第11章 期权定价模型
《期权定价模型》课件
03
投资组合绩效评估
通过期权定价模型计算投资组合 的绩效指标，评估投资组合表现
。
02
投资组合调整
根据市场走势和投资者需求，调 整投资组合中的期权和其他资产
。
04
投资组合再平衡
定期或不定期地重新调整投资组 合，以保持其与投资者风险偏好
和投资目标的匹配。
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02
期权定价模型简介
几种常见的期权定价模型
Black-Scholes模型
二叉树模型
基于一系列假设条件，通过随机微分方程 来描述期权价格的运动过程，并给出了欧 式期权价格的解析解。
一种离散时间模型，通过模拟标的资产价 格的上升和下降来计算期权价格，适用于 美式期权和欧式期权。
三叉树模型
有限差分模型
市场中不存在可以通过买 卖标的资产和衍生品来获 得无风险利润的策略。
市场中存在足够的标的资 产供买卖，且交易成本为 零。
即投资者可以以一个固定 的无风险利率无限借贷。
即标的资产价格的波动率 在整个期权存续期内保持 不变。
定价模型的适用范围
欧式期权：适用于只能在到期 日行权的期权。
美式期权：适用于在到期日之 前任何时间都可以行权的期权
。
股票期权、期货期权、利率期 权等：适用于各种类型的金融 衍生品。
长期期权、短期期权：适用于 不同存续期的期权。
03
Black-Scholes模型
模型的基本假设
假设1
股票价格变动符合几何布朗运 动，即股票价格连续变动，并
且其收益率服从正态分布。
假设2
市场无摩擦，即没有交易费用 和税收，所有证券都可以无限 分割。
期权的定价
期权的定价期权定价是金融学中重要的一部分，它可以帮助投资者确定期权的合理价值，并基于此做出相应的投资决策。
期权定价模型主要有两种，即BSM模型（Black-Scholes-Merton 模型）和二叉树模型。
BSM模型是最早也是最经典的期权定价模型之一。
该模型是由Fisher Black、Myron Scholes 和 Robert C. Merton于1973年提出的。
该模型的核心思想是建立一个无风险投资组合，其和期权组合有相同的收益率。
通过对组合进行数学推导，可以得到期权价格的解析公式。
BSM模型的前提假设包括：市场不存在摩擦成本、资产价格符合几何布朗运动、市场无风险利率恒定、无红利支付、市场不存在套利机会等。
有了这些假设，可以通过标的资产价格、行权价格、剩余期限、无风险利率、标的资产波动率和期权类型等因素来计算期权的市场价值。
与BSM模型不同，二叉树模型采用离散化的方法进行期权定价。
该模型将剩余期限分为若干个时间步长，并在每个时间步长内考虑标的资产价格的上涨和下跌情况。
通过逐步计算，可以得到期权价格的近似值。
二叉树模型的优点在于它可以应用于各种类型的期权，并且容易理解和计算。
无论是BSM模型还是二叉树模型，期权定价都是基于一定的假设和参数。
其中，最关键的参数是标的资产的波动率。
波动率代表了市场对标的资产未来价格变动的预期。
根据波动率的不同，期权的价格也会有所变化。
其他参数如标的资产价格、行权价格、剩余期限和无风险利率等也会对期权定价产生影响。
需要注意的是，期权定价模型只是对期权价格的估计，并不保证期权的实际市场价格与估计值完全相同。
实际市场存在许多因素都会导致期权价格的变动，例如市场情绪、供需关系、经济指标等。
因此，在进行期权交易时，投资者需要结合市场情况和自身风险偏好做出相应的决策。
总之，期权定价是金融学中的重要内容，通过定价模型可以帮助投资者确定期权的合理价格。
BSM模型和二叉树模型是常用的定价方法，但投资者需要注意，这些模型只是对期权价格的估计，实际市场价格可能有所变动。
期权定价模型
期权定价模型期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要模型之一，它通过考虑期权的各项特性，将期权的价值与其相关的标的资产、行权价格、到期时间、波动率、无风险利率等一系列因素联系起来，从而确定期权的公平价格。
在期权定价模型中，常用的模型有布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）和它的改进模型，如布莱克-斯科尔斯-默顿模型（Black-Scholes-Merton Model）。
这些模型基于一些假设，包括市场无摩擦、无风险利率不变、标的资产价格服从几何布朗运动等。
布莱克-斯科尔斯模型是最早的期权定价模型之一，它将期权价格视为标的资产价格的函数，通过假设标的资产价格服从几何布朗运动，并应用风险中性估计，推导出了一个偏微分方程，即著名的布莱克-斯科尔斯方程。
利用该方程可以计算出欧式看涨/看跌期权的价格。
然而，布莱克-斯科尔斯模型在实际应用中存在一些限制，例如假设市场无摩擦和无风险利率不变的条件，并且假设标的资产价格服从几何布朗运动，这些假设在现实市场中并不总是成立。
因此，为了更准确地定价期权，学者们提出了一系列改进的模型。
其中，布莱克-斯科尔斯-默顿模型是对布莱克-斯科尔斯模型的一个重要改进。
该模型引入了对标的资产价格波动率的估计，通过蒙特卡洛模拟或数值方法，可以计算出更加准确的欧式期权价格。
此外，还有许多其他的改进模型，如跳跃扩散模型、随机波动率模型等，针对不同的市场和期权特性提供了更加精确的定价方法。
总之，期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要工具，它通过考虑期权的各项特性和相关因素，计算出期权的公平价格。
