新初一数学分班考奥数专题4：约数与倍数
倍数与约数的问题解决
倍数与约数的问题解决在数学中，倍数与约数是两个重要的概念。
倍数是指一个数可以被另一个数整除，而约数则是指一个数能够整除另一个数。
在解决倍数与约数的问题时，我们需要运用一些数学方法和技巧。
一、倍数问题解决方法当我们遇到倍数的问题时，首先要确定一个数是否是另一个数的倍数。
为了判断一个数是否是另一个数的倍数，我们可以利用取余运算。
如果一个数除以另一个数的余数为零，那么这个数就是另一个数的倍数。
例如，要判断36是否是9的倍数，我们可以进行如下计算：36除以9等于4余0。
由于余数为0，所以36是9的倍数。
在解决倍数问题时，我们还需要考虑两个数的关系。
如果一个数是另一个数的倍数，那么这个数的所有倍数也是另一个数的倍数。
例如，如果24是6的倍数，那么48、72、96等都是6的倍数。
二、约数问题解决方法当我们遇到约数的问题时，首先要确定一个数的约数有哪些。
为了找出一个数的约数，我们可以列举所有可能的因数并进行验证。
例如，要找出24的约数，首先我们可以列举出24的所有可能因数：1、2、3、4、6、8、12和24。
然后，我们逐个验证这些因数是否能够整除24。
最终，我们可以确定24的约数有1、2、3、4、6、8、12和24。
在解决约数问题时，我们还可以利用数学定理和规律。
例如，如果一个数是质数，那么它的约数只有1和它本身。
三、倍数与约数在实际问题中的应用倍数与约数在实际问题中有广泛的应用。
下面以两个例子来说明：1. 购买礼物假设小明要给他的朋友买一个生日礼物，他发现选项有两个，分别是价格为60元和80元的礼物。
他想知道这两个礼物能不能用同样的金额买到。
为了解决这个问题，我们可以找到60和80的公倍数。
通过列举60和80的倍数，我们可以发现它们的公倍数是240。
这意味着小明可以用相同的金额买到这两个礼物。
2. 分糖果班级里有30个学生，小明带来了120颗糖果。
他想要将糖果平均分给每个学生，每个学生能得到几颗糖果？为了解决这个问题，我们可以找到120和30的最大公约数。
数论--约数倍数-第4讲约数和倍数竞赛班学生
第四讲约数和倍数一、基础知识1. 1. 常用的特殊自然数的整除特征1）2系列：被2整除只需看末位能否被2整除被4整除只需看末两位能否被4整除被8整除只需看末三位能否被8整除，依次类推2）5系列:被5整除只需看末位是否为0或5被25整除只需看末两位能否被25整除，即只可能是00，25，50，75我们以被8整除看末三位为例证明以上两个系列的性质假设一个多位数末三位是abc，末三位之前的部分为x那么该数=1000x+abc，由于8|1000,所以8|1000x,因此该数能否被8整除就决定于末三位abc能否被8整除，证毕.3）3系列：被3整除只需看各位数字之和能否被3整除.被9整除只需看各位数字之和能否被9整除.我们以三位数为例来证明被9整除只需看各位数字之和这一性质假设该三位数为abc=100a+10b+c=(99a+9b)+(a+b+c)很明显第一个括号里的数是9的倍数，因此只要a+b+c，即各位数字之和能被9整除，那么这个三位数abc 就能被9整除，反之亦然。
推广到任意位数的自然数，该证明方法仍然成立，请大家自己尝试一下.4）7,11,13系列被7，11，13整除的判别方法：看多位数的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除[思考]：为什么要从末三位把这个数一分为二呢？仔细想一想我们会发现7ｘ11ｘ13=1001，正好比1000大1，由此我们可以得到如下证明和2系列的证明类似，我们仍然设一个多位数的末三位是abc，前面部分是x那么我们要证明的就是这个多位数能否被7，11，13整除决定于abc-x能否被7，11，13整除该数=1000x+abc=1001x+（abc-x）由于1001同时是7，11，13的倍数，所以这个多位数能否被7，11，13整除决定于abc-x能否被7，11，13整除，证毕.特别的，我们还有另外一种判别能否被11整除的性质，就是看奇数位数字之和与偶数为数字之和能否被11整除，若能整除则原数可被11整除，反之亦然.请大家自己想一想这个如何证明？（思考题）2.整除的性质1）已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c.2）已知c|ab，(b,c)=1,则c|a.3.最大公约数和最小公倍数两个基本性质一.两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质.即若a=a1*(a,b),b=b1*(a,b),则(a1,b1)=1二.两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积.[a,b]*(a,b)=ab二、例题部分例1．（★★第16届希望杯第2试）我们用记号“|”表示两个正整数之间的整除关系，如3|12表示3整除12，那么满足x | (y+1)和y | (x+1)的正整数组(x,y)有__________组.例2.(★★第12届希望杯第2试) 两个正整数的和是60，它们的最小公倍数是273，则它们的乘积是__________例3.（★★★★ 1987年北京初二数学竞赛题）x，y，z均为整数，若11｜（7x+2y-5z），求证：11｜（3x-7y+12z）。
【精编范文】小学奥数数论问题知识总结：约数和倍数-范文模板 (2页)
【精编范文】小学奥数数论问题知识总结：约数和倍数-范文模板
本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！
== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==
小学奥数数论问题知识总结：约数和倍数
导语：“奥数”是奥林匹克数学竞赛的简称。
学习奥数可以锻炼思维，是
大有好处的。
以下是小编为大家精心整理的小学奥数数论问题知识总结：约数
和倍数，欢迎大家参考！
约数和倍数
约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，
叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质：
1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最
大公约数乘以m。
例如：
12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有：1、2、3、6、9、18；
那么12和18的公约数有：1、2、3、6；
那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；
求最大公约数基本方法：
1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。
解决简单的约数与倍数问题
解决简单的约数与倍数问题在数学中，约数与倍数问题是我们经常遇到的一类基础题目，它们不仅对于数学知识的掌握有重要意义，还对我们的逻辑思维和解决问题的能力起到了锻炼作用。
本文将介绍一些解决简单的约数与倍数问题的方法和技巧。
一、约数问题解决方法约数问题指的是寻找一个数的所有约数或特定的约数。
首先我们需要明确什么是约数，约数即能够整除目标数的数。
比如对于数10而言，它的约数包括1、2、5和10。
那么如何找到一个数的约数呢？1. 列举法列举法是最常见的一种找约数的方法。
我们可以从小到大，依次尝试每个数是否可以整除目标数。
比如对于数12而言，我们可以从1开始，依次尝试1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12，最后得到12的约数为1、2、3、4、6、12。
2. 因数分解法因数分解法是另一种常用的找约数的方法。
我们首先对目标数进行因式分解，然后根据分解的结果确定约数。
比如对于数20而言，它可以因式分解为2 * 2 * 5，那么它的约数包括1、2、4、5、10和20。
二、倍数问题解决方法倍数问题指的是寻找一个数的所有倍数或特定的倍数。
