石家庄2019年中考数学复习指南
K12推荐学习河北省石家庄市2019年中考数学总复习 第二章 方程(组)与不等式(组)第一节 一次方
第二章 方程(组)与不等式(组)第一节 一次方程(组)及其应用姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟1．(2019·原创)已知3a ＝2b ，则下列等式成立的是( )A ．2a ＝3bB ．3a －1＝2b ＋1C ．3b ＋1＝2a －1 D.a 2＝b 32．(2019·易错)方程7x －1＝6的解为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝57D ．x ＝－573．(2018·天津)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝102x ＋y ＝16的解是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝4 B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝6 C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝6 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝8 4．(2018·杭州)某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一道题得＋5分，每答错一道题得－2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x 道题，答错了y 道题，则( )A ．x －y ＝20B ．x ＋y ＝20C ．5x －2y ＝60D ．5x ＋2y ＝605．(2019·原创)我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车x 辆，根据题意，可列出的方程是( )A ．3x －2＝2x ＋9B ．3(x －2)＝2x ＋9C.x 3＋2＝x 2－9 D ．3(x －2)＝2(x ＋9) 6．(2018·石家庄裕华区一模)如图，嘉淇同学拿20元钱正在和售货员对话，且一本笔记本比1支笔贵3元．请你仔细看图，1本笔记本和1支笔的单价分别为( )A ．5元，2元B ．2元，5元C ．1.5元，1.5元D ．5.5元，2.5元7．(2017·云南)已知关于x 的方程2x ＋a ＋5＝0的解是x ＝1，则a 的值为________．8．(2018·成都)已知a 6＝b 5＝c 4，且a ＋b －2c ＝6，则a 的值为________． 9．(2018·保定定兴县二模)我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大，小和尚各几人？设大，小和尚各有x ，y 人，则可列方程组为________．10．(2017·宁夏)某种商品每件的进价为80元，标价为120元，后来由于该商品积压，将此商品打七折销售，则该商品每件销售利润为________元．11．(2018·株洲)小强同学生日的月数减去日数为2，月数的两倍和日数相加为31，则小强同学生日的月数和日数的和为________．12．(2018·攀枝花)解方程：x －32－2x ＋13＝1.13．(2018·安徽)《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每三家共取一头，恰好取完．问：城中有多少户人家？请解答上述问题．14．(2018·黄冈)在端午节来临之际，某商店订购了A 型和B 型两种粽子，A 型粽子28元/千克，B 型粽子24元/千克，若B 型粽子的数量比A 型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2 560元，求两种型号粽子各多少千克．1．(2019·原创)已知关于x 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝3m －5x －y ＝m －1若x ＋y ＞3，则m 的取值范围是( ) A ．m ＞1 B ．m ＜2 C ．m ＞3 D ．m ＞52．(2018·宁波)已知x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝5x ＋2y ＝－3，则x 2－4y 2的值为________． 3．(2019·原创) 世界读书日，某书店举办“书香”图书展，已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，《汉语成语大词典》按标价的50%出售，《中华上下五千年》按标价的60%出售，小明花80元买了这两本书，设《汉语成语大词典》的标价为x 元，《中华上下五千年》的标价为y 元，则可列方程组为________．4．(2019·原创)我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．如图①，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x ，y 的系数与相应的常数项，把图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组的形式表述出来，就是⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ＝106x ＋11y ＝34.请你根据图②所示的算筹图，列出方程组，并求解．5．(2018·扬州)对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下： a ⊗b ＝2a ＋b.例如3⊗4＝2×3＋4＝10.(1)求2⊗(－5)的值；(2)若x ⊗(－y)＝2且2y ⊗x ＝－1，求x ＋y 的值．6．(2018·长沙)随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5 200元．(1)打折前甲，乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？参考答案【基础训练】1．D 2.A 3.A 4.C 5.B 6.A 7.－7 8.129.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1003x ＋y 3＝100 10.4 11.20 12．解：去分母，得3(x －3)－2(2x ＋1)＝6.去括号，得3x －9－4x －2＝6.移项，合并同类项，得－x ＝17.系数化为1，得x ＝－17.13．解：设城中有x 户人家，根据题意得x ＋13x ＝100， 解得x ＝75.答：城中有75户人家．14．解：设A 、B 型粽子的数量分别为x 千克、y 千克，依题意列方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2028x ＋24y ＝2 560，解这个方程组，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝40y ＝60. 答：A 、B 型粽子的数量分别为40千克、60千克．【拔高训练】1．D 2.－15 3.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝15050%x ＋60%y ＝80 4．解：依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝7 ①x ＋3y ＝11 ②， 由①，得y ＝7－2x③，把③代入②，得x ＋3(7－2x)＝11.解这个方程，得x ＝2.把x ＝2代入③，得y ＝3.∴这个方程的组解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝3. 5．解：(1)2⊗(－5)＝2×2＋(－5)＝4－5＝－1；(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝24y ＋x ＝－1，解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝79y ＝－49， 则x ＋y ＝79－49＝13. 6．解：(1)设打折前甲品牌粽子每盒x 元，乙品牌粽子每盒y 元． 则⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ＝66050×0.8x＋40×0.75y＝5 200， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝70y ＝80. 答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．(2)80×70×(1－80%)＋100×80×(1－75%)＝3 120(元)． 答：比不打折节省了3 120元．。
2019中考数学《计数方法》专题复习考点讲解(含答案)
计数方法考点图解技法透析1．计数计数，通俗地说就是数数，即把我们研究的对象的个数数出来．在计数时应遵循的原则是：既不重复也不遗漏．2．计数问题中常运用的方法(1)穷举计数法：当研究对象比较简单数目也不大时，穷举法是最基本而又简单的方法，即把对象的所有可能一一列举出来，最后再求出总数．(2)分类计数法：将研究对象按一定标准分类，然后逐步计数，得出总数，这种方法要用到加法原理．(3)分步计数法：当研究对象较复杂时，为了有序而又正确地思维，我们需要将其分成若干步，然后将每一步的方法数相乘，便可得出总数，这种方法要用到乘法原理．(4)递推过渡法：当研究的对象数目较多又比较复杂时，我们常通过对较少数量对象的观察，采用从简单到复杂，从特殊到一般，探究其变化的规律，最后计算出总数．(5)加法原理和乘法原理：当研究的对象比较复杂，且数目较大时，计数时常常要用到如下两原理：①加法原理：完成一件事情，共有n类办法，第一类办法中又有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法，第三类办法中又有m3种不同的方法……，第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有：m1＋m2＋m3＋…＋m n种不同方法．②乘法原理：完成一件事情，共分n个步骤，第一步中又有m1种不同方法，第二步中又有m2种不同方法，第三步中又有m3种不同方法……．第n步中有m n种不同方法，那么完成这件事情共有：m1·m2·m3…·m n种不同方法．3．几何计数问题(1)简单图形个数的计算：这类问题中出现的图形的组成一般比较简单，没有过多的限制条件，但图形数量和计算量都很大，此类计数问题通常需要根据具体问题寻求一定的规律和运用一定的计数方法来解决．(2)条件图形个数的计算：这类问题的图形数目较多且较复杂，所求的是满足某种限制条件的几何图形的个数，解决此类问题的关键是对限制条件的分析，这些条件的要求往往决定了所求图形的不同情况和种类，此为分类计数的重要依据．(3)分割或包围图形个数的计算：它们是指用一类几何图形（如直线）去分割另一类几何图形（如平面或其他封闭图形），或者一类封闭图形包含另一类封闭图形，解决此类问题，除了掌握必要的分割与包含的几何知识之外，还需要借助有关统计的方法和技巧．名题精讲考点1 分类枚举法计数例1 在1到300这300个自然数中，不含有数字3的自然数有_______个．【切题技巧】利用分类枚举法，按数的位数分类；即不含有数字3的一位数有几个；不含数字3的两位数有几个；不含数字3的三位数有几个，最后求出总数．【规范解答】∵不含有数字3的一位数有8个；不含有数字3的两位数有72个；不含有数字3的三位数有162个．∴不含有数字3的自然数共有8＋72＋162＝242个．【借题发挥】分类枚举法就是将所研究对象按某一标准分类，然后把研究对象的各种可能一一列举出来，最后数出总数的方法，这种方法要用到加法原理．在运用枚举法时，必须无一重复，无一遗漏，且枚举法常与分类讨论结合运用，故称为分类枚举法．【同类拓展】1．在1000以内的自然数中，各位数字之和等于16的有多少个？考点2 分步法计数例2 某城市街道如图，一个居民要从A处前往B处，如果规定，只能沿从左向右或从上向下的方向走，那么该居民共有几条可选择的路线？【切题技巧】本例看起来复杂，但可以从简单情况入手寻找规律，按从上向下，从左向右的顺序，从简单情况分步来看复杂问题．如先考虑简单情况如图(1)中的正方形，可知以A到C的方法有2种，再考虑如图(2)中的情况，可以从A到D的方法共有3种……【规范解答】从简单情况入手，先考虑如图(1)中的小正方形，不难发现，从A到C共有2种方法；再考虑如图(2)中的情况，同样可知：从A到D共有3种方法……从而可总结出下述规律：到右下角终点的走法等于它所在小正方形右上角和左下角走法之和，故依次标出每个小正方形的走法不断累加，即可得到答案．由图(3)可知共有40种走法．【借题发挥】(1)分步计数法就是指当所研究对象较复杂时，为了有序而又正确地思维，将问题分成若干步，最后求出各步的总数．(2)在利用分步法计数时，要克服盲目性和随意性，一定要按照法则或顺序进行、从简单情况人手分步来思考复杂问题是解决问题的常用技巧．(3)分步法常与分类法结合求解．【同类拓展】2．在期中考试中，同学甲、乙、丙、丁分别获得第一、第二、第三、第四名，在期末考试中，他们又是班上的前四名，如果他们当中只有一位的排名与期中考试的排名相同，那么排名情况有_______种可能；如果他们排名都与期中考试中的排名不同，那么排名情况有_______种可能．考点3 递推过渡法计数例3 小美步行上楼的习惯是每次都只跨一级或两级，若她要从地面（0级）步行到第9级，问她共有多少种不同的上楼梯的方式．【切题技巧】因为楼梯台阶较多，我们可以先考虑以简单入手．(1)若只有1级台阶，则只有唯一上楼梯方式；(2)若有2级台阶，则有两种上楼梯的方式：①一级一级地上；②一步两级地上；(3)若有3级台阶，则有三种上楼梯的方式：①一级一级地上，②先一级后2级地上，③先2级后1级地上……如此类推．【规范解答】设小美上第n级楼梯有a n种上法，通过分析易知a1＝1，a2＝2，a4＝5，a n＋2＝a n＋1＋a n，n＝1，2，3，…，从而递推可得：a5＝8，a6＝13，a7＝21，a8＝34，a9＝55．所以小美共有55种不同的上楼梯的方式．【借题发挥】(1)当研究对象比较复杂时，要很自然地想到从特殊到一般的思维方式．即从特殊的简单的情况人手探索变化的规律，(2)用递推过渡法计数时先要从最简单情况和特殊情况入手分析，发挥观察、归纳猜想的思想方法，最终探索出变化规律，且在探索一般的规律时，应注意抓住问题的实质为最后计数提供依据．【同类拓展】3．平面上n个圆（n为正整数），最多能把平面分成多少个部分？考点4 加法原理和乘法原理法计数例4 观察如图所示的图形：根据图(1)、(2)、(3)的规律，则图(4)中三角形的个数为_______．【切题技巧】通过观察知：图(1)中三角形的个数为：1＋4＝5（个）；图(2)中三角形的个数为：1＋4＋3×4＝17（个）；图(3)中三角形的个数为1＋4＋3×4＋32×4＝53（个），由图(1)(2)(3)中三角形的个数的规律，可知图(4)中三角形的个数为1＋4＋3×4＋32×4＋33×4＝1＋4＋12＋36＋108＝161（个）【规范解答】 161个【借题发挥】(1)按本例中图(1)、(2)、(3)……的图形规律，则图（n）中三角形的个数为：1＋4＋3×4＋32×4＋33×4＋…＋3n－1×4（个）． (2)当研究对象为比较复杂的计数问题中，我们常需要用到加法原理与乘法原理，而且还需要对研究对象进行分析，从简单情形入手，通过观察、归纳、猜想，最后找出其变化规律，再依据规律计算其个数．【同类拓展】4．一个三角形最多将平面分成两部分，两个三角形最多将平面分成8个部分，10个三角形最多将平面分成多少个部分？n个三角形呢？例5 分正方形ABCD的每条边为四等分，取分点（不包括正方形的四个顶点）为顶点可以画出多少个三角形？【切题技巧】显然构成三角形的3个顶点不可能共线，即3个顶点不可能在正方形的同一边上，故最多有2个顶点在正方形的同一边上；又因为三角形顶点只能取分点，故必须在正方形的边上．因此只有两种情况：(1)三角形的顶点分别在正方形的三边长；(2)三角形的顶点分别在正方形的两条边上．【规范解答】分两类计算：(1)第一类：如图(1)三角形的顶点分别在正方形的在三条边上．首先，从4条边中取3条有4种取法；其次从每条边上取一点，各有3种取法，故总共计有4×3×3×3＝108（个）三角形．(2)第二类如图(2)，三角形的两个顶点位于正方形的一条边上，而第三个顶点在正方形的另一条边上．首先，从4条边取1条有4种取法，在这边3个分点中取2点，也有3种取法；其次，从其余3边中的9点中取1点，有9种取法，故共有4×3×9＝108（个）三角形．综上所述，两类合计，共有216个三角形．【借题发挥】(1)在使用加法原理和乘法原理时一定要明确两者的不同之处：在用加法原理时，完成一件事有n类方法，都能完成这件事，而用乘法原理时，完成一件事情可分为n步，只有每一步都完成了，这件事情才得以完成．(2)运用加法原理的关键在于合理适当地进行分类，使所分类既不重复又不遗漏；而运用乘法原理的关键在于分步骤，要正确地设计分步程序，使每步之间既互相联系，又彼此独立．【同类拓展】5．至少有两个数字相同的三位数共有( )个．A．280 B．180 C．252 D．396参考答案1．69个．2．9（种）．3．n2－n＋2（个部分）．4．10个三角形最多将平面分成272个部分，n个三角形最多将平面分成(3n2－3n＋2)个部分．5．C2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．若()220x +=，则xy 的值为（ ） A.5 B.6 C.﹣6 D.﹣82．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，E ，F 为BD 所在直线上的两点，若∠EAF=135°，则下列结论正确的是（ ）A ．DE=1B ．tan ∠AFO=13C ．D ．四边形AFCE 的面积为943．已知4＜m ＜5，则关于x 的不等式组0420x m x -<⎧⎨-<⎩的整数解共有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4．如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤：（1）分别以B 、C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交M 、N ；（2）作直线MN ，交AB 于D ，连结CD ，若CD ＝AD ，∠B ＝20°，则下列结论：①∠ADC ＝40°②∠ACD ＝70°③点D 为△ABC 的外心④∠ACD ＝90°，正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ．将菱形沿EF 折叠，使点C 与点O 重合．若在菱形ABCD 内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．23B ．35C ．34D ．586．在直角坐标平面内，已知点M(4，3)，以M 为圆心，r 为半径的圆与x 轴相交，与y 轴相离，那么r 的取值范围为( )A ．0r 5<<B ．3r 5<<C ．4r 5<<D ．3r 4<<7．若一个正九边形的边长为α，则这个正九边形的半径是( )A ．cos 20α︒ B ．sin 20α︒ C ．2cos 20α︒ D ．2sin 20α︒8．如图，已知直线y ＝34x ﹣6与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，A 是以D （0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结AC 、AB ，则△ABC 面积的最小值是（ ）A ．26B ．24C ．22D ．209．某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中平时学习成绩占30%，期末卷面成绩占70%，小明的两项成绩（百分制）依次是80分，90分，则小明这学期的数学成绩是（ ）A ．83分B ．86分C ．87分D ．92.4分 10．若不等式组无解，则m 的取值范围是（ ） A. B. C. D.11．如图，在△ABC 中，∠B ＝70°，∠C ＝30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为（ ）A.40°B.45°C.50°D.60°12．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC ＝2，CE ＝6，H 是AF 的中点，那么CH 的长是（ ）A ．2.5B C D ．二、填空题 13．如图，点、是函数上两点，点为一动点，作轴，轴，下列结论：①≌；②；③若，则平分；④若，则．其中正确的序号是__________（把你认为正确的都填上）．14．在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，AB =10，34tanA =，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为_____. 15．与点 P(3，4)关于y 轴对称的点的坐标为______；与点Q(－3，4)关于原点对称的点的坐标为______.16．（4分）如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是．17．使式子11x-有意义的x的取值范围是_____．18．把多项式m2（a﹣2）+m（2﹣a）分解因式等于_____．三、解答题19．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2+2的顶点C，过点B(0，t)作与y轴垂直的直线l，分别交抛物线于E，F两点，设点E(x1，y1)，点F(x2，y2)(x1＜x2)．(1)求抛物线顶点C的坐标；(2)当点C到直线l的距离为2时，求线段EF的长；(3)若存在实数m，使得x1≥m﹣1且x2≤m+5成立，直接写出t的取值范围．20．振华书店准备购进甲、乙两种图书进行销售，若购进40本甲种图书和30本乙种图书共需1700元，若购进60本甲种图书和20本乙种图书共需1800元.()1求甲、乙两种图书每本进价各多少元；()2该书店购进甲、乙两种图书共120本进行销售，且每本甲种图书的售价为25元，每本乙种图书的售价为40元，如果使本次购进图书全部售出后所得利润不低于950元，那么该书店至少需要购进乙种图书多少本？21．下面是两个转盘，每个转盘分成几个相等的扇形，甲、乙两个人做游戏，游戏者同时转动两个转盘一次，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，则甲赢否则乙赢．（1）甲和乙获胜的概率分别是多少？（2）这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．（3）如果你认为不公平，应怎样修改才能使游戏对双方公平？22．请在如图所示的正方形和等边三角形网格内，仅用无刻度的直尺完成下列作图，过点P向线段AB引平行线．23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8．(1)在BC上求作一点P，使PA+PB＝BC；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)求BP的长．24．如图，AB为⊙O的直径，O过AC的中点D，DE为⊙O的切线，E在BC上．（1）求证：DE⊥BC；（2）如果DE＝m，tanC＝12，请你写出求AB长的解题思路．25．如图,根据要求画图(保留画图的痕迹,可以不写结论)(1)画线段AB；(2)画射线BC；(3)在线段AB上找一点P，使点P到A.B.C三点的距离和最小,并简要说明理由．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．②③14．15．