布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型是常用的期权定价模型，但也存在一些假设和限制。
为了更精确地定价期权，学者们提出了一系列改进模型，以适应不同市场和期权特性的需求。
在期权定价领域，除了布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型外，还有许多其他的期权定价模型被广泛应用。
这些模型包括跳跃扩散模型、随机波动率模型、二叉树模型等等，它们分别在不同的金融市场和期权类型中发挥着重要的作用。
金融工程_第11章_期权定价的BS公式.ppt
股票价格如何变化的假设
对数正态分布
对数正态分布和正态分布
未来股票价格分布
未来股票价格的期望值和方差
股票价格变化假设：连续时间模 型
股票价格的对数正态分布特性
dS Sdt Sdz
d ln S ( 2 )dt dz
2
ln
ST
ln
S
~
[(
2
2
)(T
t),
T t]
ln
ST
~ [ln
波动率的估计
波动率估计的注意事项
11.3 B-S公式的基本假设及推 导
BS模型推导
Black-Scholes微分方程的正式推导
dS Sdt Sdz
df ( f S f 1 2 f 2S 2 )dt f Sdz
S
t 2 S 2
S
S St Sz
f
( f S
S
f t
1 2
风险中性定价步骤
应用于股票远期合约
到期日远期合约的价值 ST K
f erT E(ST K )
f erT E(ST ) KerT
E(ST ) SerT f S KerT
应用风险中性定价推导B-S公式
欧式看涨期权到期日的期望价值为 E[max(ST X ,0)]
c er(T t) E[max(ST X ,0)]
S
(
2 )(T
2
t),
T t]
期望值
方差
E(ST ) Se(T t)
var(ST ) S e [e 2 2(Tt) 2 (Tt) 1]
例子
例子
练习
11.2 预期收益率和波动率及其估 计
A、预期收益率
金融学中的期权定价模型
金融学中的期权定价模型在金融学领域中，期权是一种金融工具，赋予持有人在未来某个特定时间以特定价格购买或出售标的资产的权利。
期权定价模型是为了确定期权合理价格的数学模型。
本文将介绍金融学中常用的期权定价模型，包括布莱克-斯科尔斯模型和风险中性定价模型。
布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）是最为著名和广泛使用的期权定价模型之一。
该模型于1973年由费舍尔·布莱克（Fisher Black）和米伦·斯科尔斯（Myron Scholes）共同提出，并获得了1997年诺贝尔经济学奖。
布莱克-斯科尔斯模型基于一系列假设，包括标的资产价格服从随机几何布朗运动、市场无摩擦、无交易成本等。
根据这些假设，该模型通过偏微分方程推导出了期权的定价公式。
该公式可以用来计算欧式期权的价格，在交易中发挥了重要的作用。
风险中性定价模型（Risk-Neutral Pricing Model）是另一种常用的期权定价模型。
该模型的基本原理是假设市场参与者对风险持中立态度，即市场对未来价格的期望值等于当前价格。
根据这个假设，风险中性定价模型通过建立与衍生品价格相关的风险中性测度，将期权的定价问题转化为风险中性测度下的期望值计算。
相对于布莱克-斯科尔斯模型，风险中性定价模型更加灵活，可以应用于更复杂的市场情况，并且可以解决了一些布莱克-斯科尔斯模型无法解决的问题。
除了布莱克-斯科尔斯模型和风险中性定价模型，金融学中还有其他的期权定价模型，如扩散模型、二叉树模型和蒙特卡洛模拟等。
这些模型都有各自的优势和适用范围，可以根据具体情况选择合适的模型进行期权定价。
需要注意的是，期权定价模型只是一种理论框架，模型的有效性和适用性需要在实践中进行验证。
实际应用中，投资者还需要考虑市场流动性、实际交易成本、波动率预测等因素，并结合自身的投资策略进行决策。
总结而言，金融学中的期权定价模型是为了计算期权的合理价格而设计的数学模型。
Chapter11布莱克休尔斯莫顿期权定价模型
衍生证券的定价。
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008
19
观察布莱克－舒尔斯微分方程，我们可以发现，受制于主观的 风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决 定公式中。这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对f的值 产生影响。因此我们可以作出一个可以大大简化我们工作的假设： 在对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。尽管这只是一 个人为的假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风 险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。
11
由上一页的推导可知证券价格对数服从正态分布。如果
一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数
正态分布。这表明ST服从对数正态分布。根据对数正态分布 的特性，以及符号的定义，我们可以得到 E(ST ) Se (T t) 和 var(ST ) S 2e 2(T t) [e 2 (T t) 1]
