等比数列的性质
等比数列的性质总结
等比数列的性质总结1. 定义等比数列是指一个数列中每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列。
常数称为等比数列的公比。
等比数列通常用$a$表示首项，$q$表示公比。
2. 性质2.1 前项与后项的比在等比数列中，任意一项与其后一项的比等于公比$q$。
即对于数列中的第$n$项和第$n+1$项，有以下关系：$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$$2.2 通项公式等比数列的通项公式可以通过求解递推关系推导得到。
假设等比数列的首项为$a$，公比为$q$，则第$n$项为：$$a_n = a \cdot q^{n-1}$$2.3 任意项与首项的比在等比数列中，任意项与首项的比等于公比的$n-1$次方。
即对于数列中的第$n$项和第1项，有以下关系：$$\frac{a_n}{a} = q^{n-1}$$2.4 前$n$项和公式等比数列前$n$项和可通过求解部分和公式得到。
假设等比数列的首项为$a$，公比为$q$，则前$n$项和为：$$S_n = \frac{a(1 - q^n)}{1 - q}$$2.5 无穷项和当公比$|q| < 1$时，等比数列的无穷项和存在并为有限数。
无穷项和的计算公式为：$$S_{\infty} = \frac{a}{1 - q}$$3. 应用及例题等比数列的性质在数学问题的解答中具有广泛应用。
需要求解等比数列中的未知项、前$n$项和及判断等。
例题1：在等比数列$1, 2, 4, 8, \ldots$中，第7项的值是多少？在等比数列$1, 2, 4, 8, \ldots$中，第7项的值是多少？解答：根据等比数列的通项公式$a_n = a \cdot q^{n-1}$，首项$a=1$，公比$q=2$，第7项可以通过代入公式计算得到：根据等比数列的通项公式$a_n = a \cdot q^{n-1}$，首项$a=1$，公比$q=2$，第7项可以通过代入公式计算得到：$$a_7 = 1 \cdot 2^{7-1} = 64$$因此，等比数列中第7项的值为64。
等比数列的性质与公式
等比数列的性质与公式数列是数学中常见的一种序列，根据元素之间的规律可以分为等差数列和等比数列等。
在本文中，我们将重点讨论等比数列的性质与公式。
一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，则数列的通项公式为：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中aₙ表示第n项的值。
二、等比数列的性质1. 公比的性质公比为r的等比数列中，如果r>1，则数列是递增的；如果0<r<1，则数列是递减的；如果r=1，则数列是恒定的。
2. 通项公式等比数列的通项公式为aₙ = a₁ * r^(n-1)，通过该公式可以求出任意项的值。
3. 首项、公比与项数的关系根据等比数列的通项公式aₙ = a₁ * r^(n-1)，我们可以得到首项、公比和项数之间的关系：aₙ = a₁ * r^(n-1)a₂ = a₁ * rr = a₂ / a₁a₃ = a₁ * r^2...即等比数列的第n项等于首项乘以公比的n-1次方。
4. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和记为Sₙ，可以通过以下公式计算：Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)其中n表示项数。
三、等比数列的常见问题1. 求等比数列中某一项的值如果已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，我们可以通过通项公式aₙ = a₁ * r^(n-1)计算出该项的值。
2. 求等比数列的前n项和已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，可以通过前n项和的公式Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)求得。
3. 求等比数列的项数已知等比数列的首项a₁、公比r和某一项的值aₙ，可以通过项数的对数形式求得：n = logₐ( aₙ / a₁ ) + 1其中logₐ表示以a为底的对数运算。
四、等比数列的应用等比数列在实际问题中有着广泛的应用。
例如在金融领域，利率、汇率等都可以用等比数列的形式来描述；在自然科学研究中，细胞分裂、物种繁殖等也常常涉及等比数列的计算。
等比数列性质公式总结
等比数列性质公式总结引言在数学中，数列是由一系列有序的数字按一定规律排列而成的序列。
其中，等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。
本文将重点总结等比数列的性质公式。
等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项（除首项外）都与它前一项成等比关系的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，那么该数列的通项公式可以表示为：an = a * r^(n-1)，其中an为第n项。
性质公式一：第n项公式等比数列的第n项公式可通过通项公式进行推导。
设等比数列的首项为a，公比为r，那么第n项an可表示为：an = a * r^(n-1)这个公式可以帮助我们在已知公比和首项的情况下，快速计算出任意一项的值。
性质公式二：前n项和公式等比数列的前n项和公式可以帮助我们计算等比数列前n项的和。
设等比数列的首项为a，公比为r，那么前n项的和Sn可表示为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)性质公式三：通项公式与首项之间的关系在等比数列中，通项公式与首项之间存在一定的关系。
设等比数列的通项公式为an = a * r^(n-1)，那么首项a可表示为：a = an / r^(n-1)这个公式可以帮助我们在已知公比、任意一项的值以及项数的情况下，求解出首项的值。
性质公式四：公比和项数之间的关系在等比数列中，公比和项数之间也存在一定的关系。
设等比数列的通项公式为an = a * r^(n-1)，那么公比r可表示为：r = (an / a)^(1 / (n-1))这个公式可以帮助我们在已知首项、任意一项的值以及项数的情况下，求解出公比的值。
性质公式五：等比数列的特殊性质等比数列还有一些特殊性质，如首项为1，公比为正数，则数列的前n项和公式可以简化为：Sn = (1 - r^n) / (1 - r)其中，r不等于1。
总结等比数列是数学中常见的数列类型之一，我们通过总结上述性质公式，可以更好地理解和应用等比数列。
这些性质公式包括了等比数列的第n项公式、前n项和公式以及通项公式与首项之间的关系等。
等比数列的性质与应用
