烟台2019-2020高二数学试题
山东省烟台市2019-2020学年高二上学期期末学业水平诊断数学试题及答案
9.已知 A，B，C 三点不共线，O 为平面 ABC 外的任一点，则“点 M 与点 A，B，C 共面”的充分条件的是
A. OM = 2OA − OB − OC C. OM = OA + 1 OB + 1 OC
23
B. OM = OA + OB − OC D. OM = 1 OA + 1 OB + 1 OC
Q，其中点 A，P 在第一象限，则| 2 | AP | + | QB | 的最小值为
A. 2 2 + 3
B. 2 2 + 5
C. 4 2 + 5
D. 4 2 + 3
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选
对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10 分）给出以下条件：① x R, ax2 + ax +1 0 ，②方程 x2 + y2 = 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆， a −1 5− a
A. x R, 2x−1 0
B.有的梯形对角线相等 D.不是梯形的四边形对角线不相等
B. x [0, ], x sin x
C. x0 R, tan x0 = 2
D. x0 (0, +), log2 x0 1
4.已知空间向量 a = ( +1,1, ), b = (6, −1, 4) ，若 a∥b ，则 + =
12 3
x2 y2 D. + = 1
18 9
2019-2020学年山东省烟台市高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年山东省烟台市高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，3，4}，B＝{0，1，2}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{0}B．{2}C．{0，2}D．{0，2，4}2．已知a＝log3，b＝（），c＝log，则a，b，c的大小关系为A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．b＞a＞c3．函数f（x）＝+lg的定义域为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，3]C．（﹣3，﹣1）∪（﹣1，3）D．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，3]4．已知函数f（x）＝x2+ax+a2+1为偶函数，则f（x）在x＝1处的切线方程为（）A．2x﹣y＝0B．2x﹣y+1＝0C．2x﹣y+2＝0D．2x﹣y﹣1＝0 5．根据我国《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》规定，车辆驾驶人员100mL 血液中酒精含量在[20，80）（单位：mg）即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8mg/mL，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，为避免酒后驾车，他至少经过n小时才能开车，则n的最小整数值为（）A．5B．6C．7D．86．若函数f（x）＝x3+（2﹣a）x2+x+1在其定义域上不单调，则实数a的取值范围为（）A．a＜1或a＞4B．a≥4C．1＜a＜4D．1≤a≤47．函数f（x）＝ln的图象大致为（）A．B．C．D．8．已知函数f（x）＝，若f（log3x）﹣f（log x）≤2f（1），则x的取值范围为（）A．≤x≤1B．≤x≤3C．x≥D．0＜x≤3二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）9．下列四个命题中，为假命题的是（）A．∃x∈（0，1），2x＝B．“∀x∈R，x2+x﹣1＞0”的否定是“∃x∈R，x2+x﹣1＜0”C．“函数f（x）在（a，b）内f′（x）＞0”是“f（x）在（a，b）内单调递增”的充要条件D．已知f（x）在x0处存在导数，则“f'（x0）＝0”是“x0是函数f（x）的极值点”的必要不充分条件10．已知函数f（x）＝a+，则（）A．对于任意实数a，f（x）在（﹣∞，0）上均单调递减B．存在实数a，使函数f（x）为奇函数C．对任意实数a，函数f（x）在（0，+∞）上函数值均大于0D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）＞1的解集为（0，2）11．为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒．教室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示：在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y＝（）x﹣a（a为常数），则（）A．当0≤x≤0.2时，y＝5xB．当x＞0.2时，y＝（）x﹣0.1C．小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25mg以下D．小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25mg以下12．已知函数f（x）＝x﹣（x﹣1）lnx，下述结论正确的是（）A．f（x）存在唯一极值点x0，且x0∈（1，2）B．存在实数a，使得f（a）＞2C．方程f（x）＝﹣1有且仅有两个实数根，且两根互为倒数D．当k＜1时，函数f（x）与g（x）＝kx的图象有两个交点三、填空题（共4小题）.13．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，集合B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是．14．高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数y＝[x]称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，当x∈（﹣1.5，3]时，函数y＝[]的值域为．15．设x1满足2x+2x＝3，x2满足22﹣x＝2x﹣1，则x1+x2＝．16．已知λ∈R，函数f（x）＝，当λ＝0时，不等式f（x）＜0的解集是；若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，0＜x＜3}．（1）若m＝1，求A∪B；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．已知函数f（x）＝x3+2x2+x+a（a∈R）．（1）求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）有3个零点，求a的取值范围．19．已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝e x+x﹣1．（1）求f（x）的解析式；（2）若存在k∈[﹣1，1]，使不等式f（t2+t+k）+f（﹣2t2+2kt+3）＜0成立，求实数t的取值范围．20．已知函数f（x）＝e x﹣1﹣alnx．（1）若函数f（x）在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；（2）当a＞0时，证明：f（x）≥a﹣alna．21．某科技公司2019年实现利润8千万元，为提高产品竞争力，公司决定在2020年增加科研投入．假设2020年利润增加值y（千万元）与科研经费投入x（千万元）之间的关系满足：①y与（x+）成正比，其中t为常数，且t∈[1，16]；②当x＝2时，y＝4+t；③2020年科研经费投入x不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%．（1）求y关于x的函数表达式；（2）求2020年利润增加值y的最大值以及相应的x的值．22．已知函数f（x）＝lnx+a（x2﹣x），a∈R．（1）讨论函数f（x）极值点的个数；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜﹣3﹣4ln2．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知全集U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，3，4}，B＝{0，1，2}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{0}B．{2}C．{0，2}D．{0，2，4}【分析】可知阴影部分表示的集合为∁B（A∩B），从而进行交集和补集的运算即可．解：A∩B＝{1}，∴∁B（A∩B）＝{0，2}，故选：C．2．已知a＝log3，b＝（），c＝log，则a，b，c的大小关系为A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】可以得出，然后即可得出a，b，c 的大小关系．解：∵，，，∴c＞b＞a．故选：B．3．函数f（x）＝+lg的定义域为（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，3]C．（﹣3，﹣1）∪（﹣1，3）D．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，3]【分析】根据二次根式的性质以及对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可．解：由题意，得，∴，解得﹣5＜x＜﹣1或﹣1＜x≤3，故选：D．4．已知函数f（x）＝x2+ax+a2+1为偶函数，则f（x）在x＝1处的切线方程为（）A．2x﹣y＝0B．2x﹣y+1＝0C．2x﹣y+2＝0D．2x﹣y﹣1＝0【分析】先根据f（x）为偶函数求出a的值，然后对f（x）求导，得到f（x）在x＝1处的切线斜率，再求出切线方程．解：∵f（x）为偶函数，∴a＝0，∴f（x）＝x2+1，∴f'（x）＝2x，又f（1）＝8，∴f（x）在x＝1处的切线方程为y﹣2＝2（x﹣1），故选：A．5．根据我国《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》规定，车辆驾驶人员100mL 血液中酒精含量在[20，80）（单位：mg）即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．某人喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.8mg/mL，此时他停止饮酒，其血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少，为避免酒后驾车，他至少经过n小时才能开车，则n的最小整数值为（）A．5B．6C．7D．8【分析】先计算出100mL血液中酒精含量，再计算n小时后血液中酒精含量，列出不等式，求得结果．【解答】∵0.8×100＝80，∴喝酒后驾驶员100mL血液中酒精含量为80mg，则n小时后的血液中酒精含量为80×（1﹣20%）n＝160×0.7n，故选：C．6．若函数f（x）＝x3+（2﹣a）x2+x+1在其定义域上不单调，则实数a的取值范围为（）A．a＜1或a＞4B．a≥4C．1＜a＜4D．1≤a≤4【分析】求出函数的导数，得到f′（x）＝0有变号零点，结合二次函数的性质可求．解：f′（x）＝3x2+2（2﹣a）x+，若函数f（x）＝x3+（2﹣a）x2+x+1在其定义域上不单调，故△＝4（7﹣a）2﹣4a＞0，解得：a＞7或a＜1，故选：A．7．函数f（x）＝ln的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】先根据函数奇偶性的概念可判断出函数f（x）为奇函数，于是排除选项A和D；再对比选项B和C，只需计算x＝时的函数值y，并与0比较大小即可作出选择．解：因为f（﹣x）＝ln＝﹣ln＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项A 和D；又因为f（）＝ln＝ln＜0，所以排除选项C，故选：B．8．已知函数f（x）＝，若f（log3x）﹣f（log x）≤2f（1），则x的取值范围为（）A．≤x≤1B．≤x≤3C．x≥D．0＜x≤3【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数且在R上为增函数，据此可得原不等式等价于f（log3x）≤f（1），则有log3x≤1，解可得x的取值范围，即可得答案．解：根据题意，f（x）＝＝e x﹣e﹣x，其定义域为R，有f（﹣x）＝e x﹣e﹣x＝﹣（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），函数f（x）为奇函数，f（log3x）﹣f（log x）≤2f（1）⇒f（log3x）﹣f（﹣log3x）≤8f（1）⇒f（log3x）≤f （1）⇒log3x≤1⇒0＜x≤3，故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列四个命题中，为假命题的是（）A．∃x∈（0，1），2x＝B．“∀x∈R，x2+x﹣1＞0”的否定是“∃x∈R，x2+x﹣1＜0”C．“函数f（x）在（a，b）内f′（x）＞0”是“f（x）在（a，b）内单调递增”的充要条件D．已知f（x）在x0处存在导数，则“f'（x0）＝0”是“x0是函数f（x）的极值点”的必要不充分条件【分析】根据各命题对应的知识逐个判断即可解出．对于A，利用导数判断其单调性，再根据零点存在性定理即可判断；对于B，由全称命题的否定是特称命题即可判断；对于C，根据函数的单调性与导数的关系即可判断；对于D，根据极值存在的条件即可判断；解：对于A，设f（x）＝2x﹣，x∈（0，1），因为f′（x）＝2x ln3+＞0，所以f（x）在（0，1）上单调递增，而f（）＝﹣2＜0，f（1）＝1＞4，∴f（）f （1）＜0，对于B，“∀x∈R，x2+x﹣1＞4”的否定是“∃x∈R，x2+x﹣1≤0”B不正确；对于D，因为f（x）在x6处存在导数，根据极值点的定义可知，但是“f'（x0）＝0”不一定可以推出“x2是函数f（x）的极值点”，但是x＝0不是函数f（x）的极值点，D正确．故选：BC．10．已知函数f（x）＝a+，则（）A．对于任意实数a，f（x）在（﹣∞，0）上均单调递减B．存在实数a，使函数f（x）为奇函数C．对任意实数a，函数f（x）在（0，+∞）上函数值均大于0D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）＞1的解集为（0，2）【分析】根据各选项条件，逐一判断即可解出．对于A，判断函数f（x）的导数在（﹣∞，0）上的符号即可；对于B，根据奇函数的定义即可求出是否存在这样的实数；对于C，赋值即可判断；对于D，根据方程的根与不等式的解集端点的关系即可判断．解：对于A，当x∈（﹣∞，0），f′（x）＝＜0，所以，对于任意实数a，f（x）在（﹣∞，0）上均单调递减，A正确；a+＝﹣（a+），变形可得，2a＝1，解得a＝，对于C，取a＝﹣10，f（1）＝﹣2＜0，C不正确；故选：ABD．11．为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒．教室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示：在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y＝（）x﹣a（a为常数），则（）A．当0≤x≤0.2时，y＝5xB．当x＞0.2时，y＝（）x﹣0.1C．小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25mg以下D．小时后，教室内每立方米空气中的含药量可降低到0.25mg以下【分析】利用待定系数法求出函数解析式，并根据函数解析式计算药含量变化情况．解：当0≤x≤0.2时，设y＝kx，则1＝0.7k，故k＝5，故A正确；当x＞0.2时，把（0.2，1）代入y＝（）x﹣a可得：（）0.2﹣a＝2，∴a＝0.2，故B错误；故选：AD．12．已知函数f（x）＝x﹣（x﹣1）lnx，下述结论正确的是（）A．f（x）存在唯一极值点x0，且x0∈（1，2）B．存在实数a，使得f（a）＞2C．方程f（x）＝﹣1有且仅有两个实数根，且两根互为倒数D．当k＜1时，函数f（x）与g（x）＝kx的图象有两个交点【分析】对f（x）求导得f′（x）＝，设g（x）＝1﹣xlnx，x∈（0，+∞），求导数分析g（x）单调性；根据各选项条件，逐一判断即可．对于选项A，由g（x）在（1，2）上单调性，且g（1）＞0，g（2）＜0，推出g（x）在区间（1，2）内存在零点x0，进而函数f（x）存在唯一极值点x0，且x0∈（1，2），A正确；对于选项B，令h（x）＝f（x）﹣2＝x﹣（x﹣1）lnx﹣2，只需分析存在实数a，h（x）＞0，即可确定选项B是否正确．对于C选项，方程f（x）＝﹣1的根⇔f（x）+1＝0的根⇔x﹣（x﹣1）lnx+1＝0的根，设p（x）＝x﹣（x﹣1）lnx+1，只需确定函数p（x）的零点个数，即可确定选项C是否正确．对于D选项，函数f（x）与g（x）＝kx的图象交点⇔方程x﹣（x﹣1）lnx＝kx的根⇔＝k的根，令q（x）＝，只需分析q（x）的零点为2个时，k的取值范围，即可确定D是否正确．解：函数f（x）＝x﹣（x﹣1）lnx，x∈（0，+∞）；则f′（x）＝1﹣lnx﹣＝；g′（x）＝﹣lnx﹣1在（，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，又g（1）＝4＞0，g（2）＝1﹣2ln2＝6﹣ln4＜1﹣lne＝0，所以函数f（x）存在唯一极值点x0，且x0∈（1，3），A正确；h′（x）＝1﹣lnx﹣＝；g（x）max＝g（）＝1﹣ln＝1+lne＞4，再结合A选项可知，g（x）有唯一的零点x0∈（1，2），且1﹣x0lnx0＝7，即lnx0＝当x∈（x5，+∞）时，g（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）单调递减，＝x0+lnx0﹣3＝x0+﹣3，x0∈（1，2），所以h（x）max＜0，对于C选项，方程f（x）＝﹣2的根⇔f（x）+1＝0的根，设p（x）＝x﹣（x﹣1）lnx+1，由g（x）＝1﹣xlnx的单调性可知，x→0时，g（x）→2；x→+∞时，g（x）→﹣∞．所以当x∈（0，x0）时，g（x）＞3，p′（x）＞0，p（x）单调递增，所以p（x）max＝h（x0）＝x0﹣（x0﹣2）lnx0+1＝x2﹣x0lnx0+lnx0+1＝x0﹣1+lnx0+1所以p（x）＝x0+lnx0＞0，所以函数p（x）有两个零点，所以m﹣（m﹣2）lnm+1＝0，p（）＝﹣（﹣1）ln+1＝+（﹣6）lnm+1把①代入，得，对于D选项，即为＝k的根，q′（x）＝＝，t′（x）＝﹣1﹣＜0，又t（1）＝0，在（1，+∞）上，t（x）＜0，q′（x）＜3，q（x）单调递减，所以当k＜1时，q（x）有两个零点，即函数f（x）与g（x）＝kx的图象有两个交点．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，集合B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是[2，+∞）．【分析】由集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，A⊆B，由集合包含关系的定义比较两个集合的端点可直接得出结解：∵集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，∴a≥2，故答案为[8，+∞）14．高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数y＝[x]称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，当x∈（﹣1.5，3]时，函数y＝[]的值域为{﹣2，﹣1，0}．【分析】直接利用函数的取整问题和根类讨论思想的应用求出结果．解：由于[x]表示不超过实数x的最大整数，所以：当x∈（﹣1.5，0）时，＝﹣2，当x∈[2，3]时，．故答案为：{﹣2，﹣8，0}．15．设x1满足2x+2x＝3，x2满足22﹣x＝2x﹣1，则x1+x2＝2．【分析】令t＝2﹣x2得到2t+2t＝3，利用函数y＝2x+2x+3在（0，+∞）上单调递增，可得t＝x1，即2﹣x2＝x1，故可求得答案．解：因为x2满足24﹣x＝2x﹣1，即有＝2x2﹣1，令t＝2﹣x2，则x2＝2﹣t，则＝2x2﹣4可化为2t＝2（2﹣t）﹣1，即2t+3t＝3，因为函数y＝2x+2x+3在（0，+∞）上单调递增，又因为3t+2t＝3，即2﹣x7＝x1，故答案为：2．16．已知λ∈R，函数f（x）＝，当λ＝0时，不等式f（x）＜0的解集是（﹣2，1）；若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是λ＜﹣2或0≤λ＜1．【分析】（1）分情况解不等式组求出x的范围；（2）对λ的取值范围进行讨论，得出f（x）的零点个数，得出答案．解：（1）λ＝0时，由f（x）＜0可得：或，解得0＜x＜3或﹣2＜x≤0，∴f（x）＜0的解集是（﹣2，5）．①若λ＜﹣2，则f（x）在（﹣∞，λ]上无零点，在（λ，+∞）上有两个零点0，1，符合题意；②若﹣6≤λ＜0，则f（x）在（﹣∞，λ]上有1个零点﹣2，在（λ，+∞）上有两个零点0，1，不符合题意；③若0≤λ＜3，则f（x）在（﹣∞，λ]上有1个零点﹣2，在（λ，+∞）上有1个零点1，符合题意；④λ≥4，则f（x）在（﹣∞，λ]上有1个零点﹣2，在（λ，+∞）上无零点，不符合题意；综上，λ＜﹣2或0≤λ＜4．故答案为：（﹣2，1），λ＜﹣2或0≤λ＜7．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，0＜x＜3}．（1）若m＝1，求A∪B；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝1代入，利用根式内部的代数式大于等于0求解x的范围可得A，求解指数函数的值域得到B，取并集得答案；（2）利用根式内部的代数式大于等于0求解x的范围可得A，由（1）可得B，再由q 是p的必要不充分条件，得A⫋B，转化为两集合端点值间的关系求解m的范围．解：（1）若m＝1，由x（2﹣x）≥0，得x（x﹣2）≤3，解得0≤x≤2．∴A＝[0，2]，∴B＝（1，4）．（2）由（x﹣m+1）（m+1﹣x）≥0，可得m﹣7≤x≤m+1．由（1）知B＝（1，8），则，解得2＜m＜7．∴实数m的取值范围是（2，7）．18．已知函数f（x）＝x3+2x2+x+a（a∈R）．（1）求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）有3个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求导得f′（x），令f′（x）＝0得x＝﹣或x＝﹣1，列表格分析随着x变化f′（x），f（x）变化情况，进而得出极值．（2）由（1）可知要使得函数f（x）有3个零点，只需，进而解出a的取值范围．解：（1）f′（x）＝3x2+8x+1，令f′（x）＝3x2+4x+1＝0，解得x＝﹣或x＝﹣5，x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，﹣）﹣（﹣，+∞）f′（x）+0﹣8+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，当x＝﹣1时，f（x）取得极大值a，当x＝﹣时，f（x）取得极小值a﹣．只需，解得0＜a＜．19．已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）＝e x+x﹣1．（1）求f（x）的解析式；（2）若存在k∈[﹣1，1]，使不等式f（t2+t+k）+f（﹣2t2+2kt+3）＜0成立，求实数t的取值范围．【分析】（1）根据函数的奇偶性求出函数的解析式即可；（2）问题等价于f（t2+t+k）＜f（2t2﹣2kt﹣3），即t2+t+k＜2t2﹣2kt﹣3，于是原问题可化为，存在k∈[﹣1，1]，使得g（k）＝（1+2t）k﹣t2+t+3＜0有解，只需g（1）＜0或g（﹣1）＜0，得到关于t的不等式，解出即可．解：（1）由x＜0，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（e﹣x﹣x﹣1）＝﹣e﹣x+x+1，（6）当x≥0时，f′（x）＝1+e x＞0，又f（x）是R的奇函数，故f（x）在R递增，即t2+t+k＜2t2﹣2kt﹣3，于是原问题可化为，只需g（5）＜0或g（﹣1）＜0，由g（﹣1）＝t2﹣t+2＜0，解得：t＞1或t＜﹣3，故t＞1或t＜﹣1．20．已知函数f（x）＝e x﹣1﹣alnx．（1）若函数f（x）在定义域上单调递增，求实数a的取值范围；（2）当a＞0时，证明：f（x）≥a﹣alna．【分析】（1）由题意得，f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立⇒a≤xe x﹣1在（0，+∞）上恒成立，只需a≤g（x）最小值即可．令g（x）＝xe x﹣1，求导数，分析函数g（x）的单调性，得出g（x）的最小值，进而得出答案．