S S S 2 S 2 t
代入式 dG ( G a G 1 2G b 2 )dt G bdz我们就可得到 G ln S 所
x
t 2 x 2
x
遵循的随机过程为 dG d ln S ( 2 )dt dz
2
由于dlnS是股票的连续复利收益率，得出的公式说明股票的连续
复利收益率服从期望值 ( 2 )dt ，方差为 2dt 的正态分布。
2、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为 aT，标准差为 b T，方差为b2T。
Copyright© Zheng Zhenlong & Chen Rong, 2008
6
普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量 x的漂移率和方差率当作)dz
期权定价模型
二、期权价值评估的方法（一）期权估价原理1、复制原理基本思想复制原理的基本思想是：构造一个股票和贷款的适当组合，使得无论股价如何变动投资组合的损益都与期权相同，那么创建该投资组合的成本就是期权的价值。
基本公式每份期权价格（买价）＝借钱买若干股股票的投资支出＝购买股票支出－借款额计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd上行股价Su=股票现价S×上行乘数u下行股价Sd=股票现价S×下行乘数d（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd：股价上行时期权到期日价值Cu=上行股价-执行价格股价下行时期权到期日价值Cd=0（3）计算套期保值率：套期保值比率H=期权价值变化/股价变化=(CU-Cd)/(SU-Sd)（4）计算投资组合的成本（期权价值）=购买股票支出-借款数额购买股票支出=套期保值率×股票现价＝H×S0借款数额=价格下行时股票收入的现值＝（到期日下行股价×套期保值率）/（1+r）= H×Sd/（1+r）2、风险中性原理基本思想假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率；假设股票不派发红利，股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率。
因此：期望报酬率（无风险收益率）＝（上行概率×股价上升时股价变动百分比）+（下行概率×股价下降时股价变动百分比）＝p×股价上升时股价变动百分比+（1-p）×股价下降时股价变动百分比计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd（同复制原理）（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd（同复制原理）（3）计算上行概率和下行概率期望报酬率＝（上行概率×股价上升百分比）+（下行概率×股价下降百分比）（4）计算期权价值期权价值＝(上行概率×Cu+下行概率×Cd)/（1+r）（二）二叉树期权定价模型1、单期二叉树定价模型基本原理风险中性原理的应用计算公式（1）教材公式期权价格＝U=股价上行乘数＝1＋股价上升百分比d=股价下行乘数＝1－股价下降百分比（2）理解公式：（与风险中性原理完全一样）2、两期二叉树模型基本原理把到期时间分成两期，由单期模型向两期模型的扩展，实际上就是单期模型的两次应用。
第十一章Black-Scholes-Merton期权定价模型
在一个小的时间间隔△t中，f的变化值△f满足：
f f 1 2 f 2 2 f f ( S ) t S z S S t 2 S 2 S
精选ppt第一节bsm期权定价模型的基本思路精选ppt本章涉及到随机过程等较为复杂的概念为了便于理解我们首先对bsm模型的整体思路做一个简要的归纳以便大家更好的掌握期权定价的内由于最终目标是为股票期权定价而期权是其标的资产即股票的衍生工具在已知执行价格期权有效期无风险利率和标的资产收益的情况下期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化股票价格是影响期权价格的最根本因素
8
根据伊藤引理（ItôLemma，1961），当股票价格 符合几何布朗运动时，作为股票衍生品的期权价 格f将服从：
f f 1 2 f 2 2 f df ( S )dt Sdz 2 S S t 2 S S
（11.2）
可以发现，影响期权价格的随机因素也体现在等式 右边的第二项的dz上，所以，股票价格及其衍生产品— —期权价格都只受到同一种不确定性的影响，其区别在 于随机因素dz前面的系数不同，也就是随机因素变化的 反应程度不同。
5
第一节 B-S-M期权定价模型的基本思路
6
本章涉及到随机过程等较为复杂的概念，为了便 于理解，我们首先对B-S-M模型的整体思路做一个 简要的归纳，以便大家更好的掌握期权定价的内 容。
由于最终目标是为股票期权定价，而期权是其标 的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、 期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况 下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变 化，股票价格是影响期权价格的最根本因素。
《金融衍生品》课件_第11章_期权定价数值方法
美式看跌期权协议价格为 50 元，求该期权
的价值。
20
美式看跌期权的二叉树定价 (cont.)
