抛物线及其标准方程优质课ppt

图2.3 ? 3
2 px?p ? 0?. 由已知条件可得 ,点A的坐标是
?0.5,2.4?,代入方程Hale Waihona Puke Baidu 2.42 ? 2 p ? 0.5 ,即p ? 5.76.
所以,所求抛物线的标准方程是 y2 ? 11.52x,
焦点坐标是 ?2.88,0?.
反馈练习
1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
（1）y2 ? 20 x
F(5 ，0) ；x ? ?5
（2）x2 ? 1 y 2
（3）2 y2 ? 5 x ? 0
F (0 ，1) ；y ? ? 1 F(? 5，80) ；x ? 5 8
（4）x2 ? 8 y ? 0
8
8
F(0 ，? 2) ；y ? 2
2、根据下列条件写出抛物线的标准方程
（1）焦点是F (3 ，0)；
y2 ? 12x
3、掌握并理解抛物线的四种形式的标准方程 . 注：①p的几何意义是： 焦点到准线的距离； ②对称轴看一次项系数 ,符号确定开口方向。
图形
标准方程
y2 ? 2 px
?p ? 0?
焦点坐标
?? p ,0 ?? ?2 ?
准线方程
x?? p 2
y2 ? ? 2 px
?p ? 0?
x 2 ? 2 py
?p ? 0?
的准线方程是 x? ? p.
2
x
2
注意：
p的几何意义是：焦点到准线的距离。
思考： 能否从抛物线 y2=2px推出开口相反
的抛物线的标准方程 ?
y
y
x O F
x
FO
y2=2px
想一想
如右图所示，两抛物线 关于y轴对称,只需在 y2 ? 2 px 中以-x 代换x即可.
M
y2 ? ? 2 px
M' y2=2px
求曲线方程的基本 步骤是怎样的？
如图，建立直角坐标系xOy ，
y
使x轴经过点F且垂直于直线 l，垂足为K，
并使原点与线段KF的中点重合.
设 KF ? p( p ? 0) ，那么焦点F的坐标
为(
p 2
,0 )
， 准线l
的方程为 x
?
?
p. 2
O
x
设点M（x,y）是抛物线上任意
一点，点M到l 的距离为d.由抛物线的
新课讲授:
1、定义
平面内与一个定点 F和一条定 直线l（l不经过点F）的距离相等
的点的轨迹叫做 抛物线。
定点F叫做抛物线的 焦点。 定直线l 叫做抛物线的 准线。
2、标准方程
想 一 想 ？
步骤：
（1）建系设点 （2）找等量关系式 （3）代入坐标 （4）化简方程 （5）证明（常略）
如何建立直角 坐标系？
例1 ?1?已知抛物线的标准方程 是 y2 ? 6x,
求它的焦点坐标和准线 方程 ;
?2?已知抛物线的焦点是 ?0,? 2?, 求它的标准
方程.
解 ?1?因为 p ? 3, 所以抛物线的焦点坐标
是
?? ?
3 2
,0
?? ?
,
准线方程是
3 x ? ? 2.
?2 ?因为抛物线焦点在 y轴的负半轴上 , 且
定义可知，
| MF|? d
| MF |? ( x ? p )2 ? y 2
d ?| x ?
p |,
2
2
?
(x ?
p)2 ?
y2
?| x ?
p |.
2
2
将上式两边平方并化简，得：y 2 ? 2 px
y
方程 y2 ? 2 px 叫抛物线的标准
方程，它表示的抛物线的焦点在 x轴
的正半轴上，焦点坐标是 ( p ,0)，它 O
（2）准线方程是x ? ? 1；
y2 ? x
4 （3）焦点到准线的距离为 2；
y2 ? ? 4x或 x2 ? ? 4y
课堂小结
1、掌握抛物线的定义。
平面内与一个定点 F和一条定直线 l（l不经过点F）
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
2、深化曲线方程的求解方法 : （1）建系设点（ 2）找等量关系式 （3）代入 （4）化简.
