2020年高考数学冲刺复习知识点精讲：函数性质的灵活应用含解析

①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
②需注意若函数在区间 [ a， b] 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；
③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
(3) 解函数不等式问题的一般步骤：
第一步： ( 定性 ) 确定函数 f ( x) 在给定区间上的单调性；
2x
a 2 x ，其在区间
0,1 上单调递增，
则 的取值范围为（
）
A. 0,1 B.
1,0 C.
1,1 D.
11 ,
22
【答案】 C
( 二 ) 函数奇偶性的灵活应用
2
【例 2】已知函数 f ( x)
( x 1) a sin x x2 1
3（ a
R ） , f (ln(log 2 5))
5, 则 f (ln(log 5 2))
, 而且考查的形
式不一 , 有选择题 , 填空题 , 也有解答题；有基础题 , 也有难度较大的试题 .
二、经验分享
(1) 单调区间是定义域的子集 , 故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则
, 单调区间只能用区间表示 ,
不能用集合或不等式表示 , 如有多个单调区间应分开写 , 不能用并集符号“∪”连接 , 也不能用“或”连接 .
∴ f (x)
x 2, (x 0)
x2,( x
, ∴ f ( x) 在 R 上 是 单 调 递 增 函 数 , 0)
且 满 足 2 f ( x) f ( 2x) ,
∵ 不 等 式 f (x t) 2 f (x) f ( 2 x) 在 [t,t+2] 恒 成 立 ,
∴ x+t 2 x 在 [ t , t +2] 恒 成 立 ,
【点评】本题主要考查了单调函数的定义和函数单调性的判断（定义法
, 图像法 , 导数法） , 学生在初步理解
时可能有一种无从入手的感觉 , 如果对函数单调性定义的本质不能领悟的话
, 则将无法完成此题了 , 可见在
教师的教和学生的学中最终要让学生去理解和领悟知识的本质
.
【小试牛刀】 【 2018 届福建闽侯高三 12 月月考】已知函数 f x
(4) 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为
已知区间上的问题．
(5) 掌握以下两个结论，会给解题带来方便：
① f ( x) 为偶函数 ? f ( x) ＝ f (| x|) ．②若奇函数在 x＝ 0 处有意义，则 f (0) ＝ 0.
三、知识拓展
1．对 f ( x) 定义域内任一自变量的值 x：
则 a1+a2+…+a9=（
）
A． 45 B ． 15 C ． 10 D ． 0
【答案】 A
( 三 ) 函数单Hale Waihona Puke Baidu性与奇偶性的综合应用
函数的单调性是相对于函数定义域内某个子区间而言的“局部”性质
, 它反映了函数在某区间上函数值的
变化趋势；函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的“整体”性质
, 主要讨论的是函数的对称性．函数的
数的和 , 故本题对能力要求较高 .
【小试牛刀】 【 2018 四川成都考前模拟】已知函数 y=f （ x）为定义域 R 上的奇函数，且在 R 上是单调递增
函数，函数 g（ x ）=f （ x﹣ 5）+x，数列 {a n} 为等差数列，且公差不为 0，若 g（a1）+g（ a2）+…+g（ a9）=45，
数的方法求解的 , 这正说明函数性质的应用是十分广泛的 , 它能与很多知识结合 , 考查学生综合运用所学知
识解决问题的能力 .
【小试牛刀】设函数
f (x)
ln(1
| x |)
1
1 , 则使得 x2
f ( x)
f (2 x 1) 成立的 x 的取值范围是（
）
A．
1 ,1
B．
3
1
,
1,
3
C．
11 ,
D．
可转化为： f ( x) f (x 4) f (x 8) , 可见函数的周期为 8, 即可求解 .
