知识知，CA⊥PA，CB⊥PB.则点P，A，C，B共圆，且CP为直径．∵P(－2，－3)，圆心坐标为C(4,2)，∴所求圆的方程为(x＋2)(x－4)＋(y＋3)(y－2)＝0，即x2＋y2－2x＋y－14＝0.(2)直线AB即为这两圆的公共弦所在直线．由x2＋y2－2x＋y－14＝0与(x－4)2＋(y－2)2＝9相减，得6x＋5y－25＝0.21．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC—A1B1C1，A1A⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，A1A＝AB＝6，D为AC的中点．(1)求三棱锥C1—BCD的体积；(2)求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；(3)求证：直线AB 1∥平面BC 1D .[解] (1)∵△ABC 为正三角形，D 为AC 的中点，∴BD ⊥AC .由AB ＝6可知，CD ＝3，BD ＝33，∴S △BCD ＝12·CD ·BD ＝932. 又∵A 1A ⊥底面ABC ，且A 1A ＝AB ＝6，∴C 1C ⊥底面ABC ，且C 1C ＝6，∴VC 1－BCD ＝13·B △BCD ·C 1C ＝9 3. (2)证明：∵A 1A ⊥底面ABC ，∴A 1A ⊥BD .又BD ⊥AC ，A 1A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面ACC 1A 1.又BD 平面BC 1D ，∴平面BC 1D ⊥平面ACC 1A 1.(3)证明：连接B 1C 交BC 1于O ，连接OD ，在△B 1AC 中，D 为AC 中点，O 为B 1C 中点，所以OD ∥AB 1，又OD 平面BC 1D ，AB 1平面BC 1D ，∴直线AB 1∥平面BC 1D .22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°.PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA ＝2AB ＝2.(1)求四棱锥P —ABCD 的体积V ；(2)若F 为PC 的中点，求证：PC ⊥平面AEF ；(3)求证：EC ∥平面PAB .[解] (1)在Rt △ABC 中，AB ＝1，∠BAC ＝60°， ∴BC ＝3，AC ＝2.在Rt △ACD 中，AC ＝2，∠CAD ＝60°， ∴CD ＝23，AD ＝4.∴S 四边形ABCD ＝12AB ·BC ＋12AC ·CD ＝12×1×3＋12×2×23＝532，则V ＝13×532×2＝533. (2)证明：∵PC ＝CA ，F 为PC 的中点，∴AF ⊥PC .∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC ，∴CD ⊥PC .∵E 为PD 的中点，F 为PC 的中点，∴EF ∥CD ，∴EF ⊥PC .∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF .(3)证明：如图，取AD 的中点M ，连接EM ，CM ，则EM∥PA.∵EM平面PAB，PA平面PAB，∴EM∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，∴∠ACM＝60°.∵∠BAC＝60°，∴MC∥AB.∵MC平面PAB，AB平面PAB，∴MC∥平面PAB. ∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB.∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB.。

北师大版必修2数学测试题及答案

新课标数学必修2测试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面（）Ａ．有且只有一个Ｂ．可能有一个也可能不存在Ｃ．有无数多个Ｄ．一定不存在2. 若方程22(62)(352)10a a x a a y a --+-++-=表示平行于y 轴的直线，则a 的值是（）Ａ．23Ｂ．12- Ｃ．1 Ｄ．不存在 3. 若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 的位置关系是（）Ａ．相交、平行或异面Ｂ．相交或平行Ｃ．异面Ｄ．平行或异面4. 满足下列条件的1l 与2l ，其中12l l //的是（）（１）1l 的斜率为２，2l 过点(12)A ，，(48)B ，；（２）1l 经过点(33)P ，，(53)Q -，，2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点；（３）1l 经过点(10)M -，，(52)N --，，2l 经过点(43)R -，，(05)S ，．Ａ．（１）（２）Ｂ．（２）（３）Ｃ．（１）（３）Ｄ．（１）（２）（３）5. 坐标平面内一点到两个坐标轴和直线2x y +=的距离都相等，则该点的横坐标为（）1 Ｂ．１Ｃ．12 Ｄ．非上述答案6. 与直线2360x y +-=关于点(11)-，对称的直线方程是（）Ａ．3220x y -+=Ｂ．2370x y ++= Ｃ．32120x y --= Ｄ．2380x y ++=7. 若圆220x y Dx Ey F ++++=与x 轴切于原点，则（）Ａ．0D =，0E =，0F ≠ Ｂ．0F =，0D ≠，0E ≠Ｄ．0D =，0F =，0E ≠ Ｄ．0E =，0F =，0D ≠8. 若0ac >，且0bc <，直线0ax by c ++=不通过（）Ａ．第三象限Ｂ．第一象限Ｃ．第四象限Ｄ．第二象限9. 已知过点(2)A m -，和(4)B m ，的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为（）Ａ．8- Ｂ．0 Ｃ．2 Ｄ．1010. 直线1l 与2l 关于直线0x y +=对称，1l 的方程为y ax b =+，那么2l 的方程为（）Ａ．x b y a a =- Ｂ．x b y a a=+ Ｃ．1x y a b =+ Ｄ．x y b a=+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．11. 若ABC △面积等于3，且(11)A ，，(36)B ，，则C 所在直线方程为． 12. (13)P -，在直线l 上的射影为(11)Q -，，则直线l 的方程是．13. 在y 轴上截距为3-，且与y 轴成60þ角的直线方程是．14. 经过点(41)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是．三、解答题：本大题共6小题，共30分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．15.(本小题5分) 已知直线:250l x y --=与圆22:50C x y +=．求（１）交点A ，B 的坐标；（２）AOB △的面积；（３）圆心角AOB 的度数．16.(本小题5分) 已知圆P 与圆2220x y x +-=外切，并且与直线:30l x y +=相切于点(3,3)Q -，求圆P 的方程．17.(本小题5分) 如图，正方体的棱长为a ，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，求这个几何体的棱长．18.(本小题5分) 已知圆22(3)(4)16x y -+-=，直线10l kx y k --=：．（１）若1l 与圆交于两个不同点P ，Q ，求实数k 的取值范围；（２）若PQ 的中点为M ，(10)A ，，且1l 与2240l x y ++=：的交点为N ，求证：x y zBAM AN 为定值．19.(本小题5分) 已知点(2,3)P --和以Q 为圆心的圆22(4)(2)9x y -+-=．（１）画出以PQ 为直径，Q '为圆心的圆22(4)(2)9x y -+-=．（２）作出以Q 为圆心的圆和以Q '为圆心的圆的两个交点A ，B ，直线PA ， PB 是以Q 为圆心的圆的切线吗？为什么？（３）求直线AB 的方程．20.(本小题5分) 求经过点(3,1)M -，且与圆22:2650C x y x y ++-+=相切于点(1,2)N 的圆的方程．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1-5 Ｂ6-10 DCCAB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上． 11. 5230x y -+=或5290x y --=． 12. 230x y --=．13. 3y =-． 14. 40x y -=，或50x y +-= 三、解答题：本大题共6小题，共30分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．15.(本小题5分) 解：（１）解方程组2225050x y x y --=⎧⎨+=⎩，得55x y =-⎧⎨=-⎩或71x y =⎧⎨=⎩，所以，直线:250l x y --=与圆2250x y +=的交点是(5,5)A --，(7,1)B ．（２）过圆心O 作直线l 的垂线，垂足为D ，则圆心O 到直线l 的距离OD ==在直角三角形AOD中，OA =AD ==所以AB = AOB △的面积111522AOB S AB OD ==⨯=△．（３）在AOD △中，cos 0.3162OD AOD OA ∠==≈.用计算器算得，71.57AOD ∠=þ．所以，2143.13AOB AOD ∠=∠=þ．16.(本小题5分) 解：设圆心(,)P a b ，PQ l ⊥∵，1PQ l k k =-g ∴，即(133b a +-=--，即3120a -= ①，又∵圆2220x y x +-=的圆心为(1,0)，半径为１，又由外切1=②，由①、②得4a =，0b =或0a =，b =-．这时半径分别为２，６．∴圆的方程为22(4)4x y-+=或22(36x y ++=．17.(本小题5分) 解：由已知，点E ，F ，P ，M 的坐标是,,22a a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,022a a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ,,22a a M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,,22a a N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,22a a P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,22a a Q a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．这个几何体是正八面体，棱长2PQ a ==．（１）18.(本小题5分) 解：圆心(34)，到已知直线的距离小于半径４，由点到直线的距离公式得2340k k +>，43k <-∴，或0k >；（２）证明：由2400x y kx y k ++=⎧⎨--=⎩得245()2121k k N k k --++，，再由22(3)(4)16y kx k x y =-⎧⎨-+-=⎩，；得2222(1)(286)890k x k k x k k +-+++++=，21222861k k x x k +++=+∴，22224342()11k k k k M k k +++++∴，， AM AN ∴== 10=为定值．19.(本小题5分)解：（１）因为(2,3)P --，(4,2)Q 是以Q '为圆心的圆的直径的两个端点，所以以Q '为圆心的圆的方程是(2)(4)(3)(2)0x x y y +-++-=．即222140x y x y +-+-=．（２）PA ，PC 是圆22(4)(2)9x y -+-=的切线．因为点A ，B 在圆222140x y x y +-+-=上，且PQ 是直径，所以PA AQ ⊥，PB BQ ⊥．所以，,PA PB 是圆22(4)(2)9x y -+-=的切线．（３）两方程22(4)(2)9x y -+-=，222140x y x y +-+-=相减，得65250x y +-=．这就是直线AB 的方程．20.(本小题5分) 解：把圆C 的方程222650x y x y ++-+=化成标准形式，得22(1)(3)5x y ++-=．圆C 的圆心坐标是(1,3)-AN 的方程为250x y +-=．MN 的中点坐标是1(2,)2，斜率是32-．线段MN 的垂直平分线的方程是12(2)23y x -=-，即4650x y --=．联立250x y +-=与4650x y --=解得207x =，1514y =．这是所求圆的圆心F 的坐标．又因为22201584512714196FN ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，经过点(3,1)M -，且与圆22:2650C x y x y ++-+=相切于点(1,2)N 的圆的方程是222015845714196x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．。