我们首先需要明确什么是倍数，倍数即目标数的整数倍。
比如对于数6而言，它的倍数包括6、12、18、24等等。
那么如何找到一个数的倍数呢？1. 乘法法乘法法是最直观的一种找倍数的方法。
我们可以将目标数乘以一个自然数，从而得到它的倍数。
比如对于数8而言，它的倍数可以依次得到8、16、24、32等等。
2. 公倍数法公倍数法是用来寻找两个及以上数的公倍数的方法。
我们首先需要找到这些数的倍数，然后找到它们的共同倍数。
比如对于数3和4而言，它们的倍数分别是3、6、9和4、8、12，那么它们的公倍数即为6和12。
三、解决问题的技巧解决约数与倍数问题的关键在于灵活运用数学知识和逻辑思维。
以下是一些常见的解决问题的技巧：1. 利用数的性质比如对于偶数而言，它必定是2的倍数，而奇数则不是；对于任意一个数而言，它必定是1的倍数和自身的倍数。
初中数学知识归纳倍数和约数的概念与计算
初中数学知识归纳倍数和约数的概念与计算初中数学知识归纳：倍数和约数的概念与计算在初中数学学习中，倍数和约数是一个非常重要的概念。
本文将对倍数和约数的概念进行归纳，并介绍如何计算倍数和约数。
一、倍数的概念与计算1. 倍数的概念倍数是指一个数能够被另一个数整除，即这个数是另一个数的整数倍。
通俗来说，如果一个数能够被另一个数整除，那么这个数就是另一个数的倍数。
2. 倍数的计算方法要计算一个数的倍数，可以通过将这个数不断地加上自身，直到满足条件为止。
例如，计算4的倍数，可以开始从4开始不断加上4，直到满足条件。
依次计算得到的结果为4、8、12、16...3. 判断是否是倍数在判断一个数是否是另一个数的倍数时，可以通过判断能否整除来得出结论。
如果一个数能够整除另一个数，则它就是它的倍数。
例如，判断8是否是4的倍数，可以计算8÷4，如果结果为整数且余数为0，则8是4的倍数。
二、约数的概念与计算1. 约数的概念约数是指能够整除一个数的数，即能够整除一个数且结果为整数的数。
通俗来说，如果一个数能够被另一个数整除，那么这个数就是另一个数的约数。
2. 约数的计算方法要计算一个数的约数，可以列举所有能够整除这个数的数。
例如，计算12的约数，可以列举1，2，3，4，6，12。
这些数都能够整除12，所以它们是12的约数。
3. 判断是否是约数在判断一个数是否是另一个数的约数时，可以通过判断能否整除来得出结论。
如果一个数能够整除另一个数，则它就是它的约数。
例如，判断3是否是12的约数，可以计算12÷3，如果结果为整数且余数为0，则3是12的约数。
三、倍数和约数的关系与应用1. 倍数与约数的关系倍数和约数是密切相关的概念。
如果一个数是另一个数的倍数，那么另一个数就是这个数的约数。
例如，如果12是3的倍数，那么3就是12的约数。
2. 倍数和约数的应用倍数和约数在实际问题中有广泛应用。
例如，在分配苹果时，如果总数是12，每份是3个，那么12就是3的倍数，而3就是12的约数。
初一上数学竞赛辅导资料2 倍数、约数
初中数学竞赛辅导资料（2）倍数约数甲内容提要1两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数．例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数．2因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除．0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数．如0是7的倍数，7是0的约数．3整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……．4整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A．例如6的约数是±1，±2，±3，±6．5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数．6公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）．7在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数若用字母表示可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除例如23＝3×7＋2则23－2能被3整除．乙例题例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32．解：列表如下那么合数A的正约数的个是（m＋1）(n＋1)例如求360的正约数的个数解：分解质因数：360＝23×32×5，360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个）例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数解：∵24＝23×3，90＝2×32×5∴最大公约数是2×3，记作（24，90）＝6最小公倍数是23×32×5＝360，记作[24，90]＝360例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6经检验1和2不合题意，∴N＝6，3例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除，所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1．解：∵[10，9，8]＝360，∴所以所求的数是359丙练习21.12的正约数有_________，16的所有约数是_________________．2.分解质因数300＝_________，300的正约数的个数是_________．3.用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数．4.一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________．5.能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______最大三位数是________．6.己知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A＝________．7.写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数．答_____________．8.一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？9.一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶，如果每步跨3阶，那么最后剩2阶，如果每步跨4阶，那么最后剩3阶，如果每步跨5阶，那么最后剩4阶，如果每步跨6阶，那么最后剩5阶，只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？练习21.1，2，3，4，6，12；±1，±2，±3，±6，±9，±182.22×3×52；183.2×5；22×534.6935.［3，5，11］＝165，1155；9906.A＝3即求14－2与23－2的公约数7.30，60，908.（135，105）＝15，正约数有1，3，5，159.119．∵［2，3，4，5，6］＝60，60×2－1＝119。
数学：倍数与约数的计算与应用
数学：倍数与约数的计算与应用一、倍数与约数的定义1.倍数：如果一个数a能被另一个数b整除，那么a就是b的倍数。
2.约数：如果一个数a能被另一个数b整除，那么b就是a的约数。
二、倍数与约数的关系1.一个数的倍数是无限的，最小的倍数是它本身。
2.一个数的约数是有限的，最小的约数是1，最大的约数是它本身。
三、倍数的计算1.求一个数的倍数：将这个数分别乘以自然数1、2、3、4、5…，所得的积就是这个数的倍数。
