矩形薄板的几种解法
有限元教案_薄板问题(2014)
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薄板弯曲的基本方程 4. 弹性曲面的曲率和扭率
2w 2 x
——弹性曲面在x方向的曲率kx ——弹性曲面在y方向的曲率ky
2w 2 y
2w 2 xy
——弹性曲面在x和y方向的扭率kxy
Z平面的应变可以表示为：{ } z{k}
其中：
k x {k} k y k xy
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薄板弯曲的基本方程 二、薄板问题中位移与应变的关系——几何方程 挠度是薄板运动的基本参数。 1. 弹性曲面沿x，y方向的倾角 弹性曲面沿x方向的倾角：
w x
弹性曲面沿y方向的倾角：
微小矩形ABCD变形前后
w y
4
薄板弯曲的基本方程 2. 沿x，y方向的位移分量u、v
w u z x
T T
应用于板单元，节点力作为外力，以节点位移 （虚位移）表示式中有关量并整理即可。
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薄板位移约束
1、几种典型约束（设约束边平行于x轴） (a)简支型约束 (b)固支型约束
w 0， x不受限制； ( y如何？ )
2、对称性约束（设对称轴平行于y轴） (a)对称性约束 (b)反对称性约束
w 0, x 0
位移函数
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（2）位移函数中的二次项代表单元的均匀变形状态。
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（3）位移函数能够保证相邻单元在公共边界上挠度的连续 性。 （4）位移函数不能保证相邻单元在公共边界上法线转角的 连续性。 （5）关于有限元解的收敛性。
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薄板单元刚度矩阵 由虚功原理知：
F d
每一节点有三 个自由度：
挠度w 绕x轴的转角 x 绕y轴的转角 y
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2．节点力
垂向力Wi (对应挠度wi ) 绕x轴的力偶Txi (对应转角 xi ) 绕y轴的力偶T (对应转角 ) yi yi
四边支承矩形薄板自振频率计算
四边支承矩形薄板自振频率计算四边支承矩形薄板的自振频率是指薄板在四个边界被支承的情况下，能够在固有模态下以多少频率振动。
这在很多工程和物理问题中都非常重要，因为它涉及到材料和结构的固有特性。
以下将详细介绍如何计算四边支承矩形薄板的自振频率。
首先，我们需要了解薄板的振动方程。
对于四边支承矩形薄板来说，其振动方程为二维拉普拉斯方程：∇^2u+k^2u=0其中，u是振幅，∇^2是二维拉普拉斯算子，k是波数，k=2πf/c，f为频率，c为波速。
接下来，我们需要根据边界条件来确定薄板的固有频率，边界条件一般可以是位移边界条件、速度边界条件或应力边界条件。
在四边支承的情况下，我们常常使用位移边界条件。
对于四边支承的矩形薄板，位移边界条件可以表示为：u(0,y)=u(a,y)=0u(x,0)=u(x,b)=0其中，(0,y)和(a,y)表示薄板的两个平行边界，(x,0)和(x,b)表示薄板的两个垂直边界。
这些边界条件表示，在边界上薄板的位移为零，即薄板被四边支撑。
这些边界条件可以用来解二维拉普拉斯方程。
接下来，在振动方程中代入位移边界条件，我们可以得到一个特征值问题。
通过求解特征值问题，我们可以得到薄板的固有频率和对应的振型。
具体来说，我们需要通过使用分离变量法，将二维拉普拉斯方程转化为两个一维波动方程。
然后，我们可以根据一维波动方程的边值条件来解特征值问题。
解特征值问题的方法有很多种，常见的包括解析解法和数值解法。
解析解法适用于一些简单的情况，如正方形或矩形薄板。
对于复杂的几何形状或边界条件，数值解法（如有限元法或边界元法）可能更合适。
在使用数值解法时，我们需要将薄板分割成小的单元，并在每个单元上使用适当的数学模型和数值方法。
然后，我们可以通过迭代计算来获得薄板的固有频率。
在实际计算中，我们还需要确定薄板的材料参数，如杨氏模量、泊松比和密度。
这些材料参数可以通过实验测试获得，或者根据已有的文献和标准进行估算。
《弹性地基上四边自由正交各向异性矩形薄板弯曲问题的辛叠加解》范文
《弹性地基上四边自由正交各向异性矩形薄板弯曲问题的辛叠加解》篇一一、引言随着现代科技和工程应用的快速发展，对材料力学性能的研究显得尤为重要。
在各种工程结构中，弹性地基上四边自由的矩形薄板是一种常见的结构形式。
本文将针对这种结构在正交各向异性条件下的弯曲问题，采用辛叠加解法进行求解。
二、问题描述考虑一个四边自由的正交各向异性矩形薄板，其放置在弹性地基上。
该板受到外力作用，产生弯曲变形。
我们需要求解在给定外力作用下，板的弯曲响应及变形情况。
三、基本理论辛叠加解法是一种基于辛几何的求解方法，适用于解决弹性力学中的问题。
该方法通过将问题的辛结构进行分离，然后分别求解各个部分的贡献，最后进行叠加得到总解。
四、模型建立1. 假设板的材料为正交各向异性材料，其弹性常数和密度等参数已知。
2. 建立板的弯曲方程，包括地基对板的支持力、板自身的应力分布等因素。
3. 考虑板的四边自由条件，即板的边界不受到外力的约束。
五、辛叠加解法应用1. 将弯曲方程的辛结构进行分离，分别得到各部分对板的贡献。
2. 对每一部分采用辛叠加解法进行求解，得到每一部分的解。
3. 将各部分的解进行叠加，得到总解。
六、结果分析1. 分析板的弯曲响应和变形情况，包括最大挠度、最大应力等参数。
2. 分析不同外力对板的影响程度及规律，包括力的方向、大小等因素对板的影响。
3. 对比不同材料的板在相同条件下的弯曲响应和变形情况，分析材料的力学性能差异。
七、结论本文采用辛叠加解法对弹性地基上四边自由正交各向异性矩形薄板的弯曲问题进行了求解。
通过分析结果，我们可以得到以下结论：1. 辛叠加解法可以有效地求解弹性地基上四边自由正交各向异性矩形薄板的弯曲问题，具有较高的精度和效率。
2. 板的弯曲响应和变形情况受到多种因素的影响，包括外力的大小和方向、地基的支持力、材料的力学性能等。
3. 通过对比不同材料的板在相同条件下的弯曲响应和变形情况，可以分析材料的力学性能差异，为工程应用提供参考依据。
矩形薄板简支弯曲经验公式
矩形薄板简支弯曲经验公式摘要：1.矩形薄板简支弯曲的基本概念2.矩形薄板简支弯曲的经验公式3.经验公式的应用和实用性4.公式中的参数解释5.总结与展望正文：矩形薄板简支弯曲经验公式在工程领域具有广泛的应用，尤其在结构分析和设计中。
本文将详细介绍矩形薄板简支弯曲的基本概念、经验公式及其应用，以期为相关领域的研究和工程实践提供参考。
一、矩形薄板简支弯曲的基本概念矩形薄板是指四边形截面的薄板，其边界条件为两对边固定（简支），另外两对边自由。
简支弯曲是指在横向力作用下，板的两个简支边产生位移，而另外两个自由边保持固定。
矩形薄板简支弯曲问题的求解，通常采用经验公式或数值方法。
二、矩形薄板简支弯曲的经验公式针对矩形薄板简支弯曲问题，研究者们通过实验和理论分析，总结出了一系列经验公式。
