(完整版)数字信号处理教程程佩青课后题答案
《数字信号处理教程》程佩青第三版课后答案
10
T [ax1(n)+ bx2 (n)] =
n
∑
[ax1
(n
)
+
bx2
(n
)]
m = −∞
T[ax1(n) + bx2(n)] = ay1(n) + by2(n)
∴ 系统是线性系统
解：(2) y(n) =
[x(n )] 2
y1(n)
= T [x1(n)] = [x1(n)] 2
y2 (n) = T [x2 (n)] = [x2 (n)] 2
m = −∞
3
3 .已知 h(n) = a −nu(−n − 1) , 0 < a < 1 ，通过直接计算卷积和的办法，试确定 单位抽样响应为 h(n) 的线性移不变系统的阶跃响应。
解:
x(n) = u(n)
h(n) = a −nu(−n − 1) , 0 < a < 1
y(n) = x(n) * h(n)
ay1(n)+ by2 (n) = [ax1(n)] 2 + [bx1(n)] 2
∴ 系统不是线性系统
T [ax1(n)+ bx2 (n)] = [ax1(n) + bx2 (n)] 2 = [ax1(n)] 2 + [bx2 (n)] 2 + 2abx1(n)x2 (n) 即T [ax1(n)+ bx2 (n)] ≠ ay1(n)+ by2 (n)
j sin(
n 6
−π)
=
− cos
n 6
−
j sin
n 6
2π /ω 0 = 12π 5. 设系∴统是差非分周方期程的为。:
《数字信号处理教程》程佩青(第三版)清华大学出版社课后答案
结果 y (n ) 中变量是 n ,
∞
∞
∑ ∑ y (n ) =
x ( m )h (n − m ) =
h(m)x(n − m) ;
m = −∞
m = −∞
②分为四步 （1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，
（4）相加，求得一个 n 的 y(n) 值 ，如此可求得所有 n 值的 y(n) ;
10
T [ax1(n)+ bx2 (n)] =
n
∑
[ax1
(n
)
+
bx2
(n
)]
m = −∞
T[ax1(n) + bx2(n)] = ay1(n) + by2(n)
∴ 系统是线性系统
解：(2) y(n) =
[x(n )] 2
y1(n)
= T [x1(n)] = [x1(n)] 2
y2 (n) = T [x2 (n)] = [x2 (n)] 2
(3) y(n) = δ (n − 2) * 0.5n R3(n) = 0.5n−2 R3(n − 2) (4) x(n) = 2n u(−n −1) h(n) = 0.5n u(n)
当n ≥ 0 当n ≤ −1
∑ y(n) = −1 0.5n−m 2m = 1 ⋅ 2−n
m = −∞
3
y(n) = ∑n 0.5n−m 2m = 4 ⋅ 2n
+ 1)
−
x1 (n
+ 1)]
=
−a n
综上 i) , ii) 可知： y1 (n) = −a nu(−n − 1)
(b) 设 x(n) = δ (n − 1)
i)向 n > 0 处递推 ，
数字信号处理程佩青课后习题答案第六章习题与答案
1．用冲激响应不变法将以下 )(s H a 变换为 )(z H ，抽样周期为T。
为任意正整数 ,)()( )2()()( )1(022n s s As H b a s a s s H na a -=+++=分析：①冲激响应不变法满足)()()(nT h t h n h a nT t a ===，T 为抽样间隔。
这种变换法必须)(s H a 先用部分分式展开。
②第（2）小题要复习拉普拉斯变换公式1!][+=n n S n t L ,n a n t s a S S As H t u n t Ae t h )()()()!1()(010-=⇔-=-，可求出)()()(kT Th t Th k h a kT t a ===，又dz z dX zk kx )()(-⇔，则可递推求解。
解: (1)22111()()2a s a H s s a b s a jb s a jb ⎡⎤+==+⎢⎥+++++-⎣⎦[])( 21)()()(t u e et h t jb a t jb a a --+-+= 由冲激响应不变法可得：[]()()()() ()2a jb nTa jb nT a T h n Th nT ee u n -+--==+ 11011() () 211n aT jbT aT jbT n T H z h n z e e z e e z ∞------=⎡⎤==+⎢⎥--⎣⎦∑ 2211cos 21cos 1 ------+--⋅=ze bT z e bTz e T aT aT aT(2) 先引用拉氏变换的结论[]1!+=n n s n t L可得： na s s As H )()(0-=)()!1()(10t u n t Ae t h n t s a -=-则)()!1()()()(10k u n kT Ae T Tk Th k h n kT s a -⋅==-dzz dX zk kx azk u a ZZk )()( , 11)( 1-−→←-−→←-且按)11()()!1( )()!1( )()(111111000--∞=---∞=----=-==∑∑ze dz d z n AT e z k n T TA z k h z H T s n n k kT s n n k k可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=•••---,3,2)1(1,1)(111000n z e z e AT n z e AT z H n T s T S n T s ，可以递推求得：2. 已知模拟二阶巴特沃思低通滤波器的归一化系统函数为：2'4142136.111)(ss s H a ++=而3dB 截止频率为50Hz 的模拟滤波器，需将归一化的)('s H a 中的s 变量用502⨯πs来代替424'108696044.928830.444108696044.9)100()(⨯++⨯==s s s H s H a a π 设系统抽样频率为Hz f s 500=，要求从这一低通模拟滤波器设计一个低通数字滤波器，采用阶跃响应不变法。