等比数列的性质与应用等比数列，又称为几何数列，是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项的比等于一个常数，这个常数被称为公比。
等比数列常用的表示形式为：a，a*r，a*r^2，a*r^3，……等比数列的性质涉及到数列的通项公式、前n项和、无穷项和以及与其他数学概念的关系等方面。
在此，本文将从这些方面介绍等比数列的性质和应用。
一、数列的通项公式对于等比数列来说，其通项公式可以通过以下方式得出：假设第一项为a，公比为r。
首先，我们可以观察到每一项与其前一项之间的关系，即：第二项：a*r第三项：a*r*r = a*r^2第四项：a*r*r*r = a*r^3由此可见，等比数列的第n项可以表示为a*r^(n-1)。
二、前n项和计算等比数列的前n项和可以使用以下公式：前n项和 = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，a为等比数列的首项，r为公比。
这个公式可以通过数学归纳法得到证明。
三、无穷项和无穷项和是指等比数列所有项的和在n趋向于无穷时的极限值。
对于绝对值小于1的公比，等比数列的无穷项和存在并且可以通过以下公式计算得出：无穷项和 = a / (1 - r)这个公式也可以通过数学推导得到。
应用：等比数列在现实生活中有着广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 财务问题在财务领域中，利息、折扣和股价等问题往往涉及到等比数列。
例如，在银行存款中，如果某笔存款按照一定的年利率计算利息，并且每年将利息和本金一起再次存入银行，那么存款的金额就构成了一个等比数列。
2. 科学研究等比数列在科学研究中也有着广泛的应用。
例如，在生物学中，细胞的数量经常呈现出等比数列的规律。
通过研究和分析等比数列的性质，可以更好地理解和描述细胞的生长和变化过程。
3. 工程问题在工程问题中，等比数列常常用于计算材料的消耗和成本的增长。
例如，在建筑施工中，某种材料的每层用量都是前一层用量的3倍，那么每层用量就可以表示为一个等比数列。
等比数列的性质
教学内容【知识结构】1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n na a =q （q ≠0） 1︒“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) ｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0 2︒ 隐含：任一项00≠≠q a n 且“n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件． 3︒ q= 1时，{a n }为常数2.等比数列的通项公式1: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n3.等比数列的通项公式2: )0(11≠⋅⋅=-q a q a a m m n 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．5．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，则ab G ab G Gba G ±=⇒=⇒=2， 反之，若G 2=ab ,则Gba G =，即a ,G ,b ∴a ,G ,b 成等比数列⇔G 2=ab （a ·b ≠0）6．等比数列的性质：若m+n=p+k ，则k p n m a a a a = 在等比数列中，m+n=p+q ，k p n m a a a a ,,,有什么关系呢？ 由定义得：11n 11 --==n m m q a a q a a 11k 11 --⋅==k p p q a a q a a221-+=⋅n m n m q a a a ，221-+=⋅k p k p q a a a则k p n m a a a a =7．等比数列的增减性：当q>1, 1a >0或0<q<1, 1a <0时, {n a }是递增数列;当q>1, 1a <0,或0<q<1, 1a >0时, {n a }是递减数列;当q=1时, {n a }是常数列;当q<0时, {n a }是摆动数列;【热身练习】求下列各等比数列的通项公式：1.1a =-2, 3a =-82.1a =5, 且21+n a =-3n a3.1a =5, 且11+=+n na a n n 解：1.242213±=⇒=⇒=q q q a an n n n n n a a )2()2)(2(22)2(11-=--=-=-=∴--或 2.111)23(5523-+-⨯=∴=-==n n n n a a a a q 又：3.nn a a a a a a n n a a n n n n 1,,32,211123121-===∴+=-+以上各式相乘得：na n a n 11==【例题精讲】例1 已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ⋅是等比数列. 证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为1q ;{}n b 的首项为1b ，公比为2q ，那么数列{}n n b a ⋅的第n 项与第n+1项分别为：n n nn n n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(2111121112111121111与即为与---⋅⋅⋅⋅⋅⋅.)()(2112111211111q q q q b a q q b a b a b a n n n n n n ==⋅⋅-++ 它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ⋅是一个以q 1q 2为公比的等比数列.例2 已知：b 是a 与c 的等比中项，且a 、b 、c 同号，求证：3,3,3abc ca bc ab c b a ++++ 也成等比数列 证明：由题设：b 2=ac 得：22333)3(333ca bc ab bc b ab b c b a abc c b a ++=++=⨯++=⨯++ ∴3,3,3abc ca bc ab c b a ++++ 也成等比数列例3 (1) 已知{n a }是等比数列，且252,0645342=++>a a a a a a a n , 求3a a +(2) a≠c,三数a, 1, c 成等差数列，22,1,c a 成等比数列，求22c a ca ++解：(1) ∵{n a }是等比数列，∴ 2a 4a ＋23a 5a ＋4a 6a ＝(3a ＋5a )2＝25, 又n a >0, ∴3a ＋5a ＝5;(2) ∵a, 1, c 成等差数列, ∴ a ＋c ＝2,又a 2, 1, c 2成等比数列, ∴a 2 c 2＝1, 有ac ＝1或ac ＝－1, 当ac ＝1时, 由a ＋c ＝2得a ＝1, c ＝1,与a≠c 矛盾，∴ ac ＝－1, 62)(222=-+=+ac c a c a ∴ 3122=++ca c a .