四、约数的计算1.求一个数的约数：通过试除法，将这个数分别除以自然数1、2、3、4、5…，如果能整除，则这个数是它的约数。
五、倍数与约数的应用1.找一个数的倍数和约数：通过列举或计算的方法，可以找到一个数的倍数和约数。
2.确定最小公倍数和最大公约数：两个数的最小公倍数是它们的倍数中最小的一个，最大公约数是它们的约数中最大的一个。
3.应用场景：在生活中的应用，如时间计算（倍数关系）、物品分配（公约数关系）等。
4.求下列数的倍数和约数：5.求下列数的最小公倍数和最大公约数：a)12和18b)24和366.运用倍数与约数的关系，解决实际问题：a)小明有12个苹果，他想把它们平均分给他的4个朋友，每个朋友能分到几个苹果？b)一个班级有24名学生，他们要分成6个小组，每个小组有几个学生？倍数与约数是数学中的基本概念，通过计算倍数和约数，可以解决生活中的实际问题。
掌握倍数与约数的计算方法，能够帮助学生更好地理解和应用数学知识。
习题及方法：一、求倍数和约数的习题1.求12的倍数和约数。
答案：12的倍数有：12, 24, 36, 48, 60, …；12的约数有：1, 2, 3, 4, 6, 12。
解题思路：通过列举或计算的方法，可以找到12的倍数和约数。
2.求18的倍数和约数。
答案：18的倍数有：18, 36, 54, 72, 90, …；18的约数有：1, 2, 3, 6, 9, 18。
解题思路：通过列举或计算的方法，可以找到18的倍数和约数。
《约数和倍数》课件
欢迎来到关于约数和倍数的PPT课件，本次课件将会向你介绍约数和倍数的 定义，以及求解方法和例题演示。让我们开始吧！
约数和倍数的定义
约数
如果一个整数除以另外一个整数，余数为0，那么我们说后者是前者的约数。
倍数
如果一个整数乘以另外一个整数得到某个数，那么我们说这个数是另外那个数的倍数。
求约数的方法
质因数分解法
将一个数分解质因数，再将各个质因数的幂次加1， 最后相乘。即可得出所有的约数。
列举法
用小的整数去除大的整数，将其商和余数一直分解， 找到全部约数。
判断一个数是不是另一个数的约数
1 方法一：可以用列举法求出所有的约数，看看那个数是否在其中 2 方法二：可以判断该数与那个数是否存在倍数关系
求一个数的所有倍数
1
Step 1
将对应的数值不断累加/乘即可得到所有倍数
例题演示
例题 1 例题 3
求36的所有约数。 求11的所有倍数。
例题 2 例题 4
判断11是否是56的约 数。
判断75是否是10的倍 数。
求一个数的所有约数
1
Step 2
2
列出所有质因数及其对应的幂次
3
Step 1
质因数分解这个数
Step 3
各个质因数的幂次加1，再相乘即可得出 所有的约数
求倍数的方法
直接乘法
将一个数乘以对应的倍数即可得到倍数
直接加法
将一个数加上对应的数值即可得到倍数
判断一个数是不是另一个数的倍数
1 方法一：可以直接用除
数学小升初重要知识总结倍数与约数的计算与应用
数学小升初重要知识总结倍数与约数的计算与应用数学小升初重要知识总结：倍数与约数的计算与应用在数学中，倍数与约数是非常重要的概念。
掌握了倍数与约数的计算与应用方法，能够帮助我们解决各种数学问题，提高计算能力和数学思维。
本文将对倍数与约数的相关知识进行总结，并讨论其在实际问题中的应用。
一、倍数的计算与应用1.1 倍数的定义与性质倍数是指一个数能够被另一个数整除，也即是后者成为前者的倍数。
对于任意两个整数a和b，如果存在整数k使得a=kb，那么a就是b的倍数。
常用的倍数有2倍、3倍、4倍等等。
倍数具有以下性质：- 一个数自身必定是它自己的倍数；- 0是任何整数的倍数；- 任何数的倍数都是无限多的；- 一个数的倍数与它本身有关，可以用倍数的概念来证明两个数是否有因子关系。
1.2 倍数的计算方法计算一个数的倍数通常有两种方法：列举法和公式法。
列举法是逐个列举出给定数的倍数。
例如，列举2的倍数可以得到2、4、6、8、10……等等。
这种方法适用于小规模的倍数计算。
公式法则是通过数学公式来计算倍数。
例如，要计算n的倍数，可以使用公式n×k=k的倍数，其中k为任意整数。
这种方法适用于较大规模的倍数计算，并能快速得到结果。
1.3 倍数的应用倍数在实际问题中有广泛的应用。
例如：- 在时间和距离计算中，我们常常要根据速度和时间关系求得距离。
根据速度为v，时间为t，距离为d的关系，可得d=v×t。
这里t是v的倍数，d也是v的倍数。
- 在商业领域，计算利润、收益和成本时，我们常常要考虑销售量和成本的倍数关系。
- 在图形的放大与缩小中，我们需要根据比例关系计算尺寸的倍数。
二、约数的计算与应用2.1 约数的定义与性质约数是指能够整除给定数的因数。
对于任意两个整数a和b，如果存在整数k使得a=bk，那么a就是b的约数。
常用的约数有1和自身。
约数具有以下性质：- 一个数自身必定是它自己的约数；- 1是任何整数的约数；- 一个数的约数个数有限，且与该数的因数个数相关；- 如果两个数有相同的约数，那么它们有因子关系。
奥数讲义数论专题：约数与倍数
华杯赛数论专题：约数与倍数基础知识：1. 如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数.如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。
在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数. 自然数a、b、c的最大公约数通常用符号（a，b，c）表示.例如:（8，12）＝4，（6，9，15）＝3.2. 互质定义：如果两个或几个数的最大公约数为1，则称这两个或几个数互质.3.如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数.在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数. 自然数a、b、c的最小公倍数通常用符号[a，b，c]表示.例如:[8，12]＝24，[6，9，15]＝90.4.约数个数公式、约数和公式.5.求最大公约数和最小公倍数的基本方法：（1）分解质因数法:将每个数分解质因数，观察这些数中包含哪些质因数，①找公共部分，并将这些数的公共部分相乘，所得乘积即为这组数的最大公约数；②观察这些质因数的最高次方，并相乘，所得乘积即为这组数的最小公倍数.（2）辗转相除法: 两数为a、b的最大公约数（a，b）的步骤如下：用b除a，得a ＝bm......x（0≤x）. 若x＝0，则（a，b）＝b；若x≠0，则再用x除b，得b＝xn......y （0≤y）.若y＝0，则（a，b）＝x，若y≠0，则继续用y除x,则继如此下去，直到能整除为止.其最后一个非零除数即为（a，b）.（3）两个数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积：（a，b）×[a，b] ＝a×b.例题：例1.360有多少个约数？【答案】24【解答】，所以360共有24个约数.例2. 一个数是6的倍数，但它的约数之和与6互质，这个数最小是.【答案】36【解答】这个数可以表示成，与6互质，所以x≥2，y≥2，故最小数为.例3.甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小1988，那么满足上述条件的自然数有几组？【答案】6组【解答】，由此得a和a－b的值为1988的互补因子.1988有（1＋1）×（1＋1）×（2＋1）＝12个约数，所以答案为6组.例4.已知将自然数84的全部约数的乘积分解质因数为，那么△＋◇＋□等于.【答案】24【解答】，它有3×2×2＝12个约数.这些约数可以分成两两一组，使得同一组的两个数的乘积就是84，因此所有这些约数的乘积就是 .所以△＋◇＋□＝12＋6＋6＝24.例5.两数乘积为2800，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1.那么这两个数分别是 .【答案】175和16【解答】，两数的约数个数相差1，则两数约数的个数必为一奇一偶.而一个数的约数个数为奇数，它必为完全平方数，它可能是1、、、、、，经试验只有这个平方数取，另一个数为时，分别有5、6个约数.