• 为了构造二叉树，我们把期权有效期分为
五段，每段一个月（等于 0.0833 年）。可
u e t 1.1224
以算出
d e
t
0.8909
4、资产价格随机路径模拟（风险中
性概率测度）
（1）常数波动率模型的离散化和模拟
• 在风险中性世界中，为了模拟路径
dS r q Sdt Sdz
（11.4）
我们把期权的有效期分为 N 个长度为 ∆t 的
时间段，则上式的离散的近似方程为：
（11.5）
6
（２）GARCH模型模拟
模型的离散化形式：
2、欧式期权蒙特卡罗模拟定价
假设标的资长价格服从波动率为常数的几
何布朗运动。对于欧式期权，只需要模拟出
标的资产到期的分布。如欧式看涨期权，第i
条路径下的支付：
()
为标准正态分布的一个随机抽样,
（11.3）=.源自3、蒙特卡罗模拟方法的适用性
• （1）普通的蒙特卡罗模拟方法不适用于美式
（10.23）
（10.24）
其中,
定义为：
（10.25）
３、Heston模型的离散化和模拟
模型的离散化和模拟
5、GARCH模型下的蒙特卡洛模拟定价
二、二叉树模型
1、二叉树模型原理
假设股票当前价格是S，下一期价格有两种可能 (= u)
和 =(Sd)，风险中性下上升概率是p，下跌概率是1-p。
e r q t d
p
ud
第11章 期权定价模型
第11章 布莱克-舒尔茨-默顿期权定价模型一、基本思路1. 基本思路我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。
因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价格是影响期权价格的最根本因素。
用几何布朗运动表示股票价格的变化过程，具体形式如下：dS dt dz Sμσ=+ 或者表示为dS Sdt Sdz μσ=+伊藤引理表明，当股票价格服从上述随机过程时，作为衍生品的期权价格f 将服从22221()2f f f f df S S dt Sdz S t SS μσσ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 两式表明：股票价格及其衍生品——期权价格都只受到同一种不确定性的影响，只是两者对随机因素变化的反应程度不同而已。
从数学上看，将两式联立，解方程组可消掉随机项。
其金融含义可看作：买入股票、卖空期权构造一个短期内没有不确定性的投资组合。
在一个无套利市场中，该投资组合必然只能获得无风险利率收益。
由此可得到一个期权价格满足的微分方程，此即为BSM 期权定价模型的微分形式，具体为222212f f f rS S rf t S S σ∂∂∂++=∂∂∂ 由于该公式中不包含反映投资者风险偏好的参数——预期收益，因此可以在风险中性世界里求解该微分方程。
求解该方程可得到期权定价公式。
无股利欧式看涨期权的价格为 ()12()()r T t c SN d Xe N d --=-其中，21221d d d ===- 根据无股利欧式看涨期权和看跌期权平价公式()21()()r T t p Xe N d SN d --=--- 可求出无股利欧式看跌期权定价公式()21()()r T t p Xe N d SN d --=---无收益美式看涨期权是不会提前执行的，因此无收益美式看涨期权定价公式和欧式看涨期权定价公式相同，()12()()r T t C SN d Xe N d --=-对于有收益欧式期权，需要在股票价格中抛去收益的现值，对有收益的美式看涨期权，需要考虑其提前执行的情况，由于不存在美式期权之间的平价公式，因此无法给出美式看跌期权的确切公式。
金融建模课件11章布莱克-斯科尔斯期权定价模型.pptx
න
1
2
− 2 Τ2
−
= න
−∞
1
2
2 Τ2
−
• 上面的积分是标准正态变量的分布函数，因此
2 =
− − 2 Τ2
1
−
−
2 −∞
= − − −
2024/10/8
BS公式推导
• 现在我们再对第一个积分进行整理
1
∞
1
∞
1
∞
2
2
+
+
− = 0
2
2
• 可以写成如下形式
1 2 2
+ + =
2
2024/10/8
Delta（希腊字母Δ）
• 定义
• 是期权价值相对于基础资产价格的变动率
• 相当于衡量债券价格利率敏感性的久期
• 公式
=
= 1
• 为BS公式（Black –Scholes Formula）
= 0 1 − − 2
= − −2 − 0 −1
• 其中
2024/10/8
0 = 即期股票价格