2021-2022学年新教材高中数学模块综合测评(含解析)北师大版必修第二册

模块综合测评(满分：150分时间：120分钟)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量a ＝(cos 75°，sin 75°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则|a －b |的值为( )A ．12B ．1C ．2D ．3B [如图，将向量a ，b 的起点都移到原点，即a ＝OA →，b ＝OB →，则|a －b |＝|BA →|且∠xOA ＝75°，∠xOB ＝15°，于是∠AOB ＝60°，又因为|a |＝|b |＝1，则△AOB 为正三角形，从而|BA →|＝|a －b |＝1.]2．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x ＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x 的最小正周期为( )A ．2π3B ．π3C ．8D ．4A [y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x ＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－3x ，所以T ＝2π|－3|＝2π3.]3．已知cos (α＋β)＝13，cos (α－β)＝15，则tan αtan β等于( )A ．14B ．－14C ．16D ．－16B[因为cos (α＋β)＝13，cos (α－β)＝15，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos αcos β－sin αsin β＝13，cos αcos β＋sin αsin β＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos αcos β＝415，sin αsin β＝－115，所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－14.]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π2，a ＝6，sin 2B ＝2sin A sin C ，则△ABC 的面积S ＝( )A ．32B ．3C ． 6D ．6B [由sin 2B ＝2sin A sinC 及正弦定理，得b 2＝2ac ，① 又B ＝π2，所以a 2＋c 2＝b 2.②联立①②解得a ＝c ＝6，所以S ＝12×6×6＝3.]5．已知|p |＝22，|q |＝3，p ，q 的夹角为π4，如图，若AB →＝5p ＋2q ，AC →＝p －3q ，D 为BC 的中点，则|AD →|为( )A ．152B ．152C ．7D ．18A [∵AD →＝12(AC →＋AB →)＝12(6p －q )，∴|AD →|＝|AD →|2＝12（6p －q ）2＝1236p 2－12p ·q ＋q 2 ＝1236×（22）2－12×22×3×cos π4＋32＝152.]6．若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交D [法一：由于l 与直线l 1，l 2分别共面，故直线l 与l 1，l 2要么都不相交，要么至少与l 1，l 2中的一条相交．若l ∥l 1，l ∥l 2，则l 1∥l 2，这与l 1，l 2是异面直线矛盾．故l 至少与l 1，l 2中的一条相交．法二：如图1，l 1与l 2是异面直线，l 1与l 平行，l 2与l 相交，故A ，B 不正确；如图2，l 1与l 2是异面直线，l 1，l 2都与l 相交，故C 不正确．]图1 图27．如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO →·BC →的值是( )A ．－8B ．－1C ．1D ．8D [取BC 的中点D ，连接AD ，OD (图略)，则有OD ⊥BC .∵AD →＝12(AB →＋AC →)，AO →＝AD →＋DO →，BC →＝AC →－AB →，∴AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＋DO →·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12(52－32)＝8，故选D.]8．函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4[cos (x ＋π4)－sin (x ＋π4)]在一个周期内的图象是( )A BC DB [y ＝(22cos x －22sin x ＋22sin x ＋22cos x )·(22cos x －22sin x －22sinx －22cos x )＝2cos x ·(－2sin x )＝－2sin x cos x ＝－sin 2x ，故选B.]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．已知复数z ＝i1－2i ，则以下说法正确的是( )A ．复数z 的虚部为i5B ．z 的共轭复数z －＝25－i5C ．|z |＝55D ．在复平面内与z 对应的点在第二象限CD [∵z ＝i 1－2i ＝i （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝－25＋15i ，∴复数z 的虚部为15，z 的共轭复数z －＝－25－i 5，|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝55，复平面内与z 对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，15，在第二象限．故选CD.]10．已知A ，B ，C 表示不同的点，l 表示直线，α，β表示不同的平面，则下列推理正确的是( )A ．A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α⇒l ⊂αB ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝ABC ．l ⊄α，A ∈l ⇒A ∉αD ．A ∈α，A ∈l ，l ⊄α⇒l ∩α＝AABD [对于选项A ：由基本事实2知，l ⊂α，故选项A 正确；对于选项B ：因为α，β表示不同的平面，由基本事实3知，平面α，β相交，且α∩β＝AB ，故选项B 正确；对于选项C ：l ⊄α分两种情况：l 与α相交或l ∥α.当l 与α相交时，若交点为A ，则A ∈α，故选项C 错误；对于选项D ：由基本事实2逆推可得结论成立，故选项D 成立；故选ABD.] 11．已知函数f ()x ＝2cos 22x －2，下列命题中的真命题有( ) A ．∃β∈R ，f ()x ＋β为奇函数B ．∃α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4，f ()x ＝f ()x ＋2α对x ∈R 恒成立C ．∀x 1，x 2∈R ，若||f ()x 1－f ()x 2＝2，则||x 1－x 2的最小值为π4D ．∀x 1，x 2∈R ，若f ()x 1＝f ()x 2＝0，则x 1－x 2＝k π()k ∈Z BC [由题意f ()x ＝2cos 22x －2＝cos4x －1； ∵f ()x ＝cos 4x －1的图象如图所示；函数f ()x ＋β的图象是f ()x 的图象向左或向右平移||β个单位，它不会是奇函数的，故A 错误；若 f ()x ＝f ()x ＋2α，∴cos 4x －1＝cos ()4x ＋8α－1，∴8α＝2k π，∴α＝k π4，k ∈Z ；又∃α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4，∴取α＝π4或π2时，f ()x ＝f ()x ＋2α对x ∈R 恒成立，故B 正确；||f ()x 1－f ()x 2＝||cos 4x 1－cos 4x 2＝2时，||x 1－x 2的最小值为T2＝2π2×4＝π4，故C 正确；当f ()x 1＝f ()x 2＝0时， x 1－x 2＝kT ＝k ·2π4＝k π2()k ∈Z ，故D 错误；故选BC.]12．如图，在四棱锥P ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，F 是AB 的中点，E 是PB 上的一点，则下列说法正确的是( )A ．若PB ＝2PE ，则EF ∥平面PACB ．若PB ＝2PE ，则四棱锥P ABCD 的体积是三棱锥E ACB 体积的6倍C ．三棱锥P ADC 中有且只有三个面是直角三角形D ．平面BCP ⊥平面ACEAD [对于选项A ，因为PB ＝2PE ，所以E 是PB 的中点，因为F 是AB 的中点，所以EF ∥PA ，因为PA ⊂平面PAC ，EF ⊄平面PAC ，所以EF ∥平面PAC ，故A 正确；对于选项B ，因为PB ＝2PE ，所以V P ABCD ＝2V E ABCD ，因为AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，所以梯形ABCD 的面积为12()CD ＋AB ·AD ＝12×()1＋2×1＝32，S △ABC ＝12AB ·AD ＝12×2×1＝1，所以V E ABCD ＝32V E ABC ，所以V P ABCD ＝3V E ABC ，故B 错误；对于选项C ，因为PC ⊥底面ABCD ，所以PC ⊥AC ，PC ⊥CD ，所以△PAC ，△PCD 为直角三角形，又AB ∥CD ，AB ⊥AD ，所以AD ⊥CD ，则△ACD 为直角三角形，所以PA 2＝PC 2＋AC 2＝PC 2＋AD 2＋CD 2，PD 2＝CD 2＋PC 2，则PA2＝PD2＋AD2，所以△PAD是直角三角形，故三棱锥PADC的四个面都是直角三角形，故C错误；对于选项D，因为PC⊥底面ABCD，所以PC⊥AC，在Rt△ACD中，AC＝AD2＋CD2＝2，在直角梯形ABCD中，BC＝AD2＋()AB－CD2＝2，所以AC2＋BC2＝AB2，则AC⊥BC，因为BC∩PC＝C，所以AC⊥平面BCP，因为AC⊂平面ACE，所以平面BCP⊥平面ACE，故D正确，故选AD.]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i，则|z|＝________．5 [∵(1＋2i)z＝－3＋4i，∴|1＋2i|·|z|＝|－3＋4i|，则|z|＝（－3）2＋4212＋22＝ 5.]14．设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．±3 [因为a＋λb＝(3＋λ，3－λ)，a－λb＝(3－λ，3＋λ)，又(a＋λb)⊥(a －λb)，所以(a＋λb)·(a－λb)＝(3＋λ)·(3－λ)＋(3－λ)(3＋λ)＝0，解得λ＝±3.]15．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．60°[如图，取A 1B1的中点M，连接GM，HM.由题意易知EF∥GM，且△GMH为正三角形．∴异面直线EF与GH所成的角即为GM与GH的夹角∠HGM.而在正三角形GMH中∠HGM＝60°.]16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上是减少的； ④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位长度后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是________．①②③ [f (x )＝cos (2x －π3)＋cos (2x ＋π6)＝cos (2x －π3)＋cos [π2＋(2x －π3)] ＝cos (2x －π3)－sin (2x －π3)＝2cos (2x －π3＋π4)＝2cos (2x －π12)，所以①②③正确，④错误．]四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)设向量e 1，e 2的夹角为60°且|e 1|＝|e 2|＝1，如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2).(1)证明：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k 的值，使k 的取值满足向量2e 1＋e 2与向量e 1＋k e 2垂直． [解] (1)证明：因为AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝5e 1＋5e 2，所以BD →＝5AB →，即AB →，BD →共线，又AB →，BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为(2e 1＋e 2)⊥(e 1＋k e 2)，所以(2e 1＋e 2)·(e 1＋k e 2)＝0，2e 21＋2k e 1·e 2＋e 1·e 2＋k e 22＝0，即2＋k ＋12＋k ＝0，解得k ＝－54.18．(本小题满分12分)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin (α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．[解] (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2.又sin (α－β)＝－35，所以cos (α－β)＝45.cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4tan x sin (π2－x )cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[解] (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z .f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3＝4sin x cos (x －π3)－3＝4sin x ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12cos x ＋32sin x －3＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3＝sin2x ＋3(1－cos 2x )－3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的递增区间是[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z ).由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z ).设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝{x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }，易知A ∩B ＝[－π12，π4].所以当x ∈[－π4，π4]时，f (x )在区间[－π12，π4]上是递增的，在区间[－π4，－π12]上是递减的．20．(本小题满分12分)如图，在三棱锥S ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .[证明] (1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB .因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . 同理EG ∥平面ABC .又EF ∩EG ＝E ，所以平面EFG ∥平面ABC .(2)因为平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ⊂平面SAB ，AF ⊥SB ，所以AF ⊥平面SBC .因为BC ⊂平面SBC ，所以AF ⊥BC .又因为AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，AF ⊂平面SAB ，AB ⊂平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB . 因为SA ⊂平面SAB ，所以BC ⊥SA .21．(本小题满分12分)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .[解] (1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin A ＝ABsin ∠ADB ，由题设知，5sin 45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB <90°，所以cos ∠ADB ＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25.在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC ＝5.22．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AC ＝BC ，AB ＝2A 1A ＝4，以AB ，BC 为邻边作平行四边形ABCD ，连接A 1D ，DC 1.(1)求证：DC 1∥平面A 1ABB 1； (2)若二面角A 1－DC －A 为45°； ①求证：平面A 1C 1D ⊥平面A 1AD ；②求直线AB 1与平面A 1AD 所成角的正切值．[解] (1)证明：连接AB 1，∵AD ∥BC ∥B 1C 1且AD ＝BC ＝B 1C 1， ∴四边形ADC 1B 1为平行四边形，∴AB 1∥DC 1，又∵AB 1⊂平面A 1ABB 1，DC 1⊄平面A 1ABB 1，∴DC 1∥平面A 1ABB 1. (2)①证明：取DC 的中点M ，连接A 1M ，AM .易知Rt △A 1AD ≌Rt △A 1AC ，∴A 1D ＝A 1C ，∴A 1M ⊥DC ，又AM ⊥DC ，∴∠A 1MA 为二面角A 1DC A 的平面角，∴∠A 1MA ＝45°. ∴在Rt △A 1AM 中，AA 1＝AM ＝2，∴AD ＝AC ＝22， ∴AC 2＋AD 2＝DC 2，∴AC ⊥AD ，又∵AC ⊥AA 1，AD ∩AA 1＝A ， ∴AC ⊥平面A 1AD ，又∵AC ∥A 1C 1，∴A 1C 1⊥平面A 1AD . ∵A 1C 1⊂平面A 1C 1D ，∴平面A 1C 1D ⊥平面A 1AD . ②∵AB 1∥C 1D ，∴C 1D 与平面A 1AD 所成角与AB 1与平面A 1AD 所成角相等．由①知C 1A 1⊥平面A 1AD ，∴A 1D 为C 1D 在平面A 1AD 内的射影，故∠A 1DC 1为直线DC 1与平面A 1AD 所成角，在Rt △A 1DC 1中，tan ∠A 1DC 1＝A 1C 1A 1D ＝63，∴直线AB 1与平面A 1AD 所成角的正切值为63.。