所以这两个数分别为175和16.例6.三位数A的所有奇约数之和是403，那么A最大可能是多少？【答案】900【解答】先考虑A的奇数部分B，利用奇偶分析可知B有奇数个约数，所以B是完全平方数，又403＜21×21，所以B只可能是、……可得B＝225. 那么A最大是225×4＝900.例7.一个正整数是2004的倍数，且恰有24个约数是偶数，那么这个数最多有个约数是奇数.【答案】12【解答】2004是4的倍数，所以偶约数至少是奇约数的2倍，所以为12个.例8.小文买红蓝两种笔各1支用了17元，两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小张打算用35元来买这两种笔（允许全部买其中一种），可是他无论怎样买都不能恰好把35元用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？【答案】红笔每支13元，蓝笔每支4元【解答】35＝5×7，两种笔的单价不能是5元和7元（否则35元可全部用完）；由于不是5元和7元，那么也不是17－5＝12（元）和17－7＝10（元）；17元可用完，而35元不能用完，那么笔价不会是35－17＝18（元）的约数：1、2、3、6、9、18，当然也不会是17－1＝16、17－2＝15、17－3＝14、17－6＝11、17－9＝8，故笔价又排除了：1、2、3、6、8、9、11、14、15、16.综上所述，只有4和13未被排除，而4＋13＝17，所以红笔每支13元，蓝笔每支4元.例9.求15708和6468的最大公约数、最小公倍数.【答案】924,109956【解析】方法一：方法二：15708＝6468×2＋2772 6468＝2772×2＋9242772＝924×3例10.1007、10017、100117、1001117和10011117的最大公约数是 .【答案】53【解析】因为1007×10－10017＝53，所以最大公约数肯定是53或1.因为1007＝53×19，而且数列中每个数都是前一个数的10倍减去53，所以只要前一个数是53的倍数那么后一个数就也是53的倍数，因此数列中每个数都是53的倍数.例11.已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？【答案】147或105【解析】要求这两个数的和，我们可先求出这两个数各是多少.设这两个数为a、b，a＜b.因为这两个数的最大公约数是21，故设a＝21m，b＝21n，且（m，n）＝1.因为这两个数的最小公倍数是126，所以126＝21×m×n，于是m×n＝6，因此，这两个数的和为21＋126＝147，或42＋63＝105.所以这两个数的和为147或105.例12.已知自然数A、B满足以下两个性质：（1）A、B不互素；（2）A、B的最大公约数与最小公倍数之和为35.那么A+B的最小值是多少？【答案】25【解析】A、B的最大公约数一定是它们最小公倍数的约数.因为A、B的最大公约数与最小公倍数的和是35，所以35是两数最大公约数的倍数.它们的最大公约数可能是5或7.如果A、B的最大公约数是5，则A、B的最小公倍数是30，此时有A＝5、B＝30或A＝10、B＝15；如果A、B的最大公约数是7，则A、B的最小公倍数是28，此时有A＝7，B＝28.所以A＋B的最小值为10＋15＝25.例13.两个数的最小公倍数比它们的最大公约数的3倍多15，请写出这两个数的所有可能值.【答案】1和18， 2和9， 3和24， 5和30，10和15， 15和60【解析】设两个数a、b，则[a,b]＝3×（a,b）＋15，且15是（a,b）的倍数，故a和b可以为1和18， 2和9， 3和24， 5和30，10和15， 15和60.例14. 三位数☆◇☆与四位数☆☆◇◇的最大公约数是22，那么☆＋◇＝.【答案】6【解析】两个数的最大公约数是22，☆☆◇◇是11的倍数，所以◇是偶数，22是☆◇☆的约数，☆是偶数，◇＝2☆，所以◇＝4，☆＝2，所以◇＋☆＝6.例15.试用2，3，4，5，6，7六个数字组成两个三位数，使这两个三位数与540的最大公约数尽可能大？【答案】324、756【解析】因为，而2，3，4，5，6，7中只有一个5，因此这六个数字组成的两个三位数中不会有公约数5，所以这两个三位数与540的最大公约数只可能为，再进行试验，108×2＝216，216中1不是已知数字，108×3＝324，还剩5，6，7三个数字，而108×7＝756，于是问题得到解决.例16.定义表示a和b的最大公约数，那么使得和同时成立的三位数a= .【答案】237【解析】根据题意：是21的倍数，所以a是3的倍数，a除以7余6，a＋63是60的倍数，a除以4余1，a除以5余2，所以a＝60×4－3=237.例18.已知a与b，a与c，b与c的最小公倍数分别是60，90和36。
奥数技巧倍数与约数
奥数技巧倍数与约数在数学学科中，奥数（奥林匹克数学）是指一种高难度的数学竞赛，旨在培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
奥数涉及的内容广泛，其中的技巧和方法对于提高数学水平和解决实际问题非常有帮助。
本文将重点介绍奥数技巧中与倍数与约数相关的知识和方法。
1.倍数倍数是数学中的一个重要概念，指的是某个数可以被另一个数整除的情况。
具体来说，如果一个数可以被另一个数除尽，那么前者就是后者的倍数。
在奥数中，寻找和计算倍数有一些常用的技巧。
1.1 规律法对于某个给定的数，通过观察它的倍数列表，可以发现其中的规律。
例如，我们想找到50的倍数，可以列出50的倍数表：50，100，150，200，250...我们可以发现，这些数每次增加50。
因此，50的倍数可以用递推公式表示为：50n（n为正整数）这样，我们就可以快速计算任意的50的倍数。
1.2 分解法有时候，我们需要找到一个数的所有倍数。
这时可以通过分解的方法来寻找。
以10为例，我们可以将10分解为2和5的乘积。
因此，10的倍数可以由2和5的倍数相乘得到。
例如：2的倍数：2，4，6，8，10，...5的倍数：5，10，15，20，...因此，10的倍数可以由2和5的倍数相乘得到：10的倍数：10，20，30，40，...2.约数与倍数相反，约数指的是可以整除某个数的因数。
寻找和计算约数也是奥数中的常见问题。
2.1 列举法对于某个数，我们可以逐个列举出所有小于等于它的正整数，看是否可以整除该数。
这种方法适用于小数。
以12为例，我们可以列举出12的所有约数：1，2，3，4，6，12可以看到，1和12都是12的约数，2和6也都是12的约数。
其中的规律是，12的约数可以用两个数相乘得到。
因此，我们可以通过分解12来找到它的约数。
2.2 分解法分解法是寻找约数的一种常用方法。
对于一个数，我们可以将它分解为质数的乘积，然后找到所有可能的组合。
以24为例，我们将24分解为2、2、2和3的乘积：24 = 2 * 2 * 2 * 3根据分解的结果，我们可以得到24的所有约数：1，2，3，4，6，8，12，24通过分解法，我们可以更快地找到一个数的所有约数。
中班数学学习数字的倍数和约数
中班数学学习数字的倍数和约数数学是一门抽象而又有趣的学科，它贯穿着我们生活的方方面面。
在中班的数学学习中，学习数字的倍数和约数是一项重要的内容。
本文将从什么是倍数和约数、倍数的求法、约数的求法以及倍数和约数在日常生活中的应用等方面进行探讨。
一、什么是倍数和约数倍数指的是一个数能够整除另一个数的数，也就是说，如果一个数能够被另一个数整除，那么它就是另一个数的倍数。
例如，4是2的倍数，因为2能够整除4。
约数指的是能够整除一个数的数，也就是说，如果一个数能够被其他数整除，那么它就是其他数的约数。
例如，2是4的约数，因为2能够整除4。
二、倍数的求法求一个数的倍数，最常用的方法就是将这个数不断地加上它本身，直到满足条件为止。
例如，求8的倍数，我们可以使用如下方法逐步求解：8，16，24，32...依次类推。
另外，我们可以利用乘法的性质来求某个数的倍数。
例如，求12的倍数，我们可以将12乘以任意正整数，得到的结果就是12的倍数。
