材料性能学 第一章热学性能

一、热学性能的物理本质 二、简谐近似 三、简谐振动特点 四、声子
一、热学性能的物理本质 1、固体材料分类
晶体: 长程有序
固体 非晶体: 不具有长程序的特点,短程有序。
准晶体: 有长程取向性，而没有长程的平移对称性。
长程有序: 至少在微米量级范围内原子排列具有周期性。 短程序：非晶体中原子排列保留了原子排列的短程序，即近邻 原子的数目和种类、近邻原子之间的距离(键长)、近邻原子配 置的几何方位(键角)都与晶体相近。
O
2Em , m
B 0 A O
π 2a
2Em
O A
o
2Em m 2Em M
πq
2a
对于光学支格波，相邻原子振动方向都是相反的，相邻质点间
位相差很大。
光学支格波
结论：简谐振动的第三个特点：
(3)低频率格波：频率低、相邻质点间位相差不大——声频支 高频率格波：频率高、相邻质点间位相差很大——光频支
(c)Penrose拼接图案
(a)晶体结构的规则网格
(b)非晶体结构的无规则网格
准晶体具有长程的取向序， 但没有长程的平移对称序， 可以用Penrose拼接图案显示 其结构特点。
为了便于了解晶体的结构，我们做如下假设：
晶体中的原子被看作是不动的刚性小 球，而且晶体中不含各种缺陷（理想 晶体）； 同时把这些刚性小球抽象成一些几何 点。上述中这些抽象的几何点叫做阵 点或格点；
其中ω是波的圆频率，λ是波长，q=2π/λ称为波数。 相同点：形式类似。 不同点： 1)连续介质波中的x表示空间任一点，而试探解中只取na格点 的位置（格波）。由此可知，一个格波解表示所有原子同时 做频率为ω的振动，不同原子之间有位相差，为aq；
2)格波波数q的不唯一性：
xn Aei(tnaq)
a
x
1 2
d2u dr 2
a
x
2
1 6
d3u dr 3
a
x
3
按一般简谐振动把近似互作用能保留到二次项
u(r
)
u(a)
du dr
a
x
1 2
d2u dr 2
a
x2
在上式中 du 0,
dr a
令u(a) 0
则u(r)
1 2
d2u dr 2
a
x2
u(r)
1 2
d2u dr 2
a
x2
m 2 Em (2 eiaq eiaq )
Em[2 (cos aq i sin aq) (cos aq i sin aq)]
Em (2
2 c osaq)
4Em
s in 2
aq 2
化简得到：
2 4Em sin2 ( aq)
m
2
可以发现：(1)上面的解与n无关，表明N个联立方程都归结为 同一个方程。只要ω与q之间满足上式的关系，我们给定的波 解就表示了联立方程的解。
(2)上述给出的波形式的解就表示了晶格中的所有原子以相同频 率振动而形成的波（或某一个原子在平衡位置附近的振动是以 波的形式在晶体中传播的），该波称之为格波。
(3)振动频率ω随Em的增大而提高。
格波与一般连续介质波的关系
xn Aei(tnaq)
对于一般连续介质波
y
i(t 2 x )
Ae
Ae i (t qx )
m
A
(3)低频率格波：频率低--声频支 (ωA)
2Em
M
高频率格波：频率高--光频支(ωO)
π
o
πq
原子振动情况？
2a
2a
2Em cosaqA M2 2Em B 0 m2 2Em A 2Em cosaqB 0
( B ) m2 2Em
A 2Em cosaq
对于声学支格波，相邻原子的振幅之比
材料性能学 第一章热学性能
第一节 热学性能的物理基础 第二节 材料的热容 第三节 材料的热膨胀 第四节 材料的热传导
本章目的就是探讨热性能与材料宏观、微观本质关系， 为研究新材料、探索新工艺打下理论基础。
• 本章重点：热学性能(热容，热膨胀，热传导) • 本章难点：热容模型的推导，热传导的微观机理
)0 xi x j
势能函数仅保留至xi的二次项，称为简谐近似。但在有些物理
问题中需要考是三维的，可以将其简单分解为三个方向的简谐线 性热振动。
3.1 一维单原子晶格的简谐振动
(1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距为a（即原胞体积
为a），每个原子都有相同的原子质量为m。原子限制在沿链的
定义： 材料及其制品在一定温度环境使用过程中，将对不同的温度做 出反映，从而表现出不同的热物理性能，这些热物理性能称为 材料的热学性能。
同学们知道一些应 用热学性能的实例