（2）当a＞0时，f′（x）＝，由（1）知函数g（x）＝xe x﹣1在（0，+∞）上单调递增且g（x）∈（0，+∞），⇒存在唯一的x0＞0满足x0e＝a⇒e＝⇒x0﹣1＝lna﹣lnx0，且f（x0）为f（x）在（0，+∞）上取到最小值⇒f（x0）＝+ax0﹣a ﹣alna＝a﹣alna，不等式得证．解：（1）由题意得，f′（x）＝e x﹣1﹣≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≤xe x﹣1在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）＝xe x﹣1在（2，+∞）上单调递增，（2）证明方法一：当a＞0时，f′（x）＝e x﹣1﹣＝，因此，存在唯一的x0＞7满足x0e＝a，因此f（x8）为f（x）在（0，+∞）上的极小值，也是最小值．因为x0e＝a，所以e＝，x0﹣1＝lna﹣lnx0，证明方法二：g′（x）＝e x﹣1﹣1，在（3，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）≥0，即e x﹣1≥x，令h（x）＝x﹣alnx，（a＞0，x＞0）所以在（0，a）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，所以h（x）min＝h（a）＝a﹣alna，由①②得e x﹣4﹣alnx≥a﹣alna．21．某科技公司2019年实现利润8千万元，为提高产品竞争力，公司决定在2020年增加科研投入．假设2020年利润增加值y（千万元）与科研经费投入x（千万元）之间的关系满足：①y与（x+）成正比，其中t为常数，且t∈[1，16]；②当x＝2时，y＝4+t；③2020年科研经费投入x不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%．（1）求y关于x的函数表达式；（2）求2020年利润增加值y的最大值以及相应的x的值．【分析】（1）设y＝k（x+），结合当x＝2时，y＝4+t列式求得k值，可得函数解析式，再由题意求出x的范围可得函数定义域；（2）令y＝f（x）＝2x+，x∈[2，6]，t∈[1，16]．求得函数的导函数，然后对t分类可得y＝2x+在[2，6]上的单调性，然后求解最值，并求得相应的x值．解：（1）设y＝k（x+），当x＝2时，y＝k（2+）＝4+t，得k＝7．∴y＝2x+．∴函数定义域为x∈[2，6]．（5）令y＝f（x）＝2x+，x∈[2，6]，t∈[1，16]．当6≤t≤4时，y′≥0恒成立，y＝2x+在[2，8]上单调递增，当4＜t≤16时，y′＝．此时y max＝max{f（2），f（6）}．∴f（6）﹣f（2）＝12+﹣（4+t）＝8﹣；当12＜t≤16时，8﹣＜0，f（6）＜f（8），y max＝f（2）＝4+t．当12＜t≤16时，科研经费投入2千万元，利润增加值y的最大值为（4+t）千万元．22．已知函数f（x）＝lnx+a（x2﹣x），a∈R．（1）讨论函数f（x）极值点的个数；（2）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜﹣3﹣4ln2．【分析】（1）求导得f′（x）＝，x＞0，分当a＝0时，当a≠0时两大类情况讨论导数的正负，f（x）函数的单调性，进而得极值点个数．其中当a≠0时，令g （x）＝2ax2﹣ax+1＝0，△＝a2﹣8a时，在分△＞0，△＝0，△＜0三种情况讨论函数g （x）的正负，即f′（x）的正负，函数f（x）的单调性，进而得极值点个数．（2）由（1）知，当a＞8时，函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1+x2＝，x1x2＝，再代入f（x1）+f（x2）化简得f（x1）+f（x2）＝﹣ln（2a）﹣﹣1，a＞8，再令h（a）＝﹣ln（2a）﹣﹣1，a＞8，求导分析单调性得，h（a）的最大值，进而得出结论．解：（1）f′（x）＝+a（2x﹣1）＝，x＞0，当a＝0时，f′（x）＝＞6，f（x）在（0，+∞）单调递增，没有极值点．方程g（x）＝2ax2﹣ax+1＝0的两根为x1，x2，且x2＜x2，知g（x）＝0的两根x1，x2，满足x5＜0＜＜x5，当x∈（x2，+∞），g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，若0＜a≤4时，则△≤0，g（x）＝2ax2﹣ax+3≥0，即f′（x）≥0恒成立，若a＞8时，则△＞0，注意到g（4）＝1，x1+x2＝，当x∈（0，x1），g（x）＞0，f′（x）＞8，f（x）单调递增，当x∈（x2，+∞），g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，综上：当a＜0时，f（x）有一个极值点，当a＞4时，f（x）有两个极值点．且x1+x2＝，x1x8＝，＝ln（x1x2）+a（x5+x2）2﹣2ax7x2﹣a（x1+x2）＝﹣ln（2a）﹣﹣5，a＞8，则h′（a）＝（﹣ln2﹣lna﹣﹣1）′＝﹣﹣＜0，所以h（a）＜h（8）＝﹣3﹣4ln2，所以f（x1）+f（x4）＜﹣3﹣4ln2．。
山东省烟台市2019-2020学年度第一学期期末学业水平诊断高二数学试题
2019-2020学年度第一学期期末学业水平诊断高二数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设x R ∈，则“1x >”是“21x >”的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件2.设命题p ：梯形的对角线相等，则p ⌝为（ ）A .梯形的对角线不相等B .有的梯形对角线相等C .有的梯形对角线不相等D .不是梯形的四边形对角线不相等3.下列命题中假命题为（ ）A .x R ∀∈,120x ->B .[]0,x π∀∈，sin x x >C .0x R ∃∈,0tan 2x =D .()00,x ∃∈+∞，20log 1x > 4.已知空间向量()1,1,a λλ=+，()6,1,4b μ=-，若a b ，则λμ+=（ ） A .3 B .3- C .5 D .5-5.已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>,过M 的右焦点()3,0F 作直线交椭圆于,A B 两点，若AB 中点坐标为()2,1，则椭圆M 的方程为（ ）A .22196x y += B .2214x y += C .221123x y += D .221189x y += 6.在三棱锥P ABC -中，M 为PA 的中点，N 在BC 上，且2BN NC =,则（ ）A .112233MN PA PB PC =-++ B .112334MN PA PB PC =--+ C .112233MN PA PB PC =-+ D .112233MN PA PB PC =-+- 7.如图，已知两条异面直线a ，b 所成的角为θ，点M ，N 分别在a ，b 上，且MN a ⊥，MN b ⊥，P ,Q 分别为直线a ，b 上位于线段MN 同侧的两点，则PQ 的长为（ ）A BC D8.设抛物线28y x =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于点A ，B ，与圆22430x y x +-+=交于点P ，Q ，其中点A ，P 在第一象限，则2||||AP QB +的最小值为（ ）A .3B .5C .5D .3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外的任一点，则“点M 与点A ，B ，C 共面”的充分条件是（ ）A .2OM OA OB OC =--B .OM OA OB OC =+- C .1123OM OA OB OC =++D .111236OM OA OB OC =++10.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =,,,,E F P Q 分别为棱AB ，AD ，1DD ，1BB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A .AC BP ⊥B .1B D ⊥平面EFPQC .1BC 平面EFPQD .直线1A D 和AC 11.已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与E 交于A ，B 两点，C ，D 分别为A ，B 在l 上的射影，且||3||AF BF =，M 为AB 中点，则下列结论正确的是（ ）A .90CFD ∠=︒B .CMD ∆为等腰直角三角形C .直线AB 的斜率为D .AOB ∆的面积为4 12.已知1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，A 为左顶点，P 为双曲线右支上一点，若12||2||PF PF =且12PF F ∆的最小内角为30︒，则（ ）A .B .双曲线的渐近线方程为y =C .245PAF ∠=︒D .直线220x y +-=与双曲线有两个公共点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.“0x <”是“x m <”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为__________.14.若“[]01,2x ∃∈，20010x ax -->”为真命题，则实数a 的取值范围为________.15.过椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点F 作斜率为12的直线l 与C 交于,A B 两点，若||||OF OA =，则椭圆C 的离心率为_________.16.如图所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1AB AA AD ==，160BAD DAA ∠=∠=︒，130BAA ∠=︒，N 为11A D 上一点，且111A N A D λ=.若BD AN ⊥，则λ的值为________；若M 为棱1DD 的中点，BM 平面1AB N ，则λ的值为________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.给出以下条件：①x R ∀∈，210ax ax ++≥，②方程22115x y a a +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，③函数3211()32a f x x x x -=-+无极值点.从中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题的详细解答. 己知p ：实数a 满足22110a m a m m -+++≤（）（），q ：实数a 满足________，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18.求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）短轴长等于23，离心率等于12的椭圆； （2）与椭圆2211625x y +=共焦点，且过点()4,5的双曲线. 19.如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，FD ⊥平面ABCD ，BE FD ,且22DF BE ==.（1）求直线AD 和平面AEF 所成角的大小；（2）求二面角E AF D --的平面角的大小.20.如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，2PA AC BC ==.（1）若PA PB ⊥，求证：平面PAB ⊥平面PBC ；（2）若PA 与平面ABC 所成的角为60︒，求二面角C PB A --的余弦值.21.已知F 为抛物线()220y px p =>的焦点，过F 且倾斜角为45︒的直线交抛物线于A ，B 两点，||8AB =.（1）求抛物线的方程；（2）已知()0,1P x -为抛物线上一点，M ，N 为抛物线上异于P 的两点，且满足2PM PN k k ⋅=-，试探究直线MN 是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，四点()12,0P ,233,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,331,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,431,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭中恰有三点在椭圆上.（1）求椭圆C 的方程；（2）设不经过左焦点1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若直线1AF 、l 、1BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 的斜率k 的取值范围.。
烟台市2019-2020学年数学高二下期末检测试题含解析
烟台市2019-2020学年数学高二下期末检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示的电路有a ，b ，c ，d 四个开关，每个开关断开与闭合的概率均为12且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为（ ）A ．116B ．18C ．316D ．14【答案】C 【解析】 【分析】由独立事件同时发生的概率公式计算．把,c d 组成一个事整体，先计算它通路的概率． 【详解】记,c d 通路为事件M ，则213()1()24P M =-=， 所以灯泡亮的概率为113322416P =⨯⨯=． 故选：C. 【点睛】本题考查相互独立 事件同时发生的概率，由独立事件的概率公式计算即可．2．已知函数()f x 的定义域为D ，若对于,,a b c D ∀∈，(),(),()f a f b f c 分别为某三角形的三边长，则称()f x 为“三角形函数”.给出下列四个函数：①()(0)xf x e x =>②2()3(01)f x x x =+≤≤③12()(14)f x x x =≤≤④22()21x xf x +=+.其中为“三角形函数”的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据构成三角形条件，可知函数需满足max min min ()()()f x f x f x -<，由四个函数解析式，分别求得其值域，即可判断是否满足不等式成立. 【详解】根据题意，对于,,a b c D ∀∈，(),(),()f a f b f c 分别为某三角形的三边长，由三角形性质可知需满足max min min ()()()f x f x f x -<：对于①，()(0)xf x e x =>，如当1,1,10a b c ===时不能构成三角形，所以①不是“三角形函数”；对于②，2()3(01)f x x x =+≤≤，则[]()3,4f x ∈，满足max min min ()()()f x f x f x -<，所以②是“三角形函数”；对于③，12()(14)f x x x =≤≤，则[]()1,2f x ∈，当1,1,2a b c ===时不能构成三角形，所以③不是“三角形函数”；对于④，221()12121x x xf x +==+++，由指数函数性质可得()()1,2f x ∈，满足max min min ()()()f x f x f x -<，所以④是“三角形函数”；综上可知，为“三角形函数”的有②④， 故选：B. 【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用，函数值域的求法，三角形构成的条件应用，属于中档题. 3．若a R ∈，则“复数32aiz i-=的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限”是“0a >”（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先将复数z 化简成z a bi =+形式，得其共轭复数，通过对应的点在第二象限求出a 的取值范围，即可判断与0a >的关系． 【详解】22323223ai i ai z a i i i--===--，所以共轭复数23z a i =-+， 因为共轭复数在复平面内对应的点在第二象限 所以20a -<，解得0a > 所以“复数32aiz i-=的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限”是“0a >” 充要条件，故选C 【点睛】本题考查复数的基本运算与充要关系，解题的关键是先通过条件求出a 的取值范围，属于一般题． 4．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）A ．1y x=-B ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．3y x =D ．2log y x =【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性定义，代入-x 检验即可判断是奇函数或偶函数；根据基本初等函数的图像即可判断函数是否为增函数． 【详解】 A ．1y x=-在定义域上既不是增函数，也不是减函数； B ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数； C ．3y x = 在其定义域上既是奇函数又是增函数； D ．2log y x =在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数， 故选C ． 【点睛】本题考查了函数的奇偶性及单调性的简单应用，属于基础题．5．二项式6ax ⎛+ ⎝⎭的展开式中5x20ax dx =⎰（ ） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理的展开式可得a ，再利用微积分基本定理即可得出． 【详解】 二项式（ax6的展开式中通项公式：T r+2=663()r r-（ax ）r ，令r=2，则T 6=56a 2x 2．∵x 256×6a 2，解得a=2． 则0a⎰x 2dx=1⎰x 2dx=3101|3x =13． 故选：A ．【点睛】用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加6．执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2019，则输出的y 值为（ ）A ．18B ．14C ．12D ．1【答案】C 【解析】 【分析】读懂流程图，可知每循环一次，x 的值减少4，当0x <时，得到2xy =的值.【详解】根据流程图，可知每循环一次，x 的值减少4，输入2019x =，因为2019除以4余3，经过多次循环后3x =，再经过一次循环后1x =-满足0x <的条件， 输出11222xy -===【点睛】流程图的简单问题，找到循环规律，得到x 的值，得到输出值.属于简单题. 7．已知,,a b c ∈R ，命题“若22233a b c a b c ++=++≥，则”的否命题是 A ．若3a b c ++≠，则2223a b c ++<B ．若3a b c ++=，则2223a b c ++<C ．若3a b c ++≠，则2223a b c ++≥D ．若3a b c ++≥，则3a b c ++=【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】根据否命题的定义：即否定条件又否定结论， 命题“若a+b+c=3，则a 2+b 2+c 2≥3”的否命题是 “若a+b+c≠3，则a 2+b 2+c 2＜3” 故选A 8．已知复数21iz i+=+，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 因为2(2)(1)31222i i i i z i ++-===-+，所以复数z 在复平面内对应的点为31(,)22-，在第四象限，选D.9．某市某校在秋季运动会中，安排了篮球投篮比赛.现有20名同学参加篮球投篮比赛，已知每名同学投进的概率均为0.4，每名同学有2次投篮机会，且各同学投篮之间没有影响.现规定：投进两个得4分，投进一个得2分，一个未进得0分，则其中一名同学得2分的概率为（ ） A ．0.5 B ．0.48C ．0.4D ．0.32【答案】B 【解析】 【分析】事件“第一次投进球”和“第二次投进球”是相互独立的，利用对立事件和相互独立事件可求“其中一名同学得2分”的概率. 【详解】设“第一次投进球”为事件A ，“第二次投进球”为事件B ，则得2分的概率为()()0.4p P AB P AB =+=⨯0.60.60.40.48+⨯=.故选B .【点睛】本题考查对立事件、相互独立事件，注意互斥事件、对立事件和独立事件三者之间的区别，互斥事件指不同时发生的事件，对立事件指不同时发生的事件且必有一个发生的两个事件，而独立事件指一个事件的发生与否与另一个事件没有关系.10．二项式()521x -的展开式的各项中，二项式系数最大的项为( )A ．20xB ．20x 和240x -C ．240x -和380xD ．380x【答案】C 【解析】 【分析】先由二项式，确定其展开式各项的二项式系数为5kC (0,1,2,3,4,5)k =，进而可确定其最大值.【详解】因为二项式()521x -展开式的各项的二项式系数为5kC (0,1,2,3,4,5)k =，易知当2k =或3时，5kC 最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第三项和第四项. 故第三项为252522352(1)80C x x ---=；第四项为353533252(1)40C x x ---=-.故选C 【点睛】本题主要考查二项式系数最大的项，熟记二项式定理即可，属于常考题型.11．己知命题P ：单位向量的方向均相同，命题q ：实数a 的平方为负数。
烟台高二期末考试数学试题