= 期权执行价
= 无风险利率
= 股价波动性
= 期权到期时间( − )
2024/10/8
布莱克-斯科尔斯偏微分方程
• 为了导出BS偏微分方程
• 我们构造一个投资组合
• 该组合包括
• Δ 份的股票
• 金额为 Lt 的无风险银行借款
2024/10/8
布莱克-斯科尔斯偏微分方程
• 我们使该组合与一个看涨期权 等值：
郑振龙《金融工程》笔记和课后习题详解-布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型【圣才出品】
第十一章布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型11.1复习笔记一、布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型的基本思路以下对B-S-M模型的整体思路作一个简要的归纳：要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变化规律。
通过观察市场中的股票价格可知，股票价格的变化过程是一个随机过程——几何布朗运动，其具体形式如下：（11．1）当股票价格服从式（11．1）时，作为股票衍生产品的期权价格，将服从（11．2）将式（11．1）和（11．2）联立方程组，就可以解出一个期权价格所满足的微分方程，求解这一方程，就得到了期权价格的最终公式。
二、股票价格的变化过程通常用形如的几何布朗运动来描绘股票价格的变化过程，几何布朗运动中最重要的是dz项，它代表影响股票价格变化的随机因素，通常称之为标准布朗运动或维纳过程。
1．标准布朗运动设△￡代表一个小的时间间隔长度，Δz代表变量z在△t时间内的变化，如果变量z遵循标准布朗运动，则Δz具有以下两种特征：特征l：Δz和△t的关系满足（11．3）其中，ε～φ[0，1]。
特征2：对于任何两个不同时间间隔Δt，Δz的值相互独立。
用z（T）-z（t）表示变量z在T-t中的变化量，它可被看做是在N个长度为△t的小时间间隔中z的变化总量，其中N=（T—t）／Δt，因此，其中εi（i=1，2，…，N）是标准正态分布的随机抽样值。
由此可见：①在任意长度的时间间隔T-t中，遵循标准布朗运动的变量的变化值服从均值为0、标准差为根号下T-t的正态分布；②在任意长度的时间间隔T-t中，方差具有可加性，总是等于时间长度，不受△t如何划分的影响，但标准差就不具有可加性。
当△t→0时，就可以得到极限的或者说连续的标准布朗运动（11．4）下面直接引用维纳过程的一些数学性质来大致解释其在股价建模中应用的原因：首先，维纳过程中用ε即标准正态分布的随机变量来反映变量变化的随机特征。
其次，数学上可以证明，具备特征1和特征2的维纳过程是一个马尔可夫随机过程，这一点与金融学中的弱式效率市场假说不谋而合。
期权与期货课件第11章 BSM连续时间期权定价模型——动态复制方法
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©中央财经大学期权与期货
第十一章 B-S-M期权定价模型——动态复制方法
学习要点
➢ B-S-M期权定价模型的假设； ➢ B-S-M期权定价模型的推导； ➢ B-S-M期权定价方程的求解过程。
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第十一章 B-S-M期权定价模型——动态复制方法
本 章 知 识 结 构 图
©©中中央央财财经经大大学学期期权权与与期期货货
©©中中央央财财经经大大学学期期权权与与期期货货
第十一章 B-S-M期权定价模型——动态复制方法
第〇节 导言
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第〇节 导言
期权定价的发展
➢ 1942-1943年，伊藤清定义随机积分 ➢ 1969年，默顿指出几何布朗运动比起布朗运动更适合作为股票价格的模型 ➢ 1973年，布莱克、斯科尔斯、默顿期权定价理论利用了伊藤的随机积分理论和伊藤公式，并在实际市
5、不存在无风险套利机会。
6、证券交易在时间上是连续的。
7、所有资产可以无限细分。
©中央财经大学期权与期货
第一节 B-S-M期权定价模型的假设
模型的假设
➢B-S-M模型假设的数学表达
假设债券的无风险利率为r，则其价格 S0(t) = S0(0)ert 满足dS0(t) = rS0(0)dt
基础资产股票的价格S(t)服从几何布朗运动，