【学考优化指导】2022-2021学年高一数学(北师大版)必修2练习：1.6.1 垂直关系的判定

§6垂直关系6.1 垂直关系的判定A 组1.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,与BC 1垂直的平面是( )A.平面DD 1C 1CB.平面A 1B 1CDC.平面A 1B 1C 1D 1D.平面A 1DB解析:由于易证BC 1⊥B 1C ,且CD ⊥平面BCC 1B 1,所以CD ⊥BC 1.由于B 1C ∩CD=C ,所以BC 1⊥平面A 1B 1CD. 答案:B2.下列结论正确的是( )A.若直线a ∥平面α,直线b ⊥a ,b ⫋平面β,则α⊥βB.若直线a ⊥直线b ,a ⊥平面α,b ⊥平面β,则α⊥βC.过平面外的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直D.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直解析:A 选项中满足条件的平面β与平面α可能垂直,也可能平行或相交,故A 错;C 选项中当平面外的直线与平面垂直时,过该直线有很多个平面与已知平面垂直,故C 错;过平面外一点有很多个平面与已知平面垂直,故D 错. 答案:B3,ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体,下面结论中错误的个数是( )①BD ∥平面CB 1D 1; ②AC 1⊥BD ; ③AC 1⊥平面CB 1D 1.A.0个B.1个C.2个D.3个解析:由于BD ∥B 1D 1,所以①正确;由于BD ⊥AC ,BD ⊥CC 1,所以BD ⊥平面ACC 1,所以BD ⊥AC 1,故②正确;由于AC 1⊥B 1D 1,AC 1⊥B 1C ,所以AC 1⊥平面CB 1D 1,故①②③全正确. 答案:A4.在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC ,PA=8,则点P 到BC 的距离是( ) A.√5B.2√5C.3√5D.4√5解析:如图所示,作PD ⊥BC 于点D ,连接AD.由于PA ⊥平面ABC , 所以PA ⊥BC ,PD ∩PA=P ,所以CB ⊥平面PAD ,所以AD ⊥BC. 由于AB=AC ,所以CD=BD=3.在Rt △ACD 中,AC=5,CD=3,所以AD=4, 在Rt △PAD 中,PA=8,AD=4, 所以PD=√82+42=4√5,故选D . 答案:D5.在正四周体P-ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,BC ,CA 的中点,下面四个结论中不成立的是( ) A.BC ∥平面PDF B.DF ⊥平面PAE C.平面PDF ⊥平面ABCD.平面PAE ⊥平面ABC解析:如图所示,∵BC ∥DF ,∴BC ∥平面PDF ,故A 正确.由题设知BC ⊥PE ,BC ⊥AE ,∴BC ⊥平面PAE.∴DF ⊥平面PAE ,故B 正确.∵BC ⊥平面PAE ,∴平面ABC ⊥平面PAE ,故D 正确.答案:C6.若直线l ⊥平面α,直线m ∥l ,则m 与α的位置关系是 . 答案:m ⊥α7.已知A 是△BCD 所在平面外一点,则△ABC ,△ABD ,△ACD ,△BCD 中,直角三角形最多有个.解析:当三棱锥底面及三个侧面同时为直角三角形时,如图,此时直角三角形最多为4个. 答案:48.如图所示,在正方形ABCD 中,E ,F 分别是BC,CD的中点,G 是EF 的中点,现在沿AE ,AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形,使B ,C ,D 三点重合,重合后的点记为H ,那么给出下面四个结论:①AH ⊥平面EFH ;②AG ⊥平面EFH ;③HF ⊥平面AEF ;④HG ⊥平面AEF.其中正确命题的序号是 .解析:在这个空间图形中,AH ⊥HF ,AH ⊥HE ,HF ∩HE=H ,所以AH ⊥平面EFH. 答案:①9.在空间四边形ABCD 中,若AB=AC ,DB=DC ,求证:BC ⊥AD.证明:取BC 的中点M ,连接AM ,MD.∵AB=AC ,DB=DC ,∴AM ⊥BC ,DM ⊥BC.又AM ∩MD=M ,∴BC ⊥平面AMD.∵AD ⫋平面AMD ,∴BC ⊥AD.10,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AD=1,DD 1=2,点P 为DD 1的中点.求证: (1)平面PAC ⊥平面BDD 1; (2)直线PB 1⊥平面PAC.证明:(1)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=AD=1,所以底面ABCD 是正方形,则AC ⊥BD. 又DD 1⊥平面ABCD ,所以DD 1⊥AC. 由于BD ∩DD 1=D ,所以AC ⊥平面BDD 1. 由于AC ⫋平面PAC ,所以平面PAC ⊥平面BDD 1.(2)连接B 1C ,由题知PC 2=2,P B 12=3,B 1C 2=5,所以△PB 1C 是直角三角形,所以PB 1⊥PC. 同理可得PB 1⊥PA.由于PC ∩PA=P ,所以直线PB 1⊥平面PAC.B 组1.如图所示,BC 是Rt △ABC 的斜边,过A 作△ABC 所在平面α的垂线AP ,连接PB ,PC ,过A 作AD ⊥BC 于点D ,连接PD ,那么图中直角三角形的个数是 ( )A.4B.6C.7D.8解析:简洁证得PA ⊥BC ,又AD ⊥BC ,PA ∩AD=A ,所以BC ⊥平面PAD ,从而图中:△ABC ,△PAB ,△PAC ,△PAD ,△ABD ,△ACD ,△PBD ,△PCD 均为直角三角形.共有8个. 答案:D2,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点P 在侧面BCC 1B 1内运动,并且总保持AP ⊥BD 1,则动点P 在( ) A.线段B 1C 上 B.线段BC 1上C.BB 1中点与CC 1中点的连线上D.B 1C 1中点与BC 中点的连线上解析:易知BD 1⊥平面AB 1C ,故P ∈B 1C. 答案:A3.如图所示,已知四边形ABCD 是正方形,PA ⊥平面ABCD ,则图中全部相互垂直的平面共有( ) A.8对 B.7对 C.6对D.5对解析:由PA ⊥平面ABCD 可得平面PAB ⊥平面ABCD ,平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAC ⊥平面ABCD.又ABCD 为正方形,CD ⊥AD ,由于PA ⊥CD ,PA ∩AD=A ,所以CD ⊥平面PAD ,所以平面PCD ⊥平面PAD ,平面PAB ⊥平面PAD.同理可得,平面PBC ⊥平面PAB ,平面PAC⊥平面PBD.共7对. 答案:B4.已知矩形ABCD ,AB=1,BC=√2,将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折,在翻折的过程中( ) A.存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直解析:若AB⊥CD,由于BC⊥CD,由线面垂直的判定可得CD⊥平面ACB,则有CD⊥AC,而AB=CD=1,BC=AD=√2,可得AC=1,那么存在这样的位置,使得AB⊥CD成立.答案:B5.在正四周体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论:①BC∥平面PDF;②DF⊥平面PAE;③平面PDF⊥平面ABC;④平面PAE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是.解析:画出图形,由判定定理得①②④正确.答案:①②④6,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD是矩形,DE⊥平面ABCD.求证:(1)AB∥EF;(2)平面BCF⊥平面CDEF.证明:(1)由于四边形ABCD是矩形,所以AB∥CD,CD⫋平面CDEF,AB⊈平面CDEF,所以AB∥平面CDEF.又AB⫋平面ABFE,且平面ABFE∩平面CDEF=EF,所以AB∥EF.(2)由于DE⊥平面ABCD,BC⫋平面ABCD,所以DE⊥BC.由于BC⊥CD,CD∩DE=D,CD,DE⫋平面CDEF,所以BC⊥平面CDEF.又由于BC⫋平面BCF,所以平面BCF⊥平面CDEF.7.如下图所示,已知在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2,CD=1+√3,过点A作AE⊥CD,垂足为E,G,F分别为AD,CE的中点,现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC.(1)求证:BC⊥平面CDE;(2)求证:FG∥平面BCD.(1)证明:由已知得DE⊥AE,∵DE⊥EC,AE∩EC=E,∴DE⊥平面ABCE.又∵BC⫋平面ABCE,∴DE⊥BC.又BC⊥CE,DE∩CE=E,∴BC⊥平面DCE.(2)证明:取AB中点H,连接GH,FH.则GH∥BD,FH∥BC,则易得GH∥平面BCD,FH∥平面BCD.则易得平面FHG∥平面BCD,∴GF∥平面BCD.。

新教材高中数学第2章平面向量及其应用综合检测题北师大版必修第二册

第二章综合检测题考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是( D ) A ．OA →－OB →＝AB → B ．AB →＋BA →＝0 C ．0·AB →＝0D ．AB →＋BC →＋CD →＝AD →[解析] 起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，OA →－OB →＝BA →；AB →，BA →是一对相反向量，它们的和应该为零向量，AB →＋BA →＝0；0·AB →＝0.2.如右图，a －b 等于( C )A ．2e 1－4e 2B ．－4e 1－2e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2[解析] a －b ＝e 1－3e 2.3．设O ，A ，M ，B 为平面上四点，OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，且λ∈(1,2)，则( B ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上 D ．O ，A ，B ，M 四点共线[解析] OM →＝λOB →＋OA →－λOA →，所以OM →－OA →＝λ(OB →－OA →)，AM →＝λAB →，由λ∈(1,2)可知，A ，B ，M 三点共线，且B 在线段AM 上．4．已知a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，b ＝7，c ＝3，B ＝π6，那么a 等于( C )A ．1B ．2C ．4D ．1或4[解析] 在△ABC 中，b ＝7，c ＝3，cos B ＝32，由余弦定理有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即7＝a 2＋3－3a ，解得a ＝4或a ＝－1(舍去)．故a 的值为4.5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，c ＝(4,5)，若(a ＋λb )⊥c ，则实数λ＝( C ) A ．－12B ．12C ．－2D ．2[解析] a ＋λb ＝(1,2)＋(－2λ，3λ) ＝(1－2λ，2＋3λ)，由(a ＋λb )⊥c ，可得(1－2λ)×4＋(2＋3λ)×5＝0，解得λ＝－2.6．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为(D )A ．1B ．2C ． 2D ． 3[解析] 由sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，得a 2＋b 2－ab ＝c 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝12. ∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°. ∴sin C ＝32，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝ 3. 7．在△ABC 中，B ＝60°，C ＝45°，BC ＝8，D 为BC 上一点，且BD →＝3－12BC →，则AD 的长为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 75°＝6＋24( C ) A ．4(3－1) B ．4(3＋1) C ．4(3－3)D ．4(3＋3)[解析] 由题意知∠BAC ＝75°，根据正弦定理，得AB ＝BC sin 45°sin 75°＝8(3－1)，因为BD →＝3－12BC →，所以BD ＝3－12BC ．又BC ＝8，所以BD ＝4(3－1)．在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos 60° ＝4(3－3)．故选C ．8.如图所示，半圆的直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值是( D )A ．2B ．0C ．－1D ．－2[解析] 由平行四边形法则得PA →＋PB →＝2PO →，故(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，又|PC →|＝2－|PO →|，且PO →，PC →反向，设|PO →|＝t (0≤t ≤2)，则(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2t (2－t )＝2(t 2－2t )＝2[(t －1)2－1]．∵0≤t ≤2，∴当t ＝1时，(PA →＋PB →)·PC →取得最小值－2，故选D ．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)9．设向量a ，b 满足：|a |＝3，|b |＝4，a ·b ＝0，以a ，b ，a －b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数可以是( ABC )A ．0或1B ．2或3C ．4D ．6[解析] 由题意可知该三角形为直角三角形，其内切圆半径恰好为1，它与半径为1的圆的公共点个数可能为0个，1个，2个，3个，4个，故选ABC ．10．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列命题中正确的为( AB ) A ．m (a －b )＝m a －m b B ．(m －n )a ＝m a －n a C ．若m a ＝m b ，则a ＝bD ．若m a ＝n a ，则m ＝n[解析] 对于A 和B 属于数乘对向量与实数的分配律，正确；对于C ，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；对于D ，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．故选AB ．11．对于△ABC ，有如下命题，其中正确的有( ACD ) A ．若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形 B ．若sin A ＝cos B ，则△ABC 为直角三角形 C ．若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C <1，则△ABC 为钝角三角形D ．若AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为34或 32[解析] 对于A ，sin 2A ＝sin 2B ，∴A ＝B ⇒△ABC 是等腰三角形；对于B ，由sin A ＝cosB ，∴A －B ＝π2或A ＋B ＝π2.∴△ABC 不一定是直角三角形，B 错误；对于C ，sin 2A ＋sin 2B <1－cos 2C ＝sin 2C ，∴a 2＋b 2<c 2，∴△ABC 为钝角三角形，C 正确；对于D ，如图所示，由正弦定理，得sin C ＝c ·sin B b ＝32.而c >b ，∴C ＝60°或C ＝120°，∴A ＝90°或A ＝30°，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝32或34，D 正确．故选ACD ．12．给出下列四个命题，其中正确的选项有( ABC )A ．非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角是30°B ．若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形C ．若单位向量a ，b 的夹角为120°，则当|2a ＋x b |(x ∈R )取最小值时x ＝1D ．若OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，∠ABC 为锐角，则实数m 的取值范围是m >－34[解析]A 中，令OA →＝a ，OB →＝b .以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ． ∵|a |＝|b |＝|a －b |，∴四边形OACB 为菱形，∠AOB ＝60°，∠AOC ＝30°，即a 与a ＋b 的夹角是30°，故A 正确；B 中，∵(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，∴|AB →|2＝|AC →|2，故△ABC 为等腰三角形，故B 正确；C 中，∵(2a ＋x b )2＝4a 2＋4x a ·b ＋x 2b 2＝4＋4x cos 120°＋x 2＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3，故|2a ＋x b |取最小值时x ＝1．故C 正确；D 中，∵BA →＝OA →－OB →＝(3，－4)－(6，－3)＝(－3，－1)，BC →＝OC →－OB →＝(5－m ，－3－m )－(6，－3)＝(－1－m ，－m )，又∠ABC 为锐角，∴BA →·BC →>0，即3＋3m ＋m >0，∴m >－34.又当BA →与BC →同向共线时，m ＝12，故当∠ABC 为锐角时，m 的取值范围是m >－34且m ≠12，故D不正确．故选ABC ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知a ，b 为单位向量，且a ·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝ 23.[解析] 由题意，得cos 〈a ，c 〉＝a ·2a －5b|a |·|2a －5b |＝2a 2－5a ·b|a |·|2a －5b |2＝21×4＋5＝23. 14．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是 4 .[解析] 由于a ⊥b ，由此画出以a ，b 为邻边的矩形ABCD ，如图所示，其中，AD →＝a ，AB →＝b ，∵a ＋b ＋c ＝0，∴CA →＝c ，BD →＝a －b .∵(a －b )⊥c ，∴矩形的两条对角线互相垂直，则四边形ABCD 为正方形． ∴|a |＝|b |＝1，|c |＝2，|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝217，c ＝ 3 . [解析] 由正弦定理，得asin A ＝bsin B，∴7sin 60°＝2sin B ，得sin B ＝217，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4＋c 2－74c ＝12，解得c ＝3.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(a ＋b －c )·(a ＋b ＋c )＝3ab ，且c ＝4，则△ABC 面积的最大值为 4 3 .[解析] (a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋2ab ＋b 2－c 2＝3ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝ab . 又∵a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ， ∴2ab cos C ＝ab ，∴cos C ＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴16＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ≥2ab －ab ＝ab ，∴ab ≤16.∴△ABC 面积的最大值S ＝12ab sin C ≤12×16×sin π3＝4 3.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知向量a ，b 满足b ＝(1，3)，a ·b ＝4，(a －2b )⊥a . (1)求向量a 与b 的夹角； (2)求|2a －b |的值；(3)若向量c ＝3a －4b ，d ＝m a ＋b ，c ∥d ，求m 的值．[解析] (1)因为(a －2b )⊥a ，所以(a －2b )·a ＝0，|a |2＝8，即|a |＝2 2.设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝b ·a |b ||a |＝22，又θ∈[0，π]，所以θ＝π4.(2)由向量模的计算公式|a |＝a ·a ，得|2a －b |＝2a －b2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝32－16＋4＝2 5.(3)因为c ∥d ，所以c ＝λd ，设3a －4b ＝λ(m a ＋b )，则⎩⎪⎨⎪⎧3＝λm ，－4＝λ，解得m ＝－34.18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值． [解析] (1)AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，求两条对角线的长即求|AB →＋AC →|与|AB →－AC →|的大小．由AB →＋AC →＝(2,6)，得|AB →＋AC →|＝210，由AB →－AC →＝(4,4)，得|AB →－AC →|＝4 2.∴以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别为210和4 2. (2)OC →＝(－2，－1)，∵(AB →－tOC →)·OC →＝AB →·OC →－tOC →2，易求AB →·OC →＝－11，OC →2＝5，∴由(AB →－tOC →)·OC →＝0得t ＝－115.19．(本小题满分12分)(2021·新高考全国卷Ⅰ)记△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b 2＝ac ，点D 在边AC 上，BD sin ∠ABC ＝a sin C ．(1)证明：BD ＝b ；(2)若AD ＝2DC ，求cos ∠ABC ．[解析] (1)由BD sin ∠ABC ＝a sin C 得，BD ＝a sin C sin ∠ABC ，在△ABC 中由正弦定理知：csin C＝bsin ∠ABC ，即sin C sin ∠ABC ＝cb ，∴BD ＝acb，又b 2＝ac ，∴BD ＝b . (2)由题意知：BD ＝b ，AD ＝2b 3，DC ＝b 3， ∴cos ∠ADB ＝b 2＋4b 29－c 22b ·2b 3＝13b 29－c 24b 23，同理cos ∠BDC ＝b 2＋b 29－a 22b ·b 3＝10b 29－a22b 23， ∵∠ADB ＝π－∠CDB ，∴cos ∠ADB ＝－cos ∠BDC ，即13b 29－c 24b 23＝a 2－10b 292b 23，整理得2a 2＋c 2＝11b 23，又b 2＝ac ，∴2a 2＋b 4a 2＝11b 23，整理得6a 4－11a 2b 2＋3b 4＝0，解得a 2b 2＝13或a 2b 2＝32，在由余弦定理知：cos ∠ABC ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝43－a 22b 2，当a 2b 2＝13时，cos ∠ABC ＝76>1不合题意；当a 2b 2＝32时，cos ∠ABC ＝712；综上，cos ∠ABC ＝712.20．(本小题满分12分)△ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是边BC 的中点，BE ⊥AD ，垂足为E ，延长BE 交AC 于F ，连接DF ，求证：∠ADB ＝∠FDC ．[解析] 如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设A (0,2)，C (2,0)，则D (1,0)，AC →＝(2，－2)．设AF →＝λAC →，则BF →＝BA →＋AF →＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)．又DA →＝(－1,2)，BF →⊥DA →， ∴BF →·DA →＝0，∴－2λ＋2(2－2λ)＝0， ∴λ＝23.∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23，DF →＝BF →－BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23.又DC →＝(1,0)，∴cos ∠ADB ＝DA →·DB →|DA →|·|DB →|＝55，cos ∠FDC ＝DF →·DC →|DF →|·|DC →|＝55，又∠ADB ，∠FDC ∈(0，π)， ∴∠ADB ＝∠FDC ．21．(本小题满分12分)如图所示，甲船以每小时30 2 n mile 的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20 n mile.当甲船航行20 min 到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距10 2 n mile ，问乙船每小时航行多少n mile?[解析] 如图，连接A 1B 2，由题意知A 2B 2＝10 2 n mile ，A 1A 2＝302×2060＝10 2 n mile.所以A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，所以△A 1A 2B 2是等边三角形．所以A 1B 2＝A 1A 2＝10 2 n mile.由题意知，A 1B 1＝20 n mile ，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200. 所以B 1B 2＝10 2 n mile.因此，乙船速度的大小为10220×60＝302(n mile/h)．答：乙船每小时航行30 2 n mile.22．(本小题满分12分)已知向量a ＝(2＋sin x,1)，b ＝(2，－2)，c ＝(sin x －3,1)，d ＝(1，k )，(x ∈R ，k ∈R )．(1)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，且a ∥(b ＋c )，求x 的值； (2)若函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最小值；(3)是否存在实数k ，使得(a ＋d )⊥(b ＋c )？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵b ＋c ＝(sin x －1，－1)，又a ∥(b ＋c )，∴－(2＋sin x )＝sin x －1，即sin x ＝－12.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， ∴x ＝－π6.(2)∵a ＝(2＋sin x,1)，b ＝(2，－2)， ∴f (x )＝a ·b ＝2(2＋sin x )－2＝2sin x ＋2. 又x ∈R ，∴当sin x ＝－1时，f (x )有最小值，且最小值为0. (3)∵a ＋d ＝(3＋sin x,1＋k )，b ＋c ＝(sin x －1，－1)，若(a ＋d )⊥(b ＋c )，则(a ＋d )·(b ＋c )＝0，即(3＋sin x )(sin x －1)－(1＋k )＝0， ∴k ＝sin 2x ＋2sin x －4＝(sin x ＋1)2－5. 由sin x ∈[－1,1]，∴－5≤(sin x ＋1)2－5≤－1，得k ∈[－5，－1]． ∴存在k ∈[－5，－1]，使得(a ＋d )⊥(b ＋c )．。