2019-2020学年度第二学期期末学业水平诊断高二数学参考答案一、单项选择题C BD AC A B D二、多选题 9. BC 10. ABD 11. AD 12. ACD三、填空题13. 2a ≥ 14. {2,1,0}−− 15. 2 16. (2,1)−，2λ<−或01λ≤<注：16题第一空写作：(2,0](0,1)−，也给分. 四、解答题17.解：（1）若1m =，由(2)0x x −≤，解得02x ≤≤，所以[0,2]A =. …………………………………………2分 当03x <<时，18y <<，所以(1,8)B =. ………………………………………4分 所以[0,8)A B =. ……………………………………………5分（2）由(1)(1)0x m m x −++−≥，可得11m x m −≤≤+，所以集合[1,1]A m m =−+， ……………………………………………………7分 由（1）知(1,8)B =，因为q 是p 的必要不充分条件，则A B ≠⊂. …………………………………………8分 所以1118m m −>⎧⎨+<⎩，解得27m <<. …………………………………………………10分 18.解：（1）2()341f x x x '=++，令2()3410f x x x '=++=，解得13x =−或1x =−， ……………………………3分……………………………5分 中数所以，当1x =−时，()f x 取得极大值a ，当13x =−时，()f x 取得极小值427a −. ……………………………8分（2）要使函数()f x 有3个零点， 只需04027a a >⎧⎪⎨−<⎪⎩， ……………………………………10分 解得4027a <<. ………………………………………12分 19．解：（1）当0x <， 0x −>，又因为()f x 是奇函数，所以()()(e 1)e 1x x f x f x x x −−=−−=−−−=−++， ……………………………3分所以e 1,0()1e ,0x x x x f x x x −⎧+−≥=⎨+−<⎩. ………………………………………………4分（2）当0x ≥时，()1e 0x f x '=+>，所以()f x 在[0,)+∞上是增函数.又()f x 是为R 的奇函数，所以()f x 在(,)−∞+∞上是增函数. ……………………5分 于是22(+)(22+3)0f t t k f t kt ++−+<等价于22(+)(223)f t t k f t kt +<−−，即 22+223t t k t kt +<−−. ………………………………………………6分 于是原问题可化为，存在[1,1]k ∈−，使得2()(12)30g k t k t t =+−++<有解.………………………………………………………7分 只需(1)0g <或(1)0g −<， ………………………………………………9分 由2(1)340g tt =−++<得4t >或1t <−， ………………………………10分 由2(1)20g t t −=−+<得1t >或2t <−， ………………………………11分故1t <−或1t >. ………………………………12分 20.（1）由题意，1()e 0x a f x x −'=−≥在()0,+∞上恒成立. ………………………2分 即1e x a x −≤在()0,+∞上恒成立.令1()e x g x x −=，则1()(1)e 0x g x x −'=+>，所以1()e x g x x −=在()0,+∞上单调递增.…………………………………………4分 中数学于是()(0)0g x g >=，所以0a ≤. …………………………………………6分（2）当0a >时，11e ()e x x a x a f x x x−−−'=−=， 由（1）知，函数1()e x g x x −=在(0,)+∞单增，且()(0,)g x ∈+∞.因此，存在唯一的00x >满足010e x x a −=， …………………………………8分且当00x x <<时，1e 0x x a −−<，即()0f x '<；当0x x >时，1e 0x x a −−>，即()0f x '>.因此0()f x 为()f x 在(0,)+∞上的极小值，也是最小值. …………10分下证：0()ln f x a a a ≥−.因为010e x x a −=，所以010e x a x −=，001ln ln x a x −=−， 于是0100()e ln x f x a x −=−0000(ln 1)ln a a a a x ax a a a x x =−−+=+−− …………………11分ln ln a a a a a a ≥−−=−，不等式得证. ………………………12分 21.（1）设()t y k x x =+， ………………………………………………………1分 当2x =时，4y t =+，可得2k =， …………………………………………2分 所以22t y x x=+， 因为x 不低于上一年利润的25%且不高于上一年利润的75%；所以定义域为[2,6]x ∈， …………………………………………………3分 所以y 关于x 的函数表达式为22t y x x=+，[2,6]x ∈. ………………………4分 （2）令2()2t y f x x x==+，[2,6]x ∈，[1,16]t ∈. 则22222()2t x t y x x −'=−=. 中数学当14t ≤≤时，0y '≥恒成立，22t y x x=+在[2,6]上单调递增， 此时，max (6)123t y f ==+. ………………………………………………6分当416t <≤时，22(x x y x+−'=，()f x 在单调递减，在单调递增，此时，max max{(2),(6)}y f f =. …………………………………………8分 又(2)4f t =+，(6)123t f =+， 所以(6)(2)f f −=212(4)833t t t +−+=−， 当412t <≤时，283t −≥0，(6)(2)f f >，max (6)y f =. …………………10分 当1216t <≤时，283t −<0，(6)(2)f f <，max (2)y f =. …………………11分 综上：当112t ≤≤时，科研经费投入6千万元，利润增加值y 的最大值为(12)3t +千万元；当1216t <≤时，科研经费投入2千万元，利润增加值y 的最大值为(4)t +千万元. ………………………………12分 22. 解：（1）2121()(21)ax ax f x a x x x−+'=+−=，0x >. …………………1分 当0a =时，1()0f x x'=>，()f x 在()0,+∞单调递增，没有极值点； ……2分 当0a ≠时，令2()21g x ax ax =−+，设当280a a ∆=−>时，方程2()210g x ax ax =−+=的两根为12,x x ，且12x x <.若0a <，则280a a ∆=−>，注意到(0)1g =，1212x x +=，知()0g x =的两根12,x x 中数学满足12104x x <<<.当2(0,)x x ∈，()0g x >，()0f x '>，()f x 单增； 当2(,)x x ∈+∞，()0g x <，()0f x '<，()f x 单减，所以()f x 只有一个极值点； …………………4分若08a <≤，则0∆≤，2()210g x ax ax =−+≥，即()0f x '≥恒成立，()f x 在()0,+∞ 单调递增，所以()f x 没有极值点； …………………………………………6分若8a >，则0∆>，注意到(0)1g =，1212x x +=，知()0g x =的两根12,x x 满足12104x x <<<.当1(0,)x x ∈，()0g x >，()0f x '>，()f x 单增； 当12(,)x x x ∈，()0g x <，()0f x '<，()f x 单减； 当2(,)x x ∈+∞，()0g x >，()0f x '>，()f x 单增；所以()f x 有两个极值点.综上：当0a <时，()f x 有一个极值点；当08a ≤≤时，()f x 没有极值点；当8a >时，()f x 有两个极值点. ……………………………………………8分（2）由（1）知， 当8a >时，函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1212x x +=，1212x x a=. 所以2212111222()()ln ()ln ()f x f x x a x x x a x x +=+−++− 212121212ln()()2()x x a x x ax x a x x =++−−+1ln1ln(2)1244a a a a =−−=−−−，8a >， ………………10分 令()ln(2)14a h a a =−−−，8a >. 则11()(ln 2ln 1)044a h a a a''=−−−−=−−<，所以()h a 在()8,+∞单调递减，所以()(8)34ln 2h a h <=−−，所以12()()34ln 2f x f x +<−−. ………………12分中数学。
2019-2020学年人教A版山东省烟台市高二第一学期期末检测数学试卷 含解析
2019-2020学年高二第一学期期末检测数学试卷一、选择题1．设x∈R，则“x＞1”是“x2＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2．设命题p：梯形的对角线相等，则￢p为（）A．梯形的对角线不相等B．有的梯形对角线相等C．有的梯形对角线不相等D．不是梯形的四边形对角线不相等3．下列命题中假命题为（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈[0，π]，x＞sin xC．∃x0∈R，tan x0＝2 D．∃x0∈（0，+∞），log2x0＞14．已知空间向量＝（λ+1，1，λ），＝（6，μ﹣1，4），若∥，则λ+μ＝（）A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣55．已知椭圆（a＞b＞0），过M的右焦点F（3，0）作直线交椭圆于A，B 两点，若AB中点坐标为（2，1），则椭圆M的方程为（）A．B．C．D．6．在三棱锥P﹣ABC中，M为PA的中点，N在BC上，且BN＝2NC，则（）A．B．C．D．7．如图，已知两条异面直线a，b所成的角为θ，点M，N分别在a，b上，且MN⊥a，MN ⊥b，P，Q分别为直线a，b上位于线段MN同侧的两点，则PQ的长为（）A．B．C．D．8．设抛物线y2＝8x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，与圆x2+y2﹣4x+3＝0交于点P，Q，其中点A，P在第一象限，则2|AP|+|QB|的最小值为（）A．B．C．D．二、多项选择题9．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是（）A．B．C．D．10．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，，E，F，P，Q分别为棱AB，AD，DD1，BB1的中点，则下列结论正确的是（）A．AC⊥BPB．B1D⊥平面EFPQC．BC1∥平面EFPQD．直线A，D和AC所成角的余弦值为11．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D 分别为A，B在l上的射影，且|AF|＝3|BF|，M为AB中点，则下列结论正确的是（）A．∠CFD＝90°B．△CMD为等腰直角三角形C．直线AB的斜率为D．△AOB的面积为412．已知F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若|PF1|＝2|PF2|且△PF1F2的最小内角为30°，则（）A．双曲线的离心率B．双曲线的渐近线方程为C．∠PAF2＝45°D．直线x+2y﹣2＝0与双曲线有两个公共点三、填空题13．“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，则a的取值范围是．14．若“∃x0∈[1，2]，x02﹣ax0﹣1＞0”为真命题，则实数a的取值范围为．15．过椭圆（a＞b＞0）的左焦点F作斜率为的直线l与C交于A，B两点，若|OF|＝|OA|，则椭圆C的离心率为．16．如图所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为AA1D1上一点，且A1N＝λA1D1．若BD⊥AN，则λ的值为；若M 为棱DD1的中点，BM∥平面AB1N，则λ的值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．给出以下条件：①∀x∈R，ax2+ax+1≥0，②方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，③函数f（x）＝+x无极值点．从中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题的详细解答．已知p：实数a满足a2﹣（2m+1）a+m（m+1）≤0，q：实数a 满足，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18．求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）短轴长等于，离心率等于的椭圆；（2）与椭圆共焦点，且过点（4，5）的双曲线．19．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，FD⊥平面ABCD，BE∥FD，且DF ＝2BE＝2．（1）求直线AD和平面AEF所成角的大小；（2）求二面角E﹣AF﹣D的平面角的大小．20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，PA＝AC＝2BC．（1）若PA⊥PB，求证：平面PAB⊥平面PBC；（2）若PA与平面ABC所成的角为60°，求二面角C﹣PB﹣A的余弦值．21．已知F为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，过F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，|AB|＝8．（1）求抛物线的方程：（2）已知P（x0，﹣1）为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足k PM•k PN ＝﹣2，试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由．22．已如椭圆（a＞b＞0），四点P1（2，0），，，中恰有三点在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）设不经过左焦点F1的直线l交椭圆于A，B两点，若直线AF1、l、BF1的斜率依次成等差数列，求直线l的斜率k的取值范围．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．设x∈R，则“x＞1”是“x2＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解：因为“x＞1”，则“x2＞1”；但是“x2＞1”不一定有“x＞1”，所以“x＞1”，是“x2＞1”成立的充分不必要条件．故选：A．2．设命题p：梯形的对角线相等，则￢p为（）A．梯形的对角线不相等B．有的梯形对角线相等C．有的梯形对角线不相等D．不是梯形的四边形对角线不相等解：全称命题的否定是特称命题，所以命题：梯形的对角线相等的否定形式是：有的梯形对角线不相等．故选：C．3．下列命题中假命题为（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0 B．∀x∈[0，π]，x＞sin xC．∃x0∈R，tan x0＝2 D．∃x0∈（0，+∞），log2x0＞1解：对于A，根据指数函数值域为（0，+∞），所以∀x∈R，2x﹣1＞0，故A正确；对于B，当x＝0时，x＝sin x，故B错误；对于C，不妨取sin x0＝，cos x0＝，此时tan x0＝2，故C正确；对于D，不妨取x0＝4，则log2x0＝2＞1，故D正确．故选：B．4．已知空间向量＝（λ+1，1，λ），＝（6，μ﹣1，4），若∥，则λ+μ＝（）A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5解：∵＝（λ+1，1，λ），＝（6，μ﹣1，4），∥，∴，解得λ＝2，μ＝3，∴λ+μ＝2+3＝5．故选：C．5．已知椭圆（a＞b＞0），过M的右焦点F（3，0）作直线交椭圆于A，B 两点，若AB中点坐标为（2，1），则椭圆M的方程为（）A．B．C．D．解：直线AB的斜率k＝＝﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程可得：+＝1，+＝1，相减化为：﹣＝0，又c＝3，a2＝b2+c2．联立解得：a2＝18，b2＝9．可得：椭圆M的方程为：＝1．故选：D．6．在三棱锥P﹣ABC中，M为PA的中点，N在BC上，且BN＝2NC，则（）A．B．C．D．解：由M为PA的中点，N在BC上，且BN＝2NC，＝＝＝．故选：A．7．如图，已知两条异面直线a，b所成的角为θ，点M，N分别在a，b上，且MN⊥a，MN ⊥b，P，Q分别为直线a，b上位于线段MN同侧的两点，则PQ的长为（）A．B．C．D．解：设经过b与a平行的平面为α，经过a和MN的平面为β，α∩β＝c，则c∥a．因而b，c所成的角等于θ，且MN⊥c．∵MN⊥b，∴MN⊥α．根据两个平面垂直的判定定理，β⊥α．在平面β内作PG⊥c，垂足为G，则PG＝MN．根据两个平面垂直的性质定理，PG⊥α．连接QG，则PG⊥QG．在Rt△PQG中，PQ2＝PG2+QG2．在△NQG中，QG2＝NQ2+NG2﹣2NQ•NG•cosθ．又MP＝NG，PG＝MN，因此，PQ＝．故选：A．8．设抛物线y2＝8x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，与圆x2+y2﹣4x+3＝0交于点P，Q，其中点A，P在第一象限，则2|AP|+|QB|的最小值为（）A．B．C．D．解：如图所示：因为圆的方程为x2+y2﹣4x+3＝0即为（x﹣2）2+y2＝1，所以圆心（2，0），半径R＝1，因为2|AP|+|QB|＝2（|AF|﹣R）+（|BF|﹣R），所以2|AP|+|QB|＝2|AF|+|BF|﹣3，因为|AF|＝x A+＝x A+2，|BF|＝x B+＝x B+2，所以2|AP|+|QB|＝2x A+x B+3，设l：x＝my+2，所以，整理得x2﹣（4+8m2）+4＝0，所以x A x B＝4，则2|AP|+|QB|＝2x A+x B+3≥2+3＝4+3，当x A＝，x B＝2时取等号，综上可知2|AP|+|QB|最小值为4+3，故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是（）A．B．C．D．解：．A.2﹣1﹣1＝0≠1，因此点M与点A，B，C不共面；B．等式化为：＝，因此点M与点A，B，C共面．C.1+≠1，因此点M与点A，B，C不共面；D.+＝1，因此点M与点A，B，C共面．故选：BD．10．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，，E，F，P，Q分别为棱AB，AD，DD1，BB1的中点，则下列结论正确的是（）A．AC⊥BPB．B1D⊥平面EFPQC．BC1∥平面EFPQD．直线A，D和AC所成角的余弦值为解：如图，对于A，BP在底面上的射影为BD，∵AC⊥BD，∴AC⊥BP，故A正确；对于B，假设B1D⊥平面EFPQ，则B1D⊥PQ，而PQ∥B1D1，则B1D⊥B1D1，而DD1⊥B1D1，假设错误，故B错误；对于C，BC1∥AD1∥FP，FP⊂平面EFPQ，BC1⊄平面EFPQ，则BC1∥平面EFPQ，故C正确；对于D，直线A1D与AC所成角为∠DA1C1，连接A1C1，DC1，求解三角形可得cos∠DA1C1＝，故D正确．故选：ACD．11．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D 分别为A，B在l上的射影，且|AF|＝3|BF|，M为AB中点，则下列结论正确的是（）A．∠CFD＝90°B．△CMD为等腰直角三角形C．直线AB的斜率为D．△AOB的面积为4解：由题意由抛物线的对称性，焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，由题意可得直线AB的斜率不为0，由题意设直线AB的方程为：x＝my+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可知C（﹣1，y1），D（﹣1，y2），将直线AB与抛物线联立整理得：y2﹣4my﹣4＝0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，A中，∵＝（﹣2，y1）•（﹣2，y2）＝（﹣2）（﹣2）+y1y2＝4﹣4＝0，∴，即∠CFD＝90°，所以A正确；B中，由A正确，不可能CM⊥DM，更不会∠C或∠D为直角，所以B不正确；C中，因为|AF|＝3|BF|，所以＝3，即y1＝﹣3y2，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，∴，解得m2＝，m＝，所以直线AB的斜率为，所以C正确；D中，由题意可得弦长|AB|＝＝＝＝，O到直线AB的距离d＝＝＝，所以S△OAB ＝＝＝，所以D不正确，故选：AC．12．已知F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若|PF1|＝2|PF2|且△PF1F2的最小内角为30°，则（）A．双曲线的离心率B．双曲线的渐近线方程为C．∠PAF2＝45°D．直线x+2y﹣2＝0与双曲线有两个公共点解：F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若|PF1|＝2|PF2|且△PF1F2的最小内角为30°，如图，三角形△PF1F2是直角三角形，并且，可得：e＝，所以A正确；，可得渐近线方程：y＝x，所以B正确；直线x+2y﹣2＝0与双曲线的渐近线不平行，所以直线与双曲线由2个交点，所以D正确；故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，则a的取值范围是（0，+∞）．解：若“x＜0”是“x＜a”的充分非必要条件，则a的取值范围是（0，+∞），故答案为：（0，+∞）．14．若“∃x0∈[1，2]，x02﹣ax0﹣1＞0”为真命题，则实数a的取值范围为（﹣∞，）．解：命题“∃x0∈[1，2]，x02﹣ax0﹣1＞0”是真命题，即有a＜x0﹣在[1，2]的最大值，由x0﹣在[1，2]递增，可得x0＝2取得最大值，可得a＜，故答案为：（﹣∞，）．15．过椭圆（a＞b＞0）的左焦点F作斜率为的直线l与C交于A，B两点，若|OF|＝|OA|，则椭圆C的离心率为．解：过椭圆（a＞b＞0）的左焦点F作斜率为的直线l与C交于A，B 两点，可知tan∠AFO＝，|OF|＝|OA|，所以tan∠AOx＝＝，所以A（，），代入椭圆方程可得：＝1，即，解得e＝．故答案为：．16．如图所示的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为AA1D1上一点，且A1N＝λA1D1．若BD⊥AN，则λ的值为；若M为棱DD1的中点，BM∥平面AB1N，则λ的值为．解：①⊥，不妨取AB＝AA1＝AD＝1，∴•＝（﹣）•（+λ）＝•+λ﹣•﹣λ•＝cos60°+λ﹣cos30°﹣λcos60°＝﹣+λ＝0．∴λ＝．②连接A1B，与AB1交于点E．连接A1M，交AN于点F，连接EF．∵BM∥平面AB1N，∴BM∥EF．∵E点为A1B的中点，∴F点为A1M的中点．延长AN交线段DD1的延长线于点P．∵AA1∥DD1，A1F＝FM．∴AA1＝MP＝2D1P．∴＝＝2，∴＝．则λ＝．故答案为：﹣1，．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．给出以下条件：①∀x∈R，ax2+ax+1≥0，②方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，③函数f（x）＝+x无极值点．从中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题的详细解答．已知p：实数a满足a2﹣（2m+1）a+m（m+1）≤0，q：实数a 满足若选①：0≤a≤4；若选②：1＜a＜3；若选③：﹣1≤a≤3 ，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．解：p：因为（a﹣m）（a﹣m﹣1）≤0，所以m≤a≤m+1若选①：当a＝0时，符合题意；当a≠0时，得0＜a≤4，所以0≤a≤4，由已知得：[m，m+1]⫋[0，4]，所以，得0≤m≤3．若选②：方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴，∴1＜a＜3，由已知得：[m，m+1]⫋（1，3），所以，得1＜m＜2若选③：f'（x）＝x2﹣（a﹣1）x+1，则△＝（a﹣1）2﹣4≤0，∴﹣1≤a≤3由已知得：[m，m+1]⫋[﹣1，3]，所以，得﹣1≤m≤2．故答案为：选①：0≤a≤4，得0≤m≤3．若选②：1＜a＜3，得1＜m＜2若选③：﹣1≤a≤3，得﹣1≤m≤2．18．求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）短轴长等于，离心率等于的椭圆；（2）与椭圆共焦点，且过点（4，5）的双曲线．解：（1）由题意可知，，因为a2＝b2+c2，可得a＝2，若焦点在x轴上，椭圆的方程为，若焦点在y轴上，椭圆的标准方程为，（2）椭圆的焦点为（0，±3），可设双曲线方程为，将点（4，5）代入可得整理可得，m2﹣50m+225＝0，解得m＝5或m＝45（不合题意），所以双曲线的标准方程为．19．如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，FD⊥平面ABCD，BE∥FD，且DF ＝2BE＝2．（1）求直线AD和平面AEF所成角的大小；（2）求二面角E﹣AF﹣D的平面角的大小．解：（1）因为BE∥FD，所以B，E，F，D四点共面，因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，设AC与BD的交点为O，以O为坐标原点，OA，OB以及垂直于平面ABC的方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示，则，F（0，﹣1，2），E（0，1，1），，，，设＝（x，y，z）为平面AEF的一个法向量，则，令y＝1，得＝（，1，2）设直线AD和平面AEF所成角为θ，则sinθ＝＝＝，所以直线AD和平面AEF所成角为45°．（2）由（1）可知，平面AEF的一个法向量为＝（），设＝（x，y，z）为平面ADF的一个法向量，则，令x＝，得＝（），因为＝0，所以二面角E﹣AF﹣D的平面角为90°．20．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，PA＝AC＝2BC．（1）若PA⊥PB，求证：平面PAB⊥平面PBC；（2）若PA与平面ABC所成的角为60°，求二面角C﹣PB﹣A的余弦值．解：（1）证明：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，BC ⊥AC，所以BC⊥平面PAC，由PA⊂平面PAC，所以PA⊥BC，又因为PA⊥PB，PB∩BC＝B，所以PA⊥平面PBC，PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PBC；（2）解：过P作PH⊥AC，因为平面PAC⊥平面ABC，所以PH⊥平面ABC，所以∠PAH＝60，不妨设PA＝2，所以，以C为原点，分别以CA，CB所在的直线为x，y轴，以过C点且平行于PH的直线为z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，1，0），，，，，，设＝（x1，y1，z1）为面PAB的一个法向量，则有，即，令，可得＝（3，6，），设＝（x2，y2，z2）为面PBC的一个法向量，则，即，令，得＝（﹣3，0，），所以cos＜＞＝＝﹣，所以二面角C﹣PB﹣A的余弦值为．21．已知F为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，过F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，|AB|＝8．（1）求抛物线的方程：（2）已知P（x0，﹣1）为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足k PM•k PN ＝﹣2，试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由．解：（1）由已知，直线AB的方程为，联立抛物线方程y2＝2px，消y可得，，所以x1+x2＝3p，因为|AB|＝x1+x2+p＝4p＝8，所以2p＝4，即抛物线的方程为y2＝4x．（2）将P（x0，﹣1）代入y2＝4x可得，不妨设直线MN的方程为x＝my+t（m≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则y12＝4x1，y22＝4x2，联立抛物线的方程y2＝4x，消x得y2﹣4my﹣4t＝0，则有y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，△＝16m2+16t，由题意＝＝＝﹣2，化简可得，代入△＝16m2+16t＝＝，此时直线MN的方程为，所以直线MN过定点．22．已如椭圆（a＞b＞0），四点P1（2，0），，，中恰有三点在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）设不经过左焦点F1的直线l交椭圆于A，B两点，若直线AF1、l、BF1的斜率依次成等差数列，求直线l的斜率k的取值范围．解：（1）由椭圆的对称性，点P3，P4在椭圆上，代入椭圆可得，，若点在椭圆上，则有，联立无解，所以点P1（2，0）在椭圆上，代入椭圆可得，a2＝4，代入中解得，b2＝3，所以椭圆C的方程的为．（2）由（1）可知F1（﹣1，0），设直线AB的方程为，y＝kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消y可得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，则有，，且△＝（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＝48（4k2+3﹣m2）＞0，由题意可知，＝＝，化简整理可得，（m﹣k）（x1+x2+2）＝0，若m﹣k＝0，则直线AB的方程为y＝k（x+1），过点F1（﹣1，0），不满足题意所以x1+x2+2＝0，即，化简可得，，代入①中得，，整理可得16k4+8k2﹣3＞0，解得，所以直线l的斜率k的取值范围为或．。
