初中数学竞赛辅导资料(12)

合集下载

初中数学竞赛试题及答案汇编(K12教育文档)

初中数学竞赛试题及答案汇编(K12教育文档)

初中数学竞赛试题及答案汇编(word版可编辑修改)编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(初中数学竞赛试题及答案汇编(word版可编辑修改))的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。

本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为初中数学竞赛试题及答案汇编(word版可编辑修改)的全部内容。

全国初中数学竞赛初赛试题汇编(1998-2018)目录1998年全国初中数学竞赛试卷 (1)1999年全国初中数学竞赛试卷 (6)2000年全国初中数学竞赛试题解答 (9)2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷 (14)2002年全国初中数学竞赛试题 (15)2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题 (17)2004年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题 (25)2005年全国初中数学竞赛试卷 (30)2006年全国初中数学竞赛试题 (32)2007年全国初中数学竞赛试题 (38)2008年全国初中数学竞赛试题 (46)2009年全国初中数学竞赛试题 (47)2010年全国初中数学竞赛试题 (52)2011年全国初中数学竞赛试题 (57)2012年全国初中数学竞赛试题 (60)2014年全国初中数学竞赛预赛 (77)2015年全国初中数学竞赛预赛 (85)2016年全国初中数学联合竞赛试题 (94)2017年全国初中数学联赛初赛试卷 (103)2018 年初中数学联赛试题 (105)1998年全国初中数学竞赛试卷一、选择题:(每小题6分,共30分)1、已知a 、b 、c 都是实数,并且c b a >>,那么下列式子中正确的是( ) (A)bc ab >(B)c b b a +>+(C)c b b a ->-(D)cbc a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1,那么p 的值为( ) (A)2(B)4(C)3(D)53、在△ABC 中,已知BD 和CE 分别是两边上的中线,并且BD ⊥CE,BD=4,CE=6,那么△ABC 的面积等于( )(A)12(B)14(C)16(D)18 4、已知0≠abc ,并且p bac a c b c b a =+=+=+,那么直线p px y +=一定通过第( )象限 (A)一、二(B)二、三(C)三、四(D)一、四5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1,2,3,那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对(a 、b )共有( )(A)17个(B)64个(C)72个(D)81个二、填空题:(每小题6分,共30分)6、在矩形ABCD 中,已知两邻边AD=12,AB=5,P 是AD 边上任意一点,PE ⊥BD ,PF ⊥AC ,E 、F 分别是垂足,那么PE+PF=___________。

初中数学竞赛辅导

初中数学竞赛辅导

初中数学竞赛辅导资料3质数 合数甲内容提要1 正整数的一种分类: 质数的定义:如果一个大于1的正整数,只能被1和它本身整除,那么这个正整数叫做质数质数也称素数.合数的定义:一个正整数除了能被1和本身整除外,还能被其他的正整数整除,这样的正整数叫做合数.2 根椐质数定义可知① 质数只有1和本身两个正约数,② 质数中只有一个偶数2如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2,如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2,3任何合数都可以分解为几个质数的积.能写成几个质数的积的正整数就是合数.乙例题例1两个质数的和等于奇数a a ≥5.求这两个数解:∵两个质数的和等于奇数∴必有一个是2所求的两个质数是2和a -2.例2己知两个整数的积等于质数m, 求这两个数解:∵质数m 只含两个正约数1和m,又∵-1-m=m∴所求的两个整数是1和m 或者-1和-m.例3己知三个质数a,b,c 它们的积等于30求适合条件的a,b,c 的值解:分解质因数:30=2×3×5适合条件的值共有: ⎪⎩⎪⎨⎧===532c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===352c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===523c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===253c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===325c b a ⎪⎩⎪⎨⎧===235c b a 应注意上述六组值的书写排列顺序,本题如果改为4个质数a,b,c,d 它们的积等于210,即abcd=2×3×5×7那么适合条件的a,b,c,d 值共有24组,试把它写出来.例4试写出4个连续正整数,使它们个个都是合数.解:本题答案不是唯一的设N 是不大于5的所有质数的积,即N =2×3×5那么N +2,N +3,N +4,N +5就是适合条件的四个合数即32,33,34,35就是所求的一组数.本题可推广到n 个.令N 等于不大于n+1的所有质数的积,那么N +2, N +3,N +4,……N +n+1就是所求的合数.丙练习31, 小于100的质数共___个,它们是__________________________________ 2, 己知质数P 与奇数Q 的和是11,则P =__,Q =__3, 己知两个素数的差是41,那么它们分别是_____4, 如果两个自然数的积等于19,那么这两个数是___如果两个整数的积等于73,那么它们是____如果两个质数的积等于15,则它们是_____5, 两个质数x 和y,己知 xy=91,那么x=__,y=__,或x=__,y=__. 6, 三个质数a,b,c 它们的积等于1990.那么 ⎪⎩⎪⎨⎧===c b a7, 能整除311+513的最小质数是__8,己知两个质数A 和B 适合等式A +B =99,AB =M.求M 及B A +AB 的值 9,试写出6个连续正整数,使它们个个都是合数.10,具备什么条件的最简正分数可化为有限小数11,求适合下列三个条件的最小整数:① 大于1 ②没有小于10的质因数 ③不是质数12,某质数加上6或减去6都仍是质数,且这三个质数均在30到50之间,那么这个质数是___13,一个质数加上10或减去14都仍是质数,这个质数是__.。

初中数学竞赛——余数定理和综合除法

初中数学竞赛——余数定理和综合除法

第1讲 余数定理和综合除法知识总结归纳一.除法定理:()f x 和()g x 是两个一元多项式,且()0g x ≠,则恰好有两个多项式()q x 及()r x ,使()()()()f x q x g x r x =⋅+,其中()0r x =,或者()r x 比()g x 次数小。

这里()f x 称为被除式,()g x 称为除式,()q x 称为商式,()r x 称为余式.二.余数定理:对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++,用一元多项式x c -去除()f x ,那么余式是一个数。

设这时商为多项式()g x ,则有()()()()f x x c g x f c =-+也就是说,x c -去除()f x 时,所得的余数是()f c .三.试根法的依据(因式定理):如果()0f c =,那么x c -是()f x 的一个因式.反过来,如果x c -是()f x 的一个因式,那么()0f c =。

四.试根法的应用:假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式,又设有理数p c q =是()f x 的根(p q 、是互质的两个整数),则p 是常数项0a 的因数,q 是首项系数n a 的因数.特别的,如果1n a =,即()f x 是首1多项式,这个时候1q =,有理根都是整数根。

典型例题一. 多项式的除法【例1】 已知32()4523f x x x x =+--,2()21g x x x =++,试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例2】 已知5432()342352818f x x x x x x =----+,32()213g x x x x =-+-,试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .【例3】 已知432()571023f x x x x x =-+--,2()1g x x =-,试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式()R x .二. 综合除法【例4】 用综合除法计算:432(531)(1)x x x x x -----÷+.【例5】 用综合除法求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余数R .(1)2()253f x x x =--,()3g x x =-;(2)32()321f x x x =-+,1()3g x x =+.【例6】 用综合除法计算:432(6534)(21)x x x x x ---+÷+.【例7】 先用综合除法求出()f x 除以()g x 所得的商式和余式,不再作除法,写出()f x 除以()h x 的商式和余式.32()243f x x x x =-+-,()3g x x =-.(1)()2(3)h x x =-;(2)1()(3)2h x x =-.三. 余数定理和多项式理论【例8】 43()241f x x x x =+++,()2g x x =+,求余数R 的值.【例9】 32()23814f x x x x =-+-除以23x -的余数R 是多少?【例10】 (1)求1x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数;(2)求22x -除542()7465f x x x x =--+所得的余数.【例11】 多项式324715ax bx x +--可以被31x +和23x -整除,求a ,b .【例12】 试确定a 、b 的值,使多项式432()235f x x x ax x b =-+++被(1)(2)x x --整除.【例13】 已知432()22f x x ax x bx =+++-能被22x x --整除,求a b -的值.【例14】 证明:当a ,b 是不相等的常数时,若关于x 的整式()f x 能被x a -,x b -整除,则()f x 也能被积()()x a x b --整除.【例15】 多项式()f x 除以1x -、2x -所得的余数分别为3和5,求()f x 除以(1)(2)x x --所得的余式.【例16】 已知关于若x 的三次多项式()f x 除以21x -时,余式是21x -;除以24x -时,余式是34x --.求这个三次多项式.【例17】 已知关于x 的三次多项式()f x 除以21x -时,余式是25x -;除以24x -时,余式是34x -+,求这个三项式.【例18】 已知32()232f x x x x =+++除以整数系数多项式()g x 所得的商式及余式均为()h x ,试求()g x 和()h x ,其中()h x 不是常数.【例19】 已知323x kx ++除以3x +,其余数比1x +除所得的余数少2,求k 的值.【例20】 若多项式432x x ax bx c -+++能被3(1)x -整除,求a ,b ,c 的值.【例21】 如果当x 取0,1,2时,多项式分别取值0,0,1,试确定一个二次多项式()f x .四. 因式分解(试根法)【例22】 分解因式:354x x -+.【例23】 分解因式:326116x x x +++.【例24】 分解因式:4322928x x x x +--+.【例25】 分解因式:43293732x x x x -+--.【例26】 分解因式:65432234321x x x x x x ++++++【例27】 分解因式:322392624x x y xy y -+-【例28】 分解因式:32511133x x x ---【例29】 分解因式:32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-【例30】 分解因式:32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-【例31】 分解因式:32()(32)(23)2()l m x l m n x l m n x m n +++-+---+思维飞跃【例32】 若2310x x +-=,求325518x x x +++的值.【例33】 若2()f x x mx n =++(m n 、都是整数)既是多项式42625x x ++的因子,又是多项式4234285x x x +++的因子,求()f x .【例34】 求证:若a b ≠,则多项式()f x 除以()()x a x b --所得的余式是()(()(f a f b af b bf a x a b a b--+--)).【例35】 ()f x 除以1x -,2x -,3x -多得的余数分别为1,2,3,求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---多得的余式.【例36】 求证:99998888777722221111()1f x x x x x x =++++++能被9872()1g x x x x x x =++++++整除.作业1. 分解因式:(1)3246a a a -++.(2)43233116a a a a +---.(3)4322347136x x y x y xy y --+-.2. 若32()23f x x x ax b =-++除以1x +所得的余数为7,除以1x -所得的余数为5,试求a b 、的值.3. 多项式()f x 除以1x -、2x -和3x -所得的余数分别为1、2、3,试求()f x 除以(1)(2)(3)x x x ---所得的余式.4. 若554x qx r -+能被22)x -(整除,求q 与r 的值.5. 分解因式:3245x x +-.6. 分解因式:4322344x x x x +--+.7. 分解因式:4322744x x x x +++-.8. 分解因式:5432271214103x x x x x +++++.9. 分解因式:33(2)(2)x y x y x y ---.10. 分解因式:32236532x x y xy y --+.11. 分解因式:3284()2()x a b c x ab bc ca x abc +++++++.12. 分解因式:32(1)(3)(2)a x ax a x a ----+-.13. 已知多项式543()3811f x x x x x k =++++能被2x +整除,求k 的值.14. 求证:a b -,b c -,c a -都是222()()()a b c b c a c a b -+-+-的因式,并分解因式.15. 一个整系数3次多项式()f x ,有三个不同的整数123,,a a a ,使123()()()1f a f a f a ===.又设b 为不同于123a a a ,,的任意整数,试证明:()1f b ≠.16. 已知a 、b 、c 、d 是正整数,则4414243a b c d x x x x ++++++能被321x x x +++整除.。

