河北省邢台市小学数学小学奥数系列8-6-1构造与论证
小学奥数 构造与论证 精选例题练习习题(含知识点拨)
构造与论证教学目标1.掌握最佳安排和选择方案的组合问题.2.利用基本染色去解决相关图论问题.知识点拨知识点说明各种探讨给定要求能否实现,在论证中,有时需进行分类讨论,有时则要着眼于极端情形,或从整体把握.设计最佳安排和选择方案的组合问题,这里的最佳通常指某个量达到最大或最小.解题时,既要构造出取得最值的具体实例,又要对此方案的最优性进行论证.论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计.组合证明题,在论证中,有时需进行分类讨论,有时则需要着眼于极端情况,或从整体把握。
若干点及连接它们的一些线段组成图,与此相关的题目称为图论问题。
若干点及连接它们的一些线段组成图,与此相关的题目称为图论问题,这里宜从特殊的点或线着手进行分析.各种以染色为内容,或通过染色求解的组合问题,基本的染色方式有相间染色与条形染色.知识点拨板块一、最佳安排和选择方案【例 1】5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列,今要将它们变为反序排列,即从第5卷到第1卷.如果每次只能调换相邻的两卷,那么最少要调换多少次?【考点】构造与论证【难度】2星【题型】解答【解析】因为必须是调换相邻的两卷,将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次,得到的顺序为51234;现在将第4卷调至此时第1卷的位置最少需3次,得到的顺序为54123;现在将第3卷调至此时第1卷的位置最少需2次,得到的顺序为54312;最后将第1卷和第2卷对调即可.所以,共需调换4+3+2+1=10次.【答案】10次【例 2】在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009,现在将卡片的顺序打乱,让空白面朝上,并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009.然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加,再将这2009个和相乘,所得的积能否确定是奇数还是偶数?【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】从整体进行考虑.所得的2009个和相加,便等于1~2009的所有数的总和的2倍,是个偶数.2009个数的和是偶数,说明这2009个数中必有偶数,那么这2009个数的乘积是偶数.本题也可以考虑其中的奇数.由于1~2009中有1005个奇数,那么正反两面共有2010个奇数,而只有2009张卡片,根据抽屉原理,其中必有2个奇数在同一张卡片上,那么这张卡片上的数字的和是偶数,从而所有2009个和的乘积也是偶数.【答案】偶数【例 3】一个盒子里有400枚棋子,其中黑色和白色的棋子各200枚.下面我们对这些棋子做如下操作:每次拿出2枚棋子,如果颜色相同,就补1枚黑色棋子回去;如果颜色不同,就补1枚白色的棋子回去.这样的操作,实际上就是每次都少了1枚棋子,那么,经过399次操作后,最后剩下的棋子是颜色(填“黑”或者“白”).【考点】构造与论证【难度】3星【题型】填空【解析】在每一次操作中,若拿出的两枚棋子同色,则补黑子1枚,所以拿出的白子可能为0枚或2枚;若拿出的两枚棋子异色,则补白子1枚,“两枚棋子异色”说明其中一黑一白,那么此时拿出的白子数为0枚.可见每次操作中拿出的白子都是偶数枚,而由于起初白子有200枚,是偶数枚,所以每次操作后剩下的白子都是偶数枚,因此最后1枚不可能是白子,只能是黑子.【答案】黑子【例 4】在黑板上写上1、2、3、4、……、2008,按下列规定进行“操怍”:每次擦去其中的任意两个数a和b,然后写上它们的差(大数减小数),直到黑板上剩下一个数为止.问黑板上剩下的数是奇数还是偶数?为什么?【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】根据等差数列求和公式,可知开始时黑板上所有数的和为123200820091004++++=⨯是一个偶数,而每一次“操作”,将a、b两个数变成了()a b-,它们的和减少了2b,即减少了一个偶数.那么从整体上看,总和减少了一个偶数,其奇偶性不变,还是一个偶数.所以每次操作后黑板上剩下的数的和都是偶数,那么最后黑板上剩下一个数时,这个数是个偶数.【答案】偶数【例 5】在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮.按钮每按一次,与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态,即由亮变为不亮,或由不亮变为亮.如果原来每盏灯都是不亮的,请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】最少要1997次,将第一列中的每一格都按一次,则除第一列外,每格的灯都只改变一次状态,由不亮变成亮.而第一列每格的灯都改变1997次状态,由不亮变亮.如果少于1997次,则至少有一列和至少有一行没有被按过,位于这一列和这一行相交处的灯保持原状,即不亮的状态.【答案】1997次【例 6】有3堆小石子,每次允许进行如下操作:从每堆中取走同样数目的小石子,或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆.开始时,第一堆有1989块石子,第二堆有989块石子,第三堆有89块石子.问能否做到:(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】(1)可以,如(1989,989,89) →(1900,900,0)→(950,900,950)→(50,0,50)→(25,25,50)→(0,0,25).(2)因为操作就两种,每堆取走同样数目的小石子,将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆,所以每次操作石子总数要么减少3的倍数,要么不变.现在共有1989+989+89=3067,不是3的倍数,所以不能将3堆中所有石子都取走.【答案】(1)可以(2)不能【例 7】在某市举行的一次乒乓球邀请赛上,有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行,就是说每两名选手都要比赛一场.为公平起见,用以下方法记分:开赛前每位选手各有10分作为底分,每赛一场,胜者加分,负者扣分,每胜专业选手一场加2分,每胜业余选手一场加1分;专业选手每负一场扣2分,业余选手每负一场扣1分.问:一位业余选手最少要胜几场,才能确保他的得分比某位专业选手高?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】当一位业余选手胜2场时,如果只胜了另两位业余选手,那么他得10+2-3=9(分).此时,如果专业选手间的比赛均为一胜一负,而专业选手与业余选手比赛全胜,那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分).所以,一位业余选手胜2场,不能确保他的得分比某位专业选手高.当一位业余选手胜3场时,得分最少时是胜两位业余选手,胜一位专业选手,得10+2+2-2=12(分).此时,三位专业选手最多共得30+0+4=34(分),其中专业选手之间的三场比赛共得0分,专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分,34÷3=1113,推知,必有人得分不超过11分.也就是说,一位业余选手胜3场,能确保他的得分比某位专业选手高.【答案】胜3场【例 8】 n 支足球队进行比赛,比赛采用单循环制,即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分,平一场得1分,负一场得0分.如果每一队至少胜一场,并且所有各队的积分都不相同,问:(1)n =4是否可能?(2)n =5是否可能?【考点】构造与论证 【难度】3星 【题型】解答【解析】 (1)我们知道4个队共进行了24C 场比赛,而每场比赛有2分产生,所以4个队的得分总和为24C ×2=12.因为每一队至少胜一场,所以得分最低的队至少得2分,又要求每个队的得分都不相同,所以 4个队得分最少2+3+4+5=14>12,不满足.即n =4不可能。
