2020年高考数学冲刺复习知识点精讲：函数性质的灵活应用含解析
高考数学冲刺函数考点深度解析
高考数学冲刺函数考点深度解析高考对于每一位学子来说，都是人生中的一次重要挑战。
数学作为其中的关键学科，更是备受关注。
在数学的众多考点中，函数无疑是重中之重。
在高考冲刺阶段，对函数考点进行深度解析，能够帮助同学们更有针对性地进行复习，提高数学成绩。
一、函数的基本概念函数是数学中的一个基本概念，简单来说，就是对于给定的一个非空数集，按照某种特定的规则，使得集合中的每一个数都对应着另一个数。
函数通常用符号 y ＝ f(x) 来表示，其中 x 称为自变量，y 称为因变量。
理解函数的定义，关键在于把握“一对一”或“多对一”的对应关系。
也就是说，对于自变量 x 的每一个取值，都只能有唯一的 y 值与之对应。
但一个 y 值可以对应多个 x 值。
例如，函数 y ＝ x²，当 x ＝ 2 或 x ＝－2 时，y 都等于 4。
这就体现了一个 y 值对应多个 x 值的情况。
二、常见函数类型1、一次函数一次函数的表达式为 y ＝ kx ＋ b（k、b 为常数，k ≠ 0）。
其图像是一条直线。
当 k ＞ 0 时，函数单调递增；当 k ＜ 0 时，函数单调递减。
2、二次函数二次函数的一般式为 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）。
它的图像是一条抛物线。
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上，函数有最小值；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下，函数有最大值。
二次函数的对称轴为 x ＝ b ／ 2a，顶点坐标为（b ／ 2a，（4ac b²) ／ 4a）。
3、反比例函数反比例函数的表达式为 y ＝ k ／ x（k 为常数，k ≠ 0）。
其图像是以原点为对称中心的两条曲线。
当 k ＞ 0 时，图像分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x的增大而减小；当 k ＜ 0 时，图像分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。
4、指数函数指数函数的表达式为 y ＝ a^x（a ＞ 0 且a ≠ 1）。
2020高考数学函数和导数知识点归纳汇总(含答案解析)
2020年高考数学（理）函数和导数知识点归纳汇总目录基本初等函数性质及应用 (3)三角函数图象与性质三角恒等变换 (17)函数的图象与性质、函数与方程 (43)导数的简单应用与定积分 (60)利用导数解决不等式问题 (81)利用导数解决函数零点问题 (105)基本初等函数性质及应用题型一 求函数值 【题型要点解析】已知函数的解析式，求函数值，常用代入法，代入时，一定要注意函数的对应法则与自变量取值范围的对应关系，有时要借助函数性质与运算性质进行转化．例1．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]【解析】 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝4231-⎪⎭⎫⎝⎛x 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．【答案】 B例2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋ln 1＋x 2＋x ，x ≥0，3x 2＋ln 1＋x 2－x ，x <0，若f (x －1)<f (2x ＋1)，则x 的取值范围为________．【解析】 若x >0，则－x <0，f (－x )＝3(－x )2＋ln (1＋(－x )2＋x )＝3x 2＋ln (1＋x 2＋x )＝f (x )，同理可得，x <0时，f (－x )＝f (x )，且x ＝0时，f (0)＝f (0)，所以f (x )是偶函数．因为当x >0时，函数f (x )单调递增，所以不等式f (x －1)<f (2x ＋1)等价于|x －1|<|2x ＋1|，整理得x (x ＋2)>0，解得x >0或x <－2.【答案】 (－∞，－2)∪(0，＋∞)例3．已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b＝b a ，则a ＝________，b ＝________.【解析】 ∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12.∵a >b >1，∴log a b <log a a ＝1，∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝bb 2，即b 2b ＝bb 2.∴2b＝b 2，∴b ＝2，a ＝4.【答案】 4；2 题组训练一 求函数值1．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递增．若实数a 满足f (log 2 a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的最小值是( )A.32 B ．1C.12D ．2【解析】 log 12a ＝－log 2a ，f (log 2 a )＋f (log 12a )≤2f (1)，所以2f (log 2a )≤2f (1)，所以|log 2 a |≤1，解得12≤a ≤2，所以a 的最小值是12，故选C.【答案】 C2．若函数f (x )＝a x －2－2a (a >0，a ≠1)的图象恒过定点⎪⎭⎫⎝⎛31,0x ，则函数f (x )在[0,3]上的最小值等于________．【解析】令x －2＝0得x ＝2，且f (2)＝1－2a ，所以函数f (x )的图象恒过定点(2,1－2a )，因此x 0＝2，a ＝13，于是f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2－23，f (x )在R 上单调递减，故函数f (x )在[0,3]上的最小值为f (3)＝－13.【答案】 －13题型二 比较函数值大小 【题型要点解析】三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较； (2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小．例1．已知a ＝3421-⎪⎭⎫ ⎝⎛，b ＝5241-⎪⎭⎫ ⎝⎛，c ＝31251-⎪⎭⎫⎝⎛，则( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．b <a <c【解析】 因为a ＝3421-⎪⎭⎫ ⎝⎛＝243，b ＝5241-⎪⎭⎫ ⎝⎛＝245，c ＝31251-⎪⎭⎫⎝⎛＝523，显然有b <a ，又a ＝423<523＝c ，故b <a <c .【答案】 D例2．已知a ＝π3，b ＝3π，c ＝e π，则a 、b 、c 的大小关系为( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >c >aD ．b >a >c【解析】 ∵a ＝π3，b ＝3π，c ＝e π，∴函数y ＝x π是R 上的增函数，且3>e>1，∴3π>e π，即b >c >1；设f (x )＝x 3－3x ，则f (3)＝0，∴x ＝3是f (x )的零点，∵f ′(x )＝3x 2－3x ·ln 3，∴f ′(3)＝27－27ln 3<0，f ′(4)＝48－81ln 3<0，∴函数f (x )在(3,4)上是单调减函数，∴f (π)<f (3)＝0，∴π3－3π<0，即π3<3π，∴a <b ；又∵e π<πe <π3，∴c <a ；综上b >a >c .故选D.【答案】 D题组训练二 比较函数值大小 1．若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a c <b cB ．ab c <ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c【解析】 对A ：由于0<c <1，∴函数y ＝x c 在R 上单调递增，则a >b >1⇔a c >bc ，A 错误；对B ：由于－1<c －1<0，∴函数y ＝x c －1在(1，＋∞)上单调递减，又∴a >b >1，∴a c －1<b c －1⇔ba c <ab c ，B 错误；对C ：要比较a log b c 和b log a c ，只需比较a ln c lnb 和b lnc ln a ，只需比较ln c b ln b 和ln ca ln a，只需b ln b 和a ln a ；构造函数f (x )＝x ln x (x >1)，则f ′(x )＝ln x ＋1>1>0，f (x )在(1，＋∞)上单调递增，因此f (a )>f (b )>0⇔a ln a >b ln b >0⇔1a ln a <1b ln b ，又由0<c <1得ln c <0，∴ln c a ln a >ln cb ln b⇔b log a c >a log b c ，C 正确；对D ：要比较log a c 和log b c ，只需比较ln c ln a 和ln cln b，而函数y ＝ln x 在(1，＋∞)上单调递增，故a >b >1⇔ln a >ln b >0⇔1ln a <1ln b ，又由0<c <1得ln c <0，∴ln c ln a >ln c ln b ⇔log a c >log b c ，D 错误．故选C.【答案】 C2．设函数f (x )＝e x ＋2x －4，g (x )＝ln x ＋2x 2－5，若实数a ，b 分别是f (x )，g (x )的零点，则( )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<0【解析】 依题意，f (0)＝－3<0，f (1)＝e －2>0，且函数f (x )是增函数，因此函数f (x )的零点在区间(0,1)内，即0<a <1.g (1)＝－3<0，g (2)＝ln 2＋3>0，函数g (x )的零点在区间(1,2)内，即1<b <2，于是有f (b )>f (1)>0.又函数g (x )在(0,1)内是增函数，因此有g (a )<g (1)<0，g (a )<0<f (b )，选A.【答案】 A题型三 求参数的取值范围 【题型要点解析】利用指、对数函数的图象与性质可以求解的两类热点问题及其注意点 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时、常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(3)注意点：利用对数函数图象求解对数型函数性质及对数方程、不等式问题时切记图象的范围、形状一定要准确，否则数形结合时将误解．对于含参数的指数、指数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论．解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次再利用性质求解．例1．已知f (x )＝⎩⎨⎧(1－2a )x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,1D.⎪⎭⎫⎝⎛21,0【解析】 要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎨⎧1－2a ＞0，ln 1≤1－2a ＋3a ，∴⎩⎨⎧a ＜12，a ≥－1，∴－1≤a ＜12.故选C.【答案】 C例2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，则满足f (x )＋f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21x >1的x 的取值范围是________．【解析】 由题意，当x >12时，f (x )＋f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21x ＝2x ＋2x －12>1恒成立，即x >12满足题意；当0<x ≤12时，f (x )＋f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21x ＝2x ＋x －12＋1>1恒成立，即0<x ≤12满足题意；当x ≤0时，f (x )＋f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21x ＝x ＋1＋x －12＋1>1，解得x >－14，即－14<x ≤0.综上，x 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,41 【答案】⎪⎭⎫⎝⎛+∞,41题组训练三 求参数的取值范围例1．若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6，f (x )在(－∞，2]上为减函数，∴f (x )∈[4＋∞)．当x >2时，若a ∈(0,1)，则f (x )＝3＋log a x 在(2，＋∞)上为减函数，f (x )∈(－∞，3＋log a 2)，显示不满足题意，∴a >1，此时f (x )在(2，＋∞)上为增函数，f (x )∈(3＋log a 2，＋∞)，由题意可知(3＋log a 2，＋∞)⊆[4，＋∞)，则3＋log a 2≥4，即log a 2≥1，∴1<a ≤2.【答案】 (1,2]例2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋a ，x <12，4x－3，x ≥12的最小值为－1，则实数a 的取值范围是________．【解析】 当x ≥12时，4x －3为增函数，最小值为f ⎪⎭⎫⎝⎛21＝－1，故当x <12时，x 2－2x ＋a ≥－1.分离参数得a ≥－x 2＋2x －1＝－(x －1)2，函数y ＝－(x －1)2开口向下，且对称轴为x ＝1，故在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,上单调递增，所以函数在x ＝12处有最大值，最大值为－221⎪⎭⎫⎝⎛-＝－14，即a ≥－14.【答案】⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,41【专题训练】 一、选择题1．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)等于( )A ．1B.45 C ．－1D ．－45【解析】 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4<log 220<5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 2 45)＝－(2log 245＋15)＝－1.【答案】C2．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25)B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32)C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3)【解析】 ∵对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)， 且x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数． 又∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． ∵0<0.32<20.3<log 25，∴f (0.32)<f (20.3)<f (log 25)．故选A. 【答案】 A3．已知f (x )是奇函数，且f (2－x )＝f (x )，当x ∈[2,3]时，f (x )＝log 2(x－1)，则f ⎪⎭⎫⎝⎛31等于( )A ．2－log 23B ．log 23－log 27C ．log 27－log 23D ．log 23－2【解析】 因为f (x )是奇函数，且f (2－x )＝f (x )，所以f (x －2)＝－f (x )，所以f (x －4)＝f (x )，所以f ⎪⎭⎫ ⎝⎛31＝f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-312＝f ⎪⎭⎫ ⎝⎛35＝－f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-354＝－f ⎪⎭⎫⎝⎛37.又当x ∈[2,3]时，f (x )＝log 2(x －1)， 所以f ⎪⎭⎫ ⎝⎛37＝log 2⎪⎭⎫⎝⎛-137＝log 243＝2－log 23，所以f ⎪⎭⎫⎝⎛31＝log 23－2，故选D.【答案】 D4．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，设a ＝ln1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，当对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0，则( ) A ．f (a )>f (b )>f (c ) B ．f (b )>f (a )>f (c ) C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (a )>f (b )【解析】 由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x 1)－f (x 2)(x 1－x 2)<0，所以y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递减．又因为函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，所以y ＝f (x )在(－∞，0)上单调递增，由于a ＝ln 1π＝－lnπ<－1，b ＝(ln π)2，c ＝ln π＝12ln π，所以|b |>|a |>|c |，因此f (c )>f (a )>f (b )，故选D.【答案】 D5．已知函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，a ＝(20.2)·f (20.2)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝(log 39)·f (log 39)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b >a >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．a >c >b【解析】 因为函数y ＝f (x )关于y 轴对称，所以函数y ＝xf (x )为奇函数．因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，且当x ∈(－∞，0)时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )<0，则函数y ＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减；因为y ＝xf (x )为奇函数，所以当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减．因为1<20.2<2,0<log π3<1，log 39＝2，所以0<log π3<20.2<log 39，所以b >a >c ，选A.【答案】 A6．设a ＝0.23，b ＝log 0.30.2，c ＝log 30.2，则a ，b ，c 大小关系正确的是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >b >a【解析】 根据指数函数和对数函数的增减性知，因为0<a ＝0.23<0.20＝1，b ＝log 0.30.2>log 0.30.3＝1，c ＝log 30.2<log 31＝0，所以b >a >c ，故选B.【答案】B7．对任意实数a ，b 定义运算“Δ”：a Δb ＝⎩⎨⎧a ，a －b ≤2，b ，a －b >2，设f (x )＝3x＋1Δ(1－x )，若函数f (x )与函数g (x )＝x 2－6x 在区间(m ，m ＋1)上均为减函数，则实数m 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．(0,3]C ．[0,2]D ．[1,3]【解析】 由题意得f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋1，x >0，3x ＋1，x ≤0，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，函数g (x )＝(x －3)2－9在(－∞，3]上单调递减，若函数f (x )与g (x )在区间(m ，m ＋1)上均为减函数，则⎩⎨⎧m ≥0，m ＋1≤3，得0≤m ≤2，故选C.【答案】 C8．已知函数f (x )＝a |log 2 x |＋1(a ≠0)，定义函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x >0，f (－x )，x <0，给出下列命题：①F (x )＝|f (x )|；②函数F (x )是偶函数；③当a <0时，若0<m <n <1，则有F (m )－F (n )<0成立；④当a >0时，函数y ＝F (x )－2有4个零点．其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】 ①∵函数f (x )＝a |log 2x |＋1(a ≠0)，定义函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x >0f (－x )，x <0，∴|f (x )|＝|a |log 2x |＋1|，∴F (x )≠|f (x )|，①不对；②∵F (－x )＝⎩⎨⎧f (－x )，x <0f (x )，x >0＝F (x )，∴函数F (x )是偶函数，故②正确；③∵当a <0时，若0<m <n <1，∴|log 2m |>|log 2n |，∴a |log 2m |＋1<a |log 2n |＋1，即F (m )<F (n )成立，故F (m )－F (n )<0成立，所以③正确；④∵f (x )＝a |log 2x |＋1(a ≠0)，定义函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x >0，f (－x )，x <0，∴x >0时，(0,1)单调递减，(1，＋∞)单调递增， ∴x >0时，F (x )的最小值为F (1)＝1， 故x >0时，F (x )与y ＝－2有2个交点，∵函数F (x )是偶函数，∴x <0时，F (x )与y ＝－2有2个交点，故当a >0时，函数y ＝F (x )－2有4个零点，所以④正确．【答案】D 二、填空题1.已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为____________．【解析】 依题意a ＝g (－log 25.1) ＝(－log 25.1)·f (－log 25.1) ＝log 25.1f (log 25.1)＝g (log 25.1)．因为f (x )在R 上是增函数，可设0＜x 1＜x 2，则f (x 1)＜f (x 2)． 从而x 1f (x 2)＜x 2f (x 2)，即g (x 1)＜g (x 2)． 所以g (x )在(0，＋∞)上亦为增函数．又log 25.1＞0,20.8＞0,3＞0，且log 25.1＜log 28＝3，20.8＜21＜3，而20.8＜21＝log 24＜log 25.1，所以3＞log 25.1＞20.8＞0，所以c ＞a ＞b .【答案】 b <a <c2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ≤1ln (x －1)，1<x ≤2若不等式f (x )≤5－mx 恒成立，则实数m 的取值范围是________．【解析】 设g (x )＝5－mx ，则函数g (x )的图象是过点(0,5)的直线．在同一坐标系内画出函数y ＝f (x )和g (x )＝5－mx 的图象，如图所示．∵不等式f (x )≤5－mx 恒成立，∴函数y ＝f (x )图象不在函数g (x )＝5－mx 的图象的上方．结合图象可得，①当m <0时不成立；②当m ＝0时成立；③当m >0时，需满足当x ＝2时，g (2)＝5－2m ≥0，解得0<m ≤52.综上可得0≤m ≤52.∴实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52.3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ln (1＋x )＋x 2，x ≥0－x ln (1－x )＋x 2，x <0，若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[－1,1]【解析】 函数f (x )＝⎩⎨⎧x ln (1＋x )＋x 2，x ≥0－x ln (1－x )＋x 2，x <0，将x 换为－x ，函数值不变，即有f (x )图象关于y 轴对称，即f (x )为偶函数，有f (－x )＝f (x )，当x ≥0时，f (x )＝x ln(1＋x )＋x 2的导数为f ′(x )＝ln (1＋x )＋x 1＋x＋2x ≥0，则f (x )在[0，＋∞)递增，f (－a )＋f (a )≤2f (1)，即为2f (a )≤2f (1)，可得f (|a |))≤f (1)，可得|a |≤1，解得－1≤a ≤1.【答案】 D4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(3a －1)x －4a ，(x <1)，log a x ， (x ≥1)在R 上不是单调函数，则实数a 的取值范围是________．【解析】 当函数f (x )在R 上为减函数时，有3a －1<0且0<a <1且(3a －1)·1＋4a ≥log a 1，解得17≤a <13，当函数f (x )在R 上为增函数时，有3a －1>0且a >1且(3a －1)·1＋4a ≤log a 1，a 无解．∴当函数f (x )在R 上为单调函数时，有17≤a <13，∴当函数f (x )在R 上不是单调函数时，有a >0且a ≠1且a <17或a ≥13即0<a <17或13≤a <1或a >1.5．定义函数y ＝f (x )，x ∈I ，若存在常数M ，对于任意x 1∈I ，存在唯一的x 2∈I ，使得f (x 1)＋f (x 2)2＝M ，则称函数f (x )在I 上的“均值”为M ，已知f (x )＝log 2x ，x ∈[1,22 016]，则函数f (x )＝log 2x 在[1,22 016]上的“均值”为 ________.【解析】 根据定义，函数y ＝f (x )，x ∈I ，若存在常数M ，对于任意x 1∈I ，存在唯一的x 2∈I ，使得f (x 1)＋f (x 2)2＝M ，则称函数f (x )在I 上的“均值”为M ，令x 1x 2＝1·22 016＝22 016，当x 1∈[1,22 016]时，选定x 2＝22 016x 1∈[1,22 016]，可得M ＝12log 2(x 1x 2)＝1 008.【答案】 1 008三角函数图象与性质三角恒等变换题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式与图象 【题型要点解析】解决三角函数图象问题的方法及注意事项(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．【例1】函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的部分图象如图，则S ＝f (1)＋…＋f (2017)等于( )A ．0 B.4 0312C.4 0352 D.4 0392【解析】由题设中提供的图象信息可知⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝32，－A ＋b ＝12，解得A ＝12，b ＝1，T ＝4⇒ω＝2π4＝π2，所以f(x)＝12sin⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπx2＋1，又f(0)＝12sin⎪⎭⎫⎝⎛+⨯ϕπ2＋1＝12sinφ＋1＝1⇒sinφ＝0，可得φ＝kπ，所以f(x)＝12sin⎪⎭⎫⎝⎛+ππkx2＋1，由于周期T＝4，2017＝504×4＋1，且f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，所以S＝f(1)＋…＋f(2016)＋f(2017)＝2016＋f(2017)＝2016＋f(1)＝2016＋32＝4 0352，故选C.【答案】 C【例2】．已知函数f(x)＝sin2ωx－12(ω>0)的周期为π2，若将其图象沿x轴向右平移a个单位(a>1)，所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为( )A.π4B.3π4C.π2D.π8【解析】∵f(x)＝1－cos 2ωx2－12＝－12cos 2ωx，2π2ω＝π2，解得ω＝2，从而f(x)＝－12cos 4x.函数f(x)向右平移a个单位后，得到新函数为g(x)＝－12cos(4x－4a)．∴cos 4a＝0,4a＝π2＋kπ，k∈Z，当k＝0时，a的最小值为π8.选D.【答案】 D题组训练一函数y＝A sin(ωx＋φ)的解析式与图象1．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，且f (α)＝1，α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛3,0π，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+652πα等于( )A.13 B ．±223C.223D ．－223【解析】由题图可知A ＝3，易知ω＝2，φ＝5π6，即f (x )＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+652πx . 因为f (α)＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+652πα＝1，所以sin ⎪⎭⎫⎝⎛+652πα＝13， 因为α∈⎪⎭⎫⎝⎛3,0π，所以2α＋5π6∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+652πα， 所以cos ⎪⎭⎫⎝⎛+652πα＝－223，故选D. 【答案】 D2．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+322πx ，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】因为C 1，C 2函数名不同，所以将C 2利用诱导公式转化成与C 1相同的函数名，则C 2：y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+322πx ＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2322ππx ＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ，则由C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为y ＝cos 2x ，再将曲线向左平移π12个单位得到C 2，故选D.【答案】 D3．设函数y ＝sin ωx (ω>0)的最小正周期是T ，将其图象向左平移14T 后，得到的图象如图所示，则函数y ＝sin ωx (ω>0)的单调递增区间是( )A.()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-24767,24767ππππ B.()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-24737,24737ππππ C.()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12737,12737ππππ D.()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++242167,24767ππππ 【解析】 方法一 由已知图象知，y ＝sin ωx (ω>0)的最小正周期是2×7π12＝7π6，所以2πω＝7π6，解得ω＝127，所以y ＝sin 127x .