初中数学竞赛辅导资料

初中数学竞赛辅导资料

第一篇 一元一次方程的讨论第一部分 基本方法1. 方程的解的定义:能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

一元方程的解也叫做根。

例如:方程 2x +6=0, x (x -1)=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是: x =-3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数,无解。

2. 关于x 的一元一次方程的解(根)的情况:化为最简方程ax =b 后, 讨论它的解:当a ≠0时,有唯一的解 x =ab; 当a =0且b ≠0时,无解;当a =0且b =0时,有无数多解。

(∵不论x 取什么值,0x =0都成立) 3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a |b 时,方程有整数解;当a |b ,且a 、b 同号时,方程有正整数解; 当a 、b 同号时,方程的解是正数。

综上所述,讨论一元一次方程的解,一般应先化为最简方程ax =b 第二部分 典例精析例1 a 取什么值时,方程a (a -2)x =4(a -2) ①有唯一的解?②无解? ③有无数多解?④是正数解?例2 k取什么整数值时,方程①k(x+1)=k-2(x-2)的解是整数?②(1-x)k=6的解是负整数?例3己知方程a(x-2)=b(x+1)-2a无解.问a和b应满足什么关系?例4a、b取什么值时,方程(3x-2)a+(2x-3)b=8x-7有无数多解?第三部分典题精练1。

根据方程的解的定义,写出下列方程的解:① (x +1)=0, ②x 2=9, ③|x |=9, ④|x |=-3, ⑤3x +1=3x -1, ⑥x +2=2+x2。

关于x 的方程ax =x +2无解,那么a __________ 3. 在方程a (a -3)x =a 中,当a 取值为____时,有唯一的解; 当a ___时无解; 当a _____时,有无数多解; 当a ____时,解是负数。

4. k 取什么整数值时,下列等式中的x 是整数?① x =k4②x =16-k ③x =k k 32+ ④x =123+-k k5. k 取什么值时,方程x -k =6x 的解是 ①正数? ②是非负数?6. m 取什么值时,方程3(m +x )=2m -1的解 ①是零? ②是正数?7. 己知方程221463+=+-a x 的根是正数,那么a 、b 应满足什么关系?8. m 取什么整数值时,方程m m x 321)13(-=-的解是整数?9. 己知方程ax x b 231)1(2=++有无数多解,求a 、b 的值。

初中数学竞赛辅导资料.doc

初中数学竞赛辅导资料.doc

初中数学竞赛辅导资料初中数学竞赛辅导资料初一上目录1数的整除(一) 2倍数约数 3质数合数4 零的特性5a n的个位数6数学符号 7用字母表示数 8 抽屉原则初一下目录9一元一次方程解的讨论10二元一次方程的整数解11二元一次方程组解的讨论12用交集解题13用枚举法解题14经验归纳法15乘法公式16整数的一种分类初二上目录17 奇数偶数18 式的整除19因式分解20 恒等式证明21 比较大小22 分式23递推公式24 连续正整数25 十进制的记数法26 选择题解法(一)27识图28三角形边角性质初中数学竞赛辅导资料初二下目录29概念的定义30概念的分类31勾股定理32中位线33同一法34 反证法35两种对称36三点共线37不等关系38、垂直平行39线段、角相等40线段、角和差倍分41线段的比、积、幂42形如1/a+1/b=1/c问题的证明43面积法44数的整除(二)初三上目录45一元二次方程46完全平方式(数)47配方法48非负数49对称式50 基本对称式51待定系数52换元法53 条件等式54整数解55未知数多于方程的个数56列表法57逆推法58观察法59“或者”“并且”60解三角形初三下目录61函数的图象62绝对值63动态几何的定值64最大最小值65图象法66辅助圆67参数法证平几68选择题(二)69数的整除(三) 70正整数简单性质的复习美文欣赏1、走过春的田野,趟过夏的激流,来到秋天就是安静祥和的世界。

秋天,虽没有玫瑰的芳香,却有秋菊的淡雅,没有繁花似锦,却有硕果累累。

秋天,没有夏日的激情,却有浪漫的温情,没有春的奔放,却有收获的喜悦。

清风落叶舞秋韵,枝头硕果醉秋容。

秋天是甘美的酒,秋天是壮丽的诗,秋天是动人的歌。

2、人的一生就是一个储蓄的过程,在奋斗的时候储存了希望;在耕耘的时候储存了一粒种子;在旅行的时候储存了风景;在微笑的时候储存了快乐。

聪明的人善于储蓄,在漫长而短暂的人生旅途中,学会储蓄每一个闪光的瞬间,然后用它们酿成一杯美好的回忆,在四季的变幻与交替之间,散发浓香,珍藏一生!3、春天来了,我要把心灵放回萦绕柔肠的远方。