烟台市2019-2020学年数学高二第二学期期末检测试题含解析
烟台市2019-2020学年数学高二第二学期期末检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点(1,3)P -，则它的极坐标是（ ）A ．2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,3π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．42,3π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】 由22,tan yx y xρθ=+=计算即可。
【详解】在相应的极坐标系下821(3)2ρ=+-=，由于点P 位于第四象限，且极角满足tan 3yxθ==-，所以3πθ=-.故选C. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题。
2．在一次调查中，根据所得数据绘制成如图所示的等高条形图，则（ ）A ．两个分类变量关系较强B ．两个分类变量关系较弱C ．两个分类变量无关系 ^D ．两个分类变量关系难以判断 【答案】A 【解析】分析：利用等高条形图中两个分类变量所占比重进行推理即可.详解：从等高条形图中可以看出2，在1x 中1y 的比重明显大于2x 中1y 的比重，所以两个分类变量的关系较强. 故选A点睛：等高条形图，可以粗略的判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确的给出所得结论的可靠程度，考查识图用图的能力.3．4(2)x +的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】D 【解析】 【分析】由题意得到二项展开式的通项，进而可得出结果. 【详解】因为4(2)x +的展开式的第1r +项为4142-+=r r r r T C x ，令3x =，则3334428==T C x x ，所以3x 的系数为8. 故选D 【点睛】本题主要考查求指定项的系数问题，熟记二项式定理即可，属于常考题型.4．焦点为06（，）且与双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是 A ．2211224y x -=B ．2212412y x -=C ．2212412x y -=D ．2211224x y -=【答案】A 【解析】 【分析】根据题目要求解的双曲线与双曲线2212x y -=有相同的渐近线，且焦点在y 轴上可知，设双曲线的方程为()2202x y λλ-=>，将方程化成标准形式，根据双曲线的性质222+=a b c ，求解出λ的值，即可求出答案． 【详解】由题意知，设双曲线的方程为()2202x y λλ-=>，化简得()22102y x λλλ-=>．236λλ∴+=解得12λ=．所以双曲线的方程为2211224y x -=，故答案选A ．【点睛】本题主要考查了共渐近线的双曲线方程求解问题,共渐近线的双曲线系方程与双曲线22221x y a b-=有相同渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，若0λ>，则双曲线的焦点在x 轴上，若0λ<，则双曲线的焦点在y 轴上．5．设复数z 满足()1i z i +=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+i D ．1122i -- 【答案】B 【解析】 【分析】 算出z ，即可得z . 【详解】由()1i z i +=得，11122i z i i ==++，所以1122z i =-. 故选：B 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，共轭复数的概念，考查了学生基本运算能力和对基本概念的理解.6．设椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点()()0,0E t t b <<.已知动点P 在椭圆上,且点2,,P E F 不共线,若2PEF ∆的周长的最小值为4b ,则椭圆C 的离心率为（ ）A B ．2C ．12D 【答案】A 【解析】分析：利用椭圆定义2PEF ∆的周长为12PE 2a PF EF +-+，结合三点共线时，1PE PF -的最小值为1EF -，再利用对称性，可得椭圆的离心率.详解：2PEF ∆的周长为2212PE PE 2PF EF a PF EF ++=+-+21212a PE 2a 2a 4b EF PF EF EF =++-≥+-==，∴213e 1142c b a a ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭故选：A点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)． 7．在平面直角坐标系中，由坐标轴和曲线3cos 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭所围成的图形的面积为（ ） A ．2 B ．52C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数图象的对称性可得203cos xdx S π=⎰，求出积分值即可得结果.【详解】根据余弦函数图象的对称性可得()2203cos 3sin 3103S xdx xππ===-=⎰，故选C.【点睛】本题主要考查定积分的求法，考查数学转化思想方法，属于基础题．8．已知函数()()212,042ln 3,4x x x f x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎪->⎩，若方程()f x m =有三个实数根123,,x x x ，且123x x x <<，则312x x x -的取值范围为 （ ） A ．[)52ln 2,4-B ．)252ln 2,1e ⎡--⎣C ．)242ln 2,1e ⎡+-⎣ D ．[)3ln 2,52ln 2-+【答案】B 【解析】 【分析】先将方程()f x m =有三个实数根，转化为()y f x =与y m =的图象交点问题，得到m 的范围，再用m 表示()31232,0,2mx x x e m m -=+-∈，令()()32,0,2mg m e m m =+-∈，利用导数法求()g m 的取值范围即可.【详解】已知函数()()212,042ln 3,4x x x f x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨⎪->⎩，其图象如图所示：因为方程()f x m =有三个实数根， 所以02m <<， 令2122x x m -+=， 得122x x m =， 令()ln 3x m -=，所以33mx e =+，所以()31232,0,2mx x x e m m -=+-∈，令()()32,0,2mg m e m m =+-∈，所以()2mg m e '=-，令()20mg m e '=-=，得ln 2m =，当0ln 2m <<时，()0g m '<，当n 22l m <<时，()0g m '>， 所以当ln 2m =时，()g m 取得极小值52ln 2-. 又()()204,21g g e ==-，所以()g m 的取值范围是：2[52ln 2,1)e --.即312x x x -的取值范围为2[52ln 2,1)e --. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数与方程，导数与函数的单调性、极值最值，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题.9．已知复数511i z i-=+，则z 的虚部是（ ）A ．1B ．1-C ．i -D ．i【答案】B 【解析】 【分析】将z 利用复数代数形式的乘除运算化简即可得到答案. 【详解】由题意，()()()251111111i i iz i i i i i ---====-+++-， 所以z 的虚部是1-. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的基本概念和复数代数形式的乘除运算，属于基础题.10．已知O 为坐标原点，双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>上有,A B 两点满足OA OB ⊥，且点O 到直线AB 的距离为c ，则双曲线的离心率为（ ）A ．12B C ．12+ D 【答案】A 【解析】 【分析】讨论直线AB 的斜率是否存在：当斜率不存在时，易得直线AB 的方程，根据OA OB ⊥及点O 到直线AB距离即可求得a b c 、、的关系，进而求得离心率；当斜率存在时，设出直线方程，联立双曲线方程，结合OA OB ⊥及点到直线距离即可求得离心率。
山东省烟台市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析
山东省烟台市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．随机变量ξ服从二项分布(),B n p ξ~，且300,200E D ξξ==，则p 等于（ ）A ．23B ．13C ．1D ．0【答案】B【解析】因为(),B n p ξ~,所以()()()3001200E np D np p ξξ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩,解得90013n p =⎧⎪⎨=⎪⎩.即p 等于13.故选B. 2．如图所示，给出了样本容量均为7的A 、B 两组样本数据的散点图，已知A 组样本数据的相关系数为r 1，B 组数据的相关系数为r 2，则（ ）A ．r 1＝r 2B ．r 1<r 2C ．r 1>r 2D ．无法判定【答案】C【解析】【分析】 利用“散点图越接近某一条直线线性相关性越强，相关系数的绝对值越大”判断即可.【详解】根据,A B 两组样本数据的散点图知，A 组样本数据几乎在一条直线上，且成正相关，∴相关系数为1r 应最接近1，B 组数据分散在一条直线附近，也成正相关，∴相关系数为2r ，满足21r r <，即12r r >，故选C ．【点睛】本题主要考查散点图与线性相关的的关系，属于中档题.判断线性相关的主要方法：（1）散点图（越接近直线，相关性越强）；（2）相关系数（绝对值越大，相关性越强）.3．已知m ＞0，n ＞0，向量(,1),(1,1),a m b n a b ==-⊥r r r r 且 则12m n+ 的最小值是（ ） A ．22B ．2 C ．322+ D ．422+【答案】C分析：利用向量的数量积为0，求出m ，n 的方程，然后利用基本不等式求解表达式的最小值即可.详解：m ＞0，n ＞0，向量()(),1,1,1,a m b n a b ==-⊥r r r r 且，可得1m n +=，则()12122333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当1,m n n +==时，表达式取得最小值3+. 故选：C.点睛：条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．4．若()()55234512345122x a x a x a x a x a x a x +++=++++，则135a a a a +++=（ ）A ．0B ．1-C ．243D ．2【答案】C【解析】分析：由题意根据二项式展开式的通项公式可得510,1a a +==-，再分别求得2135,,,a a a a 的值，从而可得结果.详解：由常数项为零，根据二项式展开式的通项公式可得 510,1a a +=∴=-，且111552220,a C C =+=333335522160a C C =+=，55255552264a C C =+=，13512016064243a a a a ∴+++=-+++=，故选C.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r r r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.5．已知函数2()4,[,5]f x x x x m =-+∈的值域是[5,4]-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,2]-C ．[1,2]-D ．[2,5]【解析】【分析】函数()f x 在2x =时取得最大值4,在5x =或1-时得()5f x =-,结合二次函数()f x 图象性质可得m 的取值范围.【详解】二次函数()24f x x x =-+的图象是开口向下的抛物线. 最大值为4，且在2x =时取得，而当5x =或1-时，()5f x =-.结合函数()f x 图象可知m 的取值范围是[]1,2-．故选:C ．【点睛】本题考查二次函数的图像和性质,考查数形结合思想的应用,属于中档题.6．若全集{}2|280U x x x =--<，集合{}|1327x A x =<<，则U C A =（ ）A ．()0,3B ．(2,0)(3,4)-UC ．(2,0][3,4)-UD ．(2,1][2,4)-U 【答案】C【解析】【分析】分别化简求解集合U,A ，再求补集即可【详解】因为{|24}U x x =-<<，{|03}A x x =<<，所以][()2,03,4U C A =-⋃.故选：C【点睛】本题考查集合的运算，考查运算求解能力.7．已知点P 的极坐标是π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭，则过点P 且平行极轴的直线方程是( ) A ．ρ1=B ．ρsin θ=C ．1ρsin θ=-D ．1ρsin θ= 【答案】D【解析】 分析：把点P 的极坐标化为直角坐标，求出过点P 且平行极轴的直线直角坐标方程，再把它化为极坐标方程．详解：把点P 的极坐标π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭化为直角坐标为）， 故过点P 且平行极轴的直线方程是1y = ，化为极坐标方程为1sin ρθ=，故选D ．点睛：本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标，把直角坐标方程化为即坐标方程的方法，属于基础题． 8．若集合()(){}120A x x x =+-<，{}ln 0B x x =>，则A B =I （ ）A ．{}12x x <<B ．{}11x x -<<C ．{}12x x -<<D ．{}21x x -<< 【答案】A【解析】【分析】分别化简集合A 和B ，然后直接求解A B I 即可【详解】∵()(){}{}12012A x x x x x =+-<=-<<，{}{}ln 01B x x x x =>=>，∴{}12A B x x ⋂=<<.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题9．已知点M 的极坐标为π(5,)3，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是( )A ．π(5,-)3B ．4π(5,)3C ．2π(5,)3-D ．5π(5,)3- 【答案】D【解析】【分析】 由于3π 和53π-是终边相同的角，故点M 的极坐标53π⎛⎫ ⎪⎝⎭，也可表示为553π⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 【详解】点M 的极坐标为53π⎛⎫⎪⎝⎭，，由于3π 和53π-是终边相同的角， 故点M 的坐标也可表示为553π⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 故选D ．【点睛】 本题考查点的极坐标、终边相同的角的表示方法，属于基础题．10．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若()20.66P ξ≤=，则()0P ξ≤=（ ） A ．0.84B ．0.68C ．0.34D ．0.16【答案】C【解析】分析：先根据正态分布得(12)0.16,P ξ≤≤=再求(01)0.16,P ξ≤≤=最后求得 () 0P ξ≤=0.34.详解：由正态分布曲线得(12)0.660.50.16,P ξ≤≤=-=所以(01)0.16,P ξ≤≤=所以()0P ξ≤=0.5-0.16=0.34.故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想和方法.（2）解答本题的关键是数形结合，要结合正态分布曲线的图像和性质解答，不要死记硬背.11．已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩„若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e 【答案】C【解析】【分析】先判断0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，转化为ln x a x≤在(1,)+∞上恒成立． 【详解】∵(0)0f ≥，即0a ≥，（1）当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->，当1a >时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln x a x ≤在(1,)+∞上恒成立， 令()ln x g x x=，则2ln 1'()(ln )x g x x -=， 当,x e >函数单增，当0,x e <<函数单减，故max ()()g x g e e ==，所以a e ≤．当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；综上可知，a 的取值范围是[0,]e ，故选C ．【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．12．已知a v ，b v 是两个向量，则“0a b ⋅=v v ”是“0a =v”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】分析：先化简已知条件，再利用充分条件必要条件的定义判断. 详解：由题得0a b ⋅=v v ，所以cos ,0a b a b =v v v v ，所以||0a =r 或||0b =r 或a b ⊥r r ，所以0a =r r 或0b =r r 或a b ⊥r r .因为0a =r r 或0b =r r 或a b ⊥r r 是0a =v 的必要非充分条件,所以“0a b ⋅=v v ”是“0a =v”的必要非充分条件.故答案是：B.点睛：（1）本题主要考查充分条件和必要条件，考查向量的数量积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判定充要条件常用的方法有定义法、集合法、转化法，本题利用的是集合法.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．关于曲线C ：11221x y +=，给出下列五个命题：①曲线C 关于直线y =x 对称； ②曲线C 关于点1144⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称；③曲线C 上的点到原点距离的最小值为24； ④当01x x ≠≠且时，曲线C 上所有点处的切线斜率为负数；⑤曲线C 与两坐标轴所围成图形的面积是16. 上述命题中，为真命题的是_____.（将所有真命题的编号填在横线上）【答案】①③④⑤【解析】【分析】对每一个命题逐一分析判断得解.【详解】对于①：曲线方程为1,(01,01)x y x y +=剟剟，交换x ，y 的位置后曲线方程不变，所以 曲线C 关于直线y x =对称，故该命题是真命题；对于②：在第一象限内，因为点1(4，1)4在曲线上，由图象可知曲线在直线1y x =-+的下方， 且为凹函数如图，所以曲线C 不关于点1144（，）对称，故该命题是假命题；对于③：||OP 22112+=44（）（） 对于④：因为函数为凹函数，所以当0x ≠，1时，曲线C 上所有点处的切线斜率为负值，所以该命题是真命题；对于⑤：曲线C 与两坐标轴所围成图形的面积设为S ，则112001(1)(21)6S x dx x x dx =-=-=⎰⎰，故该命题正确. 故答案为：①③④⑤【点睛】本题主要考查函数图像的对称问题，考查定积分的计算，考查函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为________.【答案】32π 【解析】【分析】几何体是一个圆柱，圆柱的底面是一个直径为1的圆，圆柱的高是1，圆柱的全面积包括三部分，上下底面圆的面积和侧面展开矩形的面积.【详解】由三视图知几何体是一个圆柱，圆柱的底面是一个直径为1的圆，圆柱的高是1， 故圆柱的全面积是：2113221222πππ⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查三视图和圆柱的表面积，关键在于由三视图还原几何体.15．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程ˆ35yx =-，若变量x 增加一个单位时，则y 平均增加5个单位； ③线性回归方程^^^y b x a =+所在直线必过(),x y ；④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个22⨯列联表中，由计算得213.079K =，则其两个变量之间有关系的可能性是0090. 其中错误的是________．【答案】②④⑤【解析】分析：根据方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义确定命题真假.详解：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确； 回归方程ˆ35yx =-中若变量x 增加一个单位时，则y 平均减少5个单位； 曲线上的点与该点的坐标之间不一定具有相关关系；在一个22⨯列联表中，由计算得213.079K =，只能确定两个变量之间有相关关系的可能性，所以②④⑤均错误．点睛：本题考查方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义，考查对基本概念理解与简单应用能力. 16．已知111()123f n n=++++L .经计算(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32)2f >，则根据以上式子得到第n 个式子为______.【答案】()()1*322n n f n N ++>∈ 【解析】【分析】我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案.【详解】观察已知中等式：()()2134222f f +=>=， ()()35238222f f +=>=， ()()43316232f f +=>=， ()()574332222f f +=>=，…， 则()()1*322n n f n N ++>∈， 故答案为：()()1*322n n f n N ++>∈. 【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），属于中档题.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．设函数()ln(1)f x x =+，()'()g x xf x =，0x ≥，其中'()f x 是()f x 的导函数.