例4 已知无穷数列 ,10,10,10,1051525150-n ，求证：（1）这个数列成等比数列（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的101， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中证：（1）5152511101010==---n n n n a a （常数）∴该数列成等比数列（2）101101010154515===-+-+n n n n a a ，即：101+=n n a a （3）525151101010-+--==q p q p q p a a ，∵N q p ∈,，∴≥+q p ∴11≥-+q p 且()N q p ∈-+1，∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈--+51n 521010q p ，（第1-+q p 项） 例5 设d c b a ,,,均为非零实数，()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ， 求证：c b a ,,成等比数列且公比为d证一：关于d 的二次方程()()0222222=+++-+c b d c a b d b a 有实根， ∴()()()044222222≥++-+=∆c b b a c a b ，∴()022≥--ac b则必有：02=-ac b ，即ac b =2，∴c b a ,,成等比数列 设公比为q ，则aq b =，2aq c =代入()()024********=+++-+q a q a d aq a aq d q a a ∵()0122≠+a q ，即0222=+-q qd d ，即0≠=q d证二：∵()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ∴()()022222222=+-++-c bcd d b b abd d a ∴()()022=-+-c bd b ad ，∴b ad =，且c bd =∵d c b a ,,,非零，∴d bca b ==例6．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数． （1） 求1a 及n a ；（2）若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解（1）当1,111+===k S a n ，12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*）经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （2）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 422.=∴，即)18)(12()14(2+-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ， 对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或例7在等差数列｛a n ｝中，若a 10＝0，则有等式a 1+a 2+…＋a n =a 1+a 2+…＋a 19－n （n ＜19，n ∈N )成立.类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9＝1，则有等式 成立答案：b1b2…b n＝b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）；解：在等差数列｛a n｝中，由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝a n＋a20－n ＋a19－n＝2a10＝0，＝a n＋1所以a1＋a2＋…＋a n＋…＋a19＝0，即a1＋a2＋…＋a n＝－a19－a18－…－a n，＋1又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－a n＋1∴a1＋a2＋…＋a n＝－a19－a18－…－a n＋1＝a1＋a2＋…＋a19－n，若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋a17－n，相应地等比数列｛b n｝中，则可得：b1b2…b n＝b1b2…b17－n（n＜17，n∈N*）。
等比数列性质总结
等比数列性质总结数列是数学中的基础概念之一，其中等比数列是最常见的一种。
等比数列是指数列中相邻两项之间的比值恒定的数列。
在等比数列中，有一些性质和规律是我们需要了解和掌握的。
一、等比数列的通项公式等比数列的通项公式是指能够用一个公式表示等比数列的第n项的值的公式。
对于一个等比数列，我们可以通过已知的第一项和公比来确定通项公式。
设等比数列的第一项为a，公比为r，第n项的值为an。
那么等比数列的通项公式是：an = a * r^(n-1)在这个公式中，a是第一项的值，r是公比，n是需要求的项数。
二、等比数列的性质等比数列有一些特殊的性质，这些性质对于我们理解等比数列的本质和规律非常重要。
1. 对于等比数列中的任意相邻三项an-1、an、an+1，它们的比值相等。
即：an/an-1 = an+1/an = r。
这个性质是等比数列的定义之一，也是等比数列与其他类型数列的重要区别之一。
2. 对于等比数列，如果公比r>1，那么数列是递增的，每一项的值都比前一项大；如果公比r<1，那么数列是递减的，每一项的值都比前一项小。
这个性质告诉我们了公比对数列的发展方向产生了关键影响。
3. 等比数列的任意一项与它之后的所有项的比值之和等于公比。
即：an/an+1 + an+1/an+2 + ... = r。
这个性质在数学中被称为等比数列的“和比”。
4. 若等比数列的首项大于0，且公比r>0，则数列的任意一项都大于0。
这个性质告诉我们等比数列中的项都是正数，不存在负数或零。
5. 当公比等于1时，等比数列就变成了等差数列，此时的通项公式和等差数列的通项公式是相同的，都是an=a+(n-1)d。
等比数列和等差数列是数列中两个重要的概念，它们有着不同的增长规律和特征。
三、等比数列的应用等比数列作为数学中的重要知识点，不仅仅在学术中有着广泛的应用，也在实际生活中有一些实用的应用。
1. 财务投资在财务投资领域，等比数列经常被用来计算复利。
等比数列的性质和计算
等比数列的性质和计算等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项乘以一个常数的结果。
这个常数被称为公比，通常用字母q表示。