其中，较为著名的是施密特（Schmidt）公式和修正的施密特（Modified Schmidt）公式。
1.施密特公式：施密特公式为：M = E*I/r，其中M为弯矩，E为材料弹性模量，I为矩形薄板的惯性矩，r为距离板中心轴线的半径。
2.修正的施密特公式：针对施密特公式在某些情况下的误差，研究者们提出了修正的施密特公式。
修正的施密特公式为：M = E*I/(r+0.5*h)，其中M、E、I的含义与施密特公式相同，h为矩形薄板的高度。
三、经验公式的应用和实用性矩形薄板简支弯曲经验公式在实际工程中具有很高的实用性。
通过应用经验公式，工程师可以快速、准确地估算矩形薄板在简支弯曲条件下的弯矩、挠度等参数，为结构设计和分析提供依据。
同时，经验公式也可用于验证和改进数值方法的准确性，为更深入的研究提供参考。
四、公式中的参数解释1.E：材料弹性模量，反映材料的弹性特性；2.I：矩形薄板的惯性矩，与板的长宽比有关；3.r：距离板中心轴线的半径；4.h：矩形薄板的高度。
五、总结与展望矩形薄板简支弯曲经验公式在工程领域具有重要应用价值。
通过对经验公式的学习和掌握，工程师可以更好地进行结构设计和分析。
薄板弯曲挠度计算公式
薄板弯曲挠度计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：薄板弯曲挠度计算公式是工程力学课程中的重要内容，也是工程设计和结构分析中不可或缺的一部分。
薄板在受力作用下会发生弯曲变形，挠度是描述薄板弯曲程度的重要参数。
通过合理的挠度计算公式，我们可以准确地评估薄板的变形情况，为工程设计提供可靠的依据。
薄板弯曲挠度计算公式的推导过程比较复杂，需要借助数学和力学知识。
一般而言，薄板的挠度计算公式可分为静力法、弹性力学法和有限元法等多种方法。
静力法是最为常用的一种计算薄板挠度的方法，下面我们将对其进行详细介绍。
我们需要了解一些基本概念。
在工程力学中，对于一根长为L、宽为b、厚度为h的矩形薄板，在受到外力作用后呈弯曲状态，其挠度δ可以通过以下公式计算：\[ \delta = \frac{PL^3}{3EI} \]P为受力大小，E为杨氏模量，I为横截面惯性矩。
这是薄板挠度计算公式的一般形式，具体的计算过程需要根据实际情况进行适当的调整和修正。
静力法是一种比较简单但实用的计算挠度的方法。
该方法主要基于等效荷载原理，即将复杂的荷载系统转化为简化的等效荷载，将薄板弯曲问题转化为梁的弯曲问题。
下面我们以一种常见的简支边界条件情况为例，介绍具体的计算步骤。
假设我们有一根长为L、宽为b、厚度为h的矩形薄板，受到长度方向均布载荷q的作用，两端为简支边界。
我们需要计算该薄板的等效弯矩M，其计算公式如下：根据薄板挠度计算公式，我们可以得到该薄板的挠度表达式为：通过这个计算公式，我们可以快速准确地计算出简支边界条件下薄板的挠度。
如果有其他不同的受力情况或边界条件，需要进行相应调整。
除了静力法，弹性力学法和有限元法也是常用的计算薄板挠度的方法。
弹性力学法是以弹性理论为基础，考虑了薄板材料的应力应变关系，可以更精确地描述薄板的弯曲情况。
有限元法则是一种数字计算方法，通过将薄板离散成有限个单元，利用计算机进行大规模计算，可以处理更加复杂的挠度计算问题。
计算力学4---加权残值法解矩形薄板的弹塑性问题
4．加权残值法解矩形薄板的弹塑性问题薄板理论的克希霍夫假设在板的弹塑性分析中仍可应用。
采用增量形式表示，板的本构方程的矩阵形式为：{}([][]{})e p e D D σβ∆=-∆ （4-7-1）式中{}[,,]{}[,,]T x y xy Tx y xy e σσστεεγ⎫∆=∆∆∆⎪⎬∆=∆∆∆⎪⎭（a ） 分别为应力增量分量和应变分量增量。
而弹性矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=210001011][2μμμμE D e （b ） 塑性矩阵[][][][]Te e e T ef f D D D f f H D σσσσ∂∂⎧⎫⎧⎫⎨⎬⎨⎬∂∂⎩⎭⎩⎭=∂∂⎧⎫⎧⎫'+⎨⎬⎨⎬∂∂⎩⎭⎩⎭（4-7-2） 这里/s p H d de σ'=为硬化参数；f 为屈服函数，对于密赛斯屈服条件0s f σσ=-= （4-7-3）式中2221/2(3)x y x y xy σσσστ=+-+ （c ）式（4-7-1）中的β叫做塑性修正系数，在弹性区内β=0；在塑性区β=1；在弹塑性过渡区，取ba sa σσσσβ--= （d ） 上标b,a 分别表示加上载荷增量前后的值。
板的应力偏量)(31)(31y x y y y x x x S S σσσσσσ+-=+-= （4-7-4）将有关公式代入式（4-7-2）中，则得塑性矩阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-+-++++-+++-=xy xy x y xy y x xy x y x y x y y x xy y x x y y x y x p S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S Q E D 2222)1())(1())(1())(1()())(())(1())(()()1(][τμτμμτμμτμμμμμτμμμμμμ（4-7-5）其中EH S S S S Q xyy x y x 9)1(4)1(222222--'+-+++=σμτμμ （e ）分开应力增量{△σ}的弹性部分和塑性部分，沿板厚积分，即有}{}{}{P e M M M ∆+∆=∆ （f ）式中T xy y x M M M M ],,[}{∆∆∆=∆ (g)弹性弯矩增量和挠度增量的关系⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∆∂∂∂--=∆∆∂∂+∆∂∂-=∆∆∂∂+∆∂∂-=∆)()1()]()([)]()([222222222w y x D M w x w y D M w y w x D M exy ey exμμμ （4-7-6）式中，)1(1223μ-=Eh D 为板的抗弯刚度。
机械工程用有限元法学习笔记(四)
薄板弯曲问题的有限元法一、 薄板弯曲问题的基本方程什么是薄板？薄板就是指厚度t 远小于其长度、宽度的板。