高中数学北师大版必修2：综合测试1(含答案)

本册综合测试一本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题：①α内有无数条直线平行于β，则α∥β②平行于同一条直线的两个平面互相平行③经过平面α外两点可以作一个平面与α平行④平行于同一个平面的两平面平行其中正确的个数为()A．0B．1C．2 D．3[答案] B[解析]①错误，可能α与β相交，α内无数条直线均与交线平行；②错误，可能出现α与β相交，存在直线与交线平行而与两个平面都平行的情况；③错误，若平面α外两点的连线与平面相交，则过两点作不出平面与α平行；④正确．2．经过点A(－1,4)，且斜率为－1的直线方程是()A．x＋y＋3＝0 B．x－y＋3＝0C．x＋y－3＝0 D．x＋y－5＝0[答案] C[解析]直线的方程是y－4＝－(x＋1)，即x＋y－3＝0.3．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是() A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0[答案] A[解析]由题意知圆心为C(1,0)，则AB⊥CP，∵k CP＝－1，∴k AB＝1，直线AB的方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0.4．(安徽高考)下列说法中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 [答案] A[解析] 由空间几何中的公理可知，仅有A 不是公理，其余皆为公理． 5．在直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标为( ) A ．(5，－3) B ．(9,0) C ．(－3,5) D ．(－5,3)[答案] A[解析] 过P (2,1)向此直线引垂线，其垂足即为所求的点，过点P 作直线3x －4y －27＝0的垂线方程为4x ＋3y ＋m ＝0，而点P (2,1)在此垂线上，所以4×2＋3×1＋m ＝0.所以m ＝－11.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y －27＝0，4x ＋3y －11＝0，联立求解，得所求的点的坐标为(5，－3)．6．(安徽高考)直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．4 6[答案] C[解析] 本题考查了圆的垂径定理．圆心到直线的距离d ＝|1＋2×2－5＋5|12＋22＝1，半弦长＝(5)2－12＝2. ∴弦长＝4.7．底面边长为6，各侧面均为直角三角形的正三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则此球的体积为( )A ．9πB ．9π2C ．4πD ．3π [答案] B[解析] ∵底面边长为6，∴直角边长为3， ∴2R ＝3，R ＝32，V 球＝43π⎝⎛⎭⎫323＝92π.8．直线3x ＋y －23＝0截圆x 2＋y 2＝4得劣弧所对的圆心角为( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2[答案] C[解析] 由已知可得直线与圆相交，且圆心到直线的距离d ＝|3×0＋1×0－23|(3)2＋12＝ 3.而圆的半径为2.∴直线与圆的两交点与圆心构成等边三角形． ∴可得劣弧所对的圆心角为π3.9．如图，定圆的半径为a ，圆心为(b ，c )，则直线ax ＋by ＋c ＝0与直线x －y ＋1＝0的交点在( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限[答案] B[解析] 由图知，a >0，b <0，c >0，且c <a <|b |.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＋c ＝0，x －y ＋1＝0，得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋c a ＋b ，a －c b ＋a .∵b ＋c a ＋b >0，a －cb ＋a<0，∴交点在第三象限． 10．用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其主视图、左视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最大体积与最小体积的差是( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] D[解析] 如图①所示，这个几何体体积最大时共有11个小正方体构成，如图②所示，这个几何体最小时有5个小正方体构成，因此，这个几何体的最大体积与最小体积的差是6.第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．如图，已知a ∥α，B 、C 、D ∈a ，点A 与a 在平面α的异侧，直线AB 、AC 、AD 分别交α于E 、F 、G 三点，若BC ＝5，AD ＝7，DG ＝4，则EF 的长为______．[答案]157[解析] 由题知，EF BC ＝AF AC ＝AG AD ＝AD －DG AD ，∴EF 5＝37，∴EF ＝157.12．(2014·重庆理，13)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.[答案] 4±15[解析] 本题考查了等边三角形的性质点到直线的距离公式．圆心坐标是(1，a )，半径是2，由已知可得 |a ＋a －2|1＋a 2＝4－1，即a 2－8a ＋1＝0，解得a ＝4±15，解决本题要充分利用三角形ABC 是等边三角形的性质．13．(2014·山东文，13)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．[答案] 12[解析] 本题考查六棱锥的体积、侧面积的基本运算．如图所示．由体积V ＝13×6×34×4·h ＝2 3求得高h ＝1.取AB 中点G ，连接OG 、PG . ∵OA ＝OB ，∴AB ⊥GO . 又PO ⊥AB ，PO ∩GO ＝O ， ∴AB ⊥面PGO ，∴AB ⊥PG . 又PO ＝1，GO ＝32×2＝3，∴PG ＝2. ∴S 侧＝6×12×AB ·PG ＝3×2×2＝12.14．设X ，Y ，Z 是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X ⊥Z 且Y ⊥Z ⇒X ∥Y ”为真命题的是________(填序号)．①X ，Y ，Z 是直线；②X ，Y 是直线，Z 是平面；③Z 是直线，X ，Y 是平面；④X ，Y ，Z 是平面．[答案] ②③[解析] ①不行，反例为直线X ，Y ，Z 位于正方体的三条共点棱时，②，③可以． ④不行，反例为平面X ，Y ，Z 位于正方体的三个共点侧面时．15．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．[答案] 4[解析] 如图所示，在Rt △OO 1A 中，OA ＝5，O 1A ＝25，∴OO 1＝5. ∴AC ＝5×255＝2.∴AB ＝2AC ＝4. 三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)若直线l 垂直于直线2x ＋5y －1＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积是5，求直线l 的方程．[解析] 直线2x ＋5y －1＝0的斜率是－25，所以直线l 的斜率是52，设直线l 的方程是y＝52x ＋b ，则直线在x 轴，y 轴上的截距分别是－25b ，b ，所以S ＝12·⎪⎪⎪⎪－25b ·|b |＝5，则b 2＝25，所以b ＝±5，所以y ＝52x ±5，即5x －2y ±10＝0，即所求直线l 的方程是5x －2y ±10＝0.17．(本小题满分12分)(天津高考)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点．(1)证明：EF ∥平面A 1CD ； (2)证明：平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1.[解析] (1)证明：如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，连接ED ，在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC 且DE ∥AC ，又因为F 为A 1C 1的中点，可得A 1F ＝DE ，且A 1F ∥DE ，即四边形A 1DEF 为平行四边形，所以EF ∥DA 1.又EF ⃘平面A 1CD ，DA 1平面A 1CD ，所以，EF ∥平面A 1CD .(2)证明：由于底面ABC 是正三角形，D 为AB 的中点，故CD ⊥AB ，又由于侧棱A 1A ⊥底面ABC ，CD 平面ABC ，所以A 1A ⊥CD ，又A 1A ∩AB ＝A ，因此CD ⊥平面A 1ABB 1，而CD 平面A 1CD ，所以平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1.18．(本小题满分12分)正三棱锥S －ABC 的侧面是边长为a 的正三角形，D 、E 分别是SA 、BC 的中点，求△SDE 绕直线SE 旋转一周所得到的旋转体体积．[解析] 如图，连接AE .在正四面体中，AE ＝SE . ∴DE ⊥SA .又AE ＝SE ＝32a ，AS ＝a ， ∴DE ＝AE 2－(AS 2)2＝22a .过点D 作DF ⊥SE 于点F .有Rt △SDE 中，DF ＝SD ·DE SE ＝66a .当△SDE 绕直线SE 旋转一周时得到两个圆锥，其体积为V 旋转体＝13·πDF 2·SF ＋13·πDF 2·FE＝π3DF 2(SF ＋FE )＝π3DF 2·SE ＝π3(66a )2·32a ＝336πa 3. 即所得旋转体的体积是336πa 3. 19．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y －20＝0及直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4(m ∈R )．(1)求证：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交； (2)求直线l 被圆C 截得的弦长最短长度及此时的直线方程． [解析] (1)证明：把直线l 的方程改写成(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，2x ＋y －7＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3.y ＝1.∴直线l 总过定点(3,1)．圆C 的方程可写成(x －1)2＋(y －2)2＝25.∴圆C 的圆心为(1,2)，半径为5，定点(3,1)到圆心(1,2)的距离为(3－1)2＋(1－2)2＝5<5.∴点(3,1)在圆C 内．∴过点(3,1)的直线l 总与圆C 相交，即不论m 为何实数，直线l 与圆C 总相交． (2)解：当直线l 过定点M (3,1)且垂直于过点M 的半径时，l 被圆截得的弦长|AB |最短．(如下图)|AB |＝2BC 2－CM 2 ＝225－[(3－1)2＋(1－2)2] ＝220＝4 5. 此时，k AB ＝－1k CM ＝2.∴直线AB 的方程为y －1＝2(x －3)，即2x －y －5＝0.故直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度为45，此时直线l 的方程为2x －y －5＝0. 20．(本小题满分13分)求过直线2x ＋y ＋4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：(1)过原点； (2)有最小面积．[解析] 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＋λ(2x ＋y ＋4)＝0，即x 2＋y 2＋2(1＋λ)x ＋(λ－4)y ＋(1＋4λ)＝0. (1)∵圆过原点，∴1＋4λ＝0，λ＝－14.故所求圆的方程为x 2＋y 2＋32x －174y ＝0.(2)将圆系方程化为标准式，得 (x ＋1＋λ)2＋(y ＋λ－42)2＝54(λ－85)2＋45. 则当λ＝85时，半径取最小值255.此时圆的方程为(x ＋135)2＋(y －65)2＝45.21．(本小题满分14分)如下图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面P AB .[证明] (1)证明：因为AB ⊥平面P AD ，所以PH ⊥AB ，因为PH 为△P AD 中AD 边上的高，所以PH ⊥AD . 因为AB ∩AD ＝A ，所以PH ⊥平面 ABCD .(2)连接BH ，取BH 中点G ，连接EG ，因为E 是PB 的中点，所以 EG ∥PH ，因为PH ⊥平面ABCD ，所以 EG ⊥平面 ABCD ，则 EG ＝12PH ＝12，V E －BCF ＝13S △BCF ·EG ＝13·12·FC ·AD ·EG ＝212.(3)证明：取P A 中点M ，连接MD ，ME ，因为E 是PB 的中点，所以ME 綊12AB .因为 DF 綊12AB ，所以 ME 綊DF ，所以四边形MEFD 是平行四边形．所以 EF ∥MD ，因为 PD ＝AD, 所以 MD ⊥P A .因为AB⊥平面P AD, 所以MD⊥AB. 因为P A∩AB＝A，所以MD⊥平面P AB. 所以EF⊥平面P AB.。