由2k π－π2≤127x ≤2k π＋π2得到单调递增区间是()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-24767,24767ππππ 方法二 因为T ＝2πω，所以将y ＝sin ωx (ω>0)的图象向左平移14T 后，所对应的解析式为y ＝sin ω⎪⎭⎫ ⎝⎛+ωπ2x .由图象知，ω⎪⎭⎫ ⎝⎛+ωππ2127＝3π2，所以ω＝127， 所以y ＝sin127x .由2k π－π2≤127x ≤2k π＋π2得到单调递增区间是 ()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-24767,24767ππππ(k ∈Z )． 【答案】 A题型二 三角函数的性质 【题型要点】(1)奇偶性的三个规律：①函数y ＝A sin(ωx ＋φ)是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )，是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )； ②函数y ＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )，是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )；③函数y ＝A tan(ωx ＋φ)是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )．(2)对称性的三个规律①函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )解得，对称中心的横坐标由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )解得； ②函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )解得，对称中心的横坐标由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )解得； ③函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象的对称中心的横坐标由ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z )解得．(3)三角函数单调性：求形如y＝A sin(ωx＋φ)(或y＝A cos(ωx＋φ))(A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0)的单调区间的一段思路是令ωx＋φ＝z，则y＝A sin z(或y＝A cos z)，然后由复合函数的单调性求得．(4)三角函数周期性：函数y＝A sin(ωx＋φ)(或y＝A cos(ωx＋φ))的最小正周期T＝2π|ω|.应特别注意y＝|A sin(ωx＋φ)|的周期为T＝π|ω|.【例3】设函数f(x)＝sinωx·cosωx－3cos2ωx＋32(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4.(1)求ω的值；(2)若函数y＝f(x＋φ)(0<φ<π2)是奇函数，求函数g(x)＝cos(2x－φ)在[0,2π]上的单调递减区间．【解】(1)f(x)＝sinωx·cosωx－3cos2ωx＋3 2＝12sin2ωx－3(1＋cos 2ωx)2＋32＝12sin2ωx－32cos2ωx＝sin⎪⎭⎫⎝⎛-32πωx，设T为f(x)的最小正周期，由f(x)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4，得∴22⎪⎭⎫⎝⎛T＋[2f(x)max]2＝π2＋4，∵f(x)max＝1，∴22⎪⎭⎫⎝⎛T＋4＝π2＋4，整理得T＝2π.又ω>0，T＝2π2ω＝2π，∴ω＝12.(2)由(1)可知f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πx ，∴f (x ＋φ)＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3πϕx .∵y ＝f (x ＋φ)是奇函数，则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πϕ＝0，又0<φ<π2，∴φ＝π3， ∴g (x )＝cos(2x －φ)＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx .令2k π≤2x －π3≤2k π＋π，k ∈Z ，则k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ， ∴单调递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++32,6ππππk k k ∈Z . 又∵x ∈[0,2π]，∴当k ＝0时，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππ；当k ＝1时，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡35,67ππ∴函数g (x )在[0,2π]上的单调递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡35,67ππ.【例4】．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)(ω>0)的最小正周期为4π，则( )A ．函数f (x )的图象关于原点对称B ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称C ．函数f (x )图象上的所有点向右平移π3个单位长度后，所得的图象关于原点对称D ．函数f (x )在区间(0，π)上单调递增【解析】2πω＝4π⇒ω＝12，所以f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx 不是奇函数，图象不关于原点对称；x ＝π3时f (x )＝32不是最值，图象不关于直线x ＝π3对称； 所有点向右平移π3个单位长度后得y ＝sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6)3(21ππx ＝sin 12x 为奇函数，图象关于原点对称；因为x ∈(0，π)⇒12x ＋π6∈⎪⎭⎫⎝⎛32,6ππ，所以函数f (x )在区间(0，π)上有增有减，综上选C.【答案】 C【例5】．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)，x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,12ππ的图象如图所示，若f (x 1)＝f (x 2)，且x 1≠x 2，则f (x 1＋x 2)等于( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2【解析】 根据函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈[－π12，2π3]的图象知，3T 4＝2π3－⎪⎭⎫ ⎝⎛-12π＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2； 又x ＝－π12时，2×⎪⎭⎫⎝⎛-12π＋φ＝0，解得φ＝π12， ∴f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ；又f (x 1)＝f (x 2)，且x 1≠x 2，不妨令x 1＝0，则x 2＝π3， ∴x 1＋x 2＝π3，∴f (x 1＋x 2)＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+⨯632ππ＝1.故选A. 【答案】 A题组训练二 三角函数的性质1．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫ ⎝⎛≤>>2,0,0πϕωA 图象的一部分．为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点( )A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【解析】 观察图象知，A ＝1，T ＝2⎪⎭⎫⎝⎛-365ππ＝π，ω＝2πT ＝2，即y ＝sin(2x ＋φ)；将点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,3π代入得⎪⎭⎫⎝⎛+⨯ϕπ32sin ＝0，结合|φ|≤π2，得φ＝π3，所以y ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx .故选A. 【答案】 A2．已知函数f (x )＝cos 2ωx 2＋32sin ωx －12(ω＞0)，x ∈R ，若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A.⎥⎦⎤⎝⎛125,0π B.⎥⎦⎤ ⎝⎛125,0π∪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1211,65 C.⎥⎦⎤ ⎝⎛65,0π D.⎥⎦⎤ ⎝⎛125,0π∪⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,65 【解析】 函数f (x )＝cos 2ωx 2＋32sin ωx －12＝12cos ωx ＋32sin ωx ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πωx ，可得T ＝2πω≥π，0＜ω≤2，f (x )在区间(π，2π)内没有零点，函数的图象如图两种类型，结合三角函数可得：⎩⎪⎨⎪⎧ωπ＋π6≥02ωπ＋π6≤π或⎩⎪⎨⎪⎧πω＋π6≥π2ωπ＋π6≤2π，解得ω∈⎥⎦⎤ ⎝⎛125,0π∪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1211,65.故选B.【答案】 B题型三 三角恒等变换 【题型要点解析】三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等； (2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．【例6】如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C位于第一象限，点B 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-135,1312，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2·cos α2－32的值为________．【解析】由题意得|OC |＝|OB |＝|BC |＝1， 从而△OBC 为等边三角形，所以sin ∠AOB ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ3＝513，又因为3cos 2α2－sinα2cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ3＝513.【答案】513【例7】．已知sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-8πα＝45，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+83πα等于( ) A ．－45B.45 C ．－35D.35【解析】 ∵sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-8πα＝45，则cos ⎪⎭⎫⎝⎛+83πα＝cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+82παπ＝－sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-8πα＝－45，故选A.【答案】 A【例8】．已知cos α＝35，cos(α－β)＝7210，且0<β<α<π2，那么β等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3【解析】 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)，由已知cos α＝35，cos(α－β)＝7210，0<β<α<π2，可知sinα＝45，sin(α－β)＝210 ，代入上式得cos β＝35×7210＋45×210＝25250＝22，所以β＝π4，故选C.【答案】 C题组训练三 三角恒等变换1．若sin α＋3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+απ2＝0，则cos 2α的值为( )A ．－35B.35 C ．－45D.45【解析】 由sin α＋3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+απ2＝0，则sin α＋3cos α＝0，可得：tan α＝sin αcos α＝－3； 则cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝1－91＋9＝－45.故选C. 【答案】 C2．已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πx ＝13，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-352πx ＋sin 2⎪⎭⎫⎝⎛-x 3π的值为( ) A ．－19B.19 C.53D ．－53【解析】 cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-352πx ＋sin 2⎪⎭⎫⎝⎛-x 3π ＝－cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-322πx ＋sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πx ＝1－2cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πx ＋1－cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πx＝2－3cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πx ＝53. 【答案】 C3．已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ6·cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ3＝－14，α∈⎪⎭⎫⎝⎛2,3ππ.则sin 2α＝________.【解析】 cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ6·cos ⎪⎭⎫⎝⎛-απ3＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ6·sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ6＝12sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πα＝－14，即sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πα＝－12.∵α∈⎪⎭⎫⎝⎛2,3ππ，∴2α＋π3∈⎪⎭⎫ ⎝⎛34,ππ， ∴cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πα＝－32，∴sin 2α＝sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+332ππα＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32παcos π3－cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32παsin π3＝12.【答案】12题型四 三角函数性质的综合应用 【题型要点】研究三角函数的性质的两个步骤第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．【例9】设函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πωx ＋sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2πωx ，其中0<ω<3.已知f⎪⎭⎫⎝⎛6π＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43,4ππ上的最小值． 【解析】 (1)因为f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πωx ＋sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2πωx ，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ωωcos 23sin 21 ＝3⎪⎭⎫ ⎝⎛-3sin πωx由题设知f ⎪⎭⎫⎝⎛6π＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z ，又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx所以g (x )＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+34ππx ＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12πx因为x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43,4ππ，所以x －π12∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,3ππ，当x －π12＝－π3， 即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.【答案】 －32题组训练四 三角函数性质的综合应用已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )．(1)求f ⎪⎭⎫⎝⎛32π的值．(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间． 【解析】 (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，f ⎪⎭⎫⎝⎛32π＝223⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛－221⎪⎭⎫ ⎝⎛-－23×32×⎪⎭⎫ ⎝⎛-21得f ⎪⎭⎫⎝⎛32π＝2. (2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x 得f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2si ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx 所以f (x )的最小正周期是π 由正弦函数的性质得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z . 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k πk ∈Z .【专题训练】一、选择题1．已知α满足sin α＝13，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ4cos ⎪⎭⎫⎝⎛-απ4＝( )A.718B.2518 C ．－718D ．－2518【解析】 cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ4＝22()cos α－sin α·22()cos α＋sin α＝12()cos 2α－sin 2α＝12(1－2sin 2α)＝12⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-9121＝718，选A. 【答案】 A2．若函数f (x )＝4sin ωx ·sin 2⎪⎭⎫⎝⎛+42πωx ＋cos2ωx －1(ω>0)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,2ππ上是增函数，则ω的取值范围是( )A ．[0,1)B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,43 C ．[1，＋∞)D.⎥⎦⎤ ⎝⎛43,0 【解析】 由题意，因为f (x )＝4sin ωx ·sin 2⎪⎭⎫⎝⎛+42πωx ＋cos2ωx －1＝4sin ωx ·1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π22＋cos2ωx －1＝2sin ωx (1＋sin ωx )＋cos2ωx－1＝2sin ωx 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ωπωπ2,2表示函数含原点的递增区间，又因为函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,2ππ上是增函数，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,2ππ⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω，即⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π2π2ω≥2π3⇒⎩⎨⎧ω≤1ω≤34，又ω>0，所以0<ω≤34，故选D.【答案】 D3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω>0)在x ＝1和x ＝－1处分别取得最大值和最小值，且对于∀x 1，x 2∈[－1,1](x 1≠x 2)都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，则函数f (x ＋1)一定是( )A ．周期为2的偶函数B ．周期为2的奇函数C ．周期为4的奇函数D ．周期为4的偶函数【解析】 由题意可得，[－1,1]是f (x )的一个增区间，函数f (x )的周期为2×2＝4，∴2πω＝4，ω＝π2， ∴f (x )＝A sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕπ2x .再根据f (1)＝A sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕπ2＝A ，可得sin ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ2＝cos φ＝1，故φ＝2k π，k ∈Z ，∴f (x ＋1)＝A sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππk x 2)1(2＝A sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕπ2x ＝A cos π2x ，∴f (x ＋1)是周期为4的偶函数，故选D. 【答案】D4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，若其图象向左平移π3个单位后得到的函数为奇函数，则函数f (x )的图象( )A ．关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π对称B ．关于直线x ＝π12对称C ．关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,6π对称D ．关于直线x ＝π6对称【解析】 由于函数最小正周期为π，所以ω＝2，即f (x )＝sin(2x ＋φ)．向左平移π3得到sin ⎪⎭⎫⎝⎛++ϕπ322x 为奇函数，故2π3＋φ＝π，φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+322πx .f ⎪⎭⎫⎝⎛12π＝sin π2＝1，故x ＝π12为函数的对称轴，选B. 【答案】 B5．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图，f ⎪⎭⎫⎝⎛-2413π＝( )A ．－62 B ．－32C ．－22D ．－1【解析】 根据函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象知，A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝2πω＝π，解得ω＝2； ∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)． 由五点法画图知，ω×π3＋φ＝2π3＋φ＝π，解得φ＝π3，∴f (x )＝ 2 sin(2x ＋π3)，∴f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2413π＝2sin(－13π12＋π3)＝2sin(－3π4)＝－1，故选D. 【答案】 D6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫ ⎝⎛<<<2,120πϕω，若f (0)＝－3，且函数f (x )的图象关于直线x ＝－π12对称，则以下结论正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为π3B ．函数f (x )的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,97π对称 C ．函数f (x )在区间⎪⎭⎫⎝⎛2411,4ππ上是增函数D ．由y ＝2cos 2x 的图象向右平移5π12个单位长度可以得到函数f (x )的图象 【解析】 函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫ ⎝⎛<<<2,120πϕω，∵f (0)＝－3，即2sin φ＝－3，∵－π2<φ<π2， ∴φ＝－π3又∵函数f (x )的图象关于直线x ＝－π12对称，∴－ω×π12－π3＝π2＋k π，k ∈Z . 可得ω＝12k －10，∵0＜ω＜12.∴ω＝2.∴f (x )的解析式为：f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx .最小正周期T ＝2π2＝π，∴A 不对． 当x ＝7π9时，可得y ≠0，∴B 不对． 令－π2≤2x －π3≤π2，可得－π12≤x ≤5π12，∴C 不对．函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移5π12个单位， 可得2cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-125πx ＝2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-652πx＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2652ππx ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx . ∴D 项正确．故选D. 【答案】 D 二、填空题7．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫ ⎝⎛<><2,0,0πϕωA 的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0＋2π，－2)，则f (x )＝________.【解析】 由题意可得A ＝2，T 2＝2π，T ＝4π，∴ω＝2πT ＝2π4π＝12，∴f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕ2x ，∴f (0)＝2sin φ＝1.由|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx . 【答案】 2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx8．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．【解析】 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πωx ，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，则ω2＝π4，所以ω＝π2.【答案】π29．已知sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ3＝13⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πα，则sin ⎪⎭⎫⎝⎛+απ6＝________.【解析】 ∵sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ3＝13，∴cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ6＝cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--)3(2αππ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ3＝13；又0<α<π2，∴π6<π6＋α<2π3， ∴sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ6＝223.【答案】22310．已知π2<β<α<34π，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin2α＝__________A.5665 B ．－5665 C.6556D ．－6556【解析】由题意得π2<β<α<3π4，则0<α－β<π4，π<α＋β<3π2，由cos(α－β)＝1213⇒sin(α－β)＝513，sin(α＋β)＝－35⇒cos(α＋β)＝－45，则sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×(－45)＋1213×(－35)＝－5665，故选B.【答案】 B 三、解答题11．已知函数f (x )＝sin ωx cos ωx －3cos 2ωx ＋32(ω＞0)图象的两条相邻对称轴为π2.(1)求函数y ＝f (x )的对称轴方程；(2)若函数y ＝f (x )－13在(0，π)上的零点为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．【解析】 (1)函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx －3cos 2ωx ＋32.化简可得f (x )＝12sin 2ωx －32cos 2ωx ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πωx ，由题意可得周期T ＝π，∴π＝2π2ω∴w ＝1∴f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx故函数y ＝f (x )的对称轴方程为2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )(2)由函数y ＝f (x )－13在(0，π)上的零点为x 1，x 2，可知sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-321πx ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-322πx ＝13>0，且0<x 1<5π12<x 2<2π3. 易知(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))关于x ＝5π12对称， 则x 1＋x 2＝5π6，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--1165x x π＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6521πx ＝cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-2321ππx＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-321πx ＝13.12．已知函数f (x )＝23sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πωx cos ωx (0＜ω＜2)，且f (x )的图象过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,125π(1)求ω的值及函数f (x )的最小正周期； (2)将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，已知g ⎪⎭⎫ ⎝⎛2α＝536，求cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πα的值．【解】 (1)f (x )＝23sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πωx cos ωx ＝3sin ωx cos ωx ＋3cos 2ωx ＝32sin2ωx ＋32cos2ωx ＋32＝3sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πωx ＋32， 因为函数y ＝f (x )的图象过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,125π，。