1. 三个基本假设（克希霍夫假设）： (1) 法线假设，εz =0,γyz =γzx =0 (2) 正应力假设，σz <<σx ,σy ,τxy (3) 小挠度假设，w<t/4根据假设，可以得到位移分量()()()()()(),,,,,,,,,,, x y z u x y z z x x y z v x y z z y x y z x y ωωωω∂⎧=-⎪∂⎪∂⎪=-⎨∂⎪⎪=⎪⎩式4-1图 1 薄板弯曲后某点B 的位移2. 应变分量{}222222x y z x z y x y ωεωεεεω⎧⎫∂-⎪⎪∂⎪⎪⎧⎫⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪==-⎨⎬⎨⎬∂⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪∂-⎪⎪∂∂⎪⎪⎩⎭式4-23. 曲率{}222222x y z x y x y ωχωχχχω⎧⎫∂-⎪⎪∂⎪⎪⎧⎫⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪==-⎨⎬⎨⎬∂⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪∂-⎪⎪∂∂⎪⎪⎩⎭式4-3 22=x x ωχ∂-∂——薄板弹性曲面在x 方向的曲率22=y yωχ∂-∂——薄板弹性曲面在y 方向的曲率2=z x yωχ∂-∂∂——薄板弹性曲面在x 方向和y 方向的扭率4. 应力分量与应变分量间的关系：{}[]{}2222222222221 11D Ez xy Ez x y Ez x y σεωωμμωωμμωμ=⎧⎫⎛⎫∂∂-+⎪⎪ ⎪-∂∂⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎛⎫∂∂⎪⎪=-+⎨⎬ ⎪-∂∂⎝⎭⎪⎪⎪⎪∂⎪⎪--∂∂⎪⎪⎩⎭式4-4 5. 线力矩{}()2222222101012110022x y z x M Et M M y M x y ωμωμμμω⎧⎫∂-⎪⎪⎡⎤∂⎪⎪⎢⎥⎧⎫⎪⎪⎢⎥∂⎪⎪⎪⎪==-⎨⎬⎨⎬⎢⎥∂-⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎩⎭⎪⎪⎢⎥∂⎣⎦-⎪⎪∂∂⎪⎪⎩⎭式4-5a广义应力与广义应变之间的关系式{}[]{}D M χ= 式4-5b式中：[D]—薄板弯曲问题的弹性矩阵6. 薄板弯曲问题的基本方程（双调和方程）()32222222121Et p xx y y ωωωμ⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂∂-⎝⎭ 式4-6()32121Et μ-——薄板弯曲刚度 二、 矩形薄板单元分析 1、矩形薄板单元图 2 矩形薄板单元2、位移函数22123456322333789101112 a a x a y a x a xy a y a x a x y a xy a y a x y a xy ω=+++++++++++ 式4-73、形状函数[]{}k i i xi xi yi yi j j xj xj yj yj k kxk xk yk y l l xl xl yl yl N N N N N N N N N N N N N q ωωθθωθθωθθωθθ=+++++++++++= 式4-8式中：i,j,k,l ——节点号N i ，N xi ，N yi ，……，N yl ——形状函数()()()()()()()()()()2211128N 111 ,,,8111 8y i i i i i xi i i iyi i i i b N i i j h l N a x a b ξξηηξξηηξηηξξηηηξξξηηξξη⎧⎫++++--⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-++-=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪++-⎪⎪⎩⎭==， 式4-94、单元刚阵[][][][]S K TB D B dxdy =⎰ 式4-10式中：[]22222222222222222222 2222yi yl i xiyi yl ixi yi yl i xi N N N N x x x x N N NN B y y y y N N N N x yx yx yx y ⎡⎤∂∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂=⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦式4-11 5、节点力与节点位移的关系式{}[]{}F K q = 式4-12三、 三角形薄板单元分析1、三角形薄板单元当薄板具有斜交边界或曲线边界时，可采用三角形单元较好地反映边界形状。
矩形薄板地几种解法
弹力小结矩形薄板的几种解法矩形薄板的几种解法一：纳维解法四边简支的矩形薄板，如图，当并无支座沉陷时，其边界条件为()00x ω==, 2200x x ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。
()0x aω==， 220x ax ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。
()00y ω==， 2200y y ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。
纳维把挠度ω的表达式取为如下的重三角级数：11sinsin nmn m n m x n yA a bππω∞===∑∑， （a ）其中m 和n 都是任意正整数。
显然，上列的边界条件都能满足。
将式（a ）代入弹性曲面微分方程D∇4w =q ，得到系数mn A ，为了求出须将式（b ）右边的q 展为与左边同样的重三角级数即411sinsinnmn m n m x n y q D C a bπππ∞===∑∑。
（c ） 现在来求出式（c ）中的系数mn C 。
将式（c ）左右两边都乘以sin i xaπ，其中的i 为任意正整数，然后对x 积分，从0到a ，注意sinsin am x i ydx a aππ=⎰{0 ， (m ≠ i)a/2 ， ( m = i) 就得到1sinsin2ainn i y an yq dx Ca bππ∞==∑⎰。
()0y bω==220y by ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭22242211sin sin b nm n m n m x n y D q a b a bπππ∞==⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑∑。
（）y再将此式的左右两边都乘以sin j x aπ，其中的j 也是任意正整数，然后对y 积分，从0到b ，注意sin sin bon y j y dy b b ππ=⎰{0 ， (n ≠j )b /2 ， ( n = j )就得到因为i 和j 式任意正整数，可以分别换为m 和n ，所以上式可以换写为sinsin 4a bmnm x n y abq dxdy C a b ππ=⎰⎰解出mn C ，代入式（c ）,得到q 的展式。
矩形薄板简支弯曲经验公式
矩形薄板简支弯曲经验公式【实用版】目录1.矩形薄板简支弯曲经验公式的概述2.矩形薄板简支弯曲的经验公式推导3.矩形薄板简支弯曲的经验公式应用实例4.矩形薄板简支弯曲的经验公式的优缺点分析正文一、矩形薄板简支弯曲经验公式的概述矩形薄板简支弯曲经验公式，是一种描述矩形薄板在简支条件下弯曲变形的数学公式。
矩形薄板在工程中有着广泛的应用，如建筑物的梁、板等结构件，了解和掌握这种经验公式对于工程设计和计算具有重要意义。
二、矩形薄板简支弯曲的经验公式推导设矩形薄板的长为 a，宽为 b，厚度为 t，材料弹性模量为 E，泊松比为μ，简支在 x、y 两个方向上，且在 x 方向上的长度为 l。