(完整版)数字信号处理教程程佩青课后题答案
第一章 离散时间信号与系统2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2（4）3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。
4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()( )( )n 313si n()( )()873cos()( )(ππππ-==-=n j e n x c A n x b n A n x a分析：序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列，nmm m n n y n - - -∞ = - ⋅ = = ≥ ∑ 2 31 2 5 . 0 ) ( 01当 3 4n m nm m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1⋅ = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 aa a n y n a a an y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m nnm mn -==->-==-≤=<<--==∑∑--∞=---∞=--1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；②；为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P QP =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。
解：（1）0142/3πω=，周期为14 （2）062/13πω=，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1）[][]12121212()()()()()()[()()]()()()()[()][()]T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=⨯+⨯=+所以是线性的T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。
数字信处理教程》程佩青第三版课后答案
(c)
x (n )
=
e
j
(
n 6
−π )
分析：
序列为 x (n ) = A cos( ω 0n + ψ ) 或 x(n) = A sin( ω 0n +ψ ) 时，不一定是周期序列，
①当 2π / ω 0 = 整数，则周期为 2π / ω 0 ；
7
②当 2π = P ,（有理数 P、Q为互素的整数）则周期 为 Q ； ω0 Q
y2 (2) = ay 2 (1) + x2 (2) = a
┇
y2 (n) = ay2 (n − 1) + x2 (n) = a n−1
∴ y2 (n) = a n−1 , n ≥ 1
ii)向 n < 0 处递推 ，按变换后的 y2 (n)
y2
( n)
=
1 a
[
y2
(n
+
1)
−
x2
(n
+
1)]
y2 (−1)
(3) y(n) = δ (n − 2) * 0.5n R3(n) = 0.5n−2 R3(n − 2) (4) x(n) = 2n u(−n −1) h(n) = 0.5n u(n)
当n ≥ 0 当n ≤ −1
∑ y(n) = −1 0.5n−m 2m = 1 ⋅ 2−n
m = −∞
3
y(n) = ∑n 0.5n−m 2m = 4 ⋅ 2n
9
c) 设 x(n) = δ (n) + δ (n − 1)
i)向n > 0 处递推
y3 (1) = ay3 (0) + x3 (1) = 1 y3 (2) = ay3 (1) + x3 (2) = a y3 (3) = ay3 (2) + x3 (3) = a2
《数字信号处理教程》程佩青(第三版)课后答案
4
第一章 离散时间信号与系统
1 .直接计算下面两个序列的卷积和 y( n ) = x( n ) * h( n )
⎧ h (n ) = ⎨ ⎩ ⎧ ⎪ x(n ) = ⎨ ⎪ ⎩ a 0
n
, 0 ≤ n ≤ N − 1 , 其 他 n
n− n
0
β
0
, n0 ≤ n , n < n0
请用公式表示。
分析： ①注意卷积和公式中求和式中是哑变量 m （ 结果 y ( n ) 中变量是 n , ∞ ∞
10
n
T [ax1 (n ) + bx2 (n )] =
m = −∞
∑ [ax1 (n ) + bx2 (n )]
n
T [ax1 (n) + bx2 (n)] = ay1 (n) + by2 (n)
∴ 系统是线性系统
解： ( 2) y ( n ) = [x (n )]
2
y1 (n ) = T [x1 (n )] = [x1 (n )]
┇ y 2 (n) = 1 [ y 2 (n + 1) − x 2 (n + 1)] = 0 a