八年级数学培优辅导讲义竞赛训练导学案 分式的运算 分式的化简与求值 含答案解析

八年级数学培优辅导讲义竞赛训练导学案 分式的运算 分式的化简与求值 含答案解析

八年级数学培优辅导讲义竞赛训练导学案分式的化简与求值典例剖析【例l 】 已知2310a a -+=,则代数式361a a +的值为 .(“希望杯”邀请赛试题)解题思路:目前不能求出a 的值,但可以求出13a a+=,需要对所求代数式变形含“1a a +”.【例2】 已知一列数1234567,,,,,,,a a a a a a a 且18a =,75832a =,356124234567a a a a a a a a a a a a =====,则5a 为( ) A .648 B .832 C .1168 D .1944(五城市联赛试题) 解题思路:引入参数k ,把17a a 用k 的代数式表示,这是解决等比问题的基本思路.【例3】 3(0)x y z a a ++=≠.求222()()()()()()()()()x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-. (宣州竞赛试题) 解题思路:观察发现,所求代数式是关于x a y a z a ---、、的代数式,而条件可以拆成x a y a z a ---、、的等式,因此很自然的想到用换元法来简化解题过程.【例4】 已知1,2,3,xy yz zxx y y z z x===+++求x 的值. (上海市竞赛试题)解题思路:注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组,考虑取倒数,将方程组化为简单的形式.【例5】 不等于0的三个正整数,,a b c 满足1111a b c a b c++=++,求证:,,a b c 中至少有两个互为相反数.解题思路:,,a b c 中至少有两个互为相反数,即要证明()()()0a b b c c a +++=.(北京市竞赛试题)【例6】 已知,,a b c 为正整数,满足如下两个条件:①32;a b c ++=②14b c a c a b a b c bc ac ab +-+-+-++= 解题思路:本题熟记勾股定理的公式即可解答.(全国初中数学联赛试题)能力训练1.若a b c d b c d a ===,则a b c d a b c d-+-+-+的值是 .(“希望杯”邀请赛试题)2.已知2131xx x =-+,则24291x x x =-+ . (广东竞赛试题)3.若2221998,1999,2000a x b x c x +=+=++=且24abc =,则111c a b ab bc ac a b c++--- 的值为 .(“缙云杯”竞赛试题)4.已知232325x xy y x xy y +-=--,则11x y -= .5.如果111,1a b b c+=+=,那么1c a +=( ).A .1B .2C .12D .14(“新世纪杯”竞赛试题)6.设有理数,,a b c 都不为0,且0a b c ++=,则222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的 值为( ).A .正数B .负数C .零D .不能确定7.已知4360,270(0)x y z x y z xyz --=+-=≠,则22222223657x y z x y z++++的值为( ). A .0 B .1 C .2 D .不能确定8.已知211xx mx =-+,则36331x x m x -+的值为( ) A .1 B .313m + C .2132m - D .2131m + 9.设0a b c ++=,求222222222a b c a bc b ac c ab+++++的值.10.已知111x y z y z x+=+=+其中,,x y z 互不相等,求证2221x y z =. (天津市竞赛试题)11.设,,a b c 满足1111a b c a b c++=++, 求证2121212121211111n n n n n n a b c a b c ------++=++.(n 为自然数)(波兰竞赛试题)12.三角形三边长分别为,,a b c .(1)若a a b cb c b c a ++=+-,求证:这个三角形是等腰三角形; (2)若1111a b c a b c-+=-+,判断这个三角形的形状并证明.13.已知1ax by cz ===,求444444111111111111a b c x y z+++++++++++的值. (“华杯赛”试题)14.解下列方程(组): (1)18272938x x x x x x x x +++++=+++++; (江苏省竞赛试题)(2)596841922119968x x x x x x x x ----+=+----; (“五羊杯”竞赛试题)(3)111211131114x y z y z x z x y ⎧+=⎪+⎪⎪+=⎨+⎪⎪+=⎪+⎩.(北京市竞赛试题)B 级1.设,,a b c 满足0a b c ++=,0abc >,若a b c x a b c=++, 111111()()()y a b c b c c a a b=+++++,则23x y xy ++= .2.若0abc ≠,且a b b c c a c a b+++==,则()()()a b b c c a abc +++= . 3.设,,a b c 均为非零数,且2(),3(),4()ab a b bc b c ac a c =+=+=+,则a b c ++= .4.已知,,x y z 满足1x y z y z x z y x ++=+++,则222x y z y z x z y x+++++的值为 . 5.设,,a b c 是三个互不相同的正数,已知a c c bb a b a-==+,那么有( ). A .32b c = B .32a b = C .2b c = D .2a b =6.如果0a b c ++=,1114a b c ++=-,那么222111a b c++的值为( ).A .3B .8C .16D .207.已知2519910x x --=,则代数式42(2)(1)1(1)(2)x x x x -+----的值为( ).A .1996B .1997C .1998D .199998.若615325x y x y y x y x -==-,则222245623x xy y x xy y-+-+的值为( ). A .92 B .94C .5D .6 (全国初中数学联赛试题)9.已知非零实数,,a b c 满足0a b c ++=. (1)求证:3333a b c abc ++=; (2)求()()a b b c c a c a bc a b a b b c c a---++++---的值. (北京市竞赛试题)10.已知2410a a ++=,且42321322a ma a ma a++=++.求m 的值. (北京市竞赛试题)11.完成同一件工作,甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的p 倍,乙单独做所需时间为甲、(天津市竞赛试题)12.设222222222,,222b c a a c b b a c A B C bc ac ab+-+-+-===,当3A B C ++=-时,求证:2002200220023A B C ++=.(天津市竞赛试题)13.某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯,以均匀的速度向上行驶,一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯行驶,两人也走梯).如果两人上梯的速度都是匀速的,每次只跨1级,且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍.已知男孩走了27级到达扶梯顶部,而女孩走了18级到达顶部. (1)扶梯露在外面的部分有多少级?(2)现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道,台阶的级数与自动扶梯的级数相等,两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯,到楼梯底部再乘自动扶梯上楼(不考虑扶梯与楼梯间的距离).求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶?(江苏省竞赛试题)专题07 分式的化简求值例1 181提示:3363111aa a a +=+例2 A 提示:7665544332216a a a a a a a a a a a a k •••••==71a a =58328,得k=31±,又25443322151k a a a a a a a a a a =•••= 例3油x+y+z=3a ,得(x-a )+(y-a )+(z-a )=0.设x-a=m ,y-a=n ,z-a=p ,则m+n+p=0,即p=-(m+n ).原式=222p n m pm np mn ++++=()222p n m n m p mn ++++=()()2222n m n m n m mn ++++-=-21 例4 x=512 提示:由已知条件知xy ≠0,yz ≠0,取倒数,得:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++,31,21,1zx x z zx z y xy y x 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+,3111,2111,111x z z y y x ①+②+③,得1211111=++z y x 例5 提示:由已知条件,得()()a bc acb abc bc ac b ab +++++++22=()()[]()c a b a c b a b ++++=()()()0=+++a c c b b a例6 由勾股定理,结论可表示为等式:a=b+c ,①或b=a+c ,②或c=b+a ,③,联立①③,只需证a=16或或b =16或c =16,即(a -16)(b -16)(c -16)=0. ④ 展开只需证明0=abc -16(ab +bc +ac )+162(a +b +c )-163=abc -16(ab +bc +ac )+163 ⑤ 将①平方、移项,有a 2+b 2+c 2=322-2(ab +bc +ca ),⑥ 又将②移项、通分,有 0=14-(++b c a bc ++c a b ac -+a b c ab ++)①② ③=14-(2+ab ac aabc-+2+bc ab babc-+2ac bc cabc+-)=222 8()4()4abc ab bc ac a b cabc-+++++=28()4[322()]4abc ab bc ac ab bc caabc-+++-++把⑥代入等式中,0=3 16()164abc ab bc acabc-+++=23 16()16()164abc ab bc ac a b cabc-+++++-=(16)(16)(16)4a b cabc---当a-16=0时,由①有a=16=b+c为斜边的直角三角形.同理,当b=16或c=16时,分别有b=a+c或c=b+a 个直角三角形.A级1. 0或-22. 15∵231x xx-+=1,∴x+1x=4.又∵42291x xx-+=5,∴24291xx x-+=153. 184.35. A6. C 提示:b 2+c 2-a2=-2bc7.B8. C 提示:取倒数,得x+1x=1+m,原式的倒数=x3+31x-m39. 1 提示:2a2+bc=2a2+b(-a-b)=a2-ab+a2-b2=(a-b)(a+a+b)=(a-b)(a-c)10. 提示:由x+1y=y+1z,得x-y=1z-1y,得zy=y zx y--11. 提示:参见例5得(a+b)(b+c)(a+c)=012. (1)∵()a b cbc+=()b cb c a++-,∴(b+c)(ab+ac-a2-bc)=0.∴(b+c)(a-b)(c-a)=0.∵b+c≠0,∴a=b或c=a.∴这个三角形为等腰三角形.(2)∵1a+1c=1+a b c-+1b,∴a cac+=()a ca b c b+-+∴(a-b+c)=ac,∴(a-b)(b-c)=0, a=b或b=c,∴这个三角形为等腰三角形.13. 3 x=1a,y=1b,c=1z,∴411a++411x+=411a++4111a+=1,∴原式=3.14. (1)x=-11 2(2)x=123 14(3)(x,y,z)=(2310,236,232)提示:原方程组各方程左端通分、方程两边同时取倒数.B级1. 22. -1或8 提示:设a bc+=b ca+=c ab+=k,则k=-1或2 3.1128354. 0 提示:由xy z+=1-yz x+-zx y+,得:14=x-xyz x+-xzx y+5. A6. C7. D 提示:原式=4(2)(2)(1)(2)x x xx x-+---=3(2)1x xx-+-=3261281x x x xx-+-+-=2(1)5(1)8(1)1x x x x xx---+--=x2-5x+88. A 提示:由已知条件得x=3y9. (1)由a +b +c =0,得a +b =-c ∴a 3+b 3+c 3=-3ab (a +b )=3abc(2)∵(a b c -+b c a -+c a b -)·ca b-=1+22c ab , ∴同理:(a b c -+b c a -+c ab -)·a bc -=1+22a bc ,(a b c -+b c a -+c a b -)·bc a -=1+22b ac ,∴左边=3+22c ab +22a bc+22c ab =3+3332()a b c abc ++=910. ∵a 2+4a +1=0,∴a 2+1=-4a ,①a ≠0. 4232122a ma a ma a++++=2222(1)(2)2(1)a m a a a ma ++-++=3.把①代入上式中,222216(2)8a m a a ma +--+=3,消元得1692)8m m+--+=3,解得m =19.11. 设甲、乙、丙三人单独完成此项工作分别用a 天、b 天、c 天,则,,bc a p b c ac b q a c ab c x a b ⎧=⋅⎪+⎪⎪=⋅⎨+⎪⎪=⋅⎪+⎩即111,111,111p a b c q b a c x c a b ⋅=+⋅=+⋅=+解得x =14. 12. 由A +B +C =-3得(2222b c a bc+-+1)+222222(1)(1)0.22c a b a b c ac ab +-+-+++=即222222()()()0222b c a c a b a b c bc ac ab+-+-+-++=分解因式,得(b +c -a )(a +b -c )(a -b +c )=0b +c -a , a +b -c ,a -b +c 中至少有一个为0,不妨设b +c -a =0,代入式中, A 2002+B 2002+C 2002=(-1)2002+12002+12002=3.13.(1)设女孩速度x 级/分,电梯速度y 级/分,男孩速度2x 级/分,楼梯S 级,则27271818.S x y S xy -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,得13.5271818S S -=-,327418S S -=-,∴S =54. (2)设男孩第一次追上女孩时走过扶梯m 编,走过楼梯n 编,则女孩走过扶梯(m -1)编,走过楼梯(n -1)编,男孩上扶梯4x 级/分,女孩上扶梯3x 级/分.545454(1)54(n 1)423m m m x x x x --+=+,即114231m n m n --+=+,得6n +m =16,m ,n 中必有一个是正整数,且0≤︱m -n ︱≤1.①16m n -=,m 分别取值,则有②m =16-6n ,分别取值,则有 显然,只有m =3,n =126满足条件,故男孩所走的数=3×27+126×54=198级. ∴男孩第一次追上女孩时走了198级台阶.。

初中数学竞赛辅导资料

初中数学竞赛辅导资料

初中数学竞赛辅导资料倍数约数甲内容提要1两个整数A和B(B≠0),如果B能整除A(记作B|A),那么A 叫做B的倍数,B叫做A的约数。

例如3|15,15是3的倍数,3是15的约数。

2因为0除以非0的任何数都得0,所以0被非0整数整除。

0是任何非0整数的倍数,非0整数都是0的约数。

如0是7的倍数,7是0的约数。

3整数A(A≠0)的倍数有无数多个,并且以互为相反数成对出现,0,±A,±2A,……都是A的倍数,例如5的倍数有±5,±10,……。

4整数A(A≠0)的约数是有限个的,并且也是以互为相反数成对出现的,其中必包括±1和±A。

例如6的约数是±1,±2,±3,±6。

5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数,几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。

6公约数只有1的两个正整数叫做互质数(例如15与28互质)。

7在有余数的除法中,被除数=除数×商数+余数若用字母表示可记作:A=BQ+R,当A,B,Q,R都是整数且B≠0时,A-R能被B整除例如23=3×7+2则23-2能被3整除。