(-3，4) (3，-4)16．x17．118．：m（a﹣2）（m﹣1）三、解答题19．(1)(a，2)；(2)EF＝；(3)2＜t≤11．【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，进而可得出顶点C的坐标；（2）由抛物线的开口方向及点C到直线l的距离为2，可得出直线l的解析式为直线y=4，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点E，F的坐标，进而可得出线段EF的长；（3）代入y=t可求出点E，F的坐标，进而可得出线段EF的长，结合存在实数m，使得x1≥m-1且x2≤m+5成立，可得出关于t的不等式组，解之即可得出t的取值范围．【详解】(1)∵y＝x2﹣2ax+a2+2＝(x﹣a)2+2，∴抛物线顶点C的坐标为(a，2)；(2)如图：∵1＞0，∴抛物线开口向上，又∵点C(a ，2)到直线l 的距离为2，直线l 垂直于y 轴，且与抛物线有交点， ∴直线l 的解析式为y ＝4． 当y ＝4时，x 2﹣2ax+a 2+2＝4， 解得：x 1＝a，x 2＝，∴点E 的坐标为(a，4)，点F 的坐标为，4)， ∴EF ＝﹣(a)＝； (3)当y ＝t 时，x 2﹣2ax+a 2+2＝t ， 解得：x 1＝ax 2＝∴EF ＝又∵存在实数m ，使得x 1≥m﹣1且x 2≤m+5成立，∴206t ->⎧⎪⎨⎪⎩，解得：2＜t≤11． 【点睛】本题考查了二次函数的三种性质、二次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式以及解不等式组，解题的关键是：（1）利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点E ，F 的坐标；（3）由线段EF 长度的范围，找出关于t 的不等式组． 20．（1）30；（2）70 【解析】 【分析】（1）设每本甲种图书的进价为x 元，每本乙种图书的进价为y 元，得4030170060201800x y x y +=⎧⎨+=⎩，解方程组可得；（2）设该书店购进乙种图书a 本，购机甲种图书()120a -本.根据题意，得()()()25201204030950a a --+-≥，解不等式组可得. 【详解】（1）解：设每本甲种图书的进价为x 元，每本乙种图书的进价为y 元.根据题意 得4030170060201800x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：2030x y =⎧⎨=⎩答：每本甲种图书的进价为20元，每本乙种图书的进价为30元. （2）解：设该书店购进乙种图书a 本，购机甲种图书()120a -本. 根据题意 得()()()25201204030950a a --+-≥ 解得70.a ≥答：该书店至少购进乙图书本70. 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的运用，理解题意找出等量关系是解题的关键. 21．（1）1625，925 ；（2）不公平，理由见解析；（3）两次都转蓝色，甲赢；两次都转红色，乙赢． 【解析】 【分析】（1）根据题意，用列表法将所有可能出现的结果，再根据概率公式计算可得； （2）由（1）的结果，判断两人获胜的概率是否相等，得到结论不公平． （3）只要使甲、乙获胜的概率相等即可． 【详解】解：（1）列表如下：由表知，共有25种等可能结果，其中转盘A 转出了红色，转盘B 转出了蓝色有16种结果， ∴甲获胜的概率为1625， 则乙获胜的概率为925； （2）不公平，因为1625≠925；（3）两次都转蓝色，甲赢；两次都转红色，乙赢．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．22．见解析【解析】【分析】利用正方形网格以及等边三角形网格中，网格线的位置关系以及格点连线的位置关系进行作图即可．【详解】如图所示，PQ即为所求．【点睛】本题考查了平行线的判定以及等边三角形的性质的运用，解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．23．(1)见解析；(2)3.【解析】【分析】（1）作AC的垂直平分线与BC相交于P；（2）根据勾股定理求解.【详解】(1)如图所示，点P即为所求．(2)设BP ＝x ，则CP ＝8﹣x ， 由(1)中作图知AP ＝CP ＝8﹣x ，在Rt △ABP 中，由AB 2+BP 2＝AP 2可得42+x 2＝(8﹣x)2， 解得：x ＝3， 所以BP ＝3． 【点睛】考核知识点：勾股定理和线段垂直平分线. 24．（1）详见解析；（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）证明：连结OD ，如图，先证明OD 为△ABC 的中位线得到OD ∥BC ，再根据切线的性质得到DE ⊥OD ，然后根据平行线的性质可判断DE ⊥BC ；（2）连结BD ，如图，先根据圆周角定理得到90ADB ∠=︒，再利用等腰三角形的判定得出AB BC ＝，接着根据正切的定义在Rt CDE △中计算出2CE DE =，在Rt △BDE 中计算出12BE DE =，然后利用OD 为△ABC 的中位线可求出OD ，从而得到圆的直径． 【详解】（1）证明：连接OD ． ∵DE 为⊙O 的切线， ∴OD ⊥DE ，∵D 为AC 中点，O 为AB 中点， ∴OD 为△ABC 的中位线， ∴OD ∥BC ，∴90ODE DEC ∠∠︒＝＝ ， ∴DE BC ⊥； （2）解：连接DB ， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，∴DB ⊥AC ， ∴90CDB ∠=︒ ∵D 为AC 中点， ∴AB BC ＝， 在Rt △DEC 中，∵12DE m tanC ＝，＝ ， ∴2tan DEEC m C＝＝ ，由勾股定理得：DC ，在Rt △DCB 中，•BD DC tanC m ＝， 由勾股定理得：52BC m ＝ ， ∴52AB BC m ＝＝．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直． 25．（1）见解析（2）见解析（3）作CP ⊥AB 于P,此时P 到A.B.C 三点的距离和最 短，图见解析 【解析】 【分析】 (1)连接AB 即可 (2)作射线BC 即可;(3)过C 作CP ⊥AB 于P,即可得出答案 【详解】 (1)(2)如图所示:(3)如图所示:作CP⊥AB于P,此时P到A.B.C三点的距离和最理由是:根据两点之间线段最短,PA+PB此时最小,根据垂线段最短,得出PC最短,即PA+PB+PC的值最小,即点P到A.B.C三点的距离和最小。
2019中考数学专题复习《二次函数与线段最值问题》含解析
2019中考数学专题复习二次函数与线段最值问题含解析二次函数与线段最值问题一．填空题1．如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．二．解答题2．已知函数y＝（m+2）x2+kx+n．（1）若此函数为一次函数；①m，k，n的取值范围；②当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式；③当﹣2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；（2）若m＝﹣1，n＝2，当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4，求实数k的值．3．如图，二次函数y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3的图象与x、y轴交于A、B、C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．（1）求m的值及顶点D的坐标；（2）当a≤x≤b时，函数y的最小值为，最大值为4，求a，b应满足的条件；（3）在y轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得三角形PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．4．已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图象的交点．（1）求t；（2）若函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，求a，b；（3）若1≤a≤2，设当x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．5．已知y关于x的函数y＝nx2﹣2（m+1）x+m+3（1）若m＝n＝﹣1时，当﹣1≤x≤3时，求函数的最大值和最小值；（2）若n＝1，当m取何值时，抛物线顶点最高？（3）若n＝2m＞0，对于任意m的值，当x＜k时，y随x的增大而减小，求k的最大整数；（4）若m＝2n≠0，求抛物线与x轴两个交点之间的最短距离．6．如图，二次函数y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3的图象与x，y轴交于A，B，C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．（1）求m的值及顶点D的坐标．（2）连接AD，CD，CA，求△ACD外接圆圆心E的坐标和半径；（3）当x≤n时，函数y所取得的最大值为4，最小值为1，求n的取值范围．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线．点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y＝﹣x+n于点C．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）若，求PC的长；（3）过P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过Q作QN⊥x轴于N，若点P在Q左侧，矩形PMNQ的周长记为d，求d的最大值．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1.5，点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y＝﹣x+n于点C．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）M位于线段AB的什么位置时，PC最长，并求出此时P点的坐标；（3）若在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点Q，使，求点Q的坐标．9．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F 作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0），B（1，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A，B重合），过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点P，过点P作PC∥AB交抛物线于点C，过点C作CD⊥x轴于点D．若点P在点C的左边，当矩形PCDM的周长最大时，求点M的坐标；（3）在（2）的条件下，当矩形PCDM的周长最大时，连接AC，我们把一条抛物线与直线AC的交点称为该抛物线的“恒定点”，将（1）中的抛物线平移，使其平移后的顶点为（n，2n），若平移后的抛物线总有“恒定点”，请直接写出n的取值范围．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x2x+2与x轴交于B、C两点（点B 在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．（1）填空：点A的坐标为（ ， ），点B的坐标为（ ， ），点C的坐标为（ ， ），点D的坐标为（ ， ）；（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE＝PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值．12．如图，抛物线与直线相交于A，B两点，若点A在x轴上，点B的坐标是（2，4），抛物线与x轴另一交点为D，并且△ABD的面积为6，直线AB与y轴的交点的坐标为（0，2）．点P是线段AB（不与A，B重合）上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线与点Q．（1）分别求出抛物线与直线的解析式；（2）求线段PQ长度的最大值；（3）当PQ取得最大值时，在抛物线上是否存在M、N两点（点M的横坐标小于N的横坐标），使得P、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出MN的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y x2x﹣4与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求点A，B，C的坐标．（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD于点M，求线段MQ长度的最大值．（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（4）当点P在线段EB上运动时，直线l与菱形BDEC的某一边交于点S，是否存在m 值，使得点C、Q、S、D为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出m值，不存在，说明理由．14．如图，已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象交x轴于A、B两点（A在B左边），交y 轴于C点．（1）求A、B、C三点的坐标和直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A，C重合），过点P作x轴平行线交直线AC于M点，求线段PM的最大值．15．（1）如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），直线y＝x+1过点A，与抛物线交于点C，点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A，C重合），过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，求线段PQ的最大值．（2）在（1）条件下，过点P作y轴垂线交直线AC于Q点，求线段PQ的最大值．16．如图1，抛物线y＝﹣x2﹣4x+5与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及顶点D的坐标；（2）连接CD，点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与点A、C重合），过P作PE∥x轴交直线AC于点E，作PF∥CD交直线AC于点F，当线段PE+PF取最大值时，在抛物线对称轴上找一点L，在y轴上找一点K，连接OL，LK，PK，求线段OL+LK+PK的最小值，并求出此时点L的坐标．（3）如图2，点M（﹣2，﹣1）为抛物线对称轴上一点，点N（2，7）为直线AC上一点，点G为直线AC与抛物线对称轴的交点，连接MN，AM．点H是线段MN上的一个动点，连接GH，将△MGH沿GH翻折得到△M′GH（点M的对称点为M′），问是否存在点H，使得△M′GH与△NGH重合部分的图形为直角三角形，若存在，请求出NH的长，若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）当D在线段AC上运动时，求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y x交x轴于点A，交y轴于点B，经过点A的抛物线y x2+bx+c交直线AB另一点D，且点D到y轴的距离为8．（1）求抛物线解析式；（2）点P是直线AD上方的抛物线上一动点，（不与点A、D重合），过点P作PE⊥AD于E，过点P作PF∥y轴交AD于F，设△PEF的周长为L，点P的横坐标为m，求L与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；（3）在图（2）的条件下，当L最大时，连接PD．将△PED沿射线PE方向平移，点P、E、F的对应点分别为Q、M、N，当△QMN的顶点M在抛物线上时，求M点的横坐标，并判断此时点N是否在直线PF上．（参考公式：二次函数y＝ax2+bx+c（c≠0）．当x时，y最大（小）值）19．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（3，0），B（1，0），且与y轴交于点C（0，﹣3），点P是抛物线AC间上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P 与A、C不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP是直角三角形时，直接写出点P的坐标；（3）求线段PD的最大值，并求最大值时P点的坐标；（4）在问题（3）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．20．已知二次函数y＝ax2+bx+c与x轴只有一个交点，且系数a、b满足条件：．（1）求y＝ax2+bx+c解析式；（2）将y＝ax2+bx+c向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到函数y＝mx2+nx+k，该函数交y轴于点C，交x轴于A、B（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；（3）在问题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P 作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．22．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（2，0），B（0，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点P是抛物线y＝﹣x2+bx+c在第一象限上的点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为D，E，求四边形ODPE的周长的最大值；（3）如图2，点P是抛物线y＝﹣x2+bx+c在第一象限上的点，过点P作PN⊥x轴，垂足为N，交AB于M，连接PB，PA．设点P的横坐标为t，当△ABP的面积等于△ABC面积的时，求t的值．23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，三个交点的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标；（3）若点P是抛物线在第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q．当点P的坐标为 时，四边形PQAC是平行四边形；（直接写出结果，不写求解过程）．24．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线1与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，设P点的横坐标为m．①求线段PE长度的最大值；②点P将线段AC分割成长、短两条线段PA、PC，如果较长线段与AC之比等于，则称P为线段AC的“黄金分割点”，请直接写出使得P为线段AC黄金分割点的m的值．25．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．26．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE 长度的最大值．27．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，（不与A、C重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值，并直接写出△ACE面积的最大值；（3）点G为抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．28．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，当点P运动到什么位置时，△ACE的面积最大？求出此时P点的坐标和S△ACE的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A、C、F、G为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．29．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点．求线段PE 长度的最大值；（3）若点G是抛物线上的动点，点F是x轴上的动点，判断有几个位置能使以点A、C、F、G为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点F的坐标．30．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交A、B两点（A点在B点右侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为﹣2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）若点P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求当点P坐标为多少时，线段PE长度有最大值，最大值是多少？（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．二次函数与线段最值问题参考答案与试题解析一．填空题1．如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为 6 ．【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．【分析】设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣1）2+6．根据二次函数的性质来求最值即可．【解答】解：∵y＝﹣x2+x+2，∴当y＝0时，﹣x2+x+2＝0即﹣（x﹣2）（x+1）＝0，解得x＝2或x＝﹣1故设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），∴C＝2（x+y）＝2（x﹣x2+x+2）＝﹣2（x﹣1）2+6．∴当x＝1时，C最大值＝6，．即四边形OAPB周长的最大值为6．故答案是：6．【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题采用了配方法．二．解答题2．已知函数y＝（m+2）x2+kx+n．（1）若此函数为一次函数；①m，k，n的取值范围；②当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式；③当﹣2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；（2）若m＝﹣1，n＝2，当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4，求实数k的值．【考点】F5：一次函数的性质；H7：二次函数的最值．