等比数列的性质和计算方法在数学中有着重要的应用。
一、等比数列的性质1. 公比与首项的关系：在等比数列中，公比q不等于0时，若首项为a，则第n项为an-1乘以公比q的n-1次方。
即，第n项为a * q^(n-1)。
2. 公比的绝对值小于1时：当公比q的绝对值小于1时（|q| < 1），等比数列的通项公式可以简化为：第n项为a * q^(n-1)，且随着项数的增加，数列逐渐趋近于0。
3. 公比的绝对值等于1时：当公比q的绝对值等于1时（|q| = 1），等比数列的通项公式可以简化为：若q = 1，则数列每一项都相等。
若q = -1，则数列的奇数项为相同的正数，偶数项为相同的负数。
4. 公比的绝对值大于1时：当公比q的绝对值大于1时（|q| > 1），等比数列的通项公式为：第n项为a * q^(n-1)，且随着项数的增加，数列的绝对值逐渐增大或减小。
二、等比数列的计算方法1. 求和公式：若公比q不等于1，则等比数列的前n项和为：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1)，其中a为首项，q为公比。
2. 求数列中某一项：若已知等比数列的首项a和公比q，可以通过通项公式直接计算第n项。
3. 求等比数列的项数：若已知等比数列的首项a和公比q，以及数列中的某一项An，可以通过求对数的方法计算项数n。
4. 求等比数列的前n项和：若已知等比数列的首项a和公比q，以及数列的项数n，可以通过求和公式计算前n项和Sn。
例题一：已知等比数列的首项是3，公比是2，求该等比数列的第5项和前5项的和。
解：第5项：a * q^(n-1) = 3 * 2^(5-1) = 3 * 2^4 = 48。
前5项的和：Sn = a * (q^n - 1) / (q - 1) = 3 * (2^5 - 1) / (2 - 1) = 3 * (32 - 1) = 3 * 31 = 93。
等比数列的性质
等比数列的性质等比数列是数学中常见的数列之一，它具有一些特殊的性质。
本文将系统地介绍等比数列的定义、性质和相关定理。
一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与它的前一项的比值都相等。
该比值称为公比，通常用字母q表示。
数列的通项公式如下：an = a1 * q^(n-1)其中，an表示数列的第n项，a1表示数列的首项，q表示公比。
二、等比数列的性质1. 多项式乘法等比数列中相邻两项的乘积等于数列中任意两项的乘积。
设该等比数列的第m项和第n项分别为am和an，则有以下关系：am * an = a(m+n-1)这个性质非常重要，可以用于解决一些等比数列的问题。
2. 通项公式根据等比数列的定义，可以推导出等比数列的通项公式。
设等比数列的首项为a1，公比为q，第n项为an，则有以下公式：an = a1 * q^(n-1)这个公式可以方便地计算等比数列的任意项。
3. 求和公式等比数列的前n项和可以用以下公式表示：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)其中，Sn表示前n项的和。
这个公式是通过将等比数列展开后的有限项求和得到的。
三、等比数列的相关定理1. 等比数列的乘积定理等比数列的所有项的乘积等于首项的n次幂乘以公比的n次幂。
设该等比数列的首项为a1，公比为q，一共有n项，则有以下公式：a1 * a2 * ... * an = a1^n * q^(n(n-1)/2)这个定理可以用于求解等比数列所有项的乘积，或者根据已知条件求解等比数列的首项或公比。
2. 等比数列的倒数定理等比数列的倒数也是一个等比数列，且公比为倒数。
设该等比数列的首项为a1，公比为q，则有以下公式：1/a1, 1/a2, ..., 1/an = 1/(a1 * q^(n-1))这个定理在一些数学推导和证明中经常用到。
四、应用举例1. 求等比数列的第n项根据等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)，可以直接计算出等比数列的第n项。
等比数列的性质
等比数列的性质等比数列是指一个数列中的每一项与前一项的比值都是一个固定的常数，这个常数被称为公比。
等比数列的性质在数学中非常重要，下面我们就来详细了解一下。
1. 公比的性质等比数列中的每一项与前一项的比值都是一个固定的常数，这个常数被称为公比。
公比可以是正数、负数或零。
以下是公比的性质：（1）如果公比大于1，则数列是递增的。
（2）如果公比小于1，则数列是递减的。
（3）如果公比等于1，则数列是等差的。
（4）如果公比是负数，则数列中会交替地出现正数和负数。
2. 通项公式的推导等比数列的通项公式是指数列中第n项的公式。
它可以用公比和首项来表示，具体的推导过程如下：假设等比数列的首项为a1，公比为q。
则数列中第n项可以表示为：an = a1 * q^(n-1)其中，q^(n-1)表示q的n-1次方。
3. 求和公式的推导等比数列的求和公式用于计算数列前n项的和。
求和公式可以表示为：Sn = a1(1-q^n)/(1-q)其中，a1为首项，q为公比。
以下是求和公式的推导过程：设等比数列的首项为a1，公比为q，数列的前n项和为Sn。
（1）将n项数列按照首项a1、a1q、a1q²、…、a1q^(n-1)排列，可以得到：a1 + a1q + a1q² + ... + a1q^(n-1) = Sn（2）将上式乘以公比q，然后将上式与原式相减，可以得到：S_n*q = a1q + a1q² + ... + a1q^(n-1) + a1q^nSn - Sn*q = a1 - a1q^n（3）将上式两边除以(1-q)，可以得到：Sn = a1(1-q^n)/(1-q)4. 中项的概念在等比数列中，相邻两项的平方根被称为它们的中项。
例如，在数列1，2，4，8，16中，（2，4）的中项是2×2^(1/2)=2.83，（4，8）的中项是4×2^(1/2)=5.66，以此类推。
5. 平均数的概念在等比数列中，前n项的乘积的n次方根被称为这n项的平均数。
等比数列的性质与计算
等比数列的性质与计算等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比值保持不变。
比如，1，2，4，8，16，32就是一个等比数列，其中的比值是2。
等比数列有一些独特的性质和计算方法。
下面我来详细介绍一下。
性质一：公比等比数列中，相邻项之间的比值称为公比，通常用字母q表示。
例如，在数列1，2，4，8，16，32中，公比q=2。
公比可以用来确定等比数列中的任意一项。
性质二：通项公式等比数列的通项公式可以表示为an = a1q^(n-1)，其中an是数列中第n项的值，a1是数列中第一项的值，q是公比。
通过这个公式，我们可以直接计算等比数列中的任意一项的值。
性质三：前n项和公式等比数列前n项和的公式可以表示为Sn = a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn表示前n项的和。