假设在y 方向上有一个集中力 F 作用在距离 x 边缘的距离为 c 处，那么根据力学原理，可以推导出矩形薄板简支弯曲的经验公式如下：δ=F*l/(2*E*I)其中，δ表示弯曲变形，I 为面积惯性矩，根据矩形薄板的几何参数，可得：I=ab*t^3/12将 I 代入上述公式，得到：δ=F*l/(2*E*ab*t^3/12)三、矩形薄板简支弯曲的经验公式应用实例假设有一矩形薄板，长 a=2m，宽 b=1m，厚 t=0.1m，材料弹性模量E=200GPa，泊松比μ=0.3，简支在 x、y 两个方向上，且在 x 方向上的长度为 l=1m。
现在在 y 方向上有一个集中力 F=10kN 作用在距离 x 边缘的距离为 c=0.5m 处，求弯曲变形δ。
根据上述公式，代入已知参数，可得：δ=10kN*1m/(2*200GPa*2m*0.1m^3/12)=318.18mm所以，在给定条件下，矩形薄板的弯曲变形δ约为 318.18mm。
四、矩形薄板简支弯曲的经验公式的优缺点分析优点：1.该经验公式简单易懂，便于工程技术人员应用和计算；2.可以描述矩形薄板在简支条件下的弯曲变形，适用于多种工程场景。
缺点：1.经验公式的推导过程中做了一些简化和假设，可能导致计算结果与实际有一定误差；2.适用范围有限，对于非简支条件或者其他特殊情况下的矩形薄板，该公式可能不再适用。
矩形薄板的几种解法
（范文素材和资料部分来自网络，供参考。
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()0x aω==， 220x ax ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。
()0y ω==，220y y ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。
纳维把挠度ω的表达式取为如下的重三角级数：11sinsin nmn m n m x n yA a bππω∞===∑∑，（a ）其中m 和n 都是任意正整数。
显然，上列的边界条件都能满足。
将式（a ）代入弹性曲面微分方程，得到为了求出系数mn A ，须将式（b ）右边的q 展为与左边同样的重三角级数即411sinsinnmn m n m x n y q D C a bπππ∞===∑∑。
（c ） 现在来求出式（c ）中的系数mn C 。
将式（c ）左右两边都乘以sin i xaπ，其中的i 为任意正整数，然后对x 积分，从0到a ，注意()0y bω==220y by ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭22242211sin sin b nm n m n m x n yD q ab a b πππ∞==⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑∑。
（）ysinsin am x i ydx a aππ=⎰就得到1sinsin2ainn i y an yq dx Ca bππ∞==∑⎰。
再将此式的左右两边都乘以sin j x aπ，其中的j 也是任意正整数，然后对y 积分，从0到b ，注意s i n s i n bon y j y dy b bππ=⎰就得到因为i 和j 式任意正整数，可以分别换为m 和n ，所以上式可以换写为sinsin 4a bmnm x n y abq dxdy C a b ππ=⎰⎰解出mn C ，代入式（c ）,得到q 的展式。
（13-25）与式（b ）对比，即得当薄板受均布荷载时，q 成为常量0q ，式（d ）积分式成为()()00000002sinsin =q sin sin 1cos 1cos a ba b m x n y q dxdy a bm x n yq dx dya b q ab m n mnπππππππ=--⎰⎰⎰⎰于是由式（d ）得到()()022262241cos 1cos mn mn q m n A m n D ab πππ--=⎛⎫+ ⎪⎝⎭或()222622161,3,5,;1,3,5,mn mnq A m n m n D ab π===⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
弹性地基上矩形薄板问题的Hamilton正则方程及解析解
第26卷第3期2005年9月固体力学学报ACTA MECHAN I CA SOLI DA SI N I CAVo.l26N o.3Septe m ber2005弹性地基上矩形薄板问题的H a m ilton正则方程及解析解*钟 阳 张永山(大连理工大学土木学院,大连,116024) (广州大学土木学院,广州,510405)摘 要 利用辛算法求出弹性地基上矩形薄板问题的解析解,将弹性地基视为双参数弹性地基,直接从弹性矩形薄板的控制方程推导出了问题的H am ilton正则方程,为求出任意边界条件下问题的理论解奠定了基础,并且通过算例验证了文中所采用方法的正确性.关键词 弹性薄板,弹性地基,H a m ilton正则方程,辛算法,解析解0 引言弹性矩形板是土木工程中最常见的一种结构形式,例如:高速公路中的水泥混凝土路面和机场跑道、高层建筑的基础等等.但其解析解只有在较简单的边界条件下才可以得到(如四边简支或对边简支).对于复杂的边界条件,只有采用数值解.钟万勰教授[1~4]将辛算法引入弹性力学问题的求解过程,使得一些无法获得解析解的问题得到了解决.辛几何法求解问题的关键之一,是要把所求的问题表示成为H a m ilton正则方程,进而可利用辛几何空间的分离变量法求出解析解.本文将弹性地基视为双参数弹性地基,直接从弹性矩形薄板的控制方程出发,推导出了问题的H a m ilton正则方程,为利用辛几何方法求出任意边界条件的理论解奠定了基础.利用所得到的H a m ilton正则方程,文中还给出算例来验证方法的正确性.1 弹性地基上矩形薄板的Ha m ilton正则方程双参数弹性地基上弹性矩形薄板问题的其控制方程为[5]4W-G sD2W+KDW=qD(1)其中D=E h3/[12(1- 2)]为板的抗弯刚度.E, ,h 分别为材料的弹性模量,泊松比和厚度.G s和K分别为地基的剪切模量和反应模量.W为板的竖向挠度.由弹性板的理论可知,板的内力可以用板的竖向挠度W表示.例如,板的弯矩M x=-D 2Wx2+2Wy2(2)M y=-D2Wy2+2Wx2(3)由(2)和(3)式相加可得M x+M y=-D(1+ )2Wx2+2Wy2=-D(1+ ) 2W(4)令M=-M x+M yD(1+ ),Wy= ,My=-(5)则(1)和(4)式可表示为y=KDW-G sDM+2Mx2-qD(6)=M-2Wx2(7)为了表示成H a m ilton正则方程,可把(5)式中的第三式和(6),(7)式写成yDKM=-DK(8)y=KDDKM-2Wx2(9)y=KDW-G s KD2DKM+KD2x2DKM-qD(10)由(5)式中的第二式以及(8),(9)和(10)式可写成Zy=H Z+f(11)其中*20040318收到第1稿,20050319收到修改稿.Z=[W N ]T, H=Q A B-QTQ=0000, A=10-DKB=-2x2KDKDKD2x2-G sDf=0 0 0 -qDT, N=DKM可见,矩阵A和B是对称的,由文献[4]可知H是典型的H a m ilton微分算子矩阵,其特点是本征值正负成对出现,本征向量相互辛正交.