抛物线及其标准方程优质课ppt
合集下载
课件_人教版高中数学选修-抛物线及其标准方程PPT课件_优秀版
过点F垂直于l的直线.
解:(1)因为2p=6,p=3，故抛物线的焦点坐标为
1 求曲线方程的基本步骤是怎样的？
(1)焦点是F（3,0）； （2）准线方程是 x ； 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
4 二、新知探究——二次函数图像与抛物线
，准线方程为
(3)焦点到准线的距离是2. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
· N
M
∟ ∟
离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点，
·F
· 定直线l叫做抛物线的准线. F
探究：若直线l过定点F，动点M的轨迹是什么？
过点F垂直于l的直线.
二、新知探究——抛物线的标准方程
求曲线方程 的基本步骤 是怎样的？
l
∟
· N
M
·F
建系 设点 列式（限） 代入 化简
二、新知探究——抛物线的标准方程
∟
∟
M (2)已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程. N 方程y2=2px(p>0)叫做抛物线的标准方程.
· 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
N
M·
ly
∟
· N
M
一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.
∟
K o ·F x K o ·F x K 求曲线方程的基本步骤是怎样的？
y
【解题关键】
M
看出M点与F的距离与它到直线l：
-5 -4
4
x+4=0的距离相等，然后根据抛物
OF
x
线的定义求出p，写出方程即可. l
四、归纳小结
知识层面： 抛物线的定义； 抛物线的标准方程.
抛物线及其标准方程(共32张PPT)高中数学人教A版选择性必修第一册
(1)椭圆的离心率范围为0<e<1 ;(2) 双曲线的离心率的范围是e>1 ;(3)当e=1 时，它的轨迹是什么? 抛物线我们已经学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线，今天我们类比椭圆、 双曲线的研究过程与方法，研究另一类圆锥曲线——抛物线.
情景导入
02抛物线及其标准方程 P A R T 0 N E
抛物线及其标准方程
,准线为
为F
抛物线及其标准方程 从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标(x,y)都是方程①的解，以方 程①的解为坐标的点(x,y)与抛物线的焦点 的距离和它到准线 的 距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上，我们把方程①叫做抛物线 的标准方程，它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是 ,准线是 的抛物线 .
将点(一2,3)代入抛物线方程y 得
抛物线及其标准方程
∴满足条件的抛物线的标准方程为(2)直线x—y+2=0 与两坐标轴的交点为(一2,0),(0,2). 若抛物线的焦点为(一2,0),设其方程为y²=—2px(p>0).
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形 式的标准方程，抛物线的标准方程有哪些不同的形式?请探究之后填写下表. 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 y²=2px(p>0) F(2,0) x=-2 y²=-2px(p>0) F(-2,0) x=2 x²=2py(p>0) F(0,2) y=-2 x²=-2py(p>0) F(0,-2 y=2
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 求轨迹方程C P_ 建立直角坐标系?使方程形式足够简洁 !
设M(x,y) 是抛物线上一点，则M 到F的距离为则M到直线l的距离为所以上式两边平方，整理可得y²= 2px ①
情景导入
02抛物线及其标准方程 P A R T 0 N E
抛物线及其标准方程
,准线为
为F
抛物线及其标准方程 从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标(x,y)都是方程①的解，以方 程①的解为坐标的点(x,y)与抛物线的焦点 的距离和它到准线 的 距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上，我们把方程①叫做抛物线 的标准方程，它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是 ,准线是 的抛物线 .
将点(一2,3)代入抛物线方程y 得
抛物线及其标准方程
∴满足条件的抛物线的标准方程为(2)直线x—y+2=0 与两坐标轴的交点为(一2,0),(0,2). 若抛物线的焦点为(一2,0),设其方程为y²=—2px(p>0).
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形 式的标准方程，抛物线的标准方程有哪些不同的形式?请探究之后填写下表. 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 y²=2px(p>0) F(2,0) x=-2 y²=-2px(p>0) F(-2,0) x=2 x²=2py(p>0) F(0,2) y=-2 x²=-2py(p>0) F(0,-2 y=2
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 求轨迹方程C P_ 建立直角坐标系?使方程形式足够简洁 !