乙例题例1写出下列各正整数的正约数,并统计其个数,从中总结出规律加以应用:2,22,23,24,3,32,33,34,2×3,22×3,22×32。

解:列表如下正整数正约数个数计正整数正约数个数计正整数正约数个数计21,2231,322×31,2,3,64221,2,43321,3,32322×31,2,3,4,6,126231,2,4,84331,3,32,33422×321,2,3,4,6,9,12,18,369241,2,4,8,165341,3,32,33,345其规律是:设A=a m b n(a,b是质数,m,n是正整数)那么合数A的正约数的个是(m+1)(n+1)例如求360的正约数的个数解:分解质因数:360=23×32×5,360的正约数的个数是(3+1)×(2+1)×(1+1)=24(个)例2用分解质因数的方法求24,90最大公约数和最小公倍数解:∵24=23×3,90=2×32×5∴最大公约数是2×3,记作(24,90)=6最小公倍数是23×32×5=360,记作[24,90]=360例3己知32,44除以正整数N有相同的余数2,求N解:∵32-2,44-2都能被N整除,∴N是30,42的公约数∵(30,42)=6,而6的正约数有1,2,3,6经检验1和2不合题意,∴N=6,3例4一个数被10余9,被9除余8,被8除余7,求适合条件的最小正整数分析:依题意如果所求的数加上1,则能同时被10,9,8整除,所以所求的数是10,9,8的最小公倍数减去1。

初中数学竞赛辅导资料(七年级上)

初中数学竞赛辅导资料(七年级上)

数的整除(一)内容提要:如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。

如 1001 100-2=98(能被7整除) 又如7007 700-14=686, 68-12=56(能被7整除) 能被11整除的数的特征:①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如 1001 100-1=99(能11整除) 又如10285 1028-5=1023 102-3=99(能11整除) 例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。

求x,y解:x,y 都是0到9的整数,∵75y 能被9整除,∴y=6. ∵328+92x =567,∴x=3例2己知五位数x 1234能被12整除, 求X解:∵五位数能被12整除,必然同时能被3和4整除,当1+2+3+4+X 能被3整除时,x=2,5,8 当末两位X 4能被4整除时,X =0,4,8 ∴X =8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数 解:五位数字都不相同的最小五位数是10234,但(1+2+4)-(0+3)=4,不能被11整除,只调整末位数仍不行调整末两位数为30,41,52,63,均可, ∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。

练习1.分解质因数:(写成质因数为底的幂的連乘积)①593 ② 1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296 2.若四位数a 987能被3整除,那么 a=_______________ 3.若五位数3412X 能被11整除,那么 X =__________- 4.当 m=_________时,535m 能被25整除5.当 n=__________时,n 9610能被7整除 6.能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7.能被4整除的最大四位数是____________,能被8整除的最小四位数是_________8.8个数:①125,②756,③1011,④2457,⑤7855,⑥8104,⑦9152,⑧70972中,能被下列各数整除的有(填上编号):6________,8__________,9_________,11__________9. 从1到100这100个自然数中,能同时被2和3整除的共_____个, 能被3整除但不是5的倍数的共______个。

九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十二讲关于圆的基本知识(含答案)

九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十二讲关于圆的基本知识(含答案)

第十二讲关于圆的基本知识趣题引路】20世纪40年代美国数学家冯•诺伊曼等人编写了一本研究取胜对策的书.在这本书中有一个有趣的问题: 一只鼠在圆形的湖边碰上了猫,鼠连忙纵身跳到水里,猫不会游水,于是紧紧地盯住鼠,在湖边跟着鼠跑动,打算在鼠爬上岸时抓住它•已知猫奔跑的速度是鼠游水速度的2. 5倍.聪明的读者,你知道鼠怎样才能逃脱猫的追捕?解析如图12-1,鼠在点A碰上了猫,若鼠跳到湖里后径宜游到对岸点C;则猫从A到C要跑半个圆周,由于半圆长是直径的-^1.58(倍)<2.5(倍),因此猫还是能抓住鼠,所以,鼠若要逃脱猫的追捕,就必须(原文是经字,好像不通)利用猫环湖跑动这一特点,跳下水以后先游到圆心O,看准猫当时所在的位垃如立刻转身朝着B对岸的点£>游去,这时鼠要游的距离是半径OD,猫要跑的距离是半圆BCD,也就是OD的兀倍,兀〜3. 14>2.5,所以当猫到点D时,鼠已经逃之夭夭了.图12-1知识延伸】圆是初中数学中重要的内容,圆的基本性质虽然比较简单但具有较强的适用性•确定圆的条件就是通过三个点找到圆心和半径,然后画图.弧、弦和直径的关系(垂径左理)是研究有关圆的知识的基础,垂径左理指的是:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧,立理的题设和结论共涉及5条:(1)过圆心;(2)垂直弦:(3)平分弦:(4)平分劣弧:(5)平分优弧.在这5条中只要2条成立,那么剩下3条也是成立的.这样理解和记忆垂径左理即揭示了定理中的条件和结论的内在联系.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,它具有旋转对称性,这是圆的最基本最重要的性质,是证明其他定理的工具.例两人轮流在一个圆桌上放同样大小的硬币.每人每次只能放一枚,且任何两枚硬币不能有重叠部分,谁先放完最后一枚使得对方再也找不到空地可以放下一枚硬币时,谁就获胜•问谁一左能获胜?他要想获胜,必须采取怎样的策略?解析先放的那个人一左能获胜,他首先在圆心放一枚硬币,然后不论对方怎样放一枚硬币,他都在对方放硬币的位宜关于圆心对称的位巻上再放一枚硬币,由于圆是关于圆心对称的图形,故只要对方有放硬币的地方,他就有放硬币的地方,可见最后胜利一左属于先放硬币的人.(下页提上来的,保持语段的完整性)点评几何中,(X,刃一(一X,—刃是以原点为对称中心的映射,这种映射叫做对称变换•圆是中心对称图形,先耙硬币放在圆桌的正中央,以后不管对方放在哪里,他下一步都把硬币放在对方硬币关于中心对称的地方,先放硬币的肯左获胜.例2 如图12-2, AABC中,周长AB+BC+AC=2・求证:ZEC —定能被一个直径为1的圆盖住.证明设A、D两点将zMBC周长分成相等的两部分,即AB+BD=AC+CD=\.似钢笔改动的录入)以AD的中点0为圆心,丄为半径画圆,它一立能盖住△ABC.这是因为在三角形中.一边上的中线小于2另两边和的一半,即OB<1(AB+BD)=1, OC<1(AC+CD)=1 ,2 2 2 2・・・B、C两点均在圆O内.而A2XAB+BD=1・:.OA<L,点 A 在<90 内,2即OO盖住了/XABC.点评这一问题典型地反映了覆盖问题的证明思路,第一部分是设计,第二部分是运用了一个熟知的结论证明(即三角形一边上的中线小于另两边和的一半).从表面上看,是先设汁后证明,苴实,只有证明在胸, 才能得出设计.例3在美国的亚利桑那州,有一个巨大的右坑,它的直径1280m,深180m,据说它是在数千年以前, 一个巨大的陨石落到地上砸出来的•请你估算一下,这个巨大的陨石直径有多大?因此,(OC-DC)2+DB2=OB2.即(片180)2+(竺)2=妙2X2-360X+18024-6402=JI2,解得x= 1228m.这个巨大的陨石直径为2456m.点评有关弦、弦心距、半径、弓高的计算或涉及到弦、弦的中点的问题,通常是构造直角三角形或运用垂径立理.好题妙解】佳题新题品味例1已知如图12-4, AB为00的弦,OC丄于C,问O C+AC何时取最大值?S12-4解析连04、0B,过A作AD丄OB于D,设0A = OB=R, ZAOB=a,则AD=0A• sin a=R• sin a.S DAOB=—AD • OB2= -R• Rsin a= 1 /?2sin a,2 2(OC+ACgOG+AU+LAO OC=OA2^2S AAOH=/?2+/?2sin a.当“=90°时,sin 有最大值1,即(OC+AC)有最大值2疋,因而,当ZAOB=90° , OC+AC取得最大值R.点评一般地,最大、最小值常在某个特殊点取得,经试验后猜测,点A运动到和圆心的连线垂直于OB 时,OC+AC取得最大值.例2 一条60m宽的河上架有一座半径为55m的圆弧形拱桥,请问一顶部宽12m且高出水而8m的船能否通过此桥,请说明理由.E@12-5解析假左该船恰能通过桥时,桥的半径为/?,如图12-5, 表示水而宽,EF为船宽,MP为船顶到水面AB的距离,设O P=x(O为圆心),依题意得,在RtZkOBP中,R2=302+F,①在RtAOEM中,用=(8+X)2+62,②①、②求得 /?= 10^34 >55,即船恰能通过时,桥的半径为10炉m,但现在桥的半径为55m,所以该船不能通过此桥.点评可先假定该船恰能通过桥,则12m宽的船顶为圆弧形拱桥的一弦,作出垂径和一条过该弦端点的半径,运用垂径左理及勾股立理求出这条半径/?,就能解决此问题.中考真题欣赏例1 (重庆市中考题)如图12-6, AM是00的直径,过00上一点B作BN丄AM,垂足为N,其延长线交OO于点C,弦CD交AM于点E(1)如果CD丄/W,求证:EN=NW(2)如果弦CD交AB于点F,且CD=AB,求证:C&=EF・ED;(3)如果弦CD、AB的延长线(根据网上2002年重庆中考数学试题添加,后而的解答也是这个意思)交于点F,且CD=AB.那么(2)的结论是否仍成立?若成立,请证明:若不成立,请说明理由.图12』证明(1)连结BW 9:AM是直径,•••ZABM=90°・•: CD丄AB, :.BM〃CD A ZECN=ZMBN.9:AM丄BC,:・CN=BN.ARtACE/V^RtABM/V,:・EN=NM・(2)连结BD, BE、AC.•••点E是BC垂直平分线AM上一点,:.BE=EC.I CD=AB9 :. CD =AB , :. AD =BC , ••• ZACD=ZBDC.9:AB=AC, AE=AE. :.AABE^AACE,:・ZABE=ZACD=ZBDC, ZBED是公共角,•••△BEDs△FEB,—EF BE:.BE2=EF • ED. :.CE2=EF • ED.(3)结论成立证明如图12-7仿⑵可证ZBEQ'ACE、:・BE=CE, ZABE= ZACE.•••AB=CD, :. ZACB=ZDBC:.BD//AC. ZBDE+ZACE=180°=ZFBE+ZABE,:・ZBDE=ZFBE, ZBED是公共角,•••△BEDs&EB, A—=—EF EB:.BE^EF • ED、:.CE2=EF • ED.点评本题利用直径AM垂直BC和弦CD=AB这两个条件,得到弧相等,角相等,再利用三角形全等, 相似来解决问题.例2 (黄冈市中考题)已知,如图12-8, C为半圆上一点,AC =CE ,过点C作直径AB的垂线QP, P为垂足,弦AE分别交PC, CB于点D, F.(1)求证:AD=CD;气2(2)若DF=二,tanZ£C5=- > 求的长.4 4cE@12-7证明(1)连结人(7, V AC =CE , :.ZCEA = ZCAE.9:ZCEA=ZCBA, •••ZCBA=ZCAE・VAB是直径,A ZACB=90°・•:CP丄AB, :.ZCBA=ZACP・:.ZCAE= ZACP,:・AD=CD・⑵解析:ZACB=90° , ZCAE=ZACP.:.ZDCF=ZCFD. :・AD=CD=DF=-・4••• ZECB= ZDAP. tanZEC5=-,4DP 3A tan ZDAP=一 =-PA 49:OP2+PA2=DA2, :.DP= - , PA=1, CP=2・4A ZAC5=90° , CP丄AB.:.'APCs'CPB, , APB=4.PC PB点评(1)利用AC =CE ,把圆周角,互余的角联系起来,从而解决问题.⑵利用RtAACF和ZACP=ZCAD这两个条件得到CD=DF,再转化ZECB为ZDAP,问题便迎刃而解.竞赛样题展示例(2000年“鲁中杯”绍兴四市、县初中数学联赛试题)已知如图12-9,在以O为圆心的圆中,弦CD 垂直于直径AB,垂足为H,弦BE与半径OC相交于点F,且OF=FC,弦DE与弦AC相交于点G.(1)求证:AG=GCx⑵若AG=* , AH:AB=\:3,求△CDG的面积与△BOF的而积.证明(1)连结AD. 9:AB是直径,AB丄CD••• BC =BD , ••• ZCAB=ZDAB. :. ZDAG=2ZCAB.V ZBOF= ZCAB+ZOCA,又9: ZCAB=ZOCA,:.ZB0F=2ZCAB, :. ZBOF= ZDAG.•••ZOBF=ZADG,:仏OBFs厶DAG,故竺=21r)A |•:0B=0C=20F, 9:AC=2AG,即AG=GC.(2)解析连结BC, A ZBCA=90° ,又••'CH丄AB, :.A^AH - AB・• •AH—— X AB= — X 6=2・3 3CH=J AC—AH丄=J(2®-22 = 2迈.:.S^ACD =丄CD • AH= - X4x/2 X2= 4迈.・・・AG=CG,:皿心沁=尹心= 由•: HBOF S HDAG点评由垂径左理处BC =BD ,从而得到孤所对的圆周角相等,将已始与未知之间的关系联系起来,再通过三角形相似、射影定理等解决问题.OF AGAG 2團12-9过关检测】4级1 •如图12-10, 00的直径AB 和弦CD 相交于点& 已知AE=\ cm. EB=5 cm, ZDEB=60c,,求仞 的长. 2•如图12-11,公园里大观览车半径为25m,已知观览车绕圆心O 顺时针匀速转动,旋转一周用12mim 某人从观览车的最低处(地面A 处)乘车,问经过4min 后,此人距地而CD 的髙度是多少米?(观览车最低 处距地而的髙度忽略不讣)4•已知AB 是00的直径,M 是OA 上的点,弦P0经过点M,且PM=M0•求证:3AP =B ().3•如图12-12, AB 是OO 的直径,P 是OA 上一点,C 是00上一点,求证:D@12-115.如图12-13, 一根木棒(AB )长为么“斜靠在与地而(0M)垂直的墙壁(ON)上,与地而的倾角为60° , 若木棒A端沿NO下滑,B端沿OM向右滑行,于是木棒的中点P也随之运动.已知A端下滑到A'时,Af =(筋-血)心则中点P随之运动的路线有多长?6.当湖泊结冰时,有一只球浮在湖而上,将球取岀后在冰上留下一个球形凹洞,深8cm,洞口直径为24cm, 球的半径是多少厘米?B级1・已知点P到00的最小距藹为4cm,最大距离为8cm,求00的半径.2 •如图12-14,已知00的直径为4cm, M是劣弧AB的中点,从M作弦且MN=2苗cm, MN、AB交于点P,求ZAPM的度数.3•已知OO的半径为乩C、D是直径AB同侧圆周上的两点,AC的度数为96° , BD的度数为36。