【分析】（1）①根据二次项系数为0，一次项系数不为0，常数项为任意实数解答即可；②根据k＞0，k＜0时x、y的对应关系确定直线经过的点的坐标，求出解析式；③根据一次函数的性质即增减性解答即可；（2）把m＝﹣1，n＝2代入关系式，得到二次函数解析式，确定对称轴，顶点坐标，分情况讨论求出k的值．【解答】解：（1）①m＝﹣2，k≠0，n为任意实数；②当k＞0时，直线经过（﹣2，0）（1，3），函数关系式为：y＝x+2当k＜0时，直线经过（﹣2，3）（1，0），函数关系式为：y＝﹣x+1③当k＞0时，x＝﹣2，y有最小值为﹣2k+nx＝3时，y有最大值为3k+n当k＜0时，x＝﹣2，y有最大值为﹣2k+nx＝3时，y有最小值为3k+n（2）若m＝﹣1，n＝2时，二次函数为y＝x2+kx+2对称轴为x，当2，即k≥4时，把x＝﹣2，y＝﹣4代入关系式得：k＝5当﹣22，即﹣4＜k＜4时，把x，y＝﹣4代入关系式得：k＝±2（不合题意）当2，即k≤﹣4时，把x＝2，y＝﹣4代入关系式得：k＝﹣5．所以实数k的值为±5．【点评】本题考查了一次函数的概念、一次函数的性质、一次函数最值的应用以及二次函数的性质，综合性较强，需要学生灵活运用性质，把握一次函数的增减性和二次函数的增减性，解答题目．3．如图，二次函数y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3的图象与x、y轴交于A、B、C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．（1）求m的值及顶点D的坐标；（2）当a≤x≤b时，函数y的最小值为，最大值为4，求a，b应满足的条件；（3）在y轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得三角形PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）先把A（3，0）代入y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3，得到关于m的方程，解方程求出m的值，再利用配方法将二次函数写成顶点式，即可求出顶点D的坐标；（2）先把y＝1代入y＝﹣x2+2x+3，得到方程1x2+2x+3，解方程求出x1，x2，再利用二次函数的性质结合图象即可得出a，b应满足的条件；（3）先求出二次函数与y轴交点C的坐标，当三角形PDC是等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①当DC＝DP时，易求点P坐标为（2，3）；②当PC＝PD时，过点D 作x轴的平行线，交y轴于点H，过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥DH于点N．由HD＝HC，PC＝PD，根据线段垂直平分线的判定与等腰三角形的性质得出HP平分∠MHN，再由线段垂直平分线的性质得出PM＝PN．设P（m，﹣m2+2m+3），则m＝4﹣（﹣m2+2m+3），解方程求出m的值，得出点P的坐标为或；③当CD＝CP时，不符合题意．【解答】解：（1）把A（3，0）代入y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3，得﹣9+6（m﹣2）+3＝0，解得m＝3．则二次函数为y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）把y＝1代入y＝﹣x2+2x+3，得1x2+2x+3，解得x1，x2，结合图象知a≤1．当a时，1≤b，当a≤1时，b；（3）x＝0时，y＝3，所以点C坐标为（0，3）．当三角形PDC是等腰三角形时，分三种情况：①如图1，当DC＝DP时，∵点P与点C关于抛物线的对称轴x＝1对称，∴点P坐标为（2，3）；②如图2，当PC＝PD时，过点D作x轴的平行线，交y轴于点H，过点P作PM⊥y 轴于点M，PN⊥DH于点N．∵HD＝HC＝1，PC＝PD，∴HP是线段CD的垂直平分线．∵HD＝HC，HP⊥CD，∴HP平分∠MHN，∵PM⊥y轴于点M，PN⊥DH于点N，∴PM＝PN．设P（m，﹣m2+2m+3），则m＝4﹣（﹣m2+2m+3），解得m，∴P的坐标为或；③如图3，当CD＝CP时，点P在y轴左侧，不符合题意．综上所述，所求点P的坐标为（2，3）或或．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线顶点坐标的求法，二次函数的性质，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．4．已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图象的交点．（1）求t；（2）若函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，求a，b；（3）若1≤a≤2，设当x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．【考点】H7：二次函数的最值；HA：抛物线与x轴的交点．【分析】（1）把A（t，1）代入y＝x即可得到结论；（2）根据题意得方程组，解方程组即可得到结论；（3）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得，b＝﹣3﹣a，得到y＝ax2﹣（a+3）x+4的对称轴为直线x，根据1≤a≤2，得到对称轴的取值范围x≤2，当x时，得到m，当x＝2时，得到n，即可得到结论．【解答】解：（1）把A（t，1）代入y＝x得t＝1；（2）∵y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，∴，∴或；（3）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得，b＝﹣3﹣a，∴y＝ax2﹣（a+3）x+4＝a（x）2，∴对称轴为直线x，∵1≤a≤2，∴x2，∵x≤2，∴当x时，y＝ax2+bx+4的最大值为m，当x＝2时，n，∴m﹣n，∵1≤a≤2，∴当a＝2时，m﹣n的值最小，即m﹣n的最小值．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，正确的理解题意是解题的关键．5．已知y关于x的函数y＝nx2﹣2（m+1）x+m+3（1）若m＝n＝﹣1时，当﹣1≤x≤3时，求函数的最大值和最小值；（2）若n＝1，当m取何值时，抛物线顶点最高？（3）若n＝2m＞0，对于任意m的值，当x＜k时，y随x的增大而减小，求k的最大整数；（4）若m＝2n≠0，求抛物线与x轴两个交点之间的最短距离．【考点】H3：二次函数的性质；H7：二次函数的最值；HA：抛物线与x轴的交点．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）抛物线的解析式为y＝2mx2﹣2（m+1）x+m+3，对称轴x，因为对于任意m的值，当x＜k时，y随x的增大而减小，所以k，由此即可解决问题；（4）构建二次函数，利用二次函数的性质，解决最值问题；【解答】解：（1）当m＝n＝﹣1时，函数解析式为y＝﹣x2+2，顶点坐标为（0，2），函数最大值为2，∵﹣1≤x≤3，x＝﹣1时，y＝1，x＝3时，y＝﹣7．∴函数的最大值为2和最小值为﹣7．（2）n＝1时，函数解析式为y＝x2﹣2（m+1）x+m+3，∵顶点的纵坐标m2﹣m+2，∵﹣1＜0，∴m时，抛物线顶点的纵坐标最大，顶点最高．（3）∵n＝2m，∴抛物线的解析式为y＝2mx2﹣2（m+1）x+m+3，对称轴x，∵对于任意m的值，当x＜k时，y随x的增大而减小，∴k，∴k的最大整数为0．（4）∵m＝2n，∴抛物线的解析式为y＝nx2﹣2（2n+1）x+2n+3，设抛物线与x轴的交点为（x1，0）和（x2，0），则|x1﹣x2|，∴当时，抛物线与x轴两个交点之间的距离最短，最小值为．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，所以中考常考题型．6．如图，二次函数y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3的图象与x，y轴交于A，B，C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．（1）求m的值及顶点D的坐标．（2）连接AD，CD，CA，求△ACD外接圆圆心E的坐标和半径；（3）当x≤n时，函数y所取得的最大值为4，最小值为1，求n的取值范围．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把A点坐标代入可求得m的值，可求得二次函数解析式，化为顶点式可求得D的坐标；（2）利用两点间的距离公式可求得AC、CD、AD，可知△ACD为直角三角形，AD为斜边，可知E为AC的中点，可求得E的坐标及半径；（3）当x时，可求得y＝1，且当x＝1时y＝4，根据二次函数的对称性可求得n的范围．【解答】解：（1）∵抛物线过A点，∴代入二次函数解析式可得﹣9+6（m﹣2）+3＝0，解得m＝3，∴二次函数为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D为（1，4）；（2）由（1）可求得C坐标为（0，3），∴AC3，CD，AD2，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，∴E为AD的中点，∴E点坐标为（2，2），外接圆的半径r AD；（3）当x时，y＝1，当x＝1时，y＝4，∴当x≤1时，1y≤4，根据二次函数的对称性可知当1≤x时，1y≤4，∴1≤n．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式及二次函数的顶点坐标、增减性、及直角三角形的判定等知识的综合应用．在（1）中掌握点的坐标满足函数的解析式是解题的关键，在（2）中判定出△ACD为直角三角形是解题的关键，在（3）中利用二次函数的对称性，结合二次函数在对称轴两侧的增减性可确定出n的范围．本题难度不大，注重基础知识的综合，较易得分．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线．点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y＝﹣x+n于点C．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）若，求PC的长；（3）过P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过Q作QN⊥x轴于N，若点P在Q左侧，矩形PMNQ的周长记为d，求d的最大值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）将A（﹣1，0）代入y＝﹣x+n，运用待定系数法求出直线AC的解析式；根据抛物线的对称轴为x，把点A的坐标代入y＝ax2+bx+2，组成关于a、b的二元一次方程组，求解即可得到抛物线的解析式；（2）设M点横坐标为m，则P（m，m2m+2），C（m，﹣m﹣1），得出PMm2m+2，PC m2m+3．由PM，得到m2m+2，即m2＝3m+1，m，进而求出PC；（3）设M点横坐标为m，则PM m2m+2，MN＝2（m）＝3﹣2m，矩形PMNQ的周长d＝﹣m2﹣m+10，将﹣m2﹣m+10配方，根据二次函数的性质，即可得出矩形PMNQ的周长的最大值．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+n过点A（﹣1，0），∴0＝1+n，解得n＝﹣1，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1；∵抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x，经过点A（﹣1，0），∴，解得．∴抛物线的解析式是：y x2x+2；（2）如图，设M点横坐标为m，则P点坐标为（m，m2m+2），C点坐标为（m，﹣m﹣1）．∵点M为线段AB上一点，∴﹣1＜m＜4．∴PM m2m+2，PC＝（m2m+2）﹣（﹣m﹣1）m2m+3．∵PM，∴m2m+2，整理，得m2﹣3m﹣1＝0，∴m2＝3m+1，m，∴PC m2m+3（3m+1）m+3＝m，∴当m时，PC；（3）设M点横坐标为m，则PM m2m+2，MN＝2（m）＝3﹣2m，∴矩形PMNQ的周长d＝2（PM+MN）＝2（m2m+2+3﹣2m）＝﹣m2﹣m+10．∵﹣m2﹣m+10＝﹣（m）2，∴当m时，d有最大值．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平行于坐标轴上的两点之间的距离，矩形的性质，一元二次方程的解法，二次函数最值的求法，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1.5，点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y＝﹣x+n于点C．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）M位于线段AB的什么位置时，PC最长，并求出此时P点的坐标；（3）若在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点Q，使，求点Q的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）将A（﹣1，0）代入y＝﹣x+n，运用待定系数法求出直线AC的解析式；根据抛物线的对称轴为x，把点A的坐标代入y＝ax2+bx+2，组成关于a、b的二元一次方程组，求解即可得到抛物线的解析式；（2）设M点横坐标为m，则P（m，m2m+2），C（m，﹣m﹣1），得出PMm2m+2，化成顶点式即可；（3）根据抛物线的对称轴和A的坐标，求得B的坐标，求得AB，从而求得三角形APB的面积，进而求得三角形ABQ的面积，得出Q的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得横坐标，从而求得Q的坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+n过点A（﹣1，0），∴0＝1+n，解得n＝﹣1，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1；∵抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x，经过点A（﹣1，0），∴，解得．∴抛物线的解析式是：y x2x+2；（2）如图，设M点横坐标为m，则P点坐标为（m，m2m+2），C点坐标为（m，﹣m﹣1）．∵点M为线段AB上一点，∴﹣1＜m＜4．∴PC＝（m2m+2）﹣（﹣m﹣1）m2m+3．∵PC m2m+3（m）2，所以，当m时，PC最长，此时P（，），AM；（3）存在；∵抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x，经过点A（﹣1，0），∴B（4，0）∴AB＝5，∵S△APB AB•PM5，∵，∴S△ABQ，设Q点纵坐标为n，∵S△ABQ AB•n，∴n，（或n这样计算比较方便），∴x2x+2，解得：x或x，∴Q（，）或（，）【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平行于坐标轴上的两点之间的距离，一元二次方程的解法，二次函数最值的求法，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．9．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F 作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】153：代数几何综合题；16：压轴题．。
2019年中考数学总复习 第三章 函数 第三节 反比例函数
图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于
点D，连接OA，BC，Ev已a知lu点aCt(i2，on0)，onBlD＝y.2，S△BCD＝3，则 ith SA△sCAOpoC＝opsy_5er_．.iSglhitde2s00f4o-r20.1N1ETAs3p.o5seClPiteyntLtPdr.ofile
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第三节 反比例函数
1
考点一 反比例函数Ev的a图lu象a与ti性o质n only. ith例A1s(2p0o1s8·e.天S津li)d若e点sA(fxo1，r －.6N)E，TB(3x.2，5 －C2l)i，eCn(tx3，P2r)ofile
在反C比op例y函ri数gyh＝t 1x220的0图4-象2上01，1则Axs1,pxo2，sex3的Pt大y小L关t系d.是
()
A．x1＜x2＜x3
B．x2＜x1＜x3
C．x2比例函数图象在各象限内的增减性判断
或直接代入值即可E．valuation only. ith【A自s主po解s答e.】S对li于dye＝s 1f2 o，r∵.1N2＞ET0，3∴.5在每Cl个i象en限t内，Profile
B，得到直线l.则直线l对应的函数表达式是 ．
15
【分析】 由点A在反比例函数的图象上求出点A坐标，再根
ith据A点sAp在os正e比.S例l函id数Eev图sa象lfu上oar，ti求.oN出nE正To比n3l例.y5函.数Cl表i达en式t，P进r而ofile 根据C点opBy坐r标ig求h出tl的20表0达4-式2．011 Aspose Pty Ltd.
2019中考复习：初中数学28个高频考点
初中数学28个高频考点初中数学有很多重难点，也是大多数同学的易错点。
很多同学会在一些基础题上粗心，虽说是粗心，归根结底也是知识点没有掌握牢固。
再者，一些稍许设置陷阱的题，多数学生会失分，所以，这类题目就极具代表性，是典型题。
这些常考、易错的知识点可以说中考的高频考点，一定要“吃透”！一、相似三角形（7个考点）考点1相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小考核要求：（1）理解相似形的概念；（2）掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小。
考点2平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理考核要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算。
注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用。
考点3相似三角形的概念考核要求：以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义。
考点4相似三角形的判定和性质及其应用考核要求：熟练掌握相似三角形的判定定理(包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理)和性质，并能较好地应用。
考点5三角形的重心考核要求：知道重心的定义并初步应用。
考点6向量的有关概念考点7向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算考核要求：掌握实数与向量相乘、向量的线性运算二、锐角三角比（2个考点）考点8锐角三角比（锐角的正弦、余弦、正切、余切）的概念，30度、45度、60度角的三角比值。
考点9解直角三角形及其应用考核要求：（1）理解解直角三角形的意义；（2）会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题，尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形。
三、二次函数（4个考点）考点10函数以及函数的定义域、函数值等有关概念，函数的表示法，常值函数考核要求：（1）通过实例认识变量、自变量、因变量，知道函数以及函数的定义域、函数值等概念；（2）知道常值函数；（3）知道函数的表示方法，知道符号的意义。
2019年中考数学复习：三大点和三小点
2019年中考数学复习：三大点和三小点各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢硝烟还未散去,新一届初三的号角又已吹响。
每一名同学都希望在初三有一个良好的开端,因此怎样利用暑假的时间学习数学以及学习哪些内容就成了一个重要的问题。
从学习时间上说,同学们在休息之余一定要坚持每天拿出一定的时间进行学习,每天用来学习数学的时间不一定很长,大约在一小时左右即可,关键在于每天这一个小时的时间一定要能够保证,数学的学习切忌一曝十寒,要知道每天学习一小时数学,连续学习 4 天,与一天之内连续看4个小时的数学,然后后面3天完全不学习的效果是完全不一样的。
在保证学习时间的同时,大家也要讲究学习效率,在学习的过程中千万不要心浮气躁,同学们要保证每天一个小时的学习是全神贯注的。
其次再来说说学习哪些内容:第一,重视课本知识:任何科目的学习都万变不离其宗,数学也不例外,数学里面的这个“宗”,就是课本,因为所有的学习知识都来源于课本,考试的内容有些高于课本,但是基础知识点还是不会变化的,考试的试题就是课本知识的衍生物,要一点一点去挖掘试题背后的东西,找到其中要考试的重点是哪部分。
所以课本还是不能丢的,不能一味地去做一些试题而忽略了课本这个根本。
尤其是在学习新知识的时候,必须要保证将课本的知识点和例题弄明白,书后的每个练习都要认真地做一遍,这样才能说基本掌握了这一部分知识。
在暑假相信很多同学都会对将要学习的知识进行预习。
有很多同学在对数学进行预习的时候有一个误区,就是认为我把书看了就是预习了,我觉得只有在看书的基础之上能够将课本上每节的配套练习解决才算真正的预习,因为数学知识的掌握情况最终还是得体现在解题中。
各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢。
2019年初三中考必备数学总复习口诀汇总
2019年中考数学复习口诀汇总特殊点的坐标特征：坐标平面点（x，y），横在前来纵在后；（＋，＋），（－，＋），（－，－）和（＋，－），四个象限分前后；x轴上y为0，x为0在y轴．象限角的平分线：象限角的平分线，坐标特征有特点，一、三横纵都相等，二、四横纵却相反．平行某轴的直线：平行某轴的直线，点的坐标有讲究，直线平行x轴，纵坐标相等横不同；直线平行于y轴，点的横坐标仍照旧．分式方程的解法步骤：同乘最简公分母，化成整式写清楚，求得解后须验根，原（根）留、增（根）舍，别含糊．分式混合运算法则：分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变（乘）；乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；加减分母需同，分母化积关键；找出最简公分母，通分不是很难；变号必须两处，结果要求最简．一元一次不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，小大、大小取中间，大小、小大无处找．一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解集：大（鱼）于（吃）取两边，小（鱼）于（吃）取中间．单项式运算：加、减、乘、除、乘（开）方，三级运算分得清，系数进行同级（运）算，指数运算降级（进）行．因式分解：一提（公因式）二套（公式）三分组，细看几项不离谱，两项只用平方差，三项十字相乘法，阵法熟练不马虎，四项仔细看清楚，若有三个平方数（项），就用一三来分组，否则二二去分组，五项、六项更多项，二三、三三试分组，以上若都行不通，拆项、添项看清楚．去、添括号法则：去括号、添括号，关键看符号，括号前面是正号，去、添括号不变号，括号前面是负号，去、添括号都变号．有理数的加法运算：同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”，符号跟着大的跑；绝对值相等“零”正好．。