设M(x,y) 是抛物线上一点，则M 到F的距离为则M到直线l的距离为所以上式两边平方，整理可得y²= 2px ①
抛物线及其标准方程(省优质课及教案)精选教学PPT课件
设︱KF︱= p （p > 0),
p 则F（ 2
，0），l：x = -
p 2
设点M的坐标为（x，y），
· N M ·x
Ko F
由定义得： (x p )2 y2 x p
2
2
化简得 y2 = 2px（p＞0）
(焦点在x轴正半轴上，坐标（p/2,0）,准线方程x=-p/2.) P 为焦 点 到 准 线 的 距 离
|MN|
l
· N
M
· K
F
|MF|=|MN| 即|M__F_| =e=1
|MN|
设︱KF︱= p
一、定义: 平面内与一定点F和一定直线的距离相等的点的轨迹
叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛 物线的准线.
yl
· N M
· o
Fx
l
y
· N M
·o F x
ly
· N M · o F x
的事，每当小姨妈讲起那段往事，我就想起那苦难无助地童年，小姨妈无私的爱，让我永远难忘。小姨妈的人生很苦，很少有人去关她，可是她却为我们这些没有母爱的孩子现出了她的青春和所有的爱。
我母亲去世后小姨妈也经常照顾我，关心我。她不但关爱我，还有我的三姨家兄弟妹们。还在我母亲没有去世时，我的三姨妈由于有病去世了，留下四个孩子，最小的才两岁，她为了照顾这四个孩子，就和我三姨父结婚，把他们养大成人，现在孩子们都有了自己的家， 可是小姨妈由于劳累过度，而病倒了，现在病在床上不能自理，当我今年回家看到小姨妈时，我很惭愧，她为我们付出的太多了，可我们又给了她什么，她看到我时那含泪的笑容，我才体会到母爱的无私和伟大，也许她不求我们什么，能常回家看看足矣，可我们却做不到，
小时候，我可以在母亲的背上无忧无虑的长大，是母亲编织了女儿的梦，点燃了心中那盏灯，伴我走过人生那坎坷的路程。
《抛物线及其标准方程一》(课件)
几何意义
抛物线的形状像一条平滑的曲线 ，它是由所有与焦点和准线等距 的点组成的。
焦点与准线
焦点
抛物线上的一个固定点，通常用大写 字母F表示。所有抛物线上的点到焦 点的距离都等于到准线的距离。
准线
抛物线所在平面内的一条定直线，通 常用小写字母l表示。准线与抛物线的 对称轴平行，且到焦点的距离等于焦 距。
抛物线与对称轴的交点，也称为抛物线的最高点或最低点。顶点的坐标可以通过 抛物线的标准方程求出。
对称轴
抛物线的一条直线，它经过顶点且与抛物线交于两点。对称轴与x轴平行或重合 ，且所有关于对称轴对称的点都在抛物线上。对称轴的方程可以通过抛物线的标 准方程求出。
02
标准方程推导与形式
标准方程推导过程
引入抛物线的定义
顶点位置
抛物线的顶点位置可以由 标准方程直接得出。
借助计算机软件进行可视化展示
使用数学软件
结合动态演示
如Mathematica、MATLAB等数学软 件，可以直接输入抛物线的标准方程， 进行可视化展示。
通过计算机软件，还可以实现抛物线 的动态演示，更直观地展示抛物线的 性质。
使用绘图工具
如GeoGebra、Desmos等在线绘图 工具，也可以方便地绘制出抛物线的 图像。
为：$d=|x+p|$。
对于开口向上或向下的抛物线， 焦点到直线上任意点的距离公式
为：$d=|y+p|$。
注意：这里的距离公式是在标准 方程下的特殊情况，对于一般的 抛物线方程，需要根据具体情况
进行推导。
03
抛物线图像绘制方法
利用描点法绘制图像
01
02
03
确定抛物线的顶点
根据抛物线的标准方程， 可以确定抛物线的顶点坐 标。
抛物线的形状像一条平滑的曲线 ，它是由所有与焦点和准线等距 的点组成的。
焦点与准线
焦点
抛物线上的一个固定点，通常用大写 字母F表示。所有抛物线上的点到焦 点的距离都等于到准线的距离。
准线
抛物线所在平面内的一条定直线，通 常用小写字母l表示。准线与抛物线的 对称轴平行，且到焦点的距离等于焦 距。
抛物线与对称轴的交点，也称为抛物线的最高点或最低点。顶点的坐标可以通过 抛物线的标准方程求出。
对称轴
抛物线的一条直线，它经过顶点且与抛物线交于两点。对称轴与x轴平行或重合 ，且所有关于对称轴对称的点都在抛物线上。对称轴的方程可以通过抛物线的标 准方程求出。
02
标准方程推导与形式
标准方程推导过程
引入抛物线的定义
顶点位置
抛物线的顶点位置可以由 标准方程直接得出。
借助计算机软件进行可视化展示
使用数学软件
结合动态演示
如Mathematica、MATLAB等数学软 件，可以直接输入抛物线的标准方程， 进行可视化展示。
通过计算机软件，还可以实现抛物线 的动态演示，更直观地展示抛物线的 性质。
使用绘图工具
如GeoGebra、Desmos等在线绘图 工具，也可以方便地绘制出抛物线的 图像。
为：$d=|x+p|$。
对于开口向上或向下的抛物线， 焦点到直线上任意点的距离公式
为：$d=|y+p|$。
注意：这里的距离公式是在标准 方程下的特殊情况，对于一般的 抛物线方程，需要根据具体情况
进行推导。
03
抛物线图像绘制方法
利用描点法绘制图像
01
02
03
确定抛物线的顶点
根据抛物线的标准方程， 可以确定抛物线的顶点坐 标。
3.3.1抛物线及其标准方程-课件(共26张PPT)
7
由图可知,当 ⊥ 时,|| + 最小,最小值为2.