（1）令1()()g x g x =，1()(())n n g x g g x +=，*n N ∈，求()n g x 的表达式；（2）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()1n x g x nx=+；（2）(],1-∞. 【解析】 分析：（1）求出g x （）的解析式，依次计算即可得出猜想；（2）已知()()f x ag x ≥恒成立，即(1)1ax ln x x≥+＋ 恒成立． 设()()φx ln 1x 1ax x+＝＋－ (x≥0)， 则φ′(x)＝11x +=－21a x +＝211x a x +-+，对a 进行讨论，求出h x （）的最小值，令0min h x ≥（） 恒成立即可； 详解：由题设得，g(x)＝1x x+ (x≥0)． (1)由已知，g 1(x)＝1x x+， g 2(x)＝g(g 1(x))＝111xx x x+++＝12x x +， g 3(x)＝13x x +，…，可得g n (x)＝1x nx +. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x)＝1x x+，结论成立． ②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x)＝1x kx +. 那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x)＝g(g k (x))＝1k k g x g x +＝11111x x kx x k x kx+=++++， 即结论成立．由①②可知， 结论对n∈N ＋成立．所以g n (x)＝1x nx+. (2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥1ax x +恒成立． 设φ(x)＝ln(1＋x)－1ax x+ (x≥0)， 则φ′(x)＝11x +=－21a x +＝211x a x+-+， 当a≤1时，φ′(x)≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤1时，ln(1＋x)≥1ax x+恒成立(仅当x ＝0时等号成立)． 当a>1时，对x∈(0，a －1]有φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a－1)<φ(0)＝0，即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，故知ln(1＋x)≥1ax x +不恒成立． 综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．点睛：本题考查了函数的单调性判断与最值计算，数学归纳法证明，分类讨论思想，属于中档题．18．设i 为虚数单位，n 为正整数，[)0,2θ∈π （1）证明：()cos 2sin cos sin nn i n θθθθ+=+；（2）z i =，利用（1）的结论计算10z ． 【答案】 (1)证明见解析.(2) ()5121. 【解析】分析：（1）利用数学归纳法先证明，先证明当1n =时成立，假设当()*n k k N =∈时，命题成立，只需证明当1n k =+时，命题也成立，证明过程注意三角函数和差公式的应用；（2）由（1）结论得101011112cos sin 66z i i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1011112cos sin 66i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合诱导公式与特殊角的三角函数可得结果.详解：（1）1°当1n =时，左边cos sin i θθ=+，右边cos sin i θθ=+， 所以命题成立2°假设当()*n k k N =∈时，命题成立， 即()cos sin cos sin ki k i k θθθθ+=+， 则当1n k =+时，()()()1cos sin cos sin cos sin k ki i i θθθθθθ++=++()()cos sin cos sin k i k i θθθθ=++()cos cos sin sin k k θθθθ=- ()sin cos cos sin i k k θθθθ++()()cos 1sin 1k i k θθ⎡⎤⎡⎤=+++⎣⎦⎣⎦所以，当1n k =+时，命题也成立综上所述，()cos sin cos sin ni n i n θθθθ+=+（n 为正整数）成立（2）1222z i i ⎛⎫==⨯- ⎪ ⎪⎝⎭11112cos sin 66i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由（1）结论得101011112cos sin 66z i i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1011112cos sin 66i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()101251212⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭点睛：本题主要考查复数的运算、诱导公式、特殊角的三角函数、归纳推理的应用以及数学归纳法证明，属于中档题.利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证0n n =时结论成立；（2）假设n k =时结论正确，证明1n k =+时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.19．已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3470x y -+=相切，且被y轴截得的弦长为C 的面积小于13. （1）求圆C 的标准方程：（2）设过点(0,3)M 的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB .是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程：如果不存在，请说明理由.【答案】 (1) 22(1)4x y -+=. (2) 不存在这样的直线l . 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（I ）用待定系数法即可求得圆C 的标准方程；（Ⅱ）首先考虑斜率不存在的情况.当斜率存在时，设直线l ：y=kx+3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).l 与圆C 相交于不同的两点，那么Δ>0.由题设及韦达定理可得k 与x 1、x 2之间关系式，进而求出k 的值.若k 的值满足Δ>0，则存在；若k 的值不满足Δ>0，则不存在. 试题解析：（I ）设圆C ：(x-a)2+y 2=R 2(a>0)，由题意知R R ==，，解得a=1或a=138， 又∵S=πR 2<13， ∴a=1，∴圆C 的标准方程为：(x-1)2+y 2=1．（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l 为：x=0不满足题意． 当斜率存在时，设直线l ：y=kx+3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 又∵l 与圆C 相交于不同的两点， 联立223{(1)4y kx x y =+-+=，，消去y 得：(1+k 2)x 2+(6k-2)x+6=0，∴Δ=(6k -2)2-21(1+k 2)=3k 2-6k-5>0，解得13k <-或13k >+．x 1+x 2=2621k k --+，y 1+ y 2=k(x 1+x 2)+6=2261k k++， 121211()()22OD OA OB x x y y =+=++u u u r u u u r u u u r ，，(13)MC =-u u u u r ，，假设OD uuu r ∥MC u u uu r ，则12123()x x y y -+=+，∴226226311k k k k -+⨯=++， 解得32626(1)(1)4k =∉-∞-⋃++∞，，，假设不成立． ∴不存在这样的直线l ． 考点：1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系.20．如图，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，//,22DE AP AP AD DE ===.(Ⅰ)证明：平面//DCE 平面ABP ； (Ⅱ)求直线CP 与平面DCE 所成角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）直线CP 与平面DCE 6. 【解析】分析：(1)先根据线面平行判定定理得//DC 平面ABP ，//DE 平面ABP .，再根据面面平行判定定理得结论，(2)先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得平面DCE 的一个法向量，利用向量数量积求得向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系得结果. 详解： (Ⅰ)因为//DC AB ，AB ⊂平面ABP ，DC ⊄平面ABP ， 所以//DC 平面ABP . 同理可得，//DE 平面ABP . 又DC DE D ⋂=,所以平面//DCE 平面ABP .（Ⅱ）（向量法）以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，由已知得，点(020)D ，，，()2,2,0C ,()0,2,1E ,()0,0,2P . 所以()2,2,2CP u u u v =--，()0,2,0AD =u u u v.易证AD ⊥平面DCE ，则平面DCE 的一个法向量为()0,2,0AD =u u u v . 设直线CP 与平面DCE 所成角为θ，则()()0,2,0?2,2,2·3sin cos ,223AD CP AD CP AD CP θ--====⨯u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v 。
烟台市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末检测试题含解析
烟台市名校2019-2020学年数学高二第二学期期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．6(x展开式中常数项为( ) A ．160-B ．160C ．240-D ．2402．已知定义在R 上的连续奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x >时，()()0f x f x x'+>，则使得()()()2213310xf x x f x +-->成立的x 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．()11,1,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,15⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),1-∞3．已知复数2i3iz =-,则z 的共轭复数z =() A ．13i 55-- B ．13i 55-+ C ．1355i + D ．13i 55- 4． “干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。
“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽。
2019年是“干支纪年法”中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法”中的 A ．甲辰年B ．乙巳年C ．丙午年D ．丁未年5．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（ ） A ．0795B ．0780C ．0810D ．08156．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是（ ） A ．18B ．24C ．30D ．367．极坐标系内,点1,2π⎛⎫⎪⎝⎭到直线cos 2ρθ=的距离是( ) A ．1B ．2C ．3D ．48．若如下框图所给的程序运行结果为35S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是（ ）A ．7?k =B ．6?k ≤C ．6?k <D ．6?k >9．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且124F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ） A ．12B ．22C ．1D 210．若22,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭是极坐标系中的一点，则8552,,2,,2,,2,3333Q R M N ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭四个点中与点P 重合的点有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．设函数23()ln 2f x x ax =-+，则“22e a <”是“()0f x =有4个不同的实数根”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件12．已知集合{}1,2A =，{}1,3,B m =，若{}1,2,3,4A B =，则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．在61()x x-的展开式中的常数项为_______.14．命题“如果3x y +>，那么1x >且2y >”的逆否命题是______．15．()()2221z m m i m R =-+-∈，其共轭复数z 对应复平面内的点在第二象限，则实数m 的范围是____．16．若()()521x a x ++的展开式的各项系数之和为96，则该展开式中5x 的系数为______.（用数字填写答案）三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()ln f x x a x =-，a R ∈（）. （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （2）设1()a g x x+=-，若不等式()()f x g x >对任意[]1e x ∈，恒成立，求a 的取值范围.18．函数f(x)对任意的m ，n R ∈，都有()()()1f m n f m f n +=+-，并且0x >时，恒有()1f x > (1)求证：f(x)在R 上是增函数(2)若(6)4f =，解不等式2(4)2f a a +-<19．（6分）已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆E 过点()0,3C ，离心率为12. （1）求椭圆E 的方程；（2）设过定点02T （，）的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A B 、，且·0OA OB >，求直线l 的斜率k 的取值范围；20．（6分）已知数列{}n a 满足11a =，122n n n a a +=-+.（Ⅰ）证明：数列{}2nn a +是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S .21．（6分）某园林基地培育了一种新观赏植物，经过了一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位:厘米)作为样本(样本容量为n )进行统计，按[)[)[)50,60,60,70,70,80[)[]80,90,90,100分组做出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在[)[]50,60,90,100的数据).（1）求样本容量n 和频率分布直方图中的,x y（2）在选取的样本中,从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取3株,设随机变量X 表示所抽取的3株高度在 [)80,90 内的株数,求随机变量X 的分布列及数学期望.22．（8分）已知矩阵1101M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.（1）求直线31yx 在M 对应的变换作用下所得的曲线方程；（2）求矩阵M 的特征值与特征向量.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】 求出6(x展开式的通项公式，然后进行化简，最后让x 的指数为零，最后求出常数项.【详解】 解:36622166(2)(2)r r r rrr rr TC xxC x---+=-=-，令4r =得展开式中常数项为446(2)240C -=，故选D.【点睛】本题考查了求二项式展开式中常数项问题，运用二项式展开式的通项公式是解题的关键. 2．C 【解析】 【分析】根据0x >时()()0f x f x x'+>可得：()()0xf x f x '+>；令()()g x xf x =可得函数在()0,∞+上单调递增；利用奇偶性的定义可证得()g x 为偶函数，则()g x 在(),0-∞上单调递减；将已知不等式变为()()231g x g x >-，根据单调性可得自变量的大小关系，解不等式求得结果.【详解】当0x >时，()()0f x f x x'+> ()()0xf x f x '∴+>令()()g x xf x =，则()g x 在()0,∞+上单调递增()f x 为奇函数 ()()()()g x xf x xf x g x ∴-=--== ()g x ∴为偶函数则()g x 在(),0-∞上单调递减()()()2213310xf x x f x ∴+-->等价于()()231g x g x >-可得：231x x >-，解得：115x << 本题正确选项：C 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用问题，关键是能够构造函数，根据导函数的符号确定所构造函数的单调性，并且根据奇偶性的定义得到所构造函数的奇偶性，从而将函数值的大小关系转变为自变量之间的比较. 3．A 【解析】对复数z进行化简，然后得到z，再求出共轭复数z. 【详解】因为2i3iz=-，所以()22313955i iz ii+==-+-，所以z的共轭复数1355 z i =--故选A项.【点睛】本题考查复数的四则运算，共轭复数的概念，属于简单题.4．C【解析】【分析】按照题中规则依次从年列举到年，可得出答案。
2019-2020学年烟台市名校数学高二第二学期期末检测试题含解析
2019-2020学年烟台市名校数学高二第二学期期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ ） A ．36种 B ．48种C ．96种D ．192种【答案】C 【解析】试题分析：设4门课程分别为1，2，3，4，甲选修2门，可有1，2；1，3；1，4；2，3；2，4；3，4共6种情况，同理乙，丙均可有1，2，3；1，2，4；2，3，4；1，3，4共4种情况，∴不同的选修方案共有6×4×4=96种，故选C ． 考点：分步计数原理点评：本题需注意方案不分次序，即a ，b 和b ，a 是同一种方案，用列举法找到相应的组合即可． 2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，32=+n n S a ，则“3a =-”是“数列{}n a 是等比数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先令1n =，求出1a ，再由1n >时，根据1n n n a S S -=-，求出n a ，结合充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】解：当1n =时，1132a S a ==+， 当1n >时，11333222n n n n n n a S S --=-=-=-3a =-时，13322a a =+=-，11321232n n n n a a ++⎛⎫=-⨯-= ⎪⎝⎭，数列{}n a 是等比数列； 当数列{}n a 是等比数列时，32n na =-，13322a a =-=+，3a =-， 所以，是充分必要条件。
故选C 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，熟记概念，以及数列的递推公式即可求解，属于常考题型. 3．函数234x y x =-+的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】324x x =+，如图，由图可知，两个图象有2个交点，所以原函数的零点个数为2个，故选C ．4．直线323x ty t⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）上与点)32P，3A ．()235，B ．3372⎫⎪⎪⎝⎭，C ．()235，或()01-， D ．33722⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或3122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，【答案】D 【解析】 【分析】直接利用两点间的距离公式求出t 的值，再求出点的坐标. 【详解】 由()222332323t t ++-=，得234t =，则32t =± 则所求点的坐标为3372⎫⎪⎪⎝⎭，或312⎫⎪⎪⎝⎭，. 故选D 【点睛】本题主要考查直线的参数方程和两点间的距离公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5．函数2()ln f x x x=-零点所在的大致区间为（ ） A ．(1,2) B ．(2,3)C ．11,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(3,4)D ．(,)e +∞【答案】B 【解析】 【分析】判断函数单调递增，计算(2)0f <，(3)0f >得到答案. 【详解】 函数2()ln f x x x =-在()0,∞+上单调递增，2(2)ln 220f =-<，2(3)ln 303f =->， 故函数在(2,3)有唯一零点. 故选：B . 【点睛】本题考查了零点存在定理，确定函数的单调性是解题的关键.6．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且以2为周期，当[0,1)x ∈时，()31x f x =-，则13(log 12)f 的值为（） A ．13- B ．13C ．53-D ．53【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得：1334(log 12)(log )3f f =-，代入()f x 中计算即可得到答案。
烟台市2019-2020学年高二下学期期末2份数学检测试题