河北省衡水市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证
河北省衡水市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的同学,经过一段时间的学习,你们一定学到不少知识,今天就让我们大显身手吧!一、最佳安排和选择方案 (共20题;共103分)1. (1分) (2019六上·南康期末) 六年级1、2、3、4四个班举行拔河比赛,甲、乙、丙三个同学猜测四个班比赛的前三名名次.甲说:1班第三,3班第一;乙说:3班第二,2班第三;丙说:4班第二,1班第一.比赛结果,三个人都猜对了一半.那么,1班第________名,4班第________名.2. (5分)木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示),每上一层都比原来一层少4根。
已知最上层有4根,最下层有20根。
(1)这堆原木堆放了多少层?(2)一共有多少根原木?3. (5分)小明、小勇、小军三个小朋友,小明比小勇轻,小军是最轻的。
请写出他们的名字。
4. (5分)一个乡村小学,A、B、C三位老师共同承担全校语文、数学、品德、体育、音乐、美术六门课,每人教两门.根据下列条件判断他们分别教哪两门课.①A喜欢和体育老师、数学老师游泳.②B和音乐老师、语文老师都喜欢踢足球.③体育老师比语文老师年龄大.④B不是体育老师.⑤品德老师和数学老师喜欢下棋.(提示:是某个学科的老师就在下面用“√”表示,不是就用“×”表示,根据上面的条件,填写下表.)5. (10分)四对夫妇坐在一起闲谈.四个女人中,吃了个梨,吃了个,吃了个,吃了个;四个男人中,甲吃的梨和他妻子一样多,乙吃的是妻子的倍,丙吃的是妻子的倍,丁吃的是妻子的倍.四对夫妇共吃了个梨.问:丙的妻子是谁?6. (5分)任意13个人中,必然有2人是在同一个月出生的.为什么?7. (5分)三张分别写有2,1,6的卡片,能否排成一个可以被43除尽的整数?8. (10分)在世界杯小组赛上,每四个队进行单循环比赛,每场比赛胜队得分,负队得分,平局则两队各得分.小组赛结束后,总积分高的两队出线,进入下一轮比赛,如果总积分相同,还要按进一步的规则排序.那么一个队至少要积几分才能保证本队必然出线?若有一个队总积分是分,则这个队可能出线吗?9. (5分)有三个盒子,甲盒装了两个克的砝码,乙盒装了两个克的砝码,丙盒装了一个克、一个克的砝码.每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的.聪明的小明只从一个盒子里取出一个砝码,放到天平上称了一下,就把所有标签都改正过来了.你知道这是为什么吗?10. (2分) 20道复习题,小明在两周内做完,每天至少做一道题.证明:小明一定在连续的若干天内恰好做了7道题目.11. (5分)烟鬼甲每天抽50支烟,烟鬼乙每天抽10支烟。
小学奥林匹克数学 竞赛数学 五年级 第23讲-构造论证
图8-6中的左图为21枚硬币组成的三角形,如果仅移动7枚硬币,要把这些硬币变成右图的形式,应该怎样移动?请在图中表示出移动的方法.图8-6小明买来一个1500克的生日蛋糕,他把蛋糕切成了7块,使得无论是3个人还是5个人平分,都不必再分割蛋糕.这7块蛋糕的重量分别是多少?300克500克300、300、200、200、300、100、100有4颗外形完全相同的珍珠,其中3颗是真的,另1颗是假的,已知假珍珠比真的要轻.请问:用一架没有砝码的天平最少称几次就可以找出假珍珠?如果是9颗珍珠里有1颗假的呢?请设计出方案.两两分组三三分组较轻的组较轻的组两次两次图8-7中,左边是一把长为6厘米的直尺,其中已标出2条刻度线.用它可以一次量出从1至6厘米中任意整数厘米的长度.右图为一把长为9厘米的直尺,请你在上面只标出3条刻度线,使得用这把直尺一次可以量出从1至9厘米中任意整数厘米的长度?3厘米1厘米2厘米图8-71,2,3,31,1,3,4请将8个1,8个0填入图8-8的16个空格中,使得每行、每列的4个数之和都是奇数.图8-8 8-23+3+1+1=81 1 11 1 111有一列自然数,其中任意3个相连的数之和都不小于6,而任意4个相连的数之和都小于8.这个数列最多能有几项?最多,数字越小越好全是1,和小于62 2 2 24个数之和不小于81 2 3 2 1 4个数之和不小于81 1 4 1 1 最多有5个用7个相同的数字并且适当使用加、减号,可以计算出1000,例如 .试用8个相同的数字(并且适当使用加号、减号)来计算1000.11111111000-=AAAA+AA+ ……A=1000=5×5×5×8A=5或者8 1000÷5=2001000÷8=125 111+11+1+1+1=1251的个数不够 888+88+8+8+8=1000有12根小木棍,长度分别为1,2,3,4,……,12厘米.(1)能否用这12根小木棍拼成一个长方形,要求木棍都得用上且不能折断或弯曲;(2)能否用这12根小木棍拼成一个正方形,要求木棍都得用上且不能折断或弯曲.【例8】高思学校竞赛数学导引第23讲(1)1+2+……+12=78长+宽=39=13×3长=26:1+12+2+113+10+4+9宽=13:5+86+7 (2)1+2+……+12=7878÷4=19.5 不可能【例9】高思学校竞赛数学导引第23讲(1)请在1,2,3,……,19,20的相邻两个数之间填入“+”或者“-”(不能改变数的顺序),使得结果是0.(2)能否在1,2,3,……,20,21的相邻两个数之间填入“+”或者“-”(不能改变数的顺序),使得结果是0?(1)1+2+……+20=2101+20+2+19+3+18+4+17+5+16-6-15-7-14-8-13-9-12-10-11=0 210÷2=105(2)1+2+……+20+21=231加减的和不可能相等有四个算式: , , ,.如果每一个算式中都至少有1个偶数和1个奇数,那么12个数中一共有多少个偶数?如果没有前面的限制,这12个数中最少有多少个偶数?最多有多少个偶数?+=□□□-=□□□⨯=□□□÷=□□□+=□□□-=□□□⨯=□□□÷=□□□至少1奇1偶无限制最多无限制最少奇+偶=奇 奇+奇=偶 奇-偶=奇 奇-奇=偶 奇×偶=偶偶÷奇=偶 偶÷偶=奇共6个偶数偶+偶=偶 奇+偶=奇 奇+奇=偶 偶-偶=偶 奇-偶=奇 奇-奇=偶 偶×偶=偶 奇×奇=奇 偶÷偶=偶奇÷奇=奇最多共12个偶数最少共2个偶数有5个亮着的灯泡,每个灯泡都由一个开关控制.每次操作可以拉动其中的2个开关以改变相应灯泡的亮暗状态.能否经过若干次操作使得5个灯泡都变暗?5个亮加减偶数个奇+偶=奇奇-偶=奇得不到0 不可能都变暗桌上放有5张卡片,小悦先在卡片的正面分别写上1,2,3,4,5,然后冬冬在背面也分别写上1,2,3,4,5,写完后计算每张卡片上两数之和,再把5个和相乘.问:冬冬能否找到一种写法,使得最后的乘积是奇数?为什么?不可能o(╯□╰)o正面数字+背面数字=(1+2+3+4+5)×2=30奇+奇+奇+奇+偶=偶五个和中,至少有一个偶数,所以最后乘积一定是偶数有14个孩子,依次给他们编号为1,2,3,,14.能否把他们分成三组,使得每组都有一个孩子的编号是该组其它孩子的编号之和.=偶数五组和为偶数1+2+3+……+14=105不可能o(╯□╰)o将一个三位数改变三个数字的顺序之后可以得到一个新的三位数.请问:这个新的三位数和原来的三位数之和能不能等于999?如果能,请举出例子;如果不能,请说明理由.A B C + C B A --------------- 9 9 9 没有进位,数字和不变9+9+9=27 奇数奇+奇=偶偶+偶=偶不可能o(╯□╰)o下节课见!。