如：12×1=12，12×2=24，12×3=36...以此类推。
三、约数的求法求一个数的约数，最直接的方法就是将这个数进行一一试除，判断该数能否整除。
例如，求24的约数，我们可以用如下方法逐步求解：1，2，3，4，6，8，12，24...依次类推。
另外，我们可以通过分解质因数的方法来求解一个数的约数。
首先，将该数分解质因数，然后将质因数的各个指数加1，并将各质因数的指数按照所有可能的组合进行相乘，最后得到的结果就是该数的所有约数。
例如，将24分解质因数得到2^3 × 3^1，然后将2的指数加1得到4，3的指数加1得到2，最后进行相乘得到4×2=8个约数：1，2，3，4，6，8，12，24。
四、倍数和约数在日常生活中的应用倍数和约数在日常生活中有许多应用。
以下是其中的几个例子：1. 计算时间：在我们学习时间的概念时，常常会遇到类似问题：某个时间点之后的多少分钟，它们之间具有倍数的关系。
倍数问题奥数题及答案
倍数问题奥数题及答案倍数问题奥数题及答案（通用5篇）倍数是一数学名词，是指一个数和一整数的乘积。
以下是店铺收集整理了倍数问题奥数题及答案，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。
倍数问题奥数题及答案篇1两数和÷（倍数+1）=小数（一倍数）。
两个数的和是20xx，其中一个加数的个位是0，如果把这个0去掉，就正好等于另一个加数的两倍。
这两个加数各是多少？答案与解析：这两个加数分别是：96和1920。
因为把第一个加数个位上的"0"去掉，得到了第二个加数的2倍，所以，第一个加数是第二个加数的20倍。
把第二个加数看作"1倍数"，第二个加数就是"20倍数"，这两个数的和20xx就是"1+20"倍的数。
根据这个"量"与"倍"的对应关系，可先求出第二个加数。
这两个加数分别是：20xx/（1+20）=96，20xx—96=1920。
倍数问题奥数题及答案篇2在10和31之间有多少个数是3的倍数？答案与解析：由尝试法可求出答案：3×4=12，3×5=15，3×6=18，3×7=21，3×8=24，3×9=27，3×10=30可知满足条件的'数是12、15、18、21、24、27和30共7个。
注意：倘若问10和1000之间有多少个数是3的倍数，则用上述一一列举的方法就显得太繁琐了，此时可采用下述方法：10÷3=3余1，可知10以内有3个数是3的倍数；1000÷3=333余1，可知1000以内有333个数是3的倍数；333—3=330，则知10～1000之内有330个数是3的倍数。
由这个例题可体会枚举法的优点和缺点及其适用范围。
枚举法比较适用于数比较少的情况，是二年级小朋友应该掌握的一种方法。
倍数与约数倍数与约数的计算与应用
倍数与约数倍数与约数的计算与应用倍数与约数：倍数是指一个数能被另一个数整除，而约数是指能整除另一个数的数。
倍数与约数在数学中有着重要的计算与应用价值。
本文将从倍数与约数的定义、计算方法和应用等方面展开讨论。
一、倍数与约数的定义倍数也称为因子，是指一个数能被另一个数整除。
例如，6是12的倍数，因为12除以6的结果是2，没有余数。
另外，一个数的倍数可以是自己或者是负数。
例如，12是12的倍数，而-12也是12的倍数。
约数是指能整除另一个数的数。
例如，12有1、2、3、4、6和12这六个约数，因为这六个数都能整除12，而且没有余数。
一个数的约数至少包括1和它本身。
例如，12的约数中1和12就是必然存在的。
二、倍数与约数的计算方法1. 倍数的计算方法要判断一个数是否是另一个数的倍数，只需要判断两个数相除是否有余数。
如果没有余数，那么这个数就是另一个数的倍数。
2. 约数的计算方法要找一个数的约数，需要找出能整除这个数的所有正整数。
可以从1开始，逐个尝试，如果能整除，则为其约数。
三、倍数与约数的应用倍数与约数在数学中有广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景。
1. 最大公约数和最小公倍数最大公约数是指两个或多个数公有的约数中最大的一个。
而最小公倍数是指两个或多个数公有的倍数中最小的一个。
计算最大公约数和最小公倍数可以有效地进行因式分解和简化计算。
2. 素数与合数的判断素数是指只有1和其本身两个约数的数，如2、3、5等。
而合数是指有除了1和其本身以外的其他约数的数，如4、6、8等。
通过判断一个数的约数个数，可以快速判断它是素数还是合数。
3. 数的整除性倍数与约数的概念在解决整除性问题时起到关键作用。
通过判断一个数是否为另一个数的倍数或者约数，可以推导出其他数之间的整除关系，进而解决一系列的数论问题。
4. 分数的化简在分数的运算中，化简分数是常见的操作。
化简分数的方法就是找到分子和分母的最大公约数，然后将其约分至最简形式。
数论中的约数与倍数的性质与计算
数论中的约数与倍数的性质与计算数论是数学的一个重要分支，研究自然数和整数的性质与关系。
在数论中，约数和倍数是两个基本概念。
约数是指能够整除给定整数的自然数，而倍数是指给定整数的某个自然数倍数。
本文将探讨约数和倍数的性质以及它们的计算方法。
一、约数的性质与计算约数是指能够整除给定整数的自然数。
对于一个给定的整数n，若能找到自然数x，使得n=x*y，其中y为自然数，则称y为n的约数。
约数可以简单地理解为整数的因数。
1. 约数的范围一个整数n的约数在1和n之间，包括1和n本身。
例如，整数12的约数为1,2,3,4,6,12。
2. 约数的性质（1）对于任意整数n，1和n都是其约数。
（2）如果a是b的约数，且b是c的约数，则a也是c的约数。
（3）如果a是b的约数，且b是a的约数，则a和b相等。
（4）如果a是b的约数，且b不是a的约数，则a小于b。
（5）如果a是b的约数，且a不是b的约数，则b大于a。
3. 约数的计算方法计算一个整数的约数可以采用试除法。
即从1开始逐个尝试除法，若结果为整数，则该数为约数。
比较高效的方法是从1到sqrt(n)进行试除，因为若n有约数大于sqrt(n)，则必定存在约数小于sqrt(n)。
考虑到约数是成对出现的，若a是b的约数，则b/a也是b的约数，故只需计算到sqrt(n)即可。
二、倍数的性质与计算倍数是指给定整数的某个自然数倍数。
对于一个给定的整数n，若能找到自然数x，使得n=x*y，则称n为y的倍数。
倍数可以简单地理解为整数的倍数关系。
1. 倍数的计算方法计算一个整数的倍数可以通过乘法来实现。
即给定整数n和自然数x，计算n的倍数可以使用乘法计算n*x得到。
2. 倍数的性质（1）一个整数n自身是它的倍数。
（2）对于任何整数x，0是其倍数。
（3）如果a是b的倍数，且b是c的倍数，则a也是c的倍数。
（4）如果a是b的倍数，且b是a的倍数，则a和b相等。
（5）如果a是b的倍数，且b不是a的倍数，则a大于b。
掌握小学数学中的约数与倍数关系
掌握小学数学中的约数与倍数关系约数与倍数是小学数学中的基础概念，它们在数学运算、分解质因数、最大公约数和最小公倍数等方面都有重要的作用。
理解和掌握约数与倍数的关系是学习数学的基础，也是培养学生逻辑思维和分析问题能力的重要环节。
本文将从定义、性质以及应用等方面，全面介绍小学数学中的约数与倍数关系。
一、约数与倍数的定义1. 约数的定义约数是指能够整除一个数的自然数，也称为因数。
例如，对于数3来说，它的约数有1和3，因为1和3都可以整除3。
2. 倍数的定义倍数是指一个数是另一个数的整倍数。
例如，对于数3来说，它的倍数有3、6、9等，因为3可以被3整除。
二、约数与倍数的性质1. 约数的性质（1）任何数都是自身的约数，即任何数都可以整除自己。
（2）任何数的约数必定小于等于这个数本身。
（3）如果一个数a能够整除另一个数b，那么a的约数也是b的约数。
2. 倍数的性质（1）任何数都是自身的倍数，即任何数都可以被自己整除。
（2）任何数的倍数必定大于等于这个数本身。
（3）如果一个数a是另一个数b的倍数，那么a的倍数也是b的倍数。
三、约数与倍数的关系1. 约数与倍数的关系（1）一个数的约数必定是它的倍数。
（2）一个数的倍数必定是它的约数。
2. 理解约数与倍数的关系通过理解约数与倍数的关系，可以帮助学生更好地理解数的分解、质因数分解等概念。