?? ?
p
,0
? ?
?2?
?? 0, p ?? ? 2?
x? p 2 p
y? ? 2
x 2 ? ? 2 py
?p ? 0?
??0,? p ?? ? 2?
p y?
2
作业布置：
课本p64 练习2、3、5.
课外练习：
1、求抛物线 y2 ? a x (a ? 0)的焦点和准线方程。
2、求过点 A（-3，2）的抛物线的标准方程。
（第一课时）
复习引入:
1、平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离
的比为常数 e(0<e<1 )的点的轨迹是 椭圆.
2、平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离
的比为常数 e(e>1 )的点的轨迹是双曲线.
那么当 e=1，即平面内与一
个定点F和一条定直线 l 的距离
相等时，点的轨迹是什么呢？
做 一 做
所以所求抛物线的标准方程是 x2 =－8y.
(2)标准方程为 y2 ? 2 p x 或 x2 ? 2 p y ，将点(2 , 2)
代入解得 p ? 1 故所求方程为 y2 ? 2x 或 x2 ? 2 y
(3)标准方程为 y2 ? ? 2 px ，由
p 2
?
1
4得
p?
1 2
，
所求方程为 y2 ? ? x
(3)抛物线过原点 ； (4)焦点到准线的距离均为p； (5) 焦点与准线和坐标轴的交点关于原点对称。
口诀:
对称轴要看一次项,符号确定开口方向;
（看x的一次项系数,正时向右,负向左; 看y的一次项系数,正时向上,负向下.）
求p！
想一想
求抛物线的标准方程、焦点坐标、 准线方程时，关键是求什么？
例题讲解
点处 .已知接收天线的口径 ?直径 ?为 4.8m,深
度为0.5m,求抛物线的标准方程和 焦点坐标 . y A
?1?
图2.3 ? 3
O
Fx
B
?2?
y
解 如图2.3 ? 3 ?2?, 在接收天
A
线的轴截面所在平面内建立
直角坐标系, 使接收天线的顶
O
Fx
点 ?即抛物线的顶点?与原点
重合.
B ?2?
设抛物线的标准方程是 y 2 ?
请根据前面求出的抛物线的标准方程完成下表 : 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2 ? 2 px
?p ? 0?
?? p ,0 ?? ?2 ?
x?? p 2
y2 ? ? 2 px
?p ? 0?
x 2 ? 2 py
?p ? 0?
? ?
?
p
,0
? ?
?2 ?
?? 0, p ?? ? 2?
p x?
2 y? ? p
2
x 2 ? ? 2 py
?p ? 0?
??0,? p ?? ? 2?
y? p 2
思 考
共你 同能 点说 和出 不四 同种 点图 吗形 ？的
y2 ? 2 px
y2 ? ? 2 px
x 2 ? 2 py
x 2 ? ? 2 py
?p ? 0?
?p ? 0?
?p ? 0?
?p ? 0?
数形共同点:
(1)焦点在坐标轴上; (2)对称轴为坐标轴;
(4)焦点是直线 x+y+1=0与坐标轴的交点 , 故 F (0, ? 1)
或 F ( ? 1, 0) ，所以
y2 ? ? 4x
p 2
?
1,
p
?
2
，故方程为
x2
?
?4y
或
例 2 一种卫星接收天线的轴 截面如图 2.3 ?
3 ?1?所示 .卫星波束呈近似平行状 态射入轴
截面为抛物线的接收天 线,经反射聚集到焦
p 2
?
2,
p
?
4, 所以 , 所求抛物线的标准方程
是 x2 ? ?8y.
例3 根据已知条件，求抛物线的标准方程 .
(1)焦点坐标为 F ?0,? 2? (2) 经过点(2 , 2)
(3)准线方程为 x ? 1 (4) 焦点在直线 x+y+1=0
4
p
解： (1)因为焦点在 y轴的负半轴上，并且
? 2, p ? 4, 2