7
即|| + ||的最小值为2 ,
此时P点纵坐标为2,代入2 = 2,得 = 2.
∴点P坐标为(2,2).
9.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露
出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
m2
设 P ( , m ) ，则点 M
2p
p
p
,m ，
2
因为焦点 F 2 , 0 ， FPM 是等边三角形，
m2 p
6
m2 27
2 p 2
.因此抛物线方程为
所以
，解得
p
3
p
p
( )2 m2 6
2 2
y2 6x .
（2）待定系数法．
若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，
若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，
另外，焦点在 x 轴上的抛物线方程统一设成 y2＝ax (a ≠ 0) ，
焦点在 y 轴上的抛物线方程可统一设成 x2＝ay (a ≠ 0)．
跟踪训练
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
5.过抛物线 y 2 2 px( p 0) 的焦点作直线交抛物线于 P( x1 ，y1 ) 、Q( x2 ，y2 ) 两点，若 x1 x2 3 p ，
则 PQ 等于（ A ）
A.4p
B.5p
C.6p
D.8p
6.与圆(x-2)2+y2=1外切,且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是
由图可知,当 ⊥ 时,|| + 最小,最小值为2.
7
即|| + ||的最小值为2 ,
此时P点纵坐标为2,代入2 = 2,得 = 2.
∴点P坐标为(2,2).
9.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露
出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
m2
设 P ( , m ) ，则点 M
2p
p
p
,m ，
2
因为焦点 F 2 , 0 ， FPM 是等边三角形，
m2 p
6
m2 27
2 p 2
.因此抛物线方程为
所以
，解得
p
3
p
p
( )2 m2 6
2 2
y2 6x .
（2）待定系数法．
若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，
若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，
另外，焦点在 x 轴上的抛物线方程统一设成 y2＝ax (a ≠ 0) ，
焦点在 y 轴上的抛物线方程可统一设成 x2＝ay (a ≠ 0)．
跟踪训练
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
5.过抛物线 y 2 2 px( p 0) 的焦点作直线交抛物线于 P( x1 ，y1 ) 、Q( x2 ，y2 ) 两点，若 x1 x2 3 p ，
则 PQ 等于（ A ）
A.4p
B.5p
C.6p
D.8p
6.与圆(x-2)2+y2=1外切,且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是
2.4.1抛物线及其标准方程(公开课课件)
等的点的轨迹叫做抛物线。 定点F叫做抛物线的焦点。
定直线 l 叫做抛物线的准线。
H
M· ·F
思 考：
l
如何建立适当的直角
坐标系？
H
M
F
根据抛物线的几何特征，取经过点F且垂直于直线l的直
线为x轴,垂足为K,并使原点与线段KF的中点重合.建立直
角坐标系xoy。设︱KF︱= p （p＞0）,
则焦点F的坐标为 ( p , 0 )
（2） x 2 1 y 2
（3） 2y2 5x 0
（4） x2 8y 0
(5 , 0 )
(0 , 1 ) 8
( 5 ,0) 8
(0, 2)
x 5
y1 8
x 5 8
y2
思考：
你能说明二次函数 yax2(a0) 的图象
为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、
标准方程。
﹒y
a>0
ox
2p 1 a
x2 1 y a
准线 l 的方程为
2
x
p
2
ly
· H d M
· 设点M（x，y）是抛物线上任意一点，点
M到l 的距离为d 。
Ko
x F
抛物线就是点的集合 P={M||MF|= d }
所以 (xp)2y2 |xp|
2
2
化简得 yy22 == 22ppxx（（pp＞＞00））
标准方程
ly
方程 y2 = 2px（p＞0） H d M
求它的焦点坐标和准线方程；
解：原方程可化为：
y
x2 1 y p 1 焦 点 坐 标 是 6（ 0， 1） 1 2
准线方程是y 1 24 24
﹒o x
抛物线及其标准方程ppt课件
.