因此,方程(11)为双参数弹性地基上矩形薄板弯曲问题的H a m ilton正则方程,这样就可以在辛空间内分离变量[1,3].令Z=X(x)Y(y)(12)其中X(x)=[!W(x) !N(x) ∀ (x) #(x)]T.将(12)式代入(11)式的齐次方程可得到Y(y)=e!y(13)HX(x)=!X(x)(14)其中!是本征值待求.而X(x)是与之对应的本征函数向量.全解为[2]Z(x,y)=∃i=1Qa iexp(!i y)-X Tb ifa i!iXa i+Qb iexp(-!i y)+X Ta ifb i!iXb i(15)其中待定常数Q ai和Q bi可由板在y方向的两边边界条件确定出.实际上,方程(14)是特征值问题,将它展开可归结为如下常微分方程的求解d4!W(x)d x4+2(!2-t2)d2!W(x)d x2+(!4+s4-2t2)!W(x)=0(16)方程(16)的特征根为 =t2-!2+s4+t2;=t2-!2-s4+t2.其中s4=K/D;t2=G s/(2D),所以其解为!W(x)=AWCh( x)+BWSh( x)+CWC h(x)+DWSh(x)(17)由于板的内力都可用竖向挠度W表示,所以只给出!W(x)的表达式.式中的常数A w,B w,C w,D w可由板在x方向的边界条件决定出.对于四边自由矩形薄板的边界条件为当x=a;有M x=0; x=0.x为板的总剪力,它也可用板的竖向挠度W表示[5].将(17)式代入边界条件后,经整理后可得到关于x轴对称部分有AW( 2+ !2)Ch(a )+CW(2+ !2)Ch(a)=0AW[ 2+(2- )!2]Sh(a )+CW[(2+(2- )!2]Sh(a)=0(18)并令其系数行列式为零,可得到本征值的超越方程为Th(a )-[2+!2( -2)]( 2+ !2)[ 2+!2( -2)](2+ !2)!Th(a)=0(19)同理也可得到关于x轴反对称部分BW( 2+ !2)Sh(a )+CW(2+ !2)Sh(a)=0BW[ 2+(2- )!2]C h(a )+CW[(2+(2- )!2]Ch(a)=0(20)并令其系数行列式为零,可得到本征值的超越方程为Th(a )-[ 2+!2( -2)](2+ !2)[2+!2( -2)]( 2+ !2)!Th(a)=0(21)由(18)和(19)式以及(20)和(21)式可得到AW=[2+!2( -2)]Sh(a)BW=[2+!2( -2)]Ch(a)CW=- [ 2+!2( -2)]Sh(a)DW=- [ 2+!2( -2)]Ch(a)将上式代入(17)式就可以得到!W的解析表达式,由(14)式就可以求出本征函数向量X(x)的解析表达式,再由(15)式可以得到问题的全部解析解.2 算例为了证明本文所推导出的公式的正确性,取文献[6]中的弹性地基上四边自由矩形薄板为例,板的边长a=b,泊松比 =0.167,K a4=104D,在板面上中心位置作用有集中荷载P.分别计算板的挠度值以及在x=0边界处的板的弯矩值.表1和表2分别列出了本文的计算结果和文献[6]的结果.由表可知,本文的计算结果同文献[6]的计算结果非常接近,从而表明本文采用辛几何方法推导出的弹性地基上矩形薄板的解析解是正确的.!326! 固体力学学报 2005年第26卷因篇幅限制,本文只推导出了弹性地基上矩形薄板的解析解,但其方法完全适用于解决相应的矩形厚板以及其它形状板的问题.有关这方面作者已另有撰文.表1 板的挠度值(10-4Pa4/D)项目x值-a/2-3a/8-a/4-a/80挠度值y=-a/2文献[6]-0.12-0.26-0.36-0.43-0.45本文-0.11-0.24-0.38-0.48-0.56 y=0文献[6]-0.45-0.002 1.75 6.7112.275本文-0.46-0.001 1.76 6.7712.45表2 板在x=0边界上的弯矩值Mxy值0-a/4-a/2弯矩文献[6]1.9∀10-4P-3.8∀10-4P1.2∀10-4P本文1.9∀10-4P-3.9∀10-4P1.3∀10-4P3 结论将弹性地基上矩形薄板的基本方程导向H a m il ton体系的正则方程,问题可以在辛几何空间中用分离变量法推导出了问题的解析解.由于不需要人为选取位移函数,而是直接从弹性板的基本方程出发,推导出能完全满足边界条件的解析解,使得本文的方法更加合理化和理论化.通过数值算例也证明了方法的正确性.参 考 文 献1 钟万勰.分离变量法与哈密尔顿体系.计算结构力学及其应用,1991,8(3):229~2402 钟万勰.条形域弹性平面问题与哈密尔顿体系.大连理工大学学报,1991,31(4):373~3843 钟万勰.弹性力学求解新体系.大连:大连理工大学出版社19954 钟万勰,姚伟岸.板弯曲求解新体系及其应用.力学学报,1999,31(2):173~1835 张福范,弹性平板(第二版).北京:科学出版社,19846 曲庆璋,章权,梁兴复.弹性薄板理论.北京:人民交通出版社,2000!327!第3期 钟 阳等: 弹性地基上矩形薄板问题的H a m ilton正则方程及解析解HA M I LTON CANON I CAL EQUAT I ONS AND THE ANALYT ICALS OLUTI ON FOR RECTANGULAR TH I N PLATEON ELAST I C FOUNDAT I ONZhong Y ang 1Zhang Yongshan2(1Schoo l of Civil Engineer i ng,D alian Uni versity of T echnology ,D alian,116024)(2S choo l of C ivil E n g ineer i ng,GuangZhou Univers it y,GuangZhou,510405)Abst ract The H a m ilton canon ica l equati o ns and the theoretical so l u ti o n for rectangu lar thin plate on founda ti o n w it h four free edges are derived by sy mp lectic geo m e try m et h od .F irstl y ,the basic equations for e lastic th i n plate on e l a stic foundation are transferred i n to H a m ilton canon ica l equations .Then the whole variab les are separated and the eigenva l u es are obta i n ed by the sy m plectic geo m etry m ethod .Fi n ally ,according to the m ethod of e i g en f u nction expansi o n i n the sy mp lectic geo m etr y ,the explicit solutions for a rectangu lar th i n p late on the foundation w it h four free edges are presented .Num erical resu lts based on the so lution are co m pared w ith that i n literature to clarify the correctness o f the so l u tion .K ey w ords rectangular thi n plate ,elasti c foundati o n ,H a m ilton canon ica l equati o n sy m plectic geo m etry ,t h eore tic solution!328! 固体力学学报 2005年第26卷。