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第十一章 B-S-M期权定价模型——动态复制方法
第二节 用动态复制方法推导 B-S-M期权定价偏微分方程
©中央财经大学期权与期货
第二节 用动态复制方法推导B-S-M期权定价偏微分方程
动态复制方法
➢构造一个投资策略，使得在到期日时刻的资产价值等于期权的到期收益。
期权定价理论
期权定价理论期权定价理论是衡量期权合约价格的数学模型。
它基于一系列假设和推导出的公式，通过评估期权的相关因素来确定其合理的市场价格。
这些因素包括标的资产价格、期权执行价格、期限、波动率以及无风险利率等。
期权的定价理论中最著名的模型是布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）。
该模型基于以下假设：市场无摩擦，即不存在交易费用和税收；标的资产价格服从连续时间的几何布朗运动；期权可以在任意时间点以市场价格进行买卖。
布莱克-斯科尔斯模型通过以下公式计算欧式期权的价格：C = S0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C是期权的市场价格，S0是标的资产的当前价格，N()是标准正态分布函数，d1和d2分别是两个维度上的标准正态分布变量，X是期权的行权价格，r是无风险利率，T是期权剩余时间。
布莱克-斯科尔斯模型的原理是通过构建组合，使得期权价格与标的资产价格的变动相对冲，从而消除风险。
通过调整组合中的权重，可以确定合理的期权价格。
这一模型在市场上得到广泛应用，被视为期权定价的标准模型之一。
除了布莱克-斯科尔斯模型外，还有其他一些期权定价模型，如考虑股息的期权定价模型、跳跃扩散模型等。
这些模型在不同情况下，可以更准确地预测期权价格。
需要注意的是，期权定价理论是基于一系列假设和前提条件建立的。
市场实际情况中可能存在不符合这些假设的情况，因此实际期权价格可能与模型计算结果存在一定的差异。
此外，期权定价也受到市场供求关系、交易量以及市场情绪等因素的影响。
总之，期权定价理论是一种基于数学模型的方法，用于评估期权合约的合理价格。
布莱克-斯科尔斯模型是最著名的期权定价模型之一，通过构建相对冲抗风险的组合来确定期权价格。
然而，需要注意实际市场中的差异和其他影响因素。
期权定价理论是金融衍生品定价的核心理论之一，它对金融市场的有效运行和风险管理起着重要作用。
期权是一种约定，赋予期权持有人在未来某个特定时间以特定价格买入或卖出某个标的资产的权利，而不是义务。
第十一章期权定价模型
第十一章期权定价模型第十一章期权定价模型【学习目标】本章是期权部分的重点内容之一。
本章主要介绍了著名的Black-Scholes 期权定价模型和由J. Cox 、S. Ross 和M. Rubinstein 三人提出的二叉树模型，并对其经济理解和应用进行了进一步的讲解。
学习完本章，读者应能掌握Black-Scholes 期权定价公式及其基本运用，掌握运用二叉树模型为期权进行定价的基本方法。
自从期权交易产生以来，尤其是股票期权交易产生以来，学者们即一直致力于对期权定价问题的探讨。
1973年，美国芝加哥大学教授Fischer Black 和Myron Scholes 发表《期权定价与公司负债》1一文，提出了著名的Black-Scholes 期权定价模型，在学术界和实务界引起强烈的反响，Scholes 并由此获得1997年的诺贝尔经济学奖。
在他们之后，其他各种期权定价模型也纷纷被提出，其中最著名的是1979年由J. Cox 、S. Ross 和M. Rubinstein 三人提出的二叉树模型。
在本章中，我们将介绍以上这两个期权定价模型，并对其进行相应的分析和探讨2。
第一节 Black-Scholes 期权定价模型一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件 Black-Scholes 期权定价模型的七个假设条件如下：1. 期权标的资产为一风险资产（Black-Scholes 期权定价模型中为股票），当前时刻市场价格为S 。
S 遵循几何布朗运动3，即dz dt SdS σμ+= 其中，dS 为股票价格瞬时变化值，dt 为极短瞬间的时间变化值，dz 为均值为零，方差为dt 的无穷小的随机变化值（dt dz ε=，称为标准布朗运动，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中取的一个随机值），μ为股票价格在单位时间内的期望收益率（以连续复利表示），σ则是股票价格的波动率，即证券收益率在单位时间内的标准差。
