晶体的光学各向异性

由矢量叉乘的恒等式
n2 D ( E k ) k 0 n 2 ( E k ) k 2 0c
得到：
A×(B×C)=B(A· C)-C(A· B) D=ε 0n2［E-k(k· E)］
即
c E [ D s ( s D)] 2 0 nr
图 4-3
E⊥和D⊥的定义
k1E1+k2E2+k3E3=0
图 4-5 各向同性介质中D, E, k, s的关系
(2).单轴晶体
单轴晶体的主介电系数为：
1 2 n , 3 n
2 o 2 e
2 o
其中，ne>no的晶体，称为正单轴晶体；ne < 单轴晶体。
no 时，称为负
其分量表示形式为:
T aik a jlTkl
' ij
i, j, k, l=1, 2, 3
这就是张量变换定律。如果用张量的新坐标分量表示原坐标 分量，可通过逆变换得到:
Tij aki aljT
' kl
如果考虑的是矢量，则新坐标系中的矢量表示式A′与 原坐标系中的表示式A间的矩阵变换关系为:
' a11 a12 a13 A A1 1 ' A2 a21 a22 a23 A2 A A' a31 a32 a33 3 3
p1 T11q1 T12 q2 T13 q3 p2 T21q1 T22 q2 T23 q3 p3 T31q1 T32 q2 T33 q3
其一般分量形式为：
pi
T
j
ij
qj
i, j 1,2,3
按照爱因斯坦求和规则：若在同一项中下标重复两次，则 可自动地按该下标求和，将上式简化为 pi=Tijqj i,j=1, 2, 3 (4 - 5) 可以看出：如果 T 是张量，则p矢量的某坐标分量不仅与q 矢量的同一坐标分量有关，还与其另外两个分量有关。
D 0 r E

介电常数
0 r

是二阶张量。其分量形式为：
i, j=1, 2, 3
Di 0 ij E j
即电位移矢量D的每个分量均与电场矢量E的各个分量线性相 关。在一般情况下，D与E的方向不相同。 又由光的电磁理论，晶体的介电张量 是一个对称张 量，因此它有六个独立分量。 经主轴变换后的介电张量是对 角张量，只有三个非零的对角分量，为：
4.1 晶体的光学各向异性
4.1.1 张量的基础知识 1. 张量的概念
（1）.把一个矢量与一个或者多个矢量以等式的 形式关联起来，其中的关联因子就是张量。 （2）.把一个矢量与一个张量以等式的形式关 联起来，其中的关联因子就是张量。 例如，矢量p与矢量q有关，则其一般关系应为：
p T q
D H t H E 0 t
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B 0 D 0
物质方程为
B D
0 H E
为简单起见，我们只讨论单色平面光波 在晶体中的传播特性。这样处理，可不 考虑介质的色散特性，同时，对于任意 复杂的光波，因为光场可以通过傅里叶 变换分解为许多不同频率的单色平面光 波的叠加，所以也不失其普遍性。
由电磁场理论已知，介电常数ε 是表征介质电学特性的 参量。在各向同性介质中，电位移矢量D与电场矢量E满足如 下关系：
D 0 r E
在此，介电常数ε =ε 0ε r是标量，电位移矢量D与电场
矢量E的方向相同，即D矢量的每个分量只与E矢量的相应分量 线性相关。对于各向异性介质(例如晶体)，D和E间的关系为:
2. 光波在晶体中传播特性的一般描述
（1）.单色平面光波在晶体中的传播特性 A.晶体中光电磁波的结构——波动方程

E、D、H ( E0、D0、H 0 )e
n i ( t k r ) c
c H k D n 0c Ek H n kD 0 kH 0
B.能量密度
2 3 (k k ) 31 (k k )] 1 2 3 0
2 2 2 3 2 3 2 1
代入ε 1=ε 2=ε 3=n02，并注意到k21+k22+k23=1，该式简 化为： 2 2 2 0
(n
n )
0
由此得到重根 n′=n″=n0。这就是说，在各向同性介质 或立方晶体中，沿任意方向传播的光波折射率都等于主折射率 n0 ，或者说，光波折射率与传播方向无关。 进一步，把n′=n″=n0的结果代入(4-42)式，可以得到三 个完全相同的关系式：
实际上，一个标量可以看作是一个零阶张量，一
个矢量可以看作是一个一阶张量。从分量的标记方
法看，标量无下标，矢量有一个下标，二阶张量有 两个下标，三阶张量有三个下标。因此，下标的数 目等于张量的阶数。
2. 张量的变换
原坐标系 O x1 x2 x3 中，某张量表示式为［Tij］
' 新坐标系 O x1' x2 x3'
k k k 2 2 2 2 0 2 2 v p v1 v p v2 v p v3
2 1
2 2
2 3
图 4-4 与给定的k相应的D、E和s
④.菲涅耳方程的第四种形式 ——光线菲涅耳方程(光线方程)
s s s 2 2 0 2 nr 1 nr 2 nr 3
可表示为:
T1 0 0 0 T2 0 0 0 T3
最后应指出，张量与矩阵是有区别的， 张量代表一种物理量，因此在坐标变换时， 改变的只是表示方式，其物理量本身并不 变化，而矩阵则只有数学意义。因此，有
时把张量写在方括号内，把矩阵写在圆括
号内，以示区别。
4.1.2 晶体的介电张量
中，张量表示式为［Tij′］
' ' 则当原坐标系O-x1x2x3与新坐标系 O x1' x2 x3 的坐标变换 矩阵为［aij］时， [Tij' ] 与 [Tij ] 的关系为 :
T ' T ' T ' a a a T T T a a a 11 12 13 11 12 13 11 12 13 11 21 31 ' ' ' T21 T22 T23 a21 a22 a23 T21 T22 T23 a12 a22 a32 ' ' ' T31 T32 T33 a31 a32 a33 T31 T32 T33 a13 a23 a33
其分量变换公式为:
A aij Aj
' i
i, j=1, 2, 3
3. 对称张量
一个二阶张量［Tij］，如果有Tij=Tji，称为对称张 量，它只有六个独立分量。与任何二次曲面一样，二阶对称 张量存在着一个主轴坐标系，在该主轴坐标系中，张量只有 三个对角分量非零，为对角化张量。于是，当坐标系进行主 轴变换时， 二阶对称张量即可对角化。例如，某一对称张 量:
2 1
2 2
2 3
s
2 1
1 1 2 2 vr v1