例如，对于数12来说，它的约数有1、2、3、4、6和12，而它的倍数有12、24、36等。
我们可以发现，在12的约数中，每个约数都是12的倍数，而在12的倍数中，每个倍数都是12的约数。
这一点对于数的分解、加减法、乘除法等运算都有重要的指导作用。
四、约数与倍数的应用1. 分解质因数分解质因数是数学中的基本运算，也是解决约数与倍数相关问题的重要途径。
通过分解质因数，可以将一个数分解为几个质数的乘积，从而更好地理解约数与倍数的关系。
2. 最大公约数与最小公倍数最大公约数是指多个数中最大的公约数，最小公倍数是指多个数中最小的公倍数。
2012年小升初奥数知识点——约数与倍数
2012年小升初奥数知识点——约数与倍数【编者按】201年小升初奥数需要提前准备，小升初将陆续整理2012年小升初奥数知识点;—;;—;约数与倍数，供广大小升初考生参考。
请大家关注小升初，预祝大家取得理想好成绩。
2012年小升初奥数知识点;—;;—;约数与倍数约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质：1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有：1、2、3、6、9、18；那么12和18的公约数有：1、2、3、6；那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；求最大公约数基本方法：1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。
3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。
公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有：12、24、36、48；18的倍数有：18、36、54、72；那么12和18的公倍数有：36、72、108；那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；最小公倍数的性质：1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法xx小学作文小升处。
初一数学上册综合算式专项练习题数的倍数与约数
初一数学上册综合算式专项练习题数的倍数与约数数的倍数与约数是初中数学中常见的概念，在学习数学的过程中经常会遇到。
本文将对初一数学上册综合算式专项练习题中的数的倍数与约数进行详细的讲解和实例分析。
一、数的倍数数的倍数是指能够被某个数整除的数。
例如，对于数4来说，它的倍数有4、8、12、16等等，因为这些数都能被4整除。
换句话说，某个数的倍数一定是这个数的整数倍。
具体来说，如果数a是数b的倍数，那么必然存在一个整数k，使得a=k*b。
接下来，我们来看几个实例。
首先，考虑数12的倍数。
12的倍数包括12本身，即12*1=12，以及12的两倍、三倍、四倍等等。
因此，12的倍数可以写作12、24、36、48等等。
同样地，我们可以考虑数7的倍数，它包括7本身，即7*1=7，以及7的两倍、三倍、四倍等等，即7、14、21、28等等。
另外，我们还可以通过数的倍数来解决实际问题。
例如，某班级有40名学生，要进行分组活动，每组人数必须相同且不能少于3人，问最少能够分成几组？我们可以通过寻找40的最小倍数来解决这个问题。
首先，40的倍数包括40本身，即40*1=40，以及40的两倍、三倍、四倍等等。
我们可以列举出40的前几个倍数：40、80、120、160、200、240、280、320、360、400。
通过观察，我们可以发现，最小的40的倍数是120，即40*3=120。
因此，最少能够分成的组数为3组，每组人数为40/3 = 13人余1人。
二、数的约数数的约数是指能够整除该数的所有因数。
例如，对于数6来说，它的约数有1、2、3、6，因为这些数都能整除6。
具体来说，如果数a能够整除数b，那么就可以说a是b的约数，b是a的倍数。
因此，一个数的约数即为所有能够整除该数的正整数。
接下来，我们来看几个实例。
首先，考虑数10的约数。
10的约数包括1、2、5、10这几个数。
因为1、2、5、10都能整除10。
同样地，我们来看数15的约数，它包括1、3、5、15这几个数，因为1、3、5、15都能整除15。
七年级数学上册综合算式专项练习题倍数与约数运算
七年级数学上册综合算式专项练习题倍数与约数运算数学是一门重要的学科，也是我们在学习中最常接触的一门科目。
在七年级上册数学课程中，倍数与约数运算是我们需要掌握和理解的重要概念。
本文将为大家介绍七年级数学上册综合算式专项练习题的倍数与约数运算，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握相关知识。
1. 倍数运算倍数是指一个数可以被另一个数整除，即后者是前者的倍数。
在进行倍数运算时，我们需要注意以下几点：（1）对于一个数a，如果b是a的倍数，则任意一个正整数k也是a的倍数。
即ka也是a的倍数。
（2）对于一个数a，所有大于a的数都是a的倍数。
因此，我们通常可以用整除法来判断一个数是否为另一个数的倍数。
如果一个数能够整除另一个数，那么它就是后者的倍数。
举例来说，如果我们要判断15是否是3的倍数，我们可以用整除法进行计算：15÷3=5，得到商为5，没有余数。
因此，15是3的倍数。
2. 约数运算约数是指可以整除一个数的所有数。
在进行约数运算时，我们需要注意以下几点：（1）一个数的所有约数包括1和它本身。
（2）一个数的最小正约数是1，最大约数是它本身。
（3）在进行约数运算时，我们通常可以使用质因数分解的方法。
将一个数分解为质数的乘积，然后再找出所有可能的组合，即可得到所有的约数。
举例来说，如果我们要找出12的所有约数，首先可以将12分解为质数的乘积：12=2×2×3。
然后，我们可以找出所有可能的组合：1，2，3，4，6，12。
因此，12的约数有1，2，3，4，6，12。
综合算式练习题：下面是一些综合算式练习题，包括了倍数与约数运算的考察。
通过解答这些题目，可以帮助同学们更好地掌握和运用倍数与约数的相关知识。
1.判断下列哪些数是12的倍数：（1）20（2）24（3）35（4）482.判断下列哪些数是6的约数：（1）6（2）8（4）123.求下列各数的所有约数：（1）16（2）18（3）20（4）24解答：1. （2）24和（4）48是12的倍数，因为它们可以整除12。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
四 约数与倍数(A)年级 班 姓名 得分一、填空题1．28的所有约数之和是_____.2. 用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法.3. 一个两位数,十位数字减个位数字的差是28的约数,十位数字与个位数字的积是24.这个两位数是_____.4. 李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种树667棵,如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____人.5. 两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,则这两个数的差是_____.6. 现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相等,最多可分给_____个小朋友,每个小朋友得梨_____个,桔_____个.7. 一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片_____块.8. 长180厘米,宽45厘米,高18厘米的木料,能锯成尽可能大的正方体木块(不余料)_____块.9. 张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个,又以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出,如果他要赚得10元钱利润,那么他必须卖出苹果_____个.10. 