期权定价模型的参数估计及应用
期权定价模型的参数估计及应用期权定价模型是金融领域中重要的工具，用于估计期权的价格。
参数估计是期权定价模型的关键环节，它能够帮助分析师和投资者预测期权的价格和波动性，并进行有效的投资决策。
在期权定价模型中，主要的参数包括标的资产价格、行权价格、剩余期限、无风险利率和波动率。
标的资产价格是指期权对应的标的资产的当前价格，它是期权定价的基础。
行权价格是期权合约中约定的买入或卖出标的资产的价格。
剩余期限是指期权合约到期日与当前日期之间的时间差。
无风险利率是指在期权合约期限内无风险利率的收益率。
波动率是标的资产价格的变动幅度的度量。
参数估计的关键是通过历史数据和市场信息来估计这些参数的值。
标的资产价格和行权价格可以通过市场报价获得。
剩余期限可以通过计算当前日期和合约到期日之间的天数来获得。
无风险利率可以通过参考国债收益率或其他固定收益工具的利率来获得。
波动率是通过对标的资产价格的历史数据进行统计分析来估计的。
应用方面，期权定价模型的参数估计可以帮助投资者进行期权交易策略的制定。
通过估计期权价格，投资者可以判断期权是否被低估或高估，并根据自己的预期进行投资决策。
同时，通过估计波动率，投资者可以判断标的资产的风险水平，从而决定是否进行期权交易。
此外，参数估计还可以用于期权组合的风险管理，帮助投资者降低风险和提高收益。
需要注意的是，参数估计的准确性对期权定价模型的应用至关重要。
不准确的参数估计可能导致错误的定价和投资决策。
因此，投资者在使用期权定价模型进行分析和决策时，应该对参数估计的方法和数据来源进行合理的审慎评估，并结合其他市场信息进行综合分析。
总的来说，期权定价模型的参数估计是期权定价的关键环节。
合理的参数估计可以帮助投资者预测期权价格和波动性，从而进行有效的投资决策。
然而，参数估计的准确性需要投资者谨慎评估和综合考虑，以确保分析结果的可靠性和有效性。
期权定价模型
期权定价模型期权定价模型是用于计算期权价格的数学模型。
它的目的是通过考虑不同的因素和变量来估计期权价格，以便投资者可以在进行期权交易时做出明智的决策。
期权是一种金融工具，给予购买者在特定期限内以约定价格购买或出售某种资产的权利。
期权分为两种类型：看涨期权和看跌期权。
看涨期权授予购买者在未来某个时间点以约定价格购买资产的权利，而看跌期权则授予购买者在未来某个时间点以约定价格出售资产的权利。
期权定价模型最为被广泛接受和使用的是布莱克-斯科尔斯期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model）。
该模型于1973年由弗ィ舍尔·布莱克和迈伦·斯科尔斯开发。
这个模型基于了以下假设：市场是完全有效的，不存在无风险套利机会，资产价格服从几何布朗运动等。
布莱克-斯科尔斯期权定价模型利用了几个变量来计算期权价格，包括资产价格、行权价格、无风险利率、到期日和资产价格的波动率。
这些变量被组合成一个数学方程，可以通过计算得出期权的理论价格。
除了布莱克-斯科尔斯模型，还有其他的期权定价模型，如考虑了股利支付的扩展布莱克-斯科尔斯模型（Extended Black-Scholes Model）、考虑了远期价格的黑-92模型（Black-92 Model）、实践中广泛使用的哥莫兹模型（Geske Model）等等。
这些模型的应用范围涵盖了各种期权交易策略，包括常见的看涨看跌期权交易、套利交易策略等。
然而，期权定价模型并不是完美的，它们基于了一系列的假设和简化，因此并不能完全准确地预测期权价格。
此外，市场条件的变化和实际操作中的问题也可能导致期权定价与实际价格之间存在差距。
因此，投资者在使用期权定价模型计算期权价格时，应考虑到这些局限性并结合其他因素做出决策。
综上所述，期权定价模型是计算期权价格的数学模型。
它的应用范围广泛，并且可以帮助投资者做出明智的决策。
然而，使用期权定价模型时需要考虑到模型的假设和简化，同时结合其他因素进行综合分析。
期权定价模型与无套利定价
期权定价模型与⽆套利定价期权定价模型与⽆套利定价 期权定价模型基于对冲证券组合的思想。
投资者可建⽴期权与其标的股票的组合来保证确定报酬。
在均衡时，此确定报酬必须得到⽆风险利率。
期权的这⼀定价思想与⽆套利定价的思想是⼀致的。