初中数学竞赛辅导材料目录

初中数学竞赛辅导材料目录

初中数学竞赛辅导材料目录一、初中数学竞赛基础知识1.数集及其运算-自然数、整数、有理数、实数、复数的概念及运算性质-数集的表示方法与运算法则2.代数式与方程-一元一次方程与一元一次不等式的解法及应用-一次函数的定义、性质与图像-一元二次方程的解法及应用3.几何基本概念-点、线、面、角的定义与性质-直线、射线、线段、平行线、垂直线的概念与判定-多边形、三角形、四边形的性质4.图形的相似与投影-图形的相似判定条件及相似比的计算-平面图形在对称、旋转、平移、投影中的性质与运用5.数据的整理与表示-数据的收集、整理、描述和分析方法-列联表的制作与应用-分组频数统计图的制作与读图6.立体几何-空间图形的基本概念及性质-空间图形的展开与剖析-空间图形的体积与表面积计算方法二、初中数学竞赛解题技巧与方法1.快速计算技巧-快速计算小技巧的应用(如乘法口诀、整数加减乘除的计算等)-快速计算较大数的方法(如分解因数、整理计算顺序等)2.思维训练与问题解决-近似计算与估算的方法与应用-分析解题条件与利用信息求解问题-数学问题的逻辑和推理方法3.策略与技巧-消元法与代入法的使用-枚举与特例法的应用-逆向思维与反证法的运用4.考试技巧与应试心理-数学竞赛常见题型的解题思路-如何正确阅读题目与审题技巧-考试时间分配与答题顺序规划-心理调适与压力应对方法三、数学竞赛真题及解析1.真题分析与解题方法讲解-分析数学竞赛真题的特点与难点-理解题目要求、辅助线的作法、巧用条件等解题技巧-真题解析与解题思路讲解2.解题思路总结与题型归纳-简述各种常见数学竞赛题型的解题思路-总结解题中常用的技巧与方法-提供大量的练习题目,以加强学生对各类题型的掌握以上为初中数学竞赛辅导材料的目录,通过系统的学习与实践,相信学生们可以提升数学竞赛的能力,取得更好的成绩。

祝学习愉快!。

初中数学竞赛辅导

初中数学竞赛辅导

第一讲 有 理 数一、有理数的概念及分类。

二、有理数的计算:1、善于观察数字特征;2、灵活运用运算法则;3、掌握常用运算技巧(凑整法、分拆法等)。

三、例 题 示 范1、数轴与大小例1、 已知数轴上有A 、B 两点,A 、B 之间的距离为1,点A 与原点O 的距离为3,那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少?满足条件的点B 有多少个?例2、 将9998,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序,用“<”连结起来。

提示1:四个数都加上1不改变大小顺序;提示2:先考虑其相反数的大小顺序;提示3:考虑其倒数的大小顺序。

例3、 观察图中的数轴,用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。

试确定三个数ca b ab 1,1,1-的大小关系。

分析:由点B 在A 右边,知b-a >0,而A 、B 都在原点左边,故ab >0,又c >1>0,故要比较ca b ab 1,1,1-的大小关系,只要比较分母的大小关系。

例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。

提示:P=na b a -+(n 为大于是 的自然数) 注:P 的表示方法不是唯一的。

2、符号和括号在代数运算中,添上(或去掉)括号可以改变运算的次序,从而使复杂的问题变得简单。

例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算,所得可能的最小非负数是多少?提示:造零:n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0注:造零的基本技巧:两个相反数的代数和为零。

3、算对与算巧例6、 计算 -1-2-3-…-2000-2001-2002提示:1、逆序相加法。

2、求和公式:S=(首项+末项)⨯项数÷2。

例7、 计算 1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-2000+2001+2002提示:仿例5,造零。

结论:2003。

例8、 计算9999991999999个个个n n n +⨯ 提示1:凑整法,并运用技巧:199…9=10n +99…9,99…9=10n -1。

初中数学竞赛辅导资料

初中数学竞赛辅导资料

初中数学竞赛辅导资料解三角形甲内容提要1. 由三角形的已知元素,求出所有未知元素的过程叫做解三角形.2. 解直角三角形所根据的定理 (在Rt △ABC 中,∠C=Rt ∠). ① 边与边的关系: 勾股定理----――c 2=a 2+b 2. ② 角与角的关系:两个锐角互余----∠A+∠B=Rt ∠ ③ 边与角的关系:(锐角三角函数定义)SinA=c a , CosA=c b , tanA=b a , CotA=ab. ④ 互余的两个角的三角函数的关系:Sin(90-A)= CosA , Cos(90-A)= SinA , tan(90-A)= CotA, Cot(90-A)= tanA. ⑤;余弦、余切随着角度的增大而减小(即减函数).3. 解斜三角形所根据的定理 (在△ABC 中)① 正弦定理:SinCcSinB b SinA a ===2R. (R 是△ABC 外接圆半径). ② 余弦定理: c 2=a 2+b 2-2abCosC ; b 2=c 2+a 2-2ca CosB ; a 2=c 2+b 2-2cbCosA. ③ 互补的两个角的三角函数的关系:Sin(180-A)= sinA , Cos(180-A)= - cosA , tan(180-A)=-cotA , cotA(180-A)=-tanA. ④ S △ABC =21absinC=21bcsinA=21casinB.4. 与解三角形相关的概念:水平距离,垂直距离,仰角,俯角,坡角,坡度,象限角,方位角等. 乙例题例1. 已知:四边形ABCD 中,∠A =60,CB ⊥AB ,CD ⊥AD ,CB =2,CD =1.求:AC 的长.解:延长AD 和BC 相交于E ,则∠E =30.在Rt △ECD 中,∵sinE=CECD, ∴CE=30sin 1=1÷21=2. EB =4. 在Rt △EAB 中, ∵tanE=EBAB,∴AB=EBtan30。