矩形薄板地几种解法
弹力小结矩形薄板的几种解法矩形薄板的几种解法一：纳维解法四边简支的矩形薄板，如图，当并无支座沉陷时，其边界条件为()00x ω==, 2200x x ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。
()0x aω==， 220x ax ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。
()0y ω==， 2200y y ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭。
纳维把挠度ω的表达式取为如下的重三角级数：11sinsin nmn m n m x n yA a bππω∞===∑∑， （a ）其中m 和n 都是任意正整数。
显然，上列的边界条件都能满足。
将式（a ）代入弹性曲面微分方程 ，得到为了求出系数mn A ，须将式（b ）右边的q 展为与左边同样的重三角级数即411sinsinnmn m n m x n y q D C a bπππ∞===∑∑。
（c ） 现在来求出式（c ）中的系数mn C 。
将式（c ）左右两边都乘以sin i xaπ，其中的i 为任意正整数，然后对x 积分，从0到a ，注意sinsin am x i ydx a aππ=⎰，， 就得到1sinsin2ainn i y an yq dx Ca bππ∞==∑⎰。
()0y bω==220y by ω=⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭22242211sin sin b nm n m n m x n y D q a b a bπππ∞==⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑∑。
（）y再将此式的左右两边都乘以sin j x aπ，其中的j 也是任意正整数，然后对y 积分，从0到b ，注意sin sin bon y j y dy b b ππ=⎰，jb ， j就得到因为i 和j 式任意正整数，可以分别换为m 和n ，所以上式可以换写为sinsin 4a bmnm x n y abq dxdy C a b ππ=⎰⎰解出mn C ，代入式（c ）,得到q 的展式。
（13-25）与式（b ）对比，即得当薄板受均布荷载时，q 成为常量0q ，式（d ）积分式成为()()000000002sinsin =q sin sin 1cos 1cos a ba b m x n y q dxdya bm x n yq dx dya b q ab m n mnπππππππ=--⎰⎰⎰⎰于是由式（d ）得到()()022262241cos 1cos mn mnq m n A m n D ab πππ--=⎛⎫+ ⎪⎝⎭或()222622161,3,5,;1,3,5,mn mnq A m n m n D ab π===⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
板壳理论ppt课件
26
§1.3 薄板的内力和应力
各应力分量与薄板内力及横向载荷的关系：
x
12M x t3
z
y
12M y t3
z
xy
yx
12M xy t3
z
xz
6Qx t3
t2 4
z2
yz
6Qy t3
t2 4
M
xy
M xy x
dx
dx
变换为一个力偶，力为
F点合M成xy为 向Mx下xy 的dx 合力
u z w v z w 由几何方程得应x变分量：y
x
u x
z
2w x2
y
v y
z
2w y2
xy
v x
u y
2z
2w yx
11
§1.2 薄板弯曲的基本方程
由于是小挠度，所以弹性曲面的曲率和扭率用
w表示为：
x
2w x2
y
2w y2
xy
2
2w yx
应变分量用曲率和扭率表示为：
x zx y z y xy zxy x , y , xy 为板的广义应变。
12
§1.2 薄板弯曲的基本方程
由物理方程得应力分量为：
x
E
1 2
x y
17
§1.2 薄板弯曲的基本方程
小案例：矩形薄板的模态分析
小案例：矩形薄板的模态分析1.解决的问题1.1问题阐述运用ANSYS有限元分析软件，一个均质矩形薄板状结构，基本要求如下：①分析薄板的前6阶固有频率和振型图；②假定薄板上存在一个椭圆形缺陷，请再重新分析薄板的前6阶固有频率和振型图；③对比带有缺陷和不带缺陷板的固有频率和振型图，并指明它们的差别。
1.2材料参数表2-1 材料参数弹性模量/(N/mm2)泊松比密度/(kg/mm3)2.1×1050.3 8×10−61.3问题设计1.3.1完好的矩形板其尺寸（单位：mm）如图2-1所示：图2-1 完好薄板尺寸1.3.2有缺陷的矩形板有缺陷薄板厚度为1mm，其尺寸（单位：mm）如图2-2所示：图2-2 有缺陷薄板尺寸缺陷构造的过程：通过在原来完好的板上，在中心挖去一个椭圆域，而得到这块有缺陷的薄板。
2.操作步骤FINISH/CLEAR,START/prep7 !进入前处理器ET,1,plane42!定义单元1GUI: 如图2-1所示，plane 42单元在ansys14.0中没有，但是老单元在14.0中也是可以直接输入“42”然后点击“OK”就能添加plane42单元。
图2-1 定义单元MP,EX,1,2.1e5!定义材料1的弹性模量MP,PRXY,1,0.3!定义材料1的泊松比MP,DENS,1,8e-6!定义材料1的密度这里要注意的是单位的统一，ansys没有统一的单位制，所以按表2-1进行计算数据的单位对应。
表2-1 单位制示例GUI: 定义材料属性，如图2-2所示；图2-2 定义材料属性!画椭圆CSWPLA,11,1,0.4,1!设置局部坐标系11K,1,-10,0,0K,2,10,0,0L,1,2CSYS,0 !设置全局坐标系LSYMM,Y,1,,,,0!画矩形blc5,0,0,100,50!用椭圆划分矩形ASBL,1,ALL!删除椭圆域ADELE,2,,,1GUI: 将工作坐标系换成圆柱坐标系，如图2-3所示；图2-3 改成圆柱坐标系新建圆柱坐标系，如图2-4所示图2-4 新建圆柱坐标新建两个点，点1（-10,0,0）和点2（10,0,0），如图2-5所示；图2-5 新建点新建半椭圆线1，连接点1（-10,0,0）和点2（10,0,0），如图2-6所示图2-6 新建半椭圆线镜像半椭圆线1，首先将坐标系换成全局坐标系，然后镜像半椭圆，如图2-7所示。
弹性力学第9章—薄板的弯曲
O
a
x
z
y
边界条件
( w) x =0,a ( w) y =0,b ⎛∂ w⎞ =0 ⎜ 2 ⎟ =0 ⎝ ∂x ⎠ x =0,a