2019中考数学《线段与角》专题复习考点讲解(含答案)
线段与角考点图解技法透析1．与直线、射线、线段有关的知识(1)直线：①直线的概念，一根拉得很紧的线，给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．②直线的表示方法：如图记作“直线AB”或“直线BA”；l 记作“直线l”．③直线的性质：过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条直线．(2)射线：①射线的概念，直线上一点和它一旁的部分叫射线，这一点叫射线的端点．射线向一方无限延伸．②射线的表示方法：如图记作“射线AB”；l记作射线l，注意必须把表示端点的字母写在前面．(3)线段：①线段的概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点，线段不延伸．②线段的表示方法：如图记求“线段AB”或“线段BA”或“线段a”．③线段的性质：两点的所有连线中，线段最短．即两点之间，线段最短．(4)直线、射线、线段的区别与联系．①联系：直线、射线都可以看作是线段无限延伸得到的；反过来，射线和线段都是直线的一部分，线段可以看作是直线上两点及这两点间的部分，射线可以看作是直线上一点及其一旁的部分．②区别：如下表(5)线段的画法：①用直尺可以画出以A、B为端点的线段，画时不能向任何一方延伸．②“连接AB”的意义就是画出以A、B为端点的线段．③线段的延长线，如图，延长AB是指按由A向B的方向延长．延长BA是指按由B向A的方向延长．(也可说反向延长AB)(6)线段的比较①度量法：测量线段的长度后比较大小，②叠合法：用圆规把一条线段移到另一条线段上比较大小．(7)画一条线段等于已知线段，如：已知线段a，画一条线段AB＝a，有两种画法：①先画射线AC，再在射线AC上截取AB＝a．②先测量线段a的长度、再画一条等于这个长度的线段AB即可．(8)线段的中点及等分点的概念①如图①点O把线段AB分成相等的两条线段，AO与OB，点O叫线段AB的中点，显然有AO＝OB＝12AB（或AB＝2AO＝2OB）②如图②点O1，O2把线段AB分成相等的三条线段AO1＝O1O2＝O2B，则点O1，O2叫做线段AB 的三等分点，显然有：AO 1＝O 1O 2＝O 2B ＝13AB(或AB ＝3AO ，＝3O 1O 2＝3O 2B) ③如图③，点O 1，O 2，O 3把线段AB 分成相等的四条线段，则点O 1，O 2，O 3叫做线段AB的四等分点，显然有：AO 1＝O 1O 2＝O 2O 3＝O 3B ＝14AB(或AB ＝4AO 1＝4O 1O 2＝4O 2O 3＝4O 3B) (9)两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．2．与角有关的知识(1)角的概念：角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形，又可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形．(2)角的四种表示方法：①一般可以用三个大写字母表示，且表示顶点的字母必须写在中间．如图①，记作∠AOB （或∠BOA ）；②当角的顶点处只有一个角时，可以用角的顶点字母来表示这个角，如图①可记作∠O ；③可以用一个小写希腊字母（如α、β、γ等）表示，如图②∠BOC 记作∠a ；④用一个阿拉伯数字表示如图②∠AOC 记作∠1．(3)特殊角及角的分类：①平角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置在同一条直线上时所成的角． ②周角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置重合时所成的角． ③直角：等于90°的角叫直角．④锐角：小于直角的角叫锐角．⑤钝角：大于直角而小于平角的角叫钝角．(4)角度制及角的画法：①角度制：以度、分，秒为单位的角的度量制，1°＝60'，1'＝60"．②借助三角尺和量角器画角．(5)角的和、差、倍、分的关系①每的和、差，如图所示：∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ，∠AOB ＝∠AOC －∠BOC②角的倍、分：角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，如图所示，若∠1＝∠2，则OC 是∠AOB 的平分线，此时有∠1＝∠2＝12∠AOB （或∠AOB ＝2∠1＝2∠2）． 同理，还有角的三等分线、四等分线……等．(6)余角和补角：①定义：如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角．②性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等(7)方位角：方位角是表示方向的角．具体表示时．是南（或北）在先，再说偏东（或偏西）3．钟表上有关角的问题(1)钟表上，相邻两个数字之间有5个小格，每个小格表示1分钟，如果与角度联系起来，每一小格对应6°；(2)秒针每分钟转过360°，分钟每分钟转过6°，时针每分钟转过0.5°．(3)时针与分针成一直线必须成180°的角，两针重合必须成0°的角，名题精讲考点1例1 平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为_______个，最多为_______个．【切题技巧】可以通过画图来探求，先从简单情形、特殊情形考虑，再进行归纳，得出结论．①当平面内两两相交的6条直线相交于一点，此时交点的个数最少为1个，②当平面内两两相交的5条直线相交于一点，第6条直线与前面的5条直线都相交，此时交点的个数为1＋5＝6个，③当平面内两两相交的4条直线相交于一点，第5条直线与前面的4条直线都相交，第6条直线再与前面的5条直线都相交，此时交点的个数为1＋4＋5＝10个……，因此为使平面内两两相交的直线的交点个数最多，则要使任意两直线相交都产生新的交点，即任意两条直线相交都确定一个交点，且任意三条直线都不过同一点，于是可得交点数最多为：1＋2＋3＋4＋5＝()1552+⨯＝15(个)【规范解答】分别填1个，15个．(1)本例可进行如下推广：若平面内有两两相交的n条直线，其交点最少为1个，最多为1＋2＋3＋…＋（n＋1）＝12n（n－1）个交点；(2)一般地，平面内n条直线两两相交，且任意三条直线都不共点，那么这些直线将平面分成12（n＋1）n＋1个互不重叠的部分．(3)－般地，如果一条直线上有n个点，那么这条直线上的不同线段的条数为（n－1）＋（n－2）＋…＋2＋1＝12n（n－1）条；共有2n条不同的射线．【同类拓展】1．如图，数一数图中共有多少条不同的线段，多少条不同的射线？考点2 线段长度的计算例2 如图C、D、E将线段AB分成2：3：4：5四部分，M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点，且MN＝42，求PQ的长．【切题技巧】先根据比例把AC、CD、DE、EB用含x的代数式表示，再利用线段的和差及线段的中点的意义可得到相应的方程，从而求得PQ的长．【规范解答】∴【借题发挥】几何问题本身是研究图形的性质和数量关系，准确地画出图形，能使问题中各个量之间的关系直观化．本题的分析要着眼于找出未知线段的联系，使未知向已知转化，求线段的长度要充分利用线段的和差与线段的中点、等分点的意义，其解题方法与途径不是唯一的，需要我们根据题意灵活运用不同方法解决实际问题．【同类拓展】2．已知三条线段a、b、c在同一条直线上，他们有共同的起点，a 的终点是b的中点，c的中点是b的终点，且a＋b＋c＝7cm，求a、b、c的长．考点3 角的个数及角的度数的计算例3 如图已知OA、OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．(1)若∠AOD＝70°，∠MON＝50°求∠BOC的大小；(2)若∠AOD＝α；∠MON＝β，求∠BOC的大小（用含α、β的式子表示）．利用角的平分线性质，角的和、差之间的转化，先找出∠AOD，∠MON与∠BOC之间的数量关系，为方便角的表示，可用含α、β的式子表示所求的角，也可设未知数，把几何问题代数化，通过整体变形、列方程，从而确定出角的大小．【规范解答】【借题发挥】(1)对于求角的度数的计算，通常有两种思路：一是根据各个量之间的关系，用已知量来表示未知量，直接求未知量；二是通过设辅助未知数，把几何问题代数化，根据图形中角的相等关系列方程或方程组，从而求解，应注意挖掘题目中的隐含的条件，适当转换．(2)一般地，同一平面内，在平角∠AOB的内部引以O为端点的（n－1）条射线，则图中共有：n＋（n－1）＋（n－2）＋…＋3＋2＋1＝12n（n＋1）个小于平角的角．【同类拓展】 3．如图，∠AOB＝100°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON＝_______．考点4 钟表上有关的角度问题例4 时钟在下午4点至5点的什么时刻：(1)分针和时针重合？(2)分针和时针成一条直线？(3)分针和时针成45°角？【切题技巧】4点整时针已转过4大格，每大格30°，这时可看成时针在分针前面120°，若设所需时间为x分钟，则有6x－12x的值等于1200时，两针就重合；当时针与分针之间的角度为1200＋180°时两针成一条直线；当时针与分针之间的角度差等于120°－45°（时针在前）或120°＋45°（分针在前）时，两针成45°角．【规范解答】【借题发挥】钟表上时针和分钟问题实质是数学中的追及问题，钟面上有12大格，60小格，每个大格为30°的角，每个小格为6°的角．如果把单位时间内，分针和时针转过的度数当作是它们的“速度”，那么分针的速度为6°／分，时针的速度为0.5°／分，因此，分针速度是时针速度的12倍．在时针与分针的转动过程中，总是分针追及时针，然后超过时针又转化为追及时针，【同类拓展】4．王老师在活动课上为学生们讲数学故事，他发现故事开始时挂钟上的时针和分针恰好成90°角，这时是7点多；故事结束时两针恰好也是90°角，这时是8点多，他还发现，讲故事中，两针成90°角的有趣图形还出现过一次，求王老师讲故事所花的时间多少分？考点5 与线段有关的实际问题例5 摄制组从A市到B市有1天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃中饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息．司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A、B两市相距多少千米？【切题技巧】题目中所给条件只有路程，而没有给出时间与速度，所以可以画出线段表示各段路程，借助图形，思考它们之间的数量关系，从而利用形数结合思想解决问题．【规范解答】如图，设小镇为D，傍晚汽车E处休息，令AD＝x，则AC＝3x，DE＝400，CE＝400－2x ED＝12(400－2x)＝200－x，于是有：AB＝AC＋CE＋EB＝3x＋400－2x＋200－x＝600(km) 答：A、B两市相距600千米，【借题发挥】利用“线段图”将实际问题转化为几何问题，借助图形，利用“形数结合”思想解决实际问题是数学竞赛中的常用方法，如：A、B、C、D、E、F六支足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A、B、C、D、E五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没有与B队比赛的球队是哪支队？此题用算术或代数方法求解容易陷入困境，此时可考虑用6个点表示A、B、C、D、E、F这6支足球队，若两队已赛过一场、就在相应的两个点之间连一条线，这样用“线段图”来辅助解题，形象直观，如图所示，则还没有与B队比赛的球队是E队．【同类拓展】5．某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30个，B区有15人，C区有10人，三个区在同一条直线上．位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在 ( )A．A区B．B区C．C区D．A、B两区之间参考答案1．(1)21(条) (2)14(条) 2．1cm，2cm，4cm． 3．50°4．1小时零5511分钟． 5．A2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm，高是8cm的长方体纸盒的A点沿纸盒面爬到B点，那么它所行的最短路线的长是( )+8)cm B.10cm C.14cm D.无法确定2．2018年全国消协组织创新维权手段，聚焦维权难点，消费维权能力和水平不断提.2018年，全国消协组织共受理消费者投诉76.2万件，解决55.6万件，为消费者挽回经济损失约9.8亿元；其中，9.8亿可用科学记数法表示为（）A．9.08×108B．9.8×108C．0.98×109D．0.98×1010 3．2019年3月3日至3月15日，中国进入“两会时间”，根据数据统计显示，2019年全国两会热点传播总量达829.8万条，其中数据“829.8万”用科学记数法表示为（）A．8.298×107B．82.98×105C．8.298×106D．0.8298×1074．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B在x轴的负半轴上，将线段AB绕点A逆时针旋转90°至AB'，点M是线段AB'的中点，若反比例函数kyx(k≠0)的图象恰好经过点B'，M，则k＝（）A.4B.6C.9D.12 5．下列立体图形中，主视图是三角形的是（）A. B. C. D.6．在刚刚结束的中考英语听力、口语测试中，某班口语成绩情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．中位数是9B ．众数为16C ．平均分为7.78D ．方差为27．下列运算中，正确的是（ ）A ．（﹣x ）2•x 3＝x 5B ．（x 2y ）3＝x 6yC ．（a+b ）2＝a 2+b 2D ．a 6+a 3＝a 28．如图，点E 、F 是正方形ABCD 的边BC 上的两点（不与B 、C 两点重合），过点B 作BG ⊥AE 于点G ，连接FG 、DF ，若AB ＝2，则DF+GF 的最小值为（ ）A. ﹣1B.C.3D.49．关于x 的一元二次方程（m-5）x 2+2x+2=0有实根，则m 的最大整数解是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,1，点B 是x 轴正半轴上一点，以AB 为边作等腰直角三角形ABC ，使BAC=90∠︒，点C 在第一象限。
中考数学备战：十一假期数学复习攻略
2019年中考数学备战：十一假期数学复习攻略国庆节到来之前，同学们刚刚进入新的学年不足一个月，事实上，一个多月来学的内容并不多，一个国庆节足可以进行有效弥补，下文为您准备了2019年中考数学备战的内容。
国庆这段时间建议每一位同学有时间对过去的一个月的学习生活从学习效率、学习方法、学习态度等方面进行认真的反思，对已学过的每一个内容进行认真的查漏补缺。
反之，本来这一个多月来的学习已暴露了很多问题，如果国庆节期间不能及时处理，等再开学之后新的学习会遇到很多困难，遗留的问题又会给你接受新的知识带来很多的阻碍，形势便对你很不利了。
十一长假是一个很好的自主安排学习的时间段，同学们也可以利用十一长假对于自己薄弱的专题进行攻克。
如初中数学中的几何辅助线专题、物理力学专题、计算能力专题等都是初中数学的难点和易扣分点。
可以利用长假对于这些专题中的任意一个专题适当梳理进而领先后期的学习。
十一回来之后大部分学校会有月考测试，而在三周之后各校就开始陆续进行期中考试了。
所以在十一期间同学们除了要吃好玩好之外，也要为之后的考试做一些准备。
就数学而言，，同学们应该把圆的全部知识在十一期间系统的复习一遍，对于其他区县的学校(除部分进度很快的学校)，十一期间应该以二次函数或圆为主进行复习，这两部分是初三的新知识，而且每个知识涉及到的公式、定理、模型、变换、题型都很多，故而压轴题可以出的很难，因此同学们应该在能够自由分配时间的这段期间内，自主复习。
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。
我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。
看得清才能说得正确。
在观察过程中指导。
我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。
2019年中考数学复习口诀：求定义域
2019年中考数学复习口诀：求定义域
数学公式有很多，需要同学们掌握，但是一旦背诵就容易记混，下面教育网小编给大家带来了2019年中考数学复习口诀，帮助大家记忆学习。
2019年中考数学复习口诀：求定义域
求定义域有讲究，四项原则须留意。
负数不能开平方，分母为零无意义。
指是分数底正数，数零没有零次幂。
限制条件不唯一，满足多个不等式。
求定义域要过关，四项原则须注意。
负数不能开平方，分母为零无意义。
分数指数底正数，数零没有零次幂。
限制条件不唯一，不等式组求解集。
通过上述对2018中考数学复习内容的讲解，希望对大家的学习带来帮助，更多内容请关注教育网。
2019年中考数学复习讲义：专题(四)有理数乘除法
专题四 有理数乘除法要点归纳1. 有理数乘法：(1)两个数相乘，同号得正，异号得____，并把绝对值______；(2)任何数与0相乘，都是_______.2. 倒数：乘积是1的两个数互为_______，_____没有倒数，可表示为：若ab ＝1，则a 与b 互为倒数.3. 有理数乘法运算律：(1)乘法交换律：即________；(2)乘法结合律：即_______________；(3)分配律：即a (b ＋c )＝_________.4. 有理数除法：(1)除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的_____；(2)两数相除，同号得______，异号得____，并把绝对值______；(3)0除以任何一个不等于0的数，都得_____.典例再现一、有理数乘法法则有理数乘法的步骤：先看是否有0因数，只要有一个因数为0，积就为0，在没有0因数的情况下，先确定积的符号，再把绝对值之积的绝对值.任何与1相乘都等于这个数本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数.例1 计算(1) (－6)×(＋5)； (2)13()()24-⨯- ； (3)23()174-⨯ (4)1(5)03-⨯【思路点拨】(1)异号两数相乘，积为负；(2)同号两数相乘，积为正；(3)异号得负；(4)有0因数的式子结果为0.解：(1)(6)(5)6530-⨯+=-⨯=- ；(2)13133()()24248-⨯-=⨯= ；(3) 23271()174742-⨯=-⨯=-；(4) 1(5)003-⨯=【方法规律】有理数乘法法规中“同号得正，异号得负”是针对“两数相乘”而言的，不能与加法法则相混淆；当因数中有负号时，必须用括号将负因数括起来，第一个因数有负号可省略括号，如13()()24-⨯-可写成13()24-⨯-，但不能写成1324-⨯-. 例2 计算：(1)541() 1.5(1)12154-⨯⨯⨯- ； (2)(2014)(2005)0(2016)-⨯-⨯⨯- 【思路点拨】非零因数相乘，首先根据负数的个数决定积的符号，把各因式相乘，0作因数连乘，积为0.解：(1) 54154355() 1.5(1)1215412152424-⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯= (2) (2014)(2005)0(2016)0-⨯-⨯⨯-=.【方法规律】一般情况下，算乘法时带分数化成假分数.二、倒数若a 是非零有理数，则a 的倒数是1a，即1ab =⇔ A . b 互为倒数. 1b a=⇔ A . b 互为倒数. 例3.求下列各数的倒数： ⑴－5；⑵－47；⑶－237；⑷1.5【思路点拨】根据定义，要求a (a 为非零数)的倒数，只要求1a即可.解：⑴因为1－5＝－15，所以－5的倒数是－15；⑵因为1－47＝－74，所以－47的倒数是－74；⑶因为1－237＝－717，所以－237的倒数是－717；⑷因为1.5＝32，且132＝23，所以1.5的倒数是23.【方法规律】求一个整数的倒数，直接写成a 分之一即可；求一个真分数的倒数，把这个数的分子、分母交换位置即可；求一个带分数的倒数，先将带分数化成假分数，然后再交换分子、分母的位置；求一个小数的倒数，先把小数化成分数后再求其倒数. 三、有理数乘法的运算律运用乘法分配律时，若括号前面为“－”号，去括号后，各项都要变号. 例4.计算：⑴(－172)×(－0.25)×(－186)×40 ⑵(－8)×123×(－5)×(－35)×(－0.125)；⑶－24×(116－112＋214－1112).【思路点拨】⑴、⑵利用乘法的交换律的乘法的结合律计算；⑶利用乘法的分配律可使计算简便.解：⑴原式＝－(172×0.25×186×40)＝－(172×186)×(0.25×40)＝－2×10＝－20；⑵原式＝＋(0.125×35×8×53×5)＝(0.125×8)×(35×53)×5＝5；⑶原式＝(－24)×116＋(－24)×(－112)＋(－24)×214＋(－24)×(－1112)＝－28＋36－54＋26＝－20.【方法规律】运用乘法交换律时，要连同因数的符号一起交换位置；多个有理数相乘时，通常运用交换律、结合律把能约分或互为倒数的有理数先结合，使计算简便. 四、有理数的除法法则有理数的除法法则：①除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即a ÷b ＝a ×1b(b ≠0)；②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0.即：(ⅰ)当ab ＞0时，则a ÷b ＝|a ||b |；(ⅱ)当ab ＜0时，a ÷b ＝－|a ||b |；(ⅲ)0÷a ＝0(a ≠0).例5.计算：⑴(－48)÷(－6)；⑵(－6)÷(＋14)；⑶(－123)÷(－212)；⑷0÷(－3.14)；⑸1÷(－2.5)；⑹(－3.14)÷1.【思路点拨】⑴运用法则②，同号得正，先定符号，再算绝对值；⑵运用法则①，除号变乘号，除数变为它的倒数；⑶带分数化为假分数再相除；⑷0除以任何一个不为0的数都等于0；⑸小数化为分数再相除；⑹任何数除以1都等于它本身. 解：⑴(－48)÷(－6)＝8；⑵(－6)÷(＋14)＝－6×(＋4)＝－24；⑶(－123)÷(－212)＝－53×(－25)＝23；⑷0÷(－3.14)＝0；⑸1÷(－2.5)＝1÷(－52)＝1×(－25)＝－25；⑹(－3.14)÷1＝－3.14.【方法规律】有理数除法的法则有两个，应注意灵活运用，一般在不能整除的情况下用法则①，在能整除的情况下用法则②；0不能作除数，0作除数无意义. 五、有理数乘除法的混合运算有理数的除法可以化为乘法，因此有理数乘除混合运算可以统一成乘法运算，可以按如下步骤：①将所有除法转化为其倒数，所有的除法转化为乘法；②确定积的符号；③运用乘法运算律简化运算，并求出最后结果.例6.计算：⑴(－15)÷(－3)×(＋25)；⑵(－212)÷(－114)÷12；⑶8÷(－57)×27÷(－45)；⑷(－11116)÷(34×98)；⑸114×(－12)÷(－237300)÷(－19)×0.【思路点拨】⑴可以按从左向右的顺序计算；⑵可将除法转化为乘法再计算；⑶除法转化为乘法后，约分比较简便；⑷可先算括号里的；⑸在乘除的同级运算中，若算式中有0，则结果为0.解：⑴(－15)÷(－3)×(＋25)＝5×(＋25)＝2；⑵(－212)÷(－114)÷12＝－52×(－45)×2＝4；⑶8÷(－57)×27÷(－45)＝8×(－75)×27×(－54)＝4⑷(－11116)÷(34×98)＝－2716÷2732＝－2716×3227＝－2；⑸114×(－12)÷(－237300)÷(－19)×0＝0 【方法规律】同级运算，从左向右，除法变乘法，方便运算. 