综上 i ), ii ) 可得： y 2 (n) = a n −1u (n − 1) 由 ( a) , (b) 结果可知， x(n) 与 x 2 (n)是移一位的关系，但 y1 (n) 与 y２(n) 不是移一位的关系，所以在 y (0) = 0 条件下，系统不是移不变系统。
┇
8
y1 (n) = ay1 (n − 1) + x1 (n) = 0 ∴ y1 (n) = 0 , n ≥ 0 ii ) 向 n < 0 处递推，将原方程加以变换 y1 (n + 1) = ay1 (n) + x1 (n + 1) 则 y1 (n) = 1 [ y1 (n + 1) − x1 (n + 1)] a 因而 y1 (−1) = 1 [ y1 (0) − x1 (0)] = − a −1 a y1 (−2) = 1 [ y1 (−1) − x1 (−1)] = − a − 2 a y1 (−3) = 1 [ y1 (−2) − x1 (−2)] = − a −3 a
程佩青《数字信号处理教程(第三版)》课后习题答案精编版
第一章 离散时间信号与系统
1 .直接计算下面两个序列的卷积和 y( n ) = x( n )* h( n )
h (n )
=
⎧an ⎨
⎩0
, 0 ≤ n ≤ N −1 , 其他n
x (n )
=
⎧⎪ β ⎨
n−n 0
⎪⎩ 0
,n0 ≤ n , n < n0
请用公式表示。
分析：
①注意卷积和公式中求和式中是哑变量 m （ n 看作参量），
y (n ) ={1，2，3，3，2，1} ;
②δ (n)* x(n) = x(n) , δ (n − m)* x(n) = x(n − m) ;
③卷积和求解时， n 的分段处理。
6
解：(1) y(n) = x(n) * h(n) = R5(n) (2) y(n) = x(n) * h(n) = {1,2,3,3,2,1}
β α
n +1
β α β =
n +1− N −n0
N−
N
α −β
y(n) = Nα n−n0 ,
(α = β )
, (α ≠ β )
如此题所示，因而要分段求解。
2 .已知线性移不变系统的输入为 x( n ) ,系统的单位抽样响应
为 h( n ) ,试求系统的输出 y( n ) ,并画图。
(1)x(n) = δ (n)
∑ ∑( ) n α m−n0 n−m = β α = β m=n0
nn β
n0
α
n β −n0
− β n0
α
β n +1 α
1
−
β α
α β =
− n +1− n0
数字旌旗灯号处理教程-程佩青-课后题答案
第一章 离散时间信号与系统2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2（4）3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。
4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()( )( )n 313si n()( )()873cos()( )(ππππ-==-=n j e n x c A n x b n A n x a分析：序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列，nmm m n n y n - - -∞ = - ⋅ = = ≥ ∑ 2 31 2 5 . 0 ) ( 01当 3 4n m nm m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1⋅ = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 aa a n y n a a an y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m nnm mn -==->-==-≤=<<--==∑∑--∞=---∞=--1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；②；为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P QP =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。
解：（1）0142/3πω=，周期为14 （2）062/13πω=，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1）[][]12121212()()()()()()[()()]()()()()[()][()]T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=⨯+⨯=+所以是线性的T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。
《数字信号处理教程》程佩青第四版课后答案
综上 i ), ii ) 可得： y 2 (n) = a n −1u (n − 1) 由 ( a) , (b) 结果可知， x(n) 与 x 2 (n)是移一位的关系，但 y1 (n) 与 y２(n) 不是移一位的关系，所以在 y (0) = 0 条件下，系统不是移不变系统。
( 4) x ( n ) = 2 n u( − n − 1) 当n ≥ 0 当 n ≤ −1
h ( n ) = 0.5n u ( n )
y (n) = y (n) =
m = −∞ n
∑ 0.5n − m 2m = 3 ⋅ 2 − n ∑ 0.5n − m 2m = 3 ⋅ 2n
, 0 < a < 1 ，通过直接计算卷积和的办法，试确定
(3)
当 n ≥ n0 + N − 1 时 , 全重叠 y (n ) = =