(共30套)初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)

(共30套)初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)

(共30套)初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用第一讲 走进追问求根公式形如02=++c bx ax (0≠a )的方程叫一元二次方程,配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。

而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。

求根公式aacb b x 2422,1-±-=内涵丰富:它包含了初中阶段已学过的全部代数运算;它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题;它展示了数学的简洁美。

降次转化是解方程的基本思想,有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题,直接求解可能给解题带来许多不便,往往不是去解这个二次方程,而是对方程进行适当的变形来代换,从而使问题易于解决。

解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。

【例题求解】【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个。

思路点拨:从指数运算律、±1的特征人手,将问题转化为解方程。

【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根,那么1942231+-x x 的值等于( )A 、一4B 、8C 、6D 、0思路点拨:求出1x 、2x 的值再代入计算,则计算繁难,解题的关键是利用根的定义及变形,使多项式降次,如1213x x -=,2223x x -=。

【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a 。

思路点拨:因不知晓原方程的类型,故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论。

【例4】设方程04122=---x x ,求满足该方程的所有根之和。

思路点拨:通过讨论,脱去绝对值符号,把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解。

【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等,且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111, 试求x 的值。

思路点拨:运用连等式,通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示,由解方程求得x 的值。

初中培优竞赛含详细解析 第12讲 函数与图像

初中培优竞赛含详细解析 第12讲 函数与图像

1.(2、3)(数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、选择题)抛物线y =x 2+x +P(P ≠0)的图象与x 轴一个交点的横坐标是p ,那么该抛物线的顶点坐标是 ( )A.(0,−2)B.(12,−94)C.(−12,94)D.(−12,−94)分析:由题意知(P ,0)这个点在函数图像上,P ≠0,代入解得P= -2,最后由顶点式或者配方都可以求解.答案:D .技巧:直接由顶点式或者配方成顶点式解题.易错点:配方时容易出错.2. (3、4)(数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、选择题)设0<k <1,关于x 的一次函数y =kx +1k (1−x),当1≤x ≤2 时的最大值是 ( )A.kB.2k −1kC.1kD.k +1k分析:将方程变形为y =(k −1k )x +1k ,由0<k <1可知1k 〉1,所以函数是个递减函数,则χ=1时取最大值k.答案:A .技巧:函数变形,找出递增或递减函数,然后在定义域内求最值,这类题都可以用这种方法. 易错点:递增递减问题容易出错.3. (3、4)(数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、选择题)直线L : y =px (p 是不等于0的整数)与直线y =x +10的交点恰好是格点(横坐标和纵坐标都是整数),那么满足条件的直线L 有 ( )A.6条B.7条C.8条D.无数条分析:解方程组{y =px y =x +10 得x =10P−1因为x 和p 都是整数,所以p −1=±10,±5,±2,±1,即P =11,-9,6,-4,3,-1,2,0,共8个值, p =0舍去 .答案:B .技巧:联立方程组,根据整数条件列出所有可能性进行判断 .易错点:容易漏掉条件或情况 .4. (4、5)(数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、最值问题、填空题)已知函数y =(a −2)x −3a −1,当自变量x 的取值范围为3≤x ≤5时,y 既能取到大于5的值,又能取到小于3的值,则实数a 的取值范围为______________.分析:(1)当a=2时,函数为常数函数,不存在最大值和最小值.(2)当a >2时,一次函数y 随x 的增大而增大,由题意得:{(a −2)×3−3a −1<3(a −2)×5−3a −1>5,解得a >8. (3)当a <2时,y 随x 的增大而减小,由题意得:{(a −2)×3−3a −1>5(a −2)×5−3a −1>3. 无解 所以a 的取值范围是a >8 .答案:a >8 .技巧:根据函数的性质讨论a 的范围 .易错点:解不等式组时要小心.5. (4、5)(数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、二次函数、填空题)不论m 取何值,抛物线y =x 2+2mx +m 2+m −1的顶点都在一条直线上,则这条直线的函数解析式是_________ .分析:将二次函数变形为y =(x +m)2+m −1,可知抛物线的顶点坐标为{x =−m y =m −1 ,消去m 得x +y =−1,所以y =−x −1. 答案:y =−x −1.技巧:把函数顶点表示出来,在利用函数关系联立起来就得解.易错点:消去m 的时候注意符号.6. (4、5)(数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、二次函数、填空题)已知点A ,B 的坐标分别为(1,0),(2,0).若二次函数y =x 2+(a −3)x +3的图象与线段AB 只有一个交点,则a 的取值范围是___________分析:由题意可知由以下几种情况:如图(1)当交点在A 、B 之间时,那么有[12+(a −3)×1+3]×[22+(a −3)×2+3]<0 . 解得−1<a <−12 . (2)当交点是A 点时,有12+(a −3)×1+3=0得a =−1.此时x 1=1,x 2=3,符合题意.(3)当交点是B 点时,有22+(a −3)×2+3=0得a =−12⋅此时x 1=2,x 2=32,不符合 题 意. .(4)当抛物线与χ轴相切时,有x 2+(a −3)x +3=0,由判别式Δ=0得a =3±2√3.当a =3+2√3时, x 1=x 2=−√3,不合题意;当a =3−2√3时,x 1=x 2=√3,符合题意.综上所述,a 的取值范围是−1≤a <12 或a =3−2√3.答案: −1≤a <12 或a =3−2√3. 技巧:利用数型结合,找出所有可能情况.易错点:注意不要遗漏.7.(3、4)(数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、二次函数、解答题)求证:不论k 为何值,该方程 (2k −1)x −(k +3)y −(k −11)=0 的图象恒过一定点. 证明:将(2k −1)x −(k +3)y −(k −11)=0 变形为(2x −y −1)k =x +3y −11⋯①因为k 可取任何值,即关于k 的方程①有无穷多解,故{2x −y −1=0x +3y −11=0,解得{x =2y =3 ⋅因为点(2,3)是①的解,当然也适合原方程,故(2k −1)x −(k +3)y −(k −11)=0恒过定点(2,3).技巧:将k 分离出来,然后使系数为0就可以符合题目的条件.8.(4、5)(数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、二次函数、解答题)已知mn 是两位数,二次函数y =x 2+mx +n 的图象与x 轴交于不同的两点,这两点间的距离不超过2.(1)求证: 0<m 2−4n ≤4;(2)求出所有这样的两位数mn .分析:(1)证明:设y =x 2+mx +n 的图象与x 轴的两交点为A(x 1,0),B(x 2,0),x 1≠x 2,则x 1,x 2为方程x 2+mx +n =0的两个不同的实根,所以x 1+x 2=−m,x 1x 2=n.又因 为0<|x 1−x 2|≤2,即0<(x 1+x 2)2−4x 1x 2≤4,也即0<m 2−4n ≤4.(2) 因为m ,n 为整数 (m ≠0),且m=1~9,n=0~9.所以m 2−4n =1,2,3,4,而m 2被4除余0或1,故m 2−4n 被4除也余0或1,从而只能有m 2−4n =1或m 2−4n =4 .解这两个不定方程得{m =1n =0 或{m =3n =2 或{m =5n =6或{m =2n =0 或{m =4n =3 或{m =6n =8 , 所以所求的两位数mn ̅̅̅̅为10,32,56,20,43,68.技巧:利用根与系数关系.易错点:分类讨论注意不要遗漏.9. (3、4)(数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、函数与图像、二次函数、解答题)已知二次函数y =a(a +1)x 2−(2a +1)x +1,其中a 为正整数.(1)若函数y 的图象与x 轴相交于A ,B 两点,求线段AB 的长;(2)若a 依次取1,2,…,2005时,函数y 的图象与x 轴相交所截得的2005条线段分别为A 1B 1,A 2B 2,…,A 2005B 2005,试求这2005条线段长之和.分析:由题意知,|AB |=|χ1−χ2|,其中χ1,χ2分别是A 、B 两点的横坐标,再利用韦达定理解题,那么第一问就解决了.第二问是在第一问的结果的基础上进行裂项解决,很容易. 详解:(1)设函数y 的图象与x 轴交于两点A(x 1,0),B(x 2,0),则x 1,x 2是方程a(a +1)x 2−(2a +1)x +1=0的两个实根.由a(a +1)x 2−(2a +1)x +1=0得(ax −1)[(a +1)x −1]=0,所以x 1=1a ,x 2=1a+1⋅所以|AB |=|x 1−x 2|=1a −1a+1=1a (a+1)⋅因此所求线段的长为1a(a+1)(a 为正整数) .(2)当a 依次取1,2,…,2005时,所截得的线段长分别为|A 1B 1|=1−12,|A 2B 2|=1 2−13,⋯,|A2005B2005|=12005−12006⋅故|A1B1|+|A2B2|+⋯+|A2005B2005|= (1−12)+(12−13)+⋯+(12005−12006)=1−12006=20052006⋅技巧:第一问把距离用点坐标表示出来,然后利用韦达定理解决.第二问就在第一问的基础上进行裂项求和即可.易错点:在第一问中容易出现运算转化错误,如果导致结果错误的话,第二问将无从下手.。

初中八年级数学培优竞赛辅导讲义全册(213页)

初中八年级数学培优竞赛辅导讲义全册(213页)