含有6个约数的两位数有_____个.11．写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1，但两两均不互质，请问有多少组这种解？12．和为1111的四个自然数，它们的最大公约数最大能够是多少？13．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳214米，黄鼠狼每次跳432米，它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔8312米设有一个陷井,当它们之中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米?14. 已知a 与b 的最大公约数是12,a 与c 的最小公倍数是300,b 与c 的最小公倍数也是300,那么满足上述条件的自然数a ,b ,c 共有多少组?(例如:a =12、b =300、c =300，与a =300、b =12、c =300是不同的两个自然数组)四 约数与倍数（B ）年级 班 姓名 得分一、 填空题1．把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共有_____个小朋友.2. 幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友；结果糖多出7颗，饼干多出4块，桔子多出2个.这个大班的小朋友最多有_____人.3. 用长16厘米、宽14厘米的长方形木板来拼成一个正方形，最少需要用这样的木板_____块.4. 用长是9厘米、宽是6厘米、高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块_____块.5. 一个公共汽车站,发出五路车,这五路车分别为每隔3、5、9、15、10分钟发一次，第一次同时发车以后，_____分钟又同时发第二次车.6. 动物园的饲养员给三群猴子分花生,如只分给第一群,则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒.那么平均给三群猴子,每只可得_____粒.7. 这样的自然数是有的:它加1是2的倍数,加2是3的倍数,加3是4的倍数,加4是5的倍数,加5是6的倍数,加6是7的倍数,在这种自然数中除了1以外最小的是_____.8． 能被3、7、8、11四个数同时整除的最大六位数是_____.9. 把26,33,34,35,63,85,91,143分成若干组,要求每一组中任意两个数的最大公约数是1, 那么至少要分成_____组.10. 210与330的最小公倍数是最大公约数的_____倍.二、解答题11．公共汽车总站有三条线路，第一条每8分钟发一辆车，第二条每10分钟发一辆车，第三条每16分钟发一辆车，早上6：00三条路线同时发出第一辆车.该总站发出最后一辆车是20:00,求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻.12. 甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公约数,商是12.如果甲乙两数的差是18,则甲数是多少?乙数是多少?13. 用285、5615、2011分别去除某一个分数，所得的商都是整数.这个分数最小是几? 14. 有15位同学,每位同学都有编号,他们是1号到15号,1号同学写了一个自然数,2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被他的编号数整除.1号作了检验:只有编号连续的二位同学说得不对,其余同学都对,问:(1)说的不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数?(2)如果告诉你,1号写的数是五位数,请找出这个数.———————————————答案——————————————————————答案:1．5628的约数有1,2,4,7,14,28,它们的和为1+2+4+7+14+28=56.2. 4因为105的约数有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的长方形的长与宽分别是105和1,35和3,21与5,15与7.所以能拼成4种不同的长方形.3. 64因为28=2´2´7,所以28的约数有6个:1,2,4,7,14,28.在数字0,1,2,…，9中，只有6与4之积，或者8与3之积是24，又6-4=2，8-3=5.故符合题目要求的两位数仅有64.4. 28因为667=23´29,所以这班师生每人种的棵数只能是667的约数:1,23,29,667.显然,每人种667棵是不可能的.当每人种29棵树时,全班人数应是23-1=22,但22不能被4整除,不可能.当每人种23棵树时,全班人数应是29-1=28,且28恰好是4的倍数,符合题目要求.当每人种1棵树时,全班人数应是667-1=666,但666不能被4整除,不可能.所以,一班共有28名学生.5. 40或20两个自然数的和是50,最大公约数是5,这两个自然数可能是5和45,15和35,它们的差分别为(45-5=)40,(35-15=)20,所以应填40或20.[注]这里的关键是依最大公约数是5的条件,将50分拆为两数之和:50=5+45=15+35.6. 36,1,3.要把梨36个、桔子108个分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子相等，小朋友的人数一定是36的约数，又要是108的约数，即一定是36和108的公约数.因为要求最多可分给多少个小朋友,可知小朋友的人数是36和108的最大公约数.36和108的最大公约数是36,也就是可分给36个小朋友.每个小朋友可分得梨: 36÷36=1(只)每个小朋友可分得桔子: 108÷36=3(只)所以,最多可分得36个小朋友,每个小朋友可分得梨1只,桔子3只.7. 56剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长48厘米及宽42厘米,所以它是48与42的公约数,题目又要求剪出的正方形最大,故正方形的边长是48与42的最大公约数.因为48=2´2´2´2´3,42=2´3´7,所以48与42的最大公约数是6.这样,最大正方形的边长是6厘米.由此可按如下方法来剪:长边每排剪8块,宽边可剪7块,共可剪(48÷6)´(42÷6)=8´7=56(块)正方形布片.8. 200根据没有余料的条件可知长、宽和高分别能被正方体的棱长整除,即正方体的棱长是180,45和18的公约数.为了使正方体木块尽可能大,正方体的棱长应是180、45和18的最大公约数.180,45和18的最大公约数是9,所以正方体的棱长是9厘米.这样,长180厘米可公成20段,宽45厘米可分成5段,高18厘米可分成2段.这根木料共分割成(180÷9)´(45÷9)´(18÷9)=200块棱长是9厘米的正方体.9. 150根据3与5的最小公倍数是15,张老师傅以5元钱买进15个苹果,又以6元钱卖出15个苹果,这样,他15个苹果进与出获利1元.所以他获利10元必须卖出150个苹果.10. 16含有6个约数的数,它的质因数有以下两种情况:一是有5个相同的质因数连乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用M 表示含有6个约数的数，用a 和b 表示M 的质因数，那么5a M =或b a M ´=2因为M 是两位数，所以M = a 5只有一种可能M =25，而M = a 2´b 就有以下15种情况： 72,52,32222´=´=´=M M M ，172,132,112222´=´=´=M M M ，23,232,192222´=´=´=M M M ，113,73,53222´=´=´=M M M ，27,35,25222´=´=´=M M M .所以,含有6个约数的两位数共有15+1=16(个)11. 