提高练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A ．1B ．2C ．3D ．42．下列判断错误的是A ．若随机变量ξ服从正态分布2(1,),(4)0.79N P σξ≤=，则(2)0.21P ξ≤-=B ．“x ∀∈R ，20x >”的否定是“x ∃∈R ，20x ≤”C ．若随机变量ξ服从二项分布：1(5,)5B ξ-，则1E ξ= D ．“2am <2bm ”是“a<b”的必要不充分条件3．函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数且f （2）=0，则使f （x ）<0的x 的取值范围（ ） A ．（－∞，2）B ．（2，+∞）C ．（－∞，-2）∪（2，+∞）D ．（－2，2）4．命题2000:,10p x R x x ∃∈-+≤的否定是（ ）A ．2,10x R x x ∀∈-+>B ．2,10x R x x ∀∈-+≤C ．2000,10x R x x ∃∈-+>D ．BF AC ⊥5．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A ．13B ．12C ．23D ．346．在用数学归纳法证明:“凸多边形内角和为(2)n π-”时，第一步验证的n 等于（ ） A ．1B ．3C ．5D ．77．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次，正面向上的次数为X ，则（ ） A ．(5,1)X B B ．(0.5,5)X B C ．(2,0.5)XBD ．(5,0.5)XB8．某小区有1000户居民，各户每月的用电量近似服从正态分布(300,100)N ，则用电量在320度以上的居民户数估计约为（ ）（参考数据：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+≈，(22)0.9545P μσξμσ-<≤+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<≤+≈.）A ．17B ．23C ．34D ．469．已知空间向量 向量且,则不可能是A ．B ．1C ．D ．4 10．通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表，由2()()()()()n ac bd K a b c d a c b d -=++++得2250(2015105)8.33330202525K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯参照附表，得到的正确结论是（ ）. 爱好 不爱好 合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 302050附表：20()P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828A ．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 11．若22(0,),(22)8ln x x x x e x a x ∃∈+∞--+-<，则a 的取值范围为 （ ）A ．(13,)e -+∞B ．3(98ln 3,)e +-+∞C ．(24,)e -+∞D ．2(248ln 2,)e -+-+∞12．已知复数12z z ，在复平面内的对应点关于实轴对称，13z i =-（i 为虚数单位），则12z z =（ ） A．4355i - B ．4355i -+ C ．4355i -- D ．4355i + 二、填空题：本题共4小题13．某校为了解高二年级学生对教师教学的意见，打算从高二年级500名学生中用系统抽样的方法抽取50名进行调查，记500名学生的编号依次为1,2,…，500,若抽取的前两个号码为6,16,则抽取的最大号码为________.14．设函数()f x 是定义在R 上的周期为 2 的偶函数， 当[0x ∈，1]时，()2f x x =+，则32f ⎛⎫=⎪⎝⎭____．15．某射击运动员每次击中目标的概率为0.8，现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371623326168045601136619597742476104281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为_______．16．若612ax x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为240，则实数a 的值为______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
山东省烟台市2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷
山东省烟台市2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷一、单选题1.（2020高二下·烟台期中）已知i为虚数单位，若复数z满足z+i3+2i=1−i，则z̅的虚部为（）A. −2i B. -2 C. 2i D. 2【答案】 D【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】设z=x+yi(x∈R,y∈R)，z+i3+2i=1−i⇒x+yi+i=(1−i)(3+2i)⇒x+(y+1)i=5−i，∴{x=5y+1=−1，解得{x=5y=−2，所以z=5−2i，即z̅=5+2i.故答案为：D【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得z得答案．2.（2020高二下·烟台期中）3位女生和2位男生站成一排照相，其中男生不能站在一起的排法种数为（）A. 72B. 60C. 36D. 3【答案】A【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】先排3位女生，再把2位男生插入空档中，因此排法种数A33A42=72．故答案为：A．【分析】根据题意，分2步进行分析：①将3为女生全排列，②3为女生排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排两个男生，由分步计数原理计算可得答案．3.（2020高二下·烟台期中）某教育局安排4名骨干教师分别到3所农村学校支教，若每所学校至少安排1名教师，且每名教师只能去所学校，则不同安排方案有（）A. 6种B. 24种C. 36种D. 72种【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】由题意，先从4名骨干教师任取2名共有C42种取法，所以不同安排方案有：C42A33=6×3×2×1=36.故答案为：C【分析】根据题意，分2步进行分析：①在4位教师中任选2个，安排到其中1所农村学校，②将剩下的2位教师安排到其他两个农村学校，由分步计数原理计算可得答案．)6的展开式中x3项的系数是240，则实数m的值是（）4.（2020高二下·烟台期中）若(mx√xA. 2B. √2C. ±2D. ±√2【答案】 D【考点】二项式定理)6的通项公式为：【解析】【解答】二项式(mx√xT r+1=C6r⋅(mx)6−r⋅)r=C6r⋅m6−r⋅(−2)r⋅x6−32r，√x)6的展开式中x3项的系数是240，因为(mx√xr=3时，有C6r⋅m6−r⋅(−2)r=240成立，所以当6−32解得r=2，因此有C62⋅m6−2⋅(−2)2=240⇒m=±√2.故答案为：D)6的展开式的通项，令x的系数为3，解可得r的值，结合展开式【分析】由二项式定理可得(mx−√x中x3的系数即可得关于m的方程，解可得m的值，即可得答案．5.（2020高二下·烟台期中）甲、乙两队进行篮球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队不超过4场即获胜的概率是（）A. 0.18B. 0.21C. 0.39D. 0.42【答案】C【考点】相互独立事件的概率乘法公式【解析】【解答】解：甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以3:1获胜的概率是：P1=0.6×0.6×(1−0.5)×0.5+0.6×(1−0.6)×0.5×0.5+(1−0.6)×0.6×0.5×0.5=0.21．甲队以3:0获胜的概率是：P2=0.6×0.6×0.5=0.18则甲队不超过4场即获胜的概率P=P1+P2=0.21+0.18=0.39故答案为：C【分析】甲队不超过4场即获胜包含的情况有2种：①甲连胜3场，②前三场甲两胜一负，第四场甲胜，由此利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式能求出甲队不超过4场即获胜的概率．6.（2020高二下·烟台期中）已知随机变量X~N(0.4,δ12)，Y~N(0.8,δ22)，其正态分布曲线如图所示，则下列说法错误的是（）A. P(X≥0.4)=P(Y≥0.8)B. P(X≥0)=P(Y≥0)C. X的取值比Y的取值更集中于平均值左右D. 两支密度曲线与x轴之间的面积均为1【答案】B【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【解答】∵P(X≥0.4)=12，P(Y≥0.8)=12∴P(X≥0.4)=P(Y≥0.8),所以A符合题意；由图可得P(X≥0)>P(Y≥0)，所以B不符合题意；由图可得曲线X在均值0.4附近图象比曲线Y在均值0.8附近图象更陡，所以X的取值比Y的取值更集中于平均值左右，即C符合题意；两支密度曲线与x轴之间的面积都等于所有概率和，即均为1，所以D符合题意；故答案为：B【分析】对于正态分布，σ的值反映了数据的集中程度，σ越小，说明数据越向x=μ集中，否则越分散．由此进行分析、判断．7.（2020高二下·烟台期中）根据环境空气质量监测资料表明，某地一天的空气质量为轻度污染的概率是0.25，连续两天为轻度污染的概率是0.1，则此地在某天的空气质量为轻度污染的条件下，随后一天的空气质量也为轻度污染的概率是（）A. 0.4B. 0.25C. 0.1D. 0.05【答案】A【考点】条件概率与独立事件【解析】【解答】令事件A：一天的空气质量为轻度污染，事件B：随后一天的空气质量也为轻度污染，由题知：P(A)=0.25，P(AB)=0.1.所以P(B|A)=P(AB)P(A)=0.10.25=0.4.故答案为：A【分析】利用相互独立事件概率乘法公式能求出此地在某天的空气质量为轻度污染的条件下，随后一天的空气质量也为轻度污染的概率．8.（2020高二下·吉林月考）设X~B(4,p)，其中12<p<1，且P(X=2)=827，则P(X=3)=（）A. 881B. 1681C. 827D. 3281【答案】 D【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型【解析】【解答】∵X~B(4,p)∴P(X=2)=C42p2(1−p)2=827∴p2(1−p)2=481∵12<p<1∴p(1−p)=29∴p=23P(X=3)=C43p3(1−p)1=4×(23)3×13=3281故答案为：D【分析】根据二项分布概率公式化简P(X=2)=827求得p，再根据二项分布概率公式求结果.二、多选题9.（2020高二下·烟台期中）下列叙述正确的是（）A. 相关关系是一种确定性关系，一般可分为正相关和负相关B. 回归直线一定过样本点的中心(x̅,y̅)C. 在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好D. 某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x（℃）时，一定可卖出142杯热饮【答案】B,C【考点】变量间的相关关系，线性回归方程【解析】【解答】相关关系不是确定性关系，当两个变量线性相关时，一般可分为正相关和负相关，所以A不正确；回归直线一定过样本点的中心(x̅,y̅)，所以B是正确的；在回归分析中，相关系数越大，两个变量的相关性越强，所以R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好，所以C符合题意；某同学研究卖出的热饮杯数y与气温x（℃）时，预测可卖出142杯热饮，而不是一定卖出142杯热饮，所以D不正确故答案为：BC.【分析】利用回归直线中的相关关系，样本中心点，曲线拟合的知识．10.（2020高二下·烟台期中）某课外兴趣小组通过随机调查，利用2×2残联表和K2统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关.计算得K2=6.748，经查阅临界值表知P(K2≥6.635)=0.010，则下列判断正确的是（）A. 每100个数学成绩优秀的人当中就会有1名是女生B. 若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010C. 有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关”D. 在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”【答案】C,D【考点】两个变量的线性相关【解析】【解答】因为K2=6.748≥6.635，所以有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关”即在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”.故答案为：CD【分析】计算K的观测值K2=6.748≥6.635，对照阅临界值表知P(K2≥6.635)=0.010，即可得出统计结论．11.（2020高二下·烟台期中）袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则（）A. 抽取2次后停止取球的概率为35B. 停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为910C. 取球次数ξ的期望为2D. 取球次数ξ的方差为920【答案】B,D【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】设取球次数为ξ，可知随机变量ξ的可能取值有1、2、3，则P(ξ=1)=35，P(ξ=2)=25×34=310，P(ξ=3)=25×14=110.对于A 选项，抽取 2 次后停止取球的概率为 P(ξ=2)=310 ，A 选项错误；对于B 选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为 P(ξ=1)+P(ξ=2)=35+310=910 ，B 选项正确；对于C 选项，取球次数 ξ 的期望为 E(ξ)=1×35+2×310+3×110=32 ，C 选项错误；对于D 选项，取球次数 ξ 的方差为 D(ξ)=(1−32)2×35+(2−32)2×310+(3−32)2×110=920 ，D 选项正确.故答案为：BD.【分析】 对于A ，利用相互独立事件概率乘法公式能求出抽取2次后停止取球的概率；对于B ，停止取球时，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出取出的白球个数不少于黑球的概率；对于C ，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出E （ξ）；对于D ，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出E （ξ），进而能求出取球次数ξ的方差．12.（2020高二下·烟台期中）某班级的全体学生平均分成6个小组，且每个小组均有4名男生和多名女生.现从各个小组中随机抽取一名同学参加社区服务活动，若抽取的6名学生中至少有一名男生的概率为728729，则（ ）A. 该班级共有36名学生B. 第一小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为 23C. 抽取的6名学生中男女生数量相同的概率是 160729D. 设抽取的6名学生中女生数量为 X ，则 D(X)=43【答案】 A,C,D【考点】二项分布与n 次独立重复试验的模型【解析】【解答】解：设该班级每个小组共有 n 名女生， ∵抽取的 6 名学生中至少有一名男生的概率为 728729 ，∴抽取的 6 名学生中没有男生（即6名学生全为女生）的概率为 1−728729=1729 ， ∴ (nn+4)6=1729=(13)6 ，解得 n =2 ，∴每个小组有4名男生、2名女生，共6名学生， ∴该班级共有36名学生，则A 对；∴第一小组的男生甲被抽去参加社区服务的概率为 16 ，则B 不符合题意；抽取的6名学生中男女生数量相同的概率是 C 63⋅(46)3⋅(26)3=160729 ，则C 对； 设抽取的6名学生中女生数量为 X ，则 X ∼B(6,13) ，则 D(X)=6×13×(1−13)=43 ，则D 对； 故答案为：ACD ．【分析】 设每个小组中女生人数为x ，由题意可得抽取的6人全部为女生的概率为1−728729=1729 ， 列方程可得x 的值，即可判断选项A ，每组每人被抽中的概率相同，由此计算可判断选项B ，根据二项分布的概率公式及其方差公式即可判断选项C 、D ．三、填空题13.（2020高二下·烟台期中）若随机变量 X~N(μ,σ2) ， P(X >4)=P(X <−2)=0.1 ，则 P(1≤X ≤4)= ________. 【答案】 0.4【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【解答】解：因为随机变量 X~N(μ,σ2) ， P(X >4)=P(X <−2)=0.1 ， 所以 μ=1 ，即 X~N(1,σ2)所以 P(1≤X ≤4)=0.5−P(X >4)=0.5−0.1=0.4 故答案为：0.4【分析】 根据题意，先求出μ的值，然后根据正态分布的性质求解．14.（2020高二下·烟台期中）由 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字的五位奇数有________个. 【答案】 13440【考点】分步乘法计数原理【解析】【解答】有0的五位奇数有 C 51C 31A 83 个，无0的五位奇数有 C 51A 84个，所以所有的五位奇数有 C 51C 31A 83 ＋ C 51A 84 ＝13440个．故答案为：13440．【分析】 根据题意，分3步进行分析：①在1、3、5、7、9五个数字中任选1个，作为五位数的个位，②五位数的万位数字不为0，易得万位有有8种选法，③在剩下的8个数字中，任选3个安排在千位、百位、十位，由分步计数原理计算可得答案．15.（2020高二下·烟台期中）已知 x n =a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+...+a n (x +1)n (n ∈N ∗) 对任意的 x ∈R 恒成立，若 a 4+a 5=0 ，则 n = ________. 【答案】 9【考点】二项式定理【解析】【解答】因为 x n =a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+...+a n (x +1)n (n ∈N ∗) ， 令 x =−1 ，则 a 0=(−1)n，即 a 0={1 (n 为偶数) −1 (n 为奇数) ， 因为 a 4+a 5=0 ，由 x n =[−1+(x +1)]n 展开式的通项为T r+1=(−1)n−r C n r(x +1)r 得： (−1)n−4C n 4+(−1)n−5C n 5=0 ， 所以 C n 4=C n5 ， 解得 n =9 . 故答案为：9【分析】 先由赋值法求a 0 ， 再利用二项式定理及展开式的通项公式求n 即可得解．16.（2020高二下·烟台期中）在一次篮球投篮测试中，记分规则如下（满分为10分）：①每人可投篮7次，每投中一次记1分；②若连续两次投中加0.5分，连续三次投中加1分，连续四次投中加1.5分，以此类推，…，七次都投中加3分.假设某同学每次投中的概率为 12 ，各次投篮相互独立，则： （1）该同学在测试中得2分的概率为________； （2）该同学在测试中得8分的概率为________. 【答案】 （1）15128 （2）5128【考点】n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率【解析】【解答】只得2分，只能投中2次，且不相邻，概率为 P 1=C 62(12)7=15128 ；得8分，前3次和后3次均投中，中间一次不中；开始连中5次，第6次不中，第7次中或第1次中，第2次不中，然后连中5次，或分别连中4次和连中2次，中间有1次不中，概率为 P 2=(12)7+2×(12)7+2×(12)7=5128 .故答案为： 15128 ； 5128 ．【分析】 （1）得两分，说明7次投篮中，只投中两次，且这两次不相邻，容易求解；（2）得8分，说明七次投篮中，第2次至第6次投篮中，有一次未投中，其余全中，计算可得结果．四、解答题17.（2020高二下·烟台期中）复数 z 1 对应的点在第一象限，且 z 12=−3+4i ，复数 z 2=(a −4sin 2θ)+(1+2cosθ)i ， θ∈(0,π) ， a ∈R . （1）求复数 z 1 ；（2）若 z 1(35+45i)=z 2 ，求 θ ， a 的值.【答案】（1）解：设z1=x+yi(x>0,y>0)，则z12=x2−y2+2xyi=−3+4i，∴{x2−y2=−32xy=4，解得x=−1，y=−2或x=1，y=2，因为x>0，y>0，∴{x=1y=2，所以z1=1+2i（2）解：因为z1(35+45i)=(1+2i)(35+45i)=−1+2i，所以(a−4sin2θ)+(1+2cosθ)i=−1+2i，∴{a−4sin2θ=−11+2cosθ=2，解得cosθ=12，∵θ∈(0,π)，∴θ=π3，sin2θ=1−cos2θ=34，a=4sin2θ−1=2，所以a=2.【考点】复数相等的充要条件【解析】【分析】（1）设z1=x+yi(x>0,y>0)，代入z12=x2−y2+2xyi=−3+4i，整理后利用复数相等的条件列式求得x，y值，则复数z1可求；（2）把z1，z2代入z1(35+45i)=z2，利用复数相等的条件列式即可求得θ，a的值．18.（2020高二下·烟台期中）已知(2x2−1x)n(n∈N∗)的展开式中所有偶数项的二项式系数和为64. （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求(2x+1x2)(2x2−1x)n展开式中的常数项.【答案】（1）解：由展开式中所有的偶数项二项式系数和为64，得2n−1=64，所以n=7所以展开式中二项式系数最大的项为第四项和第五项.因为(2x2−1x )7的展开式的通项公式为T r+1=C7r(2x2)7−r(−1)r(1x)r=C7r27−r(−1)r x14−3r，所以f(x)的展开式中二项式系数最大的项为T4=−500x5，T5=280x2（2）解：由（1）知n=7，且(2x2−1x )7的展开式中x−1项为T6=−84x，x2项为T5=280x2，所以(2x+1x2)(2x2−1x)n展开式的常数项为2×(−84)+1×280=112,【考点】二项式定理，二项式系数的性质【解析】【分析】（1）根据二项式系数的性质求得n=7，从而求得展开式中二项式系数最大的项；（2）把(2x2−1x )7按照二项式定理展开，可得(2x+1x2)(2x2−1x)n展开式中的常数项．19.（2020高二下·烟台期中）某水果经销商为了对一批刚上市水果进行合理定价，将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：（参考数据及公式： ∑x i 2=16305i=1 ， y ̅=116 ， ∑x i y i =101605i=1 ，线性回归方程 y =b ̂x +a ̂ ， b ̂=∑x i y i −nxy̅̅̅̅ni=1∑x i 2−nx̅2n i=1 ， a ̂=y ̅−b ̂x̅ ） （1）已知变量 x,y 具有线性相关关系，求该水果日销售量 y （公斤）关于试销单价 x （元/公斤）的线性回归方程，并据此分析销售单价 x ∈[16,20] 时，日销售量的变化情况；（2）若该水果进价为每公斤15元，预计在今后的销售中，日销售量和售价仍然服从（1）中的线性相关关系，该水果经销商如果想获得最大的日销售利润，此水果的售价 x (x ∈N ∗) 应定为多少元？ 【答案】 （1）解： x̅=16+17+18+19+205=18 ， y ̅=116 ，b ̂=10160−5×18×1161630−5×182=−28 , a ̂=116−(−28)×18=620所以线性回归方程为： ŷ=−28x +620 ， 因为 b ̂=−28<0 ，所以此水果的日销售量随着售价的增加而减小，平均售价每增加一元，销量减少28公斤.（2）解：设日利润为 ω 元，则 ω=(620−28x)(x −15)=−28x 2+1040x −9300 ， 因为此函数图象为开口向下的抛物线，对称轴方程为 x =104056=1847 ，所以当 x =19 时， ω 取得最大值.即该水果经销商如果想获得最大的日销售利润，此水果的销售价应定为每公斤19元. 【考点】二次函数的性质，线性回归方程【解析】【分析】 （1）求出样本中心，回归直线方程的系数，然后求解回归直线方程．然后说明日销售量的变化情况．（2）设日利润为ω元，求出表达式，理由二次函数的性质求解即可．20.（2020高二下·烟台期中）大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方，就是玩家先观察魔方状态并进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单的，要学会盲拧也是很容易的.为了解某市盲拧魔方爱好者的水平状况，某兴趣小组在全市范围内随机抽取了 100 名魔方爱好者进行调查，得到的情况如表所示：附： K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ， n =a +b +c +d .（1）将用时低于15秒的称为“熟练盲拧者”，不低于15秒的称为“非熟练盲拧者”.请根据调查数据完成以下 2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为是否为“熟练盲拧者”与性别有关？（2）以这100名盲拧魔方爱好者的用时不超过10秒的频率，代替全市所有盲拧魔方爱好者的用时不超过10秒的概率，每位盲拧魔方爱好者用时是否超过10秒相互独立.那么在该兴趣小组在全市范围内再次随机抽取20名爱好者进行测试，其中用时不超过10秒的人数最有可能（即概率最大）是多少？ 【答案】 （1）解：由题意得列联表如下：K 2 的观测值 k =100×(37×24−16×23)253×47×60×40≈4.523>3.841 ，所以有95%的把握认为“熟练盲拧者”与性别有关.（2）解：根据题意得，1名盲拧魔方爱好者用时不超过10秒的概率为 20100=15 ， 设随机抽取了20名爱好者中用时不超过10秒的人数为 ξ ，则 ξ~B(20,15) ，其中 P(ξ=k)=C 20k(15)k (45)20−k ， k =0,1,2,...,20 ； 由 {P(ξ=k)≥P(ξ=k +1)P(ξ=k)≥P(ξ=k −1) ，得 {C 20k (15)k (45)20−k ≥C 20k+1(15)k+1(45)19−k C 20k (15)k (45)20−k ≥C 20k−1(15)k−1(45)21−k 化简得 {4(k +1)≥20−k21−k ≥4k，解得 165≤k ≤215 ； 又 k ∈Z ，所以 k =4 ，即这20名爱好者中用时不超过10秒的人数最有可能是4人. 