(小学奥数)构造与论证
構造與論證教學目標1.掌握最佳安排和選擇方案的組合問題.2.利用基本染色去解決相關圖論問題.知識點撥知識點說明各種探討給定要求能否實現,在論證中,有時需進行分類討論,有時則要著眼於極端情形,或從整體把握.設計最佳安排和選擇方案的組合問題,這裏的最佳通常指某個量達到最大或最小.解題時,既要構造出取得最值的具體實例,又要對此方案的最優性進行論證.論證中的常用手段包括抽屜原則、整除性分析和不等式估計.組合證明題,在論證中,有時需進行分類討論,有時則需要著眼於極端情況,或從整體把握。
若干點及連接它們的一些線段組成圖,與此相關的題目稱為圖論問題。
若干點及連接它們的一些線段組成圖,與此相關的題目稱為圖論問題,這裏宜從特殊的點或線著手進行分析.各種以染色為內容,或通過染色求解的組合問題,基本的染色方式有相間染色與條形染色.知識點撥板塊一、最佳安排和選擇方案【例 1】5卷本百科全書按從第1卷到第5卷的遞增序號排列,今要將它們變為反序排列,即從第5卷到第1卷.如果每次只能調換相鄰的兩卷,那麼最少要調換多少次?【考點】構造與論證【難度】2星【題型】解答【解析】因為必須是調換相鄰的兩卷,將第5卷調至原來第1卷的位置最少需4次,得到的順序為51234;現在將第4卷調至此時第1卷的位置最少需3次,得到的順序為54123;現在將第3卷調至此時第1卷的位置最少需2次,得到的順序為54312;最後將第1卷和第2卷對調即可.所以,共需調換4+3+2+1=10次.【答案】10次【例 2】在2009張卡片上分別寫著數字1、2、3、4、……、2009,現在將卡片的順序打亂,讓空白面朝上,並在空白面上又分別寫上1、2、3、4、……、2009.然後將每一張卡片正反兩個面上的數字相加,再將這2009個和相乘,所得的積能否確定是奇數還是偶數?【考點】構造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】從整體進行考慮.所得的2009個和相加,便等於1~2009的所有數的總和的2倍,是個偶數.2009個數的和是偶數,說明這2009個數中必有偶數,那麼這2009個數的乘積是偶數.本題也可以考慮其中的奇數.由於1~2009中有1005個奇數,那麼正反兩面共有2010個奇數,而只有2009張卡片,根據抽屜原理,其中必有2個奇數在同一張卡片上,那麼這張卡片上的數字的和是偶數,從而所有2009個和的乘積也是偶數.【答案】偶數【例 3】一個盒子裏有400枚棋子,其中黑色和白色的棋子各200枚.下麵我們對這些棋子做如下操作:每次拿出2枚棋子,如果顏色相同,就補1枚黑色棋子回去;如果顏色不同,就補1枚白色的棋子回去.這樣的操作,實際上就是每次都少了1枚棋子,那麼,經過399次操作後,最後剩下的棋子是顏色(填“黑”或者“白”).【考點】構造與論證【難度】3星【題型】填空【解析】在每一次操作中,若拿出的兩枚棋子同色,則補黑子1枚,所以拿出的白子可能為0枚或2枚;若拿出的兩枚棋子異色,則補白子1枚,“兩枚棋子異色”說明其中一黑一白,那麼此時拿出的白子數為0枚.可見每次操作中拿出的白子都是偶數枚,而由於起初白子有200枚,是偶數枚,所以每次操作後剩下的白子都是偶數枚,因此最後1枚不可能是白子,只能是黑子.【答案】黑子【例 4】在黑板上寫上1、2、3、4、……、2008,按下列規定進行“操怍”:每次擦去其中的任意兩個數a和b,然後寫上它們的差(大數減小數),直到黑板上剩下一個數為止.問黑板上剩下的數是奇數還是偶數?為什麼?【考點】構造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】根據等差數列求和公式,可知開始時黑板上所有數的和為++++=⨯是一個偶數,而每一次“操作”,將a、b兩個數123200820091004變成了()-,它們的和減少了2b,即減少了一個偶數.那麼從整體上看,a b總和減少了一個偶數,其奇偶性不變,還是一個偶數.所以每次操作後黑板上剩下的數的和都是偶數,那麼最後黑板上剩下一個數時,這個數是個偶數.【答案】偶數【例 5】在1997×1997的正方形棋盤上的每格都裝有一盞燈和一個按鈕.按鈕每按一次,與它同一行和同一列方格中的燈泡都改變一次狀態,即由亮變為不亮,或由不亮變為亮.如果原來每盞燈都是不亮的,請說明最少需要按多少次按鈕才可以使燈全部變亮?【考點】構造與論證【難度】4星【題型】解答【解析】最少要1997次,將第一列中的每一格都按一次,則除第一列外,每格的燈都只改變一次狀態,由不亮變成亮.而第一列每格的燈都改變1997次狀態,由不亮變亮.如果少於1997次,則至少有一列和至少有一行沒有被按過,位於這一列和這一行相交處的燈保持原狀,即不亮的狀態.【答案】1997次【例 6】有3堆小石子,每次允許進行如下操作:從每堆中取走同樣數目的小石子,或是將其中的某一石子數是偶數的堆中的一半石子移入另外的一堆.開始時,第一堆有1989塊石子,第二堆有989塊石子,第三堆有89塊石子.問能否做到:(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?【考點】構造與論證【難度】4星【題型】解答【解析】(1)可以,如(1989,989,89) →(1900,900,0)→(950,900,950)→(50,0,50)→(25,25,50)→(0,0,25).(2)因為操作就兩種,每堆取走同樣數目的小石子,將有偶數堆石子堆中一半移至另一堆,所以每次操作石子總數要麼減少3的倍數,要麼不變.現在共有1989+989+89=3067,不是3的倍數,所以不能將3堆中所有石子都取走.【答案】(1)可以(2)不能【例 7】在某市舉行的一次乒乓球邀請賽上,有3名專業選手與3名業餘選手參加.比賽採用單迴圈方式進行,就是說每兩名選手都要比賽一場.為公平起見,用以下方法記分:開賽前每位選手各有10分作為底分,每賽一場,勝者加分,負者扣分,每勝專業選手一場加2分,每勝業餘選手一場加1分;專業選手每負一場扣2分,業餘選手每負一場扣1分.問:一位業餘選手最少要勝幾場,才能確保他的得分比某位專業選手高? 【考點】構造與論證【難度】4星【題型】解答【解析】當一位業餘選手勝2場時,如果只勝了另兩位業餘選手,那麼他得10+2-3=9(分).此時,如果專業選手間的比賽均為一勝一負,而專業選手與業餘選手比賽全勝,那麼每位專業選手的得分都是10+2-2+3=13(分).所以,一位業餘選手勝2場,不能確保他的得分比某位專業選手高.當一位業餘選手勝3場時,得分最少時是勝兩位業餘選手,勝一位專業選手,得10+2+2-2=12(分).此時,三位專業選手最多共得30+0+4=34(分),其中專業選手之間的三場比賽共得0分,專業選手與業餘選手的比賽最多共得4分.由三個人得34分,34÷3=111,推知,3必有人得分不超過11分.也就是說,一位業餘選手勝3場,能確保他的得分比某位專業選高.【答案】勝3場【例 8】n支足球隊進行比賽,比賽採用單迴圈制,即每對均與其他各隊比賽一場.現規定勝一場得2分,平一場得1分,負一場得0分.如果每一隊至少勝一場,並且所有各隊的積分都不相同,問:(1)n=4是否可能?(2)n=5是否可能?【考點】構造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】(1)我們知道4個隊共進行了24C場比賽,而每場比賽有2分產生,所以4個隊的得分總和為2C×2=12.因為每一隊至少勝一場,所以得分最低的4隊至少得2分,又要求每個隊的得分都不相同,所以4個隊得分最少2+3+4+5=14>12,不滿足.即n=4不可能。