2020-2021学年北师大版高中数学必修二学业水平测试提高卷及答案解析

x y O x y O x y O xyO最新（新课标）北师大版高中数学必修二高中数学学业水平测试检测卷4（提高卷）网第Ⅰ卷(选择题共54分)一、选择题:本大题共18小题，每小题3分，共54分1. 已知直线经过点A(0,4)和点B （1，2），则直线AB 的斜率为（）A.3B.-2C. 2D. 不存在2．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（）A ．072=+-y xB ．012=-+y xC ．250x y --=D ．052=-+y x3. 下列说法不正确的．．．．是（） A. 空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B ．同一平面的两条垂线一定共面；C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.4．已知点(1,2)A 、(3,1)B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（）A ．524=+y xB ．524=-y xC ．52=+y xD ．52=-y x5. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（）A ．B ．C ．D ．6. 已知a 、b 是两条异面直线，c ∥a ，那么c 与b 的位置关系（）A.一定是异面B.一定是相交C.不可能平行D.不可能相交7. 设m 、n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ其中正确命题的序号是 ( )（A）①和②（B）②和③（C）③和④（D）①和④8. 圆22-+=与直线y x(1)1x y=的位置关系是（）A．相交 B. 相切 C.相离 D.直线过圆心9. 两圆相交于点A（1，3）、B（m，－1），两圆的圆心均在直线x－y+c=0上，则m+c的值为（）A．－1 B．2 C．3 D．010. 在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH相交于点P，那么( )A．点P必在直线AC上 B.点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内 D.点P必在平面ABC外11. 若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是（）A.MN∥βB.MN与β相交或MN⊂≠βC. MN∥β或MN⊂≠βD. MN∥β或MN与β相交或MN⊂≠β12. 已知A、B、C、D是空间不共面的四个点，且AB⊥CD，AD⊥BC，则直线BD与AC（）A.垂直B.平行C.相交D.位置关系不确定13．各棱长均为a的三棱锥的表面积为（）A．233a2a D．2334a B．23a C．214．如图⑴、⑵、⑶、⑷为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（）A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台15．经过两点（3，9）、（-1，1）的直线在x 轴上的截距为（）A ．23-B ．32-C ．32D ．216．已知A （1，0，2），B （1，,3-1），点M 在z 轴上且到A 、B 两点的距离相等，则M 点坐标为（）A ．（3-，0，0）B ．（0，3-，0）C ．（0，0，3-）D ．（0，0，3）17．已知圆心为C （6，5），且过点B （3，6）的圆的方程为（）A ．22(6)(5)10x y -+-=B ．22(6)(5)10x y +++=C ．22(5)(6)10x y -+-=D ．22(5)(6)10x y +++=18. 圆：012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最小值是（） A 、 2 B 、21+ C 、12- D 、221+二填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分19.已知A （1，-2，1），B （2，2，2），点P 在z 轴上，且|PA|=|PB|,则点P 的坐标为；20.已知正方形ABCD 的边长为1，AP ⊥平面ABCD ，且AP=2,则PC ＝；21. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程_____； 22..圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4)A -，(0,2)B -，则圆C 的方程为．三解答题本大题共3小题，每小题10分，共30分23(10分) 已知△ABC 三边所在直线方程为AB ：3x+4y+12=0，BC ：4x －3y+16=0，CA ：2x+y －2=0，求AC 边上的高所在的直线方程.24(10分) 如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a,DC=a,F 是BE的中点，求证：(1) FD∥平面ABC; (2) AF⊥平面EDB.25.（10分）已知圆C：()22-+=内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、Bx y19两点.(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程；(2)当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；(3) 当直线l的倾斜角为45º时，求弦AB的长.高中数学学业水平测试检测卷--数学必修2（提高卷）二、填空题：(4’×4=16’)19. (0,0,3) 20.21．y=2x 或x+y-3=0 22． (x-2)2+(y+3)2=5 三解答题. 23、.由⎩⎨⎧=+-=++016364012463x x 解得交点B （－4，0），211,=-=∴⊥AC BD k k AC BD Θ. ∴AC 边上的高线BD 的方程为042),4(21=+-+=y x x y 即. 24、 ∵ F 、M 分别是BE 、BA 的中点 ∴ FM ∥EA, FM=12EA ∵ EA 、CD 都垂直于平面ABC ∴ CD ∥EA ∴ CD ∥FM又 DC=a, ∴ FM=DC ∴四边形FMCD 是平行四边形 ∴ FD ∥MCFD ∥平面ABC(2) 因M 是AB 的中点，△ABC 是正三角形，所以CM ⊥AB又 CM ⊥AE,所以CM ⊥面EAB, CM ⊥AF, FD ⊥AF,因F 是BE 的中点, EA=AB 所以AF ⊥EB.25.、(1) 已知圆C ：()2219x y -+=的圆心为C （1，0），因直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y=2(x-1),即 2x-y-20.(2) 当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC, 直线l 的方程为12(2)2y x -=--, 即 x+2y-6=0 (3) 当直线l 的倾斜角为45º时，斜率为1，直线l 的方程为y-2=x-2 ,即 x-y=0圆心C 到直线l，圆的半径为3，弦AB。

2020-2021学年北师大版高中数学必修二模块综合测评(一)及答案解析

最新（新课标）北师大版高中数学必修二模块综合测评(一)(时间：90分钟满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程是( ) A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0解析：设所求直线方程为－2x －y ＋m ＝0，则－2×(－1)－3＋m ＝0，所以m ＝1，即－2x －y ＋1＝0，故直线方程为2x ＋y －1＝0.答案：B2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8π3B ．3πC.10π3D ．6π解析：显然由三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分，并且由正视图知是一个34的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为4，则V＝34×π×12×4＝3π. 答案：B3．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )A ．202πB ．252πC ．50πD ．200π解析：设长方体的体对角线长为l ，球半径为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2R ，l 2＝32＋42＋52，所以R ＝522，所以S 球＝4πR 2＝50π.答案：C4．在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，12，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，13，13，则( ) A ．OA ⊥AB B ．AB ⊥AC C ．AC ⊥BCD ．OB ⊥OC解析：|AB|＝12，|AC|＝36，|BC|＝66，因为|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以AC⊥BC.答案：C5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n解析：A中还可能m，n相交或异面，所以A不正确；B、C中还可能α，β相交，所以B、C不正确．很明显D正确．答案：D6．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为( )A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0解析：设圆心为C(1,0)，则AB⊥CP，∵k CP＝－1，∴k AB＝1，∴y＋1＝x －2，即x－y－3＝0.答案：A7．在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( ) A．30°B．45°C ．60°D ．90°解析：过A 作AE ⊥BC 于点E ，则易知AE ⊥面BB 1C 1C ，则∠ADE 即为所求，又tan ∠ADE ＝AEDE＝3，故∠ADE ＝60°.答案：C8．过点M(－2,4)作圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，且直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 间的距离是( )A.85B.25C.285D.125解析：因为点M(－2,4)在圆C 上，所以切线l 的方程为(－2－2)(x －2)＋(4－1)(y －1)＝25，即4x －3y ＋20＝0.因为直线l 与直线l 1平行，所以－a 3＝43，即a ＝－4，所以直线l 1的方程是－4x ＋3y －8＝0，即4x －3y ＋8＝0.所以直线l 1与直线l 间的距离为|20－8|42＋(－3)2＝125. 答案：D9．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：令a ＝0，a ＝1，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋1＝0，－y ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以C(－1,2)．则圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.答案：C10．设P(x ，y)是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为( )A.26＋2B.26－2 C ．5D ．6解析：如图，设A(1,1)，(x －1)2＋(y －1)2＝|PA|，则|PA|的最小值为|AC|－r ＝26－2.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．如图所示，Rt △A ′B ′C ′为水平放置的△ABC 的直观图，其中A′C ′⊥B ′C ′，B ′O ′＝O ′C ′＝1，则△ABC 的面积为__________．解析：由直观图画法规则将△A ′B ′C ′还原为△ABC ，如图所示，则有BO ＝OC ＝1，AO ＝2 2.∴S △ABC ＝12BC ·AO＝12×2×2 2 ＝2 2.答案：2 212．经过点P(1,2)的直线，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距离相等的直线方程为__________．解析：x ＝1显然符合条件；当A(2,3)，B(0，－5)在所求直线同侧时，所求直线与AB 平行，∵k AB ＝4，∴y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. 答案：4x －y －2＝0或x ＝113．与x 轴相切并和圆x 2＋y 2＝1外切的圆的圆心的轨迹方程是__________．解析：设M(x ，y)为所求轨迹上任一点，则由题意知1＋|y|＝x 2＋y 2，化简得x 2＝2|y|＋1.答案：x 2＝2|y|＋114．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0与直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＝__________，E ＝__________.解析：由题设知直线l 1，l 2的交点为已知圆的圆心．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋4＝0，x ＋3y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，所以－D 2＝－3，D ＝6，－E2＝1，E ＝－2.答案：6；－2三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)直线l 经过点P(2，－5)，且到点A(3，－2)和B(－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．解：∵直线l 过P(2，－5)，∴可设直线l 的方程为y ＋5＝k ·(x －2)，即kx －y －2k －5＝0.(2分) ∴A(3，－2)到直线l 的距离为 d 1＝|k ·3－(－2)－2k －5|k 2＋1＝|k －3|k 2＋1. B(－1,6)到直线l 的距离为d 2＝|k ·(－1)－6－2k －5|k 2＋1＝|3k ＋11|k 2＋1. (6分)∵d 1∶d 2＝1∶2，∴|k －3||3k ＋11|＝12.化简得k 2＋18k ＋17＝0.(10分) 解得k 1＝－1，k 2＝－17.∴所求直线方程为x ＋y ＋3＝0或17x ＋y －29＝0.(12分)16．(12分)如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，且∠ABC＝120°，PC⊥平面ABCD，PC＝a，E为PA的中点．(1)求证：平面EBD⊥平面ABCD；(2)求点E到平面PBC的距离．(1)证明：如图所示，连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE，在△PAC中，E为PA的中点，O为AC的中点，∴OE∥PC.(2分)又PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.又OE⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.(4分)(2)解：∵OE∥PC，PC⊂面PBC，而OE⊄面PBC，∴OE∥面PBC，∴E到平面PBC的距离等于O到平面PBC的距离．过O在底面ABCD内作OG⊥BC于G，又平面PBC⊥面ABCD，且面PBC ∩面ABCD＝BC，∴OG ⊥面PBC ，即线段OG 的长度为点O 到平面PBC 的距离．(8分) 在菱形ABCD 中，∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°，∴△BCD 为正三角形，且BC ＝a ，由余弦定理可得AC ＝3a ， ∴OB ＝a 2，OC ＝32a.(10分)在Rt △BOC 中，OG ·BC ＝OB ·OC ，即OG ·a ＝a 2·32a ，∴OG ＝34a.即E 到平面PBC 的距离为34a.(12分)17．(12分)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P(2,2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程； (3)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长．解：(1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C(1,0)，因直线l 过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2.故直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(4分)(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y －6＝0.(8分)(3)当直线l 的倾斜角为45°时，其斜率为1，直线l 的方程为y －2＝x －2，即x －y ＝0，圆心C 到直线l 的距离为12，圆的半径为3，弦AB 的长为232－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＝34.(12分)18．(14分)如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点，AO ⊥平面A 1B 1C 1.已知∠BCA ＝90°，AA 1＝AC ＝BC ＝2.(1)证明：OE ∥平面AB 1C 1；(2)求异面直线AB 1与A 1C 所成的角； (3)求A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值． (1)证明：∵点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点， ∴OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1.(4分)(2)解：∵AO ⊥平面A 1B 1C 1，∴AO ⊥B 1C 1，又∵A 1C 1⊥B 1C 1，且A 1C 1∩AO ＝O ，∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ， ∴A 1C ⊥B 1C 1. 又∵AA 1＝AC ，∴四边形A 1C 1CA 为菱形， ∴A 1C ⊥AC 1，且B 1C 1∩AC 1＝C 1， ∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，∴AB 1⊥A 1C ，即异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°.(9分) (3)解：设点C 1到平面AA 1B 1的距离为d ， ∵VA －A 1B 1C 1＝VC 1－AA 1B 1，即13·12·A 1C 1·B 1C 1·AO ＝13·S △AA 1B 1·d. 又∵在△AA 1B 1中，A 1B 1＝AB 1＝22， ∴S △AA 1B 1＝7. ∴d ＝2217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217.(14分)。

全册检测综合篇-2020-2021学年北师大版高一数学(必修2)