m = n - N +1
∑ x ( m )h( n − m )
n m − n0
n
m = n − N +1
∑β
n
α
n −m
αn = n β
0
m = n − N +1
β ) ∑ (α
n
m
=α β
− n0
( )
β α
n − N +1
n
看作参量） ，
y (n) =
m = −∞ m = −∞ ②分为四步 （1）翻褶（ -m ） ， （2）移位（ n ）,（3）相乘， （4）相加，求得一个 n 的 y ( n ) 值 ，如此可求得所有 n 值的 y ( n ) ; ③ 一定要注意某些题中在 n 的不同时间段上求和范 围的不同
数字信号处理教程-程佩青-课后题答案
第一章 离散时间信号与系统2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2（4）3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。
4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()( )( )n 313si n()( )()873cos()( )(ππππ-==-=n j e n x c A n x b n A n x a分析：序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列，nmm m n n y n - - -∞ = - ⋅ = = ≥ ∑ 2 31 2 5 . 0 ) ( 01当 3 4n m nm m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1⋅ = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 aa a n y n a a an y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m nnm mn -==->-==-≤=<<--==∑∑--∞=---∞=--1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；②；为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P QP =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。
解：（1）0142/3πω=，周期为14 （2）062/13πω=，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1）[][]12121212()()()()()()[()()]()()()()[()][()]T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=⨯+⨯=+所以是线性的T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。
数字信号处理教程 程佩青 课后题答案
第一章 离散时间信号与系统2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2（4）3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。
4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()( )( )n 313si n()( )()873cos()( )(ππππ-==-=n j e n x c A n x b n A n x a分析：序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列，nmm m n n y n - - -∞ = - ⋅ = = ≥ ∑ 2 31 2 5 . 0 ) ( 01当 3 4n m nm m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1⋅ = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 aa a n y n a a an y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m nnm mn -==->-==-≤=<<--==∑∑--∞=---∞=--1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；②；为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P QP =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。
解：（1）0142/3πω=，周期为14 （2）062/13πω=，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1）[][]12121212()()()()()()[()()]()()()()[()][()]T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=⨯+⨯=+所以是线性的T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。
数字信号处理教程程佩青课后题答案