小学奥数六年级上第24讲《构造论证》教学课件
答案:
巩固提升
mathematics
作业3:《三国英雄传》共有10篇故事,这些故事占的篇幅从2页到11页各不相同,如果从 书的第1页开始印第一个故事,每一个故事总是从新的一页开始印,那么故事从奇数页起头 的最多有多少篇,最少有多少篇? 答案:
巩固提升
mathematics
作业1:桌上放有5枚硬币,正面朝上,第一次翻动1枚,第二次翻动2枚,第三次翻动3枚, 第四次翻动4枚,第五次翻动5枚,能否恰当地选择每次翻动的硬币,使得最后桌上所有的 硬币都正面朝下? 答案:
巩固提升
mathematics
作业2:把1、2、3、…、13按合适的顺序填在图中第二行的空格中、使得每列两个数字之 和都是平方数.
例题讲解
mathematics
练习4:黑板上写着3个数9、18、27,老师请一些同学上黑板对这3个数进行操作,进行一 次操作是指:把3个数进行如下变化,一些数减1、其他数加2;或者都减1;或者都加2;请 问: (1)能否经过若干次操作后得到11、12、13? (2)能否经过若干次操作后得到8、8、8? 答案:
是奇数,那我们是不是能从奇偶性的分析入手呢?
答案:
例题讲解
mathematics
练习2:能否将1至41排成一行,使得任意相邻两数之和都为质数? 答案:
例题讲解
mathematics
例题3:有3堆石子,每次可以从这三堆中同时拿走相同数目的石子(每次这个数目可以改变), 也可以由一堆中取一半石子放入另外任一堆石子中,请问: (1)如果开始时,3堆石子的数目分别是34、55、82,按上述操作,能否把3堆石子都拿光? (2)如果开始时,3堆石子的数目分别是80、60、50,按上述操作,能否把3堆石子都拿光? 如果可以,请设计一种取石子的方案;如果不可以,请说明理由. 分析:每次从这三堆中同时拿走相同数目的石子意味着每次拿走的石子数是3的倍数,所
小学奥数 构造与论证 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1. 掌握最佳安排和选择方案的组合问题.2. 利用基本染色去解决相关图论问题.知识点说明 各种探讨给定要求能否实现,在论证中,有时需进行分类讨论,有时则要着眼于极端情形,或从整体把握.设计最佳安排和选择方案的组合问题,这里的最佳通常指某个量达到最大或最小.解题时,既要构造出取得最值的具体实例,又要对此方案的最优性进行论证.论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计.组合证明题,在论证中,有时需进行分类讨论,有时则需要着眼于极端情况,或从整体把握。
若干点及连接它们的一些线段组成图,与此相关的题目称为图论问题。
若干点及连接它们的一些线段组成图,与此相关的题目称为图论问题,这里宜从特殊的点或线着手进行分析.各种以染色为内容,或通过染色求解的组合问题,基本的染色方式有相间染色与条形染色.板块一、最佳安排和选择方案 【例 1】 5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列,今要将它们变为反序排列,即从第5卷到第1卷.如果每次只能调换相邻的两卷,那么最少要调换多少次?【考点】构造与论证 【难度】2星 【题型】解答【解析】 因为必须是调换相邻的两卷,将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次,得到的顺序为51234;现在将第4卷调至此时第1卷的位置最少需3次,得到的顺序为54123;现在将第3卷调至此时第1卷的位置最少需2次,得到的顺序为54312;最后将第1卷和第2卷对调即可.知识点拨知识点拨教学目标构造与论证所以,共需调换4+3+2+1=10次.【答案】10次【例2】在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009,现在将卡片的顺序打乱,让空白面朝上,并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009.然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加,再将这2009个和相乘,所得的积能否确定是奇数还是偶数?【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】从整体进行考虑.所得的2009个和相加,便等于1~2009的所有数的总和的2倍,是个偶数.2009个数的和是偶数,说明这2009个数中必有偶数,那么这2009个数的乘积是偶数.本题也可以考虑其中的奇数.由于1~2009中有1005个奇数,那么正反两面共有2010个奇数,而只有2009张卡片,根据抽屉原理,其中必有2个奇数在同一张卡片上,那么这张卡片上的数字的和是偶数,从而所有2009个和的乘积也是偶数.【答案】偶数【例3】一个盒子里有400枚棋子,其中黑色和白色的棋子各200枚.下面我们对这些棋子做如下操作:每次拿出2枚棋子,如果颜色相同,就补1枚黑色棋子回去;如果颜色不同,就补1枚白色的棋子回去.这样的操作,实际上就是每次都少了1枚棋子,那么,经过399次操作后,最后剩下的棋子是颜色(填“黑”或者“白”).【考点】构造与论证【难度】3星【题型】填空【解析】在每一次操作中,若拿出的两枚棋子同色,则补黑子1枚,所以拿出的白子可能为0枚或2枚;若拿出的两枚棋子异色,则补白子1枚,“两枚棋子异色”说明其中一黑一白,那么此时拿出的白子数为0枚.可见每次操作中拿出的白子都是偶数枚,而由于起初白子有200枚,是偶数枚,所以每次操作后剩下的白子都是偶数枚,因此最后1枚不可能是白子,只能是黑子.【答案】黑子【例4】在黑板上写上1、2、3、4、……、2008,按下列规定进行“操怍”:每次擦去其中的任意两个数a和b,然后写上它们的差(大数减小数),直到黑板上剩下一个数为止.问黑板上剩下的数是奇数还是偶数?为什么?【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】根据等差数列求和公式,可知开始时黑板上所有数的和为123200820091004++++=⨯是一个偶数,而每一次“操作”,将a、b两个数变成了()a b-,它们的和减少了2b,即减少了一个偶数.那么从整体上看,总和减少了一个偶数,其奇偶性不变,还是一个偶数.所以每次操作后黑板上剩下的数的和都是偶数,那么最后黑板上剩下一个数时,这个数是个偶数.【答案】偶数【例5】在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮.按钮每按一次,与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态,即由亮变为不亮,或由不亮变为亮.如果原来每盏灯都是不亮的,请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】最少要1997次,将第一列中的每一格都按一次,则除第一列外,每格的灯都只改变一次状态,由不亮变成亮.而第一列每格的灯都改变1997次状态,由不亮变亮.如果少于1997次,则至少有一列和至少有一行没有被按过,位于这一列和这一行相交处的灯保持原状,即不亮的状态.