拓展探究一、带分数乘整数的技巧有时带分数乘整数，可把被乘数拆成“整数＋分数”或“整数－分数”，再用它们分别乘后面的整数，再把积相加或相减. 例1计算：91819×(－15).【思路点拨】如果把带分数化成假分数直接相乘很麻烦，根据题目的特点，可以把“91819”拆成两项，然后用乘法分配律计算.解：方法一：91819×(－15)＝－(9＋1819)×15＝－(9×15＋1819×15)＝－135－27019＝－149419；方法二：91819×(－15)＝(10－119)×(－15)＝10×(－15)－119×(－15)＝－150＋1519＝－149419.【方法规律】相比较，方法二比方法一更简便，做这种乘法时，要注意：①巧妙拆项，运用乘法分配律；②不能漏乘；③要注意各数的符号. 二、乘法分配律的正用、逆用乘法分配律正用：a (b ＋c )＝ab ＋ac ；逆用：ab ＋ac ＝a (b ＋c ). 例2.计算：⑴－3.14×35.2＋6.28×(－23.3)－1.57×36.4； ⑵12×(13＋14)－13×12－17×12.⑶(－1117)×15＋(＋517)×15－(－13713)×(－15)＋(＋11313)×15.【思路点拨】⑴可找每部分中的相同乘数3.14提取，二、三部分的6.28、1.57可构造出3.14；⑵前面部分可正用分配律，后两部分可逆用分配律；⑶可提取公因数15，其余的因数相加减时，可用加法的交换律、结合律，使计算简便.解：⑴原式＝－3.14×35.2－3.14×46.6－3.14×18.2＝－3.14×(35.2＋46.6＋18.2)＝－3.14×100＝－314；⑵原式＝12×13＋12×14－12×(13＋17)＝4＋3－15＝－8；⑶原式＝15×{[(－1117＋517]＋[(＋11313)＋(－13713)]}＝15×{－6＋(－4)}＝15×(－10)＝－2.【方法规律】在去括号时，要注意：①括号外面的因数是正数，去括号后式子的各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相同；②括号外的因数是负数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反，添括号时与去括号的方法相同. 三、倒数的整体应用例3.已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，求a －5cd ＋b 的值. 【思路点拨】相反数之和等于0，即a ＋b ＝0；倒数之积为1，即cd ＝1. 解：由题意可知a ＋b ＝0，cd ＝1，所以a －5cd ＋b ＝(a ＋b )－5cd ＝0－5＝－5. 【方法规律】本题用整体代入法可以使计算简便. 四、有理数除法与绝对值形如求式子a |a |＋b|b |值时，可按下面两种方法分类：⑴①a ＞0，b ＞0；②a ＞0，b ＜0；③a ＜0，b ＞0；④a ＜0，b ＜0；⑵a 、b 中两个正，一个正、0个正(即两个负).其中，方法⑵更简单. 例4⑴若三个有理数x ，y ，z ，满足xyz ＞0，求式子|x |x ＋y |y |＋|z |z 的值.⑵已知ab ＜0，试求|a |a ＋b |b |＋ab|ab |的值.【思路点拨】由xyz ＞0，根据所求式子的特点，不妨设x 、y 、z 中有“一正两负”和“全正”两种情形；⑵由ab ＜0和所求式子的特点，不妨设a ＞0，b ＜0即可求解. 解：⑴因为xyz ＞0，所以x 、y 、z 中负数有0个或2个. 当x 、y 、z 三个数全正时，原式＝x x ＋y y ＋z z＝3；当x 、y 、z 三个数中“一正两负”时，不妨设x ＞0，y ＜0，z ＜0，原式＝x x ＋y －y ＋－z z ＝－1；所以，|x |x ＋y |y |＋|z |z＝3或－1.⑵因为ab ＜0，不妨设a ＞0，b ＜0，原式＝a a ＋b －b ＋ab－ab＝－1. 【方法规律】本题的分数讨论中若对x 、y 、z 的性质分别考虑，分的情形特别多而很多的答案又是重复的，因此，全面考虑负数或正数的个数比较简便，当一个式子的值与a ＞0、b ＜0与a ＜0、b ＞0无区别时，通常不妨设出其中一种情形而忽略另一种情形. 例5若|x |x ＋|y |y＝0，则下列结论成立的是( )A.x ＝0或y ＝0B.x 、y 同号C.x 、y 异号D.x 、y 为任意有理数【思路点拨】因为两数之和为0，所以|x |x 与|y |y 互为相反数.当x ＞0时，|x |x ＝1，此时|y |y＝－1，则y ＜0；当x ＜0时，|x |x ＝－1，此时|y |y＝1，则y ＞0，因为x 与y 作分母，所以x 、y 均不能为0，所以x 、y 异号.解：C【方法规律】若a ＞0，则|a |a ＝1；若a ＜0，则|a |a＝－1，反过来也是成立的.五、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算中，若没有括号，则先算乘除，再算加减，若有括号，按照先算括号里的，再算乘除，然后算加减的顺序计算.例6.计算：⑴－3.5×(16－0.5)×37÷(－14)；⑵12÷(－14)＋(1－0.2÷35)×(－6).【思路点拨】⑴先算括号里的，再把除法转化成乘法，作连乘计算；⑵先算括号里的，再算乘、除法，然后算加法.解：⑴原式＝－72×(16－12)×37÷(－14)＝－72×(16－12)×37×(－4)＝－72×(－13)×37×(－4)＝－72×13×37×4＝－2. ⑵原式＝12×(－4)＋(1－15×53)×(－6)＝－2＋23×(－6)＝－6.【方法规律】同级运算要按从左至右的顺序进行运算. 六、正确使用运算律，简化计算在加减乘除混合运算中，合理运用运算律可简化运算.例7.计算：⑴(－130)÷(12＋43－16－35)；⑵－1108÷[124－(－112)－172]；⑶[(－15)－(－13)＋17]÷(－1105).【思路点拨】⑴、⑵不能用乘法分配律，但是，我们可以先算(12＋43－16－35)÷(－130)、[124－(－112)－172]÷(－1108)，再把结果倒过来；也可直接计算；⑶把除法转化为乘法，再用乘法分配律可使计算简化.解：⑴原式＝－130÷(1530＋4030－530－1830)＝－130÷3230＝－130×3032＝－132(此种解法不够简便)；⑵先算[124－(－112)－172]÷(－1108)＝124×(－108)＋112×(－108)－172×(－108)＝－92－9＋32＝－12.所以，原式＝－112.⑶原式＝15×105－13×105＋17×(－105)＝21－35－15＝－29.【方法规律】利用倒数法，先交换除数和被除数的位置，再用分配律计算，然后求其倒数，这种方法可以解决不能直接用分配律计算的问题. 七、新定义运算题例8.a 、b 均为有理数，如果规定一种新的运算“⊕”；a ⊕b ＝a 2－ab ＋a －1，求(1⊕3)⊕(－3)的值. 【思路点拨】先算出1⊕3，再用它的结果与(－3)作新运算.解：(1⊕3)⊕(－3)＝(12－1×3＋1－1)⊕(－3)＝(－2)⊕(－3)＝(－2)2－(－2)×(－3)＋(－2)－1＝4－6－3＝－5.【方法规律】理解新定义是解题的关键. 实战演练A 链接中考1.若ab ＞0，则ab的值是( ) A.大于0B.小于0C.大于或等于0D.小于或等于02.下列说法正确的是( )A.两个有理数的和为正数，则这两个数中必有一个为正数B.两个有理数的差为负数，则被减数为负数C.两个有理数的积一定大于其中一个因数D.两个有理数相除的商大于1，则被除数大于除数 3.下列各式，表示a ，b 互为倒数的是( ) A.a ＋b ＝1B.a ＋b ＝0C.ab ＝1D.ab ＝04.如果a ·1b＝－1，那么a 与b ( )A.互为相反数B.a ＝bC.互为倒数D.互为负倒数5.(－0.125)×15×(－8)×(－45)＝[(－0.125)×(－8)]×[15×(－45)]，运算中没有运用的运算律是( )A.乘法交换律B.乘法结合律C.分配律D.乘法交换律和结合律6.下列运算过程有错误的个数是( )①(3－412)×2＝3－412×2；②－4×(－7)×(－125)＝－(4×125×7)；③91819×15＝(10－119)×15＝150－1519；④[3×(－25)]×(－2)＝3×[(－25)×(－2)]＝3×50. A.1B.2C.3D.47.下列运算中，正确的是( )A.2÷(－23)×(－34)＝2×(－32)×(－43)B.(－1)÷(－5)×(－15)＝(－1)÷1C.(－5)÷(15－1)＝(－5)÷15－5÷(－1)D.－6÷25÷(－4)＝－6÷[25×(－4)]8．在算式2-1-1□31中的□里，填入一个运算符号，使得算式的值最小，则这个符号是（ ）A ．＋B ．－C ．×D ．÷9．在算式每一步后面填上该步运用的运算律:()()4052-25.1834052-25.138⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯=⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯ 4052-)25.18(3⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯= 40524030⨯-⨯= .10．若两个数的商是2,被除数是－4，则除数是 ． 11．化简：.;;=---=--=-nmyxba12．被除数是213-，除数比被除数小211，则商为 ．13．按下面程序计算，如果输入的数是-2，那么输出的数是 ．14．判断下列各式乘积的符号:①()()()554-3-+⨯⨯;②()()()7-1.3-2-4⨯⨯⨯;③()()2-702015-⨯⨯⨯;④()()()()1-3.5-106-7.3-⨯⨯⨯⨯,其中积为正数的有 ，积为负数的有 （填序号）；③的计算结果为 ． 15．按下面的程序计算.，若输出的数y=3，则输入的数x= .16．若a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数，x 的绝对值为2,则=-+x cdbaB 冲刺中考17．计算()⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯21-6118-9-2的结果是（ ）A ．-24B ．-12C ．-9D ．618．一个数值转换器如右图所示，根据要求回答问题:要使输出值y 小于-100,输入的最大负整数x 为 .19．已知xy <0 ,则yy x x +的值为( )A ．0B ．-1C ．1D ．220．若a a -=,则( )A ．1-=aa B ．a 与a 互为相反数 C ．a <0 D ．a 的倒数为a1 21．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2015坐标在( )A.第504个正方形的左下角B.第504个正方形的右下角C.第504个正方形的左上角D.第505个正方形的右下角 22．已知a ,b ,c 都是负数，且0=-+-+-c z b y a x ，则xyz 是（ ） A.负数 B.非负效 C.正数 D.非正数 23．下列说法不正确的是( )A ．一个数与它的倒数之积是1B ．一个数与它的相反数的商为-1C ．两个数的商为-1，则这两个数互为相反数D ．两个数的积为1，则这两个数互为倒数 24．a ,b 互为相反数，下列结论中不一定正确的是( )A ．055=+b aB ．1-=÷b aC ．0≤abD ．b a = 25．已知21,4=y x ，且xy <0，则yx 的值为 ． 26．对于有理数a ,b (a 十b ≠0)，定义运算“△”如下:a △b =ba ab+，则2△3= ，-3△(-4) = ，27．已知a ,b ,c 是非零有理数，那么ccb b a a ++可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 28．计算:()⎪⎭⎫⎝⎛÷⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯21-735.0-615.3-1; ()()()12833--5-232÷⨯;()⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+611-4541213-3123; ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛÷213-149-433-43-4.29．用简便方法计算()()()()()；；5-361211-6597-30229-9441279-1÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+÷ ()；⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+31-2-361361-187-121413 ()695.3645.1-1818365-974⨯+⨯⨯⎪⎭⎫⎝⎛+.C 决战中考30．对于任何有理数a 、b 定义运算“△”如下：,21⎪⎭⎫⎝⎛-÷=∆b a b a 如,31232132-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷=∆ 求()72∆-△4的值.31．已知x ,y ,z 都为不为0的有理数，求xyz xyz z z y y x +++x 的最大值和最小值.32．四个各不相等的整数a ,b ,c ,d ，它们的积abcd =25，求a+b+c+d 的值.33．观察图形，解答问题:(1)按下表已填写的形式完成表中的空格:(2)请用你发现的规律求出图④中的数S.34．计算(能简算的要简算):()()()617624-21121-734113120411-318--4113212-210353-31307-1÷⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛；；35．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值是36．观察下列等式：41-3143131-2132121-11211=⨯=⨯=⨯；；，将以上三个等式两边分别相加得：=⨯+⨯+⨯431321211；4341-141-3131-2121-1==++(1)猜想并写出：()11+n n = ;(2)直接写出下列各式的计算结果: ①=⨯++⨯+⨯+⨯201520141431321211; ②()=+++⨯+⨯+⨯11431321211n n ; ③当031=-+-y x 时，探究并计算()()()()()()()()2016201616614412211+++++++++++++y x y x y x y x xy 的值．37．观察下列等式，并根据规律计算．1!1=12!2⨯=123!3⨯⨯=1234!4⨯⨯⨯=试计算:(1)!9!10; (2) !99!100; (3) !2015!2016．。
2019河北中考数学《3.2一次函数的图象及性质》教材知识梳理
第二节 一次函数的图象及性质一次函数的图象及性质1．(2019河北5题3分)若k≠0，b<0，则y ＝kx ＋b 的图象可能是( B ),A) ,B),C) ,D)2．(2019河北14题2分)如图，直线l ：y ＝－23x －3与直线y ＝a(a 为常数)的交点在第四象限，则a 可能在( D )A ．1＜a ＜2B ．－2＜a ＜0C ．－3≤a≤－2D ．－10＜a ＜－43．(2019河北6题2分)如图，直线l 经过第二、三、四象限，l 的解析式是y ＝(m －2)x ＋n ，则m 的取值范围在数轴上表示为( C ),A),B),C) ,D)4．(2019河北5题2分)一次函数y ＝6x ＋1的图象不经过( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．(2009河北11题2分)如图所示的计算程序中，y 与x 之间函数关系所对应的图象应为( D ),A) ,B),C) ,D)一次函数与几何图形结合的相关计算6．(2019石家庄二十八中)如图，一次函数y 1＝x ＋b 与一次函数y 2＝kx ＋4的图象交于点P(1，3)，则关于x 的不等式x ＋b>kx ＋4的解集是( C )A ．x>－2B ．x>0C ．x>1D ．x<1(第6题图)(第7题图)7．(2019唐山九中一模)如图，函数y ＝2x 和y ＝ax ＋4的图象相交于点A(m ，3)，则不等式2x≥ax ＋4的解集为( A )A ．x ≥32 B ．x ≤3C ．x ≤32D ．x ≥38．(2019邯郸二十三中二模)若一次函数y ＝kx ＋17的图象经过点(－3，2)，则k 的值为( D ) A ．－6 B ．6 C ．－5 D ．59．(2019沧州八中一模)一次函数y 1＝kx ＋b 与y 2＝x ＋a 的图象如图，则kx ＋b>x ＋a 的解集是__x<－2__．10．(2019河北考试说明)已知：y ＋b 与x －1(其中b 是常数)成正比例． (1)证明：y 是x 的一次函数；(2)若这个一次函数过点⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，且与坐标轴在第一象限内围成的三角形面积为254，求这个一次函数．解：(1)依题意得，y ＋b ＝k(x －1)(k 为常数，k ≠0)， 得y ＝kx －(k ＋b)，所以y 是x 的一次函数； (2)y ＝－2x ＋5.,中考考点清单)一次函数与正比例函数的概念1．一般地，把形如y ＝kx ＋b(k ，b 为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数，当b ＝0时，它就化为①__y ＝kx__的形式，这时，y 叫做x 的正比例函数．一次函数的图象及性质(高频考点)一次函数的图象及性质近8年考查5次，题型多为选择题，有以下几种常考类型：(1)一次函数与不等式结合；(2)一次函数与程序框图结合；(3)一次函数与反比例函数及几何图形结合；(4)单纯一次函数；设问方式有：(1)判断函数图象及经过的象限；(2)求未知系数的取值范围，并在数轴上表示；(3)求一次函数解析式；(4)判断一次函数图象经过某点．2．一次函数的图象一次函数图象一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是经过点(0，b)和②__(－bk，0)__的一条直线图象关系一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象可由正比例函数y＝kx(k≠0)的图象平移得到；b＞0，向上平移b个单位；b＜0，向下平移|b|个单位图象确定因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可3.一次函数的性质函数字母取值图象经过的象限函数性质y＝kx (k≠0)k＞0 一、三y随x增大而增大k＜0 ③__二、四__ y随x增大而减小续表y＝kx＋b(k≠0)k＞0 b＞0 一、二、三k＞0 b＜0 ④__一、三、四__k＜0 b＞0 ⑤__一、二、四__k＜0 b＜0 ⑥__二、三、四__y随x增大而增大y随x增大而减小【方法技巧】两直线的交点坐标及一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积分类求法一条直线与x轴交点坐标令y＝0，求出对应的x值一条直线与y轴交点坐标令x＝0，求出对应的y值一条直线与其他一次函数图象的交点坐标解由两个函数解析式组成的二元一次方程组，方程组的解即为两函数图象的交点坐标一条直线与坐标轴围成的三角形的面积直线y＝kx＋b(k≠0)与x轴交点坐标为(－bk，0)，与y轴交点坐标为(0，b)，与坐标轴围成的三角形面积为S△＝12·|－bk|·|b|中考重难点突破)一次函数的图象与性质【例1】(2019石家庄四十三中模拟)若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a<b<c ，则函数y ＝cx ＋a 的图象可能是( ),A) ,B) ,C) ,D)【解析】∵a＋b ＋c ＝0，且a<b<c ，∴a<0，c>0，b 的正负情况不能确定．在函数y ＝cx ＋a 的图象中，当a<0，c>0时，函数的图象过第一、三、四象限．【学生解答】C【点拨】由a ＋b ＋c ＝0，且a<b<c ，可知a<0，c>0，再根据图象的性质求解．【方法总结】判断一次函数y ＝kx ＋b 的图象位置的一般法：(1)k>0，b>0⇔函数图象过第一、二、三象限；k>0，b ＝0⇔函数图象过第一、三象限；k>0，b<0⇔函数图象过第一、三、四象限；(2)k<0，b>0⇔函数图象过第一、二、四象限；k<0，b ＝0⇔函数图象过第二、四象限；k<0，b<0⇔函数图象过第二、三、四象限．1．(2019湘西中考)已知k>0，b<0，则一次函数y ＝kx －b 的大致图象为( A ),A) ,B) ,C) ,D)一次函数与几何图形结合【例2】(2019苏州中考)如图，已知函数y ＝－12x ＋b 的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，与函数y ＝x 的图象交于点M ，点M 的横坐标为2.在x 轴上有一点P(a ，0)(其中a ＞2)，过点P 作x 轴的垂线，分别交函数y ＝－12x ＋b 和y ＝x 的图象于点C ，D.(1)求点A 的坐标；(2)若OB ＝CD ，求a 的值．【解析】(1)先利用直线y ＝x 上的点的坐标特征得到点M 的坐标为(2，2)，再把M(2，2)代入y ＝－12x ＋b 中可计算出b ＝3，得到一次函数的解析式为y ＝－12x ＋ 3，然后根据x 轴上点的坐标特征可确定A 点坐标为(6，0)；(2)先确定B 点坐标为(0，3)，则OB ＝CD ＝3，再表示出C 点坐标为(a ，－12a ＋3)，D 点坐标为(a ，a)，所以a －(－12a ＋3)＝3，然后解方程即可．【学生解答】(1)∵点M 在直线y ＝x 的图象上，且点M 的横坐标为2，∴点M 的坐标为(2，2)，把M(2，2)代入y ＝－12x ＋b 中，得－1＋b ＝2，解得b ＝3，∴一次函数的解析式为y ＝－12x ＋3，把y ＝0代入y ＝－12x ＋3中，得－12x ＋3＝0，解得x ＝6，∴A 点坐标为(6，0)；(2)把x ＝0代入y ＝－12x ＋3中，得y ＝3，∴B 点坐标为(0，3)，∵CD ＝OB ，∴CD ＝3，∵PC ⊥x 轴，∴C 点坐标为(a ，－12a ＋3)，D点坐标为(a ，a)．∴a－(－12a ＋3)＝3，∴a ＝4.2．(2019泰安中考)如图，正△ABC 的边长为4，点P 为BC 边上的任意一点(不与点B ，C 重合)，且∠APD＝60°，PD 交AB 于点D.设BP ＝x ，BD ＝y ，则y 关于x 的函数图象大致是( C ),A) ,B) ,C),D),中考备考方略)1．(2019石家庄四十三中模拟)一次函数y ＝－2x ＋1的图象不经过( C ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．(2019丽水中考)在直角坐标系中，点M ，N 在同一个正比例函数图象上的是( A ) A ．M(2，－3)，N(－4，6) B ．M(2，－3)，N(4，6)C ．M(－2，－3)，N(4，－6)D ．M(2，3)，N(－4，6)3．(2019廊坊二模)小明从家骑自行车去学校，先走上坡路到达点A ，再走下坡路到达点B ，最后走平路到达学校，所用时间与路程的关系如图所示．放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( D )A ．14 minB ．17 minC ．18 minD ．20 min4．(2019安顺中考)若一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，则一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过第________象限( D )A ．四B ．三C ．二D ．一5．