第一章 离散时间信号与系统2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2x(m)()h n m -n1 1 1 0 0 0 0 y(n) 0 11 1 1 12 2 1 1 13 3 1 1 1 1 34 0 1 1 1 1 2 511111（4）3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。
4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()( )( )n 313si n()( )()873cos()( )(ππππ-==-=n j e n x c A n x b n A n x a分析：序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列， nmm m n n y n - - -∞ = - ⋅ = = ≥ ∑ 2 31 2 5 . 0 ) ( 01当 3 4n m nm m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1⋅ = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 aa a n y n a a an y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m nnm mn -==->-==-≤=<<--==∑∑--∞=---∞=--1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；②；为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P QP =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。
解：（1）0142/3πω=，周期为14 （2）062/13πω=，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1）[][]12121212()()()()()()[()()]()()()()[()][()]T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=⨯+⨯=+所以是线性的T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。
数字信号处理答案(第三版)程佩青
数字信号处理教程课后习题及答案目录第一章离散时间信号与系统第二章Z变换第三章离散傅立叶变换第四章快速傅立叶变换第五章数字滤波器的基本结构第六章无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法第七章有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器的设计方法第八章数字信号处理中有限字长效应第一章 离散时间信号与系统1 .直接计算下面两个序列的卷积和)n (h *)n (x )n (y =请用公式表示。
分析：①注意卷积和公式中求和式中是哑变量m （ n 看作参量）， 结果)(n y 中变量是 n ,; )()()()()(∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=m m m n x m h m n h m x n y ②分为四步 （1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，; )( )( 4n y n n y n 值的，如此可求得所有值的）相加，求得一个（③ 围的不同的不同时间段上求和范一定要注意某些题中在n00 , 01()0 , ,()0,n n n a n N h n n n n x n n n β-⎧≤≤-=⎨⎩⎧≤⎪=⎨<⎪⎩其他如此题所示，因而要分段求解。
)(5.0)(,)1(2 )()4()(5.0)(,)2( )()3()()(,)( )()2()()(,)( )()1(3435n u n h n u n x n R n h n n x n R n h n R n x n R n h n n x n n n =--==-=====δδ2 .已知线性移不变系统的输入为)n (x ,系统的单位抽样响应 为)n (h ,试求系统的输出)n (y ,并画图。
分析：①如果是因果序列)(n y 可表示成)(n y ={)0(y ，)1(y ，)2(y ……}，例如小题（2）为)(n y ={1，2，3，3，2，1} ;②)()(*)( , )()(*)(m n x n x m n n x n x n -=-=δδ ;③卷积和求解时，n 的分段处理。
数字信号处理(程佩青)课后习题解答(7)
第七章 有限长单位冲激响应（FIR ）数字滤波器的设计方法1． 用矩形窗设计一个FIR 线性相位低通数字滤波器。
已知 21,5.0==N c πω。
求出)(n h 并画出)(log 20ωj e H 曲线。
分析：此题给定的是理想线性相位低通滤波器，故⎪⎩⎪⎨⎧<<<<≤≤=-。