【答案】1997次【例6】有3堆小石子,每次允许进行如下操作:从每堆中取走同样数目的小石子,或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆.开始时,第一堆有1989块石子,第二堆有989块石子,第三堆有89块石子.问能否做到:(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?【考点】构造与论证 【难度】4星 【题型】解答【解析】 (1)可以,如(1989,989,89) →(1900,900,0)→(950,900,950)→(50,0,50)→(25,25,50)→(0,0,25).(2)因为操作就两种,每堆取走同样数目的小石子,将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆,所以每次操作石子总数要么减少3的倍数,要么不变.现在共有1989+989+89=3067,不是3的倍数,所以不能将3堆中所有石子都取走.【答案】(1)可以 (2)不能【例 7】 在某市举行的一次乒乓球邀请赛上,有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行,就是说每两名选手都要比赛一场.为公平起见,用以下方法记分:开赛前每位选手各有10分作为底分,每赛一场,胜者加分,负者扣分,每胜专业选手一场加2分,每胜业余选手一场加1分;专业选手每负一场扣2分,业余选手每负一场扣1分.问:一位业余选手最少要胜几场,才能确保他的得分比某位专业选手高?【考点】构造与论证 【难度】4星 【题型】解答【解析】 当一位业余选手胜2场时,如果只胜了另两位业余选手,那么他得10+2-3=9(分).此时,如果专业选手间的比赛均为一胜一负,而专业选手与业余选手比赛全胜,那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分).所以,一位业余选手胜2场,不能确保他的得分比某位专业选手高.当一位业余选手胜3场时,得分最少时是胜两位业余选手,胜一位专业选手,得10+2+2-2=12(分).此时,三位专业选手最多共得30+0+4=34(分),其中专业选手之间的三场比赛共得0分,专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分,34÷3=1113,推知,必有人得分不超过11分.也就是说,一位业余选手胜3场,能确保他的得分比某位专业选手高.【答案】胜3场【例 8】 n 支足球队进行比赛,比赛采用单循环制,即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分,平一场得1分,负一场得0分.如果每一队至少胜一场,并且所有各队的积分都不相同,问:(1)n =4是否可能?(2)n =5是否可能?【考点】构造与论证 【难度】3星 【题型】解答【解析】 (1)我们知道4个队共进行了24C 场比赛,而每场比赛有2分产生,所以4个队的得分总和为24C ×2=12.因为每一队至少胜一场,所以得分最低的队至少得2分,又要求每个队的得分都不相同,所以 4个队得分最少2+3+4+5=14>12,不满足.即n =4不可能。
小学四年级奥数 第29讲:构造与论证之奇偶分析(二)
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【例5】 (★★★★) 如下图,把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问:有无可能使得在每 一条直线上的红圈数都是奇数?请说明理由。
【例6】 (★★★★) 在黑板上写上1、2、3、4、……、2008,按下列规定进行“操作”:每 次擦去其中的任意两个数a和b,然后写上它们的差(大数减小数),直到 黑板上剩下一个数为止。问黑板上剩下的数是奇数还是偶数?为什么?
【例3】 (★★★★) 设标有A,B,C,D,E,F,G的7盏灯顺次排成一行,每盏灯安装一 个开关。现在A,C,D,G这4盏灯亮着,其余3盏灯没亮。小华从灯A 开始顺次拉动开关,即从A到G,再从A开始顺次拉动开关。他一共拉 了999下开关后,哪些灯亮着,哪些灯没亮?
【例4】 (★★★★★) 桌上放有1993枚硬币,第1次翻动1993枚,第2次翻动其中的1992其中的一枚。 能否恰当地选择每次翻动的硬币,使得最后所有的硬币原先朝下的一 面都朝上?
【例7】 (★★★★★) 一个盒子里有400枚棋子,其中黑色和白色的棋子各200枚。下面我们对 这些棋子做如下操作:每次拿出2枚棋子,如果颜色相同,就补1枚黑色 棋子回去;如果颜色不同,就补1枚白色的棋子回去。这样的操作,实际 上就是每次都少了1枚棋子,那么,经过399次操作后,最后剩下的棋子 是___颜色(填“黑”或者“白”)。
构造与论证之奇偶分析(二)
二、奇偶构造 【例1】 (★★★) 桌子上有6只开口向上的杯子,每次同时翻动其中的4只杯子,问能否 经过若干次翻动,使得全部杯子的开口全都向下?
【例2】 (★★★) 桌子上有5个开口向上的杯子,现在允许每次同时翻动其中的4个,问 能否经过若干次翻动,使得5个杯子的开口全都向下?
河北省邢台市数学小学奥数系列8-5-1操作与策略
河北省邢台市数学小学奥数系列8-5-1操作与策略姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们,这一段时间的学习,你们收获怎么样呢?今天就让我们来检验一下吧!一、 (共26题;共110分)1. (5分)下面是笑笑的爷爷、奶奶、爸爸、妈妈四个人的身份证号,请你分析一下分别是谁的身份证号码。
【考点】2. (1分)(2019·陆丰) 甲、乙、丙三人共有图书195本,甲拿15本给乙,乙拿20本给丙,丙拿30本给甲,则此时甲、乙、丙手中的图书一样多,那么原来甲有________本图书.【考点】3. (5分) (2019五下·微山期中) 五(1)班有四十多名同学分组做游戏,如果3个人一组或5个人一组都剩下2人,五(1)班共有多少人参加做游戏?(写出过程)【考点】4. (1分)在1,3.4,4,2,9,13,19,87,141中,(按题中数的顺序填写)(1).奇数有:________(2).偶数有:________(3).质数有:________(4).合数有:________【考点】5. (5分)有14个球,其中13个质量相同,余下的一个质量较轻,是不合格产品,用天平至少称几次才能保证找出这个不合格产品?【考点】6. (5分)在15盒牛奶中混入了一盒不合格产品(比合格产品轻一些)。
用天平需要几次能找到这盒次品?【考点】7. (5分)东东、西西、南南、北北四人进行乒乓球单循环赛,结果有三人获胜的场数相同.问另一个人胜了几场?【考点】8. (5分)【考点】9. (5分)三个连续自然数的和是72,这三个自然数分别是多少?如果是三个连续偶数,这三个数又分别是多少?【考点】10. (5分)三个连续自然数在100到200之间,其中最小的能被3整除,中间的能被5整除,最大的能被7整除,试写出满足条件的自然数。
(从小到大填写)【考点】11. (5分)先观察,找出规律再接着画。
冀教版 六年级数学上册 8.2 简单的逻辑推理问题课件(共23张ppt)
甲
肯定是乙干的,我发现他最近总大把花钱。
乙
是丁干的,他以前就有贪污盗窃的行为。
丙 那天我在厂里上班,根本没去过银行,不是我干的。
丁
乙和我有仇,他有意诬陷我。
甲
肯定是乙干的,我发现他最近总大把花钱。
×
乙
是丁干的,他以前就有贪污盗窃的行为。
×
丙 那天我在厂里上班,根本没去过银行,不是我干的。 √
简单的逻辑推理问题
冀教版六年级数学上册
有语文、数学和品德与生活三本书,下面三人各拿 一本。小刚拿的是什么书?小莉呢?