根据题意得 |MF|=d
即
(x
p )2
y2
|
x
p |
2
Байду номын сангаас
2
化简,得 y2 2 px( p 0)
这就是所求的轨迹方程.
l
M(x, y) C
KO F
1.建系，设点 2.列式 3.化简,整理 4.证明（略）
三、标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方
程.其中 p 为正常数, 它所表示的抛物线焦点在 x
定点F叫抛物线的焦点,
定直线l 叫抛物线的准线
H
·M C
焦
·F 点
l
准 线
二、标准方程的推导
如如何图建，以立过坐F且标垂系直于呢l ？的直
线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O
为坐标原点建立直角坐标系xoy.
设M(x,y), |KF|=p (p>0),
则焦点F
( p ,0) 2
,准线l：x p
2
开口方向？
第一：一次项的变量为抛物线的对 称轴，焦点就在对称轴上; 第二：一次项系数的正负决定了抛 物线的开口方向.
四、例题讲解
例1(1)已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，求它的 焦点坐标和准线方程;
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准
方程.
解:(1)因为p=3，所以焦点坐标是 ( 3 , 0) ,
准线方程是 x 3
2
(2)因为焦点在y轴2的负半轴上，且
p 2
2,
p 4 ,所以所求抛物线的标准方程是 x2 8 y
例2、求过点A（-3，2）的抛物线的
标准方程。
抛物线及其标准方程ppt课件
l
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l（l 不经
H
过点 F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F
叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线.
准线
M
F
焦点
根据抛物线的几何特征，如图，取经过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 x 轴，垂
足为 K，并使原点与线段 KF 的中点重合，建立平面直角坐标系 Oxy.设| KF | p( p 0) ，
的值是( C)
A. 4
B.2
C.4
D.8
解析：抛物线的准线方程为：
x
p 2
，因为
M
到焦点距离为
5，所以
M
到准线
的距离1 p 5 ，即 p 8 ，则抛物线方程为 y2 16x .将1, m 代入得：m2 16 ，
2
因为 m 0，所以 m 4 .故选：C.
5.抛物线 y2 mx( m 0) 的准线方程为 x 2 ， 那么抛物线 y mx2 的焦点坐标为
焦点坐标
p 2
,
0
p 2
,
0
0,
p 2
0,
p 2
准线方程
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
四种标注方程对应抛物线的比较 相同点：
（1）顶点都是原点
（2）焦点都在坐标轴上
·
（3）焦点到准线的距离都是 p
（4）准线与焦点所在的坐标轴垂直，准线与坐标轴的交点与焦点关于原点对称，
它们与原点的距离都等于
p 2
1，得到
p
2
.
A 2.抛物线 y x 2 的焦点到双曲线 x2 y2 1 的渐近线的距离为( ) 24
抛物线及其标准方程课件127张PPT人教B版选修11
8
（0，-2）
y= - —1
8
x= —5 y=28
例2：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波 束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线， 经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径） 为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线 的标准方程和焦点坐标。
y
A
. o
Fx
B
解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直 角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与 原点重合。
x2 y2 x p
y p 2
2
化简得： 2 px ( p 0)
二、标准方程的推导
y
解法三：以过F且垂直于 l 的直
M(x,y) 线为x轴,垂足为K.以F,K的中点
Ko F
O为坐标原点建立直角坐标系xoy.
x 设 M( x, y), FK p ,
l
则焦点 F( p , 0) ,准线 l : x p
点 M (x, y) ，由抛物线定义得：
(x p)2 y2 x
化简得：y 2
2
px
p
2
(
p
0)
y.
M(X,y)
O
.