这个公式可以用来求解等比数列的前n项和。
性质四：性质转化对于等比数列的任意一组相邻项，将它们进行对数运算后，得到的数列是一个等差数列。
这个性质可以帮助我们在处理等比数列时，将问题转化为处理等差数列，从而简化计算步骤。
现在我们来通过一个例子来说明等比数列的计算方法。
例题：已知等比数列的首项是3，公比是2，求该等比数列的第8项的值及前8项的和。
解：首先，我们可以使用通项公式an = a1q^(n-1)来计算第8项的值：a8 = a1q^(8-1) = 3*2^7 = 3*128 = 384接下来，我们使用前n项和公式Sn = a1(1-q^n)/(1-q)来计算前8项的和：S8 = a1(1-q^8)/(1-q) = 3(1-2^8)/(1-2) = 3(1-256)/(-1) = 3*(-255) = -765所以，该等比数列的第8项的值是384，前8项的和为-765。
通过以上的例子，我们可以看到等比数列的性质与计算方法不仅能帮助我们求解特定项的值，还可以帮助我们计算前n项的和。
总结：等比数列具有公比、通项公式、前n项和公式以及性质转化等独特的性质和计算方法。
等比数列性质归纳总结
等比数列性质归纳总结
等比数列是一类特殊的数列，其中任意项和它的前一项满足等比关系。
等比数列有诸多性质，下面将对这几个性质进行归纳总结。
一、公比性质
等比数列中任意项和它的前一项之间的比值称为公比，一般我们用 q 表示，如
a1,a2,a3,a4…an 为等比数列，那么有a2/a1=a3/a2=a4/a3……=q，即
a2=q·a1,a3=q·a2…an=q^(n-1)·a1 。
二、通项公式
如果等比数列的前 n 项的和构成等比数列的第 n+1 项，即 Sn+1=Sn，那么称此等比数列为等差数列的通项等比数列，称该通项等比数列的公比为 q，则有：an=a1·q^(n-1) 。
三、和性质
等比数列的和Sn=a1+a2+a3+…+an，当r≠1 时，有Sn=a1·(1-q^n)/(1-q) 。
五、比率性质
等比数列的任意相邻两项之比都相等，称为比率性质，即a2/a1=a3/a2=a4/a3…=q，其中 q 为等比数列的公比。
六、极限性质
当 q 大于 1 时，等比数列的和收敛于无穷，也就是说 an 趋向于无穷，即 Sn 趋向于无穷大，这就是等比数列的极限性质。
总结起来，等比数列的性质包括：公比性质、通项公式、和性质、首项与比率性质、比率性质以及极限性质。
它们都在运用等比关系思维方式，发现等比数列的特殊性质，为理解和解决含有等比性的问题提供了基础。
等比数列的概念与性质
等比数列的概念与性质等比数列是数学中常见的数列类型之一，它的概念与性质对于我们理解数列和解决相关问题非常重要。
本文将详细介绍等比数列的定义、性质和应用，帮助读者全面了解和掌握等比数列。
一、等比数列的定义在了解等比数列的性质之前，我们首先需要明确什么是等比数列。
等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比等于一个常数。
这个常数叫作公比，通常用字母q表示。
如果一个等比数列的首项为a₁，公比为q，那么它的第n项可以表示为：an = a₁ * q^(n-1)，其中n为项数。
例如，数列1，2，4，8，16就是一个等比数列，其中首项为1，公比为2，第5项为16。
二、等比数列的性质等比数列有很多有趣的性质，它们有助于我们进一步理解和运用等比数列。
1. 公比与项的关系：在等比数列中，如果公比大于1，那么随着项数的增加，数列的值也会越来越大；如果公比小于1，那么数列的值则会越来越小。
2. 前n项和：等比数列的前n项和可以通过以下公式计算：Sn = a₁(1 - q^n)/(1 - q)，其中Sn表示前n项和。
3. 最值性质：若公比0<q<1，则等比数列的值随着项数的增加而趋近于0；若公比q>1，则等比数列的值随着项数的增加而趋向正无穷。
4. 无穷性质：当公比的绝对值小于1时，等比数列的项数趋向无穷大时的极限值为0；当公比的绝对值大于1时，等比数列的项数趋向无穷大时的极限值不存在。
三、等比数列的应用等比数列在各种实际问题中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 财务领域：等比数列常被用于计算复利问题，例如计算银行定期存款的本息和。
2. 自然科学：等比数列可用于表示一些自然现象，例如细胞分裂、病毒传播等。
3. 计算机科学：在计算机科学中，等比数列常用于算法的时间复杂度分析中。
4. 经济学和市场分析：等比数列可以用于描述市场的增长或衰退趋势，对于经济预测和决策非常有帮助。
总结：通过本文对等比数列的概念、性质和应用的介绍，我们对等比数列有了更深入的理解。
等比数列的性质总结
等比数列的性质总结等比数列是指数列中的一种特殊形式，其每一项都是前一项乘以一个常数。
以下是对等比数列性质的总结：1. 公比的定义：等比数列的每一项与它的前一项的比值叫做公比。
公比用符号q表示，对于等比数列an，公比可以表示为q = an / an-1。
2. 通项公式：等比数列的第n项可以表示为an = a1 * q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比。
这个公式可以用来计算数列中的任意一项。
3. 首项和公比的关系：在等比数列中，如果知道前两项，可以通过计算它们的比值来得到公比。
即q = a2 / a1。
反过来，如果知道公比和首项，可以通过公式an = a1 * q^(n-1)来计算数列中任意一项。
4. 等比数列的性质：等比数列有一些独特的性质，使得它们在数学中具有重要的应用价值。
这些性质包括：- 等比数列中的任意两项的比值是常数，即an / an-1 = q，对于任意的n>1。
这意味着等比数列中的相邻两项之间的比值始终保持不变。
- 等比数列中的每一项都可以通过前一项乘以公比得到。
即an = an-1 * q，对于任意的n>1。
- 等比数列中，如果q大于1，那么数列会递增；如果q介于0和1之间，那么数列会递减。
如果q等于1，那么数列的每一项都相等。
- 等比数列可以分为两类：当公比q大于0时，数列中的每一项都大于0；当公比q小于0时，数列中的奇数项为负数，偶数项为正数。
5. 等比中项公式：对于等比数列的一项与它的后一项的比值等于q的k次方时，这两项的几何中项可以通过公式ak =sqrt(a(k-1) * a(k+1))来计算。
这个公式可以用来计算等比数列中的中间项。
6. 等比数列的和：等比数列的前n项和可以通过公式Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)来计算。
这个公式可以用来计算等比数列中所有项的和。
这些性质和公式在解决各种实际问题中非常有用。
等比数列的应用包括金融领域的复利计算、物理学中的指数增长和衰减问题、计算机科学中的分析算法复杂性等。
等比数列的性质