吗？
温度控制阀
热膨胀的利用
陶 瓷 阀
快速模具
热膨胀的避免
铝合金散热器
热传导绝缘胶带
导热石墨片
热传导的利用
导热油
保温毡
保温材料
四、声子
理论证明：由N个原子组成的晶体的振动等价于3N个谐振子的
振动，谐振子的振动频率就是晶格振动频率。即存在3N个振动
频率 i (i 1,2...3N )
据量子力学，频率为i的谐振子的振动能：
E( i )
(ni
1 2
)
i
则晶格振动的总能量为：
E
3N i 1
ni
1 2
i
其中N为晶体中的原子个数，ni为量子数。即
x (a xn ) (a xn1) xn xn1 f1 Em (xn xn1)
第n个原子相对于右边第n+1个原子的位移和作用力：
x (a xn ) (a xn1) xn xn1
f2 Em (xn xn1)
因此可以得到第n个原子的经典运动方程如下：
••
x m n Em xn xn1 Em xn xn1
M Be 2 i[t(2n1)aq] Em{Aei[t(2n2)aq] Aei(t2naq) 2Bei[t } (2n1)aq]
化简得：
m2 A Em eiaq eiaq B 2Em A
M2B Em eiaq eiaq A 2Em B
可以发现，上述方程与n无关，这表明所有联立方程都归结为 同一对方程，具有上述的格波解。上式看成是以A、B为未知 数的线性齐次方程。
••
x Q原子： M
2 n 1
Em x2n2 x2n 2x2n1
上述两式联立，带入波形式的解
x2n Aeit2naq
x Be 2n1
i[t ( 2 n 1) aq]
m 2 Aei(t2naq) Em{Bei[t(2n1)aq] Bei[t(2n1)aq] 2 Aei(t2naq)}
方向运动(x方向），只考虑最近邻原子间的作用。
第n-2个原子
第n-1个原子 第n个原子
第n+1个原子 第n+2个原子
a
用…xn-1、 xn、 xn+1 …分别表示序号为… n-1、 n、 n+1 …原子
在t时刻偏离平衡位置的位移。
第n-2个原子
第n-1个原子 第n个原子
第n+1个原子 第n+2个原子
将试探解的aq改变2π的整数倍，所有原子的振动实际上没有不
同。这表明aq可以限制在一定范围内。
aq
πq π
a
a
上述q以外的值，并不能提供其它不同的波。
理论证明：波矢的数量和晶体的原胞数目相等。振动频率的 数目和晶体中原子的自由度数相同。
即一维材料内有N个质点，就有N个频率的振动组合在一起， 每个质点的振动应该是所有振动的叠加。 温度高时，质点动能增加，导致振幅和频率增加。 整个晶体的热量应该为各质点热运动时动能的总和：
令
d 2u dr 2
a
Em
则有
u(r)
1 2
Em x2
在上述近似下，相邻原子间的相互作用力:
f
du dr
du dx
Em x
Em 被称为微观弹性模量或力常数或恢复力系数。
再假设各原子之间的弹性恢复力系数均为Em。
考察第n个原子的经典运动方程，它受到左右两个近邻原子对
它的作用力。
第n个原子相对于左边第n-1个原子的位移和作用力：
••
x m n Em xn xn1 Em xn xn1
Em 2xn xn1 xn1
Em xn1 xn1 2xn
与振动方程相似
每个原子对应一个振动方程，若原子链有N个原子，则有N个方
程，上式实际上代表着N个联立的线性齐次方程。
上述振动方程具有波形式的解：
xn Aei(tnaq)
由这些阵点组成的空间排列叫做空间点阵；
为了表达空间点阵的几何规律， 可以用许多相互平行的直线将 阵点连接起来，且格点包括无 遗，从而构成一个三维的几何 格架，这种格架叫做空间格子 或晶格或布喇菲格子。
实际上晶体材料点阵中的质点（原子、离子）总是围绕其平衡 位置作微小的偏离平衡位置的振动，这种振动就为晶格热振动。 晶格热振动就是材料热学性能的物理本质。
a
二、简谐振动 晶格振动是原子自平衡位置发生的微小偏移，是一个典型小振
动问题，处理时一般都取简谐近似。
设晶体中包含N个原子，第n个原子的平衡位置为Rn，偏离平衡
位置的位移矢量为xn(t)，则原子的位置
Rn'(t) = Rn+ xn(t)
xn(t)
而xn(t)可以用三个不同方向的位移分 量表示，则N个原子的位移矢量共有
2n-2
2n-1
2n
2n+1
2n+2
P Em Q 2n 2 2n 1