s
2 2
1 1 2 2 vr v2

s
2 3
1 1 2 2 vr v3
0
3. 光在几类特殊晶体中的传播规律
上面从麦克斯韦方程组出发，直接推出了光波在晶体中
传播的各向异性特性，并未涉及具体晶体的光学性质。下 面，结合几类特殊晶体的具体光学特性，从晶体光学的基本 方程出发，讨论光波在其中传播的具体规律。
n w |S | c
图 4-1
平面光波的电磁结构
C.相速度和光线速度
相速度vp：
c vp vpk k n
光线速度vr：
|S| vr vr s s w 相速度与光线速度之间的关系：
v p vr s k vr cos
图 4-2 vp与vr的关系 (AB表示波阵面)
(2).光波在晶体中传播特性的描述 A.晶体光学的基本方程——广义本征值方程
4.1.3 晶体的光学各向异性 ——七大晶系的光学性质简介
表 4 - 1 各晶系的介电张量矩阵
4.2 光在晶体中传播的解析法描述
根据光的电磁理论， 光在晶体中的传播特性 仍然由麦克斯韦方程组描述。
1. 麦克斯韦方程组
在均匀、不导电、非磁性的各向异性介质(晶体)中，若
没有自由电荷存在，麦克斯韦方程组为：
式中， T是关联p和q的二阶张量。在直角坐标系Ox1x2x3中，上式可表示为矩阵形式 ：
式中，三个矩阵分别表示矢量p、二阶张量 和矢量q。二 T
阶张量有九个分量，每个分量都与一对坐标(按一定顺序) 相关。张量也可以用其分量形式表示如下：
p1 T11 T12 T13 q1 p T T T 21 22 23 q2 2 q p3 T31 T32 T33 3
如果矢量p与两个矢量u和v相关，其一般关系式为：
p T : uv
分量表示式为：
式中， 为三阶张量，它包含27个张量元素，其矩阵形式为： T
pi=Tijkujvk
i, j, k=1, 2, 3

T111 T122 T133 T123 T132 T131 T113 T112 T121 Tijk T211 T322 T233 T223 T232 T231 T213 T212 T221 T311 T322 T333 T323 T332 T331 T313 T312 T321
1 0 0 0 2 0 0 0 3
ε 1,ε 2,ε 3 称为主介电系数。由麦克斯韦关系式：
n
r
n2,n3。在主轴坐标系
还可以相应地定义三个主折射率n1, 中，电位移矢量的分量形式可表为：
Di 0i Ei i 1,2,3
此外，由固体物理学知道，不同晶体的结构具有不同的 空间对称性，自然界中存在的晶体按其空间对称性的不同， 分为七大晶系：立方晶系；四方晶系；六方晶系；三方晶 系；正方晶系；单斜晶系；三斜晶系。
根据电磁能量密度公式有：
1 n n we E D E (H k ) (E H ) k 2 2c 2c
1 n n wm B H H ( E k ) ( E k ) k 2 2c 2c
w we wm
n | S | sk c
(1).各向同性介质或立方晶体
各向同性介质或立方晶体的主介电系数
ε 1=ε 2=ε 3=n02
根据前面讨论的有关确定晶体中光波传播特性的思路， 将波法线菲涅耳方程通分、整理,得到：
2 2 n 4 (1k12 2 k 2 3k32 ) n 2 [1 2 (k12 k2 )
由于它们的对称性不同，所以在主轴坐标系中介电张量
的独立分量数目不同，各晶系的介电张量矩阵形式如表4-1所 示。由该表可见，三斜、单斜和正交晶系中，主介电系数 ε 1≠ε 2≠ε 3,这几类晶体在光学上称为双轴晶体；三方、 四方、六方晶系中，主介电系数ε 1=ε 2≠ε 3,这几类晶体在 光学上称为单轴晶体；立方晶系在光学上是各向同性的， ε 1=ε 2=ε 3。
B.菲涅耳方程
①.菲涅耳方程的第一种形式 ——波法线菲涅耳方程(即波法线方程)
Di
0 ki (k E ) i
1 1 2 n
②.菲涅耳方程的第二种形式
k
2 1
1 1 2 n 1

k
2 2
1 1 2 n 2

k
2 3
1 1 2 n 3
0
③.菲涅耳方程的第三种形式
T 11 T21 T31
T 12 T22 T32
T 13 T23 T33
经上述主轴变换后，
' ' ' ' ' ' ' ' ' T11 T1, T22 T2 , T33 T3 , T12 T21 T13 T31 T23 T32 0,