【考点】二项分布与n 次独立重复试验的模型【解析】【分析】 （1）根据题目所给的数据填写2×2列联表即可，计算K 的观测值K 2 ， 对照题目中的表格，得出统计结论．（2）设随机抽取了20名爱好者中用时不超过10秒的人数为ξ，由题意可知变量ξ服从二项分布ξ~B(20,15) ，由 {P(ξ=k)≥P(ξ=k +1)P(ξ=k)≥P(ξ=k −1) ， 求出k 的取值范围，再利用k ∈Z ，即可求出k 的值．21.（2020高二下·烟台期中）某大型电器企业，为了解组装车间职工的生活情况，从中随机抽取了100名职工进行测试，得到频数分布表如下：（1）现从参与测试的日组装个数少于175的职工中任意选取3人，求至少有1人日组装个数少于165的概率；（2）由频数分布表可以认为，此次测试得到的日组装个数 Z 服从正态分布 N(μ,169) ， μ 近似为这100人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）. （i ）若组装车间有20000名职工，求日组装个数超过198的职工人数；（ii ）为鼓励职工提高技能，企业决定对日组装个数超过185的职工日工资增加50元，若在组装车间所有职工中任意选取3人，求这三人增加的日工资总额的期望.附：若随机变量 X 服从正态分布 N(μ,σ2) ，则 P(μ−σ<X <μ+σ)=0.6827 ， P(μ−2σ<X <μ+2σ)=0.9545 ， P(μ−3σ<X <μ+3σ)=0.9973 .【答案】 （1）解：设至少有1人日组装个数少于165为事件 A ，则 P(A)=1−C 123C 183=149204 ，（2）解： X ̅=160×6+170×12+180×34+190×30+200×10+210×8100=185 （个） 又 σ2=169 ，所以 σ=13 ，所以 μ=185 ， σ=13 ， 所以 μ+σ=198 . （i ） P(X >198)=1−0.68272=0.15865 ，所以日组装个数超过198个的人数为 0.15865×20000=3173 （人） （ii ）由正态分布得，日组装个数为185以上的概率为 0.5 .设这三人中日组装个数超过185个的人数为 ξ ，这三人增加的日工资总额为 η ，则 η=50ξ ， 且 ξ~B(3,0.5) ，所以 E(ξ)=3×0.5=1.5 ，所以 E(η)=50E(ξ)=75 .【考点】古典概型及其概率计算公式，二项分布与n 次独立重复试验的模型，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【分析】 （1）属于古典概型，分别算出组装个数少于175的人和组装个数少于165的人数中任选3人的取法数，然后代入公式计算即可；（1）（i ）利用正态分布的性质求出P （X ＞198），然后乘以20000即可； （ii ）先利用正态分布算出P （X ＞185），然后利用二项分布的知识求解．22.（2020高二下·烟台期中）2019年12月份，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.为了增强居民防护意识，增加居民防护知识，某居委会利用网络举办社区线上预防新冠肺炎知识答题比赛，所有居民都参与了防护知识网上答卷，最终甲、乙两人得分最高进入决赛，该社区设计了一个决赛方案：①甲、乙两人各自从6个问题中随机抽3个.已知这6个问题中，甲能正确回答其中的4个，而乙能正确回答每个问题的概率均为 23 ，甲、乙两人对每个问题的回答相互独立、互不影响；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目数相同，则由乙再从剩下的3道题中选一道作答，答对则判乙胜，答错则判甲胜. （1）求甲、乙两人共答对2个问题的概率；（2）试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由； （3）求乙答对题目数的分布列和期望.【答案】 （1）解：甲、乙共答对2个问题分别为：两人共答6题，甲答对2个，乙答对0个；两人共答7题，甲答对1个，乙答对1个.所以甲、乙两保学生共答对2个问题的概率： P =C 42C 21C 63×C 30(13)3+C 41C 22C 63×C 31×23×(13)3=127.（2）解：设甲获胜为事件，则事件包含“两人共答6题甲获胜”和“两人共答7题甲获胜”两类情况，其中第一类包括甲乙答对题个数比为 1:0 ， 2:0 ， 3:0 ， 2:1 ， 3:1 ， 3:2 六种情况，第二类包括前三题甲乙答对题个数比为 1:1 ， 2:2 ， 3:3 三种情况，所以甲获胜的概率 P(A)=C 41C 22C 63×[C 30(13)3+C 3123×(13)3]+C 42C 21C 63×[C 30(13)3+C 31×23×(13)2+C 32(23)2×(13)2] +C 43C 20C 63×[C 30(13)3+C 31×23×(13)2+C 32×(23)2×13+C 33(23)3×13]=173405， 设乙获胜为事件 B ，则 A,B 为对立事件，所以 P(A)+P(B)=1 ， P(B)=1−P(A)=232405>P(A) 所以乙胜出的可能性更大.（3）解：设学生乙答对的题数为 X ，则 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4 ，P(X =0)=C 30(13)3=127P(X =1)=C 42C 21+C 43C 63×C 3123(13)2+C 41C 22C 63×C 3123(13)3=26135P(X =2)=C 41C 22+C 43C 63×C 32(23)2×13+C 41C 22C 63×C 31(13)2×23×23+C 42C 21C 63×C 32(23)2×(13)2=827 P(X =3)=C 41C 22+C 42C 21C 63×C 33(23)3+C 43C 63×C 33(23)3×13+C 42C 21C 63×C 32(23)3(13)=176405P(X =4)=C 43C 63×C 33(23)4=16405所以随机变量 X 的分布列为所以期望 E(X)=0×127+1×26135+2×827+3×176405+4×16405=18281.【考点】互斥事件与对立事件，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差 【解析】【分析】 （1）推出两人共答6题，甲答对2个，乙答对0个；两人共答7题，甲答对1个，乙答对1个．然后求解甲、乙两名学生共答对2个问题的概率．（2）设甲获胜为事件，则事件 包含“两人共答6题甲获胜”和“两人共答7题甲获胜”两类情况，其中第一类包括甲乙答对题个数比为1：0，2：0，3：0，2：1，3：1，3：2六种情况，第二类包括前三题甲乙答对题个数比为1：1，2：2，3：3三种情况，然后求解概率；设乙获胜为事件B，则A，B为对立事件，求出B的概率，得到结论．（3）设学生乙答对的题数为X，则X的所有可能取值为0，1，2，3，4，求出概率，得到随机变量X的分布列，然后求解期望．。
山东省烟台市2019-2020学年高二下学期期末2份数学学业质量监测试题
基础练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数()y f x =的图像如下图所示，则函数()'y f x =的图像有可能是（）A ．B ．C ．D ．2．在Rt△ABC 中，AC=1，BC=x ，D 是斜边AB 的中点，将△BCD 沿直线CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x 的取值范围是（ ） A ．(0,3]B ．2(,2]C ．(3,23]D ．（2，4]3．若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则2x y +的最大值为A ．2B ．6C ．7D ．84．用数学归纳法证明()*1111N ,12321n n n n ++++<∈>-时，第一步应验证不等式（ ） A ．1122+< B ．111223++< C ．111323++< D ．11113234+++< 5．若P 为两条异面直线l m ，外的任意一点，则（ ） A ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直 C ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交 D ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面6．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有23的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率（ ） A ．1320B ．920C ．15D ．1207．在等比数列中，，公比为，前项和为，若数列也是等比数列，则等于A ．B ．C ．D ．8．某班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决4个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”，则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（ ） A ．141种B ．140种C ．51种D ．50种9．已知21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的各项系数和为32,则展开式中4x 的系数( ) A ．5B ．40C ．20D ．1010．已知点P 在椭圆221123x y +=上，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，1PF 的中点在y 轴上，则12||||PF PF 等于（ ） A ．7B ．5C ．4D ．311．某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有（ ） A ．20种B ．15种C ．10种D ．4种12．下面给出了四种类比推理：①由实数运算中的=⋅⋅a b b a 类比得到向量运算中的=⋅⋅a b b a ；②由实数运算中的 (⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)类比得到向量运算中的(⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)； ③由向量a 的性质22||=a a 类比得到复数z 的性质22||z z =；④由向量加法的几何意义类比得到复数加法的几何意义； 其中结论正确的是 A ．①②B ．③④C ．②③D ．①④二、填空题：本题共4小题13．已知棱长为1的正四面体P ABC -，PC 的中点为D ，动点E 在线段AD 上，则直线BE 与平面ABC 所成角的取值范围为____________；14．设2(5,2)N ξ~，则(37)P ξ<≤=__________． 15．在复数范围内解方程23||()2iz z z i i-++=+（i 为虚数单位），z =________ 16．定积分)2x dx =⎰__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
山东省烟台市2019-2020年度数学高二下学期理数期末考试试卷(II)卷
山东省烟台市2019-2020年度数学高二下学期理数期末考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高三上·重庆期末) 已知两非零复数，若，则一定成立的是（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高二下·正阳开学考) 下列命题中正确的是（）A . 若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p且q”为真命题B . “ ”是“ ”的充分不必要条件C . l为直线，α，β，为两个不同的平面，若l⊥α，α⊥β，则l∥βD . 命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，≤0”4. （2分） (2016高一上·黑龙江期中) 在区间（0，+∞）上不是增函数的是（）A . y=2x+1B . y=3x2+1C .D . y=2x2+x+15. （2分）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A=“第一次取到的是奇数”，B=“第二次取到的是奇数”，则P（B|A）=（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二下·民勤期中) 函数f（x）=x3+2x2﹣4x+5在[﹣4，1]上的最大值和最小值分别是（）A . 13，B . 4，﹣11C . 13，﹣11D . 13，最小值不确定7. （2分） (2018高一上·广东期末) 经过点的直线到，两点的距离相等，则直线的方程为（）A .B .C . 或D . 都不对8. （2分） (2016高一下·安徽期末) 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是（）A . 这种抽样方法是一种分层抽样B . 这种抽样方法是一种系统抽样C . 这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D . 该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数9. （2分）下表是某工厂6～9月份电量（单位：万度）的一组数据：月份x6789用电量y6532由散点图可知，用电量y与月份x间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是，则a等于（）A . 10.5B . 5.25C . 5.2D . 14.510. （2分）某班选派6人参加两项志愿者活动，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有（）A . 50种B . 70种C . 35种D . 55种11. （2分） (2015高三上·东莞期末) 已知命题p：∃m∈R，使得函数f（x）=x2+（m﹣1）x2﹣2是奇函数，命题q：向量 =（x1 ， y1）， =（x2 ， y2），则“ = ”是：“ ”的充要条件，则下列命题为真命题的是（）A . p∧qB . （￢p）∧qC . p∧（￢q）D . （￢p）∧（￢q）12. （2分） (2017高一下·温州期末) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+5y的最小值为（）A . 6B . 8C . 10D . 12二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·南阳模拟) 如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是________.14. （1分）完成反证法证题的全过程.设a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数.证明:假设p为奇数,则a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数=________=0.但0≠奇数,这一矛盾说明p为偶数.15. （1分） (2016高二下·南阳期末) 在一次篮球练习课中，规定每人最多投篮4次，若投中3次就称为“优秀”并停止投篮，已知甲每次投篮投中的概率是，设甲投中蓝的次数为X，则期望E（X）=________．16. （1分）对任意的两个实数a，b，定义，若f（x）=4﹣x2 ， g（x）=3x，则min （f（x），g（x））的最大值为________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的极坐标为（5，0），点M的极坐标为（4，），若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，4为半径．（1）求直线l和圆C的极坐标方程；（2）试判断直线l和圆C的位置关系．18. （5分）(2017·福州模拟) 某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．（Ⅰ）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；（Ⅱ）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为，乙队猜对前两条的概率均为，猜对第3条的概率为．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？19. （15分） (2017高一上·武汉期中) 已知，a∈R．（1）求f（x）的解析式；（2）解关于x的方程f（x）=（a﹣1）•4x（3）设h（x）=2﹣xf（x），时，对任意x1，x2∈[﹣1，1]总有成立，求a的取值范围．20. （10分） (2018高二下·重庆期中) 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于两点，求的面积.21. （10分）(2017·湖北模拟) 在某小学体育素质达标运动会上，对10名男生和10名女生在一分钟跳绳的次数进行统计，得到如下所示茎叶图：（1）已知男生组中数据的中位数为125，女生组数据的平均数为124，求x，y的值；（2）现从这20名学生中任意抽取一名男生和一名女生对他们进行训练，记一分钟内跳绳次数不低于115且不超过125的学生被选上的人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）．22. （15分）(2017·山东模拟) 已知函数f（x）=x﹣mex（m∈R，e为自然对数的底数）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）≤e2x对∀x∈R恒成立，求实数m的取值范围；（3）设x1，x2（x1≠x2）是函数f（x）的两个两点，求证x1+x2＞2．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
山东省烟台市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析
山东省烟台市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知21nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x 的系数为（ ） A ．5B ．10C ．20D ．402．已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的一条渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，则双曲线M 的离心率为（ ） A ．233B ．3C ．2D ．233或2 3．某所大学在10月份举行秋季越野接力赛，每个专业四人一组，其中计算机专业的甲、乙、丙、丁四位大学生将代表本专业参加拉力赛，需要安排第一棒到第四棒的顺序，四个人去询问教练的安排，教练对甲说：“根据训练成绩，你和乙都不适合跑最后一棒”；然后又对乙说：“你还不适合安排在第一棒”，仅从教练回答的信息分析，要对这四名同学讲行合理的比赛棒次安排，那么不同情形的种数共有（ ） A ．6B ．8C ．12D ．244．若()21001121002a a x a x a x x +++=+-L ，则0123102310a a a a a ++++⋅⋅⋅+=（ ） A ．10B ．-10C ．1014D ．10345．设211~(,)X N μσ，222~(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是A ．12μμ>，12σσ>B ．12()()P X P X μμ><>C ．12μμ<，12σσ>D ．12()()P Y P X μμ≤<≤6．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝7．已知全集{1,3,5,7},{3,5}U A ==，则U C A =A ．{1}B ．{7}C ．{1,7}D ．{1357}，，， 8．设0a >，0b >，若21a b +=，则21a b+的最小值为 A ．22B ．8C ．9D ．109．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝a(1 3 )i，i＝1，2，3，则a的值为( )A．1 B．913C．1113D．271310．2只猫把5只老鼠捉光,不同的捉法有()种.A．25B．52C．25C D．25A11．二项式()521x-的展开式的各项中，二项式系数最大的项为( )A．20x B．20x和240x-C．240x-和380x D．380x12．在二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；在三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积）.应用合情推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度，则其四维测度为（）A．B．C．D．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知2(2,)Nξσ:，且(4)0.9Pξ<=，则(02)Pξ<<=__________．14．从装有3个红球,2个白球的袋中随机取出2个球,设其中有ξ个红球,则()2Pξ=为_____.15．如图所示，则阴影部分的面积是.16．一个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6，则此三棱锥的侧面积为______．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为12312x ty⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t为参数）；以直角坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为3ρθ=．（1）求1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（2）若1C与2C交于点A B、，求线段AB的长．18．设复数12i z a =+（其中a R ∈），234z i =-．（Ⅰ）若12z z +是实数，求12z z ⋅的值；（Ⅱ）若12z z 是纯虚数，求1z ．19．（6分）已知集合112A xx ⎧⎫=≤-⎨⎬-⎩⎭，设a A ∈，判断元素2292417b a a =-+与A 的关系.20．（6分）设a ，k ∈R ，已知函数()2f x x x a ka =--+. （I ）当1a =时，求()f x 的单调增区间；（Ⅱ）若对于任意10,6a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 至少有三个零点，求实数k 的取值范围.21．（6分）中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在15:65岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下： 年龄 [)15,25 [)25,35 [)35,45 [)45,55 [)55,65支持“延迟退休”的人数155152817（1）由以上统计数据填22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异； 45岁以下 45岁以上 总计 支持 不支持 总计（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率. ②记抽到45岁以上的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望. 22．（8分）已知函数()|21||1|f x x x =-++． (1)解不等式()3f x „；(2)记函数()()|1|g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明：2313t t t++…．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】首先根据二项展开式的各项系数和012232n nn n n n C C C C +++==L ，求得5n =，再根据二项展开式的通项为211()()r rn rr n T C x x-+=，求得2r =，再求二项展开式中x 的系数.【详解】因为二项展开式的各项系数和012232n nn n n n C C C C +++==L ，所以5n =，又二项展开式的通项为211()()r rn rr n T C x x-+==3r r n n C x -，351r -=，2r =所以二项展开式中x 的系数为2510C =．答案选择B ．【点睛】本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题． 2．C 【解析】 【分析】转化条件得b a =e =即可得解.【详解】由题意可知双曲线的渐近线为by x a=±，又 渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，∴tan 60ba==o∴双曲线离心率2e ==. 故选：C. 【点睛】本题考查了双曲线的性质，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】这里将“乙”看做特殊元素，考虑“乙”的位置，再考虑甲的位置，运用分类加法去计算. 【详解】根据条件乙只能安排在第二棒或第三棒；若“乙”安排在第二棒，此时有：1222C A 4=g 种，若“乙”安排在第三棒，此时有：1222C A 4=g 种，则一共有：8种.故选：B. 【点睛】（1）排列组合中，遵循特殊元素优先排列的原则； （2）两个常用的计数原理：分类加法和分步乘法原理. 4．C 【解析】 【分析】先求出0a ，对等式两边求导，代入数据1得到答案. 【详解】()21001121002a a x a x a x x +++=+-L取10.002x a =⇒=对等式两边求导1231902923110(2)0a a a x x x x a +++⋅⋅⋅+⇒--=取1x =1231001231023102310140110a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+=⇒-=⇒ 故答案为C 【点睛】本题考查了二项式定理，对两边求导是解题的关键.5．D 【解析】 【分析】由正态分布的性质，结合图像依次分析选项即可得到答案。
