第11章 期权定价模型

第11章 布莱克-舒尔茨-默顿期权定价模型

一、基本思路

1. 基本思路

我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价格是影响期权价格的最根本因素。 用几何布朗运动表示股票价格的变化过程，具体形式如下：

dS dt dz S

μσ=+ 或者表示为dS Sdt Sdz μσ=+

伊藤引理表明，当股票价格服从上述随机过程时，作为衍生品的期权价格f 将服从

22221()2f f f f df S S dt Sdz S t S

S μσσ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 两式表明：股票价格及其衍生品——期权价格都只受到同一种不确定性的影响，只是两者对随机因素变化的反应程度不同而已。

从数学上看，将两式联立，解方程组可消掉随机项。其金融含义可看作：买入股票、卖空期权构造一个短期内没有不确定性的投资组合。在一个无套利市场中，该投资组合必然只能获得无风险利率收益。由此可得到一个期权价格满足的微分方程，此即为BSM 期权定价模型的微分形式，具体为

2222

12f f f rS S rf t S S σ∂∂∂++=∂∂∂ 由于该公式中不包含反映投资者风险偏好的参数——预期收益，因此可以在风险中性世界里求解该微分方程。求解该方程可得到期权定价公式。无股利欧式看涨期权的价格为 ()12()()r T t c SN d Xe N d --=-

其中，

21221d d d =

==- 根据无股利欧式看涨期权和看跌期权平价公式

()21()()r T t p Xe N d SN d --=--- 可求出无股利欧式看跌期权定价公式

()21()()r T t p Xe N d SN d --=---

无收益美式看涨期权是不会提前执行的，因此无收益美式看涨期权定价公式和欧式看涨期权定价公式相同，

()12()()r T t C SN d Xe N d --=-

对于有收益欧式期权，需要在股票价格中抛去收益的现值，对有收益的美式看涨期权，需要考虑其提前执行的情况，由于不存在美式期权之间的平价公式，因此无法给出美式看跌期权

的确切公式。二、标准布朗运动