高考数学冲刺函数性质与图像变换全解析
高考数学冲刺函数性质与图像变换全解析高考对于每一位学子来说都是人生中的一次重要挑战，而数学作为其中的关键学科，更是备受关注。
在数学的众多知识点中，函数的性质与图像变换一直是重点和难点。
在高考冲刺阶段，对这部分内容进行全面、深入的复习和理解，将有助于我们在考试中取得更好的成绩。
一、函数的基本性质1、单调性函数的单调性是指函数在定义域内的某个区间上，函数值随自变量的增大而增大或减小的性质。
判断函数单调性的方法通常有定义法、导数法等。
定义法：设函数$f(x)＄的定义域为$I$，对于定义域$I$内某个区间$D$上的任意两个自变量的值$x_1$，＄x_2$，当$x_1 ＜ x_2$时，都有$f(x_1) ＜ f(x_2)＄（或$f(x_1) ＞ f(x_2)＄），那么就说函数$f(x)＄在区间$D$上是增函数（或减函数）。
导数法：若函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内可导，当$f'（x) ＞0$时，函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内单调递增；当$f'（x) ＜ 0$时，函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内单调递减。
2、奇偶性奇偶性是函数的另一个重要性质。
若对于函数$f(x)＄定义域内的任意一个$x$，都有$f(x) ＝ f(x)＄，则称$f(x)＄为偶函数；若对于函数$f(x)＄定义域内的任意一个$x$，都有$f(x) ＝ f(x)＄，则称$f(x)＄为奇函数。
判断函数奇偶性的一般步骤为：首先确定函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数；如果对称，再判断$f(x)＄与$f(x)＄的关系。
3、周期性对于函数$f(x)＄，如果存在一个不为零的常数$T$，使得当$x$取定义域内的每一个值时，＄f(x ＋ T) ＝ f(x)＄都成立，那么就把函数$y＝ f(x)＄叫做周期函数，周期为$T$。
常见的周期函数如正弦函数、余弦函数等。
4、对称性函数的对称性包括轴对称和中心对称。
2020年山东省高考数学一轮冲刺复习汇编;函数与方程及其应用(解析版)
2020年山东省高考数学一轮冲刺复习；函数与方程及其应用（解析版）一、【知识精讲】1．函数的零点(1)零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y ＝f(x)有零点．函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.2．函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.3．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．二、常用结论汇总——规律多一点有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．二、【典例精练】考点一函数零点个数、所在区间例1. (1)设函数y ＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N，则x 0所在的区间是________.(2)设函数f (x )＝13x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点【答案】(1)C (2)D【解析】 (1) 设f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则x 0是函数f (x )的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x 3与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象如图所示.因为f (1)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝－1<0，f (2)＝8－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝7>0，所以f (1)f (2)<0，所以x 0∈(1，2). (2)法一：图象法令f (x )＝0得13x ＝ln x ．作出函数y ＝13x 和y ＝ln x 的图象，如图，显然y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在(1，e)内有零点．法二：定理法当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 时，函数图象是连续的，且f ′(x )＝13－1x ＝x －33x <0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 上单调递减．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0，f (e)＝13e －1<0，所以函数有唯一的零点在区间(1，e)内．【解法小结】 掌握判断函数零点个数的3种方法 (1)解方程法若对应方程f (x )＝0可解，通过解方程，即可判断函数是否有零点，其中方程有几个解就对应有几个零点． (2)定理法利用函数零点的存在性定理进行判断，但必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数． (3)数形结合法合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其是否有交点，若有交点，其中交点的个数，就是函数零点的个数． 考点二 函数零点的应用考法(一) 已知函数零点个数求参数范围例2. (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0，＋∞) C ．[－1，＋∞) D ．[1，＋∞)【答案】C【解析】 令h (x )＝－x －a ， 则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象，可知当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1. 当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意． 当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意． 综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)． 考法(二) 已知函数零点所在区间求参数范围例3. (2019·安庆摸底)若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________． 【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2【解析】 ∵函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点， ∴方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解， 即方程a ＝4x－2x在[－1,1]上有解． 方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122－14，∵x ∈[－1,1]，∴2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122－14∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.例4.(2018·浙江卷)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.(1)当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________.(2)若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________. 【答案】(1)(1，4) (2)(1，3]∪(4，＋∞)【解析】 (1)若λ＝2，当x ≥2时，令x －4<0，得2≤x <4；当x <2时，令x 2－4x ＋3<0，解得1<x <2.综上可知，1<x <4，所以不等式f (x )<0的解集为(1，4). (2)令f (x )＝0，当x ≥λ时，x ＝4， 当x <λ时，x 2－4x ＋3＝0， 解得x ＝1或x ＝3.因为函数f (x )恰有2个零点，结合如图函数的图象知，1<λ≤3或λ>4.【解法小结】1．利用函数零点求参数范围的3种方法2.三、【名校新题】1. (2019·北京西城区模拟)若函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)【答案】C【解析】因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0， 即a (a －3)<0，解得0<a <3.2.(2019·岳阳二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( ) A.0 B.1C.2D.3【答案】C【解析】 函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数就是y ＝f (x )与y ＝－3x 两个函数图象的交点个数，如图所示，由函数的图象可知，零点个数为2.3. (2019·郑州质量测试)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x－a ，x ≤0，2x －a ，x >0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,1) D ．(－∞，1]【答案】A【解析】 画出函数f (x )的大致图象如图所示．因为函数f (x )在R 上有两个零点，所以f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需0<a ≤1；当x >0时，f (x )有一个零点，需－a <0，即a >0.综上，0<a ≤1.4.(2019·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14 B.18 C.－78D.－38【答案】C【解析】令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.5.已知函数f (x )＝2x ＋x ＋1，g (x )＝log 2x ＋x ＋1，h (x )＝log 2x －1的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A.a <b <c B.a <c <b C.b <c <aD.b <a <c【答案】A【解析】 令函数f (x )＝2x ＋x ＋1＝0，可知x <0，即a <0； 令g (x )＝log 2x ＋x ＋1＝0，则0<x <1，即0<b <1； 令h (x )＝log 2x －1＝0，可知x ＝2，即c ＝2.显然a <b <c .6. (2018·济南月考)若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(－∞，1]D.[1，＋∞)【答案】B【解析】因为函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，所以方程x 2＋2x ＋a ＝0无实根，即Δ＝4－4a <0，由此可得a >1.7.(2019·北京燕博园联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln （x ＋1）x 3－3x（x ≥0），（x <0），若函数y ＝f (x )－k 有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是( ) A.(－2，2) B.(－2，1) C.(0，2)D.(1，3)【答案】C【解析】 当x <0时，f (x )＝x 3－3x ，则f ′(x )＝3x 2－3， 令f ′(x )＝0，∴x ＝±1(舍去正根)，故f (x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减. 又f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增. 则函数f (x )图象如图所示.f (x )极大值＝f (－1)＝2，且f (0)＝0，故当k ∈(0，2)时，y ＝f (x )－k 有三个不同零点.8.(2019·永州模拟)已知函数f (x )＝a ＋log 2(x 2＋a )(a >0)的最小值为8，则实数a 的取值范围是( ) A.(5，6) B.(7，8)C.(8，9)D.(9，10)【答案】A【解析】 由于f (x )在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上是减函数， ∴f (x )min ＝f (0)＝a ＋log 2a ＝8. 令g (a )＝a ＋log 2a －8，a >0.则g (5)＝log 25－3<0，g (6)＝log 26－2>0， 又g (a )在(0，＋∞)上是增函数， ∴实数a 所在的区间为(5，6).9.(2018·郑州一模)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2.令g (x )＝f (x )－kx －k ，若在区间[－1，3]内，函数g (x )＝0有4个不相等实根，则实数k 的取值范围是( ) A.(0，＋∞)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，13 【答案】C【解析】令g (x )＝0，得f (x )＝k (x ＋1)，由f (x )的周期性，作出y ＝f (x )在[－1，3]上的图象如图所示. 设直线y ＝k 1(x ＋1)经过点(3，1)，则k 1＝14.∵直线y ＝k (x ＋1)经过定点(－1，0)，且由题意知直线y ＝k (x ＋1)与y ＝f (x )的图象有4个交点，∴0<k ≤14.10.(2019·太原模拟)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则实数m 的取值范围是________． 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12【解析】依题意并结合函数f (x )的图象可知，⎩⎨⎧m ≠2，f －f ，f f，即⎩⎨⎧m ≠2，[m －2－m ＋m ＋m ＋，[m －2＋m ＋m ＋m －＋2m ＋m ＋，解得14<m <12.11.已知f (x )＝⎩⎨⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点个数是________.【答案】5【解析】由2[f (x )]2－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1，作出函数y＝f(x)的图象.由图象知y＝12与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点.因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个.12. (2019·西安调研)方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，则k的取值范围是________.【答案】[5，10)【解析】令函数f(x)＝2x＋3x－k，则f(x)在R上是增函数.当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，f(1)·f(2)<0，即(5－k)(10－k)<0，解得5<k<10.又当f(1)＝0时，k＝5.则方程2x＋3x＝k的解在[1，2)内，k的取值范围是[5，10).13.（2019盐城检测）已知函数f(x)=，若f(x)在区间上有且只有2个零点，则实数m的取值范围是________【答案】【解析】当时，易知x=0不是方程的解，故m=-x在上是减函数，故m即m时，方程f(x)=0在上有且只有一个解，当x时，令得故,即当时，方程f(x)=0在x上有且只有一个解，综上，若f(x)在区间上有且只有2个零点，则实数m的取值范围是14.(2019·邯郸模拟)若曲线y＝log2(2x－m)(x>2)上至少存在一点与直线y＝x＋1上的一点关于原点对称，则m的取值范围为________.【答案】(2，4]【解析】因为直线y＝x＋1关于原点对称的直线为y＝x－1，依题意方程log2(2x－m)＝x－1在(2，＋∞)上有解，即m＝2x－1在x∈(2，＋∞)上有解，∴m>2.又2x－m>0恒成立，则m≤(2x)min＝4，所以实数m的取值范围为(2，4].2020年山东省高考数学一轮冲刺复习；函数与方程及其应用（解析版）。
函数的性质及应用知识点总结
函数的性质及应用知识点总结函数是数学中一个重要的概念，具有广泛的应用。
本文将对函数的性质以及其应用知识点进行总结。
函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等，应用知识点包括最值问题、极值问题、函数图像的绘制等。
一、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围，值域是函数所有可能的因变量取值的范围。
2. 奇偶性：如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = f(x)成立，则称这个函数为偶函数；如果对于函数中的任意x值，都有f(-x) = -f(x)成立，则称这个函数为奇函数；如果函数既不满足偶函数的性质也不满足奇函数的性质，则称其为非奇非偶函数。
3. 单调性：如果对于任意两个x1和x2，当x1 < x2时有f(x1) < f(x2)成立，则称这个函数为增函数；如果对于任意两个x1和x2，当x1 <x2时有f(x1) > f(x2)成立，则称这个函数为减函数。
4. 周期性：如果对于函数f(x)，存在一个正数T，使得对于所有的x，有f(x+T) = f(x)成立，则称这个函数为周期函数。
二、函数的应用知识点1. 最值问题：最大值和最小值问题是函数应用中常见的问题。
通过求函数的导数，可以找到函数的极值点，并通过比较这些极值点的函数值来确定最大值和最小值。
2. 极值问题：极值问题是在给定条件下，求函数取得最大值或最小值时自变量的取值。
可以通过拉格朗日乘数法等方法求解。
3. 函数图像的绘制：了解函数的形态对于理解函数的性质很有帮助。
可以通过计算函数的值并绘制函数图像，观察函数的波动、交点和拐点等来研究函数的特点。
综上所述，函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等；函数的应用知识点包括最值问题、极值问题、函数图像的绘制等。
理解和掌握这些性质和应用知识点对于深入学习和应用函数具有重要意义。
希望本文对您有所帮助。
2020年高考数学三轮题型突破 1 选择题突破 题型04 函数的概念、性质(教师版含解析)
第一篇主题4 函数的概念、性质【主题考法】本主题考题类型为选择或填空题，考查函数的概念、定义域、函数的奇偶性、周期性、单调性、对称性、最值等，难度为容易题或中档题或选择填空题的压轴题，常为1-2个小题，每小题5分，共5到10分.【主题考前回扣】1．函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；②若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；反之，已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为函数y ＝g (x )(x ∈[a ，b ])的值域． (2)常见函数的值域①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R ；②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当a ＞0时，值域为[442b ac -,)∞+，当a <0时，值域为,(-∞442b ac -]； ③反比例函数y ＝kx (k ≠0)的值域为{y ∈R|y ≠0}．学*科网 2．函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)．(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值，若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期． 3．关于函数周期性、对称性的结论(1)函数的周期性记准函数周期性的几个结论：由周期函数的定义“函数f (x )满足f (x )＝f (a ＋x )(a >0)，则f (x )是周期为a 的周期函数”得：①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )为周期函数，2a 是它的一个周期；②设f (x )是R 上的偶函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期；③设f (x )是R 上的奇函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，4a 是它的一个周期．④函数f (x )满足－f (x )＝f (a ＋x )，则f (x )是周期T ＝2a 的周期函数； ⑤若f (x ＋a )＝1f （x ）(a ≠0)成立，则T ＝2a ；⑥若f (x ＋a )＝－1f （x ）(a ≠0)恒成立，则T ＝2a ； ⑦若f (x ＋a )＝f (x －a )(a ≠0)成立，则T ＝2a .(2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )， 即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称； ②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )， 即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称； ③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )， 则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称． 4．函数的单调性函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质． ①单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②若函数f (x )和g (x )都是减函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是减函数；若函数f (x )和g (x )都是增函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是增函数；根据同增异减判断复合函数y ＝f (g (x ))的单调性．【易错点提醒】1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则． 2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．学科%网4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．【主题考向】 考向一 函数定义域【解决法宝】求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解析式，应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式，就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.例1【2020湖北襄阳一中期中】若函数()y f x =的定义域为[]0,2，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是( ) A ．[]0,1B ．[0,1)C ．[0,1)(1,4]UD ．(0,1)【分析】根据函数()y f x =的定义域及分母不为0即可列出关于x 的不等式，解出x 的范围即为函数()y f x =的定义域.【解析】根据已知可得函数(2)()1f x g x x =-的定义域需满足：0221x x ≤≤⎧⎨≠⎩,解得01x ≤<，即函数定义域为[)0,1，故选B.考向二 函数值域与最值【解决法宝】对函数的值域与最值问题，首先要掌握基本初等函数的图像与性质，其次要掌握求函数值域与最值得常用方法，如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法，对复合函数，常用换元法转换为若干层次的简单函数从内到外逐层求求解，注意内函数的定义域为外函数的值域；对复杂函数的值域与最值问题常利用导数先研究函数的图象与性质，再画出草图，利用数形结合数学求解．例2 【2020·宁夏银川二中月考】下列函数中，值域为[)0,+∞的是( ) A ．2x y =B ．12y x =C ．tan y x =D ．cos y x =【分析】依次判断各个函数的值域，从而得到结果. 【详解】A 选项：2xy =值域为()0,∞+，错误B 选项：12y x =值域为[)0,+∞，正确C 选项：tan y x =值域为R ，错误D 选项：cos y x =值域为[]1,1-，错误，故选B考向三 函数奇偶性与单调性【解决法宝】对函数的单调性问题，首先要熟练掌握基本初等函数的图象与性质，其次要掌握求函数单调问题的常见方法，如对可以由基本初等函数变换的得到的函数，常利用函数变换作出函数的图象，利用图象法求解，对复合函数的常用“同增异减”的法则处理，对复杂函数的函数的单调性问题常用导数处理，对抽象函数的单调性问题常用赋值法和单调性定义处理，函数的单调性再比较大小、解不等式中的应用. 对函数的奇偶性，要熟练掌握函数奇偶性的概念、基本初等函数的图象与性质、函数奇偶性的运算性质，判断函数奇偶性常用定义法、运算性质法、图象法，注意定义域先行，已知函数奇偶性求参数的值，常用特值法，特别是函数是奇函数且在0=x 处有意义，常用0)0(=f 求解，与偶函数有关的不等式问题，注意利用结论：“)(x f 是偶函数，则)(|)(|x f x f =”简化计算. 例3【2020·山东临沂期末】)已知函数()1xf x x=+，则不等式()()320f x f x -+>的解集为( ) A ．(),3∞--B ．(),1-∞C ．()3,-+∞D ．()1,+?【分析】确定函数为奇函数和增函数，化简得到32x x ->-，解得答案. 【详解】∵()()1xf x f x x --==-+，∴函数)(x f 为奇函数，当0x >时，()1111x f x x x ==-++，函数单调递增，函数连续，故()f x 在R 上单调递增.()()320f x f x -+>，故()()32f x f x ->-，即32x x ->-，解得1x >.故选D .考向四 函数对称性与周期性【解决法宝】对函数的周期性与对称性问题，首先要掌握基本初等函数的图象与性质，其次要掌握有关函数对称性和周期性的结论，会利用函数的周期性与对称性将问题转化为在给定区间上的问题求解. 例4 【2020·山东日照期末】已知定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，满足()()11f x f x -=+，()()f x f x -=-，且()f x 在[]0,1上单调递增，若()2log 3a f =，b f=，()2020c f =，则( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【分析】计算函数周期为4，()()202000c f f ===，计算0b <，0a >，得到答案. 【解析】∵()()f x f x =--，()()11f x f x -=+，则()()()2f x f x f x -=+=-， 故()()()42f x f x f x +=-+=，故函数周期为4，()()202000c f f ===，)(440b ff f ===--<，()()22log 32log 30a f f ==->.故b c a <<.故选D .【主题集训】1.【2020辽宁锦州一中期中】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ，且()()111333,333xx xx x xf x f x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦即函数()f x 是奇函数，又1y 3,3xxy ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在R 都是单调递增函数，故函数()f x 在R 上是增函数，故选A.2. 【2020湖北孝感一中月考】函数()33ln ||x f x x -=-+的定义域为() A ．[)1,-+∞ B ．[)()1,00,-⋃+∞ C ．(],1-∞- D ．()()1,00,-⋃+∞【答案】B【解析】要使式子有意义，则330xx -⎧-≥⎪⎨>⎪⎩，解得[1,0)(0,)x ∈-+∞U ，故选B3.【2019届黑龙江省牡丹江市一高期末】下列函数中，值域是的是( ) A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】A ，，因为，，所以，所以，即，所以不正确；B ，分析可得，即，所以不正确；D ，，即，所以不正确；只有C项函数的值域为，故选C.4.【2020·北京一七一中期中】给定函数：①12y x =；②12log (1)y x =+；③|1|y x =-；④12x y +=，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( ) A ．①② B ．②③C ．③④D ．