2019-2020学年烟台市名校数学高二(下)期末检测试题含解析
2019-2020学年烟台市名校数学高二(下)期末检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．设i 是虚数单位，则复数21iz i=-的虚部等于（ ） A ．i - B ．iC ．1-D ．1【答案】D 【解析】分析：对所给的复数分子、分母同乘以1i +，利用21i =-进行化简，整理出实部和虚部即可． 详解：∵22(1)2211(1)(1)2i i i i z i i i i +-====---+ ∴复数21iz i=-的虚部为1 故选D.点睛：本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，两个复数相除时，一般需要分子和分母同时除以分母的共轭复数，再进行化简求值．2．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，212[0,)()x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-，则（ ）．A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-【答案】A 【解析】由对任意x 1，x 2 ∈ [0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()1212f x f x x x -- <0，得f(x )在[0，＋∞)上单独递减，所以(3)(2)(2)(1)f f f f <=-<，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行 3．函数3()2xf x e x =--(e=2.71828…是自然对数的底数)一定存在零点的区间是（ ） A ．(-1，0) B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，e)【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理，即可判断出结果. 【详解】因为3()2xf x e x =--，所以1311(1)1022--=+-=-<f e e ，031(0)0022=--=-<f e ，135(1)1022=--=->f e e ， 所以(0)(1)0f f <，由零点存在定理可得：区间(0,1)内必有零点. 故选B 【点睛】本题主要考查判断零点所在的区间，熟记零点的存在定理即可，属于基础题型.4．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )A ．r 2<r 4<0<r 3<r 1B ．r 4<r 2<0<r 1<r 3C ．r 4<r 2<0<r 3<r 1D ．r 2<r 4<0<r 1<r 3【答案】A 【解析】 【分析】根据正相关和负相关以及相关系数的知识，选出正确选项. 【详解】由散点图可知图(1)与图(3)是正相关，故r 1>0，r 3>0，图(2)与图(4)是负相关，故r 2<0，r 4<0，且图(1)与图(2)的样本点集中在一条直线附近，因此r 2<r 4<0<r 3<r 1. 故选:A. 【点睛】本小题主要考查散点图，考查相关系数、正相关和负相关的理解，属于基础题.5．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）A ．3(0,]2B ．3(0,]4C ．3[,1)2D ．3[,1)4【答案】A 【解析】试题分析：设1F 是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y -=过原点，因此,A B 两点关于原点对称，从而1AF BF 是平行四边形，所以14BF BF AF BF +=+=，即24a =，2a =，设(0,)M b ，则45b d =，所以4455b ≥，1b ≥，即12b ≤<，又22224c a b b =-=-，所以03c <≤，302c a <≤．故选A ． 考点：椭圆的几何性质．【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得,a c 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义． 6．已知x ，y 取值如下表：x0 1 4 5 6 8y1.3 1.8 5.66.17.4 9.3从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且0.95y x a =+，则a 等于（ ） A ．1.30 B ．1.45C ．1.65D ．1.80【答案】B 【解析】 【分析】计算平均数，可得样本中心点，代入线性回归方程，即可求得a 的值． 【详解】依题意,得16x =⨯(0+1+4+5+6+8)=4,16y =⨯(1.3+1.8+5.6+6.1++7.4+9.3)=5.25. 又直线y=0.95x+a 必过中心点(,x y ),即点(4,5.25),于是5.25=0.95×4+a ,解得a=1.45.故选B. 【点睛】本题考查线性回归方程，利用线性回归方程恒过样本中心点是关键． 7．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】 【分析】 根据单调递增可知在上恒成立，采用分离变量的方法可知，求出最大值即可得到结果. 【详解】 由题意得：在上单调递增等价于：在上恒成立即：当时，本题正确选项： 【点睛】本题考查根据函数在区间上的单调性求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为恒成立问题，从而利用分离变量的方式来进行求解.8．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且P （X ≤4）=0.88，则P （0<X <4）=（ ）A ．0.88B ．0.76C ．0.24D ．0.12【答案】B 【解析】 【分析】正态曲线关于x μ=对称，利用已知条件转化求解概率即可． 【详解】因为随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，2μ=，得对称轴是2X =，(4)0.88P X ≤=，(4)(0)10.880.12P X P X ∴≥=≤=-=，(04)12(4)10.240.76P X P X ∴<<=-≥=-=，故选B ．【点睛】本题在充分理解正态分布的基础上，充分利用正态分布的对称性解题，是一道基础题．9．已知函数2()(12)()f x x x ax b =+++(),a b ∈R 的图象关于点(1,0)对称，则()f x 在[1,1]-上的值域为（ ）A ．3[8,]2- B ．3[7,]2- C ．33[8,]2- D ．33[7,]2- 【答案】D 【解析】由题意得，函数2()(12)()f x x x ax b =+++的图象关于点(1,0)对称，则(1)0(2)(0)f f f =⎧⎨=-⎩，即3(1)05(42)a b a b b++=⎧⎨++=-⎩，解得75,22a b =-=，所以275()(12)()22f x x x x =+-+，则2233()612(481)22f x x x x x =-+=-+'， 令()0f x '=，解得131x =+或231x =-， 当3[1,1)x ∈--，则()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当3(1,1]x ∈-，则()0f x '>，函数()f x 单调递增， 所以min ()(1)7f x f =-=-，min 333()(1)22f x f =-=， 所以函数()f x 的值域为33[7,]2-，故选D.点睛：本题考查了函数的基本性质的应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，其中解答中根据函数2()(12)()f x x x ax b =+++的图象关于点(1,0)对称，列出方程组，求的,a b 得值是解得关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力. 10．已知非空集合,A B ，全集U A B =⋃，集合M A B =⋂, 集合()()U UN B A =⋃痧则（ ）A ．M N M =UB ．M N ⋂=∅C ．M N =D ．M N ⊆【答案】B 【解析】分析：根据题意画出图形，找出M 与 N 的并集，交集，判断M 与 N 的关系即可 详解：Q 全集U A B =⋃，集合M A B =⋂, 集合()()U UN B A =⋃痧M N U ∴⋃=，M N ⋂=∅，M N ≠点睛：本题主要考查的是交集，并集，补集的混合运算，根据题目画出图形是解题的关键，属于基础题。
山东省烟台市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题含解析
山东省烟台市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业质量监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足2z zi i +=-（i 为虚数单位），则z =（ ）A B ．2C ．2D ．1【答案】C 【解析】 【分析】 整理得到21iz i-=+，根据模长的运算可求得结果. 【详解】由2z zi i +=-得：21iz i -=+ 212i z i -∴===+ 本题正确选项：C 【点睛】本题考查向量模长的求解，属于基础题.2．周末，某高校一学生宿舍有甲乙丙丁四位同学分别在做不同的四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自所做事情的一些判断：①甲不在看书，也不在写信； ②乙不在写信，也不在听音乐； ③如果甲不在听音乐，那么丁也不在写信； ④丙不在看书，也不在写信. 已知这些判断都是正确的，依据以上判断，乙同学正在做的事情是（ ） A ．玩游戏 B ．写信C ．听音乐D ．看书【答案】D 【解析】 【分析】根据事情判断其对应关系进行合情推理进而得以正确分析 【详解】由于判断都是正确的，那么由①知甲在听音乐或玩游戏；由②知乙在看书或玩游戏；由③知甲听音乐时丁在写信；由④知丙在听音乐或玩游戏，那么甲在听音乐，丙在玩游戏，丁在写信，由此可知乙肯定在看书 故选：D ． 【点睛】本题考查了合情推理，考查分类讨论思想，属于基础题．3．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()ln f x x =，记12a f ⎛⎫⎛ ⎪= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，12b f ⎛⎫⎫=-⎪ ⎪⎭⎝⎭，()3c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．c b a >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>【答案】A 【解析】分析：根据x ＞0时f （x ）解析式即可知f （x ）在（0，+∞）上单调递增，由f （x ）为奇函数即可得出()b f =，然后比较1()32，和的大小关系，根据f （x ）在（0，+∞）上单调递增即可比较出a ，b ，c 的大小关系． 详解：x ＞0时，f （x ）=lnx ； ∴f （x ）在（0，+∞）上单调递增； ∵f （x ）是定义在R 上的奇函数；1122b f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()f ；12＜＜，10(12＜；∴10()32＜＜；∴()()1(32f f f ⎛⎫⎪⎝⎭＜＜； ∴a ＜b ＜c ； 即c ＞b ＞a ． 故选A ．点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．4．把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有点向左平行移动6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）.A ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先根据左加右减的性质进行平移，再根据横坐标伸长到原来的2倍时w 的值变为原来的12倍，得到答案． 【详解】 解：向左平移6π个单位，即以6x π+代x ，得到函数sin()6y x π=+， 再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以12x 代x ，得到函数：1sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．故选：A ． 【点睛】本题主要考查三角函数的变换，属于基础题．5．已知函数2()2(,)x f x x ae b a b R =-+∈，若()f x 有两个极值点1x ，()212x x x <，且212x x <，则a 的取值范围是（ ） A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 2,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．ln 21,2e ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．ln 20,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由()0f x '=可得x x a e =，根据()f x 极值点可知xxa e=有两根12,x x ，等价于y a =与()g x 交于12,x x 两点，利用导数可求得()g x 的最大值，同时根据12,x x 的大小关系构造方程可求得临界状态212x x =时1x 的取值，结合单调性可确定a 的取值范围. 【详解】()22x f x x ae b =-+，()22x f x x ae '∴=-，令()0f x '=可得：xxa e =. ()f x 有两个极值点12,x x ，x xa e∴=有两根12,x x 令()xx g x e =，则()1x xg x e -'=， ∴当(),1x ∈-∞时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x ∴在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()()max 11g x g e∴==，令212x x =，则12112122x x x x x x e e e ==，解得：1ln 2x =，此时ln 22a =. x xa e =有两根12,x x 等价于y a =与()g x 交于12,x x 两点，ln 212a e∴<<，即a 的取值范围为ln 21,2e ⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：C . 【点睛】本题考查根据函数极值点个数及大小关系求解参数范围的问题，关键是明确极值点和函数导数之间的关系，将问题转化为直线与曲线交点问题的求解.6．若{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆则满足条件的集合A 的个数是( ) A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】C 【解析】 【分析】根据题意A 中必须有1，2这两个元素，因此A 的个数应为集合{3,4，5}的子集的个数． 【详解】 解：{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆，∴集合A 中必须含有1，2两个元素，因此满足条件的集合A 为{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,5，{}1,2,3,4，{}1,2,3,5，{}1,2,4,5，{}1,2,3,4,5共8个．故选C ． 【点睛】本题考查了子集的概念，熟练掌握由集合间的关系得到元素关系是解题的关键.有n 个元素的集合其子集共有2n 个.7．函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=，若()()g x xf x =，则()'1g =（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．32【答案】D 【解析】分析：先求出()g x '和(1)g '，再求(1)(1)f f '和即得()'1g . 详解：由题得()()(),(1)(1)(1),g x f x xf x g f f =+∴'=+'''因为函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=， 所以1(1),(1)1,2f f =='所以13(1)(1)(1)1.22g f f =+'='=+ 故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查求导和导数的几何意义，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处的切线的斜率，相应的切线方程是000()()y y f x x x '-=-8．已知复数z 满足：32z z =-，且z 的实部为2，则1z -= A ．3 B ．2C ．32D ．23【答案】B 【解析】分析：根据题意设2,z bi =+根据题意得到224+1412b b b z i =+⇒=±∴=±，从而根据复数的模的概念得到结果.详解：设2,z bi =+根据题意得到224+1412b b b z i =+⇒=±∴=± 则1z -=2. 故答案为B.点睛：本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.9．一个盒子里有支好晶体管，支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管时，则第二支也是好晶体管的概率为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D【解析】试题分析：由题意，知取出一好晶体管后，盒子里还有5只好晶体管，4支坏晶体管，所以若已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为，故选D ． 考点：等可能事件的概率．10．已知集合2{|60}A x x x =+-<,集合1{|21}x B x -=≥,则A B ⋂= A ．[)3,2 B ．(]3,1- C ．()1,2 D ．[)1,2 【答案】D 【解析】()3,2A =-，[)1,B =+∞，则[)1,2A B ⋂=，选D .11．设0ab >，下列不等式中正确的是（ ） ①a b a b +>- ②a b a b +>+ ③a b a b +<- ④a b a b +>- A ．①和② B ．①和③C ．①和④D ．②和④【答案】C 【解析】分析：利用绝对值三角不等式等逐一判断. 详解：因为ab>0,所以a,b 同号.对于①，由绝对值三角不等式得a b a b +>-，所以①是正确的；对于②，当a,b 同号时，a b a b +=+，所以②是错误的；对于③，假设a=3,b=2,所以③是错误的；对于④，由绝对值三角不等式得a b a b +>-，所以④是正确的. 故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式，意在考查学生对该知道掌握水平和分析推理能力.(2)对于类似这样的题目，方法要灵活，有的可以举反例，有的可以直接证明判断.12．已知函数f （x ）＝（3x ﹣2）e x +mx ﹣m （m ≥﹣1），若有且仅有两个整数使得f （x ）≤0，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（5e ，2] B ．[52-e ，283-e） C ．[12-，283-e）D ．[﹣1，52-e）【答案】B 【解析】 【分析】设()()=32xg x x e -，利用导数研究其单调性，作出图象，再由()h x mx m =-+恒过定点()1,0，数形结合得到答案． 【详解】设()()=32xg x x e -，()h x mx m =-+，则()()31xg x ex '=+，1,3x ⎛⎫∴∈-∞- ⎪⎝⎭，()0g x '<，()g x 单调递减，1,3x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0g x '>，()g x 单调递增，13x ∴=-，()g x 取最小值133e --，直线y mx m =-+过定点()1,0， 而51,B e -⎛⎫- ⎪⎝⎭，282,C e -⎛⎫- ⎪⎝⎭ 5522ABe k e ==，228833AC e k e== ∴要使有且仅有两个整数使得()0f x ≤，则228532m e e <-≤，即25823m e e -≤<- ∴实数m 的取值范围为258,23e e⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. 故选B 项.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题13．若321(2)2nx x -展开式中的第7项是常数项，则n 的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】利用二项展开式得出第七项x 的指数，利用指数为零，求出n 的值． 【详解】 解：321(2)2n x x -的展开式的第七项为63666330126721(2)()2(1)2n n n n n T C x C x x---=⋅⋅-=⋅⋅⋅-， 由于第七项为常数项，则3300n -=，解得10n =， 故答案为：1． 【点睛】本题考查二项式定理，考查对公式的理解与应用，属于基础题．14．一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数为 _____ ． 【答案】40 【解析】设B 层中的个体数为n ，则211828nn C =⇒=，则总体中的个体数为8540.⨯= 15．用0，1，3，5，7这五个数字可以组成______个无重复数字的五位数. 【答案】96 【解析】 【分析】先排无重复数字的五位数的万位数，再排其余四个数位，运算即可得解. 【详解】解：先排无重复数字的五位数的万位数，有4种选择，再排其余四位，有44A 种选择，故无重复数字的五位数的个数为44496N A ==，故答案为：96. 【点睛】本题考查了排列组合中的特殊位置优先处理法，属基础题.16．已知2()(5)22f x a x x =-++，若不等式()f x x ＞的解集为A ，已知(0,1)A ⊆，则a 的取值范围为_____.【答案】[)2,+∞ 【解析】 【分析】根据题意，分析可得()f x x ＞即2(5)20a x x -++>，其解集中有子集(0,1)，设2()(5)2g x a x x =-++，按二次函数系数的性质分3种情况分类讨论，分别求出a 的取值范围，综合可得结果. 【详解】根据题意得，2()(5)22f x a x x =-++，则不等式()f x x ＞即2(5)22a x x x -++>，变形可得2(5)20a x x -++>，若其解集为A ，且(0,1)A ⊆，设2()(5)2g x a x x =-++，则不等式()f x x ＞即()0g x ＞，（i ）当50a -=，即5a =时，()2g x x =+不等式()0g x ＞的解集为(2,)-+∞，符合题意； （ii ）当50a -<，即5a <时，若(0,1)A ⊆必有(0)0(1)0g g ≥⎧⎨≥⎩，解得2a ≥， 则此时有：25a ≤<；（iii ）当50a ->，即5a >时，()g x 为二次函数，开口向上且其对称轴为102(5)x a =<- ，又(0)2g =，所以()0g x ＞在(0,1)成立， 此时5a >综上，a 的取值范围为2a ≥ 【点睛】本题考查二次不等式恒成立和二次函数的性质，二次不等式恒成立问题要根据二次项系数分类求解. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。