F
x
l
二、标准方程的推导
解法二：以定点F 为原点，过点F 垂直于L的直线为x 轴建
立直角坐标系（如下图所示），则定点F (0, 0) ，L 的方程
为x p
设动点 M (x, y)，由抛物线定义得
（y23=）4焦x、点到y准2 线= 的-4距x、离是x22。=4y 或 x2 = -4y
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2 = 20x (2)x2= 1 y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0 2
（0，-2）
y= - —1
8
x= —5 y=28
例2：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波 束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线， 经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径） 为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线 的标准方程和焦点坐标。
y
A
. o
Fx
B
解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直 角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与 原点重合。
x2 y2 x p
y p 2
2
化简得： 2 px ( p 0)
二、标准方程的推导
y
解法三：以过F且垂直于 l 的直
M(x,y) 线为x轴,垂足为K.以F,K的中点
Ko F
O为坐标原点建立直角坐标系xoy.
x 设 M( x, y), FK p ,
l
则焦点 F( p , 0) ,准线 l : x p
点 M (x, y) ，由抛物线定义得：
(x p)2 y2 x
化简得：y 2
2
px
p
2
(
p
0)
y.
M(X,y)
O
.
F
x
l
二、标准方程的推导
解法二：以定点F 为原点，过点F 垂直于L的直线为x 轴建
立直角坐标系（如下图所示），则定点F (0, 0) ，L 的方程
为x p
设动点 M (x, y)，由抛物线定义得
（y23=）4焦x、点到y准2 线= 的-4距x、离是x22。=4y 或 x2 = -4y
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2 = 20x (2)x2= 1 y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定义可知，
| MF|? d
| MF |? ( x ? p )2 ? y 2
d ?| x ?
p |,
2
2
?
(x ?
p)2 ?
y2
?| x ?
p |.
2
2
将上式两边平方并化简，得：y 2 ? 2 px
y
方程 y2 ? 2 px 叫抛物线的标准
方程，它表示的抛物线的焦点在 x轴
的正半轴上，焦点坐标是 ( p ,0)，它 O
点处 .已知接收天线的口径 ?直径 ?为 4.8m,深
度为0.5m,求抛物线的标准方程和 焦点坐标 . y A
?1?
图2.3 ? 3
O
Fx
B
?2?
y
解 如图2.3 ? 3 ?2?, 在接收天
A
线的轴截面所在平面内建立
直角坐标系, 使接收天线的顶
O
Fx
点 ?即抛物线的顶点?与原点
重合.
B ?2?
设抛物线的标准方程是 y 2 ?
(4)焦点是直线 x+y+1=0与坐标轴的交点 , 故 F (0, ? 1)
或 F ( ? 1, 0) ，所以
y2 ? ? 4x
p 2
?
1,
p
?
2
，故方程为
x2
?
?4y
或
例 2 一种卫星接收天线的轴 截面如图 2.3 ?
3 ?1?所示 .卫星波束呈近似平行状 态射入轴
截面为抛物线的接收天 线,经反射聚集到焦
所以所求抛物线的标准方程是 x2 =－8y.
(2)标准方程为 y2 ? 2 p x 或 x2 ? 2 p y ，将点(2 , 2)
代入解得 p ? 1 故所求方程为 y2 ? 2x 或 x2 ? 2 y
(3)标准方程为 y2 ? ? 2 px ，由
p 2
?
1
4得
p?
1 2
，
所求方程为 y2 ? ? x
新课讲授:
1、定义
平面内与一个定点 F和一条定 直线l（l不经过点F）的距离相等
的点的轨迹叫做 抛物线。
定点F叫做抛物线的 焦点。 定直线l 叫做抛物线的 准线。
2、标准方程
想 一 想 ？
步骤：
（1）建系设点 （2）找等量关系式 （3）代入坐标 （4）化简方程 （5）证明（常略）
如何建立直角 坐标系？
（第一课时）
复习引入:
1、平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离
的比为常数 e(0<e<1 )的点的轨迹是 椭圆.
2、平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离
的比为常数 e(e>1 )的点的轨迹是双曲线.
那么当 e=1，即平面内与一
个定点F和一条定直线 l 的距离
相等时，点的轨迹是什么呢？
做 一 做
请根据前面求出的抛物线的标准方程完成下表 : 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2 ? 2 px
?p ? 0?
?? p ,0 ?? ?2 ?
x?? p 2
y2 ? ? 2 px
?p ? 0?
x 2 ? 2 py
?p ? 0?
? ?
?
p
,0
? ?
?2 ?
?? 0, p ?? ? 2?
p x?
2 y? ? p
F(5 ，0) ；x ? ?5
（2）x2 ? 1 y 2
（3）2 y2 ? 5 x ? 0
F (0 ，1) ；y ? ? 1 F(? 5，80) ；x ? 5 8
（4）x2 ? 8 y ? 0
8
8
F(0 ，? 2) ；y ? 2
2、根据下列条件写出抛物线的标准方程
（1）焦点是F (3 ，0)；
y2 ? 12x
?? ?
p
,0
? ?