①④【答案】B【解析】①12y x =，(0)x …为幂函数，且x 的指数102α=>，在[0,)+∞上为增函数，故①不可选； ②12log (1)y x =+，(1)x >-，为对数型函数，且底数1(0,1)2a =∈，在(1,)-+∞上为减函数，故②可选；③|1|y x =-，在(,1)-∞上为减函数，在(1,)+∞上为增函数，故③可选； ④12x y +=为指数型函数，底数21a =>在(,)-∞+∞上为增函数，故④不可选；综上所述，可选的序号为②③，故选B.5.【2020新疆哈密一中期末】下列函数中，既有奇函数，又在其定义域上单调递增的是( ) A ．()1f x x x=+B ．()xxf x e e -=-C ．()sin f x x x =D ．()()()ln 1ln 1f x x x =--+【答案】B【解析】对于A ，()f x 是奇函数，但是在定义域上不具有单调性，不合题意；对于B ，函数是奇函数，且()0x xf x e e -+=>'故函数在定义域上单调递增，符合题意；对于C ，函数是偶函数，不合题意；对于D ，函数定义域为()1,1-上的奇函数，()21120111f x x x x -'=-=<-+-故函数在定义域上单调递减，不合题意，故选B ．6. 【2020陕西汉中期末】设函数()()()ln ,0,1,0,x x f x g x x ⎧-<⎪=⎨+>⎪⎩若()f x 是奇函数，则()2e g =( )A ．3-B ．2-C ．1-D ．1【答案】A【解析】∵()f x 是奇函数，()()222ee ln e2f f ∴=--=-=-，()()22e e 13g f ∴=-=-，故选A7.【2020·湖北荆州中学期末】设()f x 是R 上的偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，若10x <且120x x +>，则( )A ．12()()f x f x ->-B ．12()()f x f x -=-C ．12()()f x f x -<-D ．1()f x -与2()f x -大小不确定【答案】A【解析】由()f x 是R 上的偶函数，且在(0,)+∞上是减函数，所以在(,0)-∞上是增函数，因为10x <且120x x +>，所以120x x >>-，所以12()()f x f x >-，又因为11()()f x f x -=，所以12()()f x f x ->-，故选A.8. 【2019届广东省茂名市第一次综合测试】已知函数为偶函数，则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．D ．3 【答案】C【解析】方法一：定义法：由得，，化简得到：即，故.方法二：特值法：由得，，，则， 当时，，， 为偶函数.，综上，选C.9.【2020·福建福州一中开学考】设()f x 是定义在R 上的函数，满足条件()()11f x f x +=-+，且当1x ≤时，()3xf x e -=-，则()27a f log =，()2 1.533,3b f c f --⎛⎫ ⎪⎝⎭==的大小关系是( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>【答案】B【解析】依题意()()11f x f x +=-+，所以()22277log 1log 1227a f log f f ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭ 24log 7f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为21.5324log 03317--<<<<，且当(],1x ∈-∞时，()3x f x e -=-为减函数，所以a cb >>.故选B11.【2019届辽宁省实验中学等四校期末】设，则“”是“函数在定义域是奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，，，函数为奇函数；当时， ，，函数为奇函数.故当时，函数是奇函数，所以是函数为奇函数的充分不必要条件.故选A.12. 【2020广西桂林一中期末】已知函数||()32x a f x -=+，且满足(5)(3)f x f x +=-，则(6)f =( ) A ．29 B ．5 C ．3 D ．11【答案】D【解析】因为(5)(3)f x f x +=-，所以()f x 的图象关于4x =对称，所以644,(6)3211a f -==+=，故选D13.【2020·河北承德一中月考】函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞【答案】D【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数；x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数；ln y t =为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.14.【2019年辽宁省葫芦岛市调研考】已知是定义域为的奇函数，满足.若，则( )A ．-2018B ．0C ．2D ．50 【答案】B【解析】∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴函数f (x )的图象关于y 轴对称，又∵满足f (1+x )＝f (1﹣x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，则有f (﹣x )＝f (x +2)，又由函数f (x )为奇函数，则f (﹣x )＝﹣f (x )，则有f (x )＝f (x +4)，则函数f (x )为周期为4的周期函数，∵f (1)＝2，∴f (2)＝f (0+2)＝﹣f (0)＝0，f (3)＝f (1+2)＝﹣f (1)＝﹣2，f (4)＝f (0)＝0，∴f (1)+f (2)+f (3)+ f (4)=0，∴f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2019)＝504×[f (1)+f (2)+f (3)+f (4)]+f (1)+f (2)+f (3)＝504×0+2+0﹣2＝0，故选B ．15. 【2020甘肃甘南期末】·全国高三专题练习(文))已知函数()29f x x x =-( ) A ．()()12f f > B ．()f x 的定义域为[]3,3- C ．()f x 为偶函数 D ．()f x 在[]0,3上为增函数 【答案】B【解析】因为()()122252f f =<=，所以A 错误；由290x -≥，得33x -≤≤，所以()f x 的定义域为[]3,3-，所以B 正确；()f x 为奇函数，所以C 错误；因为()()030f f ==，所以D 错误，故选B.16.【2020·云南楚雄期中】已知函数21()log 1||f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭则不等式(lg )3f x >的解集为( )A ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,(10,)10⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(1,10)D ．1,1(1,10)10⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】 由题得函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，因为()()f x f x -=，所以()f x 为(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，因为函数11||y y x =+=，都是在(0,)+∞上单调递减，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减.因为(1)3,(lg )3(1)f f x f =>=，所以1lg 1x -<<，且lg 0x ≠，解得1,1(1,10)10x ⎛⎫∈⋃⎪⎝⎭，故选D 17.【2020四川绵阳期末】已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433xf x =+，则33log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A ．2-B ．3C ．3-D ．2【答案】D【解析】∵321log 03-<<，∴33332224log log log 223333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选D 18.【2020·河南信阳期末】下列函数中，既是偶函数又在()2,+∞上单调递减的是( )A ．()11x x e f x e -=+B ．()1lg 1x f x x +⎛⎫=⎪-⎝⎭C ．()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩D ．()(ln 1f x =【答案】B【解析】对于A 选项，函数()11x x e f x e -=+的定义域为R ，()()()()111111x xx x x xx x e e e e f x f x e e e e --------====-+++，该函数为奇函数，又()()122111xx x e f x e e +-==-++，该函数在区间()2,+∞上单调递增； 对于B 选项，解不等式101x x +>-，得1x <-或1x >，该函数的定义域为()(),11,-∞-+∞U ，关于原点对称，()()1111lg lg lg lg 1111x x x x f x f x x x x x -+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-===-==⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该函数为偶函数，当2x >时，()121211111x x u x x x -++===+>---，则()1lg1x f x x +=-， 内层函数11x u x +=-在区间()2,+∞上为减函数，外层函数lg y u =为增函数， 所以，函数()1lg 1x f x x +⎛⎫=⎪-⎝⎭在()2,+∞上单调递减； 对于C 选项，作出函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩的图象如下图所示：由图象可知，该函数为偶函数，且在()2,+∞上单调递增； 对于D 选项，函数()(2ln 11f x x =-的定义域为(][),11,-∞-+∞U ，()()((()22ln 11ln 11f x x x f x -=+--=-=，该函数为偶函数.内层函数211u x =-()2,+∞上单调递增，外层函数ln y u =也为增函数， 所以，函数()(2ln 11f x x =-()2,+∞上单调递增，故选B.19.【2020河南安阳一中期末】已知函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若()()cos f x x f x =--，且()sin 02x f x '+<，则满足()()0f x f x π++≤的x 的取值范围为______. 【答案】,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】依题意，()()()cos cos 22x x f x f x --=--+，令()()cos 2x g x f x =-，则()()g x g x =--，故函数()g x 为奇函，()()()cos sin 022x x g x f x f x '⎡⎤''=-=+<⎢⎥⎣⎦，故函数()g x 在R 上单调递减，则()()()()()cos cos 0022x x f x f x f x f x πππ+++≤⇒+-+-≤ ()()()()()0g x g x g x g x g x ππ⇔++≤⇔+≤-=-，即x x π+≥-，故2x π≥-，则x 的取值范围为,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.20.【2020·贵州贵阳一中月考】设函数()21321x x f x x -=+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +的值是( )A ．3B ．2C ．6D ．4【答案】C【解析】令()2121x x g x x -=+，由21011x x -≥⇒-≤≤，()()2121x x g x x x x g x ----=-=-+=--=-+，则函数()g x 的定义域为[]1,1-的奇函数，()()max min 0g x g x +=，所以()()max min 336M N g x g x +=+++=，故选C21.【2020安徽省蚌埠市期末】已知函数())lg x f x e ax =⋅图象关于原点对称.则实数a 的值为__________．【答案】2±【解析】依题意有()()0f x f x -+=， ()e lg x f x ax -⎫-=⋅⎪⎭， ()()f x f x -+222e lg 140x x a x ⎡⎤=+-=⎣⎦，故24,2a a ==±.22.(2020·河南南阳中学高三月考(文))已知函数()f x 对x R ∀∈满足(2)()2(1)f x f x f +⋅=，且()0f x >，若(1)=-y f x 的图象关于1x =对称，(0)1f =，则(2019)f +(2020)f =____________．【答案】3【解析】因为(1)=-y f x 的图象关于1x =对称，所以()y f x =的图象关于0x =对称，即()y f x =是偶函数，对于(2)()2(1)f x f x f +⋅=，令1x =-，可得(1)(1)2(1)f f f -=，又()0f x >，所以(1)2f -=，则(1)(1)2f f =-=.所以函数()f x 对x R ∀∈满足(2)()4f x f x +⋅=.所以(4)(2)4f x f x +⋅+=.所以()(4)f x f x =+，即()f x 是周期为4的周期函数.所以44(2019)(45043)(3)2(1)2f f f f =⨯+====， (2020)(4505)(0)1f f f =⨯==.所以(2019)(2020)3f f +=.24.【2019届山东省济南市期末】若函数与的图象交点的横坐标之和为2，则的值为__________．【答案】1【解析】∵y=的图象均关于点(1，0)对称，∴函数的图象关于点(1，0)对称，且在上单调递增，∵函数与的图象交点的横坐标之和为2，∴直线y ＝经过点(1，0)，∴m ＝1．。
2020年高考数学(理)总复习：基本初等函数性质及应用(解析版)
51∴log a b ＝2 或2.∵ a> b>1，∴ log a b<log a a ＝答案】 4； 22020 年高考数学（理）总复习：基本初等函数性质及应用题型一 求函数值 题型要点解析】 已知函数的解析式， 求函数值， 常用代入法， 代入时，一定要注意函数的对应法则与自 变量取值范围的对应关系，有时要借助函数性质与运算性质进行转化． －1 例 1．若函数 f （x ）＝ a |2x －4|（a>0，且 a ≠1），满足 f （1）＝ 19，则 f （x ）的单调递减区间是 （ ）A ． (－∞， 2]B ． [2，＋∞ ）C ．[ －2，＋∞ ）D ． （－∞，－ 2] 解析】 由 f （1）＝ 91，得 a 2＝ 19，解得 a ＝ 31或 a ＝－ 31（舍去 ），即 f （x ）＝ 9 9 3 3 1 2 x 41 由于 y 3＝|2x －4|在（－∞ ，2]上递减，在 [2，＋∞）上递增，所以 f （x ）在（－∞，2]上递增，在 [2，＋∞） 上递减． 答案】 B 3x 2＋ln 1＋x 2＋x ， x ≥ 0， 例 2．已知函数 f （x ）＝ 若 f （x －1）<f （2x ＋1），则 x 的取值范 3x 2＋ln 1＋x 2－x ， x<0， 围为 若 x>0，则－ x<0，f （－x ）＝3（－x ）2＋ln （ 1＋ －x 2＋x ）＝3x 2＋ln （ 1＋x 2＋x ） ＝f （x ），同理可得， x<0 时， f （ － x ） ＝ f （x ），且 x ＝0 时，f （0）＝f （0），所以 f （x ）是偶函数．因为当 解析】 x>0时，函数 f （x ）单调递增，所以不等式 f （x －1）<f （2x ＋1）等价于 |x － 1|<|2x ＋1|，整理得 x （x ＋ 2)>0 ，解得 x>0 或 x<－2. 答案】 （－∞，－ 2）∪ （0，＋∞ ） 例 3 ．已知 5a>b>1，若 log a b ＋ log b a ＝2， a b ＝ b a ，则 a＝，b ＝1∵logab ＋log b a ＝ log a b ＋ logab 2解析】题组训练一求函数值1．已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间［0，＋∞ )单调递增．若实数 a 满足1 f(log2 a)＋f (log2a)≤2f(1)，则 a 的最小值是( )A.32B． 11C.I2D． 211【解析】log 2a＝－log 2a，f (log 2 a)＋f (log 2 a)≤2f(1)，所以2f(log2 a)≤2f(1)，所以|log211a|≤1，解得12≤a≤2，所以 a 的最小值是21，故选 C.【答案】C－12．若函数f(x)＝a x－2－2a(a>0，a≠ 1)的图象恒过定点x0, ，则函数f(x)在［0,3］上的最3小值等于 ______ ．【解析】令x－2＝0得x＝2，且f(2)＝1－2a，所以函数f(x)的图象恒过定点(2,1－2a)，1 1 －2因此x0＝2，a＝31，于是f(x)＝13x－2－32，f(x)在R 上单调递减，故函数f(x)在［0,3］上的最小1 值为f(3) ＝－3.I 【答案】－13题型二比较函数值大小【题型要点解析】三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题(1) 底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；(2) 底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；(3) 底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图即 b>c>1；设 f(x)＝x 3－3x ，则 f(3)＝0，∴x ＝3 是 f(x)的零点， ∵f ′(x)＝3x 2－3x · ln ，3∴f ′(3)＝27 － 27ln 3<0，f ′(4)＝48－81ln 3<0，∴函数 f(x)在(3,4)上是单调减函数， ∴ f( π)f<(3) ＝0， π3<3π，∴ a<b ；又∵ e π<πe <π3，∴ c<a ；综上 b>a>c.故选 D.答案】象比较大小．例 1 ．已知 a ＝b ＝c ＝125，则 ( )A ． a<b<cB ． b<c<aC ．c<b<aD ． b<a<c解析】 因为 a ＝243，245， c ＝1 25253，显然有 b<a ，又 a22＝43<53＝c ， 故 b<a<c.答案】例 2 ．已知 a ＝ π3，b ＝ 3π，c ＝ e π， 则 a 、 b 、 c 的大小关系为 ( A ． a>b>c B ．a>c>b C ．b>c>aD ． b>a>c解析】a ＝ π3，b ＝ 3π，c ＝ e π，∴函数 y ＝x π是 R 上的增函数，且 3>e>1，∴ 3π>e π， ∴π3－3π<0，即题组训练二 比较函数值大小1．若 a>b>1,0<c<1，则 ( )A ．a c <b cB ．ab c <ba cC ．alog b c<blog a cD ． log a c<log b c解析】 对 A ：由于 0<c<1， ∴函数 y ＝x c 在 R 上单调递增，则 a>b>1? a c >b c ，A 错误；对 B ：由于－ 1<c － 1<0，∴函数y ＝x c －1在(1，＋∞ )上单调递减，又∴ a>b>1，∴a c －1<b c 1? ba c <ab c，B 错误；对 C ：要比较aln c bln c ln c alogb c 和 blog a c ，只需比较 ln b和ln a，只需比较bln bln c和，只需bln b 和aln a；构造函数f(x)＝xln x(x>1)，则f′(x)＝ln x＋1>1>0 ，f( x)在(1，aln a11＋∞ )上单调递增，因此f(a)>f(b)>0? aln a>bln b>0? aln a<bln b，又由0<c<1 得ln c<0，∴ ln c ln c ln c ln caln a>bln b? blog a c>alog b c，C 正确；对D：要比较log a c 和log b c，只需比较ln a和ln b，而函11数y＝ln x在(1，＋∞ )上单调递增，故a>b>1? ln a>ln b>0? ln a<ln b，又由0<c<1得ln c<0，∴l ln n c a>l l n n c b? log a c>log b c，D 错误．故选 C.【答案】C2．设函数f(x)＝e x＋2x－4，g(x)＝ln x＋2x2－5，若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则( )A ．g(a)<0<f(b) B．f(b)<0<g(a)C．0<g(a)<f(b) D．f(b)<g(a)<0【解析】依题意，f(0) ＝－3<0，f(1)＝e－2>0，且函数f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内，即0<a<1.g(1)＝－3<0，g(2)＝ln 2＋3>0，函数g(x)的零点在区间(1,2)内，即1<b<2，于是有f(b)>f(1)>0.又函数g(x)在(0,1)内是增函数，因此有g(a)<g(1)<0，g(a)<0<f(b)，选 A.【答案】A题型三求参数的取值范围【题型要点解析】利用指、对数函数的图象与性质可以求解的两类热点问题及其注意点(1) 对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时、常利用数形结合思想求解．(2) 一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(3) 注意点：利用对数函数图象求解对数型函数性质及对数方程、不等式问题时切记图象的范围、形状一定要准确，否则数形结合时将误解．对于含参数的指数、指数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论．解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次再利用性质求解．1<2.故选 C.答案】 C题组训练三 求参数的取值范围－ x ＋ 6， x ≤ 2， 例 1 ．若函数 f(x)＝ 3＋log a x ，x>2(a>0，且 a ≠1)的值域是 [4，＋∞ )，则实数 a 的取值范围是 ______ ．【解析】 当 x ≤2 时， f(x)＝－x ＋6，f(x)在(－∞，2]上为减函数，∴ f(x)∈[4＋∞)．当x>2 时，若 a ∈ (0,1) ，则 f(x)＝3＋log a x 在(2，＋ ∞ )上为减函数， f(x)∈(－∞，3＋ log a 2)，显1－ 2a x ＋ 3a ，x <1，例 1．已知 f(x)＝ln x ， x ≥ 1的值域为 R ，那么 a 的取值范围是 ( )A ． (－∞，－ 1]B.1,12C. 1,12D.0,12解析】 要使函数 f(x)的值域为 R ，需使1－2a >0，1a <2，ln 1≤ 1－ 2a ＋ 3a ，∴－ 1 ≤ aa ≥－1，例2．设函数 f(x)＝ x ＋x1， x ≤ 0，2x，x>0，则满足f(x)＋f x 1>1的 x 的取值范围是 2解析】 1由题意， 当 x> 21时，f (x)＋ f111＝2x ＋2x － >1 恒成立， 即 x> 满足题意；1当 0<x ≤12时，11 1 f(x)＋f x＝2x ＋x － ＋ 1>1 恒成立，即 0<x ≤ 满足题意；当 x ≤0 时，222f(x)＋ f x 12 1 1 1 1＝x ＋1＋x －2＋1>1，解得 x>－4，即－ 4<x ≤0.综上，x 的取值范围是 ,答案】1, 4答案】 C示不满足题意，∴ a>1，此时 f （x ）在 （2，＋∞）上为增函数， f （x ）∈（3＋log a 2，＋∞ ），由题意可 知（3＋log a 2，＋ ∞）? [4 ，＋ ∞ ），则 3＋log a 2≥ 4，即 log a 2≥1，∴1<a ≤2.答案】 （1,2]21 x2－ 2x ＋a ，x<2， 4x －3，x ≥12a ≥ － 1.分离参数得 a ≥－x 2＋2x －1＝－ （x － 1）2，函数 y ＝－（x －1）2开口向下，且对称轴为 x11＝ 1，故在, 上单调递增，所以函数在 x ＝ 处有最大值，最大值为－221即 a ≥－ 1.4答案】专题训练】 、选择题1．定义在 R 上的函数 f （x ）满足 f （－x ）＝－ f （x ），f （x －2）＝f （x ＋2），且 x ∈（ － 1,0）时， f （x ）1＝2x ＋ 5，则 f （log 220）等于 （ ）A ．14 C ．－ 1 D ．－ 5【解析】 由 f(x － 2)＝ f(x ＋2)，得 f(x)＝f(x ＋4)，因为 4<log 220<5 ，所以 f(log 220)＝f(log 2204 4 1－4)＝－ f(4－log 220)＝－f(log 2 5)＝－ (2log 25＋ 5)＝－ 1.例 2．设函数 f （x ） ＝的最小值为－ 1，则实数 a 的取值范围是解析】1当 x ≥21时， 4x －3 为增函数，最小值为11f ＝－ 1，故当 x< 时， x 2－ 2x ＋22 21， ＝－ 4，42．定义在R 上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0)(x1≠x2)，都有<0，则下列结论正确的是( )A．f(0.32)<f(20.3)<f(log 25)B．f(log25)<f(20.3)<f(0.32)C．f(log25)<f(0.32)<f(20.3)D．f(0.32)<f(log 25)<f(20.3)【解析】∵对任意的x1，x2∈(－∞，0)，f x1 － f x2 且x1≠ x2，都有<0 ，x1－x2∴f(x)在(－∞，0)上是减函数．又∵ f(x)是R 上的偶函数，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∵ 0<0.32 <20.3<log 25，∴ f(0.32)<f(20.3)<f(log25)．故选 A.【答案】A1 3．已知f(x)是奇函数，且f(2－x)＝f(x)，当x∈[2,3] 时，f(x)＝log2(x－1)，则f等于3()A ．2－log23B ．log23－log 27C．log 27－log 23 D．log23－ 2【解析】因为f(x)是奇函数，且f(2－x)＝f(x) ，所以f(x－2)＝－f(x)，所以f(x－4)＝f(x)，1 1 5所以 f 1＝ f 2 1＝f53 3 3f x1 － f x23答案】 A又当 x ∈[2,3]时， f(x)＝ log 2(x － 1)，1所以 f＝log 23－ 2，故选 D.3【答案】 D14．已知函数 y ＝ f( x)是 R 上的偶函数，设 a ＝ln π， b ＝(ln π2 3)， c ＝ ln π，当对任意的 x 1，x 2∈(0，＋∞ )时，都有 (x 1－x 2) ·f ([x 1)－ f (x 2)]<0 ，则 ( )A ．f(a)>f(b)>f(c)B ．f(b)>f(a)>f(c)C ．f(c)>f(b)>f(a)D ． f(c)>f(a)>f(b)【解析】 由 (x 1－x 2)[f(x 1)－f(x 2)]<0 可知，f x 1 － f x 2－x <0，所以 y ＝f(x)在(0，＋ ∞ )上单调递减．又因为函数 y ＝ f(x)是 R 上的偶函 x 1 －2＝2ln π，所以 |b|>|a|>|c|，因此 f(c)>f(a)>f(b)，故选 D.【答案】 D5．已知函数 y ＝ f( x)的图象关于 y 轴对称，且当 x ∈ ( －∞， 0)时，f(x)＋xf ′(x)<0 成立， a ＝ (20.2 ) ·f(20.2)， b ＝ (log π3) ·f(log π3)， c ＝ (log 39) ·f(log 39)，则 a ，b ，c 的大小关系是 ( )A ． b>a>cB ． c>a>bC ．c>b>aD ． a>c>b【解析】 因为函数 y ＝f(x)关于 y 轴对称， 所以函数 y ＝xf(x)为奇函数． 因为 [xf(x)]′＝f(x)＋ xf ′ ( x)，且当 x ∈(－∞，0)时， [xf(x)]′＝f(x)＋xf ′ (x)<0，则函数 y ＝xf(x)在(－∞，0)上单调递减；因为 y ＝ xf (x)为奇函数，所以当 x ∈ (0，＋ ∞ )时，函数 y ＝ xf( x)单调递减．因为 1<20.2<2,0<log π3<1， log 39＝2，所以 0<log π3<20.2<log 39，所以 b>a>c ，选 A.所以 f 7 ＝ log 2 733 41 ＝log 23＝2－ log 23，x21数，所以y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，由于a＝ln ＝－ln π<－1，b＝(ln π) 2，c＝ln π π答案】A6．设a＝0.23，b＝log0.30.2，c＝log30.2，则a，b，c 大小关系正确的是( )A ．a>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．c>b>a【解析】根据指数函数和对数函数的增减性知，因为0<a＝0.23<0.20＝1，b＝log0.30.2>log0.30.3＝1，c＝log30.2<log 31＝0，所以b>a>c，故选 B.【答案】Ba，a－ b ≤2，＋7．对任意实数a，b 定义运算“ Δ”：aΔb＝设f(x)＝3x 1Δ(1－x)，若函b，a－b>2，数f(x)与函数g(x)＝x2－6x 在区间(m，m＋1)上均为减函数，则实数m 的取值范围是( )A ．[－1,2] B．(0,3]C．[0,2] D．[1,3]－x＋1，x>0 ，【解析】由题意得f(x) ＝x＋1x＋1，x≤0，3∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，函数g(x)＝(x－3)2－9 在(－∞，3]上单调递减，若m≥0，函数f(x)与g( x)在区间(m，m＋1)上均为减函数，则得0≤m≤2，故选 C.m＋1≤3，【答案】Cfx ，x>0，8．已知函数f(x) ＝a|log2 x|＋1(a≠0)，定义函数F(x)＝给出下列命题：f －x ，x<0，①F(x)＝|f(x)|；②函数F(x)是偶函数；③当a<0 时，若0<m<n<1，则有F(m)－F(n)<0 成立；④当a>0 时，函数y＝F(x)－2有 4 个零点．其中正确命题的个数为( )A ．0 B．1C．2 D． 3fx ，x>0 【解析】①∵函数f(x)＝a|log2x|＋1(a≠0)，定义函数F(x)＝，∴ |f(x)|＝f －x ，x<0 |a |log2x|＋1|，∴ F(x)≠|f(x)|，①不对；f －x ，x<0②∵ F(－x)＝＝F(x)，∴函数F(x)是偶函数，故②正确；fx ，x>0③∵当a<0 时，若0<m<n<1，∴ |log2m|>|log2n|，∴ a|log2m|＋1<a|log2n|＋1，即F(m)<F( n) 成立，故F(m)－F(n)<0 成立，所以③正确；f x ，x>0，④∵ f(x)＝a|log2x|＋1(a≠0)，定义函数F(x)＝f －x ，x<0，∴x>0 时，(0,1)单调递减，(1，＋∞)单调递增，∴x>0 时，F(x)的最小值为F(1)＝1，故x>0 时，F(x)与y＝－2有 2 个交点，∵函数F(x)是偶函数，∴ x<0 时， F (x)与y＝－2有2个交点，故当a>0时，函数y＝F(x)－2有4个零点，所以④正确．答案】D二、填空题1.已知奇函数f(x)在R 上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c 的大小关系为____ ．【解析】依题意a＝g(－log25.1)＝( －log25.1) f·( －log 25.1)＝log25.1f(log 25.1)＝g(log 25.1)．因为f(x)在R 上是增函数，可设0<x1< x2，则f(x1)<f(x2)．从而x1f(x2)<x2f( x2)，即g(x1)< g(x2)．所以g(x)在(0，＋∞ )上亦为增函数．又log25.1>0,20.8>0,3>0，且log25.1<log28＝3，20.8<21<3，而20.8<21＝log24<log25.1，所以3> log25.1 > 20.8> 0，所以c> a>b.答案】b<a<cx，x≤122．已知函数f(x)＝若不等式f(x)≤5－mx 恒成立，则实数m 的取值ln x－ 1 ，1<x≤ 2范围是_______【解析】设g(x)＝5－mx，则函数g(x) 的图象是过点(0,5) 的直线．在同一坐标系内画出函数y＝f(x)和g(x) ＝5－mx的图象，如图所示．∵不等式f(x)≤5－mx恒成立，∴函数y＝f(x)图象不在函数g(x)＝5－mx 的图象的上方．结合图象可得，① 当m<0时不成立；②当m＝0时成立；③当m>0时，需满足当x＝2时，55g(2)＝5－2m≥0，解得0<m≤2.综上可得0≤m≤2.∴实数m 的取值范围是0，52 .xln 1＋x ＋x2，x≥03．已知函数f(x)＝2，若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则实数 a 的取值范－xln 1－x ＋x2，x<0围是( )A．(－∞，－1]∪[1 ，＋∞ ) B．[－1,0]C．[0,1] D．[－1,1]xln 1＋x ＋x2，x≥0解析】函数f(x)＝2－xln 1－x ＋x2，x<0将x 换为－x，函数值不变，即有f(x)图象关于y 轴对称，即f(x)为偶函数，有f(－x)＝xf(x)，当x≥0 时，f(x)＝xln(1＋x)＋x2的导数为f′(x)＝ln (1 ＋x)＋1＋x＋2x≥0，则f( x)在[0 ，＋＋∞)递增，f(－a)＋f(a)≤2f(1)，即为2f(a)≤2f(1)，可得f(|a|))≤f(1)，可得|a|≤1，解得－1≤a≤1.答案】D3a － 1 x－4a ，x<1 ，4．已知函数f(x)＝在R 上不是单调函数，则实数 a 的取值范log a x，x≥1围是_______ ．【解析】当函数f(x)在R 上为减函数时，有3a－1<0 且0<a<1 且(3a－1) ·＋14a≥log a1，11解得7≤a< 3，当函数f(x)在R 上为增函数时，有3a－1>0 且a>1 且(3a－1) ·＋14a≤log a1，a73无解．11 ∴当函数 f(x)在 R 上为单调函数时，有 17≤a<13，∴当函数 f(x)在 R 上不是单调函数时，731 1 1 1有 a>0 且 a ≠1 且 a<7或 a ≥3即 0<a< 7或3≤ a<1 或 a>1.7 3 7 35．定义函数 y ＝ f(x)， x ∈I ，若存在常数 M ，对于任意 x 1∈ I ，存在唯一的 x 2∈ I ，使得 f x 1 ＋ f x 2 f x1 ＋2f x2＝M ，则称函数 f(x)在 I 上的“均值”为 M ，已知 数 f(x)＝log 2x 在[1,22 016]上的“均值”为解析】 根据定义，函数 y ＝ f(x)， x ∈ I ，若存在常数21当 x 1∈[1,22 016]时，选定 x 2＝2x1 ∈[1,22 016]，可得 M ＝21log 2(x 1x 2)＝1 008.x 12答案】 1 00811，∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝bb 2，即 b 2b ＝bb 2.∴2b ＝b 2，∴b ＝2，a ＝4.f( x)＝ log 2x ， x ∈ [1,2 2 016] ，则函M ，对于任意 x 1∈ I ，存在唯一f x 1 ＋ f x 2的 x 2∈I ，使得 1 22＝M ，则称函数 f(x)在 I 上的 “均值” 为 M ，令 x 1x 2＝1·22 016＝22 016， 22 016。
