矩形薄板的几种解法

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弹力小结

矩形薄板的几种解法

矩形薄板的几种解法

•:纳维解法

四边简支的矩形薄板，如图，当并无支座沉陷时，其边界条件为

O

二 0

_a

y 厂

O

二 0

-0.

纳维把挠度'的表达式取为如下的重三角级数:

为了求出系数A mn ，须将式b ）右边的q 展为与左边同样的重三角级数即

q"4

D 芸M C mn sin ^sin 也。 m ± n a b

血x

现在来求出式（（中的系数C mn 。将式C ）左右两边都乘以n ,其中的

a

为任意正整数，然后对x 积分，从0到a ，注意

=o

x _0

n ::

A mn m 土 n 三

sin

sin

a

b

（a ）

其中m 和n 都是任意正整数。 弹性曲面微分方

显然，上列的边界条件都能满足。将式 代入 程

::n m 2 n 2

冲％ Fl ，得讥注!^+尹 sin 叱 sin n y =q 。（ b ）

a b

到

（C ）

A

y

a sin .0

sin Adx a (m 护 i) (m = 4) 就得到 q sin ^Zdx

a 再将此式的左右两边都艰以 土，其中的j 也是任意正整数，然后对积分, 从o 到

b ，注意

b f s Jo 就得到 sin ! Isin a ab -r C j

因为i 和j 式任意正整数,

可以分别换为m 和n ,所以上式可以换写为 b q sin ab

C 4 mn

解出C mn ,代入式（），得到q 的展式 . m^x . njry q =才瓦送 f [qsin^sin bdxdy 分m 亠n 亠] U

与式(b )頑匕，即得 m -1 ■ n -1- sin 叱 sin 口 a b ° (13-25) A

mn

4a 4 0

b

q sin

4

二 abD

sin n Ldxdy a

b

m 2

. n 2~2

当薄板受均布荷载时，

q 成为常量q o ，式（d ）积分式成为

q 0 sin

sin

:a

=q 0

q 0 sin

a

m •:; x dx a

dxdy b

b . n 二 y sin dy 0 b

q 0 ab

2 ------

■：\ mn

一 cos m 「jj 1 - cos n 丄 于是由式d ）得到 A

mn 1 - cos n ■：!；

4 q 0 1 一 cos m 尹 —y

—-J 二6

D mn A mn 16 q 0

・ 2 2 I m_ . n

J 厂 .2 >,- b

。m = 1 ,3,5, I H ； n =1 ,3,5, I | I

代入式即得挠度的表达式

当薄板在任意一点：，H ）受集中荷载时，可以用微分面积dy 上的均布

荷载F 来代替分布荷载于是，式d X 中的除了在（J 口）处的微分面积上

dxdy

等于F

以外其余各处都等于零。因此，式成为

dxdy

代入式（），即得挠度的表达式

值得指出：当x 及y 分别等于•及 时，各个内力的级数表达式都不收敛这 是可以预见的，因为在集中荷载作用处应力是无限大的从而内力也是无限大） 但挠度的级数表达式的仍然收敛于有限打的确定值。

显然，如果在式（e ）中命x 和y 等于常量而把■和 当做变量并取F

，

则该式的将成汝x,y ）点的挠度的影响函数，它表明单位横向荷载在薄板上移动 时，该点的挠度变化率。同样。在由式e ）对X 及y 求导而得到的内力表达式

中，命x 和y 等于常量并IF = 1，则各该表达式将成为在x, y ）点的各该内

q 0 sin n • x sin

a

M x 由此可以用公剩y M xy F sx ’求得内力。

--D 二?w, F sx - -D 二 '■ ?w,

jx

jx

A mn

.n | dxdy

F sin

———:—sin

n

dxdy

b

二4 abD

sin

a

m C in n 二.。 n

sin

b ----sin

②=兀4 abD~巳已—

2

2 7

m

-n

a 2

b 2

sin

a

b

mn

--D

--D

二 M yz iig, a

n 二

b sin

l^sin

力的影响函数。

本节中所述的解法，它的优点是：不论荷载如何，级数的运算都比较简 单。它的缺点是只适用于四边简支的矩形薄板，而且简支边不能受力矩荷载, 也不能有沉陷引起的挠度。它的另一个缺点是级数解答收敛很慢，在计算内 力时，有时要计算很多项，才能达到工程上所需的精度。

二：莱维解法

对于有两个对边被简支的矩形薄板，可以直接应用下面所述的莱维解法。 设图13-18所示的矩形薄板具有两个简支边x = 0及x 二a ，其余两边

b/2式任意边，承受任意横向荷载莱维把挠度的表达式取为如下的单三

角级数:

sin

其中Y m 是的任意函数，而m 为任意正整数。极易看出, 级数（a ）能满足x = 0及x =a 两边的边界条件。因此， 只需选择函数Y m ，使式（a ）能满足弹性曲面的微分方 程，即：

a

』sin 』

dx si 亠。

D

a

a

(b )

图 13-8

并在y 二b/2的两边上满足边界条件。

将式（a ）代入（b ），得

冷d 2

Y m +嗜兀Y 亍 —

2 1

sin

(c )

现在须将式（

右边的q / D 展为sin

咗也的级数。按照傅里叶级数展开式的法

a

x