等比数列的性质等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项都是前一项乘以同一个常数。
我将在本文中探讨等比数列的性质和相关概念。
一、定义和表示对于等比数列a，常数比为q，第一项为a₁，我们可以表示这个数列为：a₁, a₁q, a₁q², a₁q³, ...二、通项公式等比数列的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ * q^(n-1)，其中aₙ表示第n项，a₁代表第一项。
三、公比的性质1. 若q>1，则等比数列是递增的。
由于q>1，所以每一项都比前一项大，数列呈递增趋势。
2. 若0＜q＜1，则等比数列是递减的。
因为0＜q＜1，所以每一项都比前一项小，数列呈递减趋势。
3. 若q=1，则等比数列是常数列。
当q=1时，每一项都等于前一项，数列中的每一项都相等。
四、公比的绝对值1. 若|q|>1，则数列的绝对值逐项增大，但不会无穷增大。
由于|q|>1，所以每一项的绝对值都比前一项的绝对值大，但不会无穷增大。
2. 若0＜|q|＜1，则数列的绝对值逐项减小，并接近于零。
因为0＜|q|＜1，所以每一项的绝对值都比前一项的绝对值小，并逐渐趋近于零。
五、常用性质1. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和可以表示为：Sₙ = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sₙ为前n项和。
2. 等比数列的无穷项和若-1＜q＜1，等比数列的无穷项和可以表示为：S∞ = a₁/ (1 - q)，其中S∞为无穷项和。
六、实例分析我们举一个实例来验证等比数列的性质。
假设有一个等比数列的首项为2，公比为3/4。
我们来计算一下该数列的前5项和。
首先，根据通项公式，我们可以得到这个数列的前5项为：a₁ = 2a₂ = 2 * (3/4) = 3/2a₃ = 2 * (3/4)² = 9/8a₄ = 2 * (3/4)³ = 27/16a₅ = 2 * (3/4)⁴ = 81/32然后，根据前n项和的公式，我们可以计算前5项的和：S₅ = (2 - (3/4)⁵) / (1 - 3/4)= (1024/1024 - 243/1024) / (4/4 - 3/4)= (781/1024) / (1/4)= 3124/1024= 781/256所以，该等比数列的前5项和为781/256。
等比数列的性质
等比数列的性质什么是等比数列？在数学中，等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项乘以同一个固定的非零数。
这个固定的非零数称为等比数列的公比，通常用字母q表示。
等比数列可以通过以下递推公式来表示：\$a(n) = a(1) \\times q^{(n-1)}\\$其中，\$a(n)\\$ 表示第n项，\$a(1)\\$表示首项，q表示公比，n表示项数。
等比数列的性质等比数列具有以下几个性质：1. 公比的求解要确定一个等比数列，首先需要知道首项\$a(1)\\$以及公比q。
计算公比的方法如下：\$q = \\frac{a(2)}{a(1)} = \\frac{a(3)}{a(2)} =\\frac{a(4)}{a(3)} = ...\\$通过计算数列中连续两项的比值，可以得到公比。
2. 通项公式等比数列的通项公式可以通过递推公式进行推导。
将递推公式\$a(n) = a(1) \\times q^{(n-1)}\\$进行一系列变换，得到等比数列的通项公式：\$a(n) = a(1) \\times q^{(n-1)}\\$3. 求和公式等比数列的前n项和可以通过以下公式计算：\$S(n) = \\frac{a(1) \\times (q^n - 1)}{q - 1}\\$其中，\$S(n)\\$表示前n项的和。
4. 性质推导通过对等比数列的性质进行推导，还可以得到以下几个性质：•等比数列中，相邻两项的比值是常数，即公比q；•等比数列中，任意一项与它前面的任意项之间的比值是常数，也是公比q；•等比数列中，任意一项与它后面的任意项之间的比值是常数，也是公比q；•等比数列中，任意一项与它间隔n项的项之间的比值是常数，也是公比q；•等比数列中，两个等比数列的乘积仍然是等比数列，且公比为两个等比数列的公比的乘积。
5. 应用举例等比数列的性质在实际生活和工作中有很多应用，例如：•财务投资领域中的利息计算和复利计算；•自然科学领域中的指数增长和指数衰减模型；•计算机科学领域中的算法分析和复杂度计算。
等比数列的性质
用文字表示：一个数列，从第二项起， 每一项与它的前一项的比等于同一个 常数，这个数列就叫做等比数列。
特性：等比数列中任意一项都等于前 一项乘以公比q。
定义中的注意事项：首项不能为0，公 比q也不能为0。
公比是等比数列中任意一项与它前一项的比值 公比的性质包括：当公比大于1时，数列是递增的；当公比小于1时，数列 是递减的；当公比等于1时，数列是常数列 公比的性质决定了等比数列的单调性和极限
XX,a click to unlimited possibilities
01 等 比 数 列 的 定 义 02 等 比 数 列 的 性 质 03 等 比 数 列 的 应 用 04 等 比 数 列 的 证 明 方 法 05 等 比 数 列 的 扩 展 知 识
等比数列的定义：一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项的比 都等于同一个常数。
步骤：首先，通过观察和实验，从特殊情况出发，发现规律；然后，利用归纳推理，将 特殊情况逐步推广到一般情况；最后，得出结论。
应用：在等比数列的证明中，可以通过归纳法证明等比数列的性质。
注意事项：归纳法的结论不一定正确，需要经过严格的证明和验证。
假设等比数 列不成立
得出结论
推导出矛盾
证明等比数 列的性质
波的传播：等比数列描述波的传 播规律，如声波、电磁波等
电路分析：在分析RC电路、RL电 路等复杂电路时，等比数列可用 来描述电流和电压的变化规律
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
放射性衰变：放射性物质的衰变 次数与等比数列相关，可用来计 算半衰期
振动与波动：等比数列描述简谐 振动的位移、速度和加速度等物 理量，以及波动中的相位和频率
在等比数列中，公比不能等于0，否则数列无意义
等比数列性质公式总结
等比数列性质公式总结什么是等比数列？它是一种按照一定比例递增或递减的数列，即每一项等于它的前一项乘以一个确定的常数。
等比数列的应用非常广泛，在商业经济、货币学、统计学、计算机科学、投资理财等诸多领域都有重要的作用。
因此，了解等比数列的性质与公式是分析复杂问题的基础。
本文主要从等比数列的特点、性质和公式三个方面，总结等比数列的性质与公式，帮助读者更好地掌握等比数列。