-- , , 0- , )(c c c c ωωππωωωωωωαωj j d e eH解：ωπππωωd eeH n h nj j d d ⎰-=)(21)()()](sin[21αωαωπωωπωωωωα--==⎰--n n d eec c c nj j cc⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--====-=为其他故：其中n n n n n w n h n h N d c ,0200,)10(]2sin[)()()(5.0 102/)1( πππωα h( 0)= 9.7654073033E-4h( 1)= 3.5358760506E-2 h( 2)= -9.7657600418E-4 h( 3)= -4.5465879142E-2 h( 4)= 9.7651791293E-4 h( 5)= 6.3656955957E-2 h( 6)= -9.7658322193E-4 h( 7)= -1.0610036552E-1 h( 8)= 9.7643269692E-4 h( 9)= 3.1830877066E-1 h( 10)= 4.9902343750E-1 h( 11)= 3.1830900908E-1 h( 12)= 9.7669276875E-4 h( 13)= -1.0610023141E-1 h( 14)= -9.7654142883E-4 h( 15)= 6.3657015562E-2 h( 16)= 9.7660662141E-4 h( 17)= -4.5465819538E-2 h( 18)= -9.7654841375E-4 h( 19)= 3.5358794034E-2 h( 20)= 9.7658403683E-42．用三角形窗设计一个FIR 线性相位低通数字滤波器。
数字信号处理 程佩青 课后习题答案 第一章习题与解答
第一章习题与解答1 .直接计算下面两个序列的卷积和)n (h *)n (x )n (y =，请用公式表示。
⎩⎨⎧<≤=⎩⎨⎧-≤≤=-00 0, 010 , 0n n ,n n ,)n (x n N n a )n (h n n n β其他 2 .已知线性移不变系统的输入为)n (x ,系统的单位抽样响应为)n (h ,试求系统的∑∞-∞=-==m m n h m x n h n x n y )()()(*)()(:解0)()1(0=<n y n n 时当, 1)2(00部分重叠时当-+≤≤N n n n ()∑∑∑==--===-=nn m mnnn n m mn n m nn m m n h m x n y 0)()()(αββααβ()()βαβαβαβααβαβαβ≠--=--=-+-++-,10111n n n n n n n n())(,1)(00βαα=-+=-n n n y n n ()∑∑∑+-=+-=--+===-=-+≥nN n m m nn nN n m mn n m nn m m n h m x n y N n n 111N -00)()()( , 1)3(αββααβ全重叠时当()()()()βααβαβαβαββααβαβαβ==≠--=--=---+++--,)(,100111n n N N n N n n N n n nN n y输出)n (y ,并画图。
)(5.0)(,)1(2 )()4()(5.0)(,)2( )()3()()(,)( )()2()()(,)( )()1(3435n u n h n u n x n R n h n n x n R n h n R n x n R n h n n x n n n =--==-=====δδ3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n ，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。
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第一章 离散时间信号与系统2.任意序列x(n)与δ(n)线性卷积都等于序列本身x(n)，与δ(n-n 0)卷积x(n- n 0),所以（1）结果为h(n) (3)结果h(n-2) （2（4）3 .已知 10,)1()(<<--=-a n u a n h n，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为 )(n h 的线性移不变系统的阶跃响应。
4. 判断下列每个序列是否是周期性的,若是周期性的,试确定其周期：)6()( )( )n 313si n()( )()873cos()( )(ππππ-==-=n j e n x c A n x b n A n x a分析：序列为)cos()(0ψω+=n A n x 或)sin()(0ψω+=n A n x 时，不一定是周期序列，nmm m n n y n - - -∞ = - ⋅ = = ≥ ∑ 2 31 2 5 . 0 ) ( 01当 3 4n m nm m n n y n 2 2 5 . 0 ) ( 1⋅ = = - ≤ ∑ -∞ = - 当 aa a n y n a a an y n n h n x n y a n u a n h n u n x m m nnm mn -==->-==-≤=<<--==∑∑--∞=---∞=--1)(11)(1)(*)()(10,)1()()()(:1时当时当解①当=0/2ωπ整数，则周期为0/2ωπ；②；为为互素的整数）则周期、（有理数当 , 2 0Q Q P QP =ωπ ③当=0/2ωπ无理数 ，则)(n x 不是周期序列。
解：（1）0142/3πω=，周期为14 （2）062/13πω=，周期为6 （2）02/12πωπ=，不是周期的 7.（1）[][]12121212()()()()()()[()()]()()()()[()][()]T x n g n x n T ax n bx n g n ax n bx n g n ax n g n bx n aT x n bT x n =+=+=⨯+⨯=+所以是线性的T[x(n-m)]=g(n)x(n-m) y(n-m)=g(n-m)x(n-m) 两者不相等，所以是移变的y(n)=g(n)x(n) y 和x 括号内相等，所以是因果的。