2020高考数学最新二轮复习函数性质
函数的观点第一节 函数及其表示一、基础知识1． 函数的相关观点 (1)函数的定义域、值域： 在函数 对应的y ＝ f(x)，x ∈A 中， x 叫做自变量， x 的取值围 A 叫做函数的定义域；与y 值叫做函数值，函数值的会合{ f(x)|x ∈ A} 叫做函数的值域．x 的值相(2)函数的三因素：定义域、值域和对应关系． 3． 分段函数若函数在其定义域， 对于定义域的不一样取值区间， 有着不一样的对应关系， 这样的函数往常叫做分段函数．对于分段函数的 3 个注意(1)分段函数固然由几个部分组成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． (3)各段函数的定义域不能够订交．考点一 函数的定义域[典例 ] (1)(2019 质检·)函数 y ＝ln 1－ x＋1的定义域是 ()x ＋ 1xA ． [－ 1,0)∪ (0,1)B ． [－ 1,0)∪ (0,1]C ．( －1,0)∪ (0,1]D ． (－ 1,0)∪ (0,1)(2)已知函数 f(x)的定义域为 (－ 1,0)，则函数 f(2x ＋ 1)的定义域为 ()A ． (－ 1,1)B. － 1，－1C ． (－ 1,0) D. 1， 122[题组训练 ]1.(2018) 函数f (x)log2 x 1 的定义域为．2. 若函数 y ＝ f(x) 的定义域是 [1,2 019]，则函数f x＋1的定义域是g(x) ＝x－1_______________ ．考点二求函数的分析式[ 典例 ] (1) 已知函数 f x 1 x 2 x3(2)已知函数f(x)知足 f(－ x)＋ 2f(x)＝ 2x，求 f(x)．考点二分段函数考法 (一 )求函数值[典例（]1 log2(2 x), x 12015 新课标Ⅱ）设函数f (x)，则 f ( 2) f (log 2 12)2x 1, x≥ 1A．3B．6C．9D．12考法 (二 )求参数或自变量的值(或围 )2－x， x≤ 0，[典例 ]设函数f( x)＝则知足f( x＋1)< f(2x)的x的取值围是()1， x>0，A ． (－∞，－ 1]B． (0，＋∞ )C． (－ 1,0)D． (－∞， 0)[题组训练 ]x＋ 1，x≤ 0，则知足 f(x)＋f x－1>1 的 x 的取值围 ___．1． (2017 全·国卷Ⅲ )设函数 f(x)＝，22x， x>01x2．设函数 f(x)＝2－ 7， x<0，若 f(a)<1，则实数 a 的取值围是 ____________．x，x≥ 0，第二节函数的单一性与最值一、基础知识1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I ：一是随意性；二是有大小，即 x1<x2( x1>x2)；三是同属于一个单一区间，三者缺一不行．2．单一性、单一区间若函数 y＝ f(x)在区间 D 上是增函数或减函数，则称函数y＝ f(x)在这一区间拥有(严格的 )单一性，区间 D 叫做函数y＝ f(x)的单一区间 .3．函数的最值设函数 y＝ f(x)的定义域为I，假如存在实数M 知足：(1)对于随意的x∈ I，都有 f(x)≤ M 或 f(x) ≥M .(2)存在 x0∈ I，使得 f(x0)＝ M.那么，我们称M 是函数 y＝ f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论二、常用结论在公共定义域：(1)函数 f(x)单一递加， g(x)单一递加，则f(x)＋ g(x)是增函数；(2)函数 f(x)单一递减， g(x)单一递减，则f(x)＋ g(x)是减函数；(3)函数 f(x)单一递加， g(x)单一递减，则f(x)－ g(x)是增函数；(4)函数 f(x)单一递减， g(x)单一递加，则f(x)－ g(x)是减函数；(5)若 k>0，则 kf(x)与 f(x)单一性同样；若k<0，则 kf(x)与 f(x) 单一性相反；(6)函数 y＝ f(x)( f(x)>0) 在公共定义域与1 的单一性相反；y＝－ f(x)， y＝f x(7)复合函数 y＝ f[g(x)]的单一性与 y＝ f(u)和 u＝ g(x)的单一性相关．简记：“同增异减”．考点一单一区间1．（ 2014）函数 f ( x) = log 1 ( x2 - 4) 的单一递加区间是_______22．函数 f x lg x 23x 2 的单一增区间是_________考点二、函数单一性的应用考法 (一 )比较函数值的大小[典例 ]偶函数f(x)定义域为R，当 x∈ [0，＋∞ )时， f( x)是增函数，则f(－ 2)， f( π)，f(－ 3)的大小关系是()A ． f( π )>f( －3)>f(－ 2) B． f( π )>f(－ 2)> f(－ 3) C． f( π )<f(－ 3)< f( －2) D ． f( π )<f(－ 2)< f(－ 3)考法 (二 ) 解函数不等式2x， x<2，若 f(a＋ 1)≥ f(2a－ 1)，则实数 a 的取值围是 () [典例 ] 设函数 f(x)＝x2， x≥ 2.A ． (－∞， 1]B． (－∞， 2]C．[2,6]D． [2，＋∞ )考法 (三 )利用单一性求参数的围(或值 )ax2－ x－1， x≤1，是 R 上的单一函数，则实数 a 的取值围是[典例 ] 已知函数 f( x)＝4log a x－ 1， x>1 ()A.1， 1B.1， 1C.1D.1， 1 4 2 4 20，22[课时追踪检测 ]1的 x 的取值围是1．函数 f(x)是定义在区间 [0，＋∞ )的单一增函数，知足f(2x－1) ＜f 3A.1， 2B.1，21， 2D.1， 2 3 3 3 3 C. 23 2 32．已知函数f(x)＝ ln x＋ x，若 f(a2－ a)>f(a＋ 3)，则正数 a 的取值围是 ________．第三节函数的奇偶性与周期性一、基础知识1．函数的奇偶性偶函数奇函数假如对于函数f(x)的定义域随意一个x定义都有 f(－ x)＝f(x)?，那么函都有 f(－ x)＝－ f(x)?，那么函数数 f(x) 是偶函数f(x) 是奇函数图象特点对于 y 轴对称对于原点对称函数的定义域对于原点对称是函数拥有奇偶性的前提条件．2．函数的周期性(1) 周期函数f(x＋ T)＝ f(x)，对于函数f(x)，假如存在一个非零常数T，使适当x 取定义域的任何值时，都有那么就称函数f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2) 最小正周期假如在周期函数f( x)的全部周期中存在一个最小的正数，这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．二、常用结论1．函数奇偶性常用结论(1) 假如函数f(x)是奇函数且在x＝ 0处有定义，则必定有f(0)＝ 0；假如函数f(x)是偶函数，那么 f( x)＝ f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上拥有同样的单一性；偶函数在两个对称的区间上拥有相反的单一性．(3)在公共定义域有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论对 f(x) 定义域任一自变量 x：(1)若 f(x＋ a)＝－ f(x)，则 T＝ 2a(a>0) ．(2)1，则 T＝ 2a(a>0)．若 f(x＋ a)＝f x(3)1，则 T＝ 2a(a>0) ．若 f(x＋ a)＝－f x3．函数图象的对称性(1) 若函数 y＝ f( x＋a)是偶函数，即 f(a－ x)＝ f( a＋x)，函数 y＝ f(x)的图象对于直线x＝ a 对称．(2) 若对于 R 上的随意 x 都有 f(2a－ x)＝f(x)或 f(－ x)＝ f(2a＋x)，则 y＝ f(x) 的图象对于直线 x ＝a 对称．(3)若函数 y＝ f( x＋b)是奇函数，即 f(－x＋b)＋ f( x＋ b)＝0，函数 y＝ f(x)对于点 (b,0)中心对称．考点一函数奇偶性的判断1． (2015) 以下函数为奇函数的是A ．y x B．y sin x C．y cosx D ．y e x e x2． (2015) 以下函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A ．y 1x 2B．y x1C．y 2x1D ．y x e xx2x3． (2014 新课标1)设函数f ( x)，g ( x)的定义域都为R，且f ( x)是奇函数，g( x)是偶函数，则以下结论正确的选项是A ．f ( x) g (x)是偶函数B．f (x) | g ( x) |是奇函数C．| f (x) | g(x)是奇函数 D ． | f ( x) g(x) |是奇函数4． (2014) 以下函数为偶函数的是A ． f ( x)x 1 B ． f ( x)x 3 x C ． f ( x) 2x 2 xD ． f ( x)2x 2 x考点二函数奇偶性的应用[典例 ](1)(2019 模拟·)函数 y ＝ f(x)是 R 上的奇函数，当 x<0 时， f(x)＝ 2x ，则当 x>0 时， f(x)＝()A ．－ 2x－x －xD ． 2xB ． 2C ．－ 2e x ae x是奇函数 , 则实数 a 的值为 ______.(2)设函数 f ( x)2x（ 3）（2019 全国Ⅱ理 14）已知 f ( x) 是奇函数，且当 x0 时， f (x)e ax .若f (ln 2) 8 ，则 a __________.[题组训练 ]1．设函数 f(x)=xsin x的最大值为 M ，最小值为 m ，则 M mx2． (2018 八·中模拟 )若函数 f(x)＝xln( x ＋ a ＋ x 2)为偶函数，则 a ＝________.3.(2014)已知 f ( x), g(x) 分别是 R 上的偶函数和奇函数f ( x) f ( x) = x 3 x 2 1，则f (1) g(1) ＝A ．－ 3B ．－ 1C ．1D ．3考点三、由函数的单一性与奇偶性，求解不等式1. 已知偶函数 f ( x) 在区间 [0,) 单一增添，则知足f (2 x 1) f (1) 的 x 的取值围是 (3 A. (1, 2)B.[1,2]C.(1,2) D.[1,2] 3 33 32 32 32．已知奇函数 f (x) 在区间2,2上单一递减 , 则不等式 f (x 2 ) f (2 x)0 的解集是 (A．[-1,0)B．(-2,0)C．2,1D．, 2U0, 3．（ 2013）已知函数 f ( x) 是定义在R 上的偶函数，且在区间 [0,) 单一递加．若实数 a知足 f (log 2 a) f (log 1a) 2 f (1) ，则 a 的取值围是2A ． [1,2]B． 0,11D ． (0,2] 2C． ,224．（ 2017 新课标Ⅰ）函数 f ( x) 在 (,) 单一递减，且为奇函数．若 f (1)1 ，则知足1≤ f (x 2) ≤ 1 的 x 的取值围是A．B．C．D．考点四、由函数的奇偶、周期性求值[典例 ] (1)(2018期末·)已知定义在R 上的函数 f(x)知足 f(x)＝－ f(x＋2)，当 x∈ (0,2] 时， f(x)＝2x＋ log 2x，则 f(2019)＝ ()1C． 2D．－ 2A ． 5 B.2（）定义在R 上的函数f (x)知足 f ( x)f (x),f (x 1) f (1 x),且 x ? (- 1,0)2时 , f (x) = 2x+6则 f (log2 20) ________. 5考点五、详细函数的对称中心或对称轴问题1．若函数f (x)1x的图像的对称中心为( 1,1) ,则实数 m 的值为( )1mxA.1B.1C.2D.22．函数y5x32sin 3x tan x 6 的图象的对称中心是（）A. (0,0)B.(6,0)C.( 6,0)D.(0,6)3.函数 f(x)＝9x＋ 1) 3x的图象 (A ．对于 x 轴对称B．对于 y 轴对称 C．对于坐标原点对称D．对于直线 y＝x 对称4.(2016全国 II)已知函数fx x R满足f x2 f xx1，若函数 y与xmy f x 图像的交点为x1，y1， x2， y2，，x m，y m，则x i y ii 1A． 0 B ．m C ． 2m D ． 4m对称5．函数y x－2的图象对于 ________对称x＋2考点六函数性质的综合问题1.函数 y＝ f(x)在[0,2] 上单一递加，且函数f(x＋ 2)是偶函数，则以下结论建立的是()5775C． f 7557A ． f(1)< f 2<f2B． f 2<f(1)< f22<f2<f(1)D． f 2<f(1)< f22.(2018全国卷Ⅱ ) 已知f ( x)是定义域为(,) 的奇函数， f (1 x) f (1 x) ．若f (1) 2 ，则 f (1) f (2) f (3)⋯ f (50)A．50B． 0C．2D． 50奇偶 +对称 =周期3、若定义在 R上的奇函数 f (x) 知足 f ( x4) f ( x) ，且在区间[0,2]上是增函数，则有( )奇偶 +周期 +单一A. f ( 25) f (80) f (11)B. f (11) f (80) f (25)C. f ( 25) f (11) f (80)D. f (80) f (11) f ( 25)。
高考数学命题热点名师解密专题：函数性质灵活应用(理)含答案解析
专题03 函数性质灵活应用一．陷阱描述1.概念类陷阱，包括直接用两个特值就证明函数的单调性、单调区间的开闭、单调区间使用“”符号等几点内容，要深刻理解这几个概念的内涵。
（1）利用两个特值证明单调性。
函数单调性是指在函数定义域的某个区间上任意取两个值且，若则函数是增函数；若则函数是减函数。
（2）单调区间的开闭。
求函数的单调区间时，如果在端点处有定义为闭，如果在端点处没有定义为开。
（3）单调区间使用“”符号。
函数的单调区间有多个时，不能用“”符号，只能用“和”“，”连接。
分类讨论陷阱，含参数的讨论问题。
在处理含参数函数单调性问题时，讨论时要做到不重不漏。
隐含条件陷阱，求函数的单调区间必须在函数的定义域范围内讨论。
等价转化陷阱，分段函数的连接点。
在处理分段函数单调性时，注意连接点函数值。
迷惑性陷阱，函数的主变元问题。
给出含和其它字母的不等式中，如果已知其它字母的范围求的范围时，往往是把那个字母作为自变量。
2.定义域限制陷阱3.特殊的函数值问题4.利用性质解决抽象函数问题5.函数的单调性、奇偶性周期性的联合应用6.函数性质与导数综合7.数形结合求参数8.恒成立求参数9 .单调性求参数，区间的开闭（概念类）10. 分段函数的连接点（等价转化）11.主变元问题（迷惑性）二．陷阱例题分析及训练（一）函数图象问题例1．函数f(x)＝lnx－x2的图像大致是()A ．B ．C ．D ．【答案】B【点评】由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．练习1．【湖南省长沙市一中2019届高三高考模拟】如图，有一直角墙角、两边的长度足够长，若P 处有一棵树与两墙的距离分别是4m 和am (0＜a ＜12)，不考虑树的粗细.先用16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD ，设此矩形花圃的最大面积为u ，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u =f （a ）（单位： 2m ）的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设AD 长为x ，则CD 长为16x - ，又因为要将P 点围在矩形ABCD 内，∴12a x ≤≤， 则矩形ABCD 的面积为()16x x -，当08a <≤时，当且仅当8x =时， 64u =，当812a <<时，，，分段画出函数图形可得其形状与C 接近，故选C.点评：本题主要考查了函数在实际生活中的应用，解决本题的关键是将面积的表达式求出来，结合自变量的取值范围，分类讨论后求出面积的解析式；求矩形ABCD 面积的表达式，又要注意P 点在长方形ABCD 内，所以要注意分析自变量的取值范围，并以自变量的限制条件为分类标准进行分类讨论．判断函数的图象即可.练习2．若函数的图像如图所示，则实数的值可能为（）A．B．C．D．【答案】B点评：本题在求解时，充分利用题设中提供的函数的图像信息，没有直接运用所学知识分析求解，而是巧妙借助单项选择题的问题特征，独出心裁的运用了答案排除法使得问题的求解简捷、巧妙而获解。
(浙江专用)备战2020版高考数学考点一遍过考点04函数的基本性质(含解析)
考点04函数的基本性质（1）理解函数的单调性、奇偶性，会判断函数的单调性、奇偶性. （2）理解函数的最大（小）值的含义，会求简单函数的最大（小）值.一、函数的单调性 1．函数单调性的定义图象描述自左向右看，图象是上升的自左向右看，图象是下降的设12,[,]x x a b ∈，12x x ≠.若有()()1212()0[]x x f x f x ->-或1212()()0f x f x x x ->-，则()f x 在闭区间[],a b上是增函数；若有()()1212()0[]x x f x f x --<或1212()()0f x f x x x -<-，则()f x 在闭区间[],a b 上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式. 2．单调区间的定义若函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，则称函数()y f x =在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫做函数()f x 的单调区间．注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域． （3）“函数的单调区间是A ”与“函数在区间B 上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然B A ⊆. （4）函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数1y x=分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域，即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)． 3．函数单调性的常用结论（1）若()(),f x g x 均为区间A 上的增(减)函数，则()()f x g x +也是区间A 上的增(减)函数； （2）若0k >，则()kf x 与()f x 的单调性相同；若0k <，则()kf x 与()f x 的单调性相反； （3）函数()()()0y f x f x =>在公共定义域内与()y f x =-，1()y f x =的单调性相反； （4）函数()()()0y f x f x =≥在公共定义域内与y =（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （6）一些重要函数的单调性： ①1y x x =+的单调性：在(],1-∞-和[)1,+∞上单调递增，在()1,0-和()0,1上单调递减； ②b y ax x=+（0a >，0b >）的单调性：在,⎛-∞ ⎝和⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和⎛ ⎝上单调递减．4．函数的最值注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 二、函数的奇偶性1．函数奇偶性的定义及图象特点判断()f x -与()f x 的关系时，也可以使用如下结论：如果()0()f x f x --=或()1(()0)()f x f x f x -=≠，则函数()f x 为偶函数；如果()0()f x f x -+=或()1(()0)()f x f x f x -=-≠，则函数()f x 为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x ，x -也在定义域内（即定义域关于原点对称）．2．函数奇偶性的几个重要结论（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． （2）()f x ，()g x 在它们的公共定义域上有下面的结论：（3）若奇函数的定义域包括0，则()00f =． （4）若函数()f x 是偶函数，则()()()f x f x fx -==．（5）定义在(),-∞+∞上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．（6）若函数()y f x =的定义域关于原点对称，则()()f x f x +-为偶函数，()()f x f x --为奇函数，()()f x f x ⋅-为偶函数．（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：①函数()xxf x a a -=+为偶函数，函数()xxf x a a -=-为奇函数．②函数()2211x x x x xx a a a f x a a a ----==++（0a >且1a ≠）为奇函数． ③函数()1log 1axf x x-=+（0a >且1a ≠）为奇函数．④函数()(log a f x x =（0a >且1a ≠）为奇函数．三、函数的周期性 1．周期函数对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有()()f x T f x +=，那么就称函数()y f x =为周期函数，称T 为这个函数的周期． 2．最小正周期如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期（若不特别说明，T 一般都是指最小正周期）. 注意：并不是所有周期函数都有最小正周期. 3．函数周期性的常用结论 设函数()y f x =，0x a ∈>R ，.①若()()f x a f x a =+-，则函数的周期为2a ； ②若()()f x a f x +=-，则函数的周期为2a ； ③若1()()a x f x f =+，则函数的周期为2a ； ④若1()()f a x x f =-+，则函数的周期为2a ； ⑤函数()f x 关于直线x a =与x b =对称，那么函数()f x 的周期为2||b a -；⑥若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期是2||b a -； ⑦若函数()f x 关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期是4||b a -； ⑧若函数()f x 是偶函数，其图象关于直线x a =对称，则其周期为2a ； ⑨若函数()f x 是奇函数，其图象关于直线x a =对称，则其周期为4a .考向一 判断函数的单调性1．判断函数单调性的方法：（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对1x 或2x 进行适当变形，进而比较出()1f x 与()2f x 的大小．（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减． （4）导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性．（5）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.2．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．典例1 已知函数f （x ）=–1+11x -（x ≠1），则f （x ） A ．在（–1，+∞）上是增函数 B ．在（1，+∞）上是增函数 C ．在（–1，+∞）上是减函数D ．在（1，+∞）上是减函数【答案】D【解析】∵函数f （x ）=1x在（–∞，0）和（0，+∞）上单调递减，∴将函数f （x ）向右平移1个单位，此时函数的单调递减区间为（–∞，1）和（1，+∞），故选D ．典例2 已知函数()f x =()739f =. （1）判断函数()y f x =在R 上的单调性，并用定义法证明； （2）若()121f f x ⎛⎫≥⎪-⎝⎭，求x 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）由已知得3321719m -=+，38m =， ∴2m =.∴()2121x x f x -=+21221x x +-=+2121x =-+. 任取12,x x ∈R ，且12x x <，则()()212122112121x x f x f x ⎛⎫-=--- ⎪++⎝⎭12222121x x =-++()()()21122222121x x x x -=++， ∵()()12210,210x x +>+>， ∴()()1221210x x ++>， 又∵21x x >， ∴2122x x>， ∴21220xx->， ∴()()()211222202121x x x x ->++，即()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，∴函数()y f x =在R 上为单调增函数. （2）∵()121f f x ⎛⎫≥ ⎪-⎝⎭，且由（1）知函数()y f x =在R 上为单调增函数，312x <≤， ∴x. 【名师点睛】本题主要考查函数的单调性的定义和证明方法，属于基础题.求解时，（1）由()739f =，代入解析式即可得2m =，进而得()2121xf x =-+，从而可利用单调性定义证明即可；（2）由（1）知函数()y f x =在R 上为单调增函数，所以得121x ≥-，求解不等式即可. 用定义法证明函数的单调性的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论.关键是第三步的变形，一定要化为几个因式乘积的形式.1．下列函数定义域为()0,+∞且在定义域内单调递增的是 A ．e xy = B ．1πlog y x =-C．y =D ．12log y x =考向二 函数单调性的应用函数单调性的应用主要有：（1）由12,x x 的大小关系可以判断()1f x 与()2f x 的大小关系，也可以由()1f x 与()2f x 的大小关系判断出12,x x 的大小关系．比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质转化到同一个单调区间上进行比较.（2）利用函数的单调性，求函数的最大值和最小值．（3）利用函数的单调性，求参数的取值范围，此时应将参数视为已知数，依据函数的单调性，确定函数的单调区间，再与已知单调区间比较，即可求出参数的取值范围．若函数为分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．（4）利用函数的单调性解不等式．首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内．典例3定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的1x ，[)20,x ∈+∞（12x x ≠），有()()21210f x f x x x -<-，则A ．()()()324f f f <<B ．()()()123f f f <<C ．()()()213f f f -<<D ．()()()310f f f << 【答案】D【解析】因为对任意的1x ，[)20,x ∈+∞（12x x ≠），有()()21210f x f x x x -<-，所以函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，因为013<<，所以()()()310f f f <<，故选D ．典例4已知()1222x x af x ++=-是其定义域上的奇函数.（1）求()f x 的解析式； （2）若()()225228f tf tt -->-+-，求t 的取值范围.【答案】（1）()12122x x f x ++=-；（2）(1,)(,3)+∞-∞-.【解析】（1）因为()f x 是奇函数，其定义域为()(),00,-∞+∞，所以()()110f f -+=，即122012aa +++=-， 所以1a =，经检验，1a =符合题意.所以()12122x x f x ++=-.（2）由（1）知()1211122212x x x f x ++==+--，因为函数2x y =在R 上是增函数，所以()f x 在(),0-∞上单调递减，因为22520,280t t t --<-+-<，所以225228t t t --<-+-，解得1t >或3t <-. 故t 的取值范围是(1,)(,3)+∞-∞-.2．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上为增函数，则()()()243f f f --，，的大小顺序是A ．()()()234f f f -<<-B ．()()()423f f f -<-<C ．()()()432f f f -<<-D ．()()()324f f f <-<-考向三 函数最值的求解1．利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．若函数在闭区间[]a b ，上是增函数，则()f x 在[]a b ，上的最小值为()f a ，最大值为()f b ；若函数在闭区间[]a b ，上是减函数，则()f x 在[]a b ，上的最小值为()f b ，最大值为()f a .2．