?2?
?? 0, p ?? ? 2?
x? p 2 p
y? ? 2
x 2 ? ? 2 py
?p ? 0?
??0,? p ?? ? 2?
p y?
2
作业布置：
课本p64 练习2、3、5.
课外练习：
1、求抛物线 y2 ? a x (a ? 0)的焦点和准线方程。
2、求过点 A（-3，2）的抛物线的标准方程。
图2.3 ? 3
2 px?p ? 0?. 由已知条件可得 ,点A的坐标是
?0.5,2.4?,代入方程得 2.42 ? 2 p ? 0.5 ,即p ? 5.76.
所以,所求抛物线的标准方程是 y2 ? 11.52x,
焦点坐标是 ?2.88,0?.
反馈练习
1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
（1）y2 ? 20 x
（2）准线方程是x ? ? 1；
y2 ? x
4 （3）焦点到准线的距离为 2；
y2 ? ? 4x或 x2 ? ? 4y
课堂小结
1、掌握抛物线的定义。
平面内与一个定点 F和一条定直线 l（l不经过点F）
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
2、深化曲线方程的求解方法 : （1）建系设点（ 2）找等量关系式 （3）代入 （4）化简.
(3)抛物线过原点 ； (4)焦点到准线的距离均为p； (5) 焦点与准线和坐标轴的交点关于原点对称。
口诀:
对称轴要看一次项,符号确定开口方向;
（看x的一次项系数,正时向右,负向左; 看y的一次项系数,正时向上,负向下.）
求p！
想一想
求抛物线的标准方程、焦点坐标、 准线方程时，关键是求什么？
例题讲解
3、掌握并理解抛物线的四种形式的标准方程 . 注：①p的几何意义是： 焦点到准线的距离； ②对称轴看一次项系数 ,符号确定开口方向。
图形
标准方程
y2 ? 2 px
?p ? 0?
焦点坐标
?? p ,0 ?? ?2 ?
准线方程
x?? p 2
y2 ? ? 2 px
?p ? 0?
x 2 ? 2 py
?p ? 0?
2
x 2 ? ? 2 py
?p ? 0?
??0,? p ?? ? 2?
y? p 2
思 考
共你 同能 点说 和出 不四 同种 点图 吗形 ？的
y2 ? 2 px
y2 ? ? 2 px
x 2 ? 2 py
x 2 ? ? 2 py
?p ? 0?
?p ? 0?
?p ? 0?
?p ? 0?
数形共同点:
(1)焦点在坐标轴上; (2)对称轴为坐标轴;
例1 ?1?已知抛物线的标准方程 是 y2 ? 6x,
求它的焦点坐标和准线 方程 ;
?2?已知抛物线的焦点是 ?0,? 2?, 求它的标准
方程.
解 ?1?因为 p ? 3, 所以抛物线的焦点坐标
是
?? ?
3 2
,0
?? ?
,
准线方程是
3 x ? ? 2.
?2 ?因为抛物线焦点在 y轴的负半轴上 , 且
求曲线方程的基本 步骤是怎样的？
如图，建立直角坐标系xOy ，
y
使x轴经过点F且垂直于直线 l，垂足为K，
并使原点与线段KF的中点重合.
设 KF ? p( p ? 0) ，那么焦点F的坐标
为(
p 2
,0 )
， 准线l
的方程为 x
?
?
p. 2
O
x
设点M（x,y）是抛物线上任意
一点，点M到l 的距离为d.由抛物线的
的准线方程是 x? ? p.
2
x
2
注意：
p的几何意义是：焦点到准线的距离。
思考： 能否从抛物线 y2=2px推出开口相反
的抛物线的标准方程 ?
y
y
x O F
x
FO
y2=2px
想一想
如右图所示，两抛物线 关于y轴对称,只需在 y2 ? 2 px 中以-x 代换x即可.
M
y2 ? ? 2 px
M' y2=2px
p 2
?
2,
p
?
4, 所以 , 所求抛物线的标准方程
是 x2 ? ?8y.
例3 根据已知条件，求抛物线的标准方程 .
(1)焦点坐标为 F ?0,? 2? (2) 经过点(2 , 2)
(3)准线方程为 x ? 1 (4) 焦点在直线 x+y+1=0
4
p
解： (1)因为焦点在 y轴的负半轴上，并且
? 2, p ? 4, 2