一、等比数列的特点等比数列是一种有规律的数列，其特点是每一项都等于它的前一项乘以一个确定的常数。
它的形式一般为：a1, a1q, a1q2 ,a1q3 , ... .里a1是等比数列的第一项，q是等比数列的公比，它大于0小于1或大于1小于无穷大。
二、等比数列的性质等比数列有许多性质，其中有几个比较重要，如果我们能够掌握它们，就可以更好地分析等比数列。
（1）等比数列的每一项都等于它的前一项乘以一个确定的常数；（2）等比数列的总和大于等于其最大项，反之，总和小于等于其最小项；（3）等比数列的均值的数字大小是由第一项和最后一项决定的；（4）当等比数列的公比q大于1时，其数列中的各项逐渐变大；当q等于1时，其数列中的各项保持不变；而当q小于1时，其数列中的各项逐渐变小。
三、等比数列的公式（1）等比数列的求和公式：Sn=a1(1-qn)/(1-q)（2）等比数列的求积公式：Pn=a1qn-1（3）等比数列的极限公式：Sn→∞, q<1时Sn→a1/(1-q); q>1时Sn→无穷大。
（4）等比数列的求平均数公式：M=(a1+an)/2四、等比数列的实例总结举例来说，设a1=1，q=2，我们就可以得到一个等比数列：1，2，4，8，16，…此时，利用等比数列的求和公式，我们可以求出这个等比数列前n项的和 Sn=1+2+4+…+2^(n-1)=(2^n-1)。
又比如，设a1=2，q=1/2，此时，可以得到一个等比数列：2，1，1/2，1/4，1/8，…求出其前n项的积Pn=2×1/2×1/4×…×1/2^(n-1)＝1/2^(n-1)。
53. 初中数学中的等比数列有哪些常用性质？
53. 初中数学中的等比数列有哪些常用性质？关键信息项：1、等比数列的定义2、等比数列的通项公式3、等比数列的前 n 项和公式4、等比中项的性质5、等比数列的单调性6、等比数列的性质应用11 等比数列的定义等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列。
这个常数叫做等比数列的公比，常用字母q 表示（q≠0）。
111 数学表达式若一个数列{a_n}满足：＼（＼frac{a_{n ＋ 1}｝｛a_n} ＝ q\）（n为正整数，q 为常数），则称数列{a_n}为等比数列。
112 举例说明例如数列 2，4，8，16，32，，其中\（＼frac{4}｛2} ＝＼frac{8}｛4} ＝＼frac{16}｛8} ＝ 2\），公比 q ＝ 2，所以这是一个等比数列。
12 等比数列的通项公式等比数列的通项公式为：＼（a_n ＝ a_1 ＼times q^｛n 1}＼），其中\（a_1\）为首项，n 为项数。
121 推导过程由等比数列的定义可得：＼（a_2 ＝ a_1 ＼times q\），＼（a_3 ＝a_2 ＼times q ＝ a_1 ＼times q^2\），，以此类推，可得\（a_n ＝ a_1 ＼times q^｛n 1}＼）122 应用举例已知等比数列的首项\（a_1 ＝ 3\），公比\（q ＝ 2\），则第 5 项\（a_5 ＝ 3 ＼times 2^｛5 1} ＝ 3 ＼times 2^4 ＝ 48\）13 等比数列的前 n 项和公式等比数列的前 n 项和公式为：当\（q ≠ 1\）时，＼（S_n ＝＼frac{a_1(1 q^n)｝｛1 q}＼）；当\（q ＝ 1\）时，＼（S_n ＝ na_1\）131 推导思路通过错位相减法可以推导出前 n 项和公式。
132 计算示例对于等比数列 2，4，8，16，，首项\（a_1 ＝ 2\），公比\（q ＝2\），求前 5 项和\（S_5 ＝＼frac{2(1 2^5)｝｛1 2} ＝ 62\）14 等比中项的性质如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，且\（G^2 ＝ ab\）141 性质证明由等比数列的定义可得：＼（＼frac{G}｛a} ＝＼frac{b}｛G}＼），即\（G^2 ＝ ab\）142 实际应用在解决一些几何问题或数学证明中，等比中项性质常常发挥重要作用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课前探究学习
课堂讲练互动
：如果等比数列{an}中，m＋n＝2k(m，n，k∈N*)， 那么am·an＝ak2是否成立？反之呢？ 提示：如果等比数列的三项的序号成等差数列，那么对应
的项成等比数列．
事实上，若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)， 则am·an＝(a1·qm－1)·(a1·qn－1)＝a12·qm＋n－2＝a12(qk－1)2＝ak2. 在等比数列{an}中，若am·an＝ap·aq＝ak2，不一定有m＋n ＝p＋q＝2k，如非零常数列．
自学导引
1．等比数列的项与序号的关系以及性质
设等比数列{an}的公比为q. (1)两项关系：an＝_a_m_q_n_－_m_(m，n∈N*)． (2)多项关系：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝_a_p_a_q. (3)若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数 列． 2．等比数列的项的对称性
课前探究学习
课堂讲练互动
题型二 灵活设项求解等比数列
【例2】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等 比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与 第三个数的和是12，求这四个数． [思路探索] 根据等差数列和等比数列的性质，设出未知 数，结合题中条件求解即可． 解 法一 设四个数依次为 a－d，a，a＋d，a＋ad2，
故到2015年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造
住房面积的比例首次大于85%.
课前探究学习
课堂讲练互动
本题将实际问题抽象出一个数列问题，解决数 列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的 哪一部分是数列问题，是哪种数列．在求解过程中应注意 首项的确立，时间的推算．不要在运算中出现问题．
课前探究学习
课堂讲练互动
(2)若存在 m，使 b1，b4，bt 成等差数列， 则 2b4＝b1＋bt， ∴7＋7 m×2＝1＋1 m＋2t－2t－1＋1 m， ∴t＝7mm－＋51＝7mm－－55＋36＝7＋m3－6 5，(9 分) 由于 m、t∈N*且 t≥5. 令 m－5＝36,18,9,6,4,3,2,1， 即 m＝41,23,14,11,9,8,7,6 时，t 均为大于 5 的整数． ∴存在符合题意的 m 值，且共有 8 个数．(12 分)
由条件得a－d＋a＋a d2＝16， a＋a＋d＝12，
解得da＝＝44， 或ad＝ ＝－9，6.