初中八年级数学培优竞赛辅导讲义(共213页,按住ctrl键点击目录直接跳转到对应章节)第1讲全等三角形的性质与判定 (2)第2讲角平分线的性质与判定 (12)第3讲轴对称及轴对称变换 (17)第4讲等腰三角形 (25)第5讲等边三角形 (37)第06讲实数 (43)第7讲变量与函数 (50)第8讲一次函数的图象与性质 (55)第9讲一次函数与方程、不等式 (64)第10讲一次函数的应用 (69)第11讲幂的运算 (81)第12讲整式的乘除 (87)第13讲因式分解及其应用 (94)第14讲分式的概念•性质与运算 (101)第15讲分式的化简求值与证明 (109)第16讲分式方程及其应用 (118)第17讲反比例函数的图象与性质 (126)第18讲反比例函数的应用 (139)第19讲勾股定理 (146)第20讲平行四边形 (158)第21讲菱形与矩形 (167)第22讲正方形 (175)第23讲梯形 (185)第24讲数据的分析 (194)B AC D EF 第1讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1.能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同; 2.全等三角形性质:①全等三角形对应边相等,对应角相等;②全等三角形对应高、角平分线、中线相等;③全等三角形对应周长相等,面积相等;3.全等三角形判定方法有:SAS ,ASA ,AAS ,SSS ,对于两个直角三角形全等的判定方法,除上述方法外,还有HL 法;4.证明两个三角形全等的关键,就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件,具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角,再根据选定的判定方法,确定还需要证明哪些相等的边或角,再设法对它们进行证明;5..证明两个三角形全等,根据条件,有时能直接进行证明,有时要证的两个三角形并不全等,这时需要添加辅助线构造全等三角形,构造全等三角形常用的方法有:平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例1】如图,AB ∥EF ∥DC ,∠ABC =90°,AB =CD ,那么图中有全等三角形( ) A .5对 B .4对 C .3对 D .2对【解法指导】从题设题设条件出发,首先找到比较明显的一对全等三角形,并由此推出结论作为下面有用的条件,从而推出第二对,第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解:⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC =90. ∴∠DCB =90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB (SAS ) ∴∠A =∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE =CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC (HL )故选C . 【变式题组】 01.(天津)下列判断中错误的是( )A .有两角和一边对应相等的两个三角形全等B .有两边和一角对应相等的两个三角形全等C .有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等A F C E DB D .有一边对应相等的两个等边三角形全等 02.(丽水)已知命题:如图,点A 、D 、B 、E 在同一条直线上,且AD =BE ,∠A =∠FDE ,则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题,如果是真命题,请给出证明;如果是假命题,请添加一个适当条件使它成为真命题,并加以证明.03.(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ,E 为OB 的中点,F 为OC 的中点,连接EF (如图所示).⑴添加条件∠A =∠D ,∠OEF =∠OFE ,求证:AB =DC ; ⑵分别将“∠A =∠D ”记为①,“∠OEF =∠OFE ”记为②,“AB =DC ”记为③,添加①、③,以②为结论构成命题1;添加条件②、③,以①为结论构成命题2.命题1是______命题,命题2是_______命题(选择“真”或“假”填入空格).【例2】已知AB =DC ,AE =DF ,CF =FB . 求证:AF =DE .【解法指导】想证AF =DE ,首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中,而DE 在△CDE 和△DEF 中,因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明:∵FB =CE ∴FB +EF =CE +EF ,即BE =CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF (SSS ) ∴∠B =∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF =DE【变式题组】01.如图,AD 、BE 是锐角△ABC 的高,相交于点O ,若BO =AC ,BC =7,CD =2,则AO 的长为( ) A .2 B .3 C .4 D .5A B C D O FE A CEFBD02.如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =90°,AE 是过A 点的一条直线,AE ⊥CE 于E ,BD⊥AE 于D ,DE =4cm ,CE =2cm ,则BD =__________. \ 03.(北京)已知:如图,在△ABC 中,∠ ACB =90°,CD ⊥AB 于点D ,点E 在AC 上,CE =BC ,过点E 作AC 的垂线,交CD 的延长线于点F . 求证:AB =FC .【例3】如图①,△ABC ≌△DEF ,将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合,把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转,这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置,点B (E )、C 、D 在同一直线上时,∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时,⑴中的结论成立吗?请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD =∠DCA⑵∠AFD =∠DCA 理由如下:由△ABC ≌△DEF ,∴AB =DE ,BC =EF , ∠ABC =∠DEF , ∠BAC =∠EDF ∴∠ABC -∠FBC =∠DEF -∠CBF , ∴∠ABF =∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF =∠DEC ∴∠BAC -∠BAF =∠EDF -∠EDC , ∴∠FAC =∠CDF∵∠AOD =∠FAC +∠AFD =∠CDF +∠DCA∴∠AFD =∠DCAAFECB DAE第1题图A BCDEBCDO第2题图B (E )OC F 图③DA【变式题组】01.(绍兴)如图,D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点,将此三角形沿DE折叠,使点C 落在AB边上的点P处.若∠CDE=48°,则∠APD等于()A.42°B.48°C.52°D.58°02.如图,Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF,下列结论中错误的是()A.△ABC≌△DEF B.∠DEF=90°C.AC=DF D.EC=CF03.一张长方形纸片沿对角线剪开,得到两种三角形纸片,再将这两张三角形纸片摆成如下图形式,使点B、F、C、D在同一条直线上.⑴求证:AB⊥ED;⑵若PB=BC,找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并证明.【例4】(第21届江苏竞赛试题)已知,如图,BD、CE分别是△ABC的边A C和AB边上的高,点P在BD的延长线,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB.求证:⑴AP=AQ;⑵AP⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等,也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察,证AP=AQ,也就是证△APD和△AQE,或△APB和△QAC全等,由已知条件BP=AC,CQ=AB,应该证△APB≌△QAC,已具备两组边对应相等,于是再证夹角∠1=∠2即可. 证AP⊥AQ,即证∠PAQ=90°,∠PAD+∠QAC=90°就可以.证明:⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高,∴∠BDA=∠CEA=90°,∴∠1+∠BAD=90°,∠2+∠BAD=90°,∴∠1=∠2.在△APB和△QAC中, 2AB QCBP CA=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠∴△APB≌△QAC,∴AP=AQE FBACDG第2题图21ABCPQEFD⑵∵△APB ≌△QAC ,∴∠P =∠CAQ , ∴∠P +∠PAD =90° ∵∠CAQ +∠PAD =90°,∴AP ⊥AQ 【变式题组】01.如图,已知AB =AE ,∠B =∠E ,BA =ED ,点F 是CD 的中点,求证:02.直距离MA 为am ,此时梯子的倾斜角为75°,如果梯子底端不动,顶端靠在对面的墙上,此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ,梯子倾斜角为45°,这间房子的宽度是( )A .2a bm + B .2a bm - C .bm D .am03.如图,已知五边形ABCDE 中,∠ ABC =∠AED =90°,AB =CD =AE =BC +DE =2,则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01.(海南)已知图中的两个三角形全等,则∠α度数是( )A .72°B .60°C .58°D .50°02.如图,△ACB ≌△A /C /B /,∠ BCB /=30°,则∠ACA /的度数是( )A .20°B .30°C .35°D .40° 03.(牡丹江)尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下:以O 为圆心,任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ,再分别以点C 、D 为圆心,以大于12CD 长为半径画弧,两弧交于点P ,作射线OP ,由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是( )AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图D第1题图a αcca50° b72° 58°A .SASB .ASAC .AASD .SSS 04.(江西)如图,已知AB =AD ,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是( )A . CB =CD B .∠BAC =∠DAC C . ∠BCA =∠DCAD .∠B =∠D =90°05.有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ,将它们的一个锐角顶点放在一起,将它们的一个锐角顶点放在一起,如图,当A 、B 、D 不在一条直线上时,下面的结论不正确的是( )A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE =∠CBDC . ∠ABC =∠EBD =45° D . AC ∥BE06.如图,△ABC 和共顶点A ,AB =AE ,∠1=∠2,∠B =∠E . BC 交AD 于M ,DE 交AC 于N ,小华说:“一定有△ABC ≌△AED .”小明说:“△ABM ≌△AEN .”那么( ) A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07.如图,已知AC =EC , BC =CD , AB =ED ,如果∠BCA =119°,∠ACD =98°,那么∠ECA 的度数是___________.08.如图,△ABC ≌△ADE ,BC 延长线交DE 于F ,∠B =25°,∠ACB =105°,∠DAC =10°,则∠DFB 的度数为_______.09.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°, DE ⊥AB 于D , BC =BD . AC =3,那么AE +DE =______10.如图,BA ⊥AC , CD ∥AB . BC =DE ,且BC ⊥DE ,若AB =2, CD =6,则AE =_____. 11.如图, AB =CD , AB ∥CD . BC =12cm ,同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发,沿CB 方向爬行,P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时,△APB ≌△QDC .DA C .Q P.BA E FB DC 12.如图, △ABC 中,∠BCA =90°,AC =BC ,AE 是BC 边上的中线,过C 作CF ⊥AE ,垂足为F ,过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证:AE =CD ;⑵若AC =12cm , 求BD 的长.13.(吉林)如图,AB =AC ,AD ⊥BC 于点D ,AD 等于AE ,AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形,并选取其中一对加以证明.14.如图,将等腰直角三角板ABC的直角顶点C 放在直线l 上,从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线,垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形,并加以证明; ⑵若DE =a ,求梯形DABE 的面积.(温馨提示:补形法)15.如图,AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD =BC ,CE ⊥AB ,DF ⊥AB ,垂足分别是E 、F .求证:CE =DF .16.我们知道,两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等,那么在什么情况下,它们会全等? ⑴阅读与证明:对于这两个三角形均为直角三角形,显然它们全等;对于这两个三角形均为钝角三角形,可证明它们全等(证明略); 对于这两个三角形均为锐角三角形,它们也全等,可证明如下;已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形,AB =A 1B 1,BC =B 1C 1,∠C =∠C 1.求证:△ABC ≌△A 1B 1C 1.(请你将下列证明过程补充完整)⑵归纳与叙述:由⑴可得一个正确结论,请你写出这个结论.ABCDA 1B 1C 1D 1D B A C EF A E B F D CAEF C DB 培优升级·奥赛检测01.如图,在△ABC 中,AB =AC ,E 、F 分别是AB 、AC 上的点,且AE =AF ,BF 、CE 相交于点O ,连接AO 并延长交BC 于点D ,则图中全等三角形有( ) A .4对 B .5对 C .6对 D .7对02.如图,在△ABC 中,AB =AC ,OC =OD ,下列结论中:①∠A =∠B ②DE =CE ,③连接DE , 则OE 平分∠AOB ,正确的是( ) A .①② B .②③ C .①③ D .①②③03.如图,A 在DE 上,F 在AB 上,且AC =CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于()A .DCB . BC C . ABD .AE +AC04.下面有四个命题,其中真命题是( )A .两个三角形有两边及一角对应相等,这两个三角形全等B .两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05.在△ABC 中,高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH =AC ,则∠ABC =_______.06.如图,EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ,∠E =∠F =90°,∠B =∠C , AE=AF . 给出下列结论:①∠1=∠2;②BE =CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD =DB ,其中正确的结论有___________.(填序号)07.如图,AD 为在△ABC 的高,E 为AC 上一点,BE 交AD 于点F ,且有BF =AC ,FD =CD .⑴求证:BE ⊥AC ;⑵若把条件“BF =AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换,这个命题成立吗?证明你的判定.08.如图,D 为在△ABC 的边BC 上一点,且CD =AB ,∠BDA =∠BAD ,AE 是△ABD 的中线.求证:AC =2AE .09.如图,在凸四边形ABCD 中,E 为△ACD 内一点,满足AC =AD ,AB =AE , ∠BAE +∠BCEABE D CF第6题图2 1AB CE N M3 21ADEBC FADECOA E O BFCD 第1题图B第2题图第3题图AB C DEAEBDC=90°, ∠BAC =∠EAD .求证:∠CED =90°.10.(沈阳)将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放,其中∠ACB =∠DEB =90°,∠A =∠D =30°,点E 落在AB 上,DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证:AF +EF =DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α,且0°<α<60°,其他条件不变,请在图②中画出变换后的图形,并直接写出(1)中结论是否仍然成立;⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β,且60°<β<180°,其他条件不变,如图③你认为(1)中结论还成立吗?若成立,写出证明过程;若不成立,请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系,并说明理由。