所谓⽆套利定价就是说任何零投⼊的投资只能得到零回报，任何⾮零投⼊的投资，只能得到与该项投资的风险所对应的平均回报，⽽不能获得超额回报（超过与风险相当的报酬的利润）。
从Black-Scholes期权定价模型的推导中，不难看出期权定价本质上就是⽆套利定价。
B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件 ⼀)B-S模型有5个重要的假设 1、⾦融资产收益率服从对数正态分布； 2、在期权有效期内，⽆风险利率和⾦融资产收益变量是恒定的； 3、市场⽆摩擦，即不存在税收和交易成本； 4、⾦融资产在期权有效期内⽆红利及其它所得(该假设后被放弃)； 5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。
⼆)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式 C=S•N(D1)-L•E-γT•N(D2) 其中: D1=1NSL+(γ+σ22)Tσ•T D2=D1-σ•T C—期权初始合理价格 L—期权交割价格 S—所交易⾦融资产现价 T—期权有效期 r—连续复利计⽆风险利率H σ2—年度化⽅差 N()—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点： 第⼀，该模型中⽆风险利率必须是连续复利形式。
⼀个简单的或不连续的⽆风险利率(设为r0)⼀般是⼀年复利⼀次，⽽r要求利率连续复利。
r0必须转化为r⽅能代⼊上式计算。
两者换算关系为:r=LN(1+r0)或r0=Er-1。
例如r0=0.06，则r=LN(1+0.06)=0853，即100以583%的连续复利投资第⼆年将获106，该结果与直接⽤r0=0.06计算的答案⼀致。
第⼆，期权有效期T的相对数表⽰，即期权有效天数与⼀年365天的⽐值。
如果期权有效期为100天，则T=100365=0.274。
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第11章 布莱克-舒尔茨-默顿期权定价模型
一、基本思路
1. 基本思路
我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。
因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价格是影响期权价格的最根本因素。
用几何布朗运动表示股票价格的变化过程，具体形式如下：
dS dt dz S
μσ=+ 或者表示为dS Sdt Sdz μσ=+
伊藤引理表明，当股票价格服从上述随机过程时，作为衍生品的期权价格f 将服从
22221()2f f f f df S S dt Sdz S t S
S μσσ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 两式表明：股票价格及其衍生品——期权价格都只受到同一种不确定性的影响，只是两者对随机因素变化的反应程度不同而已。
从数学上看，将两式联立，解方程组可消掉随机项。
其金融含义可看作：买入股票、卖空期权构造一个短期内没有不确定性的投资组合。
在一个无套利市场中，该投资组合必然只能获得无风险利率收益。
由此可得到一个期权价格满足的微分方程，此即为BSM 期权定价模型的微分形式，具体为
2222
12f f f rS S rf t S S σ∂∂∂++=∂∂∂ 由于该公式中不包含反映投资者风险偏好的参数——预期收益，因此可以在风险中性世界里求解该微分方程。
求解该方程可得到期权定价公式。
无股利欧式看涨期权的价格为 ()12()()r T t c SN d Xe N d --=-
其中，
21221d d d =
==- 根据无股利欧式看涨期权和看跌期权平价公式
()21()()r T t p Xe N d SN d --=--- 可求出无股利欧式看跌期权定价公式
()21()()r T t p Xe N d SN d --=---
无收益美式看涨期权是不会提前执行的，因此无收益美式看涨期权定价公式和欧式看涨期权定价公式相同，
()12()()r T t C SN d Xe N d --=-
对于有收益欧式期权，需要在股票价格中抛去收益的现值，对有收益的美式看涨期权，需要考虑其提前执行的情况，由于不存在美式期权之间的平价公式，因此无法给出美式看跌期权
的确切公式。
二、标准布朗运动。