我拿的是 语文书。
小莉
我拿的不是数学书。 品德与生活
小刚
数学
小红
一个正方体骰子,六个面上分别刻有 1、2、3、4、5、 6 这六个点数。从三个不同的角度看这个骰子,看到 的点数如下:
从图(1)可以看出 5 点的对面不是 4 点和 6 点; 从图(3)可以看出 5 点的对面不是 1 点和 3 点; 所以 5 点的对面只能是( 2 )点; 那么 6 点的对面只能是( 1 )点。
拿出手中的骰子检验判断的结果是否正确。 说一说骰子对面两个点数有什么特点? 对面两个点数的和都是7。
归纳总结
丫丫 李明第一名( ) 王欣第三名( )
亮亮 张宏第一名( ) 赵亮第四名( )
聪聪 赵亮第二名( ) 王欣第一名( )
丫丫 李明第一名( √ ) 王欣第三名( × ) 亮亮 张宏第一名( × ) 赵亮第四名( √ ) 聪聪 赵亮第二名( × ) 王欣第一名( √ )
假设丫丫猜测的“李明第一名”是正确的, 那么“王欣第三名”就是错误的, 列表推理发现:李明和王欣都是第一名,所以假设错误。
小学奥数系列8-6-1构造与论证及参考答案
小学奥数系列8-6-1构造与论证一、最佳安排和选择方案1. 一个盒子里有400枚棋子,其中黑色和白色的棋子各200枚.下面我们对这些棋子做如下操作:每次拿出2枚棋子,如果颜色相同,就补1枚黑色棋子回去;如果颜色不同,就补1枚白色的棋子回去.这样的操作,实际上就是每次都少了1枚棋子,那么,经过399次操作后,最后剩下的棋子是________颜色(填“黑”或者“白”).2. 在黑板上写上、、、、……、,按下列规定进行“操怍”:每次擦去其中的任意两个数和,然后写上它们的差(大数减小数),直到黑板上剩下一个数为止.问黑板上剩下的数是奇数还是偶数?为什么?3. 5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列,今要将它们变为反序排列,即从第5卷到第1卷.如果每次只能调换相邻的两卷,那么最少要调换多少次?4. 在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮.按钮每按一次,与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态,即由亮变为不亮,或由不亮变为亮.如果原来每盏灯都是不亮的,请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?5. 有3堆小石子,每次允许进行如下操作:从每堆中取走同样数目的小石子,或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆.开始时,第一堆有1989块石子,第二堆有989块石子,第三堆有89块石子.问能否做到:(1)某2堆石子全部取光?(2) 3堆中的所有石子都被取走?6. 在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009,现在将卡片的顺序打乱,让空白面朝上,并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009.然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加,再将这2009个和相乘,所得的积能否确定是奇数还是偶数?7. 在某市举行的一次乒乓球邀请赛上,有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行,就是说每两名选手都要比赛一场.为公平起见,用以下方法记分:开赛前每位选手各有10分作为底分,每赛一场,胜者加分,负者扣分,每胜专业选手一场加2分,每胜业余选手一场加1分;专业选手每负一场扣2分,业余选手每负一场扣1分.问:一位业余选手最少要胜几场,才能确保他的得分比某位专业选手高?8. n支足球队进行比赛,比赛采用单循环制,即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分,平一场得1分,负一场得0分.如果每一队至少胜一场,并且所有各队的积分都不相同,问:(1) n=4是否可能?(2) n=5是否可能?9. 如图,将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数分别填入图中的10个圆圈内,使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M。
河北省保定市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证
河北省保定市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的同学,经过一段时间的学习,你们一定学到不少知识,今天就让我们大显身手吧!一、最佳安排和选择方案 (共20题;共103分)1. (1分)甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行乒乓球训练,每局2人进行比赛,另1人当裁判.每一局的输方去当下一局的裁判,而由原来的裁判向胜者挑战.半天训练结束时,发现甲共打了15局,乙共打了21局,而丙共当裁判5局.那么整个训练中的第3局当裁判的是________.2. (5分)木材加工厂堆放原木(堆放方式如下图所示),每上一层都比原来一层少4根。
已知最上层有4根,最下层有20根。
(1)这堆原木堆放了多少层?(2)一共有多少根原木?3. (5分)甲、乙、丙三人进行田径比赛,比赛项目有60米、100米、200米、跳高、跳远五项,已知每项第一名、第二名、第三名各得5分、2分、1分。
乙200米得第一名。
比赛结束后,每人的总得分是:甲得22分,乙、丙各得9分,想一想,这三人在五项比赛中各得到多少分?4. (5分)将100颗绿豆和100颗黄豆混在一起又一分为二,需要几次才能使A堆中黄豆和B堆中的绿豆相等呢?5. (10分)有一个年轻人,他要过一条河去办事;但是,这条河没有船也没有桥。
于是他便在上午游泳过河,只一个小时的时间他便游到了对岸,当天下午,河水的宽度以及流速都没有变,更重要的是他的游泳速度也没有变,可是他竟用了两个半小时才游到河对岸.6. (5分)六(1)班有49名学生,数学高老师了解到期中考试该班英语成绩除3人外,均在86分以上后就说:“我可以断定,本班至少有4人成绩相同”。
王老师说的对吗?为什么?7. (5分)去年学而思杯颁奖大会上,很多同学都过来领奖了。
崔梦迪老师在让所有获奖的同学就座后,突然突发奇想,让所有同学用一张纸写下来在会场里的其他同学中,自己认识的人数。
河北省邢台市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证