参考答案
1．D
【解析】根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足，分别为四棱柱，三棱柱，五棱柱，六棱柱
故选D
2．A
【解析】
【分析】根据直线平行列等式，解得结果.
【详解】因为直线与直线互相平行，
所以，选A.
【点睛】本题考查两直线平行，考查基本 Nhomakorabea解能力，属基础题.
3．B
【解析】
【分析】先确定锥体的高，再根据锥体体积公式得结果.
取的中点，根据直角三角形的性质可知，
所以点是三棱锥外接球的球心，
设，则，
则三棱锥外接球的表面积，，解得： ,
点到平面的距离 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为，那么外接球的直径，（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立的方程.（3）而本题类型，是两个直角三角形的公共斜边的中点是外接球的球心.
所以，所以，解得，所以，
所以圆锥的侧面积为 .故答案为： .
【点睛】关键点点睛：掌握圆锥的侧面积公式和三角形的面积公式是解题关键.
15．
【分析】先根据题意得圆心为，，进而得圆心到直线的距离为：，再根据几何法即可得 .
【详解】解：由题知：圆的圆心为，，
故圆心到直线的距离为：，所以弦长为： .
18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求四棱锥的体积.
19．如图，在正方体中，E为的中点， .求证：

北师大版高一数学必修2试卷及答案

A 、(x+8)2+(y-5)2=1B 、(x-7)2+(y+4)2=2C 、(x+3)2+(y-2)2=lD 、(x+4)2+(y+3)2=2 高一数学必修2考试卷十二厂中学屈丽萍一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1、已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的几何体的体积为() (A)48(B)64(C)96(D)192 2、已知A (x i ，y i )、B (x 2，y 2)两点的连线平行y 轴， A 、|x-x|B 、|y-y|C 、x-x D 、 121221 3•棱长都是1的三棱锥的表面积为() A.<3B.2朽C.3朽D.4©3 4、长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是() A .25兀B .55C .125兀D .都不对 325、已知正方体外接球的体积是3“，那么正方体的棱长等于(D ) 3 (A )2迈(B )叵(C )包(D )痘333 6、若1、m 、n 是互不相同的空间直线，a 、B 是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是()A.若a //P ,/u a ,n u R ，则l //nB.若a 丄B ,/u a ，则1丄B 等腰三角形•则该则|AB |=() y 2-y 1C.若l 丄a ,l 〃B ，则a 丄BD.若l 丄n,m 丄n ，则 7、如图，在正方体ABCD -ABCD 中，EF ，G ，H 分别为1111 BC 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于() 11 A.45°B.60°C.90°D.120° 8、方程(x-2)2+(y+l )2=l 表示的曲线关于点T (-3,2)的对l //m AA ，AB ，BB ， 11 称曲线方程是：。

2021年北师大版数学必修2第二章测试题及答案

x y O x y O x y O xyO高一年级数学学科必修2第二章质量检测试题试卷学校:卧龙寺中学命题人:吴亮李丰明第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．下列命题中为真命题的是 ( ) A ．平行直线的倾斜角相等 B ．平行直线的斜率相等C ．互相垂直的两直线的倾斜角互补D ．互相垂直的两直线的斜率互为相反 2. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是 ( )A ．B ．C ．D ．3．已知点(1,2)A 、(3,1)B ，则线段AB 的垂直平分线l 的方程是 ( ) A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x4．如果直线022=++y ax 与直线023=--y x 平行，那么系数a 为 ( ) A ．23-B ．6-C ．3-D ．325．过直线013=-+y x 与072=-+y x 的交点，且与第一条直线垂直的直线l 的方程是( ) A ．073=+-y x B ．0133=+-y x C ．072=+-y x D ．053=--y x 6．与圆02422=+-+y y x 相切，并在x 轴、y 轴上的截距相等的直线共有 ( ) A.6条 B.5条 C.4条 D.3条7．直线2x =被圆422=+-y a x ）（所截得的弦长等于32，则a 的值为 ( ) A 、-1或-3 B 、22-或 C 、1或3 D 、38．已知1O :06422=+-+y x y x 和2O :0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是 ( )Ａ. 30x y ++= Ｂ. 250x y --= Ｃ. 390x y --= Ｄ. 4370x y -+= 9．两点)2,2(++b a A 、B ),(b a b --关于直线1134=+y x 对称，则 ( ) Ａ.2,4=-=b a Ｂ.2,4-==b a Ｃ.2,4==b a Ｄ. 2,4a b ==10.空间直角坐标系中,点(3,4,0)A -和点(2,1,6)B -的距离是 ( )A． B． C ．9 D二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)把答案填第Ⅱ卷题中横线上11．直线x y 2=关于x 轴对称的直线方程为 .12．已知点)1,1(P 和直线l :02043=--y x ，则过P 与直线l 平行的直线方程是，过点P 与l 垂直的直线方程是 .13．直线l 经过直线0623=++y x 和0752=-+y x 的交点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程是_____ _.14.圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4)A -，(0,2)B -，则圆C 的方程为．15．已知点(,)M a b 在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为 16．经过)1,2(-A 和直线1x y +=相切，且圆心在直线x y 2-=上的圆的方程为_____________ _________ __________ .金台区高一年级数学学科必修2第二章质量检测试题参赛试卷第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上)11.________________________ 12._______________________13._________________________ 14.______________________15._________________________ 16._______________________三、解答题(本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(12分)求经过点)2,1(A且到原点的距离等于1的直线方程.18. (14分) 已知一曲线是与两个定点(0,0)O、(3,0)A距离的比为21的点的轨迹，则求此曲线的方程.19.(14分) 求垂直于直线0743=--yx，且与两坐标轴构成周长为10的三角形的直线方程20.(15分)自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线L所在直线的方程.21(15分)圆822=+yx内有一点(1,2)P-，AB为过点P且倾斜角为α的弦，(1)当α＝135０时，求AB;(2)当弦AB被点P平分时，求出直线AB的方程;(3)设过P点的弦的中点为M，求点M的坐标所满足的关系式.高一年级数学学科必修2第二章质量检测试题试卷试卷说明学校:卧龙寺中学命题人吴亮李丰明一、命题意图解析几何是新课标中方程与几何部分的重点内容，其中既有一些几何图形基础，也蕴含了丰富的数形结合的思想方法，新课程标准要求重视数学之间的联系应用，培养和发展数学联系意识，所以本章内容一定会成为高考中的热点与重点。

北师大版高中数学二必修2期末试题(2021年整理)

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SB 1C 1A 1高一数学必修2期末试题一、选择题：1．倾斜角为135,在y 轴上的截距为1-的直线方程是（ )A ．01=+-y xB ．01=--y xC ．01=-+y xD ．01=++y x 2．原点在直线l 上的射影是P （－2，1），则直线l 的方程是 ( )A ．02=+y xB ．042=-+y xC ．052=+-y xD ．032=++y x 3．如果直线l 是平面α的斜线，那么在平面α内（ )A ．不存在与l 平行的直线B ．不存在与l 垂直的直线C ．与l 垂直的直线只有一条D ．与l 平行的直线有无穷多条 4．过空间一点作平面，使其同时与两条异面直线平行，这样的平面（ )A ．只有一个B ．至多有两个C ．不一定有D ．有无数个5．直线093=-+y ax 与直线03=+-b y x 关于原点对称,则b a ,的值是（ )A ．a =1，b = 9B ．a =－1，b = 9C ．a =1，b =－9D ．a =－1，b =－96．已知直线b kx y +=上两点P 、Q 的横坐标分别为21,x x ，则｜PQ ｜为（）A ．2211k x x +⋅-B ．k x x ⋅-21C ．2211kx x +- D ．k x x 21-7．直线l 通过点(1,3）且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为6，则直线l 的方程是（）A ．063=-+y xB ．03=-y xC ．0103=-+y xD ．083=+-y x8．如果一个正三棱锥的底面边长为615 )Ａ．92 Ｂ．9Ｃ．272 Ｄ．329．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面,球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是( ) A ．31003cm π B ．32083cm πC ．35003cm πD 34163π 10．在体积为15的斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S －ABC 的体积为3,则三棱锥S－A 1B 1C 1的体积为 ( ）A ．1B ．32C ．2D ．311．已知点)3,2(-A 、)2,3(--B 直线l 过点)1,1(P ，且与线段AB 相交,则直线l 的斜率的取值k 范围是 ( )A ．34k ≥或4k ≤- B ．34k ≥或14k ≤- C ．434≤≤-k D ．443≤≤k12．过点（1，2）,且与原点距离最大的直线方程是（ )A ．052=-+y xB ．042=-+y xC ．073=-+y xD ．032=+-y x题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案13．过点)3,2(P 且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 14．过点（－6,4)，且与直线032=++y x 垂直的直线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 15．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角是．16．已知两点)2,1(-A ,)1,2(-B ，直线02=+-m y x 与线段AB 相交,则m 的取值范围是． 17．如图，△ABC 为正三角形，且直线BC 的倾斜角是45°，则直线AB ，，AC 的倾斜角分别为：AB α=__________， AC α=____________．18．正四面体（所有面都是等边三角形的三棱锥）相邻两侧面所成二面角的余弦值是．三、解答题：19．已知平行四边形的两条边所在的直线方程分别是x ＋y ＋1＝0和3x －y ＋4＝0, 它的对角线的交点是M （3, 0)，求这个四边形的其它两边所在的直线方程．20．正三棱台的上、下底边长为3和6．（Ⅰ）若侧面与底面所成的角是60°，求此三棱台的体积；（Ⅱ）若侧棱与底面所成的角是60°,求此三棱台的侧面积；21．在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线的方程为012=+-y x ，∠A 的平分线所在直线的方程为0=y ,若点B 的坐标为（1,2），求点 A 和点 C 的坐标．．22．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,已知M 为棱AB 的中点．（Ⅰ）AC 1//平面B 1MC ；（Ⅱ）求证：平面D 1B 1C⊥平面B 1MC ．23．如图，射线OA 、OB 分别与x 轴成45角和30角，过点)0,1(P 作直线AB 分别与OA 、OB 交于A 、B ．（Ⅰ）当AB 的中点为P 时，求直线AB 的方程； (Ⅱ）当AB 的中点在直线x y 21=上时，求直线AB 的方程．高一数学必修2期末试题参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A C D A A B CC A A13．-+y x15．30° 16．]5,4[- 17．105°;165° 18．1319．07=-+y x 和0223=--y x ．20．(Ⅰ）32h =，221()3V h a ab b =++=．（Ⅱ)3h =，'h =，127(33)'22S a b h =+==21．由 ⎩⎨⎧=+-=0120y x y 得⎩⎨⎧==01y x ，即A 的坐标为 )0,1(-,∴ 1102+-=AB k , 又∵ x 轴为∠BAC 的平分线，∴ 1-=-=AB AC k k ，又∵ 直线 012=+-y x 为 BC 边上的高, ∴ 2-=BC k ．设 C 的坐标为),(b a ，则11-=+a b ，212-=--a b ，解得 5=a ，6=b ,即 C 的坐标为)6,5(．22．（Ⅰ）MO//AC 1;(Ⅱ)MO∥AC 1,AC 1⊥平面D 1B 1C ,MO⊥平面D 1B 1C ,平面D 1B 1C⊥平面B 1MC ．23．解:(Ⅰ)由题意得，OA 的方程为x y =，OB 的方程为x y 33-=，设),(a a A ，),3(b b B -。