(2019枣庄中考)若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋kb ＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y ＝kx ＋b 的图象可能是( B ),A) ,B),C) ,D)6．(2019中考预测)如图，直线y ＝－x ＋m 与y ＝nx ＋4n(n≠0)的交点横坐标为－2，则关于x 的不等式－x ＋m>nx ＋4n>0的整数解为( D )A ．－1B ．－5C ．－4D ．－37．(2019陕西中考)已知一次函数y ＝kx ＋5和y ＝k′x＋7.假设k>0且k′<0，则这两个一次函数图象的交点在( A )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．直线y ＝－2x ＋m 与直线y ＝2x －1的交点在第四象限，则m 的取值范围是__－1<m<1__．9．(2019中考预测)一次函数y ＝kx ＋b ，当1≤x≤4时，3≤y ≤6，则bk的值为__2或－7__．10．(2019株洲中考)已知A ，B ，C ，D 是平面坐标系中坐标轴上的点，且△AOB≌△COD，设直线AB 的解析式为y 1＝k 1x ＋b 1，直线CD 的解析式为y 2＝k 2x ＋b 2，则k 1·k 2＝__1__．11．(2019宜昌中考)如图，直线y ＝3x ＋3与两坐标轴分别交于A ，B 两点． (1)求∠ABO 的度数；(2)过点A 的直线l 交x 轴正半轴于C ，AB ＝AC ，求直线l 的函数解析式． 解：(1)对于y ＝3x ＋3，令x ＝0，则y ＝ 3. ∴A 的坐标为(0，3)，∴OA ＝ 3. 令y ＝0，则x ＝－1，∴OB ＝1.在Rt △AOB 中，tan ∠ABO ＝OAOB＝ 3.∴∠ABO ＝60°；(2)在△ABC 中，AB ＝AC ，又∵AO⊥BC. ∴BO ＝CO ，∴C 点的坐标为(1，0)．设直线l 的函数解析式为y ＝kx ＋b(k ，b 为常数)．依题意有⎩⎨⎧3＝b ，0＝k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－3，b ＝ 3.∴直线l 的函数解析式为y ＝－3x ＋ 3.12．(2019潍坊中考)若式子k－1＋(k－1)0有意义，则一次函数y＝(k－1)x＋1－k的图象可能是( A ),A) ,B) ,C) ,D)13．(2019鄂州中考)甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A、B两城相距300 km；②乙车比甲车晚出发1 h，却早到1 h；③乙车出发后2.5 h追上甲车；④当甲、乙两车相距50 km时，t＝54或154.其中正确的结论有( C )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个14．(2019温州中考)如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上的任意一点(不包括端点)，过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数解析式为( C )A．y＝x＋5 B．y＝x＋10C．y＝－x＋5 D．y＝－x＋10(第14题图)(第15题图)15．(2019内江中考)如图所示，已知点C(1，0)，直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是__10__．16．(2019益阳中考)如图，直线l上有一点P1(2，1)，将点P1先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点P2，点P2恰好在直线l上．(1)写出点P2的坐标；(2)求直线l所表示的一次函数的解析式；(3)若将点P2先向右平移3个单位，再向上平移6个单位得到点P3.请判断点P3是否在直线l上，并说明理由．解：(1)P 2(3，3)；(2)设直线l 所表示的一次函数的解析式为y ＝kx ＋b(k≠0)，∵点P 1(2，1)，P 2(3，3)在直线l 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝1，3k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－3，∴直线l 所表示的一次函数的解析式为y ＝2x －3；(3)点P 3在直线l 上．由题意知点P 3的坐标为(6，9)，∴2×6－3＝9，∴点P 3在直线l 上．17．(2019原创)已知，如图所示，直线PA 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C(0，2)，且S △AOC ＝4.直线BD 与x 轴交于点B ，与y 轴交于点D ，直线PA 与直线BD 交于点P(2，m)，点P 在第一象限，连接OP.(1)求点A 的坐标．(2)求直线PA 的函数解析式． (3)求m 的值．(4)若S △BOP ＝S △DOP ，请你直接写出直线BD 的函数解析式．解：(1)A(－4，0)；(2)y ＝12x ＋2；(3)m ＝3；(4)y ＝－32x ＋6.18．(2019陕西中考)昨天早晨7点，小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回. 如图，是小明昨天出行的过程中，他距西安的距离y(km)与他离家的时间x(h)之间的函数图象. 根据图象，回答下列问题：(1)求线段AB 所表示的函数关系式；(2)已知昨天下午3点时，小明距西安112 km ，求他何时到家？ 解：(1)设线段AB 所表示的函数关系式为y ＝kx ＋b(k≠0)，则根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝192，2k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－96，b ＝192.∴线段AB 所表示的函数关系式为y ＝－96x ＋192；(0≤x≤2) (2)由题意可知，下午3点时，x ＝8，y ＝112.设线段CD 所表示的函数关系式为y ＝k′x＋b′(k′≠0)，则根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧6.6k ′＋b ′＝0，8k ′＋b′＝112，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ′＝80，b ′＝－528.∴线段CD 的函数关系式为y ＝80x －528. ∴当y ＝192时，80x －528＝192. 解得x ＝9.∴他当天下午4点到家．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是25400cm ，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ）A.213014000x x +-=B.2653500x x +-=C.213014000x x --=D.2653500x x --=2．若关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+1＝0有实数根，则整数a 的最大值为（ ） A ．0B ．﹣1C ．1D ．23．若点A （x 1，﹣3）、B （x 2，﹣2）、C （x 3，1）在反比例函数y ＝﹣的图象上，则x 1、x 2、x 3的大小关系是（ ） A.x 1＜x 2＜x 3B.x 3＜x 1＜x 2C.x 2＜x 1＜x 3D.x 3＜x 2＜x 14．如图，正五边形ABCDE ，点F 是AB 延长线上的一点，则∠CBF 的度数是（ ）A ．60°B ．72°C ．108°D ．120°5．已知关于x 的一元二次方程（a+1）x 2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，则下面说法正确的是（ ）A.1一定不是方程x 2+bx+a ＝0的根B.0一定不是方程x 2+bx+a ＝0的根C.﹣1可能是方程x 2+bx+a ＝0的根D.1和﹣1都是方程x 2+bx+a ＝0的根6．小明希望测量出电线杆AB 的高度，于是在阳光明媚的一天，他在电线杆旁的点D 处立一标杆CD ，使标杆的影子DE 与电线杆的影子BE 部分重叠（即点E 、C 、A 在一条直线上），量得2ED =米，4DB =米， 1.5CD =米，则电线杆AB 长为（ ） A ．2米B ．3米C ．4.5米D ．5米7．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊥BC 于点D ，AC ＝4，则OD 的长为（ ）A.1B.1.5C.2D.2.58．《语文课程标准》规定：7﹣9年级学生，要求学会制订自己的阅读计划，广泛阅读各种类型的读物，课外阅读总量不少于260万字，每学年阅读两三部名著．那么260万用科学记数法可表示为（ ） A ．26×105B ．2.6×102C ．2.6×106D ．260×1049．已知a ，b ，c 满足a+c=b ，4a+c=-2b ，抛物线y=ax²+bx+c（a ＞0）过点A （-12，y 1），B （3，y 2,）C （3，y 3），则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ） A.y 2＜y 1＜y 3B.y 3＜y 1＜y 2C.y 2＜y 3＜y 1D.y 1＜y 2＜y 310．分解因式3a 2b ﹣6ab+3b 的结果是（ ） A ．3b （a 2﹣2a ） B ．b （3a 2﹣6a+1） C ．3（a 2b ﹣2ab ） D ．3b （a ﹣1）211．如图，AB 为O 的切线，切点为A ，BO 交O 于点C ，点D 在O 上，若32ABO ∠=︒，则ADC ∠的度数为（ ）A.48︒B.29︒C.36︒D.72︒12．如图，点A （0，2），在x 轴上取一点B ，连接AB ，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA 、AB 于点M 、N ，再以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点D ，连接AD 并延长交x 轴于点P ．若△OPA 与△OAB 相似，则点P 的坐标为（ ）A．（1，0）B．（3，0）C．（233，0）D．（23，0）二、填空题13．如图，若△ABC内一点P满足∠PAC＝∠PCB＝∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，已知△ABC 中，CA＝CB，∠ACB＝120°，P为△ABC的布罗卡尔点，若，则PB+PC＝_____．14．秋季新学期开学时，某中学对六年级新生掌握“中学生日常行为规范”的情况进行了知识测试，测试成绩全部合格.现学校随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成了不完整的图表（如表所示），图表中c=___．15．把命题“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是______．16．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D 恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．若△DEF的面积是3，则矩形ABCD的面积为___．17．已知实数x、y、z满足4x-+（y﹣2）2+|z+3|＝0，则（x﹣y+z）2018的值是_____．18．因式分解：x2+6x＝_____．三、解答题19．在正方形ABCD中，点M是射线BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM＝DN，直线BD与MN交于点E．（1）如图1．当点M在BC上时，为证明“BD﹣2DE＝2BM”这一结论，小敏添加了辅助线：过点M作CD的平行线交BD于点P．请根据这一思路，帮助小敏完成接下去的证明过程．（2）如图2，当点M在BC的延长线上时，则BD，DE，BM之间满足的数量关系是．（3）在（2）的条件下，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G，如图3，若1,3AFAD= CM＝2，则线段DG ＝ ．20．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，延长BC 至F ，使CF ＝BE ，连接DF ．（1）求证：四边形AEFD 是矩形；（2）若BF ＝8，DF ＝4，求CD 的长．21．在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，请利用尺规在CD 边上求作一点P ，使得S △PAB ＝S △PAD ，（保留作图痕迹，不写作法）．22．已知ABC △内接于O ，D 是BC ︵上一点，OD BC ^，垂足为H ，连接AD 、CD ，AD 与BC 交于点P . I.如图1，求证：ACD APB ∠=∠；Ⅱ.如图2，若AB 过圆心，30ABC ∠=︒，O 的半径长为3，求AP 的长。
2019年中考九年级数学上册知识点旋转复习
2019年中考九年级数学上册知识点旋转复习翻开一页又一页的课本，你都学会了吗?接下来，教育网小编给大家讲讲上册知识点内容，供大家进行参考。
九年级数学上册知识点旋转复习一、旋转1、定义：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等。
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
⑶旋转前后的图形全等。
二、中心对称1、定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
2、性质：1)关于中心对称的两个图形是全等形。
2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等。
3、判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
4、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
5、关于原点对称的点的特征：两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为P’(-x，-y)6、关于x轴对称的点的特征：两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P(x，y)关于x轴的对称点为P’(x，-y)。
7、关于y轴对称的点的特征：两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P(x，y)关于y轴的对称点为P’(-x，y)。
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2019年中考数学复习讲义：专题(一)有理数与数轴的数形结合
专题一 有理数与数轴的数形结合要点归纳1．像2，31，0．25，π，30%等这样大于零的数叫做________；像－20，－32，－0．25，－30%等这样在正数前面加上负“－”的数叫做________．2．用正、负数可以表示具有相反意义的量，若一个相反意义的量中一个“意义”规定用“＋”表示，则另一个“意义”必定用“_______”表示．3．有理数按性质可分为_______、_______、______；整数和_______统称为有理数．4．我们把规定了_______、_______、______的直线叫数轴，这条直线上的任意数轴一个点表示一个数，原点左边的数都是______数，原点右边的数都是______数，在实际问题中，一个单位长度可表示一定的数量，如1米，1千米，400千克等．5．数轴上的点与有理数之间的关系：所有的______都可以用数轴上的点来表示，但是数轴上的点不都表示有理数．典例讲解经典再现一、正、负数的识别及应用例1 下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？＋0．007，－200，53，－45，0．666…，－9，20．5，0，－32 【思路点拨】由正、负数的定义进行判断．解：整数：＋0．007，53，0．666…，20．5；负数：－200，－45，－9，－32． 【方法规律】正数前面可以加“＋”号，也可以不加“＋”号；负数前面的“－”号不可以省略．判断一个数是不是负数，要看它是不是在正数的前面加“－”号，而不是看它是不是带有“－”号，特别注意 ，“－a ”不一定是负数，如－（－5）数不是负数．例2 课桌的高度比标准高度高2cm 记作＋2cm ，那么比标准高度低3cm 记作什么？现有5 张课桌，小明测量了它们的高度，记录如下：＋1cm ，0cm ，－1cm ，＋3cm ，－1．5cm ．若规定课桌的高度与标准高度相差最多不能超过2cm ，问上述5张课桌有几张合格？【思路点拨】具有相反意义的量可以分别用“＋”、“－”数来表示，与标准高相差2cm ，是指可以高2cm ，也可以低2cm ．解：比标准高度低3cm 记作－3cm ，这5张课桌中，合格的有：比标准高度：＋1cm 、0cm 、－1cm 、－1．5cm ，共4张．【方法规律】如果超过标准高度记为“＋”，那么不是（或低于）标准高度记为“－”，在判断几张桌子合格的问题中，我们不管超过还是低于标准高度，不看数前面的“＋”、“－”号，只看符号后面数是否小于或等于0．二、有理数的相关概念（1）整数：正整数、0、负整数的统称；（2）分数：正分数、负分数的统称；（3）有理数：整数和分数的统称；（4）有理数包括有限小数和无限循环小数．例3 下列说法中，正确的是（ ）A ．正有理数和负有理数统称为有理数B ．正整数和负整数统称为整数C ．整数和分数统称为有理数D ．非正整数就是指零、负整数和所有分数【思路点拨】A 选项中，有理数应包括正有理数、0和负有理数；B 选项中也漏掉了0；D 选项中，非正整数是指负整数和0．解：C三、有理数的分类例4 把下列各数填在相应的横线上．－25，3．14，48，－32，－0．40，0，＋34，－3．5，1，41 （1）⎩⎨⎧________________________________分数：整数：有理数 （2）⎪⎩⎪⎨⎧____________________________________________负有理数：零：正有理数：有理数【思路点拨】此题考察有理数的两种分类方式，注意0是整数．解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧-+---41,5.3,34,40.0,32,14.31,0,48,25:分数：整数有理数 （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----+5.3,40.0,32,25041,1,34,48,14.3负有理数：零：正有理数：有理数 【方法规律】对有理数进行分类时，必须按照同一标准，不能将两种分类方式混在一起，小数（有限小数、无限循环小数）都是分数．例5 下面四个结论中，正确的结论是（ ）A ．两个不同的整数之间必有一个正分数B ．两个不同的整数之间必有一个整数C ．两个不同的整数之间必有一个有理数D ．两个不同的整数之间必有一个负数【思路点拨】对于A ，如果是两个负整数，那么中间就没有正分数；对于B ，如果是两个连续的整数，中间就再没有整数；对于D ，如果两个整数是正整数，中间就没有负数；只有C ，不论是怎样的两个不同的整数，中间必有有理数，如2和3中间有25，－2，－3之间有－25． 解：选C【方法规律】如果一个说法（结论）不正确，可举反例说明．四、数轴上的点和数例6 指出下面数轴上A 、B 、C 、D 、O 各点分别表示什么数？【思路点拨】数的性质A 点、B 点在原点的左侧，表示的是负数；C 点、D 点在原点的右侧，表示的数是整数，0点在原点；其次，还要确定每个点到原点的距离．解：点A 表示－5，点B 表示－1，点C 表示2，点D 表示5，点O 表示0．【方法规律】本题一个单位长度表示2，而不是1，容易看错，确定数轴上的点表示的数，一定性质，二定距离．例7 数轴上表示到3的点的距离是5的点表示的数是__________．【思维点拨】数轴上与表示3的点相距5个单位长度的点有两个，一个表示3的点的右侧且相距5个单位长度，另一个表示3的点的左侧且相距5个单位长度．解：8或－2【方法规律】距离是一个长度，在数轴上表示与某个点的距离为a （a ＞0）的点时，用分类讨论思想时要考虑在这个点左侧且距此点a 个单位长度有一个点；在这个点右侧且距此点a 个单位长度也有一个点．五、画数轴画数轴时，一定要体现出数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，画数轴的步骤可归纳为：一画、二定、三选、四统一、五标数，即画直线、定原点、选取正方向，统一单位长度，确定要表示的数的对应点的位置．例8 如图，数轴上有A 、B 、C 、D 、E 、F 六个点，每两个相邻的点的距离相等，那么下列说法中错误的是（ ）A ．表示原点的数在C 、D 之间B ．有三个点表示的数是负数C ．这六个数中没有表示整数的点D ．C 点与原点最接近【思维点拨】A 点到F 点的距离是436，且相邻的点之间的距离相等，所以每两个相邻点间距离为427÷5=2027，原点在C 、D 之间，213＞413，因此原点靠近D 点，A 、B 、C 三点表示的数是负数，B 点表示的数是分数．解：D拓展研究一、正、负数应用在一些实际生产和生活的问题中，并没有出现常见的意义相反的量，而是把其中某一个量规定为“0”这个量作为正、负数的界限，解决问题时，要按题目的要求正确理解整数、负数所代表的实际的量的真正意义，把实际的量进行转化．例1 图中这个游戏叫做（井底之蛙），一个人或几个人玩，每人投一次骰子（可以是一粒或二粒），按点数井底之蛙开始往上爬，爬到哪一格，就按那一格的数字再往上升或往下降，只有升到井上或回到井底，才轮到第二个人．例如，投得3，往上爬三格，得“＋1”，再升一格，又得“－4”，降四格回到井底，于是轮到第二个人投骰子．现在轮到你投骰子，请你简要分析一下，如果你投到哪些数，就可以把青蛙送到井上，不再坐井观天．【思路点拨】读懂题意，将每个数按题意上升或下降这些格，看是否送到井上，是否仍回井底． 解：投到8~12时，可以把青蛙送到井上；投到1~7时，青蛙回到井底．【方法规律】理解正、负数的意义是解题的关键．二、有理数分类中0的位置0既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界，是唯一的中性数．例2 下列说法正确的有（ ）①一个有理数不是正数就是分数； ②一个有理数不是正数就是负数；③一个整数不是正数就是负数； ④一个分数不是正数就是负数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路点拨】一个有理数可能是正数、负数或0，整数也包括零，其中①④是正确的． 解：B【方法规律】在有关有理数概念的考察中，0最容易被忽视，要防止“一个有理数非正即负”和“一个整数非正即负”的错误出现．三、利用正、负数探究数字的排列规律例3 观察下列依次排列的两列数，它们的排列有什么规律？你能说出这两列数的第48个数，第101个数，第2019个数分别是什么吗？（1）－1，21，－3，41，－5，61，－7，81，…； （2）21，0，－21，0，21，0，－21，0，…． 【思路点拨】（1）这列数从数的性质看正、负交替出现，再考虑分子、分母的变化规律；（2）这列数是0、21交替出现，再考虑性质符号的变化规律． 解：（1）这列数的排列规律是：对于第n 个数，n 为奇数时，此数是－n ，n 为偶数时，此数是n 1，因此，第48个数为481，第101个数为－101，第2019个数为－2019． （2）这列数的排列规律是：21，0，－21，0，…，从前往后奇数位上数是21或－21，偶数位上是0，位数除4余1的是21，位数除4余3的是－21，所以，第48个数是0，第101个数是21，第2019个数是－21． 【方法规律】从数的性质和除性质外的数的大小两方面寻找规律．