2
因为任意的荷载函数q总能展 开成双重三角级数，因此纳维解的 基本形式为
∞
⎛ ∂2w ⎞ =0 ⎜ 2 ⎟ =0 ⎝ ∂y ⎠ y =0,b
mπ x nπ y sin w = ∑ ∑ Amn sin m =1 n =1 a b
9.3 薄板的边界条件
薄板的边界条件可以分为以下三类， （1）位移边界条件，即在边界上给定挠度和转角； （2）静力边界条件：给定边界横向剪力、弯矩； （3）混合边界条件：在边界上同时给定广义力和广义位移。
9.3.1 固定边界
x
y
x
侧视图
( w ) x =0 = 0
⎛ ∂w ⎞ ⎜ ⎟ =0 ⎝ ∂x ⎠ x =0
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
俯视图
9.3 薄板的边界条件
9.3.2 简支边界
x
y
x
侧视图
⎫ ( w ) x =0 = 0 ⎪ ( M x ) x =0 = 0 ⎬ ⎪ ⎭
俯视图
将上式中的弯矩用挠度函数来表示，则有
( w ) x =0 = 0
⎛ ∂2w ⎞ ⎜∂ 2⎟ ⎝ x ⎠ x =0
⎫ ⎪ ⎬ = 0⎪ ⎭
9.3 薄板的边界条件
9.3.3 给定广义力的方案
x
x=a
侧视图 俯视图 以广义力为零的自由边界为例，x=a处的边界条件为
⎪ ⎪ M 0 = ( xy ) x=a ⎬ ⎪ (Qx ) x =a = 0 ⎪ ⎭
( M x ) x =a = 0 ⎫
其中第1式分布弯矩可以根据 M x = D (κ x + vκ y ) 用挠度函数表示
矩形薄板弯曲的近似解法——康托洛维奇-伽辽金法
矩形薄板弯曲的近似解法——康托洛维奇-伽辽金法
本文从广义梁微分方程出发,推导出三次样条梁函数。
由于采用了广义函数,在集中荷载,集中弯矩等得到截断多项式的解。
弹性薄板偏微分方程荷载项采用了广义函数(δ函数及σ函数),无论是集中荷载、集中弯矩、均布荷载,小方块荷载都可表示成为x、y两个方向的截断多项式变形曲线。
利用康托洛维奇法将偏微分方程转换成为常微分方程,再用伽辽金法可得良好的近似解。
文内算例较为丰富,包括各种边界弹性薄板,各种荷载、变截面薄板以及悬臂板等。
弹性地基矩形薄板弯曲问题的新解析法
ｅ ｔ ｇ ｌｒｔ ｎｐａｅｏ ｌｓ ｃｆｕ ｄ ｔ ｎ ｒｃ ｎｕ ａ ｉ ｌｔ ｎ ｅａｔ ｏ ｎ ａ ｏ ．ｓｌｃｓｄｓ ｌｃｍｅ ｔｆ ｃｉｎｂ ｔｅａ ａｙｉ ｓ ｌｔ ｎｏ ｅｓｍｅｏｄ ｒ ａ ｈ ｉ ｉ ｅｅｔ ｉｐａ ｅ ｎ ｔ ｙ ｈ ｌｔ ｃ ｏｕｉ ｆ ａ ｒｅ ｎ ｕ ｏ ｎ ｏ ｈ ｔ
ａ＝
８
， ＝ ｌ２３ ； ｍ ’ … Ｊ 肝 ， ＇ ９＝Ｚ－ ｎ＝ ｌ２ ３… ＇， ２
。 ０
而现在 由于 （ Ｙ 未 求出，ｑ ， ） ， ） （ Ｙ 为未 知函数 ， 但
我 们 同样 可 以将 特解 选 定 为式 （ ），只不 过 此 时 的 Ａ 已 ５
不再是 已知常数 ，而是待定参数 ，我们改用 Ｑ 表示。 则
采 用了新的方法选择位移函数 ， 将其应 用范围推广到 了非均 匀弹性地基矩形薄板 弯曲问题。以四边 固定正方形薄板为例进 行 了计算。其理论 简单 ， 计算容 易， 并适合于实际工程 。
【 关键词 ］ 弹性地基 ； 弯曲 ； 挠度函数； 薄板
【 中图分 类号 ］Ｕ ７ ． 【 Ｔ ４ １２ 文献标 识码 ］ 【 Ａ 文章 编 号 ］０５ ２０２０ ）２ ０４—０ １０ —６７（０７０ —０５ ２
ｄｆｅ ｎ ｉ ｅ ａｉｎ ｏｒ ｅ ｅ ｔｏ ｆｎ ｔ ｎ ｙ ｏ ｉ ｉｇ ｓ ｌ ｔ ｎ． Ｔ ｅ ａ ｅ ｓ ｌｃ ｄ ｆｅ ｔ ｎ ｕｎ ｔ ｎ ｙ ｅ ｉ ｒ ｔ ｅ ａ ｑ ｔ ｆ ｄ ｆ ｃｉｎ ｕ ｃｉ ｂ ｃ ｍｂ ｎｎ ｏｕｉ ｌ ｕ ｏ ｌ ｏ ｏ ｈ ｐ ｐ ｒ ｅｅ ｔ ｅ ｃｉ ｆ ｃｉ ｂ ｎ ｗ ｓ ｌ ｏ ｏ ｍｅ ｏ ｎ ｄ ｃ ｌ ｓ ｌｅ ｅ ｐ ｂ ｅ ｏ ｅ ｅ ｔ ｎ ｆ ｃｉｎ ｉ ｎ ｉｇ ｐ ｂ ｅ ｏ ｅ ｔｎｇ ｌ ｉ ｌｔ ｎ ｎ ｖ ｎ ｈ ｔ ｄ．ａ ａｌ ｏｖ ｓｔ ｒ ｌｍ ｆｄ ｆ ｃｉ ｕ ｔ ｎ ｂ ｄｎ ｒ ｌｍ ｆｒ ｃａ ｕ ａ ｔ ｎ ｐａｅ ｏ ｏ ｅ ｅ ｈ ｏ ｌ ｏ ｎ ｏ ｅ ｏ ｒ ｈ
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（范文素材和资料部分来自网络，供参考。
可复制、编制, 期待你的好评与关注）弹力小结矩形薄板的几种解法矩形薄板的几种解法•:纳维解法四边简支的矩形薄板，如图，当并无支座沉陷时，其边界条件为O二 0_ay 厂O二 0-0.纳维把挠度'的表达式取为如下的重三角级数:为了求出系数A mn ，须将式b ）右边的q 展为与左边同样的重三角级数即q"4D 芸M C mn sin ^sin 也。
m ± n a b血x现在来求出式（（中的系数C mn 。
将式C ）左右两边都乘以n ,其中的a为任意正整数，然后对x 积分，从0到a ，注意=ox _0n ::A mn m 土 n 三sinsinab（a ）其中m 和n 都是任意正整数。
弹性曲面微分方显然，上列的边界条件都能满足。
将式 代入 程::n m 2 n 2冲％ Fl ，得讥注!^+尹 sin 叱 sin n y =q 。
（ b ）a b到（C ）Aya sin .0sin Adx a (m 护 i) (m = 4) 就得到 q sin ^Zdxa 再将此式的左右两边都艰以 土，其中的j 也是任意正整数，然后对积分, 从o 到b ，注意b f s Jo 就得到 sin ! Isin a ab -r C j因为i 和j 式任意正整数,可以分别换为m 和n ,所以上式可以换写为 b q sin abC 4 mn解出C mn ,代入式（），得到q 的展式 . m^x . njry q =才瓦送 f [qsin^sin bdxdy 分m 亠n 亠] U与式(b )頑匕，即得 m -1 ■ n -1- sin 叱 sin 口 a b ° (13-25) Amn4a 4 0bq sin4二 abDsin n Ldxdy abm 2. n 2~2当薄板受均布荷载时，q 成为常量q o ，式（d ）积分式成为q 0 sinsin:a=q 0q 0 sinam •:; x dx adxdy bb . n 二 y sin dy 0 bq 0 ab2 ------■：\ mn一 cos m 「jj 1 - cos n 丄 于是由式d ）得到 Amn 1 - cos n ■：!；4 q 0 1 一 cos m 尹 —y—-J 二6D mn A mn 16 q 0・ 2 2 I m_ . nJ 厂 .2 >,- b。
m = 1 ,3,5, I H ； n =1 ,3,5, I | I代入式即得挠度的表达式当薄板在任意一点：，H ）受集中荷载时，可以用微分面积dy 上的均布荷载F 来代替分布荷载于是，式d X 中的除了在（J 口）处的微分面积上dxdy等于F以外其余各处都等于零。
因此，式成为dxdy代入式（），即得挠度的表达式值得指出：当x 及y 分别等于•及 时，各个内力的级数表达式都不收敛这 是可以预见的，因为在集中荷载作用处应力是无限大的从而内力也是无限大） 但挠度的级数表达式的仍然收敛于有限打的确定值。