求函数的最值实质上是求函数的值域，因此求函数值域的方法也用来求函数最值.3．由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因此应先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值.4．求函数最值的方法还有数形结合法和导数法.典例5 已知二次函数()()2,f x x bx c b c =++∈∈R R ，,M N 分别是函数()f x 在区间[]1,1-上的最大值和最小值，则M N -的最小值为 A ．2B ．1C ．12D ．14【答案】B 【解析】当12b-≤-，即2b ≥时，()()1124M N f f b -=--=≥； 当12b-≥，即2b ≤-时，()()1124M N f f b -=--=-≥； 当102b-<-≤，即02b ≤<时，()211124b b M N f f b ⎛⎫-=--=++≥ ⎪⎝⎭；当012b<-<，即20b -<<时，()211124b b M N f f b ⎛⎫-=---=-+> ⎪⎝⎭，综上所述，1M N -≥的最小值为1，故选B.【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质以及分类讨论思想的应用，属于难题. （1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．典例6 已知函数()223f x x x =--，若x ∈[t ，t ＋2]，求函数f (x )的最值．【解析】易知函数()223f x x x =--的图象的对称轴为直线x ＝1，（1）当1≥t ＋2，即1t ≤-时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3，f (x )min ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3.（2）当22t t ++≤1<t ＋2，即－1<t ≤0时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3，f (x )min ＝f (1)＝－4. （3）当t ≤1<22t t ++，即0<t ≤1时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3，f (x )min ＝f (1)＝－4.（4）当1<t ，即t >1时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t －3.设函数f (x )的最大值为g (t )，最小值为φ(t )，则有2223,0()23,0t t t g t t t t ⎧--≤⎪=⎨+->⎪⎩，2223,1()4,1123,1t t t t t t t t ϕ⎧+-≤-⎪=--<≤⎨⎪-->⎩.【名师点睛】求二次函数的最大（小）值有两种类型：一是函数定义域为实数集R ，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大（小）值；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数的最大（小）值由它的单调性确定，而它的单调性又由抛物线的开口方向和对称轴的位置（在区间上，在区间左侧，还是在区间右侧）来决定，若含有参数，则要根据对称轴与x 轴的交点与区间的位置关系对参数进行分类讨论，解题时要注意数形结合.3．已知函数()21f x x x =-+，若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，则实数m 的取值范围是．考向四 判断函数的奇偶性判断函数奇偶性的常用方法及思路： （1）定义法：（2）图象法：（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围相应地化简解析式，判断()f x 与()f x -的关系，得出结论，也可以利用图象作判断． ②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程.典例7 设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A ．)()(x g x f 是偶函数 B ．)(|)(|x g x f 是奇函数 C ．|)(|)(x g x f 是奇函数D ．|)()(|x g x f 是奇函数 【答案】C【解析】设()()()H x f x g x =，则()()()H x f x g x -=--，因为)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，故()()()()H x f x g x H x -=-=-，即|)(|)(x g x f 是奇函数，选C ．典例8 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()4f x f x +=-，当()0,2x ∈时，()21f x x =+，则()7f = A ．2 B ．2-C ．1D ．1-【答案】B【解析】根据题意，函数()f x 满足()()4f x f x +=-， 则有()()()84f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为8的周期函数，则()()71f f =-， 又由函数为奇函数，则()()11f f -=-，又()21112f =+=，则()12f -=-，即()72f =-， 故选B ．【名师点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与周期性的综合应用，其中解答中根据题设条件，求得函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．若函数为偶函数，则的值为__________． 考向五 函数奇偶性的应用1．与函数奇偶性有关的问题及解决方法： （1）已知函数的奇偶性，求函数的值．将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． （2）已知函数的奇偶性求解析式.已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式,求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可.（3）已知带有参数的函数的表达式及奇偶性求参数.在定义域关于原点对称的前提下，利用()f x 为奇函数⇔()()f x f x -=-，()f x 为偶函数⇔()()f x f x -=，列式求解，也可以利用特殊值法求解.对于在0x =处有定义的奇函数()f x ，可考虑列式(0)0f =求解.（4）已知函数的奇偶性画图象判断单调性或求解不等式.利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象及判断另一区间上函数的单调性. 2．对称性的三个常用结论：（1）若函数()y f x a =+是偶函数，即()()f a x f a x =-+，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称； （2）若对于R 上的任意x 都有()()2f a x f x -=或(()2)f x f a x =+-，则()y f x =的图象关于直线x a =对称；（3）若函数()y f x b =+是奇函数，即((0))f x b f x b +++-=，则函数()y f x =关于点(,0)b 中心对称．典例9已知定义在R 上的奇函数满足()()220f x x x x +≥=，若2()(32)f a f a ->，则实数a 的取值范围是________．()3121xf x x a ⎛⎫=+⎪-⎝⎭a【答案】(－3,1)【解析】由题意可得()()220f x x x x +≥=在[0)+∞,上为增函数，又()f x 为定义在R 上的奇函数， 所以()f x 在R 上为增函数．由2()(32)f a f a ->得232a a ->，即2230a a +-<，解得31a -<<. 故实数a 的取值范围是(－3,1).典例10已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()24f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为__________． 【答案】()()5,05,-+∞【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()00f =. 又当0x <时，0x ->，∴2()4f x x x -=+.又()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，∴()()240f x x x x --<=，∴()220,04,04,0x x x f x x x x x ->--<⎧⎪==⎨⎪⎩.当0x >时，由()f x x >得24x x x ->，解得5x >； 当0x =时，()f x x >无解；当0x <时，由()f x x >得24x x x -->，解得50x -<<. 综上，不等式()f x x >的解集用区间表示为()()5,05,-+∞．5．已知偶函数在上单调递增，若,则满足的的取值范围是 A ．(,1)(3,)-∞-+∞B ．(,1][3,)-∞-+∞C ．D ．(,2][2,)-∞-+∞考向六 函数周期性的判断及应用()f x [)0,+∞()22f =-()12f x -≥-x []1,3--（1）判断函数的周期，只需证明()()()0f x T f x T =+≠，便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．（2）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则(kT k ∈Z 且0k ≠)也是函数的周期.（3）利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解.典例11定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，且()()4f x f x -=，现有以下三种叙述：①8是函数()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③()f x 是偶函数． 其中正确的序号是． 【答案】①②③【解析】由()()20f x f x ++=得()()2f x f x +=-，所以()()42f x f x +=-+()f x =，所以4是()f x 的一个周期，8也是()f x 的一个周期，①正确；由()()4f x f x -=得()f x 的图象关于直线2x =对称，②正确；由()()4f x f x +=得()()4f x f x -=-，所以()()f x f x -=，所以函数()f x 是偶函数，③正确． 所以正确的序号是①②③．6．已知为定义在R 上周期为2的奇函数，当时，，若，则A ．6B ．4()f x 10x -≤<()()1f x x ax =+512f ⎛⎫=-⎪⎝⎭a =C ．D ．考向七 函数性质的综合应用函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度：（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． （2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.典例12已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[02]，上是增函数，则 A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ．(80)(11)(25)f f f <<- C ．(11)(80)(25)f f f <<-D ．(25)(80)(11)f f f -<< 【答案】D【解析】因为()f x 满足(4)()f x f x -=-，所以(8)()f x f x -=，所以函数()f x 是以8为周期的周期函数，则(25)(1),(80)(0),(11)(3)f f f f f f -=-==.由()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(4)()f x f x -=-，得(11)(3)(1)(1)f f f f ==--=.因为()f x 在区间[02]，上是增函数，()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在区间[22]-，上是增函数， 所以(1)(0)(1)f f f -<<，即(25)(80)(11)f f f -<<.7．设函数是以为周期的奇函数，已知时，，则在上是A ．增函数，且B ．减函数，且1425-6-()f x 2()0,1x ∈()2xf x =()f x ()2017,2018()0f x >()0f x <C ．增函数，且D ．减函数，且1．下列函数中，在其定义域上是减函数的为 A ．2()21f x x x =-++B ．1()f x x=C ．||1()4x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ． ()ln(2)f x x =-2．下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是 A ．2xy = B ．lg y x =C ．3y x x =+D ．cos y x =3．函数f （x ）=x x a-，（a ∈R ），若函数f （x ）在（1，+∞）上为减函数，则实数a 的取值范围是 A ．(],1-∞B ．(]0,1C ．()0,+∞D ．[)1,+∞ 4．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数解析式可能是A ．B ．C ．e ||xy x =-D ．5．函数1()()cos (ππf x x x x x=--≤≤，且0)x ≠的图象可能．．为 A ． B ．()0f x <()0f x>2xx y =22xy =-22xy x =-C ．D ．6．已知函数满足，且在上单调递增，则 A ． B ． C ．D ．7．已知函数为偶函数，且函数与的图象关于直线对称，若，则 A ． B ． C ．D ．8．下列有关函数单调性的说法，不正确的是A ．若f (x )为增函数，g (x )为增函数，则f (x )＋g (x )为增函数B ．若f (x )为减函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为减函数C ．若f (x )为增函数，g (x )为减函数，则f (x )＋g (x )为增函数D ．若f (x )为减函数，g (x )为增函数，则f (x )－g (x )为减函数9．已知定义在R 上的函数满足：对任意实数都有，，且时，，则的值为A ．B ．C ．D ．10．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<⎪=⎨-≥⎪⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 A ．1- B ．13- C ．12-D ．1311．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()2xf x m =+，则()3f -=__________．()f x ()()22f x f x +=-()f x ()2,+∞()()()136f f f -<<()()()316f f f <-<()()()613f f f <-<()()()631f f f <<-()f x ()f x ()g x y x =()23g =()3f -=2-23-3()f x x ()()33f x f x +=-()()f x f x -=[]3,0x ∈-()()12log 6f x x =+()2018f 3-2-2312．已知函数()241xf x x x =++，则在区间(]0,2上的最大值为_______. 13．已知函数2()2(1)4f x x a x =--+.（1）若()f x 为偶函数，求()f x 在[]1,2-上的值域；（2）若()f x 在区间(],2-∞上是减函数，求()f x 在[]1,a 上的最大值.14．若函数y =f (x )对定义域内的每一个值x 1，在其定义域内都存在唯一的x 2，使f (x 1)f (x 2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”．（1）判断函数g (x )=2x是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数f (x )=(x –1)2在定义域[m ，n ](m >1)上为“依赖函数”，求实数m 、n 的乘积mn 的取值范围；（3）已知函数f (x )=(x –a )2(a在定义域4]上为“依赖函数”．若存在实数x ∈4]，使得对任意的t ∈R ，有不等式f (x )≥–t 2+(s –t )x +4都成立，求实数s 的最大值．1．（2019年高考新课标Ⅱ卷文数）设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x ---D ．e 1x --+2．（2019年高考北京文数）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是 A ．12y x = B ．y =2x - C ．12log y x =D ．1y x=3．（2019年高考新课标Ⅰ卷文数）函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．4．（2019年高考新课标Ⅲ卷理数）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-） C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314） 5．（2018年高考浙江卷）函数y =2x sin2x 的图象可能是2sin cos ++x xx xA ．B ．C ．D ．6．（2018年高考新课标I 卷理科）设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x =D ．y x =7．（2018年高考新课标Ⅲ卷文科）下列函数中，其图象与函数ln y x =的图象关于直线1x =对称的是 A ．()ln 1y x =- B ．()ln 2y x =- C ．()ln 1y x =+D ．()ln 2y x =+8．（2018年高考新课标II 卷理科）已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()123f f f ++()50f ++=A ．50-B ．0C ．2D ．509．（2017年高考浙江卷）若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关10．（2017年高考北京卷文科）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数11．（2017年高考新课标Ⅰ卷理科）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]12．（2017年高考北京卷理科）已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数13．（2017年高考天津卷理科）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(l og 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<14．（2018年高考江苏卷）函数()f x 满足()()()4f x f x x +=∈R ，且在区间(]2,2-上，()πc o s ,02,21,20,2x x f x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩则()()15f f 的值为________．15．（2017年高考浙江卷）已知a ∈R ，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是___________．16．（2019年高考新课标Ⅱ卷理数）已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________．17．（2019年高考北京理数）设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．1．【答案】B【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，e xy=，为指数函数，其定义域为R，不符合题意；对于B，1ππlog logy x x=-=，为对数函数，定义域为()0,+∞且在定义域内单调递增，符合题意；对于C，y=[)0,+∞，不符合题意；对于D，12logy x=，为对数函数，定义域为()0,+∞且在定义域内单调递减，不符合题意，故选B．【名师点睛】本题考查函数的定义域以及单调性的判定，涉及指数、对数、幂函数的性质，属于基础题．根据题意，依次分析选项中函数的定义域以及单调性，即可得答案．2．【答案】A【解析】因为()f x为定义在(,)-∞+∞上的偶函数，且()f x在[0,)+∞上为增函数，所以()()()()4422f f f f-=-=，，又0234<<<，所以()()()234f f f<<，所以()()()234f f f-<<-．故选A．3．【答案】(),1-∞-【解析】要使在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m>+恒成立，只需()2231m f x x x x<-=-+恒成立，设()231g x x x=-+，只需m小于()g x在区间[]1,1-上的最小值，因为()22353124g x x x x⎛⎫=-+=--⎪⎝⎭，所以当1x=时，()()2min113111g x g==-⨯+=-，所以1m<-，所以实数m的取值范围是(),1-∞-.4．【答案】【解析】因为函数为偶函数，12()3121xf x x a⎛⎫=+⎪-⎝⎭所以由()()f x f x =-可得， 则11212121x x a -=--=--，∴，故答案为. 【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用关系式：奇函数由恒成立求解，偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性. 5．【答案】B【解析】由题设知偶函数在上单调递增， 若,则，即解得或.故选B ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，函数的单调性等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．由题意结合函数的性质脱去符号，求解绝对值不等式即可求得最终结果． 6．【答案】A【解析】因为是周期为2的奇函数，所以，解得，故选A ．【名师点睛】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性的应用，属于中档题.在本题中，应用函数的周期性和奇偶性解题是关键.求解时，利用已知条件，将函数的自变量变到内，再求出函数值，由求出的值. 7．【答案】C 【解析】函数的周期是，函数在上的单调性和()1,0-上的单调性相同，时，为增函数，函数为奇函数，时，为增函数，当时，，当时，，∴在上，()33112121xx x a x a -⎛⎫⎛⎫+=-+⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭12a =12()()+0f x f x -=()()0f x f x --=()00f =()()110f f --=()f x [)0,+∞()22f =-()()()()()121212f x f x f fx f -≥-⇔-≥⇔-≥12,x -≥1x ≤-3x ≥f ()f x 511111122222f f f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--=---+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6a =[)1,0-512f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a 2∴()f x ()2017,2018()0,1x ∈()2x f x =()f x ()1,0x ∴∈-()f x ()0,1x ∈()20xf x =>∴()1,0x ∈-()0f x <()f x ()2017,2018()0f x <故在上是增函数，且，故选C ．【名师点睛】根据函数的奇偶性和单调性、周期性和单调性的关系进行转化即可得到结论.1．【答案】D【解析】对于A 答案，2()21f x x x =-++为二次函数，则函数在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，在其定义域范围内有增有减，故不正确； 对于B 答案，1()f x x=为反比例函数，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递减，在定义域范围内没有单调性，不满足题意；对于C 答案，1(0)1()=444(0)xxxx f x x ⎧⎛⎫≥⎪⎛⎫ ⎪=⎨⎝⎭ ⎪⎝⎭⎪<⎩，则在[)0,+∞上单调递减，(,0)-∞上单调递增，不满足题意；对于D 答案， ()ln(2)f x x =-定义域为(),2-∞，由复合函数的单调性可知，整个定义域范围内单调递减，故满足题意； 故答案选D.【名师点睛】本题主要考查二次函数、反比例函数、指数对数函数、复合函数单调性的判断，属于基础题. 2．【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：选项A ：2xy =，为指数函数，不是奇函数，不符合题意； 选项B ：lg y x =，为对数函数，不是奇函数，不符合题意； 选项C ：3y =x +x ，定义域为R ，33f x x x x x f x -=-+-=--=-()()()()，为奇函数，2311y =x +'≥，故函数3y =x +x 在R 上单调递增，故既是奇函数，又是增函数，符合题意；选项D ：cos y x =，为余弦函数，根据余弦函数图象可知，在其定义域上不是增函数，不符合题意；()f x ()2017,2018()0f x <故选：C ．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性． 3．【答案】C【解析】由题意，函数()1x a f x x a x a==+--，（a ∈R ），函数()f x 在（1，+∞）上为减函数， ∴()()2af x x a =-'-0≤在（1，+∞）恒成立，∴a 0≥,检验当a =0时不符合题意，故a >0.故选：C ．【名师点睛】本题主要考查了根据函数单调性求参数范围的问题，其中解答中熟记函数的单调性与函数的导数之间的关系，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 4．【答案】D【解析】由函数图象可知，函数图象关于轴对称，函数是偶函数. 对于A ，，函数不是偶函数； 对于B ，，函数不是偶函数； 对于C ，，函数不是偶函数； 对于D ，=，是偶函数， 故选D ．【名师点睛】由函数图象可知，函数图象关于轴对称，可得函数是偶函数，逐一判断选项中函数的奇偶性即可得结果.函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 5．【答案】D【解析】因为，函数为奇函数，函数的图象关于原点对称，可排除选项A ，B ，当πx =时，11(π)(π)cos ππ0ππf =-=-<，可排除选项C ，故选D ． y ∴()()f x f x -≠()()f x f x -≠()()f x f x -≠()f x -()f x y ()()()11cos cos f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()f x ∴()f x。
2020年高考数学(理)高频考点 函数与导数 专题02 函数的基本性质(解析版)