2020_2021学年高中数学本册测试题含解析北师大版必修2

高中数学单元综合测试：单元综合测试三(本册测试题)时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是(D)A．(1，－2)，5 B．(1，－2)， 5C．(－1,2)，5 D．(－1,2)， 5解析：圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，其圆心是(－1,2)，半径为 5.2．点A在z轴上，它到点(22，5，1)的距离是13，则点A的坐标是(C)A．(0,0，－1) B．(0,1,1)C．(0,0,1) D．(0,0,13)解析：由点A在z轴上，可设A(0,0，z)，∵点A到点(22，5，1)的距离是13，∴(22－0)2＋(5－0)2＋(1－z)2＝13，解得z＝1，故A的坐标为(0,0,1)．故选C.3．圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的面积之和是(C)A．3πa2B．4πa2C．5πa2D．6πa2解析：设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，如图所示，∠ASO＝30°，＝sin30°，∴SA′＝2r.在Rt△SA′O′中，rSA′在Rt△SAO中，2r＝sin30°，SA∴SA＝4r.∴SA－SA′＝AA′，即4r－2r＝2a，r＝a.∴S＝S1＋S2＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2.4．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的体积是( B )A.83 B ．43π C ．12πD.833π解析：由三视图可知该几何体为四棱锥，底面为边长为2的正方形，有一侧棱垂直于底面，该侧棱长为2，因此外接球的直径为23，∴r ＝3，∴V ＝43πr 3＝43π.5．若点P (2，－1)为圆C (x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( A ) A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0解析：圆心为C (1,0)，则AB ⊥CP ，∵k CP ＝－1，∴k AB ＝1，∴直线AB 的方程是y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0.6．若直线l 过点A (3,4)，且点B (－3,2)到直线l 的距离最远，则直线l 的方程为( D ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x －y ＋5＝0 C ．3x ＋y ＋13＝0D ．3x ＋y －13＝0解析：当l ⊥AB 时，符合要求． ∵k AB ＝4－23＋3＝13，∴l 的斜率为－3，∴直线l 的方程为y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.7．点(a ＋1,2a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，则a 的取值范围为( B ) A ．|a |<15B ．|a |<55C ．|a |<1D ．a <55解析：∵点(a ＋1,2a )在圆内部， ∴(a ＋1－1)2＋(2a )2<1，∴|a |<55.8．一个球的外切正方体的表面积等于6 cm 2，则此球的体积为 ( C )A.43π cm 3 B.68π cm 3 C.16π cm 3 D.66π cm 3 解析：设球的直径为2R cm ，则正方体的棱长为2R cm ，由题意得6×4R 2＝6，解得R ＝12.所以球的体积V ＝43πR 3＝43π×18＝16π(cm 3)． 9．已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点．若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( D )A. 2B.212C ．2 2D ．2解析：圆心C (0,1)到l 的距离d ＝5k 2＋1.∴四边形面积的最小值为2(12×1×d 2－1)＝2，∴k 2＝4，即k ＝±2.又k >0，∴k ＝2.10．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( A )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段解析：∵DD 1⊥平面ABCD ，∴DD 1⊥AC ，又AC ⊥BD ，BD 平面BB 1D 1D ，D 1D 平面BB 1D 1D ， ∴AC ⊥平面BDD 1，∴AC ⊥BD 1.同理BD 1⊥B 1C . 又∵B 1C ∩AC ＝C ，B 1C 平面AB 1C ，AC 平面AB 1C ， ∴BD 1⊥平面AB 1C .而AP ⊥BD 1，∴AP 平面AB 1C .又P ∈平面BB 1C 1C ，∴点P 的轨迹为平面AB 1C 与平面BB 1C 1C 的交线B 1C .故选A.第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题(每小题5分，共25分)11．顺次连接A (1,0)，B (1,4)，C (3,4)，D (5,0)所得到的四边形绕y 轴旋转一周，所得旋转体的体积是184π3.解析：所得旋转体为上底、下底面半径分别为3,5，高为4的圆台，去掉一个半径为1，高为4的圆柱．V 台＝13(9π＋9π×25π＋25π)×4＝196π3，V 柱＝4π，则V ＝V 台－V 柱＝184π3. 12．经过两条直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程为2x ＋3y －2＝0.解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0得交点A (－2,2)．因为所求直线垂直于直线3x －2y＋4＝0，故所求直线的斜率k ＝－23.由点斜式得所求直线方程为y －2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y－2＝0.13．在△ABC 中，高AD 与BE 所在直线的方程分别是x ＋5y －3＝0和x ＋y －1＝0，AB 边所在直线的方程是x ＋3y －1＝0，则△ABC 的顶点坐标分别是A (－2,1)，B (1,0)，C (2,5)．解析：高AD 与边AB 所在直线的交点即为顶点A ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5y －3＝0，x ＋3y －1＝0，得A (－2,1)．高BE 与边AB 所在直线的交点即为顶点B ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x ＋3y －1＝0，得B (1,0)．因为直线AC 过点A ，且与直线BE 垂直，所以直线AC 的方程为y －1＝x ＋2，即y ＝x ＋3，同理，直线BC 的方程为y ＝5(x －1)，联立两直线方程得C (2,5)．14．已知在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若P A ⊥平面ABCD ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的点E 有两个时，a 的取值范围是(6，＋∞)．解析：如图所示，连接AE ，要使PE ⊥DE ，由于DE ⊥P A ，则需DE ⊥AE .∵在矩形ABCD 中，∠AED ＝90°，满足条件的E 点有两个，∴以AD 为直径的圆与BC 相交．∴圆心到直线BC的距离d<R，即3<AD，得a>6.215．从原点O引圆(x－m)2＋(y－2)2＝m2＋1的切线y＝kx，当m变化时，切点P的轨迹方程是x2＋y2＝3.解析：设切点P(x，y)，圆心C(m,2)，则在直角三角形OPC中，由勾股定理可得m2＋4＝m2＋1＋x2＋y2，∴切点P的轨迹方程为x2＋y2＝3.三、解答题(本题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本题满分12分)求倾斜角为直线y＝－3x＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程．(1)经过点(－4,1)；(2)在y轴上的截距为－10.解：因为直线y＝－3x＋1的斜率为－3，所以该直线的倾斜角为120°.由题意知所求直线的倾斜角为60°，斜率k＝ 3.(1)因为直线过点(－4,1)，所以由直线的点斜式方程得y－1＝3(x＋4)，即3x－y＋1＋43＝0.(2)因为直线在y轴上的截距为－10，所以由直线的斜截式方程得y＝3x－10.即3x－y－10＝0.17．(本题满分12分)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S .解：由题设可知，该几何体是一个高h ＝4的四棱锥，其底面是长和宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h 1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6，高为h 2的等腰三角形，如图所示．(1)该几何体的体积V ＝13S 底h ＝13×6×8×4＝64.(2)正侧面及其相对侧面底边上的高为h 1＝42＋32＝5，左、右侧面底边上的高为h 2＝42＋42＝42，故该几何体的侧面积为S ＝2⎝⎛⎭⎫12×8×5＋12×6×42＝40＋24 2. 18．(本题满分12分)已知直线l 经过点P (3,4)．(1)若直线l 的倾斜角为θ(θ≠90°)，且直线l 经过另外一点(35，45)，求此时直线l 的方程；(2)若直线l 与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程．解：(1)直线l 的斜率为k ＝tan θ＝4－453－35，解得tan θ＝43.所以直线l 的斜率为43，直线l 的方程为y ＝43x .(2)由题意知，直线l 的斜率必存在，且不为零，则设l ：y －4＝k (x －3)，分别令x ，y 等于零得到x 轴上的截距为－4k＋3，y 轴上的截距为－3k ＋4，由|－4k ＋3|＝|－3k ＋4|，得－4k ＋3＝－3k ＋4，解得k ＝－1，或k ＝43；或者－4k ＋3＝3k －4，解得k ＝1或k ＝43；经检验k ＝43不合题意，舍去．综上k 的值为±1，直线l 的方程为y ＝x ＋1或y ＝－x ＋7.19．(本题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC＝1，PC＝23，PD＝CD＝2.(1)求异面直线P A与BC所成角的正切值；(2)证明：平面PDC⊥平面ABCD.解：(1)在四棱锥P－ABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD＝BC且AD∥BC，又＝因为AD⊥PD，故∠P AD为异面直线P A与BC所成的角．在Rt△PDA中，tan∠P AD＝PDAD 2.所以，异面直线P A与BC所成角的正切值为2.(2)证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD，又由于AD⊥PD，CD∩PD＝D，因此AD⊥平面PDC，而AD平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD.20．(本题满分13分)如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M与x轴及直线y＝3x分别相切于A，B两点，另一圆N与圆M外切，且与x轴及直线y＝3x分别相切于C，D两点．(1)求圆M与圆N的方程；(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．解：(1)∵点M的坐标为(3，1)，∴M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1，则圆M 的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝1.设圆N 的半径为r ，连接MA ，NC ，OM ，如图，则MA ⊥x 轴，NC ⊥x 轴，由题意知：M ，N 点都在∠COD 的角平分线上，∴O ，M ，N 三点共线．由Rt △OAM ∽Rt △OCN 可知，OMON ＝MANC ，即23＋r ＝1r⇒r ＝3，则OC ＝33，则圆N 的方程为(x －33)2＋(y －3)2＝9.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A 点与MN 平行的直线被圆N 截得的弦的长度，此弦的方程是y ＝33(x －3)，即x －3y －3＝0，圆心N 到该直线的距离d ＝32，则弦长为2r 2－d 2＝33.21．(本题满分14分)如图，边长为4的正方形ABCD 所在平面与正△P AD 所在平面互相垂直，M ，Q 分别为PC ，AD 的中点．(1)求四棱锥P -ABCD 的体积； (2)求证：P A ∥平面MBD ；(3)试问：在线段AB 上是否存在一点N ，使得平面PCN ⊥平面PQB ？若存在，试指出点N 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．解：(1)∵Q 为AD 的中点，△P AD 为正三角形， ∴PQ ⊥AD .∵平面P AD ⊥平面ABCD ，且平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD . ∵AD ＝4，∴PQ ＝23，四棱锥P -ABCD 的体积V ＝13S 正方形ABCD ·PQ ＝13×42×23＝3233.(2)证明：连接AC 交BD 于点O ，连接MO ，如图所示．由正方形ABCD 知O 为AC 的中点．∵M 为PC 的中点， ∴MO ∥P A .∵MO 平面MBD ，P A ⃘平面MBD ，∴P A ∥平面MBD .(3)存在点N ，当N 为AB 的中点时，平面PQB ⊥平面PNC .证明如下：如图，连接BQ ，CN ，PN .∵四边形ABCD 是正方形，Q 为AD 的中点，∴BQ ⊥NC . 由(1)知，PQ ⊥平面ABCD ，NC 平面ABCD ， ∴PQ ⊥NC .又BQ ∩PQ ＝Q ，∴NC ⊥平面PQB . ∵NC 平面PCN ，∴平面PCN ⊥平面PQB .。