显然，如果在式（e ）中命x 和y 等于常量而把■和 当做变量并取F，则该式的将成汝x,y ）点的挠度的影响函数，它表明单位横向荷载在薄板上移动 时，该点的挠度变化率。
同样。
在由式e ）对X 及y 求导而得到的内力表达式中，命x 和y 等于常量并IF = 1，则各该表达式将成为在x, y ）点的各该内q 0 sin n • x sinaM x 由此可以用公剩y M xy F sx ’求得内力。
--D 二?w, F sx - -D 二 '■ ?w,jxjxA mn.n | dxdyF sin———:—sinndxdyb二4 abDsinam C in n 二.。
nsinb ----sin②=兀4 abD~巳已—22 7m-na 2b 2sinabmn--D--D二 M yz iig, an 二b sinl^sin力的影响函数。
本节中所述的解法，它的优点是：不论荷载如何，级数的运算都比较简 单。
它的缺点是只适用于四边简支的矩形薄板，而且简支边不能受力矩荷载, 也不能有沉陷引起的挠度。
它的另一个缺点是级数解答收敛很慢，在计算内 力时，有时要计算很多项，才能达到工程上所需的精度。
二：莱维解法对于有两个对边被简支的矩形薄板，可以直接应用下面所述的莱维解法。
设图13-18所示的矩形薄板具有两个简支边x = 0及x 二a ，其余两边b/2式任意边，承受任意横向荷载莱维把挠度的表达式取为如下的单三角级数:sin其中Y m 是的任意函数，而m 为任意正整数。
极易看出, 级数（a ）能满足x = 0及x =a 两边的边界条件。
因此， 只需选择函数Y m ，使式（a ）能满足弹性曲面的微分方 程，即：a』sin 』dx si 亠。
Daa(b )图 13-8并在y 二b/2的两边上满足边界条件。
将式（a ）代入（b ），得冷d 2Y m +嗜兀Y 亍 —2 1sin(c )现在须将式（右边的q / D 展为sin咗也的级数。
按照傅里叶级数展开式的法ax这一常微分方程的解答可以写成Ym = A m 8Sh __--L - B __丄 Sinh a a m — ym yC m sinhD mcoshaaB m 、C m 、D m 是任意常数，决定圭土 b/ 2两边的边界条件。
将上式代入式（a ）,即得挠度w 的表达式coshm^+B 皿sinh m 即maa作为例题，设图13 — 8中的矩形薄板是四边简支的，受有均布荷载 q=q o 。
这时，微分方程（d ）的右边成为2q ° aD于是微分方程（d ）的特解可以取为c 4 2q 0a551 —cosm 二兀Dm应用边界条件W y =b2 =0由式（f ）得出决定A m 及B m 的联立方程与式（C ）对比，可见| 4Y m ?心応］d 2Ymm-x q sin ---- -- dxa(d)其中f m （y ）是任意一个特解，可以按照式d ）右边积分以后的结果来选择;+c sinh +maamyir mynD^-^osh —+ f m Cy)]sin —(e)-cos m 二_Dm1 —cos m ■■: m.： .■ .Dm带入式（e ），并注意薄板的挠度 w 应当是y 的偶函数，因而有C m =0，D m =O ,2q °a二5Dm 51-cosm 二 kin^a(f )wcosh 凹■B m my sinh^y a这个表达式中的级数收敛很快，例如，对于正方形薄板, 得岀 在级数中仅取两项，就得到很精确的解答。
但是，在其他各点的挠度表达式 中，级数收敛就没有这样快。
在内力的表达式中，级数收敛得还要慢一些。
应用上面所述的莱维解法，可以求得四边简支的矩形薄板在受各种横向荷 载时的解答，以及它在某一边界上受分布弯矩或发生沉陷时的解答。
亠般解法cos ha A”- a m Sin ha m Bcos haA m亠2 B m 广a4q °a "if Dsinh a m B m=0,=0,m _1 ,3 ,5...或者cos ha m A m cos ha 一-.-a m sinh B m =0 •2B m • a m sinhB m(m=2,4,6.。
o )mjb其中a m2T 。
求得A m 及B m ，得出Wmax4q o a 4f £ 12 - a m tanh a m■—5 i4,3,5... mn D mg3,5…2 2 a tanha m qa 42 cosha m2q o a 4或者得岀n 5Dm 5cosha mB _______________ m"Dm 5cosha m；(m=1,3,5,。
)q °a 4(0.314 -o.004) =0.00406J! DDA m 刃B m T (2,4,6.oo )将求岀的系数带入式(f ),得挠度w 的最后表达式Wmax4q 0a 4旳 w 0-K 5D 乙m ±3,5..I 1 片 _2 也口 tanh am 52 cosh acosh 2a m ymxrr7T(g )并可以从而求得内力的表达式。
最大挠度的、发生在薄板的中心。
将ax =2及y = o 代入公式(g )，即得b 二 a ，am m_：此外在§ 13-5中已经给出这种薄板在某角点发生沉陷时的解答。
于是可得 矩形薄板的一个一般解法，说明如下。
采用结构力学中的力法。
位移法，或混合法，以四边简支的户型薄板为基 本系。
对于任一夹支边，以该边上的分布弯矩为一个未知数（具有特定系数 的级数）；对于任一自由边，以该边上的挠度为一个位置函数（具有特定系数 级数）；对于两自由边相交而又无支柱的角点，还须以该角点的沉陷为一个未 知值，应用上面所述的解答，求岀夹边上的法线斜率，自由边上的分布反 力，以及二自由边交点处的集中反力（当然是用上述待定系数及未知值以及已 知荷载来表示），命夹边上的法向斜率等于零，自由边上的分布反力等于零， 两自由边交点处的集中反力等于零，即得足够的方程来求解各个待定系数及未 知值，从而求得薄板最后的挠度，斜率，内力和反力。
当然，求解时的运算是很繁琐的。
在工程设计中，一般总是利用现成的图表，或是采用各种数值解 对于在各种边界条件下承受各种横向荷载的矩形薄板，很多专著和手册中 给岀了关于挠度和弯矩的表格或图线，可供工程设计之用。
为了节省篇幅，对 于只具有简支边和夹支边而不具有自由边的矩形薄板，在矩形的表格或图线中I 4Dw = q 。
大都给岀泊松比等于某一指定数值时的弯矩。
但是，我们极易由此求得泊松 比等于任一其他数值时的弯矩，说明如下薄板的弹性曲面微分方程可以写成 夹支边及简支边的边界条件不外乎如下形式:把Dw 看作基本未知函数，则显而易见， Dw 的微分方程及边界条件中都不包含泊松比，因而 Dw 的解答不会包含泊松比，于是 泊松比而变。
现在，根据公式（13-12），当泊松比为亠时，弯矩为当泊松比为时，弯矩为Q o =0一一*一* .、！1 X .、•；！y DwDw :—:-T一 一■■- yDw=0• ••xDw M xM yDw -二一^ Dw ； _y :x(h)4 .：yy士-2 -2 -2 -2M x =-牙Dw- 牙Dw, M y 二-2Dw- 2D W ;2 - 2 2 - 2<x <y <y tx （j）.：2.?'夕Dw 2 Dw由式（h）解出tx 及3，然后代入式（i）,得到关系式M X =1^2 h -小M x r」M y ,0_PK M y 弋山_哪。
1一卜（13-26）于是可见，如果已知泊松比为卩时的弯矩M X及M Y,就很容易求得泊松比为卩时的弯矩M x及M Y。