函数与导数02函数函数的基本性质一、具体目标：1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.会用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.2.理解函数的单调性及其几何意义.会用基本函数的图象分析函数的性质.3. 了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．二、知识概述：1．偶函数、奇函数的概念一般地，如果对函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝－f(x)__，那么函数f(x)就叫做奇函数．2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于__y轴__对称，奇函数的图象关于__原点__对称．3．函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4.判断函数的奇偶性的常用方法：(1)定义法一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断．利用定义判断函数奇偶性的步骤：【考点讲解】(2)图象法：奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y 轴成轴对称．因此要证函数的图象关于原点对称，只需证明此函数是奇函数即可；要证函数的图象关于y 轴对称，只需证明此函数是偶函数即可．反之，也可利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性． (3)组合函数奇偶性的判定方法①两个奇(偶)函数的和、差还是奇(偶)函数，一奇一偶之和为非奇非偶函数．②奇偶性相同的两函数之积(商)为偶函数，奇偶性不同的两函数之积(商)(分母不为0)为奇函数． ③复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”． (4)分段函数的奇偶性判定分段函数应分段讨论，注意奇偶函数的整体性质，要避免分段下结1．已知函数的奇偶性求函数的解析式． 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于()f x 的方程，从而可得()f x 的解析式．5．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用()()0f x f x ±－＝产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．6．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 7．增函数与减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，(1)如果对于定义域I 内某个区间D 上的__任意两个__自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是__增函数__.(2)如果对于定义域I 内某个区间D 上的__任意两个__自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是__减函数__. 8．单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)__单调性__，区间D 叫做y ＝f (x )的__单调区间__. 9．函数的最大值与最小值：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：(1)对于任意的x ∈I ，都有__f (x )≤M __；存在x 0∈I ，使得__f (x 0)＝M __，那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最 大值．(2)对于任意的x ∈I ，都有__f (x )≥M __；存在x 0∈I ，使得__f (x 0)＝M __，那么我们称M 是函数y ＝f (x )的最小值．10．函数单调性的常用结论区间D 上单调递增 区间D 上单调递减 定义法 x 1<x 2⇔f (x 1)<f (x 2) x 1<x 2⇔f (x 1)>f (x 2) 图象法 函数图象是上升的 函数图象是下降的 导数法 导数大于零 导数小于零 运算法 递增＋递增＝递增 递减＋递减＝递减 复合法 内外层单调性相同内外层单调性相反11．对勾函数的单调性对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的递增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)；递减区间为[－a ，0)和(0，a ]，且对勾函数为奇函数． 12.函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个__非零常数__T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有__f (x ＋T )＝f (x )__，那么函数f (x )就叫做周期函数，T 叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的__最小__正周期． 13.函数周期性的常用结论： 对f (x )定义域内任一自变量x 的值： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)； (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．14.函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a <b )，则函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )(不一定是最小正周期，下同)．(2)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两个对称中心A (a,0)，B (b,0)(a <b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期 T ＝2(b －a )．(3)如果函数f (x )，x ∈D 在定义域内有一条对称轴x ＝a 和一个对称中心B (b,0)(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝4|b －a |.注：对于(1)(2)(3)中的周期公式可仿照正、余弦函数的图象加强记忆．判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．15．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．1．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________．【解析】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．由题意知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-，又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 2e 8a --=-，两边取以e 为底数的对数，得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-．【答案】3-2.【2019优选题】已知()f x 是R 上的偶函数，且在[0，)+∞单调递增，若(3)f a f -<（4），则a 的取值范围为 ．【解析】：()f x Q 是R 上的偶函数，且在[0，)+∞单调递增，∴不等式(3)f a f -<（4）等价为 (|3|)f a f -<（4），即|3|4a -<，即434a -<-<，得17a -<<，即实数a 的取值范围是17a -<<， 故答案为：17a -<< 【答案】17a -<<．3.【2017课标II 】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+, 则(2)f = ________．【解析】本题考点奇函数的性质解决求函数值的问题. 法一：(2)(2)[2(8)4]12=--=-⨯-+=f f .【真题分析】法二：由题意可知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以有()()()232x x x f x f +-=-=-，而因为()0,∞-∈x ，()∞+∈-，0x ，()232x x x f --=-所以有()⎪⎩⎪⎨⎧>-<+=0,20,22323x x x x x x x f ，()12222223=-⨯=f【答案】124. 【2017山东】已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈- 时,()6xf x -=,则f (919)= 【解析】由f (x +4)=f (x -2)可知,()()6=+f x f x 是周期函数,且6T =,所以(919)(66531)(1)f f f =⨯+=(1)6f =-=.【答案】65. 【2019年高考江苏】设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 . 【解析】作出函数()f x ，()g x 的图象，如图：由图可知，函数2()1(1)f x x =--的图象与1()(12,34,56,78)2g x x x x x =-<≤<≤<≤<≤的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有2个不同的实数根，要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则2()1(1),(0,2]f x x x =--∈与()(2),(0,1]g x k x x =+∈的图象有2个不同的交点，由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为1，可得2|3|11k k =+，解得2(0)4k k =>， ∵两点(2,0),(1,1)-连线的斜率13k =，∴1234k ≤<，综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个不同的实数根的k 的取值范围为1234⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，. 【答案】12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭6.【2017山东理15】若函数()e x f x （e 2.71828=L 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x = ④()22f x x =+【解析】①()e =e e 22xx x xy f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()e =e e 33xxxxy f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③()3=e e xxy f x x =⋅，令()3e xg x x =⋅，则()()322e e 3e3xxxg x x x x x '=⋅+⋅=+，所以当3x >-时，()0g x '>；当3x <-时，()0g x '<，所以()3=e e xxy f x x =⋅在(),3-∞-上单调递减，在()3,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()2=e e 2x x y f x x =+.令()()2e 2x g x x =+， 则()()()22e 2e 2e 110xx x g x x x x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，所以()()2=e e 2x x y f x x =+在R 上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．综上所述，具有M 性质的函数的序号为①④.【答案】①④7.【2017天津理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）. A.a b c << B.c b a <<C.b a c <<D.b c a <<【解析】 因为奇函数()f x 在R 上增函数，所以当0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在(0,)+∞上是增函数.()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以0.8202log 5.13<<<，于是()()()0.822log 5.13g g g <<，即b a c <<.故选C.【答案】C8.【2018新课标II 卷11】已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…（ ）A ．50-B ．0C ．2D ．50【解析】本题考点是函数的性质的具体应用，根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 由题意可知原函数的定义域为()∞+∞-，的奇函数，并且有()()x f x f +=-11，所以有()()()111--=-=+x f x f x f ，所以有()()()113-=+-=+x f x f x f ，即有()()4+=x f x f ，所以函数是以周期为4的周期函数.因此有()()()()()()()()[]()()2143211250321f f f f f f f f f f +++++=++++Λ.因为()()()()2413f f f f -=-=，，()()()()04321=+++f f f f ，由()()()113-=+-=+x f x f x f 可得()()()00112==+--=f f f从而()()()()()2150321==++++f f f f f Λ，选C .【答案】C9. .已知定义在错误!未找到引用源。
高三数学备考冲刺140分问题03函数性质的灵活应用含解析
问题03 函数性质的灵活应用一、考情分析函数是整个高中数学的核心内容,是高中数学的主线,所有知识均可与函数建立联系,都可围绕这一主线展开学习考查,它贯穿于中学数学的始末,而函数的四大性质更是高考对函数内容考查的重中之重,其中单调性与奇偶性更是高考的必考内容,在高考命题中函数常与方程、不等式等其他知识结合考查,而且考查的形式不一,有选择题,填空题,也有解答题；有基础题,也有难度较大的试题.二、经验分享(1) 单调区间是定义域的子集,故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则,单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,如有多个单调区间应分开写,不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接.(2) 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．(3) 解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范.(4) 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．(5)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．②若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.三、知识拓展1．对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f (x ＋a )＝－f (x ),则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝()1f x ,则T ＝2a (a >0)． (3)若f (x ＋a )＝－()1f x ,则T ＝2a (a >0)． (4)若()()()2f x a f x a f x +=+-,则T ＝6a (a >0)．(5)若f (x ＋a )＝()()11f x f x -+,则T ＝2a (a >0)．(6)若f (x ＋a )＝()()11f x f x +-,则T ＝4a (a >0)．2．函数对称性与函数周期性的关系(1)若函数()f x 的图象既关于直线x a =对称,又关于直线x b =对称()a b ≠,则()f x 是周期函数,且()2b a -是它的一个周期.(2)若函数()f x 的图象既关于点(),0a 对称,又关于点(),0b 对称()a b ≠,则()f x 是周期函数,且()2b a -是它的一个周期.(3)若函数()f x 的图象既关于直线x a =对称,又关于点(),0b 对称()a b ≠,则()f x 是周期函数,且()4b a -是它的一个周期.3.函数()1,0x f x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数是一个奇特的函数，该函数是偶函数，是周期函数，但没有最小正周期，也无法作出其图象.4. 设()[]x g f y =是定义在M 上的函数,若()f x 与()g x 的单调性相反,则()[]x g f y =在M 上是减函数；若()f x 与()g x 的单调性相同,则()[]x g f y =在M 上是增函数,简称同增异减.5. 对称性的一般结论①若()()f a x f b x +=-,则()f x 图像关于直线2a bx +=对称； ②()y f a x =+与()y f b x =-的图像关于直线2b ax -=（即a x b x +=- ）对称.四、题型分析(一) 函数单调性的灵活应用【例1】如果对定义在R 上的函数()f x ,对任意两个不相等的实数12,x x ,都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+,则称函数()f x 为“H 函数”.给出下列函数①e xy x =+;②2y x =;③3sin y x x =-;④ln 0()00x x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩. 以上函数是“H 函数”的所有序号为 .【分析】本题的重点和难点均为对“H 函数”本质的认识和理解,即如何处理和转化题中所给不等式：11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+,采用合并重组的方法进行处理,得()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦ ,由单调性定义的本质,可以看出“H 函数”本质上就是个单调递增函数.当x<0时为减函数,当x>0为增函数,不符合,故选①③.【点评】本题主要考查了单调函数的定义和函数单调性的判断（定义法,图像法,导数法）,学生在初步理解时可能有一种无从入手的感觉,如果对函数单调性定义的本质不能领悟的话,则将无法完成此题了,可见在教师的教和学生的学中最终要让学生去理解和领悟知识的本质. 【小试牛刀】【2018届福建闽侯高三12月月考】已知函数()22xxaf x =-，其在区间[]0,1上单调递增，则的取值范围为（ ）A. []0,1B. []1,0-C. []1,1-D. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C(二) 函数奇偶性的灵活应用【例2】已知函数22(1)sin ()31x a xf x x ++=++（a R ∈）,2(ln(log 5))5f =,则5(ln(log 2))f =（ ） A ．5- B ．1- C ．3 D ．4 【分析】先把()f x 分离常数,得()22sin 41x a xf x x +=++,根据奇函数性质可得()()8f x f x +-=【答案】C【解析】()()41sin 231sin 1231sin 122222+++=+++++=++++=x xa x x x a x x x x a x x f , 令()()1sin 242++=-=x xa x x f x g ,则()x g 为奇函数,()()()()145log ln 5log ln 22=-=f g , ()()()()12log ln 5log 1ln 2log ln 525-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=g g g ,()()()()342log ln 2log ln 55=+=g f ,故选C. 【点评】本题对函数奇偶性的考查较为隐蔽,只有通过分离常数,才能看出()f x 是一个常数函数与一个奇函数的和,故本题对能力要求较高.【小试牛刀】【2018四川成都考前模拟】已知函数y=f （x ）为定义域R 上的奇函数，且在R 上是单调递增函数，函数g （x ）=f （x ﹣5）+x ，数列{a n }为等差数列，且公差不为0，若g （a 1）+g （a 2）+…+g（a 9）=45，则a 1+a 2+…+a 9=（ ）A ． 45B ． 15C ． 10D ． 0【答案】A(三) 函数单调性与奇偶性的综合应用函数的单调性是相对于函数定义域内某个子区间而言的“局部”性质,它反映了函数在某区间上函数值的变化趋势；函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的“整体”性质,主要讨论的是函数的对称性．函数的这两个基本性质应用灵活、广泛.【例3】设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当2)(,0x x f x =≥时,若对任意的]2,[+∈t t x ,不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立,则实数t 的取值范围是 ．【分析】本题已明确指出是个奇函数,故易求出它的整个解析式（一个分段函数）,此时画出它的图象,就能发现它是一个单调递增函数,难点在于题中所给不等式)(2)(x f t x f ≥+中,2()f x 的系数2如何处理？再次仔细观察所求函数的解析式的结构特征,发现满足：)2()(2x f x f =,最后结合单调性,转化一个恒成立问题,利用分离参数的方法求出t 的范围. 【解析】∵)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当0≥x 时,2)(x x f = ∴当x ＜0,有-x ＞0,2)()(x x f -=-, ∴2)(x x f =-,即2)(x x f -=,∴⎩⎨⎧<-≥=)0(,)0(,)(22x x x x x f ,∴)(x f 在R 上是单调递增函数, 且满足)2()(2x f x f =,∵不等式)2()(2)(x f x f t x f =≥+在[t,t+2]恒成立, ∴x +t ≥2x 在[t ,t +2]恒成立,解得t x )21(+≤在[t ,t +2]恒成立, ∴t t )21(2+≤+解得：2≥t ,则实数t 的取值范围是：[+∞,2）．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性,其中奇偶性是一个明条件,单调性是一个隐条件,作出函数的图象易发现它的单调性,这也再次说明数形结合的重要性,本题最后转化成一个恒成立问题,运用分离参数的方法求解的,这正说明函数性质的应用是十分广泛的,它能与很多知识结合,考查学生综合运用所学知识解决问题的能力.【小试牛刀】设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U【答案】A解法二：把1x =代入()(21)f x f x >-,得()()11f f >,这显然不成立,所以1x =不满足()(21)f x f x >-, 由此可排除D ；又()01f =-,()11ln 22f -=-,()()01f f <-,所以0x =不满足()(21)f x f x >-, 由此可排除B,C,故选A. (四) 函数性质的综合运用【例4】已知定义在R 上的函数)(x f 满足)2(x f -为奇函数,函数)3(+x f 关于直线1=x 对称,则下列式子一定成立的是（ ）A. )()2(x f x f =-B. )6()2(+=-x f x fC. 1)2()2(=+⋅-x f x fD.0)1()(=++-x f x f【分析】由题中函数)(x f 满足)2(x f -为奇函数,结合奇函数的定义转化可得：()(4)f x f x =--,再由条件：函数)3(+x f 关于直线1=x 对称,结合对称性的规律可得：(4)(4)f x f x -=+,最后由周期性的概念可转化为：()(4)(8)f x f x f x =-+=+,可见函数的周期为8,即可求解.【点评】本题主要考查了学生对抽象函数的处理能力,考查了函数的奇偶性、对称性和周期性,要想顺利完成本题有一个难点：)2(x f -为奇函数的处理,这要对奇函数定义本质有充分的理解,函数的四大性质在抽象函数的考查中往往会综合在一起,这也正是此类题目一般较难的原因,在我们复习备考中一定要加强对所学概念本质的理解,这并非一日之功了,须注意平时的积累和磨炼.【小试牛刀】【2018湖北襄阳调研】若函数()y f x =对定义域D 内的每一个x 1，都存在唯一的x 2∈D ，使得()()121f x f x ⋅=成立，则称f (x)为“自倒函数”．给出下列命题：①()sin 222f x x x ππ⎫⎡⎤=∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎭，是自倒函数；②自倒函数f (x)可以是奇函数； ③自倒函数f (x)的值域可以是R ；④若()()y f x y g x ==，都是自倒函数，且定义域相同，则()()y f x g x =⋅也是自倒函数． 则以上命题正确的是_______(写出所有正确命题的序号)． 【答案】①②【解析】()f x 为D 上的单调函数，否则方程()()11f x f x =不止一个实数解．对于①，()sin 2f x x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是单调增函数，且其值域为221⎡⎤⎣⎦，对于任意的221t ⎡⎤∈⎣⎦，则 1221t ⎡⎤∈⎣⎦，故()1f x t = 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有唯一解2x x =，①正确；对于②，取()1f x x = ， ()(),00,x ∈-∞⋃+∞， ()f x 的值域为()(),00,-∞⋃+∞，因为()1f x x=在(),0-∞和()0,+∞都是单调减函数，故对于()(),00,t ∈-∞⋃+∞， ()f x t =有唯一解 2x x =， ()1f x x= ，()(),00,x ∈-∞⋃+∞为“自倒函数”，②正确；对于③，如果()f x 的值域为R ，取()10f x =， ()201f x ⨯=无解，③不正确；④取()()1,f x x g x x==，其中()(),00,x ∈-∞⋃+∞，它们都是“自倒函数”，但是()()()1F x f x g x ==，这是常数函数，它不是“自倒函数 ” ．在解决函数性质有关的问题中,如果结合函数的性质画出函数的简图,根据简图进一步研究函数的性质,就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了,对问题的解决有很大的帮助.(1)一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大,然后利用函数的奇偶性调整正负号,最后利用函数的单调性判断大小；(2)画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置,然后利用单调性确定一段区间的图象,再利用奇偶性确定对称区间的图象,最后利用周期性确定整个定义域内的图象. 五、迁移运用1．【2019广东六校第一次联考】定义在上的函数满足及，且在上有，则A ．B ．C ．D ．【答案】D，在上有，，，故选D.2．【2019安徽肥东8月调研】已知函数且的最大值为,则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A3．【2019安徽定远第一次月考】已知函数，则不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，函数的定义域为R．∵，∴函数为奇函数．又根据复合函数的单调性可得，函数在定义域上单调递增．由得，∴，解得，∴不等式的解集为．故选C．4．【2018山西运城模拟】是函数的零点，，则①②③④，其中正确的命题为A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B5．【2018广东广州七校联考】已知都是定义域为的连续函数．已知：满足：①当时，恒成立；②都有．满足：①都有；②当时，．若关于的不等式对恒成立，则的取值范围是A． B．C． D．【答案】D【解析】∵函数g（x）满足：当x＞0时，g'（x）＞0恒成立且对任意x∈R都有g（x）=g（﹣x），∴函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g|（x|）=g（x），∴g[f（x）]≤g（a2﹣a+2），x∈恒成立⇔|f（x）|≤|a2﹣a+2|恒成立，只要使得定义域内|f（x）|max≤|a2﹣a+2|min，由f（x+）=f（x﹣），得f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期T=2，∵x∈[﹣，]时，f（x）=x3﹣3x，求导得：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），该函数过点（﹣，0），（0，0），（，0），且函数在x=﹣1处取得极大值f（﹣1）=2，在x=1处取得极小值f（1）=﹣2，即函数f（x）在R上的最大值为2，∵x∈，函数的周期是2，∴当x∈时，函数f（x）的最大值为2，由2≤|a2﹣a+2|，即2≤a2﹣a+2，则a2﹣a≥0，解得：a≥1或a≤0．故答案为：D6．【2018四川成都模拟】已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，存在，使得，符合题意，排除选项；因为函数，所以函数是奇函数，也是增函数，当时，要使，则， 可得，即，显然方程无解，不成立，不合题意，排除选项，故选A. 7．已知二次函数，定义，，其中表示中的较大者，表示中的较小者，下列命题正确的是 A ． 若，则 B ． 若，则 C ． 若，则D ． 若，则【答案】C8. 函数21(2)()1(2)ax x x f x ax x ⎧+->=⎨-≤⎩是R 上的单调递减函数,则实数a 的取值范围是（ ）A ．104a -≤< B ．14a ≤- C ．114a -≤≤- D ．1a ≤-【答案】D【解析】∵21(2)()1(2)ax x x f x ax x ⎧+->=⎨-≤⎩是R 上的单调递减函数,∴0121221421a a a a a <⎧⎪⎪-≤⇒≤-⎨⎪-≥+-⎪⎩,故选D ．9. 已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-,3)2(-=-f ,数列{}n a 满足11-=a ,且21n n S an n=⨯+,（其中n S 为{}n a 的前n 项和）,则=+)()(65a f a f ( )．A ．3-B ．2-C ．3D ．2 【答案】C【解析】由定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-知,3()2f x -=3[()]2f x -- =3()2f x --=()f x -,所以(3)f x -= 33[()]22f x --= 3()2f x --= (())f x --=()f x ,所以)(x f 的周期为3,由21n n S an n=⨯+得,2n n S a n =+,当n≥2时,n a =1122(1)n n n n S S a n a n ---=+---,所以n a =121n a --,所以2a =-3,3a =-7,4a =-15,5a =-31,6a =-63,所以=+)()(65a f a f (31)(63)f f -+-=(3101)(3210)f f -⨯+-⨯+=(1)(0)f f --=(13)0(2)f f ---=--=3,故选C. 10.【2017届重庆市一中高三上学期期中】已知函数xx x f 411212)(+++= 满足条件1))12((log =+a f ,其中1>a ,则=-))12((log a f （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B11．【2016届黑龙江大庆实验中学高三考前训练】定义区间12[,]x x 的长度为21x x -（21x x >）,函数22()1()(,0)a a x f x a R a a x+-=∈≠的定义域与值域都是[,]()m n n m >,则区间[,]m n 取最大长度时实数a的值为（ ） A 23．-3 C ．1 D ．3 【答案】D【解析】设[]n m ,是已知函数定义域的子集．0≠x ,[]()0,,∞-⊆n m 或[]()∞+⊆，0,n m ,故函数()x a a a x f 211-+=在[]n m ,上单调递增,则()()⎩⎨⎧==nn f m m f ,故n m ,是方程x x a a a =-+211的同号的相异实数根,即()01222=++-x a a x a 的同号的相异实数根,∵21amn =,∴n m ,同号,只需()()0132>-+=∆a a a ,∴1>a 或3-<a ,()343113422+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+=-a mn n m m n ,m n -取最大值为332．此时3=a ,故选：D ．12．【2018届云南省玉溪市期中】函数()10,2{ (0,1)7log ,2a x x f x a a x x -<=>≠+≥的值域是()8,∞+,则实数a 的取值范围是__________. 【答案】()1,2 【解析】∵()10,2{7log ,2a x x f x x x -<=+≥.∴当2x <时, ()8.f x >∵()()8,f x ∞+的值域是.∴当2x ≥时, ()8.f x >即7log 8a x +>.∴log 1, 2.a x x >≥∴1 2.a <<故答案为()1,2.13．【2018届湖北省潜江市高三期中】若函数()()2ln 1x f x e ax =++是偶函数，则函数()f x 的最小值为____________. 【答案】ln214．【2018届福建省闽侯市高三12月月考】已知()f x 是R 上的减函数， ()()3,1,0,1A B -是其图像上两个点，则不等式()1ln 1f x +<的解集是__________ ． 【答案】21,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 因为不等式()1ln 1f x +<，所以()11ln 1f x -<+<， 因为()()3,1,0,1A B -是其图象上两个点，所以()()31,01f f =-=， 所以可化为()()()31ln 0f f x f <+<， 因为()f x 是R 上的减函数，所以31ln 0x >+>，化为2ln 1x >>-，解得21xe e <<， 所以不等式()1ln 1f x +<的解集是21,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 15.【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研】已知函数()()()()2200x x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩为奇函数,则()1g -= __________.【答案】3-【解析】2()()2(1)3g x f x x x g =--=-+⇒-=-．16. 已知函数()(2)(-5)f x x x ax =++2的图象关于点(-2,0)中心对称,设关于x 的不等式()()f x m f x +<的解集为A ,若(5,2)A --⊆,则实数m 的取值范围是 ．【答案】3m ≤-或3m =17. 已知函数()y f x =为奇函数,且对定义域内的任意x 都有(1)(1)f x f x +=--．