课前探究学习
课堂讲练互动
所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16； 当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 法二 设四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(a≠0)，
合理地设出所求数中的三个，根据题意得 出另一个是解决这类问题的关键，一般地，三个数 成等比数列，可设为qa，a，aq；三个数成等差数列， 可设为 a－d，a，a＋d.
课前探究学习
课堂讲练互动
【变式2】 三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三 个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数． 解 设三个数依次为aq，a，aq， ∵qa·a·aq＝512，∴a＝8. ∵aq－2＋(aq－2)＝2a， ∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2 或 q＝12， ∴这三个数为 4,8,16 或 16,8,4.
课前探究学习
课堂讲练互动
(2)设新建住房面积构成数列{bn}， 由题意可知，{bn}是等比数列， 其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n－1， 由题意可知an>0.85bn， 即250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85满足上述不等式
的最小正整数n＝6.
课前探究学习
课堂讲练互动
【变式1】 (1)在递增等比数列{an}中，a1a9＝64，a3＋a7＝ 20，求a11的值．
(2)已知数列{an}成等比数列．若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的 值．
解 (1)在等比数列{an}中， ∵a1·a9＝a3·a7， ∴由已知可得：a3·a7＝64与a3＋a7＝20联立得：
整理，得 2q2－5q＋2＝0，∴q＝2 或 q＝21.
∴ aq＝1＝21，
a1＝4， 或q＝21.
∴an＝2n－1 或 an＝23－n
课前探究学习
课堂讲练互动
在等比数列的有关运算中，常常涉及到 次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建 立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例 可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换， 会起到化繁为简的效果．
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两 项的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an＝a2·_a_n_－_1_
＝ak·_a_n－__k_＋_1_＝
(n 为正奇数)．
课前探究学习
课堂讲练互动
3．等比数列的“子数列”的性质
若数列{an}是公比为q的等比数列，则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为_q_的等比数列； (2)奇数项数列{a2n－1}是公比为_q_2的等比数列； 偶数项数列{a2n}是公比为_q_2的等比数列； (3)在数列{an}中每隔k(k∈N*)取出一项，按原来顺序组成新 数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk＋1.
第2课时 等比数列的性质及应用
【课标要求】 1．理解等比数列的性质并能应用． 2．了解等比数列同指数函数间的关系． 3．会用等比数列的性质解题． 【核心扫描】 1．等比数列的性质及应用．(重点) 2．等比数列与等差数列的综合应用．(重点) 3．与函数、方程、不等式等结合命题．(难点)
课前探究学习
课堂讲练互动
(2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列 {an·bn}是公比为q1q2的等比数列． (3)数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lg an}是 公差为lg q的等差数列．
课前探究学习
课堂讲练互动
题型一 等比数列性质的应用
【例1】 已知数列{an}为等比数列． (1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值； (2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式． [思路探索] 应用等比数列的性质：a2a4＝a32，a4a6＝a52， a1a3＝a22，化简已知，可求解． 解 (1)法一 ∵an>0，∴a1>0，q>0. 又∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a1q·a1q3＋2a1q2·a1q4＋a1q3·a1q5＝36， 即a12q4＋2a12q6＋a12q8＝36，
课前探究学习
课堂讲练互动
解 (1)设中低价房面积构成数列{an}，由题意可知，{an}是 等差数列，其中a1＝250，d＝50， 则 Sn＝250n＋nn2－1×50＝25n2＋225n；
令25n2＋225n≥4 750，即n2＋9n－190≥0， 解得n≤－19或n≥10，而n是正整数． ∴n≥10. 故到2019年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首 次不少于4 750万平方米．
课前探究学习
课堂讲练互动
【变式3】 始于2007年初的美国次贷危机，至2008年中期，已经 演变为全球金融危机．受此拖累，国际原油价格从2008年 7月每桶最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美 元．你能求出7月到9月平均每月下降的百分比吗？若按此 计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34美元)? 解 设每月平均下降的百分比为x，则每月的价格构成了等 比数列{an}，记：a1＝147(7月份价格)， 则8月份价格：a2＝a1(1－x)＝147(1－x)； 9月份价格：a3＝a2(1－x)＝147(1－x)2. ∴147(1－x)2＝97，解得x≈18.8%. 设an＝34，则34＝147·(1－18.8%)n－1， 解得n＝8. 即从2008年7月算起第8个月，也就是2009年2月国际原油价 格将跌至34美元每桶．
课前探究学习
课堂讲练互动
题型三 等比数列的实际应用
【例3】某市2010年新建住房400万平方米，其中250万平方米 是中低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房 面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低 价房的面积比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底 (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2010年为累计的 第一年)将首次不少于4 750万平方米？ (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比 例首次大于85%. [思路探索]本题主要考查构建数学模型解决实际问题，通 过阅读之后，找出题目中的相关信息，构造等差数列和等 比数列．
课前探究学习
课堂讲练互动
∴a12q4(1＋2q2＋q4)＝36，即a12q4(1＋q2)2＝36， ∴a1q2(1＋q2)＝6， ∴a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝6. 法二 ∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36， ∴a32＋2a3a5＋a52＝36， ∴(a3＋a5)2＝36，∴a3＋a5＝6. (2)∵a22＝a1a3代入已知，得a23＝8，∴a2＝2. 设前三项为2q，2,2q，则有2q＋2＋2q＝7.
(1)若{an}是公比为q的等比数列，则 ①{c·an}(c是非零常数)是公比为q的等比数列； ②{|an|}是公比为|q|的等比数列；
③数列a1n是公比为q1的等比数列；
课前探究学习
课堂讲练互动
④{anm}(m是整数常数)是公比为qm的等比数列． 特别地，若数列{an}是正项等比数列时，数列{anm}(m是实 数常数)是公比为qm的等比数列．
a3＝4， a7＝16，
或aa37＝＝146. ，
∵{an}是递增等比数列，∴a7>a3. ∴取 a3＝4，a7＝16，∴16＝4q4，∴q4＝4. ∴a11＝a7·q4＝16×4＝64.
课前探究学习
课堂讲练互动