河北省邢台市数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们,这一段时间的学习,你们收获怎么样呢?今天就让我们来检验一下吧!一、最佳安排和选择方案 (共20题;共103分)1. (1分)(2019·宁波) 甲、乙、丙三位同学进行跑步比赛,跑完后他们每人说了一句话,甲说:我是第一,乙说:我是第二,丙说:我不是第一.可是其中一人说了假话,那么得第一名的是________.2. (5分)桌子上放着7只茶杯,全部是杯底朝上,每次翻转2只茶杯,称为一次翻动,经过多少次翻动,能使7只茶杯的杯口全部朝上?3. (5分)三个好朋友果果、丫丫和优优去超市买衣服,一个买白色的,一个买红色的,一个买花格的.果果不喜欢红色的,丫丫不喜欢红色的和花格的,她们各买了什么花色的衣服?4. (5分)(2018·江宁) 一个四位数,它的第一个数字等于这个数中数字0的个数,第二个数字表示这个数中数字1的个数,第三个数字表示这个数中数字2的个数,第四个数字等于这个数中数字3的个数,求出这个四位数。
5. (10分) (2019二下·通榆期末) 有甲、乙、丙三人,一个是语文老师,一个是数学老师,一个是体育老师。
甲和乙经常和体育老师学打羽毛球,乙带学生去找数学老师辅导数学。
甲、乙、丙分别是什么老师?6. (5分)五年级有47名学生参加一次数学竞赛,成绩都是整数,满分是100分。
已知3名学生的成绩在60分以下,其余学生的成绩均在75~95分之间。
问:至少有几名学生的成绩相同?7. (5分)想一想,小动物们怎样才能过河?只有下面两艘船,5只小动物要同时过河,该怎样乘船?8. (10分)在世界杯小组赛上,每四个队进行单循环比赛,每场比赛胜队得分,负队得分,平局则两队各得分.小组赛结束后,总积分高的两队出线,进入下一轮比赛,如果总积分相同,还要按进一步的规则排序.那么一个队至少要积几分才能保证本队必然出线?若有一个队总积分是分,则这个队可能出线吗?9. (5分)一次象棋比赛共有10名选手参加,他们分别来自甲、乙、丙三个队,每个选手都与其余9名选手各赛1盘,每盘棋的胜者得1分,负者得0分,平局双方各得0.5分.结果,甲队选手平均得4.5分,乙队选手平均得3.6分,丙队选手平均得9分.那么,甲、乙、丙三队参加比赛的选手人数各多少?10. (2分)如图,分别标有数字的滚珠两组,放在内外两个圆环上,开始时相对的滚珠所标的数字都不相同.当两个圆环按不同方向转动时,必有某一时刻,内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对.11. (5分)小刚、小丁、小佳在小制作组、绘画组、书法组活动,根据下面的条件,你能判断出他们分别在什么组活动吗?小刚不在绘画组,也不在书法组;小丁不在小制作组;小佳不在绘画组。
河北省邢台市数学小学奥数系列8-2-1抽屉原理(二)
河北省邢台市数学小学奥数系列8-2-1抽屉原理(二)姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们,这一段时间的学习,你们收获怎么样呢?今天就让我们来检验一下吧!一、 (共35题;共160分)1. (10分)假设在一个平面上有任意六个点,无三点共线,每两点用红色或蓝色的线段连起来,都连好后,问你能不能找到一个由这些线构成的三角形,使三角形的三边同色?2. (5分)一个袋子中装有红、黄、蓝、绿四种颜色的小球若干,如果每次取3个,最后剩1个;如果每次取5个或7个,最后剩2个.这个袋中至少有多少个小球?一次至少取几个小球可以保证有两个是同色的?3. (5分)把25个玻璃球最多放进几个盒子里,才能保证至少有一个盒子里至少有5个玻璃球?4. (5分)有红、黄、黑、白四色小球各10个,混合放入一个盒子,每次至少摸出几个,才能保证有2个小球同色?为什么?5. (5分)学校成立了音乐、舞蹈、剪纸社团,第一小组有8名同学报了这三个社团中的一个或几个。
那么,这8个人中至少有几个人所报的社团是完全相同的?6. (5分)一副扑克牌除去两张王牌共有52张,问至少要取出多少张牌,才能保证其中一定有3种或3种以上花色?7. (5分)求证:对于任意的8个自然数,一定能从中找到6个数a,b,c,d,e,f,使得是105的倍数.8. (5分) 17个小朋友乘6条小船游玩,至少要有几个小朋友坐在同一条船上?9. (5分)从扑克牌中取出两张王牌,在剩下的52张中任意取牌。
(1)至少取多少张牌,保证有2张牌的点数相同?(2)至少取多少张牌,保证有2张牌的点数不同?(3)至少取多少张牌,保证有2张红桃?10. (5分)图书馆有A,B,C,D四种图书若干本,每人借一本书,至少要有多少个人借书,才能保证一定有3人借的书相同?11. (5分)解答题12. (5分)平面上给定6个点,没有3个点在一条直线上.证明:用这些点做顶点所组成的一切三角形中,一定有一个三角形,它的最大边同时是另外一个三角形的最小边.13. (5分)证明:任取6个自然数,必有两个数的差是5的倍数。
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河北省邢台市小学数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的同学,经过一段时间的学习,你们一定学到不少知识,今天就让我们大显身手吧!一、最佳安排和选择方案 (共20题;共103分)1. (1分) (2019六下·蓝山期中) A、B、C、D、E五位小朋友之间进行象棋比赛,每两个人都要比赛一场.到现在为止,A赛了4场,B赛了3场,C赛了2场,D赛了1场,那么E赛了________场.2. (5分)三个连续偶数的和是54,这三个偶数分别是多少?3. (5分)排队游戏。
小冰、小亮、小强、小风四人一起排队上车。
小风在小冰和小亮的中间,小强在最后,小冰不是第一个。
请把他们的名字从前往后写下来。
4. (5分)篮子里的7个莱果掉了4个在桌子上,还有一个不知掉到哪去了,飞飞把桌子上的莱果拾进篮子里,又吃了一个,请问篮子里还剩下几个苹果?5. (10分)一个苹果减去一个苹果,猜一个字。
6. (5分)给下面每个格子涂上黑色或红色.观察每一列,你有什么发现?能说出其中的道理吗?7. (5分)考试做判断题,小花掷骰子决定答案,但题目有20题,为什么他却扔了40次?8. (10分)甲和乙做猜数的游戏。
首先,甲在纸上写个各位数字都不同的四位数,写好后将纸翻过来。
不让乙看到,然后让乙猜这个四位数的各位数字。
如果数字和位数都猜对了就是○,如果数字对而位数不对就是△。
例如:甲写的是,乙猜的是,那么就是个○,个△。
请阅读以下对话并回答问题:乙:“我猜”,甲:“ 个○,个△。
”乙:“ ?”,甲:“也是个○,个△。
”乙:“ ?”,甲:“也是个○,个△。
”乙:“ 呢?”,甲:“ 个△。
”乙:“哇,猜不着呀,呢?”甲:“也是个△。
”(1):请从以上的对话中答出甲最可能写的个四位数。
后来,甲发现自己刚才的回答中对四位数的判断有误。
甲:“对不起,刚才有搞错的。
”乙:“啊!那么”甲“只是个数字搞错了,在刚才说到的数字中,只是对的判断有误,正确的回答应该是个○,个△。