【点评】本题主要考查了学生对抽象函数的处理能力
, 考查了函数的奇偶性、对称性和周期性 , 要想顺利完
成本题有一个难点： f (2 x) 为奇函数的处理 , 这要对奇函数定义本质有充分的理解 , 函数的四大性质在抽
5. 对称性的一般结论
①若 f a x
fb
x , 则 f x 图像关于直线 x
ab
对称；
2
② y f a x 与 y f b x 的图像关于直线 x b a （即 a x b x ）对称 . 2
四、题型分析 ( 一 ) 函数单调性的灵活应用
【 例 1 】 如 果 对 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) , 对 任 意 两 个 不 相 等 的 实 数 x1, x2 , 都 有
x1 f( x1) x2 (f 2x) 1x ( f 2 )x 2 x, (则f称)函x数 f (x) 为“ H 函数” .
给出下列函数①
y ex x ; ② y x2 ; ③ y 3x sin x ; ④ f ( x)
ln x x 0 .
0 x0
以上函数是“ H 函
数”的所有序号为
.
【分析】本题的重点和难点均为对“
( 四 ) 函数性质的综合运用
【例 4】已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( 2 x) 为奇函数 , 函数 f (x 3) 关于直线 x 1 对称 , 则下列式
子一定成立的是（
）
A. f (x 2) f ( x)
B.
f ( x 2) f ( x 6)
C. f ( x 2) f ( x 2) 1
函数性质的灵活应用
一、考情分析
函数是整个高中数学的核心内容 , 是高中数学的主线 , 所有知识均可与函数建立联系 , 都可围绕这一主线展
开学习考查 , 它贯穿于中学数学的始末 , 而函数的四大性质更是高考对函数内容考查的重中之重
, 其中单调
性与奇偶性更是高考的必考内容 , 在高考命题中函数常与方程、不等式等其他知识结合考查
D.
f ( x) f ( x 1) 0
【分析】 由题中函数 f (x) 满足 f (2 x) 为奇函数 , 结合奇函数的定义转化可得： f ( x) f (4 x) , 再由条 件：函数 f ( x 3) 关于直线 x 1对称 , 结合对称性的规律可得： f (4 x) f (4 x) , 最后由周期性的概念
（
）
A． 5 B ． 1 C ． 3 D ． 4
【分析】先把 f x 分离常数 , 得 f x
2x a sin x x2 1
4 , 根据奇函数性质可得
fx
f
x8
【答案】 C
【解析】 f x
2
x 1 a sin x
x2 2x 1 a sin x
2x a sin x
x2 1
3
x2 1
3
x2 1
4,
令g x
(1) 若 f ( x＋ a) ＝－ f ( x), 则 T＝ 2a( a>0) ． (2) 若 f ( x＋ a) ＝ 1 , 则 T＝ 2a( a>0) ．
fx
1
(3) 若 f ( x＋ a) ＝－
, 则 T＝ 2a( a>0) ．
fx
(4) 若 f x 2a f x a f x , 则 T＝ 6a( a>0) ．
的 图 象 , 就 能 发 现 它 是 一 个 单 调 递 增 函 数 , 难 点 在 于 题 中 所 给 不 等 式 f ( x t ) 2 f ( x) 中 , 2 f (x)
的 系 数 2 如 何 处 理 ？ 再 次 仔 细 观 察 所 求 函 数 的 解 析 式 的 结 构 特 征 , 发 现 满 足 ： 2 f (x) f ( 2 x) ,
(2) 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1) 比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
(2) 解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“
f ”符号脱掉，使其转化
为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．
(3) 利用单调性求参数．
2 b a 是它的一个周期 . (2) 若函数 f x 的图象既关于点 a,0 对称 , 又关于点 b,0 对称 a b , 则 f x 是周期函数 , 且
2 b a 是它的一个周期 . (3) 若函数 f x 的图象既关于直线 x a 对称 , 又关于点 b,0 对称 a b , 则 f x 是周期函数 , 且
最后结合单调性, 转化一个恒成立问题, 利用分离参数的方法求出 t 的范围.