四、有理数分类中小数的划分例4 下列各数中，哪些是有理数，哪些不是有理数？722，－3.0 ，－31，0．121121112…，0．676767…，π，－π，0．4． 【思路点拨】722，－31是分数，－3.0 ，0．676767…是循环小数，可以化为分数，0．4是有限小数，也可以化为分数，所以都是有理数．0．121121112…，π，－π都是无限不循环小数，不能化为分数，所以不是有理数．解：有理数：722，－3.0 ，－31，0．676767…，0．4； 不是有理数：0．121121112…，π，－π．【方法规律】小数有三类：有限小数，无限循环小数和无限不循环小数，其中有限小数与无限小数都可以化为分数，故都是有理数，无限不循环小数不是有理数，分数可化为有限小数或无限循环小数．五、数轴上的数形结合例5 如图，数轴上有A 、B 、C 三个点，请回答下列问题：（1）将B 点在数轴上移动3个单位长度后，所表示的数是什么？（2）怎样在数轴上移点C ，使移动后的C 点（不与B 点重合）与A 点的距离等于B 点与A 点的距离？此时C 点表示的数是什么？【思维点拨】（1）B 点在数轴的移动可向正方向，也可向负方向，有两个结果；（2）A 、B 两点间的距离是2，C 点向左移动，可在A 点左边，也可在A 点右边距离为2，但A 点右边距离为2的点与B 点重合，应排除．解：（1）－5或1（2）将C 点向左移动9个单位长度，此时C 点表示的数是－6．【方法规律】到数轴上某点的距离为a （a ＞0）的点有两个，在该点左、右两边各有一个点．六、数轴的实际应用利用数轴解决实际问题的关键是把实际问题转化为数学模型，确定好原点、正方向和单位长度，将实际问题在数轴上表示出来，再根据要求求解．例5 某人从A 地向东走10米到达B 地，然后向西走4米到达C 地，又向东走7米到达D 地，问此人现在在A 地的哪个方向？距A 地多远？【思路点拨】本题可借助数轴来解决，按照此人行走的方向和距离找出他三次行走后的位置．解：设A 地是原点，向东为正方向，以1米为一个单位长度，由图可知D 在A 地的正东方向，距A 地13米．【方法规律】本题运用数形结合思想解决问题，根据已知条件画出一条数轴，在数轴上讲三次运动过程表示出来，便能顺利解决问题．实战演练A 链接中考1．孔子出生于公元前551年，如果用－551表示，那么下列中国历史文化名人的出生年代表示为：①司马迁出生于公元前145年：__________；②李白出生于公元701年：_______．2．林艳在东西向的路上，先向东走30米，又向西走30米，她一共走了______米，她最后的位置是在_________．3．已知在数轴上有A、B两点，点A、B之间的距离为1，点A与原点的距离为3，那么点B表示的数是__________．4．数轴上的点A、B位置如图所示，则线段AB的长度为_______．5．点A为数轴上距原点距离4个单位长度的点，A点表示的数是_______．6．下列各组量具有相反意义的是（）A．收入3000元与增加5000元 B．向东走5km与向南走3．5kmC．温度上升12℃与水位下降 D．七（5）班在比赛中胜3场与负3场7．下列说法中正确的有（）①小数都是有理数；②存在最小的自然数；③－0．001是分数，也是有理数A．0个 B．1个 C．2个 D．3个8．如图，数轴上的点A表示的数可能是（）A．2．4 B．－2．4 C．－1．6 D．－1．49．点A在数轴上表示－2的点所在的位置，当点A沿数轴移动5个单位长度到达点B时，点B表示的有理数是（）A．3 B．－7 C．3或－7 D．无法确定B 冲刺中考10．下列说法中，正确的个数有（）①0℃表示没有温度；②0是最小的整数；③0是偶数，也是自然数；④不带负号的数都是整数；⑤带负号的数不一定是负数A．0个 B．1个 C．2个 D．3个11.下列说法中错误的是( )A.正整数一定是自然数 B．自然数一定是正整数C．一个有理数不是整数就是分数 D．任何有理数都可以表示为分数12.下列说法正确的是( )A.规定了原点、正方向的直线是数轴 B．数轴上原点及原点右边的点表示的数是非正数C．有理数如11000-在数轴上无法表示 D．任何一个有理数都可以在数轴上找到13. 一次月考中，新欣所在班级平均分为95分，把高出平均分的部分记作正数，新欣105分，记为____，兰慧记-12分，她实际得分为分．14.下列四个判断中，错误的是( )A.存在着最小的自然数 B．存在最小的正有理数C．不存在最大的正有理数 D．不存在最大的负有理数15. -a 一定是( )A．正数 B．负数 C．正数或负数 D．正数或零或负数16.下列说法错误的是( )A.数轴上原点右边的点表示的数是正数 B．数轴上原点及原点左边的点表示的数是非正数C．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 D．数轴上距离原点3个单位长度的点所表示的数是3 17.已知数轴上的点A到原点的距离为2个单位长度，那么数轴上到点A的距离是3个单位长度的点所表示的数是( )A.5 B．±5 C．±1 D．±1或±518.若b为正数，利用“<“号连接a，a-b，a+b为____．19.写出5个数（不能重复），同时满足下列三个条件：①其中三个数是非正数；②其中三个数非负数；③五个数都是有理数，这五个数可以是．20．数轴上点A表示3，点B表示-4.5，点C表示-2，则点A和点B中，距离点C较远的点是___ _．21.点A在数轴上距原点3个单位长度，且位于原点的右侧，若将点A向左移动4个单位长度，此时点A 所表示的数是____，若点B表示的数是点A开始时所表示的数的相反数，作同样的移动以后，点B所表示的数是____．22.点A、B、C、D、E在数轴上的位置如图所示，其中，B、C、E分别为相邻整数点的中点，请回答下列问题：(1)点A、B、C、D、E各表示什么数？(2)点A、B之间的距离是多少？点B、E之间的距离是多少？(3)现在把数轴的原点取在点C处，其余都不变，那么点A、B、C、D、E又分别表示什么数？23.观察下列各数12345,,,,23456---，…(1)写出第10个数；(2)写出第2019个数．24.检修组乘汽车，沿公路检修线路，约定向东为正，向西为负，某天自A地出发，到收工时，行走记录为（单位：千米）：+8，-9，+4，+7，-2，-10，+18，-3，+7，+5(1)收工时在A地的哪边？距A地多少千米？(2)若每千米耗油0.4升，问从A地出发到收工时，共耗油多少升？25.如图，数轴上A、B两点对应的有理数都是整数，若A、B对应的有理数a、b满足b- 2a=5，那么请指出数轴上原点的位置．C决战中考26.将111111,,,,,,23456---…按一定规律排列如下：第1行 1第2行12-13第3行14-1516-第4行1718-19110-第5行111112-113114-115则第20行从左到右第10个数是 .27．在数轴任取一条长度为201913个单位长度的线段，则此线段在数轴上最多能盖住的整数点个数为( )A. 2019B.2019C.2019D.201928.小明家、学校、邮局、图书馆坐标落在一条东西走向的大街上，依次记为A、B、C、D，学校位于小明家西150米，邮局位于小明家东100米，图书馆位于小明家西400米．(1)用数轴表示A、B、C、D的位置（建议以小明家为原点）；(2)一天，小明从家里先去邮局寄信后，以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟，试问这时小明约在什么位置？距图书馆和学校各约多少米？29.如图，一条笔直的流水线上，依次有5个卡通人，它们站立的位置在数轴上依次用点M1、M2、M3、M4、M5表示．(1)点M2和M5所表示的有理数是什么？(2)点M1和M4之间的距离为多少？(3)怎样将点M3移动，使它先到达M2，再到达M5，请说明；(4)若原点是一休息游乐所，那么5个卡通人到游乐所休息的总路程为多少？2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC的长是( )A.4B.5C.6D.72．如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA3．如图，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝10cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，使点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G（图1），再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M（图2），则EM的长为（）A．165B．83C．85D．1034．下列各式因式分解正确的是( )A．a2+4ab+4b2=(a+4b)2B．2a2-4ab+9b2=(2a-3b)2C．3a2-12b2=3(a+4b)(a-4b) D．a(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b)5．方程的解是（）A. B. C. D.6．一次函数y1＝x＋1与y2＝－2x＋4图像交点的横坐标是（）A.4B.2C.1D.07．一组数据：201、200、199、202、200，分别减去200，得到另一组数据：1、0、﹣1、2、0，其中判断错误的是（）A．前一组数据的中位数是200B．前一组数据的众数是200C．后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去200D ．后一组数据的方差等于前一组数据的方差减去2008．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，以B 为圆心，AB 为半径作AC ，在扇形BAC 内作⊙O 与AB 、BC 、AC 都相切，则⊙O 的周长等于（ ）A ．49π B ．23π C ．43π D ．π9．如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，CB CD =，∠CAD ＝30°，∠ACD ＝50°，则∠ADB ＝（ ）A ．30°B ．50°C ．70°D ．80°10．在算式2009201020112012⨯⨯⨯中，你估计哪一个因数值减小1导致乘积减小最大？( )A ．2009B ．2010C ．2011D ．201211．如图，在Rt △ABC 中，已知∠ACB ＝90°，BC ＝3，AB ＝5，扇形CBD 的圆心角为60°，点E 为CD 上一动点，P 为AE 的中点，当点E 从点C 运动至点D ，则点P 的运动路径长是 ( )A ．2πB ．6πC ．πD ．3212．已知点A （t ，y 1），B （t+2，y 2）在抛物线212y x =的图象上，且﹣2≤t≤2，则线段AB 长的最大值、最小值分别是（ ）A ．25，2B ．25，22C ．210，2D ．210，22二、填空题 13．据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为_______。
2019年中考数学复习讲义：专题(五)有理数的乘方
专题五 有理数的乘方要点归纳1．乘方:一般地，n 个相同的因数a 相乘，即an a a a a 个∙∙∙∙，记作 ，读作“a 的n 次方”，a 叫做 ，n 叫做 ; 求n 个相同因数的积的运算，叫做 ，乘方的结果叫做 ，按照结果也可读作a 的n 次幂．2．乘方的性质:负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ，正数的任何次幂都是 ，0的任何正整数次幂都是 ． 3．科学记数法:把一个大于10的数写成 的形式(其中a 大于或等于1且小于10,n 为正整数)，就是科学记数法，用科学记数法表示一个n 倍整数，其中10的指数是(n-1) ．4．近似数:一个近似数， 到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，近似数就是接近于实际数，但与实际数还有差别的数．5．有理数的混合运算的运算顺序:先 ，再 ，最后 ，如果有括号，就先算括号里面的． 典例讲解 经典再现一、乘方的意义如n a 中n 叫指数，a 叫底数，n a 叫幂，表示n 个a 相乘． 例1()56-表示( )A. -6与5的积B. 6与5的积C. 5个-6的积D. 5个-6的和 【思路点拨】正确理解乘方的意义，()56-表示5个-6的积．解:C例2下列对于65-的叙述正确的是( )A.读作-5的6次幂B.底数是-5，指数是6C.表示6个5相乘的积的相反数D.表示6个-5的积 解:C【方法规律】65-与()65-有区别．例3 ()20151--的结果是( )A. 1B.-1C. 2019D.-2019 【思路点拨】()20151--表示(-1)的2019次方的相反数．解:A二、乘方的运算有理数乘方的运算有以下两种:①根据乘方的意义，先把乘方转化成乘法，再利用乘法的运算法则进行计算，②先确定幂的符号，再求幂的绝对值． 例4计算:()()()()()；；；；4344333-23-13344-⎪⎭⎫⎝⎛-（5）()20161-； （6）3112⎛⎫ ⎪⎝⎭； （7）()2323-⨯-； （8）()30.3-.【思路点拨】找准乘方运算时的底数，确定结果的符号，再计算绝对值，底数是带分数的，先要化成假分数，再作乘方运算.解：（1）()()()()()43333381-=-⨯-⨯-⨯-=； （2）43333381-=-⨯⨯⨯=-；（3）3333327444464⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（4）3333327444⨯⨯-=-=-； （5）()()()()()20162016-111111-=---=个；（6）3333133271===2282⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（7）()23238972-⨯-=-⨯=-；（8）()()()()30.30.30.30.30.027-=-⨯-⨯-=-.【方法规律】()23-与43-的底数不同；334⎛⎫- ⎪⎝⎭与334-的意义不同，计算时容易出现混淆.例5、 ()()()22232223334,4,3,3,,,442⎛⎫------- ⎪⎝⎭中，负数有_________个.【思路点拨】根据乘方的性质，正确判断出结果的符号. 解：3【方法规律】①正数的任何次幂都是正数；②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；③0的任何正数次幂都是0；1的任何次幂都是1；1-的任何奇次幂是1-，任何偶次幂为1；a 的任何偶次幂是非负数.即20a ≥（或20na≥）三、科学记数法把一个数写成10na ⨯的形式时，若这个数是大于10的数，则n 比这个数的整数位数少1，而a 的整数数位只能有一位，即110a ≤<；小于10-的数也可以用科学记数法表示，其方法是先用科学记数法表示出它的相反数，再在结果前加“-”号.例6、据统计，我国2019年全年完成造林面积约6090000公顷，6090000用科学记数法可表示为（ ）. A. 66.0910⨯ B. 46.0910⨯ C. 46.0910⨯ D. 56.0910⨯ 【思路点拨】609000010na =⨯， 6.09a =，n 比整数为少1. 解：A例7、（2019.成都）正在建设的成都第二绕城高速全长超过220公里，串起了成都市二、三圈层以及周边的广汉、简阳等地，总投资达290亿元，用科学记数法表示290亿元应为（ ）A.829010⨯元B.929010⨯元C.102.9010⨯元D.112.9010⨯元 【思路点拨】290亿元=829010⨯元，再改成科学记数法表示. 解：C四、求科学记数法表示数的原数用科学记数法表示为10n a ⨯的数，其原数等于把a 的小数点向右移动n 位后得到的数，若向右移动位数不够时，应用0补上.例8、下列求原数不正确的是（ ）A.44.371043700⨯=B.64.37104370000-⨯=- C.32102000⨯= D.531030000⨯= 【思路点拨】D 选项中，“3”后面应补上5个0. 解：D例9、用科学记数法表示的数13.1410n +⨯，其原数的整数位数有（ ）A. ()1n -位B. n 位C. ()1n +位D. ()2n +位 【思路点拨】原数的整数位数是()11n ++. 解：D五、用四舍五入法取近似值取近似值的方法有：四舍五入法、去尾法、进一法，通常情况下，取近似数用四舍五入法，用四舍五入法取近似值时，根据要求精确到的数位，往后多看一位，且只能看一位，四舍五入. 例10、用四舍五入法对下列各数取近似数.(1)0.5730(精确到百分位)； （2）0.04977（精确到0.001）； （3）2.5948（保留两位小数）； （4）5.649（精确到0.1）【思路点拨】根据精确度进行四舍五入.（1）中的千分位上为3，应舍去；（2）中精确到千分位，万分位上为7，应向前一位进1；（3）中小数点后算3位上的数为4，应舍去；（4）中精确到0.1，即精确到十分位，百分位是4，应舍去.解：（1）0.57300.57≈；（2）0.049770.050≈；（3）2.5948 2.59≈；（4）5.649 5.6≈.【方法规律】（3）的结果为0.050，最末一位上的“0”不能省掉；（4）小题中，只能看到数字“4”位上，不能最末一位“9”向前一位入. 六、有理数的混合运算有理数的混合运算的顺序：先乘方（三级运算），再乘除（二级运算），最后加减（一级运算），有括号的先算括号里的，按小括号、中括号、大括号依次进行；同级运算从左至右的顺序计算.例11.计算：（1）()()()24201631143622213213⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⨯-+-÷-+⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）2222112111113232332-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+⨯÷--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【思路点拨】按混合计算的顺序进行. 解：（1）原式=()()10013410011168212221112199213999⎡⎤⎡⎤⎛⎫-⨯+÷-+⨯=-+-+⨯=-⨯= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭. （2）原式=1141211132351315511222949233236926363636--+⨯÷-+=+⨯-=+-=-. 【方法规律】在做有理数混合运算时，以加减为分界线，分成几个部分，各部分分别计算. 拓展探究一、有理数的简便运算乘方是特殊的乘法，乘法的运算律可简化运算，nnn an ba b a aa b bb =个个()()()()()nn ab a b a b a b ab ==个.例1、计算：()20172016122⎛⎫-- ⎪⎝⎭【思路点拨】指数较大时，无法直接进行计算，两底数()2-、12⎛⎫- ⎪⎝⎭互为倒数，可结合乘方的意义和性质进行简便运算. 解：()()()()()201720162016212016211111222222222-⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-⨯-⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭个个 ()20161111212222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【方法规律】指数较大时，无法直接进行计算，这种情况下要利用乘方的意义和性质进行简便运算. 例2、求220161333++++的值.【思路点拨】幂指数较大，参加运算的数较多，无法直接进行计算，对于这样的式子要先对其进行化简，互相抵消一些项再进行计算. 解：设220161333S =++++①，则23201733333S =++++②，②－①，得2017231S =-，所以2017312S -=.【方法规律】本题使用的简便运算是错位相消，类似的像求21222n ++++、21555n ++++的题型都可以用这种方法来求. 例3、为了求2311112222n ++++的值（结果用含n 的式子表示），设计了如图所示的图形： （1）请你利用①图求2311112222n ++++的值； （2）请你利用②图再设计一个求2311112222n++++的值的几何图形. 解：（1）由①图可知2311111122222n n ++++=-； （2）由设计的几何图形如图②所示.【方法规律】本题体现了数形结合思想，利用图形面积之间的关系求式子的值，由①图可知：11122=-，221111222=--，323111112222=---，…，易得：2111112222n n++=-. 二、运用乘方解决实际问题遇到利用有理数乘方解决实际问题这类题目时，可以从特殊情形入手，逐步分析、归纳、找出其变化规律.例4你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根面条，每捏合一次，拉面的根数就扩大一倍，如图所示.（1）第四次捏合后拉成的面条是多少根？ （2）捏合到第几次后可拉成128根面条？【思路点拨】第一次捏合后拉成的面条是12根，第二次捏合后拉成的面条是22根，第三次捏合后拉成的面条是32根，…，第n 次捏合后拉成的面条是2n 根. 解：（1）4216=（根）；（2）设x 次后可拉成128根面条，则2128x=.∵72128=，∴7x =.即第四次捏合后拉成的面条是16根，捏合到第7次后可拉成128根面条. 三、有理数的偶次幂的非负性形如：2a 、2n a （n 为正整数，a 为有理数），220,0na a≥≥.例4、已知()22360x y y -+-=，求yx .【思路点拨】2,a a 都具有非负性，两个非负数相加和为0，则每一个都等于0. 解：因为()220,360x y y -≥-≥，而()22360x y y -+-=，所以()220,360x y y -=-=，即2,4y x ==，所以2416y x ==.四、科学记数法的应用例5、（1）计算：()()24210310⨯⨯⨯；()()47210410⨯⨯⨯；()()1714510710⨯⨯⨯；（2）已知式子()()101010m n p a b c ⨯⨯⨯=⨯（其中a 、b 、c 均为大于或等于1且小于10的数，m 、n 、p 均为正整数）成立，请说出m 、n 、p 之间存在的等量关系. 【思路点拨】()()()101010mnm na b a b +⨯⨯⨯=⨯⨯，结果也应该用科学记数法来表示.解：（1）()()246210310610⨯⨯⨯=⨯；()()4711210410810⨯⨯⨯=⨯；()()171432510710 3.510⨯⨯⨯=⨯；（2）当10ab <时，m n p +=；当10ab ≥时，1m n p ++=.【方法规律】()()101010mnm na b ab +⨯⨯⨯=⨯，当10ab <，用科学记数法表示为10m n ab +⨯；当10ab ≥时，用科学记数法表示为11010m n ab++⨯.五、用科学记数法表示绝对值大于10的数 把数写成科学记数法的形式，一般有两种方法：①在110a ≤<时，把已知数的小数点向左移动几位，就乘以10的几次方； ②观察已知数的整数部分的位数，整数部分位数减去1，就等于10的指数n . 例6、用科学记数法表示下列各数：（1）3000000；（2）－4800000；（3）－2545.4；（4）504万.【思路点拨】根据科学记数法的意义，要表示成10na ⨯的形式，关键在于确定a 和n ，要求a 必须满足条件110a ≤<，n 比原整数位数少1.解：（1）63000000310=⨯；（2）64800000 4.810-=-⨯；（3）32545.4 2.545410-=-⨯； （4）6504=5040000=5.0410⨯万 六、由近似数确定准确值的范围例7、近似数1.80所表示的准确数x 的取值范围是（ ）A.1.795 1.805x ≤<B.1.75 1.85x ≤<C.1.8 1.85x ≤<D.1.795 1.805x ≤≤【思路点拨】近似数1.80精确到百分位，应由千分位上的数字四舍五入得到，故当百分位上的数为9时，千分位上的数应不小于5；当百分位上的数为0时，千分位上的数应小于5. 