第二节定积分基本定理

积分的基本原理：微积分基本定理，由艾萨克·牛顿和戈特 弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪分别独自确立。微积分基本 定理将微分和积分联系在一起，这样，通过找出一个函数的原函 数，就可以方便地计算它在一个区间上的积分。积分和导数已成 为高等数学中最基本的工具，并在自然科学和工程学中得到广泛 运用。 积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（参见条 目黎曼积分）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想 为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐 渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。比如说， 路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间 [a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲 线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何 中的基本概念。 对积分概念的推广来自于物理学的需要，并体现在许多重要 的物理定律中，尤其是电动力学。现代的积分概念基于抽象代数 学，主要是由昂利·勒贝格建立的勒贝格积分。
解
d cos x 2 cos( t )dt dx sin x
(2) u ( x ), ( u)
a u

a
u
u
f (t )dt
( u) f ( t )dt f ( t )dt
a
d d du f (u) ( x ) f [ ( x )] ( x ). dx du dx
( x) d ( x) d a f ( t )dt (3) ( x ) f ( t )dt ( x ) f ( t )dt a dx dx
第二节 微积分基本定理
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
0
s(t1 )
s(t 2 )
s (t )
设位置函数为s(t ), 速度函数为v(t ), 在时间 间隔[t1 , t 2 ]内物体经过的路程是速 度函数 v(t )在[t1 , t 2 ]上的定积分

t2
t1
v(t )dt
另一方面, 这段路程又是位置函数 s(t )在区 间[t1 , t 2 ]上的增量
x f t dt (a x b)
x a
积分上限函数
2. 定理1 若 f ( x ) C a, b ( x ) ,
d x 且 ( x ) f ( t )dt f ( x ) a x b a dx
根据导数的定义，“求增量、算比值、取极限” 证 思路：
o a
x
x x x b x
x x
f (t )dt
x
x
f t dt f (t )dt
a
x
f (t )dt
f ( )x
积分中值定理
f ()x,
x, x x
y
显然 x 0 x,
又 f ( x ) C[a , b],
f [ ( x )] ( x ) f [ ( x )] ( x )
d x3 3 2 例1 求 1 t dt dx 1 d x3 3 23 6 2 3 6 3 解 1 t dt 3 x 1 x 1 x (x ) 1 dx
d cos x 2 例2 求 cos( t )dt dx sin x
一、积分上限函数及其导数
1. 定义 设
f ( x ) C[a, b], x [a, b], f x 在区间 a , x
x
定积分与积 分变量无关
上的上限变动的定积分

a
f ( x )dx

x
a
f (t )dt
又确定了一个在 a , x 上的新函数，记作 x , 即
f ( ) x
y f ( x)
lim f ( ) lim f ( ) f ( x ).
x 0
x
x
x l i m lim f ( ) f ( x ). x x 0 x
o a
x x x b x
注 定理说明了：若 f ( x) Ca, b
( x ) f ( t )dt 就是 f x 在 a , b 上的一个原函数.
x a
由此
f x dx
x
a
f (t )dt C
肯定了连续函数的原函数是存在的 揭示了定积分与原函数之间的关系
3. 定理1` 若f t C x , x
x 、 x 在a, b内可导
( x)
a
d dx

d dx
d dx
( x)
f ( t )dt f [ ( x )] ( x )

(1)
(2)
(3)
a
( x)
f ( t )dt f [ ( x )] ( x )

( x)
s(t 2 ) s(t1 )
所以

t2
t1
v(t )dt s(t 2 ) s(t1 )
注意到s' (t ) v(t )，即位置函数 s(t )是速度 函数v(t )的原函数。
猜想：设F ( x)是f ( x)在区间 [a, b]上的原函 数, 则

b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
x (a, b)， 使得x x (a, b),
因为 ( x x )
x x a
y
y f ( x)
f (t )dt .
x
( x x ) ( x )

a
x
x x
a
f t dt f t dt
a
x x
f ( t )dt f [ ( x )] ( x ) f [ ( x )] ( x )

证 ⑴ 设u ( x ), ( u)

u
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a
f ( t )dt,
d d du f (u) ( x ) f ( ( x )) ( x ) dx du dx