（x 括号内表达式满足小于等于y 括号内表达式，系统是因果的）│y(n)│=│g(n)x(n)│<=│g(n)││x(n)│x(n)有界，只有在g(n)有界时，y(n)有界，系统才稳定，否则系统不稳定 （3）T[x(n)]=x(n-n0)线性，移不变，n-n0<=n 即n0>=0时系统是因果的，稳定 （5）线性，移变，因果，非稳定 （7）线性，移不变，非因果，稳定 （8）线性，移变，非因果，稳定 8.不稳定。
是因果的。
时当解：∴∞⇒++=∴=<•••∑∞-∞=,1101|)(| ,0)( , 0 )1(22n n h n h n稳定。
！！！是因果的。
时，当∴=+++++<++++=+++=∴=<•••••••••∑∞-∞=3814121111*2*311*2111211101|)(| ,0)(0 )2(n n h n h n 不稳定。
是因果的。
时，当∴∞⇒+++=∴=<•••∑∞-∞=210333|)(| ,0)(0 )3(n n h n h n稳定。
是非因果的。
时，当∴=+++=∴≠<•••--∞-∞=∑23333|)(|,0)(0)4(210n n h n h n 系统是稳定的。
系统是因果的。
时，当∴=+++=∴=<•••∑∞-∞=7103.03.03.0|)(|,0)(0 )5(210n n h n h n系统不稳定。
系统是非因果的。
时，当∴∞⇒++=∴≠<•••--∞-∞=∑213.03.0|)(|0)(0 )6(n n h n h n系统稳定。
系统是非因果的。
时，当∴=∴≠<∑∞-∞=1|)(|0)(0 )7(n n h n h n第二章 Z 变换1． 求以下序列的z 变换，并画出零极点图和收敛域。
（7）分析：Z 变换定义∑∞-∞=-==n nzn x z X n x Z )()()]([，n 的取值是)(n x 的有值范围。
Z 变换的收敛域是满足∞<=∑∞-∞=-M zn x n n)(的z 值范围。
解：(1) 由Z 变换的定义可知：∞====<<<<z z az a z az a z a az ,0 1, 11,1 零点为：极点为：即：且收敛域：解：(2) 由z 变换的定义可知：n n n z n u z X -∞-∞=∑=)()21()(nn nzaz X -∞-∞=⋅=∑)(nn n nn n z a za-∞=---∞=-∑∑+=1nn n nn n z a z a -∞=∞=∑∑+=01))(1()1()1)(1(1111212a z az a z a az az a za az az ---=---=-+-=-)(21)()2(n u n x n⎪⎭⎫⎝⎛=)(21)()2(n u n x n⎪⎭⎫⎝⎛=)1(21)()3(--⎪⎭⎫⎝⎛-=n u n x n)1(,1)()4(≥=n nn x 为常数）00(0,)sin()()5(ωω≥=n n n n x 10,)()cos()()6(0<<+=r n u n Ar n x n Φω)1||()()1(<=a a n x n∑∞=-=0)21(n nn z12111--=z 211121><⋅z z 即：收敛域：0 21==z z 零点为：极点为：解:（3）nn n z n u z X -∞-∞=∑---=)1()21()(∑--∞=--=1)21(n n n z∑∞=-=12n n n z zz212--=12111--=z 21 12 <<z z 即：收敛域：0 21==z z 零点为：极点为：解： (4) ∑-⋅∞==11)(n nz n z X∑∞--=-=•••11)(1)(n n z n n dz z dX 21)(11z z z n n -=-=∑∞=-- ，1||>z )1(21)()3(--⎪⎭⎫⎝⎛-=n u n x n)1(,1)()4(≥=n nn x。
的收敛域为故的收敛域相同，的收敛域和因为1||)()()(1ln)1ln(ln )(>-=--=∴z z X dzz dX z X z z z z z X ∞===z 1,0 零点为：极点为：z z解：(5) 设 )()sin()(0n u n n y ⋅=ω则有 1||cos 21sin )()(20101>+-=⋅=----∞-∞=∑z z z z zn y z Y nn ，ωω 而 )()(n y n n x ⋅=∴)()(z Y dz dz z X ⋅-=1||,)cos 21(sin )1(2201021>+--=----z z z z z ωω因此，收敛域为 ：1>z∞==-====-z z z z e z e z j j ,0,1,1 , 00零点为：（极点为二阶）极点为：ωω解：(6)1,cos 21)cos(cos cos 21sin sin cos 21cos 1cos )( )()sin(sin )()cos(cos )(]sin )sin(cos )[(cos( )()cos()( 20101201012010100000>+---=+-⋅-+--⋅=∴⋅⋅-⋅⋅=⋅-⋅=⋅+=---------z zz z z z z z z z z Y n u n n u n n u n n n u n n y ωωφφωωφωωφωφωφφωφωφω设 []。