解：A【方法规律】由近似数确定准确值的范围时，值需要在近似数的最后一位之后再取一位，数值记为0，再在这一位上加减5即可，如 1.80a ≈，可取1.800，用1.800－0.005=1.795，1.800+0.005=1.805，还要注意“舍小不含大”，即1.795 1.805x ≤<. 七、取近似数都是“四舍五入”吗？取近似值常用的是“四舍五入法”，但在实际问题中就不一定都是“四舍五入”，有时还要用“去尾法”和“进一法”.例8、每个工人每天可加工4个某种零件，现需13个这种零件，要在1天内加工出来，至少需_________个工人才能完成.【思路点拨】本题中所求近似数为人数的近似数，应用“进一法”，否则不能完成任务. 解：4【方法规律】“进一法”是把某一个数保留到某一指定的数位时，只要后面的数不是0，都要在保留的最后一位数上加1.例9、要用50cm 的圆钢截成了3厘米长的一段做零件，最多可以截几段（不计损耗）？ 解：50÷3=16.7，最多可以截16段.【方法规律】“去尾法”是把某一个数保留到某一指定的数位为止，后面的数全部舍去. 实战演练A 链接中考1.对于()22-与22-，下列说法正确的是（ ）A.读法相同，底数不同，结果不同B. 读法相同，底数相同，结果相同C. 读法不同，底数相同，结果相同D. 读法不同，底数不同，结果不同 2.下列各组数中，互为相反数的是（ ）A.43-与()43-- B.()32-与32- C.()42-与42- D.60.5-与()60.5-3.若a ，b 互为相反数（0a ≠，0b ≠），n 是正整数，则（ ） A. 2na 和2nb互为相反数 B. 21n a-与21n b -互为相反数C. na 和nb 互为相反数 D. 1n a-与1n b-互为相反数4.算式11115555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可表示为（ ）A.415⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.145⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭ C. 415⎛⎫- ⎪⎝⎭D.以上答案均不对5.n 是一个正整数，则10n表示的是（ ）A.10个n 相乘所得的结果B.n 个10相乘所得的结果C.10后面有n 个0的数D.是一个n 位整数 6.任何一个有理数的偶数次幂（ ）A.一定是正数B.一定是负数C.一定不是负数D.一定大于它的绝对值 7.下列各式计算正确的是（ ）A. 322610660--⨯=-⨯=-B. 215125⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭C. 2352312595⎛⎫⎛⎫÷÷= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. ()2423144-⨯-=-8.中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一，若每人每天浪费水0.32L ，那么100万人每天浪费的水，用科学记数法表示为( )．A ．3.2×107LB ．3.2×106LC ．3.2×105LD ．3.2×104L 9．关于近似数1.6万，下列说法中正确的是( )．A ．精确到十分位B ．精确到万位C ．精确到千位D ．精确到个位 10．用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似数，其中错误的是( )．A ．0.1(精确到0.1)B ．0.05(精确到百分位)C ．0.05(精确到千分位)D ．0.050(精确到0.001)11．如果把一个面团拉开然后对折，再拉开再对折，如此往复下去，对折10次拉出的面条根数是( )．A ．20B ．10C ．102D ．21012．计算：①225⎛⎫- ⎪⎝⎭＝＿＿＿；②225⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝＿＿＿＿；③(－3)3＝＿＿＿；④－(－3)3＝＿＿＿＿．13．有理数a 、b 满足231(2)0a b -+-=，则b a ＝＿＿＿．14．一个数的平方等于它本身的数是＿＿＿＿，一个数的立方等于它本身的数是＿＿＿＿． 15．计算：21(2)-+-＝＿＿＿＿；－24＋(3－4)5＝＿＿＿；2141425⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝＿＿＿＿；()2323--⨯÷-＝＿＿＿＿＿． 16．2019年3月中旬的某一天有超过190000的游人前往武汉大学观赏樱花，其中数字190000用科学记数法表示为＿＿＿＿人．17．把47155精确到百位可表示为＿＿＿＿＿． 18．按要求求下列各数的近似数：(1)0.00356(精确到万分位)； (2)7.6278×108(精确到百万位)；(3)2.715万(精确到百位)； (4)2.9963×1010(精确到亿位)．19．计算：(1)()2224(3)2--⨯-⨯⎡--⎤⎣⎦ ；(2)29112(0.25)(5)(1)24---+-÷-；(3)(－2×3)2＋(－2×32)－62；(4)330(25991)(0.2)12.54⨯---⨯+．B 冲刺中考20．下列式子正确的是( )．A ．－24＜(－2)2＜(－2)3B ．(－2)3＜－24＜(－2)2C ．－24＜(－2)3＜(－2)2D ．(－2)3＜(－2)2＜－2421．若n a ＞0，n 为正奇数，则a( )．A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可正可负D ．以上都不对22．若a ＜0，－1＜b ＜0，则a 、ab 、ab 2按从小到大的顺序排列为( )．A ．a ＜ab ＜ab 2B ．ab 2＜a ＜abC ．ab ＜ab 2＜aD ．a ＜ab 2＜ab23．地球绕太阳转动每小时通过的路程约是1.1×105千米，用科学记数法表示地球转动一天(24小时)通过的路程约是( )．A ．0.264×107千米B ．2.64×106千米C ．26.4×105千米D ．264×104千米 24．下列说法正确的是( )．A ．近似数32与32.0的精确度相同B ．近似数3.2万与3.2×104精确度相同 C ．近似数5万与近似数5000的精确度相同 D ．近似数3.210是精确到百分位 25．近似数6.0的准确值a 的取值范围是( )．A ．5.5＜a ＜6.4B ．5.95≤a≤6.05C ．5.95≤a＜6.05D ．5.95＜a ＜6.05 26．由四舍五入法得到的近似数a≈2.1，b≈2.10，那么a 、b 的关系是( )． A ．a ＝b B ．a ＞b C ．a ＜b D ．以上情况都有可能27．下列结论：(1)a 2＞0；(2)(－a)4＝a 4；(3)(－a) 5＝a 5；(4)(a ＋2)2＞0；(5)(a －1)2＋2＞0；(6)(－2)m＞0，则(－1)m＝1；(7)若(－2)m＜0，则(－1)m＝－1；(8)若0＜a ＜1，则a 2＜a ；(9)21223a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最小值为23；(10)7－(a －3)2的最大值为7，其中正确的个数为( )． A ．7 B ．8 C ．9 D ．1028．观察下列算式并总结规律：31＝3，32＝9；33＝27；34＝81；55＝243；36＝729；37＝2187，…，用你发现的规律写出3999的末尾数字是( )．A ．1B ．3C ．9D ．7 29．在以下的各数中，最大的为＿＿＿，最小的为＿＿＿(填序号)． ①－3.141 ②－π ③－3.1 ④－3.1430．已知24(2)0a b ++-=，求(a×b )2的值．31．已知21(2)0a b ++-=，求(a ＋b)2019＋a2019的值．32．探索规律：观察由※组成的图案和算式，请猜想：1＋3＝4＝22；1＋3＋5＝9＝32；1＋3＋5＋7＝16＝42；1＋3＋5＋7＋9＝25＝52；(1)1＋3＋5＋7＋…＋19＝＿＿＿；(2)请猜想：1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)等于多少？(用含n 的式子表示)33．计算：(1)3221(2)(3)(4)2(3)()2⎡⎤-+-⨯----÷-⎣⎦；(2)()22015201511110.2543553⎛⎫⎛⎫-⨯÷-+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(3)223261(3)0.223(1)254-⎡⎤⎡⎤--++-⨯-÷⎣⎦⎢⎥⎣⎦； (4)2223333(2) 1.2512( 1.25)32248⎡⎤⎛⎫-÷-+-⨯+÷÷⨯--⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．34．在－2.2，－2.02，－2.002，－2.0202，－2.00202中最大的数除以最小的数的商为x ，求：591()10x ⎡⎤÷-⎢⎥⎣⎦的值，并且科学法表示出它的结果．35．向月球发射无线电波，无线电波到月球并返回地面需2.575s ，已知无线电波每秒传播3×105km ，求地球和月球之间的距离大约是多少千米(精确到千位)．C 决战中考36．观察下列三行数：①－2，4，－8，16，－32，64，…； ②0，6，－6，18，－30，66，…； ③－1，2，－4，8，－16，32，…． (1)第①行数是按什么规律排列的？(2)第②、③行数与第①行数分别有什么关系？ (3)取每行数的第10个数，计算这个3个数的和．37．我国著名数学家华罗庚曾经说过这样一句话：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如图的大正方形，逐次割成面积为12，14，18，116，132，…．请用结合的思想计算：(1)111124816+++＝＿＿＿＿＿； (2) 11111111248163264128256+++++++＝＿＿＿＿； (3) 11111248162n ++++⋅⋅⋅+＝＿＿＿＿．38．观察下列各式：13＝1＝221124⨯⨯，13＋23＝9＝221234⨯⨯；13＋23＋33＝36＝221344⨯⨯，13＋23＋33＋43＝100＝221454⨯⨯，…，回答下列问题：(1)猜想13＋23＋33＋…＋(n －1)3＋n 3＝＿＿＿(直接写出你的结果)；(2)利用你得到的(1)中的结论计算：13＋23＋33＋…＋993＋1003的值；(3)计算：①113＋123＋…＋993＋1003的值；②23＋43＋63＋…＋983＋1003的值．(温馨提示：(2a)3＝23×a 3＝8a 3)．39．观察下列式子：第一个等式a 1＝223111221222=-⨯⨯⨯⨯； 第二个等式a 2＝2233112322232=-⨯⨯⨯⨯； 第三个等式a 3＝2343113423242=-⨯⨯⨯⨯； 第四个等式a 4＝2453114524252=-⨯⨯⨯⨯； 按上述规律，回答下列问题：(1)用含n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝＿＿＿＝＿＿＿＿； (2)式子a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20＝＿＿＿＿．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图①，将某四边形纸片ABCD的AB沿BC方向折过去（其中AB＜BC），使得点A落在BC上，展开后出现折线BD，如图②．将点B折向D，使得B，D两点重叠，如图③，展开后出现折线CE，如图④．根据图④，下列关系正确的是（）A．AD∥BC B．AB∥CD C．∠ADB＝∠BDC D．∠ADB＞∠BDC2．如图，在△ABC中，∠B的平分线为BD，DE∥AB交BC于点E，若AB＝9，BC＝6，则CE长为（）A.185B.165C.145D.1253．如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AC=4,AB∥CD,DH垂直平分AC,点H为垂足,设AB=x,AD=y,则y关于x 的函数关系用图象大致可以表示为 ( )A. B. C. D.4．长为10米的木杆斜靠在墙壁上，且与地面的夹角∠OBA＝60°，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆AB的中点P也随之下落，则点P下落的路线及路线长为（）A.线段，5B.线段，C.以点O为圆心，以AB为半径的一段弧，弧长为D.以点O为圆心，以OP为半径的一段弧，弧长为5．在“大家跳起来”的乡村学校舞蹈比赛中，某校10名学生参赛成绩统计如图所示。
河北省2019届中考数学系统复习第三单元函数第9讲函数的基础知识课件
2019/7/13
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谢谢欣赏！
2019/7/13
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Hale Waihona Puke 编后语 做笔记不是要将所有东西都写下，我们需要的只是“详略得当“的笔记。做笔记究竟应该完整到什么程度，才能算详略得当呢？对此很难作出简单回答。 课堂笔记，最祥可逐字逐句，有言必录；最略则廖廖数笔，提纲挈领。做笔记的详略要依下面这些条件而定。
讲课内容——对实际材料的讲解课可能需要做大量的笔记。 最讲授的主题是否熟悉——越不熟悉的学科，笔记就越需要完整。 所讲授的知识材料在教科书或别的书刊上是否能够很容易看到——如果很难从别的来源得到这些知识，那么就必须做完整的笔记。 有的同学一味追求课堂笔记做得“漂亮”，把主要精力放在做笔记上，常常为看不清黑板上一个字或一句话，不断向四周同学询问。特意把笔记做得很
全的人，主要是担心漏掉重要内容,影响以后的复习与思考.，这样不仅失去了做笔记的意义，也将课堂“听”与“记”的关系本末倒置了﹙太忙于记录， 便无暇紧跟老师的思路﹚。 如果只是零星记下一些突出的短语或使你感兴趣的内容，那你的笔记就可能显得有些凌乱。 做提纲式笔记因不是自始至终全都埋头做笔记，故可在听课时把时间更多地用于理解所听到的内容.事实上，理解正是做好提纲式笔记的关键。 课堂笔记要注意这五种方法：一是简明扼要，纲目清楚，首先要记下所讲章节的标题、副标题，按要点进行分段；二是要选择笔记语句，利用短语、数 字、图表、缩写或符号进行速记；三是英语、语文课的重点词汇、句型可直接记在书页边，这样便于复习时查找﹙当然也可以记在笔记本上，前提是你 能听懂﹚；四是数理化生等，主要记老师解题的新思路、补充的定义、定理、公式及例题；五是政治、历史等，着重记下老师对问题的综合阐述。
(河北专版)2019年中考数学一轮复习第三章函数3.1函数及其图象(讲解部分)素材(pdf)
考点二㊀ 函数及其图象
若点 Ｐ（ ｘ，ｙ） 的坐标适合函数解析式，则点Ｐ（ ｘ，ｙ） 在其图象上；若点 Ｐ（ ｘ，ｙ） 的坐标不适合函数解析式，则点Ｐ（ ｘ，ｙ） 不在其图象上．
４． 已知函数解析式，判断点 Ｐ（ ｘ，ｙ） 是否在函数图象上的方法：
中点 Ｃ 的坐标． 于 Ｅ，
在平面直角坐标系中，已知 Ａ （ ａ， ｂ ） ㊁ Ｂ （ ｃ， ｄ ） ， 试求线段 ＡＢ
本为 １ 万元．
解析㊀ （１） 点 Ａ 表示公交公司的该条公交线路的运营成
㊀ ㊀ 对已知的函数图象，要弄清楚函数图象上点的意义， 对于实 际问题，要清楚图象的横㊁纵坐标表示的意义， 以及横㊁ 纵坐标的 格为 ５ 元 ／ 千克，如果一次购买 ２ 千克以上的种子，超过 ２ 千克部 分的种子的价格打 ６ 折，设购买种子数量为 ｘ 千克， 付款金额为 ｙ 元，则 ｙ 与 ｘ 的函数关系的图象大致是 （㊀ ㊀ ） 例 ２㊀ （ ２０１４ 广西南宁，９，３ 分 ） 黄金 １ 号 玉米种子的价
例 ３㊀ （ ２０１７ 重庆 Ａ 卷， １７， ４ 分 ） Ａ㊁ Ｂ 两地之间的路程为
高票价才能扭亏．
图㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ，反映公交公司意见的是图㊀ ㊀ ㊀ ㊀ ． 数关系的大致图象．
（２） 你认 为 图 ② 和 图 ③ 两 个 图 象 中， 反 映 乘 客 意 见 的 是 （３） 如果公交公司采用适当提高票价，同时采用减少成本的
解析㊀ 在下图中，过 Ａ 作 ＡＤʅｘ 轴于 Ｄ，过 Ｂ 作 ＢＥʅｘ 轴
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石家庄2019年中考数学复习指南
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【数学】
分为代数、几何两个部分。
代数内容有一元二次方程、函数及其图象，统计初步三章;几何内容有解直角三角形和圆两章。
初三数学的学习，是以前两年数学学习为基础的，是对已学知识的加深、拓宽、综合与延续，是学习的重点，也是考查的重点。
为了学好初三数学，不妨从以下几个方面给予重视：
狠抓“双基”训练。
“双基”即基础知识与基本技能。
基础知识是指数学概念、定理、法则、公式以及各种知识之间的内在联系;基本技能是一种较稳定的心理因素，是一种已经程式化了的动作，初中数学基本技能包括运算技能、画图技能、运用数字语
言的技能、推理论证的技能等。
只有扎实地掌握“双基”，才能灵活应用、深入探索，不断创新。
注意前后联系。
初三数学是以前两年的学习内容为基础的，可以用来复习、巩固相关的内容，同时新知识的学习常常由旧知识引入或要用到前面所学过的内容，甚至是已有知识的综合、提高与延续。
因此在学习中，要注意前后知识的联系，以便达到巩固与提高的目的。
重视归纳梳理。
初三数学各章内容丰富、综合性强，学习过程中要及时进行归纳梳理，以便于对知识深入理解，系统掌握，灵活运用。
要学会从横向、纵向两方面归纳梳理知识。
纵向主要是按照知识的来龙去脉进行总结归纳，如学完函数，可按正比例函数，一次函数、二次函数、反比例函数来归纳知识。
横向是平行的、相关的知识的整合，通过对比指出其区别与联系，如学完二次函数之后，可把二
次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0之间的联系进行归纳，这样既可以巩固新、旧知识，更可以提高综合运用知识的能力，收到事半功倍的效果。
掌握基本模型，找出本质属性。
中学的“数学模型”常常是指反映数学知识规律的结论和基本几何图形。
初中代数中，运算法则、性质、公式、方程、函数解析式等均是代数的模型;平面几何中，各类知识中的基本图形均是几何模型。
通过对这些基本模型的研究，能够更好地掌握知识的本质属性，沟通知识间的联系。
重要的公式、定理是知识系统的主干，我们不仅要知其内容，还应该搞清其来龙去脉，理解其本质。
如一元二次方程的求根公式的推导，不仅体现方法，而且由此公式可得出两根与系数的关系，还可类似地推出二次函数的顶点坐标公式，所以一定要掌握推导过程。
再如，相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理尽管形式上
不尽相同，但是它们之间都有着某种内在联系。
联系1：由两条弦的交点运动及割线的运动将四条定理结论统一到PA·PB=PC·PD上来;
联系2：结论形式上的统一：PA·PB=22OPR-。
所以也把相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为“圆幂定理”，这也是几何的一个基本模型。
掌握数学思想方法。
数学思想方法是解决数学问题的灵魂，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、技能的关键。
在解数学综合题时，尤其需要用数学思想方法来统帅，去探求解题思路，优化解题过程，验证所得结论。
在初三这一年的数学学习中，常用的数学方法有：消元法、换元法、配方法、待定系数法、反证法、作图法等;常用的数学思想有：转化思想，函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想。
转化思想就是把待解决或难解决的问题，通过某种转化手段，使它转化成已经解决或比较容易解决的问题，从而求得原问题的解答。
转化思想是一种最基本的数学思想，如在运用换元法解方程时，就是通过“换元”这个手段，把分式方程转化为整式方程，把高次方程转化为低次方程，总之把结构复杂的方程化为结构简单的方程。
学习和掌握转化思想有利于我们从更高的层次去揭示、把握数学知识、方法之间的内在联系，树立辩证的观点，提高分析问题和解决问题的能力。
函数思想就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，用函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题得到解决。
方程思想，就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与未知量的数量关系，转化为方程或方程组，然后利用方程的理论和方法，使问题得到解决。
方程思想在解题中有着广泛的应用，解题时要善于从
题目中挖掘等量关系，能够根据题目的特点选择恰当的未知数，正确列出方程或方程组。
数形结合思想就是把问题中的数量关系和几何图形结合起来，使“数”与“形”相互转化，达到抽象思维与形象思维的结合，从而使问题得以化难为易。
具体来说，就是把数量关系的问题，转化为图形问题，利用图形的性质得出结论，再回到数量关系上对问题做出回答;反过来，把图形问题转化成一个数量关系问题，经过计算或推论得出结论再回到图形上对问题做出回答，这是解决数学问题常用的一种方法。
分类讨论思想是根据所研究对象的差异，将其划分成不同的种类，分别加以研究，从而分解矛盾，化整为零，化一般为特殊，变抽象为具体，然后再一一加以解决。
分类依赖于标准的确定，不同的标准会有不同的分类方式。
总之，数学思想方法是分析解决数学问题的灵魂，也是训练提高数学能力的关键，更是由知识型学习转向能力型学习的标志。
提高数学能力。
数学能力的提高，是我们数学学习的主要目的，能力培养是目前中学数学教育中倍受关注的问题，因此能力评价也就成为数学考查中的热点。
熟练准确的计算能力
数式运算、方程的解法、几何量的计算，这些都是初中数学重点解决的问题，应该做到准确迅速。
严密有序的分析、推理能力
推理、论证体现的是逻辑思维能力，几何问题较多。
提高这一能力，应从以下几个方面着手：
认清问题中的条件、结论，特别要注意隐含条件;
能正确地画出图形;
论证要做到步步有依据;
学会执果索因的分析方法。
直观形象的数形结合能力
“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，研究数学问题时，一定要学会利用数形结合的数学思想方法。
快速高效的阅读能力
初三数学中可阅读的内容很多，平时学习中要尽可能多地去读书，通过课内、外的阅读，既可以提高兴趣、帮助理解，同时也培养了阅读能力。
如果不注意提高阅读能力，那么应对阅读量较大的考题或热点阅读理解型题目就会有些力不从心了。
观察、发现、创新的探索能力
数学教育和素质教育所提倡的“过程教学”中的“过程”指的是数学概念、公式、定理、法则的提出过程、知识的形成发展过程、解题思路的探索过程、解题方法和规律的概括过程。
只有在平时的学习中注意了这些“过程”才能提高自己独立解决问题、自主获取知识，不断探索创新的能力。
注重实际应用。
利用所学数学知识去探求新知识领域，去研究解决实际问题是数学学习的归宿。
加强数学与实际的联系是素质教育的要求。
解应用问题的关键是转化，
即将实际应用问题转化成数学模型，再利用数学知识去解决问题，从而不断提高自己用数学的意识解决实际问题的能力。
最后要强调的是：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式。
我们应该在这样的学习过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
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