三个数都不是质数,至少是两个质数的乘积,两两之间的最大公约数只能分别是2,3和5,这种自然数有6,10,15和12,10,15及18,10,15三组.12. 四个数的最大公约数必须能整除这四个数的和,也就是说它们的最大公约数应该是1111的约数.将1111作质因数分解,得1111=11´101最大公约数不可能是1111,其次最大可能数是101.若为101,则将这四个数分别除以101,所得商的和应为11.现有1+2+3+5=11,即存在着下面四个数101,101´2,101´3,101´5,它们的和恰好是101´(1+2+3+5)=101´11=1111,它们的最大公约数为101.所以101为所求.13. 黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是432与8312的“最小公倍数”499，即跳了499411÷=9次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是214和8312的“最小公倍数”299，即跳了299÷29=11次掉进陷井. 经过比较可知,黄鼠狼先掉进陷井,这时狐狸已跳的行程是214´9=40.5(米). 14. 先将12、300分别进行质因数分解：12=22´3300=22´3´52(1)确定a 的值.依题意a 只能取12或12´5(=60)或12´25(=300).(2)确定b 的值.当a =12时,b 可取12,或12´5,或12´25；当a =60,300时，b 都只能取12.所以,满足条件的a 、b 共有5组：a =12 a =12 a =12 a =60 a =300b =12, =60, =300, =12, =12.(3)确定a ,b ,c 的组数.对于上面a 、b 的每种取值，依题意，c 均有6个不同的值：52，52´2，52´22，52´3，52´2´3，52´22´3，即25，50，100，75，150，300.所以满足条件的自然数a 、b 、c 共有5´6=30（组）———————————————答 案——————————————————————答 案:1. 9若梨减少2个,则有20-2=18(个);若将苹果增加2个,则有25+2=27(个),这样都被小朋友刚巧分完.由此可知小朋友人数是18与27的最大公约数.所以最多有9个小朋友.2. 36根据题意不难看出,这个大班小朋友的人数是115-7=108,148-4=144,74-2=72的最大公约数.所以,这个大班的小朋友最多有36人.3. 56所铺成正方形的木板它的边长必定是长方形木板长和宽的倍数,也就是长方形木板的长和宽的公倍数,又要求最少需要多少块,所以正方形木板的边长应是14与16的最小公倍数.先求14与16的最小公倍数.2 16 148 7故14与16的最小公倍数是2´8´7=112.因为正方形的边长最小为112厘米,所以最少需要用这样的木板1416112112´´=7´8=56(块) 4． 5292与上题类似，依题意，正方体的棱长应是9，6，7的最小公倍数，9，6，7的最小公倍数是126.所以,至少需要这种长方体木块769126126126´´´´=14´21´18=5292(块) [注]上述两题都是利用最小公倍数的概念进行“拼图”的问题，前一题是平面图形，后一题是立体图形，思考方式相同，后者可看作是前者的推广.将平面问题推广为空间问题是数学家喜欢的研究问题的方式之一.希望引起小朋友们注意.5. 90依题意知,从第一次同时发车到第二次同时发车的时间是3,5,9,15和10的最小公倍数. 因为3,5,9,15和10的最小公倍数是90,所以从第一次同时发车后90分钟又同时发第二次车.6. 5依题意得花生总粒数=12´第一群猴子只数=15´第二群猴子只数=20´第三群猴子只数由此可知,花生总粒数是12,15,20的公倍数,其最小公倍数是60.花生总粒数是60,120,180,……，那么第一群猴子只数是5，10，15，……第二群猴子只数是4，8，12，……第三群猴子只数是3，6，9，……所以，三群猴子的总只数是12，24，36，…….因此,平均分给三群猴子,每只猴子所得花生粒数总是5粒.7. 421依题意知,这个数比2、3、4、5、6、7的最小公倍数大1,2、3、4、5、6、7的最小公倍数是420，所以这个数是421.8. 999768由题意知,最大的六位数是3,7,8,11的公倍数,而3,7,8,11的最小公倍数是1848.因为999999÷1848=541……231，由商数和余数可知符合条件的最大六位数是1848的541倍，或者是999999与231的差.所以,符合条件的六位数是999999-231=999768.9. 3根据题目要求,有相同质因数的数不能分在一组,26=2´13,91=7´13,143=11´13,所以,所分组数不会小于3.下面给出一种分组方案:(1)26，33，35；(2)34，91；(3)63，85，143.因此,至少要分成3组.[注]所求组数不一定等于出现次数最多的质因数的出现次数，如15=3´5，21=3´7，35=5´7，3，5，7各出现两次，而这三个数必须分成三组，而不是两组.除了上述分法之外,还有多种分组法,下面再给出三种:(1)26,35；33，85，91；34，63，143.(2)85,143,63；26，33，35；34，91.(3)26,85,63；91，34，33；143，35.10. 77根据“甲乙的最小公倍数´甲乙的最大公约数=甲数´乙数”，将210´330分解质因数，再进行组合有210´330=2´3´5´7´2´3´5´11=22´32´52´7´11=（2´3´5）´（2´3´5´7´11）因此，它们的最小公倍数是最大公约数的7´11=77（倍）.11. 根据题意,先求出8,10,16的最小公倍数是80,即从第一次三车同时发出后,每隔80分钟又同时发车.从早上6:00至20:00共14小时,求出其中包含多少个80分钟.60´14÷80=10…40分钟由此可知,20:00前40分钟,即19:20为最后一次三车同时发车的时刻.12. 甲乙两数分别除以它们的最大公约数,所得的两个商是互质数.而这两个互质数的乘积,恰好是甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公约数所得的商——12.这一结论的根据是:(我们以“约”代表两数的最大公约数，以“倍”代表两数的最小公倍数)甲数´乙数=倍´约约约乙数甲数´´=约约约倍´´，所以：约乙数约甲数´=约倍，约乙数约甲数´=12 将12变成互质的两个数的乘积：①12=4´3，②12=1´12先看①,说明甲乙两数：一个是它们最大公约数的4倍，一个是它们最大公约数的3倍. 甲乙两数的差除以上述互质的两数(即4和3)之差,所得的商,即甲乙两数的最大公约数. 18÷(4-3)=18甲乙两数,一个是:18´3=54，另一个是：18´4=72.再看②,18÷(12-1)=1171,不符合题意,舍去. 13. 依题意,设所求最小分数为N M ,则 285÷N M =a 5615÷N M =b 2011÷N M =c 即528´N M =a 1556´N M =b 2120´N M =c 其中a ,b ,c 为整数. 因为NM 是最小值,且a ,b ,c 是整数,所以M 是5,15,21的最小公倍数,N 是28,56,20的最大公约数,因此,符合条件的最小分数: N M =4105=4126 14. (1)根据2号~15号同学所述结论,将合数4,6,…，15分解质因数后，由1号同学验证结果，进行分析推理得出问题的结论.4=22,6=2´3,8=23,9=32,10=2´5,12=22´3,14=2´7,15=3´5由此不难断定说得不对的两个同学的编号是8与9两个连续自然数(可逐次排除,只有8与9满足要求).(2)1号同学所写的自然数能被2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15这12个数整除,也就是它们的公倍数.它们的最小公倍数是22´3´5´7´11´13=60060因为60060是一位五位数,而这12个数的其他公倍数均不是五位数,所以1号同学写的五位数是60060.。