初中数学竞赛辅导讲义(总77页)

初中数学竞赛辅导讲义(总77页)

初中数学竞赛辅导讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面,使用请直接删除初中数学竞赛辅导讲义(初三)第一讲 分式的运算[知识点击]1、分部分式:真分式化为另几个真分式的和,一般先将分母分解因式,后用待定系数法进行。

2、综合除法:多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算,可列竖式来进行。

3、分式运算:实质就是分式的通分与约分。

[例题选讲]例1.化简2312++x x + 6512++x x + 12712++x x 解:原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + )4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 41+x =)4)(1(3++x x例2. 已知z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ,且xyz ≠0,求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。

解:易知:z y x + = y z x + = x z y + =k 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x (1)+(2)+(3)得:(k-2)(x+y+z)=0 k=2 或 x+y+z=0 若k=2则原式= k 3 = 8 若 x+y+z=0,则原式= k 3 =-1例3.设 12+-mx x x =1,求 12242+-x m x x 的值。

解:显然X 0≠,由已知x mx x 12+- =1 ,则 x +x1 = m + 1 ∴ 22241x x m x +- = x2 + 21x - m2= (x +x1)2-2 –m2 =( m +1)2-2- m2= 2m -1 ∴原式=121-m例4.已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2+1整除,求a的值。

解:1- a=0 ∴ a=1例5:设n为正整数,求证311⨯ + 511⨯ + …… +)12)(12(1+-n n < 21证:左边=21(1 - 31 + 31 - 51+ …… +121-n - 121+n ) =21(1- 121+n )∵n 为正整数,∴121+n < 1 ∴1- 121+n < 1 故左边< 21 [小结归纳]1、部分分式的通用公式:)(1k x x + = k 1 (x 1 - kx +1) 2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法,其优点在于设连比值为K ,将连等式化为若干个等式,把各字母用同一字母的解析式表示,从而给解题带来方便。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

初中数学竞赛辅导资料(12)
用交集解题
甲内容提要
1. 某种对象的全体组成一个集合.组成集合的各个对象叫这个集合的元素.例如6的正约数集合记作{6的正约数}={1,2,3,6},它有4个元素1,2,3,6;除以3余1的正整数集合是个无限集,记作{除以3余1的正整数}={1,4,7,10……},它的个元素有无数多个.
2. 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合,叫做这两个集合的交集
例如6的正约数集合A ={1,2,3,6},10的正约数集合B ={1,2,5,10},6与10的公约数集合C ={1,2},集合C 是集合A 和集合B 的交集.
3. 几个集合的交集可用图形形象地表示,
右图中左边的椭圆表示正数集合, 右边的椭圆表示整数集合,中间两个椭圆 的公共部分,是它们的交集――正整数集. 不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集.
例如 不等式组⎩
⎨⎧<->)2(2)1(62 x x 解的集合就是( ) 不等式(1)的解集x >3和不等式(2)的解集x >2的交集,x >3.
4.一类问题,它的答案要同时符合几个条件,一般可用交集来解答.把符合每个条件的所有的解(即解的集合)分别求出来,它们的公共部分(即交集)就是所求的答案. 有时可以先求出其中的一个(一般是元素最多)的解集,再按其他条件逐一筛选、剔除,求得答案.(如例2)
乙例题
例1. 一个自然数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个自然数的最小值. 解:除以3余2的自然数集合A ={2,5,8,11,14,17,20,23,26,……} 除以5余3的自然数集B ={3,8,13,18,23,28,……}
除以7余2自然数集合C ={2,9,16,23,30,……}
集合A 、B 、C 的公共元素的最小值23就是所求的自然数.
例2. 有两个二位的质数,它们的差等于6,并且平方数的个位数字相同,求这两个数. 解: 二位的质数共21个,它们的个位数字只有1,3,7,9,即符合条件的质数它们的个位数的集合是{1,3,7,9};
其中差等于6的有:1和7;3和9;13和7,三组;
平方数的个位数字相同的只有3和7;1和9二组.
同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组
故所求质数是:23,17; 43,37; 53,47; 73,67共四组.
例3. 数学兴趣小组中订阅A 种刊物的有28人,订阅B 种刊物的有21人,其中6人两种都订,只有一人两种都没有订,问只订A 种、只订B 种的各几人?数学兴趣小组共有几人? 解:如图左、右两椭圆分别表示订阅A 种、B 种刊物的人数集合,则两圆重叠部分就是它们
的交集(A 、B 两种都订的人数集合).
∴只订A 种刊物的人数是28-6=22人;
只订B 刊物的人数是21-6=15人;
小组总人数是22+15+6+1=44人.
设N ,N (A ),N (B ),N (AB ),N 分别表示总人数,订A 种、B 种、AB 两种、都不订的人数,则得
[公式一]N =N + N (A )+N (B )-N (AB ).
例4. 在40名同学中调查,会玩乒乓球的有24人,篮球有18人,排球有10人,同时会
玩乒乓球和篮球的有6人,同时会玩乒乓球和排球的有4人,三种球都会的只有1人, 问:有多少人①只会打乒乓球 ②同时会打篮球和排球 ③只会打排球?
解:仿公式一,得[公式二]:
N =N + N (A )+N (B )+N (C )-N (AB )-N (AC )-N (BC )+N (ABC )
①只会打乒乓球的是24-6-4+1=15(人)
②求N (BC )可用公式二:
∵40=24+18+10-6-4-N (BC )+1
∴N (BC )=3, 即同时会打篮球和排球的是3人
③只会打排球的是10-3-1=6(人)
例5. 十进制中,六位数8719xy 能被33整除,求x 和y 的值
解:∵0≤x ,y ≤9, ∴0≤x +y ≤18, -9≤x -y ≤9,x +y >x -y
∵33=3×11,
∴1+9+x +y +8+7的和是3的倍数,故x +y =2,5,8,11,14,17
(1+x +8)-(9+y +7)是11的倍数, 故x -y =-4,7
∵x +y 和x -y 是同奇数或同偶数,∴它们的交集是下列四个方程组的解: ⎩⎨⎧-=-=+48y x y x ⎩⎨⎧-=-=+4
14y x y x ⎩⎨⎧=-=+711y x y x ⎩⎨⎧=-=+717y x y x 解得⎩⎨⎧==62y x ⎩
⎨⎧==95y x ⎩⎨⎧==29y x ⎩⎨⎧==512y x (x =12不合题意舍去)答:x =2,y =6或x =5,y =9或x =9,y =2.
丙练习12
1. 负数集合与分数集合的交集是______
2. 等腰直角三角形集合是___三角形集合与___三角形集合的交集.
3. 12的正约数集合A ={ },30的正约数集合B ={ }
12和30的公约数集合C ={ },集合C 是集合A 和集合B 的__
4. 解下列不等式组并把解集(不是空集)表示在数轴上:
①⎩⎨⎧-<->563x x ②⎩⎨⎧<>-052x x ③ ⎪⎩⎪⎨⎧->-->2
2131x x ④⎩⎨⎧<+>-0202x x
5. 某数除以3余1,除以5余1,除以7余2,求某数的最小值.
6. 九张纸各写着1到9中的一个自然数(不重复),甲拿的两张数字和是10,乙拿的两张
数字差是1,丙拿的两张数字积是24,丁拿的两张数字商是3,问剩下的一张是多少?
7. 求符合如下三条件的两位数:①能被3整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数
位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同.
8. 据30名学生统计,会打篮球的有22人,其中5人还会打排球;有2人两种球都不会打.那
么①会打排球有几人?②只会打排球是几人?
9. 100名学生代表选举学生会正付主席,对侯选人A 和B 进行表决,赞成A 的有52票,
赞成B 的有60票,其中A 、B 都赞成的有36人,问对A 、B 都不赞成的有几人?
10. 数、理、化三科竞赛,参加人数按单科统计,数学24人,物理18人,化学10人;按两科统计,参加数理、数化、理化分别是13、4、5人,没有三科都参加的人.求参赛的总人数,只参加数学科的人数.(本题如果改为有2人三科都参加呢?)
11. 053=+-+-+y x y x
12. 十进制中,六位数2851xy 能被21整除,求x ,y 的值。

相关文档
最新文档