【解析】∵ f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 当 x 0 时 , f (x) x2
∴ 当 x ＜ 0, 有 -x ＞ 0, f ( x) ( x) 2 ,
∴ f (x) x2 , 即 f ( x) x2 ,
1 fx
(5) 若 f ( x＋ a) ＝
, 则 T＝2a( a>0) ．
1 fx
1 fx
(6) 若 f ( x＋ a) ＝
, 则 T＝4a( a>0) ．
1 fx
2．函数对称性与函数周期性的关系
(1) 若函数 f x 的图象既关于直线 x a 对称 , 又关于直线 x b 对称 a b , 则 f x 是周期函数 , 且
1 ,
1 ,
33
33
【答案】 A
解法二：把 x 1代入 f (x) f (2 x 1) , 得 f 1 f 1 , 这显然不成立 , 所以 x 1 不满足 f ( x) f (2 x 1) ,
由此可排除 D；又 f 0
此可排除 B,C, 故选 A.
1, f 1
ln 2
1
,
f
0
2
f 1 , 所以 x 0 不满足 f ( x) f (2 x 1), 由
2x a sin x
fx 4
x2 1 , 则 g x 为奇函数 , g ln log 2 5
f ln log 2 5 4 1,
g ln log 5 2
1 g ln
log 2 5
g ln log 5 2
1, f ln log 5 2 g ln log 5 2 4 3, 故选 C.
【点评】 本题对函数奇偶性的考查较为隐蔽 , 只有通过分离常数 , 才能看出 f x 是一个常数函数与一个奇函
H 函数”本质的认识和理解 , 即如何处理和转化题中所给不等式：
x1 f ( x1) x2 f (x2) x1 f ( x2) x2 f (x1) , 采用合并重组的方法进行处理 , 得 x1 x2 f x1 f x2
0,
由单调性定义的本质 , 可以看出“ H 函数”本质上就是个单调递增函数 .
当 x<0 时为减函数 , 当 x>0 为增函数 , 不符合 , 故选①③ .
第二步： ( 转化 ) 将函数不等式转化为 f ( M)< f ( N) 的形式；
第三步： ( 去 f ) 运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“
f ”，转化成一般的不等式或不等式组；
第四步： ( 求解 ) 解不等式或不等式组确定解集；
第五步： ( 反思 ) 反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范 .
这两个基本性质应用灵活、广泛 .
【例 3 】设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数 , 且当 x 0时, f ( x) x2 , 若对任意的 x [t ,t 2] , 不等式
f ( x t) 2 f ( x) 恒成立 , 则实数 t 的取值范围是
．
【分析】本 题 已 明 确 指 出 是 个 奇 函 数 , 故 易 求 出 它 的 整 个 解 析 式 （ 一 个 分 段 函 数 ） , 此 时 画 出 它
象函数的考查中往往会综合在一起 , 这也正是此类题目一般较难的原因 , 在我们复习备考中一定要加强对所 学概念本质的理解 , 这并非一日之功了 , 须注意平时的积累和磨炼 .
【小试牛刀】 【 2018 湖北襄阳调研】若函数 y f x 对定义域 D内的每一个 x1，都存在唯一的 x2∈ D，使得
解 得 x (1 2 )t 在 [ t , t +2] 恒 成 立 ,
∴ t 2 (1 2)t
解 得 ： t 2 , 则 实 数 t 的 取 值 范 围 是 ： [ 2, ） ．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性
, 其中奇偶性是一个明条件 , 单调性是一个隐条件 , 作出函数
的图象易发现它的单调性 , 这也再次说明数形结合的重要性 , 本题最后转化成一个恒成立问题 , 运用分离参
4 b a 是它的一个周期 .
3. 函数 f x
1,x为有理数
是一个奇特的函数，该函数是偶函数，是周期函数，但没有最小正周期，
0， x为无理数
也无法作出其图象 .
4. 设 y f g x 是定义在 M上的函数 , 若 f x 与 g x 的单调性相反 , 则 y f g x 在 M上是减函数；
若 f x 与 g x 的单调性相同 , 则 y f g x 在 M上是增函数 , 简称同增异减 .