当(2,3)x ∈时,2()log (1)f x x =- 给出以下4个结论：①函数()y f x =的图象关于点(k,0)(k ∈Z)成中心对称；②函数|()|y f x =是以2为周期的周期函数； ③当(1,0)x ∈-时,2()log (1)f x x =--； ④函数(||)y f x =在(k,k+1)( k ∈Z)上单调递增． 其一中所有正确结论的序号为 【答案】①②③【解析】由题设()y f x =为奇函数,其图象关于原点中心对称,又对定义域内的任意x 都有(1)(1)f x f x +=--,所以其图象还关于点()1,0,据此可判断函数()f x 为周期函数,最小正周期2T =,又当(2,3)x ∈时,2()log (1)f x x =-,因此可画出函数()f x 的图象大致如下图一所示,函数|()|y f x =的图象如下图二所示,函数(||)y f x =的图象如下图三所示,由图象可知①②正确,④不正确；另外,当()1,0x ∈-时,()22,3x -∈所以,()()()222log 21log 1f x x x -=--=-,又因为()f x 是以2这周期的奇函数所以,()()()2f x f x f x -=-=-,所以,()()2log 1f x x -=-,所以,()()()2log 1,1,0f x x x =--∈-,所以③也正确,故答案应填：①②③18. 设()f x R 是上的奇函数,且对任意的实数,a b 当0a b +≠时,都有()()0f a f b a b+>+(1)若a b >,试比较(),()f a f b 的大小；(2)若存在实数13,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得不等式2()()0f x c f x c -+->成立,试求实数c 的取值范围．【答案】(1)()()f a f b >；(2)113131(+-．【解析】(1)由已知得()()()()0()f a f b f a f b a b a b -+-=>-+-,又 Q a b >,∴0a b ->()()0f a f b ∴->,即()()f a f b >19.函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0},且满足对于任意x 1,x 2∈D ,有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1,f (x －1)<2,且f (x )在(0,＋∞)上是增函数,求x 的取值范围． 【答案】(1)0；(2)见解析；(3) {x |－15<x <17且x ≠1}． 【解析】(1)∵对于任意x 1,x 2∈D ,有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2), ∴令x 1＝x 2＝1,得f (1)＝2f (1),∴f (1)＝0. (2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1,有f (1)＝f (－1)＋f (－1),∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1,x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x ),∴f (－x )＝f (x ),∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2,由(2)知,f (x )是偶函数,∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)． 又f (x )在(0,＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16,解之得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．20.已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2),其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时,求函数f (x )在[2,＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2,＋∞)恒有f (x )>0,试确定a 的取值范围．【答案】(1) 当a >1时定义域为(0,＋∞),当a ＝1时定义域为{x |x >0且x ≠1},当0<a <1时定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }；(2) lg a2；(3) a >2.(2)设g (x )＝x ＋a x －2,当a ∈(1,4),x ∈[2,＋∞)时,g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2>0恒成立,所以g (x )＝x ＋a x－2在[2,＋∞)上是增函数．所以f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋ax －2在[2,＋∞)上是增函数．所以f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋ax －2在[2,＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a2.(3)对任意x ∈[2,＋∞)恒有f (x )>0,即x ＋a x－2>1对x ∈[2,＋∞)恒成立． 所以a >3x －x 2,令h (x )＝3x －x 2,而h (x )＝3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在x ∈[2,＋∞)上是减函数,所以h (x )max ＝h (2)＝2,所以a >2.21.【2018届福建省闽侯高三12月月考】已知函数()()()()22145,5f x x a x a g x ax x =-+-+=-+，其中（Ⅰ）若函数存在相同的零点，求的值；（Ⅱ）若存在两个正整数，当时，有与同时成立，求的最大值及取最大值时的取值范围. 【解析】（Ⅱ）令()0f x <，则45,,x a m n -<<+Q 为正整数， 50a ∴+>，即5a >-， 记()0,5N a =+，令()0g x <，即250ax x -+<的解集为M ，则由题意得区间(),.m n M N ⊂⋂ ①当0a <时，因为()050g =>，故只能()()25510g a a a ⎡⎤+=+-<⎣⎦，即4a >-或6a <-，又因为5a >-，故40a -<<，此时5 5.n a ≤+< 又,m n Z ∈，所以 4.m n <≤当且仅当()40{455 3920a a g a -<<≤+<=+≤，即219a -≤≤-时， n 可以取4， 所以， n 的最大整数为4；②当0a =时， M N ϕ⋂=,不合题意；③当0a >时，因为()()()2050,5510g g a a a ⎡⎤=>+=+->⎣⎦，故只能105{ 21200a aa <<+∆=->，无解；综上， n 的最大整数为4，此时a 的取值范围为。
2020年高考数学之冲破压轴题讲与练 专题01 函数的图象与性质及其应用(解析版)
第一章 函数与导数专题01 函数的图象与性质及其应用【压轴综述】纵观近几年的高考命题，函数图象和性质及其应用问题，常常出现在压轴题的位置，考查的类型主要有： 1.分段函数的图象与性质问题，往往通过分类讨论，将函数在不同定义域内的图象进行刻画或讨论，有时借助导数这一工具进行研究；2.函数的零点问题，根据函数的零点情况，讨论参数的范围是高考的重点和难点．函数零点问题常常涉及零点个数问题、零点所在区间问题及零点相关的代数式取值问题，解决的途径常以数形结合的思想，通过化归与转化灵活转化问题；3.抽象函数问题，由于抽象函数表现形式抽象，对学生思维能力考查的起点较高，使得此类问题成为函数内容的难点之一，解决此类问题时，需要准确掌握函数的性质，熟知我们所学的基本初等函数，将抽象函数问题转化为具体函数问题；4. 函数性质的综合应用问题，函数性质包括奇偶性、单调性、对称性、周期性等，对函数性质的熟练掌握与刻画是解决函数综合题目的必然要求；5.函数与不等式的综合问题，主要有解不等式、及根据不等式确定参数（范围）问题.函数的图象与不等式，往往涉及数形结合思想、转化与化归思想；6.函数中的新定义问题.【压轴典例】例1.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是（ ）A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】∵(1) 2 ()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-． ∵(0,1]x ∈时，1()(1)[,0]4f x x x =-∈-；∴(1,2]x∈时，1(0,1]x-∈，1()2(1)2(1)(2),02f x f x x x⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦；∴(2,3]x∈时，1(1,2]x-∈，()2(1)4(2)(3)[1,0]f x f x x x=-=--∈-，如图：当(2,3]x∈时，由84(2)(3)9x x--=-解得173x=，283x=，若对任意(,]x m∈-∞，都有8()9f x≥-，则73m≤.则m的取值范围是7,3⎛⎤-∞⎥⎝⎦.故选B.例2.【2016·全国卷Ⅱ】已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝x＋1x与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x m，y m)，则∑i＝1m(x i＋y i)＝( )A．0 B．mC．2m D．4m【答案】B【解析】法一：利用函数的对称性由f(－x)＝2－f(x)，知f(－x)＋f(x)＝2，所以点(x，f(x))与点(－x，f(－x))连线的中点是(0,1)，故函数f(x)的图象关于点(0,1)成中心对称．(此处也可以这样考虑：由f(－x)＝2－f(x)，知f(－x)＋f(x)－2＝0，即[f(x)－1]＋[f(－x)－1]＝0，令F(x)＝f(x)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，即F(x)＝f(x)－1为奇函数，图象关于点(0,0)对称，而F(x)的图象可看成是f(x)的图象向下平移一个单位得到的，故f(x)的图象关于点(0,1)对称)．又y＝x＋1x＝1＋1x的图象也关于点(0,1)对称，所以两者图象的交点也关于点(0,1)对称，所以对于每一组对称点x i ＋x i ′＝0，y i ＋y i ′＝2，所以∑i ＝1m (x i ＋y i )＝∑i ＝1m x i ＋∑i ＝1my i ＝0＋2×m2＝m ，故选B.法二：构造特殊函数由f (－x )＝2－f (x )，知f (－x )＋f (x )－2＝0， 即[f (x )－1]＋[f (－x )－1]＝0. 令F (x )＝f (x )－1，则F (x )为奇函数， 即f (x )－1为奇函数，从而可令f (x )－1＝x ， 即f (x )＝x ＋1，显然该函数满足此条件． 此时y ＝f (x )与y ＝x ＋1x的交点分别为(1,2)和(－1,0)， 所以m ＝2，∑i ＝1m(x i ＋y i )＝1＋2＋(－1)＋0＝2，结合选项可知选B. 答案：B 【思路点拨】(1)由于题目条件中的f (x )没有具体的解析式，仅给出了它满足的性质f (－x )＝2－f (x )，即f (x )(x ∈R)为抽象函数，显然我们不可能求出这些点的坐标，这说明这些交点坐标应满足某种规律，而这种规律必然和这两个函数的性质有关． (2)易知函数y ＝x ＋1x关于点(0,1)成中心对称，自然而然的让我们有这样的想法：函数f (x )(x ∈R)的图象是否也关于点(0,1)成中心对称？基于这个想法及选择题的特点，那么解题方向不外乎两个：一是判断f (x )的对称性，利用两个函数的对称性求解；二是构造一个具体的函数f (x )来求解． 例3. 【安徽省肥东县高级中学2019届8月调研】已知定义在上的函数满足条件：①对任意的，都有；②对任意的且，都有；③函数的图象关于轴对称，则下列结论正确的是 （ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】 ∵对任意的，都有；∴函数是4为周期的周期函数，∵函数的图象关于轴对称 ∴函数函数）的关于对称，∵且，都．∴此时函数在上为增函数， 则函数在上为减函数， 则，，，则， 即，故选C ． 【规律总结】1.先研究清楚函数的奇偶性、对称性和周期性等性质，这样函数就不再抽象了，而是变得相对具体，我们就可以画出符合性质的草图来解题.2.解决抽象函数问题常用的结论 (1)函数y ＝f(x)关于x ＝2a b对称⇔f(a ＋x)＝f(b －x)⇔f(x)＝f(b ＋a －x)． 特例：函数y ＝f(x)关于x ＝a 对称⇔f(a ＋x)＝f(a －x)⇔f(x)＝f(2a －x)； 函数y ＝f(x)关于x ＝0对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)．(2)函数y ＝f(x)关于点(a ，b)对称⇔f(a ＋x)＋f(a －x)＝2b ⇔f(2a ＋x)＋f(－x)＝2b. 特例：函数y ＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a ＋x)＋f(a －x)＝0⇔f(2a ＋x)＋f(－x)＝0； 函数y ＝f(x)关于点(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)．(3)y ＝f(x ＋a)是偶函数⇔函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 对称；y ＝f(x ＋a)是奇函数⇔函数y ＝f(x)关于(a,0)对称．(4)对于函数f(x)定义域内任一自变量的值x ： ①若f(x ＋a)＝－f(x)，则T ＝2a ； ②若f(x ＋a)＝1()f x ，则T ＝2a ； ③若f(x ＋a)＝－1()f x ，则T ＝2a ；(a>0) ④若f(x ＋a)＝f(x ＋b)(a≠b)，则T ＝|a －b|；⑤若f(2a －x)＝f(x)且f(2b －x)＝f(x)(a≠b)，则T ＝2|b －a|.（5）奇偶函数在对称区间上的单调性：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．例4.【2018年理数天津卷】已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.【答案】【解析】分类讨论：当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则，令，其中，，原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.【方法总结】本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与判断方法包括： (1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．例5.【2019年高考江苏】设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ .【答案】12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【解析】作出函数()f x ，()g x 的图象，如图：由图可知，函数2()1(1)f x x =--的图象与1()(12,34,56,78)2g x x x x x =-<≤<≤<≤<≤的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有2个不同的实数根，要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则2()1(1),(0,2]f x x x =--∈与()(2),(0,1]g x k x x =+∈的图象有2个不同的交点，由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为1，可得2|3|11k k =+，解得2(0)4k k =>，∵两点(2,0),(1,1)-连线的斜率13k =， ∴1234k ≤<， 综上可知，满足()()f x g x =在(0,9]上有8个不同的实数根的k 的取值范围为1234⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，. 例6.【2016年高考四川理数】在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为'2222(,)y xP x y x y -++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线'C 定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”'C 关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）. 【答案】②③ 【解析】试题分析：对于①，若令(1,1)P ，则其伴随点为11(,)22P '-，而11(,)22P '-的伴随点为(1,1)--，而不是P ，故①错误；对于②，设曲线(,)0f x y =关于x 轴对称，则(,)0f x y -=与方程(,)0f x y =表示同一曲线，其伴随曲线分别为2222(,)0y x f x y x y -=++与2222(,)0y xf x y x y --=++也表示同一曲线，又曲线2222(,)0y x f x y x y -=++与曲线2222(,)0y xf x y x y --=++的图象关于y 轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为(cos ,sin )P x x ，其伴随点为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故②正确；对于④，直线y kx b =+上任一点P (,)x y 的伴随点是'P 2222(,)y xx y x y-++，消参后点'P 轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③.【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决．例7.【2019年高考浙江】已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是___________. 【答案】43【解析】存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤， 即有332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+≤， 化为()22|23642|3a t t ++-≤， 可得()2222364233a t t -≤++-≤， 即()22436433a t t ≤++≤， 由223643(1)11t t t ++=++≥，可得403a <≤. 则实数a 的最大值是43. 【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得33|(2)(2)|a t t at t +-+-+23≤，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.【压轴训练】1．【2018·全国卷Ⅰ】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)【答案】D【解析】法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x ，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x ，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，∴x <0，故选D.2.【2018年全国卷II 理】已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 因为是定义域为的奇函数，且， 所以,因此，因为，所以，，从而，选C.3.【2018年理新课标I 卷】已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C【解析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.4.【甘肃省兰州市第一中学2019届9月月考】已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有，则的值是（）A． 0 B． C． 1 D．【答案】A【解析】若，则，可得，若，，则有，取，则有：∵是偶函数，则，由此得，于是，，故选A.5.若直角坐标系内A、B两点满足：（1）点A、B都在f（x）的图像上；（2）点A、B 关于原点对称，则称点对（A，B ）是函数f（x）的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作一个“姊妹点对”。
高考数学复习点拨 灵活应用函数性质解题
灵活应用函数性质解题函数的单调性是相对于函数定义域内某个子区间而言的“局部”性质，它反映了函数在某区间上函数值的变化趋势；函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的“整体”性质，主要讨论的是函数的对称性．函数的这两个基本性质应用灵活、广泛，下面就其应用中的典型问题选解两例．例1 已知104x <≤，求函数222()x x f x x-+=的最值． 解：已知函数式可化为2()2f x x x =+-，先判断函数()f x 在104x <≤上的增减性． 设12104x x <<≤，则121212121212()(2)22()()(2)(2)x x x x f x f x x x x x x x ---=+--+-=，12104x x <<≤，1212020x x x x ∴-<-<，． 12()()0f x f x ∴->，即函数()f x 在104x <≤上是减函数． 125()44f x f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭≥． 故所求函数的最小值为254，无最大值． 评析：函数单调性在解题中的应用，主要表现在通过建立函数关系式或构造辅助函数式，把原问题转化为对函数单调性的讨论，以达到化难为易、化繁为简的目的．例2 已知()f x 是奇函数，它在(0)+，∞上是增函数，且()0f x <，试问1()()F x f x =在(0)-，∞上是增函数还是减函数？并证明你的结论．分析：根据函数的单调性的定义，可以设210x x x ∆=-<，进而判断 212111()()()()Y F x F x f x f x ∆=-=-的符号． 解：任取12(0)x x ∈-，，∞，且210x x x ∆=-<，则有21()()0x x x -∆=--->． ()f x 在(0)+，∞上是增函数，且()0f x <，12()()f x f x ∴---<0，又()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，12()()0f x f x ->．于是212111()()()()Y F x F x f x f x ∆=-=-1212()()0()()f x f x f x f x -=>， 1()()F x f x ∴=在(0)-，∞上是减函数． 评析：此题是一道抽象性较强的题，它综合应用了函数的性质．。
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一、考情分析
函数是整个高中数学的核心内容 , 是高中数学的主线 , 所有知识均可与函数建立联系 , 都可围绕这一主线展
开学习考查 , 它贯穿于中学数学的始末 , 而函数的四大性质更是高考对函数内容考查的重中之重
, 其中单调
性与奇偶性更是高考的必考内容 , 在高考命题中函数常与方程、不等式等其他知识结合考查
2x
a 2 x ，其在区间
0,1 上单调递增，
则 的取值范围为（
）
A. 0,1 B.
1,0 C.
1,1 D.
11 ,
22
【答案】 C
( 二 ) 函数奇偶性的灵活应用
2
【例 2】已知函数 f ( x)
( x 1) a sin x x2 1
3（ a
R ） , f (ln(log 2 5))
5, 则 f (ln(log 5 2))
x1 f( x1) x2 (f 2x) 1x ( f 2 )x 2 x, (则f称)函x数 f (x) 为“ H 函数” .
给出下列函数①
y ex x ; ② y x2 ; ③ y 3x sin x ; ④ f ( x)
ln x x 0 .
0 x0
以上函数是“ H 函
数”的所有序号为
.
【分析】本题的重点和难点均为对“
①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
②需注意若函数在区间 [ a， b] 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；
③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
(3) 解函数不等式问题的一般步骤：
第一步： ( 定性 ) 确定函数 f ( x) 在给定区间上的单调性；
( 四 ) 函数性质的综合运用
【例 4】已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( 2 x) 为奇函数 , 函数 f (x 3) 关于直线 x 1 对称 , 则下列式
子一定成立的是（
）
A. f (x 2) f ( x)
B.
f ( x 2) f ( x 6)
C. f ( x 2) f ( x 2) 1
【点评】本题主要考查了单调函数的定义和函数单调性的判断（定义法
, 图像法 , 导数法） , 学生在初步理解
时可能有一种无从入手的感觉 , 如果对函数单调性定义的本质不能领悟的话
, 则将无法完成此题了 , 可见在
教师的教和学生的学中最终要让学生去理解和领悟知识的本质
.
【小试牛刀】 【 2018 届福建闽侯高三 12 月月考】已知函数 f x
数的方法求解的 , 这正说明函数性质的应用是十分广泛的 , 它能与很多知识结合 , 考查学生综合运用所学知
识解决问题的能力 .
【小试牛刀】设函数
f (x)
ln(1
| x |)
1
1 , 则使得 x2
f ( x)
f (2 x 1) 成立的 x 的取值范围是（
）
A．
1 ,1
B．
3
1
,
1,
3
C．
11 ,
D．
象函数的考查中往往会综合在一起 , 这也正是此类题目一般较难的原因 , 在我们复习备考中一定要加强对所 学概念本质的理解 , 这并非一日之功了 , 须注意平时的积累和磨炼 .
【小试牛刀】 【 2018 湖北襄阳调研】若函数 y f x 对定义域 D内的每一个 x1，都存在唯一的 x2∈ D，使得
（
）
A． 5 B ． 1 C ． 3 D ． 4
【分析】先把 f x 分离常数 , 得 f x
2x a sin x x2 1
4 , 根据奇函数性质可得
fx
f
x8
【答案】 C
【解析】 f x
2
x 1 a sin x
x2 2x 1 a sin x
2x a sin x
x2 1
3
x2 1
3
x2 1
4,
令g x
D.
f ( x) f ( x 1) 0
【分析】 由题中函数 f (x) 满足 f (2 x) 为奇函数 , 结合奇函数的定义转化可得： f ( x) f (4 x) , 再由条 件：函数 f ( x 3) 关于直线 x 1对称 , 结合对称性的规律可得： f (4 x) f (4 x) , 最后由周期性的概念
的 图 象 , 就 能 发 现 它 是 一 个 单 调 递 增 函 数 , 难 点 在 于 题 中 所 给 不 等 式 f ( x t ) 2 f ( x) 中 , 2 f (x)
的 系 数 2 如 何 处 理 ？ 再 次 仔 细 观 察 所 求 函 数 的 解 析 式 的 结 构 特 征 , 发 现 满 足 ： 2 f (x) f ( 2 x) ,
(4) 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为
已知区间上的问题．
(5) 掌握以下两个结论，会给解题带来方便：
① f ( x) 为偶函数 ? f ( x) ＝ f (| x|) ．②若奇函数在 x＝ 0 处有意义，则 f (0) ＝ 0.
三、知识拓展
1．对 f ( x) 定义域内任一自变量的值 x：
4 b a 是它的一个周期 .
3. 函数 f x
1,x为有理数
是一个奇特的函数，该函数是偶函数，是周期函数，但没有最小正周期，
0， x为无理数
也无法作出其图象 .
4. 设 y f g x 是定义在 M上的函数 , 若 f x 与 g x 的单调性相反 , 则 y f g x 在 M上是减函数；
若 f x 与 g x 的单调性相同 , 则 y f g x 在 M上是增函数 , 简称同增异减 .
5. 对称性的一般结论
①若 f a x
fb
x , 则 f x 图像关于直线 x
ab
对称；
2
② y f a x 与 y f b x 的图像关于直线 x b a （即 a x b x ）对称 . 2
四、题型分析 ( 一 ) 函数单调性的灵活应用
【 例 1 】 如 果 对 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) , 对 任 意 两 个 不 相 等 的 实 数 x1, x2 , 都 有
可转化为： f ( x) f (x 4) f (x 8) , 可见函数的周期为 8, 即可求解 .
【点评】本题主要考性和周期性 , 要想顺利完
成本题有一个难点： f (2 x) 为奇函数的处理 , 这要对奇函数定义本质有充分的理解 , 函数的四大性质在抽
解 得 x (1 2 )t 在 [ t , t +2] 恒 成 立 ,
∴ t 2 (1 2)t
解 得 ： t 2 , 则 实 数 t 的 取 值 范 围 是 ： [ 2, ） ．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性
, 其中奇偶性是一个明条件 , 单调性是一个隐条件 , 作出函数
的图象易发现它的单调性 , 这也再次说明数形结合的重要性 , 本题最后转化成一个恒成立问题 , 运用分离参
1 ,
1 ,
33
33
【答案】 A
解法二：把 x 1代入 f (x) f (2 x 1) , 得 f 1 f 1 , 这显然不成立 , 所以 x 1 不满足 f ( x) f (2 x 1) ,
由此可排除 D；又 f 0
此可排除 B,C, 故选 A.
1, f 1
ln 2
1
,
f
0
2
f 1 , 所以 x 0 不满足 f ( x) f (2 x 1), 由
, 而且考查的形
式不一 , 有选择题 , 填空题 , 也有解答题；有基础题 , 也有难度较大的试题 .
二、经验分享
(1) 单调区间是定义域的子集 , 故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则
, 单调区间只能用区间表示 ,
不能用集合或不等式表示 , 如有多个单调区间应分开写 , 不能用并集符号“∪”连接 , 也不能用“或”连接 .
1 fx
(5) 若 f ( x＋ a) ＝
, 则 T＝2a( a>0) ．
1 fx
1 fx
(6) 若 f ( x＋ a) ＝
, 则 T＝4a( a>0) ．
1 fx
2．函数对称性与函数周期性的关系
(1) 若函数 f x 的图象既关于直线 x a 对称 , 又关于直线 x b 对称 a b , 则 f x 是周期函数 , 且
2x a sin x
fx 4
x2 1 , 则 g x 为奇函数 , g ln log 2 5
f ln log 2 5 4 1,
g ln log 5 2
1 g ln
log 2 5
g ln log 5 2
1, f ln log 5 2 g ln log 5 2 4 3, 故选 C.
【点评】 本题对函数奇偶性的考查较为隐蔽 , 只有通过分离常数 , 才能看出 f x 是一个常数函数与一个奇函
∴ f (x)
x 2, (x 0)
x2,( x
, ∴ f ( x) 在 R 上 是 单 调 递 增 函 数 , 0)
且 满 足 2 f ( x) f ( 2x) ,
∵ 不 等 式 f (x t) 2 f (x) f ( 2 x) 在 [t,t+2] 恒 成 立 ,
∴ x+t 2 x 在 [ t , t +2] 恒 成 立 ,
(1) 若 f ( x＋ a) ＝－ f ( x), 则 T＝ 2a( a>0) ． (2) 若 f ( x＋ a) ＝ 1 , 则 T＝ 2a( a>0) ．
fx
1