2020_2021学年高中数学单元综合测试2含解析北师大版必修2

单元综合测试二(第二章综合测试)时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题(每小题5分，共50分) 1．直线3x ＋3y －1＝0的倾斜角是( C ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：设直线3x ＋3y －1＝0的倾斜角是θ，θ∈[0，π)．直线3x ＋3y －1＝0化为y ＝－3x ＋33， ∴tan θ＝－3，∴θ＝2π3.故选C.2．点(1,1)到直线x ＋y －1＝0的距离为( C ) A ．1 B ．2 C.22D. 2解析：由点到直线的距离公式d ＝|1＋1－1|12＋12＝22.3．方程x 2＋y 2＋x ＋y －m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( A ) A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 C.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12 解析：由题意得1＋1＋4m >0，解得m >－12.4．空间直角坐标系中，点M (2,5,8)关于xOy 平面对称的点N 的坐标为( C ) A ．(－2,5,8) B ．(2，－5,8) C ．(2,5，－8)D ．(－2，－5,8) 解析：由题意，关于平面xOy 对称的点横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标变为它的相反数，从而有点M (2,5,8)关于平面xOy 对称的点的坐标为(2,5，－8)．故选C.5．过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( A ) A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0解析：由题意可设所求的直线方程为x －2y ＋c ＝0，∵过点(－1,3)，代入可得－1－6＋c ＝0，则c ＝7，∴x －2y ＋7＝0.故选A.6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( D )A. 3 B ．2 C. 6D ．2 3解析：直线方程为y ＝3x ，圆的方程化为x 2＋(y －2)2＝4，∴r ＝2，圆心(0,2)到直线y ＝3x 的距离为d ＝1，∴弦长为222－1＝2 3.7．若三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0围成一个三角形，则k 的取值范围是( B )A ．k ∈R 且k ≠±5且k ≠1B ．k ∈R 且k ≠±5且k ≠－10C ．k ∈R 且k ≠±1且k ≠0D ．k ∈R 且k ≠±5解析：直线l 1：x －y ＝0的斜率为1；l 2：x ＋y －2＝0的斜率为－1；l 3：5x －ky －15＝0的斜率为－5k .由于三条直线围成一个三角形，∴k ≠0时满足5k ≠±1，∴k ≠±5，k ＝0也满足，且三条直线交于一点时k ＝－10，∴k ≠－10.因此k ∈R 且k ≠±5且k ≠－10.故选B.8．若直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为原点)，则k 的值为( A )A.3，－ 3 B ．4，－ 3 C.3，－1D ．1，－1解析：过点O 作OE ⊥PQ ，垂足为E .∵∠POQ ＝120°，∴∠POE ＝60°，∴∠OPE ＝30°.∴OE ＝12OP ＝12.∴圆心到直线的距离为12，∴12＝11＋k 2，解得k ＝±3.故选A.9．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( A )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.17解析：由题意知，圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9的圆心分别为C 1(2,3)，C 2(3,4)，且|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4，点C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C (2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|＝|PC |＋|PC 2|≥|CC 2|＝52，即|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.10．曲线y ＝1－x 2＋1上存在不同的两点关于直线l 对称，则直线l 的方程可以是( D )A ．y ＝－3x ＋4B ．y ＝xC ．y ＝－x ＋2D ．y ＝x ＋1解析：由题意，曲线y ＝1－x 2＋1表示x 2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，圆心为(0,1)，直线y ＝x ＋1与曲线相交，所以曲线y ＝1－x 2＋1上存在不同的两点关于直线l 对称，则直线l 的方程可以是y ＝x ＋1，不同的两点(0,2)与(1,1)关于直线y ＝x ＋1对称，故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共100分) 二、填空题(每小题5分，共25分)11．经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半的直线方程为解析：由直线3x ＋y ＋1＝0可得y ＝－3x －1，设倾斜角为θ.则斜率k ＝－3，∴tan θ＝－ 3.∴θ＝120°.∴要求的直线倾斜角为60°，其斜率为 3.∴要求的直线方程为：y －3＝3(x ＋3)，化为3x －y ＋6＝0.12．已知直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为－23.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 22＝－1，又y 1＝1，∴y 2＝－3，代入方程x －y －7＝0，得x 2＝4，即B (4，－3)，又x 1＋x 22＝1，∴x 1＝－2，即A (－2,1)，∴k AB ＝－3－14－(－2)＝－23.13．在空间直角坐标系O －xyz 中，y 轴上有一点M 到已知点A (4,3,2)和点B (2,5,4)的距离相等，则点M 的坐标是(0,4,0)．解析：设M (0，y,0)，由题意得42＋(3－y )2＋4＝4＋(5－y )2＋42，解得y ＝4，故M (0,4,0)． 14．已知点M (a ，b )在直线3x ＋4y ＝15上，则a 2＋b 2的最小值为3. 解析：a 2＋b 2的最小值为原点到直线3x ＋4y ＝15的距离：d ＝|0＋0－15|32＋42＝3.15．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点(－1,4)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为30.解析：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25①，得圆心O (3,4)，半径r ＝5，AC 长为过点(－1,4)和点O 的圆的直径d ＝2×5＝10，斜率k ＝0，BD 为最短弦，所以应与AC 垂直为x ＝－1②，②代入①得y 2－8y ＋7＝0，解得y ＝1或y ＝7，∴BD ＝7－1＝6，则四边形ABCD 面积＝12×AC ×BD ＝12×10×6＝30.三、解答题(本题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本题满分12分)如图，在空间直角坐标系中，P A ⊥平面OAB ，P A ＝OA ＝2，∠AOB ＝30°.(1)求点P 的坐标．(2)若|PB |＝5，求点B 的坐标．解：(1)过A 作AE ⊥OB 于E ，则AE ＝1，OE ＝3，所以点A 的坐标为(1，3，0)，所以点P 的坐标为(1，3，2)．(2)因为点B 在y 轴上，因此可设点B 的坐标为B (0，b,0)，则|PB |＝1＋(b －3)2＋4＝5，解得b ＝3，所以点B 的坐标为(0，3，0)．17．(本题满分12分)已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P (1,1)． (1)求直线l 的方程；(2)求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标．解：(1)∵k ＝tan135°＝－1，过点P (1,1)， ∴l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)设A ′(a ，b )，则⎩⎨⎧b －4a －3×(－1)＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，解得a ＝－2，b ＝－1，∴A ′的坐标为(－2，－1)．18．(本题满分12分)已知圆C 1是经过点A (0,2)和B (2，－2)的所有圆中周长最小的圆． (1)求圆C 1的方程；(2)若圆C 1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －2y ＋5＝0相交于点C 、D ，求公共弦长|CD |. 解：(1)当AB 为圆C 1的直径时，周长最小，则圆心C 1(1,0)，半径r ＝(1－0)2＋(0－2)2＝5，∴圆C 1的方程为(x －1)2＋y 2＝5.(2)把圆C 1的方程和圆C 2的方程相减，可得公共弦方程为4x ＋2y －9＝0， ∴圆C 1到公共弦的距离为d ＝|4－9|20＝52，则由弦长公式可得|CD |2＝(5)2－(52)2＝152，所以|CD |＝15.19．(本题满分12分)已知圆C ：x 2＋(y －2)2＝5，直线l ：mx －y ＋1＝0. (1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点；(2)若圆C 与直线l 相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程．解：(1)证明：∵直线l ：mx －y ＋1＝0经过定点D (0,1)，点D 到圆心(0,2)的距离等于1小于圆的半径5，故定点(0,1)在圆的内部，故直线l 与圆C 总有两个不同交点． (2)设中点M 的坐标为(x ，y )，则由直线和圆相交的性质可得AB ⊥CM .由于定点D (0,1)、圆心C 、点M 构成直角三角形，由勾股定理得CM 2＋DM 2＝CD 2， ∴x 2＋(y －2)2＋x 2＋(y －1)2＝(2－1)2， 2x 2＋2y 2－6y ＋4＝0，即x 2＋(y －32)2＝14.此圆在圆C ：x 2＋(y －2)2＝5的内部，故点M 的轨迹方程为x 2＋(y －32)2＝14.20．(本题满分13分)在平面直角坐标系xOy 中，以M (－1,0)为圆心的圆与直线x －3y －3＝0相切．(1)求圆M 的方程；(2)如果圆M 上存在不同两点关于直线mx ＋y ＋1＝0对称，求m 的值； (3)若对圆M 上的任意动点P (x ，y )，求2x ＋y 的取值范围．解：(1)依题意，圆心M (－1,0)到直线x －3y －3＝0的距离d ＝r ，∴d ＝|－1－3|1＋3＝2＝r ，则圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)∵圆M 上存在两点关于直线mx ＋y ＋1＝0对称， ∴直线mx ＋y ＋1＝0必过圆心M (－1,0)，将M 坐标代入mx ＋y ＋1＝0得－m ＋1＝0，解得m ＝1.(3)设z ＝2x ＋y ，即2x ＋y －z ＝0，圆M 的圆心为(－1,0)，半径为2，则M 到直线2x ＋y －z ＝0的距离为|－2－z |22＋12＝|2＋z |5，由题意|2＋z |5≤2，即z 2＋4z －16≤0，解得－25－2≤z ≤25－2，所以2x ＋y ∈[－25－2,25－2]．21．(本题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋9＝0，圆C 2：(x ＋m )2＋(y ＋m ＋5)2＝2m 2＋8m ＋10(m ∈R ，且m ≠－3)．(1)若m ＝5时，试求圆C 1与圆C 2的交点个数；(2)设P 为坐标轴上的点，满足：过点P 分别作圆C 1与圆C 2的一条切线，切点分别为T 1、T 2，使得PT 1＝PT 2，试求出所有满足条件的点P 的坐标；(3)若斜率为k 的直线l 平分圆C 1，且满足直线l 与圆C 2总相交，求直线l 斜率k 的范围．解：(1)若m ＝5时，圆C 1即：(x －3)2＋(y ＋2)2＝4，圆C 2：(x ＋5)2＋(y ＋10)2＝100，圆心距C 1C 2＝82∈(8,12)，∴两圆相交，交点个数为2个．(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，圆C 1与圆C 2的半径分别为r 1、r 2，由题意得PC 21－r 21＝PC 22－r 22，即[(x 0－3)2＋(y 0＋2)2]－4＝[(x 0＋m )2＋(y 0＋m ＋5)2]－(2m 2＋8m ＋10)，化简得x 0＋y 0＋1＝0，因为P 为坐标轴上的点，所以点P 的坐标为(0，－1)或(－1，0)．(3)依题意可知，直线l 经过点C 1(3，－2)，设直线l 的方程为y ＋2＝k (x －3)，化简得kx －y －3k －2＝0，则圆心C 2(－m ，－m －5)到直线l 的距离为|k －1|·|m ＋3|k 2＋1，又圆C 2的半径为2m 2＋8m ＋10，所以，“直线l 与圆C 2总相交”等价于∀m ∈R ，且m ≠－3，|k －1|·|m ＋3|k 2＋1<2m 2＋8m ＋10，即|k －1|k 2＋1<2m 2＋8m ＋10(m ＋3)2①. 记y ＝2m 2＋8m ＋10(m ＋3)2，整理得(y －2)m 2＋2(3y －4)m ＋9y －10＝0，当y ＝2时，m ＝－2；当y ≠2时，判别式Δ＝[2(3y －4)]2－4(y －2)(9y －10)≥0，解得y ≥1. 综上得y ＝2m 2＋8m ＋10(m ＋3)2(m ≠－3)的最小值为1，所以，①式等价于|k －1|k 2＋1<1，解得k ＞0.。

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新课标数学必修2测试题
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面( )
Ａ．有且只有一个
Ｂ．可能有一个也可能不存在
Ｃ．有无数多个
Ｄ．一定不存在
2. 若方程22
(62)(352)10a a x a a y a --+-++-=表示平行于y 轴的直线，则a 的值是
( ) Ａ．23
Ｂ．12- Ｃ．1 Ｄ．不存在 3. 若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 的位置关系是( ) Ａ．相交、平行或异面
Ｂ．相交或平行Ｃ．异面
Ｄ．平行或异面
4. 满足下列条件的1l 与2l ，其中12l l //的是( )
(１)1l 的斜率为２，2l 过点(12)A ，，(48)B ，；
(２)1l 经过点(33)P ，，(53)Q -，，2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点；
(３)1l 经过点(10)M -，，(52)N --，，2l 经过点(43)R -，，(05)S ，．
Ａ．(１)(２)
Ｂ．(２)(３) Ｃ．(１)(３) Ｄ．(１)(２)(３)
5. 坐标平面内一点到两个坐标轴和直线2x y +=的距离都相等，则该点的横坐标为( )
1 Ｂ．１Ｃ．1
2 Ｄ．非上述答案
6. 与直线2360x y +-=关于点(11)-，对称的直线方程是( )
Ａ．3220x y -+=
Ｂ．2370x y ++= Ｃ．32120x y --=
Ｄ．2380x y ++= 7. 若圆220x y Dx Ey F ++++=与x 轴切于原点，则( )
Ａ．0D =，0E =，0F ≠ Ｂ．0F =，0D ≠，0E ≠
Ｄ．0D =，0F =，0E ≠ Ｄ．0E =，0F =，0D ≠
8. 若0ac >，且0bc <，直线0ax by c ++=不通过( )
Ａ．第三象限
Ｂ．第一象限Ｃ．第四象限
Ｄ．第二象限
9. 已知过点(2)A m -，和(4)B m ，的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为( ) Ａ．8- Ｂ．0 Ｃ．2 Ｄ．10
10. 直线1l 与2l 关于直线0x y +=对称，1l 的方程为y ax b =+，那么2l 的方程为( ) Ａ．x b y a a
=- Ｂ．x b y a a =
+ Ｃ．1x y a b =+ Ｄ．x y b a =+ 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．
11. 若ABC △面积等于3，且(11)A ，，(36)B ，，则C 所在直线方程为．
12. (13)P -，在直线l 上的射影为(11)Q -，，则直线l 的方程是．
13. 在y 轴上截距为3-，且与y 轴成60角的直线方程是．
14. 经过点(41)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是．
三、解答题:本大题共6小题，共30分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．
15.(本小题5分) 已知直线:250l x y --=与圆22
:50C x y +=．求
（１）交点A ，B 的坐标；
（２） AOB △的面积；
（３）圆心角AOB 的度数．
16.(本小题5分) 已知圆P 与圆2220x y x +-=外切，并且与直线
:0l x +=相切于点(3,Q ，求圆P 的方程．
17.(本小题5分) 如图，正方体的棱长为a ，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，求这个几何体的棱长．
18.(本小题5分) 已知圆22(3)(4)16x y -+-=，直线10l kx y k --=：．
（１）若1l 与圆交于两个不同点P ，Q ，求实数k 的取值范围；
(２)若PQ 的中点为M ，(10)A ，，且1l 与2240l x y ++=：的交点为N ，求证:AM AN 为定值．
19.(本小题5分) 已知点(2,3)P --和以Q 为圆心的圆22(4)(2)9x y -+-=．
（１）画出以PQ 为直径，Q '为圆心的圆22(4)(2)9x y -+-=．
（２）作出以Q 为圆心的圆和以Q '为圆心的圆的两个交点A ，B ，直线PA ， PB 是以Q 为圆心的圆的切线吗？为什么？
（３）求直线AB 的方程．
x
y z B
20.(本小题5分) 求经过点(3,1)M -，且与圆22
:2650C x y x y ++-+=相切于点(1,2)N 的圆的方程．
参考答案
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1-5 Ｂ6-10 DCCAB
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．
11. 5230x y -+=或5290x y --=． 12. 230x y --=．
13. 33
y x =±-． 14. 40x y -=，或50x y +-= 三、解答题:本大题共6小题，共30分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．
15.(本小题5分) 解:(１)解方程组2225050
x y x y --=⎧⎨+=⎩，得55x y =-⎧⎨=-⎩或71
x y =⎧⎨=⎩，
所以，直线:250l x y --=与圆2250x y +=的交点是
(5,5)A --，(7,1)B ．
(２)过圆心O 作直线l 的垂线，垂足为D ，则圆心O 到直
线l 的距离
OD =
=．
在直角三角形AOD 中，
OA =，AD ==
所以AB =
AOB △的面积111522
AOB S AB OD ==⨯=△．
(３)在AOD △中，cos 0.3162OD
AOD OA ∠==≈. 用计算器算得，71.57AOD ∠=．
所以，2143.13AOB AOD ∠=∠=．
16.(本小题5分) 解:设圆心(,)P a b ，PQ l ⊥∵，1PQ l k k =-∴，即
133
b a +-=--
，即3120a --= ①，又∵圆22
20x y x +-=的圆心为(1,0)，半径为１，又由外切
1=②，
由①、②得4a =，0b =或0a =
，b =-．
这时半径分别为２，６．
∴圆的方程为22(4)4x y -+=
或22(36x y ++=．
17.(本小题5分) 解:由已知，点E ，F ，P ，M 的坐标是,,22a a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,022a a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ,,22a a M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,,22a a N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,22a a P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,22a a Q a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．这个几何体是正八面体，
棱长2PQ a =
=．
（１） 18.(本小题5分) 解:圆心(34)，到已知直线的距离小于半径４，由点到直线的距离公式得2340k k +>，43
k <-∴，或0k >；（２）证明:由2400x y kx y k ++=⎧⎨--=⎩得245()2121k k N k k --++，，再由22(3)(4)16y kx k x y =-⎧⎨-+-=⎩，
；
得2222(1)(286)890k x k k x k k +-+++++=，
21222861k k x x k +++=+∴，2222
4342()11k k k k M k k +++++∴，， AM AN ∴
=24(21k k
--+=10=为定值．
19.(本小题5分)
解:(１)因为(2,3)P --，(4,2)Q 是以Q '为圆心的圆的直径的两个端点，所以以Q '为圆心的圆的方程是(2)(4)(3)(2)0x x y y +-++-=．
即22
2140x y x y +-+-=．
(２)PA ，PC 是圆22(4)(2)9x y -+-=的切线．
因为点A ，B 在圆222140x y x y +-+-=上，且PQ 是直径，
所以PA AQ ⊥，PB BQ ⊥．
所以，,PA PB 是圆22(4)(2)9x y -+-=的切线．
(３)两方程22(4)(2)9x y -+-=，222140x y x y +-+-=相减，得65250x y +-=．这就是直线AB 的方程．
20.(本小题5分) 解:把圆C 的方程22
2650x y x y ++-+=化成标准形式，得22(1)(3)5x y ++-=．
圆C 的圆心坐标是(1,3)-
AN 的方程为250x y +-=．
MN 的中点坐标是1(2,)2，斜率是32-．线段MN 的垂直平分线的方程是12(2)23
y x -=-，即4650x y --=．联立250x y +-=与4650x y --=解得207
x =，1514y =．这是所求圆的圆心F 的坐标．又因为22
201584512714196
FN ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，经过点(3,1)M -，且与圆22:2650C x y x y ++-+=相切于点(1,2)N 的圆的方程是222015845714196x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭．。