”乙“稍等一会儿,啊!我知道啦!甲写的四位数是________吗”?甲:“对啦!你真棒!”(2)请问甲写的这个四位数是什么?9. (5分)班上四名同学进行跳棋比赛,每两名同学都要赛一局.每局胜者得分,平者各得分,负者得分.已知甲、乙、丙三名同学得分分别为分、分、分,且丙同学无平局,甲同学有胜局,乙同学有平局,那么丁同学得分是多少?10. (2分)任意给出5个不同的自然数,其中至少有两个数的差是4的倍数.你能说出其中的道理吗?11. (5分)传说有个说谎国,这个国家的男人在星期四、五、六、日说真话,在星期一、二、三说假话;女人在星期一、二、三、日说真话,在星期四、五、六说假话.有一天,一个人到说谎国去旅游,他在那里认识了一男一女.男人说:“昨天我说的是假话”,女人说:“昨天也是我说假话的日子”.这下,那个外来的游人可发愁了,到底今天星期几呢?请同学们根据他们说的话,判断一下今天是星期几呢?12. (5分)在一次数学竞赛中,,,,,五位同学分别得了前五名(没有并列同一名次的),关于各人的名次大家作出了下面的猜测:说:“第二名是,第三名是.” 说:“第二名是,第四名是.” 说:“第一名是,第五名是.” 说:“第三名是,第四名是.” 说:“第二名是,第五名是.”结果每人都只猜对了一半,他们的名次如何?13. (5分)将100颗绿豆和100颗黄豆混在一起又一分为二,需要几次才能使A堆中黄豆和B堆中的绿豆相等呢?14. (5分)(2011·广州模拟) 甲、乙、丙、丁四个人比赛乒乓球,每两人要赛一场,结果甲胜了丁,并且甲、乙、丙三人胜的场数相同,问丁胜了几场?15. (5分)三个孩子吃三个饼要用3分钟,九十个孩子九十个饼要用多少时间?16. (5分)由,,三个班中各出3名学生比赛长跑.规定第一名得9分,第二名得8分,第三名得7分,……,第八名得2分,第九名得1分.比赛结果是三个班总分相等,而且九名学生没有名次并列的,也没有同一个班的学生获得相连名次的.如果第一名是班的,第二名是班的.那么最后一名是哪个班的?17. (5分)红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗,分别用纸包着,在桌子上排成一行,有、、、、五个人,猜各包珠子的颜色,每人只猜两包.猜:第二包是紫的,第三包是黄的;猜:第二包是蓝的,第四包是红的;猜:第一包是红的,第五包是白的;猜:第三包是蓝的,第四包是白的;猜:第二包是黄的,第五包是紫的.猜完后,打开各纸包一看发现每人都只猜对了一包,并且每包只有一人猜对.请你判断他们各猜对了其中的哪一包?18. (5分)在神话王国内,居民不是骑士就是骗子,骑士不说谎,骗子永远说谎,有一天国王遇到该国的居民小白、小黑、小蓝,小白说:“小蓝是骑士,小黑是骗子.”,小蓝说:“小白和我不同,一个是骑士,一个是骗子.”国王很快判断出谁是骑士,谁是骗子.你能判断出吗?19. (5分)学校组织了足球、书法和舞蹈兴趣小组。
淘气、笑笑和晶晶根据自己的兴趣,分别参加了其中一个兴趣小组。
笑笑不喜欢踢足球,晶晶不是舞蹈兴趣小组的,淘气喜欢书法。
他们分别参加了哪个兴趣小组?20. (5分)从A,B,C,D,E,F六种产品中挑选出部分产品去参加博览会。
根据挑选规则,参展产品满足下列要求:(1)A,B两种产品中至少选一种;(2)A,D两种产品不能同时入选;(3)A,E,F三种产品中要选两种;(4)B,C两种产品都入选或都不能入选;(5)C,D两种产品中选一种;(6)若D种产品不入选,则E种也不能入选。
问:哪几种产品被选中参展?二、染色与赋值问题 (共13题;共70分)21. (5分)四名同学参加区里围棋比赛,每两名选手都要比赛一局,规则规定胜一局得分,平一局得分,负一局得分.如果每个人最后得的总分都不相同,且第一名不是全胜,那么最多有几局平局?22. (5分)小刚、小丁、小佳在小制作组、绘画组、书法组活动,根据下面的条件,你能判断出他们分别在什么组活动吗?小刚不在绘画组,也不在书法组;小丁不在小制作组;小佳不在绘画组。
23. (5分)学校开设了美术、音乐和体育三门课,王、李、张老师分别教其中一门课。
王老师不是美术老师,李老师从不在操场上课,张老师上课要有钢琴。
这三位老师分别教哪一门课?24. (5分)小白买了一盒蛟香,平均一卷蛟香可点燃半个小时。
若他想以此测量45分钟时间,他该如何计算?25. (5分) 5只鸡,5天生了5个蛋。
100天内要100个蛋,需要多少只鸡?26. (5分)李波、顾锋、刘英三位老师共同担负六年级某班的语文、数学、政治、体育、音乐和图画六门课的教学,每人教两门.现知道:⑴顾锋最年轻;⑵李波喜欢与体育老师、数学老师交谈;⑶体育老师和图画老师都比政治老师年龄大;⑷顾锋、音乐老师、语文老师经常一起去游泳;⑸刘英与语文老师是邻居.问:各人分别教哪两门课程?27. (5分)五封信,信封完全相同,里面分别夹着红、蓝、黄、白、紫五种颜色的卡片.现在把它们按顺序排成一行,让、、、、五人猜每只信封内所装卡片的颜色.猜:第2封内是紫色,第3封是黄色;猜:第2封内是蓝色,第4封是红色;猜:第1封内是红色,第5封是白色;猜:第3封内是蓝色,第4封是白色;猜:第2封内是黄色,第5封是紫色.然后,拆开信封一看,每人都猜对一种颜色,而且每封都有一人猜中.请你根据这些条件,再猜猜,每封信中夹什么颜色的卡片?28. (5分)在下面的方格中,每行、每列都有努、力、学、习这四个字,并且每个字在每行、每列都只出现一次,请你把空白部分补充完整,力习努学29. (5分)八一队、北京队、江苏队、山东队、广东队五队进行象棋友谊赛,每两个队都要赛一场,一个月过后,八一队赛了场,北京队赛了场,江苏队赛了场,山东队赛了场.那么广东队赛了几场?30. (10分)有6个小朋友,要互相通一次电话,他们一共要通多少个电话?31. (5分)四个小朋友宝宝、星星、强强和乐乐在院子里踢足球,一阵响声,惊动了正在读书的陆老师,陆老师跑出来查看,发现一块窗户玻璃被打破了。
陆老师问:“是谁打破了玻璃?”宝宝说:“是星星无意打破的。
”星星说:“是乐乐打破的。
”乐乐说:“星星说谎。
”强强说:“反正不是我打破的。
”如果只有一个孩子说了实话,那么这个孩子是谁?是谁打破了玻璃?32. (5分)东东、西西、北北三人进行乒乓球单循环赛,结果人获胜的场数各不相同.问第一名胜了几场?33. (5分)、、、、五人参加乒乓球比赛,每两个人都要赛一盘,并且只赛一盘,规定胜者得分,负者不得分,已知比赛结果如下:① 与并列第一名② 是第三名③ 和并列第四名。
求得多少分?参考答案一、最佳安排和选择方案 (共20题;共103分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、8-2、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、二、染色与赋值问题 (共13题;共70分)21-1、22-1、23-1、24-1、25-1、26-1、27-1、28-1、29-1、30-1、31-1、32-1、33-1、。