：的收敛域为则而的收敛域为则 || )( cos 21)cos(cos )()( )()( 1 )( 220101r z z X z r r z r z A r zY A z X n y Ar n x z z Y n >+---=⋅=∴⋅=>---ωωφφ（7）Z[u(n)]=z/z-1为常数）00(0,sin )()5(ωω≥=n n n n x 10),()cos()()6(0<<+=r n u n Ar n x n φωZ[nu(n)]=2-z[]1(1)d z zdz z z =-- 2223Z[n u(n)]=-z [](1)(1)d z z z dz z z +=--零点为z=0,±j,极点为z=111211123.,,()1111212 (1) (), z (2) (), z 11241144111114 (3)(), z (4) (), z 8115311515X z z zz X z X z z z z z a X z X z az a z z ---------=>=<----=>=<<--+用长除法留数定理部分分式法求以下的反变换分析：长除法：对右边序列（包括因果序列）H （z ）的分子、分母都要按z 的降幂排列，对左边序列（包括反因果序列）H （z ）的分子、分 母都要按z 的升幂排列。
部分分式法：若X （z ）用z 的正幂表示，则按X(z)/z 写成部分分式，然后求各极点的留数，最后利用已知变换关系求z 反变换可得 x （n ）。
留数定理法：。
号（负号）”数时要取“用围线外极点留，号（负号）”必取“用围线内极点留数时不）（。
现的错误这是常出，相抵消）（来和不能用，消的形式才能相抵的表达式中也要化成因而注意留数表示是）（ 2 )1/(1 )/(1 )( )()())(( Re 11111-----=-==----k k k n kn k kn z z z z z z z z X z z z z X z z z z z z X s（1）（i ）长除法：1212111411211)(---+=--=z z zz X,2/1||,2/1>-=z z 而收敛域为：极点为按降幂排列分母要为因果序列，所以分子因而知)(n x•••-+---2141211z z112111211--++z z211412121------z z z241-z∑∞=---⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+-=•••02121 41211)(n nnzz z z X所以：)(21)(n u n x n⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=（1）(ii)留数定理法：⎰--+=c n dz z z j n x 11211121)(π, 设 c 为 21>z 内的逆时针方向闭合曲线：当0≥n 时，nn z z z z 211112111+=+--在c 内有 21-=z 一个单极点则0 ,2121Re )(21≥⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=-=n z z s n x n n z，是因果序列由于 )( n x0)( 0 =<n x n 时，故)(21)( n u n x n⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=所以（1）(iii)部分分式法：212111411211)(121+=+=--=---z z z z z z X因为 21>z 所以 )(21)(n u n x n⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=（2）(i). 长除法：41,41<=z z 而收敛域为由于极点为 ,因而 )(n x 是左边序列,所以要按z 的 升幂排列：•••+++2112288z zzz z 82241---22877zz z -3221122828zz z -∑∑--∞=--∞=⋅⋅+=⋅⋅+=+++=•••112478 478 112288)(n nnn nn z z z z z X所以 )1(417)(8)(--⋅⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅=n u n n x nδ（2）(ii)留数定理法:41)( 21)(1，为设<=⎰-z c dz z z X jn x c n π 内的逆时针方向闭合曲线 时：当 0 <n1)(-n z z X 在c 外有一个单极点41=z)0( ,)41(7 ])([Re )(411<⋅=-=∴=-n z z X s n x n z n时：当 0 =n1)(-n z z X 在c 内有一个单极点0=z∴0,8])([Re )(01====-n z z X s n x z n，内无极点在时：当 )( 0 1c z z X n n ->0,0)( >=n n x 则：综上所述，有：)1()41(7)(8)(--+=n u n n x n δ(2)(iii). 部分分式法：4178)41(2)(--+=--=z z z z z z z X 则 1411784178)(---=--=z z z z X 因为 41<z 则)(n x 是左边序列所以 )1()41(7)(8)(--+=n u n n x n δ(3)(i). 长除法： 因为极点为az 1=，由a z 1>可知,)(n x 为因果序列, 因而要按 z 的降幂排列: •••+-+-+---221)1(1)1(11z a a az a a a a az a z az 11--+-1)1(1)1()1(--+----zaa a a a aa••••••----+----2211)1(1)1(1)1(1z a a az a a az aa a 则∑∞=-⋅⎪⎭⎫⎝⎛-+-=11)1(1)(n n nz a a a a z X所以)1(1)1()(1)(-⋅⎪⎭⎫⎝⎛⋅-+⋅-=n u a a a n a n x nδ(3)(ii). 留数定理法:az dz z z X j n x c n 1 c )(21)(1>=⎰-为，设π 内的逆时针方向闭合曲线。